Многостранният трапец ... Той може да бъде произволен, равнобедрен или правоъгълен. И във всеки случай трябва да знаете как да намерите зоната на трапеца. Разбира се, основните формули са най-лесни за запомняне. Но понякога е по-лесно да се използва този, който е изведен, като се вземат предвид всички характеристики на определена геометрична фигура.
Няколко думи за трапеца и неговите елементи
Всеки четириъгълник с две успоредни страни може да се нарече трапец. IN общ случайте не са равни и се наричат бази. По-големият е долният, а другият е горният.
Останалите две страни са настрани. За произволен трапец те имат различна дължина. Ако те са равни, тогава фигурата става равнобедрена.
Ако изведнъж ъгълът между която и да е страна и основата се окаже равен на 90 градуса, тогава трапецът е правоъгълен.
Всички тези функции могат да помогнат при решаването на проблема как да се намери зоната на трапец.
Сред елементите на фигурата, които могат да бъдат незаменими при решаването на проблеми, можем да отделим следното:
- височина, тоест сегмент, перпендикулярен на двете основи;
- средната линия, която има в краищата си срединните точки на страничните страни.
Каква е формулата за изчисляване на площта, ако основите и височината са известни?
Този израз е даден като основен, тъй като най-често можете да разберете тези стойности, дори когато те не са дадени изрично. Така че, за да разберете как да намерите площта на трапец, трябва да добавите двете основи и да ги разделите на две. След това умножете получената стойност по стойността на височината.
Ако обозначим основите с буквите a 1 и a 2, височината - n, тогава формулата за площта ще изглежда така:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * n.
Формулата, по която се изчислява площта, като се имат предвид нейната височина и средна линия
Ако се вгледате внимателно в предишната формула, лесно ще забележите, че в нея ясно има стойност на средната линия. А именно сумата от основите, разделена на две. Нека средната линия да бъде означена с буквата l, тогава формулата за площта ще бъде следната:
S = l * n.
Възможността за намиране на площта по диагонали
Този метод ще ви помогне, ако знаете ъгъла, образуван от тях. Да предположим, че диагоналите се означават с буквите d 1 и d 2, а ъглите между тях са α и β. Тогава формулата за това как да се намери площта на трапец ще бъде написана по следния начин:
S = ((q 1 * q 2) / 2) * sin α.
В този израз можете лесно да замените α с β. Резултатът няма да се промени.
Как да разбера района, ако са известни всички страни на фигурата?
Има и ситуации, когато страните са известни на тази фигура. Тази формула е тромава и трудна за запомняне. Но вероятно. Нека страните имат обозначението: в 1 и в 2 основата на 1 е по-голяма от 2. Тогава формулата на площта ще изглежда така:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (в 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).
Методи за изчисляване на площта на равнобедрен трапец
Първият е свързан с факта, че в него може да бъде вписан кръг. И знаейки радиуса му (той се обозначава с буквата r), както и ъгъла в основата - γ, можете да използвате следната формула:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Последната обща формула, която се основава на познаването на всички страни на фигурата, ще бъде значително опростена поради факта, че страните имат едно и също значение:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (b 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).
Методи за изчисляване на площта на правоъгълен трапец
Ясно е, че някое от горните ще е подходящо за произволна фигура. Но понякога е полезно да се знае за една характеристика на такъв трапец. Състои се във факта, че разликата между квадратите на дължините на диагоналите е равна на разликата, съставена от квадратите на основите.
Често формулите за трапеца се забравят, докато изразите за областите на правоъгълника и триъгълника се запомнят. Тогава може да се приложи прост начин. Разделете трапеца на две форми, ако е правоъгълна, или три. Единият определено ще бъде правоъгълник, а вторият, или другите два, ще бъдат триъгълници. След изчисляване на площите на тези фигури остава само да се добавят.
Това е доста прост начин за намиране на площта на правоъгълен трапец.
Ами ако координатите на върховете на трапеца са известни?
В този случай трябва да използвате израз, който ви позволява да определите разстоянието между точките. Може да се прилага три пъти: за откриване на двете основи и една височина. И след това просто приложете първата формула, която е описана малко по-горе.
Следният пример може да се използва за илюстриране на този метод. Дадени са върхове с координати A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Трябва да откриете площта на фигурата.
Преди да намерите площта на трапеца, трябва да изчислите дължините на основите от координатите. Ще ви е необходима следната формула:
дължина на сегмента = √ ((разлика на първите координати на точки) 2 + (разлика на вторите координати на точки) 2).
Горната основа е обозначена AB, което означава, че дължината й ще бъде равна на √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Долна - SD = √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) = √81 = 9.
Сега трябва да нарисувате височината отгоре надолу. Нека началото му е в точка А. Краят на отсечката ще бъде на долната основа в точката с координати (5; 1), нека е точка H. Дължината на отсечката AH ще бъде равна на √ ((5 -5) 2 + (7-1) 2) = √36 = 6.
Остава само да заместим получените стойности във формулата за площта на трапеца:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Проблемът беше решен без мерни единици, тъй като мащабът на координатната мрежа не беше посочен. Тя може да бъде или милиметър, или метър.
Примери за задачи
No 1. Състояние.Ъгълът между диагоналите на произволен трапец е известен, той е равен на 30 градуса. По-малкият диагонал има стойност 3 dm, а вторият е 2 пъти по-голям от него. Необходимо е да се изчисли площта на трапеца.
Решение.Първо трябва да разберете дължината на втория диагонал, защото без това няма да е възможно да преброите отговора. Не е трудно да се изчисли, 3 * 2 = 6 (dm).
Сега трябва да използваме подходяща формула за района:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Проблемът е решен.
Отговор:площта на трапеца е 4,5 dm 2.
No 2. Състояние.В трапеца на AVSD основите са сегментите на кръвното налягане и BC. Точка Е е средата на страната на SD. От него се изчертава перпендикуляр на права AB, краят на този сегмент се обозначава с буквата N. Известно е, че дължините AB и EH са съответно 5 и 4 см. Необходимо е да се изчисли площта на трапецът.
Решение.Първо трябва да направите чертеж. Тъй като стойността на перпендикуляра е по-малка от страната, към която е изтеглена, трапецът ще бъде леко удължен нагоре. Така че EH ще бъде вътре във фигурата.
За да видите ясно напредъка на решаването на проблема, ще трябва да извършите допълнителна конструкция. А именно, начертайте права линия, която ще бъде успоредна на страната AB. Точките на пресичане на тази права с АД са P, а с продължението на BC - X. Получената фигура ВХРА е успоредник. Освен това площта му е равна на необходимата. Това се дължи на факта, че триъгълниците, получени с допълнителната конструкция, са равни. Това следва от равенството на страната и двата съседни ъгъла, единият е вертикален, а другият е кръстосан.
Можете да намерите площта на успоредник, като използвате формула, която съдържа произведението на страната и височината, паднала върху нея.
По този начин площта на трапеца е 5 * 4 = 20 cm 2.
Отговор: S = 20 cm 2.
No 3. Състояние.Елементите на равнобедрен трапец имат следните значения: долна основа - 14 см, горна - 4 см, остър ъгъл- 45º. Трябва да изчислите неговата площ.
Решение.Нека по-малката основа е обозначена BC. Височината, изтеглена от точка B, ще се нарича BH. Тъй като ъгълът е 45º, триъгълникът ABN ще се окаже правоъгълен и равнобедрен. Следователно, AH = BH. И NA е много лесно да се намери. Тя е равна на половината разлика в основите. Това е (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (cm).
Основите са известни, изчислява се височината. Можете да използвате първата формула, която беше разгледана тук за произволен трапец.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).
Отговор:Необходимата площ е 45 cm 2.
No 4. Състояние.Има произволен трапец на AVSD. От страничните му страни се вземат точки O и E, така че OE да е успоредна на основата на кръвното налягане. Площта на AOED трапеца е пет пъти по-голяма от тази на CFE. Изчислете стойността на OE, ако базовите дължини са известни.
Решение.Ще трябва да нарисувате две успоредни прави линии AB: първата през точка C, пресичането й с OE - точка T; вторият през Е и точката на пресичане с кръвното налягане ще бъде М.
Нека неизвестното OE = x. Височината на по-малкия трапец OVSE - n 1, по-големият AOED - n 2.
Тъй като областите на тези две трапеции са свързани като 1 до 5, можем да напишем следното равенство:
(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Височините и страните на триъгълниците са пропорционални в конструкцията. Следователно може да се напише още едно равенство:
n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).
След две скорошни записиот лявата страна има равни стойности, което означава, че можем да запишем, че (x + a 1) / (5 (x + a 2)) е равно на (x - a 2) / (a 1 - x) .
Тук се изискват редица трансформации. Първо умножете напречно. Ще се появят скоби, които показват разликата на квадратите, след като приложите тази формула, получавате кратко уравнение.
В него трябва да отворите скобите и да прехвърлите всички термини от неизвестното "x" в лява странаи след това извлечете квадратния корен.
Отговор: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
(S) трапец, започнете да изчислявате височината (h), като намерите полусумата от дължините на успоредните страни: (a + b) / 2. След това разделете площта на получената стойност - резултатът ще бъде желаната стойност: h = S / ((a + b) / 2) = 2 * S / (a + b).
Знаейки дължината на средната линия (m) и площта (S), можете да опростите формулата от предишната стъпка. По дефиниция средната линия на трапец е равна на полусумата от неговите основи, така че за да изчислите височината (h) на фигура, просто разделете областта на дължината на средната линия: h = S / m.
Възможно е да се определи височината (h) на такава и в случай, че са дадени само дължината на една от страничните страни (c) и ъгълът (α), образуван от нея и дългата основа. В този случай е необходимо да се вземе предвид, образувана от тази страна, височината и къс сегмент на основата, който се отрязва от височината, спусната до нея. Този триъгълник ще бъде правоъгълен, известната страна ще бъде хипотенузата, а височината ще бъде кракът. Съотношението на дължините към хипотенузата е равно на ъгъла, противоположен на катета, така че за да се изчисли височината на трапеца, умножете известната дължина на страницата по синуса на известния ъгъл: h = c * sin (α).
Същият триъгълник си струва да се разгледа, ако са дадени дължината на страничната страна (c) и стойността на ъгъла (β) между него и другата (къса) основа. В този случай стойността на ъгъла между страничната страна (хипотенуза) и височината (крака) ще бъде с 90 ° по-малка от ъгъла, известен от условията: β-90 °. Тъй като съотношението на дължините на крака и хипотенузата е равно на косинуса на ъгъла между тях, изчислете височината на трапеца, като умножите косинуса на ъгъла, намален с 90 °, по дължината на страничната страна: h = c * cos (β-90 °).
Ако е вписан кръг с известен радиус (r), изчисляването на височината (h) ще бъде много просто и няма да изисква други параметри. Такъв кръг, по дефиниция, трябва всяка от основите да има само една точка и тези точки ще лежат на една линия с центъра. Това означава, че разстоянието между тях ще бъде равно на диаметъра (два пъти по-голям от радиуса), нарисуван перпендикулярно на основите, тоест съвпадащ с височината на трапеца: h = 2 * r.
Трапецът е четириъгълник, в който двете страни са успоредни, а другите две не. Височината на трапец е сегмент, начертан перпендикулярно между две успоредни прави линии. Може да се изчисли по различни начини в зависимост от изходните данни.
Ще имаш нужда
- Познаване на страните, основите, централната линия на трапеца, както и, по желание, неговата площ и / или периметър.
Инструкции
Да предположим, че има трапец със същите данни като на фигура 1. Нека нарисуваме 2 височини, които получаваме, който има 2 по-малки страни с крака на правоъгълни триъгълници. Нека обозначим по-малката ролка като x. Той е в
Трапецсе нарича четириъгълник, за който само двестраните са успоредни една на друга.
Те се наричат основи на фигурата, останалите се наричат страни. Паралелограм се счита за частен случай на фигура. Има и извит трапец, който включва функционална графика. Формулите за площта на трапец включват почти всички негови елементи и Най-доброто решениесе избира в зависимост от посочените стойности.
Основните роли в трапеца са възложени на височината и средната линия. средна линияЛинията, свързваща средните точки на страните. Височинатрапецът се държи под прав ъгъл от горния ъгъл до основата.
Площта на трапеца през височината е равна на произведението на полусумата от дължините на основите, умножена по височината:
Ако според условията средната линия е известна, тогава тази формула е значително опростена, тъй като е равна на полусумата от дължините на основите:
Ако според условията са дадени дължините на всички страни, тогава можете да разгледате пример за изчисляване на площта на трапец чрез тези данни: 
Да предположим, че е даден трапец с основи a = 3 cm, b = 7 cm и странични страни c = 5 cm, d = 4 cm. Да намерим площта на фигурата: 
Площ на равнобедрен трапец
Равнобедрен или, както се нарича още, равнобедрен трапец се счита за отделен случай.
Намирането на площта на равнобедрен (равнобедрен) трапец също е специален случай. Формулата се показва по различни начини - през диагоналите, през съседните на основата ъгли и радиуса на вписаната окръжност.
Ако според условията дължината на диагоналите е зададена и ъгълът между тях е известен, можете да използвате следната формула:
Не забравяйте, че диагоналите на равнобедрен трапец са равни!
Тоест, познавайки една от техните основи, страна и ъгъл, можете лесно да изчислите площта.
Извита трапецовидна област
Отделен случай е извит трапец... Той е разположен на координатната ос и е ограничен до графиката на непрекъсната положителна функция.
Основата му е разположена на оста X и е ограничена от две точки: 
Интегралите ви помагат да изчислите площта на извит трапец.
Формулата е написана по следния начин:
Помислете за пример за изчисляване на площта на извит трапец. Формулата изисква определени знанияда работи с определени интеграли. Първо, нека разгледаме стойността на определен интеграл: 
Тук F (a) е стойността на антидеривативната функция f (x) в точка a, F (b) е стойността на същата функция f (x) в точка b. 
Сега нека решим проблема. Фигурата показва извит трапец, ограничен от функция. Функция 
Трябва да намерим областта на избраната фигура, която представлява криволинейна трапеция, ограничена отгоре с графика, вдясно от права линия x = (- 8), вляво от права линия x = (- 10) и оста OX отдолу.
Ще изчислим площта на тази фигура по формулата: 
Функция ни е възложена от условията на проблема. Използвайки го, ще намерим стойностите на антидеривата във всяка от нашите точки:
Сега
Отговор:площта на даден извит трапец е 4.
Няма нищо трудно в изчисляването на тази стойност. Важна е само максималната грижа при изчисленията.
Практиката от миналогодишните USE и GIA показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаване на проблеми.
В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за проблеми с решения. Можете да намерите същите в KIM на изпити за сертифициране или на олимпиади. Затова се отнасяйте внимателно с тях.
Какво трябва да знаете за трапеца?
Първо, нека запомним това трапецнаречен четириъгълник, който има две противоположни страни, те също се наричат основи, са успоредни, а другите две не са.
Височината може да се понижи и в трапеца (перпендикулярно на основата). Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и е равна на половината от сумата им. А също и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или в отделни случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише кръг. И опишете кръг около него.
Формули на площ за трапец
Като начало разгледайте стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начини за изчисляване на площта на равнобедрен и извит трапец по-долу.
И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е понижена до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигурата в този случай е толкова лесно, колкото обстрелването на круши. Просто трябва да разделите на две сумата от дължините на основите и да умножите полученото по височината: S = 1/2 (a + b) * h.
Да вземем друг случай: да предположим, че в трапеца освен височината е изтеглена и средната линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2 (a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до от следния вид: S = m * h... С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите средната линия по височината.
Помислете за друг вариант: в трапеца са нарисувани диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите на две произведението на диагоналите и да умножите полученото по греха на ъгъла между тях: S = 1 / 2d 1 d 2 * sinα.
Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако за него не се знае нищо, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Това е тромава и сложна формула, но ще ви бъде полезно да я запомните, за всеки случай: S = 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
Между другото, горните примери са верни и за случая, когато имате нужда от формулата за площ правоъгълен трапец... Това е трапец, чиято страна е в непосредствена близост до основите под прав ъгъл.
Равнобедрен трапец
Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.
Първият вариант: за случая, когато в равнобедрения трапец е вписан кръг с радиус r, а страничната страна и по-голямата основа образуват остър ъгъл α. Кръг може да бъде вписан в трапец, при условие че сумата от дължините на основите му е равна на сумата от дължините на страните.
Площта на равнобедрен трапец се изчислява, както следва: умножете квадрата на радиуса на вписаната окръжност по четири и разделете всичко по sinα: S = 4r 2 / sinα... Друга формула на площ е специален случай за случая, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r 2.
Вторият вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който освен това са изчертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапеца са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сумата на основите: h = 1/2 (a + b). Знаейки това, лесно е да трансформираме вече познатата формула за площта на трапец в следната форма: S = h 2.
Формула за площта на извит трапец
Нека започнем, като разгледаме какво представлява извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в рамките на даден сегмент по оста x. Криволинейният трапец се образува от графиката на функцията y = f (x) - отгоре, оста x - отдолу (сегмент) и отстрани - линиите, начертани между точки a и b и графиката на функцията.
Изчислете площта на такива неправилна формане може да се направи по горните начини. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f (x) dx = F (x) │ b a = F (b) - F (a)... В тази формула F е антидериватът на нашата функция върху избрания сегмент. А площта на извития трапец съответства на нарастването на антидеривата на даден сегмент.
Примери за задачи
За да направите всички тези формули по-добре улегнали в главата ви, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е, ако първо се опитате сами да разрешите проблемите и едва след това проверите получения отговор с готовото решение.
Задача номер 1:Даден трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Диагоналите са изчертани в трапеца, единият е с дължина 12 см, а другият с дължина 9 см.
Решение: Изградете трапецови AMRS. Начертайте линия PX през връх P, така че тя да се окаже успоредна на MC диагонала и да пресича права AC в точка X. Ще получите триъгълник ARX.
Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник ARX и паралелограм CMRX.
Благодарение на паралелограма научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Къде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Също така можем да докажем, че триъгълникът ARX е правоъгълен (за това приложете питагоровата теорема - AX 2 = AR 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.
След това трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са равни. Основата ще бъде равенството на страните MP и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускате от тези страни - те са равни на височината на трапеца AMRS.
Всичко това ще ви позволи да твърдите, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Задача номер 2:Даден е трапецът на KRMS. Точките O и E са разположени по страничните му страни, докато OE и KC са успоредни. Известно е също така, че площите на трапеците ORME и OCE са в съотношение 1: 5. PM = a и KC = b. Необходимо е да се намери OE.
Решение: Начертайте права линия през точка M, успоредна на RC, и посочете точката на нейното пресичане с OE чрез T. A - пресечната точка на права линия, изтеглена през точка E, успоредна на RC, с основата COP.
Нека въведем още една нотация - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).
Ще приемем, че b> a. Площите на трапеца ORME и OKSE са свързани като 1: 5, което ни дава правото да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Нека трансформираме и да получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Тъй като триъгълниците TME и AEC са сходни, имаме h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Комбинирайте двата записа и получете: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) = (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.
По този начин OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.
Заключение
Геометрията не е най-лесната наука, но със сигурност можете да се справите изпитни задачи... Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.
Опитахме се да съберем на едно място всички формули за изчисляване на площта на трапец, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и повтаряте материала.
Не забравяйте да кажете на съучениците и приятелите си за тази статия. в социалните мрежи... Нека има повече добри оценки за USE и GIA!
блог. сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.
За да се чувствате уверени в уроците по геометрия и успешно да решавате задачи, не е достатъчно да научите формули. На първо място, трябва да ги разберете. Да се страхуваш, камо ли да мразиш формули, е непродуктивно. В тази статия достъпен езикще бъдат анализирани различни начинитърсене на зоната на трапеца. За по-добро разбиране на съответните правила и теореми ще обърнем малко внимание на неговите свойства. Това ще ви помогне да разберете как работят правилата и кога трябва да приложите определени формули.
Определяне на трапец
Каква е тази цифра като цяло? Трапецът е многоъгълник от четири ъгъла с две успоредни страни. Останалите две страни на трапеца могат да бъдат наклонени под различни ъгли. Успоредните му страни се наричат основи, а за непаралелни страни се използва наименованието „страни“ или „бедра“. Такива цифри са доста често срещани в ежедневието... Контурите на трапеца могат да се видят в силуетите на дрехи, интериорни предмети, мебели, съдове и много други. Трапецът се случва различни видове: универсален, равнобедрен и правоъгълен. Ще анализираме техните видове и свойства по-подробно по-нататък в статията.
Трапецовидни свойства
Нека се спрем накратко на свойствата на тази фигура. Сумата от ъглите, съседни на двете страни, винаги е 180 °. Трябва да се отбележи, че всички ъгли на трапеца се добавят до 360 °. Трапецът има концепцията за средна линия. Ако свържете средните точки на страните със сегмент, това ще бъде средната линия. Означава се от m. Средната линия има важни свойства: той винаги е успореден на основите (помним, че основите също са успоредни една на друга) и е равен на тяхната полусума:
Това определение трябва да се научи и разбере, защото то е ключът към решаването на много проблеми!
При трапеца винаги можете да свалите височината до основата. Височината е перпендикуляр, често обозначаван със символа h, който се изтегля от всяка точка на една основа към друга основа или нейното продължение. Средната линия и височината ще ви помогнат да намерите зоната на трапеца. Такива задачи са най-често срещани в училищен курсгеометрия и редовно се появяват сред контролните и изпитните работи.
Най-простите формули за площта на трапец
Нека да анализираме двете най-популярни и прости формули, с помощта на която се открива площта на трапеца. Достатъчно е да умножите височината по половината от сумата на основите, за да намерите лесно това, което търсите:
S = h * (a + b) / 2.
В тази формула a, b означават основата на трапеца, h - височината. За по-лесно възприемане в тази статия знаците за умножение са маркирани със символ (*) във формулите, въпреки че в официалните справочници знакът за умножение обикновено е пропуснат.
Нека разгледаме един пример.
Дадено: трапец с две основи, равни на 10 и 14 см, височината е 7 см. Каква е площта на трапеца?
Нека анализираме решението на този проблем. Използвайки тази формула, първо трябва да намерите полусумата на основите: (10 + 14) / 2 = 12. И така, полусумата е равна на 12 см. Сега умножаваме полусумата по височината: 12 * 7 = 84. Желаният артикул е намерен. Отговор: площта на трапеца е 84 кв. см.
Секундата известна формулагласи: площта на трапеца е равна на произведението на средната линия и височината на трапеца. Това всъщност следва от предишната концепция за средната линия: S = m * h.
Използване на диагонали за изчисления
Друг начин за намиране на зоната на трапец всъщност не е толкова труден. Той е свързан с неговите диагонали. Според тази формула, за да намерите площта, трябва да умножите полупродукта от нейните диагонали (d 1 d 2) по синуса на ъгъла между тях:
S = ½ d 1 d 2 грях а.
Помислете за проблем, който показва приложението на този метод. Дадено: трапец с диагонална дължина съответно 8 и 13 см. Ъгълът a между диагоналите е 30 °. Намерете площта на трапеца.
Решение. Използвайки горната формула, е лесно да се изчисли какво се изисква. Както знаете, грехът 30 ° е 0,5. Следователно S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Отговор: площта е 52 кв. см.
Търсим областта на равнобедрен трапец
Трапецът може да бъде равнобедрен (равнобедрен). Страните му са еднакви И ъглите при основите са равни, което е добре илюстрирано на фигурата. Равнобедрен трапец има същите свойства като обикновения трапец, плюс редица специални. Кръг може да бъде описан около равнобедрен трапец и в него може да бъде вписан кръг.
Какви са методите за изчисляване на площта на такава фигура? Методът по-долу ще изисква много изчисления. За да го използвате, трябва да знаете стойностите на синуса (sin) и косинуса (cos) на ъгъла в основата на трапеца. За изчисляването им са необходими или таблици на Bradis, или инженерен калкулатор. Това е формулата:
S = ° С* грях а*(а - ° С* cos а),
където с- странично бедро, а- ъгъл в долната основа.
Равнобедрен трапец има диагонали еднаква дължина... Вярно е и обратното: ако трапецът има равни диагонали, то той е равнобедрен. Следователно следната формула, която помага да се намери площта на трапец, е полупродуктът на квадрата на диагоналите от синуса на ъгъла между тях: S = ½ d 2 sin а.
Намерете площта на правоъгълен трапец
Известен е специален случай на правоъгълен трапец. Това е трапец, при който едната странична страна (бедрото му) приляга към основите под прав ъгъл. Има свойствата на обикновен трапец. В допълнение, тя има много интересна функция... Разликата между квадратите на диагоналите на такъв трапец е равна на разликата между квадратите на неговите основи. За него се използват всички предишни методи за изчисляване на площта.
Прилагане на изобретателност
Има един трик, който може да помогне в случай на забрава на конкретни формули. Нека разгледаме по-отблизо какво представлява трапецът. Ако го разделим мислено на части, тогава получаваме познати и разбираеми геометрични фигури: квадрат или правоъгълник и триъгълник (един или два). Ако знаете височината и страните на трапеца, можете да използвате формулите за площта на триъгълник и правоъгълник и след това да добавите всички получени стойности.
Нека илюстрираме това със следния пример. Даден е правоъгълен трапец. Ъгъл C = 45 °, ъгли A, D са 90 °. Горната основа на трапеца е 20 см, височината е 16 см. Необходимо е да се изчисли площта на фигурата.
Тази цифра очевидно се състои от правоъгълник (ако двата ъгъла са 90 °) и триъгълник. Тъй като трапецът е правоъгълен, следователно височината му е равна на страничната му страна, т.е. 16 см. Имаме правоъгълник със страни съответно 20 и 16 см. Помислете сега за триъгълник, чийто ъгъл е 45 °. Знаем, че едната му страна е 16 см. Тъй като тази страна е едновременно височината на трапеца (и знаем, че височината пада до основата под прав ъгъл), следователно вторият ъгъл на триъгълника е 90 °. Следователно оставащият ъгъл на триъгълника е 45 °. В резултат на това получаваме правоъгълник равнобедрен триъгълникчиито две страни са еднакви. Това означава, че другата страна на триъгълника е равна на височината, тоест 16 см. Остава да се изчисли площта на триъгълника и правоъгълника и да се добавят получените стойности.
Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на неговите крака: S = (16 * 16) / 2 = 128. Площта на правоъгълника е равна на произведението на неговата ширина и дължина : S = 20 * 16 = 320. Намерихме необходимото: площта на трапеца S = 128 + 320 = 448 кв. Вижте. Можете лесно да се проверите отново, като използвате горните формули, отговорът ще бъде идентичен.
Използвайки формулата на Pick
И накрая, представяме още една оригинална формула, която помага да се намери площта на трапец. Нарича се формула на Пик. Удобно е да го използвате, когато трапецът е нарисуван върху карирана хартия. Подобни задачи често се срещат в материалите на GIA. Изглежда така:
S = M / 2 + N - 1,
в тази формула M е броят на възлите, т.е. пресичания на линиите на фигурата с линиите на клетките по границите на трапеца (оранжеви точки на фигурата), N е броят на възлите във фигурата (сини точки). Най-удобно е да го използвате, когато намирате площта на неправилен многоъгълник. Въпреки това, колкото по-голям е арсеналът от използвани техники, толкова по-малко грешки и по-добри резултати.
Разбира се, предоставената информация не изчерпва видовете и свойствата на трапеца, както и методите за намиране на неговата площ. Тази статия предоставя преглед на най-важните й характеристики. При решаването на геометрични задачи е важно да действате постепенно, да започнете с лесни формули и задачи, последователно да затвърдите разбирането, да преминете към друго ниво на сложност.
Съставянето на най-често срещаните формули ще помогне на учениците да се ориентират по различни начини за изчисляване на площта на трапец и по-добра подготовка за тестове и контролни работипо тази тема.
