И . Сега можете да започнете да обмисляте как да намерите площта на трапец. Тази задачав ежедневието се среща много рядко, но понякога е необходимо, например, да се намери площта на стая под формата на трапец, които все по-често се използват при изграждането на модерни апартаменти или в проекти за обновяване на дизайна .
Трапецът е геометрична фигура, образувана от четири пресичащи се отсечки, две от които са успоредни един на друг и се наричат основи на трапеца. Другите два сегмента се наричат страни на трапеца. В допълнение, още едно определение ще бъде полезно в това, което следва. Това е средната линия на трапеца, която е отсечка, свързваща средните точки на страните и височината на трапеца, която е равна на разстоянието между основите.
Подобно на триъгълници, трапецът има частични изгледи под формата на равнобедрен (равнобедрен) трапец, в който дължината на страните е еднаква и правоъгълен трапец, при което една от страните образува прав ъгъл с основите.
Трапециите имат някои интересни свойства:
- Средната линия на трапеца е равна на полусумата от основите и е успоредна на тях.
- В равнобедрените трапеци страните и ъглите, които образуват с основите, са равни.
- Средните точки на диагоналите на трапеца и пресечната точка на диагоналите му са на една и съща права линия.
- Ако сумата от страните на трапеца е равна на сумата от основите, тогава в него може да се впише кръг
- Ако сборът от ъглите, образувани от страните на трапец в някоя от неговите основи, е 90, тогава дължината на отсечката, свързваща средните точки на основите, е равна на тяхната полуразлика.
- Равнобедрен трапец може да бъде описан с окръжност. И обратно. Ако трапецът се вписва в кръг, тогава той е равнобедрен.
- Сегментът, преминаващ през средните точки на основите на равнобедрен трапец, ще бъде перпендикулярен на неговите основи и представлява оста на симетрия.
Как да намерите площта на трапец.
Площта на трапеца ще бъде равна на полусумата от неговите основи, умножена по височината. Под формата на формула това се записва под формата на израз:
където S е площта на трапеца, a, b е дължината на всяка от основите на трапеца, h е височината на трапеца.
Можете да разберете и запомните тази формула, както следва. Както следва от фигурата по-долу, трапец, използващ средната линия, може да се трансформира в правоъгълник, чиято дължина ще бъде равна на полусумата от основите.
Можете също да разложите всеки трапец на по-прости форми: правоъгълник и един или два триъгълника и ако ви е по-лесно, тогава намерете площта на трапеца като сбор от площите на съставните му фигури.
Има още една проста формула за изчисляване на нейната площ. Според него площта на трапеца е равна на произведението на неговата средна линия от височината на трапеца и се записва като: S = m * h, където S е площта, m е дължината на средната линия, h е височината на трапеца. Тази формула е по-подходяща за математически задачи, отколкото за ежедневни задачи, тъй като в реални условиябез да знаете дължината на средната линия предварителни изчисления... И ще знаете само дължините на основите и страните.
В този случай площта на трапеца може да се намери по формулата:
S = ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2
където S е площта, a, b са основите, c, d са страните на трапеца.
Има още няколко начина за намиране на площта на трапец. Но те са също толкова неудобни, колкото и последната формула, което означава, че няма смисъл да се спираме на тях. Затова ви препоръчваме да използвате първата формула от статията и искаме винаги да получаваме точни резултати.
Многостранният трапец ... Може да бъде произволен, равнобедрен или правоъгълен. И във всеки случай трябва да знаете как да намерите площта на трапеца. Разбира се, основните формули са най-лесни за запомняне. Но понякога е по-лесно да се използва този, който е получен, като се вземат предвид всички характеристики на определена геометрична фигура.
Няколко думи за трапеца и неговите елементи
Всеки четириъгълник с две успоредни страни може да се нарече трапец. V общ случайте не са равни и се наричат бази. По-големият е долният, а другият е горният.
Другите две страни са настрани. За произволен трапец те имат различни дължини. Ако са равни, тогава фигурата става равнобедрена.
Ако изведнъж ъгълът между която и да е страна и основата се окаже равен на 90 градуса, тогава трапецът е правоъгълен.
Всички тези функции могат да помогнат при решаването на проблема как да се намери площта на трапец.
Сред елементите на фигурата, които могат да бъдат незаменими при решаването на проблеми, можем да откроим следното:
- височина, тоест сегмент, перпендикулярен на двете основи;
- средната линия, която има в краищата си средните точки на страничните страни.
Каква е формулата за изчисляване на площта, ако основите и височината са известни?
Този израз е даден като основен, защото най-често можете да откриете тези стойности, дори когато не са дадени изрично. Така че, за да разберете как да намерите площта на трапец, трябва да добавите и двете основи и да ги разделите на две. След това умножете получената стойност по стойността на височината.
Ако обозначим основите с буквите a 1 и a 2, височината - n, тогава формулата за площта ще изглежда така:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * n.
Формулата, по която се изчислява площта, ако са дадени нейната височина и централна линия
Ако се вгледате внимателно в предишната формула, лесно ще забележите, че в нея ясно има средна стойност. А именно сумата от основите, разделена на две. Нека средната линия е обозначена с буквата l, тогава формулата за площта ще бъде следната:
S = l * n.
Възможността за намиране на площта по диагонали
Този метод ще ви помогне, ако знаете ъгъла, образуван от тях. Да предположим, че диагоналите са обозначени с буквите d 1 и d 2, а ъглите между тях са α и β. Тогава формулата за това как да намерите площта на трапец ще бъде написана, както следва:
S = ((q 1 * q 2) / 2) * sin α.
В този израз можете лесно да замените α с β. Резултатът няма да се промени.
Как да разберете площта, ако всички страни на фигурата са известни?
Има и ситуации, когато страните са известни на тази фигура. Тази формула е тромава и трудна за запомняне. Но вероятно. Нека страните имат обозначението: при 1 и при 2 основата на 1 е по-голяма от 2. Тогава формулата за площ ще изглежда така:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (в 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).
Методи за изчисляване на площта на равнобедрен трапец
Първият е свързан с факта, че в него може да бъде вписан кръг. И като знаете радиуса му (означава се с буквата r), както и ъгъла в основата - γ, можете да използвате следната формула:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Последната обща формула, която се основава на познаването на всички страни на фигурата, ще бъде значително опростена поради факта, че страните имат същото значение:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (b 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).
Методи за изчисляване на площта на правоъгълен трапец
Ясно е, че всяко от горните ще бъде подходящо за произволна фигура. Но понякога е полезно да знаете за една особеност на такъв трапец. Състои се във факта, че разликата между квадратите на дължините на диагоналите е равна на разликата, съставена от квадратите на основите.
Често формулите за трапеца се забравят, докато изразите за площите на правоъгълника и триъгълника се помнят. Тогава може да се приложи един прост начин. Разделете трапеца на две форми, ако е правоъгълен, или на три. Единият определено ще бъде правоъгълник, а вторият, или другите два, ще бъдат триъгълници. След като изчислите площите на тези фигури, остава само да ги добавите.
Това е доста прост начин за намиране на площта на правоъгълен трапец.
Ами ако координатите на върховете на трапеца са известни?
В този случай трябва да използвате израз, който ви позволява да определите разстоянието между точките. Може да се приложи три пъти: да се открият и двете основи и една височина. И тогава просто приложете първата формула, която е описана малко по-горе.
За илюстриране на такъв метод може да се даде следният пример. Дадени са върхове с координати A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Трябва да разберете площта на фигурата.
Преди да намерите площта на трапеца, трябва да изчислите дължините на основите от координатите. Ще ви трябва следната формула:
дължина на сегмента = √ ((разлика на първите координати на точки) 2 + (разлика на вторите координати на точки) 2).
Горната основа е обозначена AB, което означава, че нейната дължина ще бъде равна на √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Долната - SD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = √81 = 9.
Сега трябва да начертаем височината от горе до долу. Нека началото му е в точка A. Краят на отсечката ще бъде на долната основа в точката с координати (5; 1), нека е точка H. Дължината на отсечката AH ще бъде равна на √ ((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Остава само да замените получените стойности във формулата за площта на трапеца:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Проблемът беше решен без мерни единици, тъй като не беше посочен мащабът на координатната мрежа. Може да бъде милиметър или метър.
Примери за задачи
No 1. Състояние.Ъгълът между диагоналите на произволен трапец е известен, той е равен на 30 градуса. По-малкият диагонал има стойност 3 dm, а вторият е 2 пъти по-голям от него. Необходимо е да се изчисли площта на трапеца.
Решение.Първо трябва да разберете дължината на втория диагонал, защото без това няма да е възможно да се преброи отговорът. Не е трудно да се изчисли, 3 * 2 = 6 (dm).
Сега трябва да използваме подходяща формула за района:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Проблемът е решен.
Отговор:площта на трапеца е 4,5 dm 2.
No 2. Състояние.В трапеца на AVSD основите са сегментите на кръвното налягане и BC. Точка E е средата на SD страната. От него се изчертава перпендикуляр към линия AB, краят на този сегмент е обозначен с буквата N. Известно е, че дължините AB и EH са съответно 5 и 4 см. Необходимо е да се изчисли площта на трапецът.
Решение.Първо трябва да направите чертеж. Тъй като стойността на перпендикуляра е по-малка от страната, към която е изтеглен, трапецът ще бъде леко удължен нагоре. Така че EH ще бъде вътре във фигурата.
За да видите ясно напредъка на решаването на проблема, ще трябва да извършите допълнителна конструкция. А именно, начертайте права линия, която ще бъде успоредна на страната AB. Пресечните точки на тази права линия с HELL са P, а с продължението на BC - X. Получената фигура ВХРА е паралелограм. Освен това площта му е равна на необходимата. Това се дължи на факта, че триъгълниците, получени с допълнителната конструкция, са равни. Това следва от равенството на страната и двата ъгъла, съседни на нея, единият е вертикален, другият е кръстосан.
Можете да намерите площта на паралелограма, като използвате формула, която съдържа произведението на страната и височината, паднала върху нея.
По този начин площта на трапеца е 5 * 4 = 20 cm 2.
Отговор: S = 20 см 2.
No 3. Състояние.Елементите на равнобедрен трапец имат следните значения: долна основа - 14 cm, горна - 4 cm, остър ъгъл- 45º. Трябва да изчислите неговата площ.
Решение.Нека по-малката основа се обозначи BC. Височината, изтеглена от точка B, ще се нарича BH. Тъй като ъгълът е 45º, триъгълникът ABN ще се окаже правоъгълен и равнобедрен. Следователно, AH = BH. И NA е много лесно да се намери. Тя е равна на половината от разликата в основите. Това е (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (см).
Основите са известни, височината се изчислява. Можете да използвате първата формула, която беше разгледана тук за произволен трапец.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).
Отговор:Необходимата площ е 45 см 2.
No 4. Състояние.Има произволен трапец AVSD. От страничните му страни са взети точки О и Е, така че ОЕ да е успоредно на основата на кръвното налягане. Площта на трапеца AOED е пет пъти по-голяма от тази на CFE. Изчислете стойността на OE, ако основните дължини са известни.
Решение.Ще трябва да начертаете две успоредни прави линии AB: първата през точка C, нейното пресичане с OE - точка T; вторият през E и точката на пресичане с кръвното налягане ще бъде M.
Нека неизвестното OE = x. Височината на по-малкия трапец OVSE - n 1, на по-големия AOED - n 2.
Тъй като площите на тези два трапеца са свързани като 1 към 5, можем да запишем следното равенство:
(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Височините и страните на триъгълниците са пропорционални в конструкцията. Следователно може да се запише още едно равенство:
n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).
В две скорошни вписванияот лявата страна има равни стойности, което означава, че можем да запишем, че (x + a 1) / (5 (x + a 2)) е равно на (x - a 2) / (a 1 - x) .
Тук са необходими редица трансформации. Първо умножете напречно. Ще се появят скоби, които показват разликата на квадратите, след като приложите тази формула, получавате кратко уравнение.
В него трябва да отворите скобите и да прехвърлите всички термини от неизвестното "x" в лява странаи след това извлечете квадратния корен.
Отговор: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
Практиката на миналогодишните USE и GIA показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаването на проблеми.
В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за проблеми с решения. Можете да намерите същите в KIM на изпити за сертифициране или на олимпиади. Затова се отнасяйте внимателно към тях.
Какво трябва да знаете за трапец?
Първо, нека си припомним това трапецнаречен четириъгълник, който има две противоположни страни, те се наричат още основи, успоредни са, а другите две не са.
Височината може да се намали и в трапеца (перпендикулярно на основата). Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и е равна на половината от тяхната сума. А също и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или в отделни случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да бъде вписан кръг. И опишете кръг около него.
Формули за площи на трапец
За начало помислете за стандартните формули за намиране на площта на трапец. По-долу ще разгледаме начини за изчисляване на площта на равнобедрен и извити трапец.
И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е понижена до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигурата в този случай е толкова лесно, колкото и черупката на круши. Просто трябва да разделите на две сумата от дължините на основите и да умножите полученото по височината: S = 1/2 (a + b) * h.
Да вземем друг случай: да предположим, че в трапеца, освен височината, е начертана средната линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2 (a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до от следния тип: S = m * h... С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите средната линия по височината.
Помислете за друг вариант: в трапеца са начертани диагоналите d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите на две произведението на диагоналите и да умножите резултата по греха на ъгъла между тях: S = 1 / 2d 1 d 2 * sinα.
Сега помислете за формулата за намиране на площта на трапец, ако нищо не е известно за него, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Това е тромава и сложна формула, но ще ви бъде полезно да я запомните за всеки случай: S = 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
Между другото, горните примери са верни и за случая, когато имате нужда от формулата за площта на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна е съседна на основите под прав ъгъл.
Равнобедрен трапец
Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.
Първият вариант: за случая, когато окръжност с радиус r е вписана вътре в равнобедрения трапец, а страничната страна и по-голямата основа образуват остър ъгъл α. В трапец може да бъде вписан кръг, при условие че сборът от дължините на неговите основи е равен на сбора от дължините на страните.
Площта на равнобедрен трапец се изчислява, както следва: умножете квадрата на радиуса на вписаната окръжност по четири и разделете всичко на sinα: S = 4r 2 / sinα... Друга формула за площ е специален случай за случая, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r 2.
Вторият вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който освен това са начертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапеца са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сбора на основите: h = 1/2 (a + b). Знаейки това, лесно е да трансформирате вече познатата формула за площта на трапец в следната форма: S = h 2.
Формула за площта на извит трапец
Нека започнем, като разгледаме какво е извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в даден сегмент на оста x. Криволинеен трапец се образува от графиката на функцията y = f (x) - отгоре, оста x - отдолу (сегмент), а отстрани - от прави линии, начертани между точки a и b и графика на функцията.
Изчислете площта на такъв неправилна формане може да се направи по горните начини. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f (x) dx = F (x) │ b a = F (b) - F (a)... В тази формула F е първообразната на нашата функция на избрания сегмент. А площта на криволинейния трапец съответства на увеличението на антипроизводната на даден сегмент.
Примери за задачи
За да накарате всички тези формули да се настанят в главата ви по-добре, ето няколко примера за проблеми за намиране на площта на трапец. Най-добре ще бъде първо да се опитате сами да решите проблемите и едва след това да проверите получения отговор с готовото решение.
Задача номер 1:Даден е трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. В трапеца са начертани диагонали, единият е с дължина 12 см, а другият с дължина 9 см.
Решение: Конструирайте AMRS на трапец. Начертайте линия PX през връх P, така че да се окаже успоредна на диагонала MC и да пресича правата AC в точка X. Ще получите триъгълник ARX.
Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълника ARX и паралелограма CMRX.
Благодарение на паралелограма научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Къде можем да изчислим страната AX на триъгълник ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Можем също да докажем, че триъгълникът ARX е правоъгълен (за това приложете теоремата на Питагор - AX 2 = AR 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.
След това трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са равни. Основата ще бъде равенството на страните МР и СХ (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускате от тези страни - те са равни на височината на трапеца AMRS.
Всичко това ще ви позволи да твърдите, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Задача номер 2:Даден е трапецовиден KRMS. Точките O и E са разположени от страничните му страни, докато OE и KC са успоредни. Известно е също, че площите на трапециите ORME и OCE са в съотношение 1: 5. PM = a и KC = b. Необходимо е да се намери OE.
Решение: Начертайте права линия през точка M, успоредна на RC, и означете точката на нейното пресичане с OE с T. A - точката на пресичане на права линия, проведена през точка E, успоредна на RC, с основата на COP.
Нека въведем още едно обозначение - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).
Ще приемем, че b> a. Площите на трапециите ORME и OKSE са свързани като 1: 5, което ни дава право да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Нека трансформираме и получаваме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Тъй като триъгълниците TME и AEC са подобни, имаме h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Комбинирайте двата записа и получете: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) = (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.
Така OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.
Заключение
Геометрията не е най-лесната наука, но със сигурност можете да се справите изпитни задачи... Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.
Опитахме се да съберем на едно място всички формули за изчисляване на площта на трапец, така че да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и преглеждате материала.
Не забравяйте да кажете на вашите съученици и приятели за тази статия. социални мрежи... Нека има повече добри оценки за Единния държавен изпит и Агенцията за държавни изпити!
сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.
В нашия живот много често се налага да се справяме с прилагането на геометрията в практиката, например в строителството. Сред най-разпространените геометрични фигури е трапецът. И за да бъде проектът успешен и красив, е необходимо правилно и точно да се изчислят елементите за такава фигура.
Какво е изпъкнал четириъгълник, който има двойка успоредни страни, наречени основи на трапец. Но все още има две други страни, свързващи тези основи. Те се наричат странични. Един от въпросите относно тази фигура е: "Как да намеря височината на трапеца?" Трябва незабавно да обърнете внимание на факта, че височината е сегмент, който определя разстоянието от една основа до друга. Има няколко начина за определяне на това разстояние в зависимост от известните стойности.
1. Стойностите на двете основи са известни, нека ги обозначим b и k, както и площта на този трапец. Използвайки известните стойности, в този случай е много лесно да се намери височината на трапеца. Както е известно от геометрията, тя се изчислява като произведение на половината от сбора на основите и височината. Желаната стойност може лесно да бъде извлечена от тази формула. За да направите това, площта трябва да бъде разделена на половината от сбора на основанията. Под формата на формули ще изглежда така:
S = ((b + k) / 2) * h, следователно h = S / ((b + k) / 2) = 2 * S / (b + k)
2. Дължината на средната линия е известна, нека я означим d и площта. За тези, които не знаят, средната линия е разстоянието между средните точки на страните. Как да намерим височината на трапеца в този случай? Според свойството на трапец средната линия съответства на половината от сбора на основите, тоест d = (b + k) / 2. Отново използваме формулата за площ. Заменяйки половината от сбора на основите със стойността на средната линия, получаваме следното:
Както можете да видите от получената формула, е много лесно да се изведе височината. Разделяйки площта на стойността на централната линия, намираме желаната стойност. Нека го запишем с формулата:
3. Дължината на едната страна (b) и ъгълът между тази страна и най-голямата основа са известни. Отговорът на въпроса как да се намери височината на трапеца също е в този случай. Да разгледаме трапец ABCD, където AB и CD са странични страни, а AB = b. Най-голямата фондация е АД. Ъгълът, образуван от AB и AD, ще бъде обозначен с α. От точка B пуснете височината h до основата на AD. Сега разгледайте получения триъгълник ABF, който е правоъгълен. Страната AB е хипотенузата, а страната BF е катета. От свойството на правоъгълен триъгълник, съотношението на стойността на катета и стойността на хипотенузата съответства на синуса на противоположния ъгъл на крака (BF). Следователно, въз основа на горното, за да изчислим височината на трапеца, умножаваме стойността на известната страна и синуса на ъгъла α. Под формата на формула изглежда така:
4. Случаят се разглежда по подобен начин, ако размерът на страничната страна и ъгълът са известни, ние го означаваме с β, което се образува между тази страна и по-малката основа. При решаване на такъв проблем стойността на ъгъла между известната странична страна и изтеглената височина ще бъде 90 ° - β. От свойството на триъгълниците - съотношението на дължината на катета и хипотенузата съответства на косинуса на ъгъла между тях. Лесно е да се изведе стойността на височината от тази формула:
h = b * cos (β-90 °)
5. Как да намерим височината на трапеца, ако е известен само радиусът на вписаната окръжност? От определението за окръжност той докосва една точка до всяка основа. Освен това тези точки са в една линия с центъра на окръжността. От това следва, че разстоянието между тях е диаметърът и в същото време височината на трапеца. Изглежда така:
6. Често има проблеми, при които е необходимо да се намери височината на равнобедрен трапец. Припомнете си, че трапец с равни странични страни се нарича равнобедрен. Как да намерим височината на равнобедрен трапец? При перпендикулярни диагонали височината е половината от сбора на основите.
Но какво ще стане, ако диагоналите не са перпендикулярни? Да разгледаме равнобедрен трапец ABCD. Според свойствата си основите са успоредни. От това следва, че ъглите при основите също ще бъдат равни. Нека начертаем две височини BF и CM. Въз основа на гореизложеното може да се твърди, че триъгълниците ABF и DCM са равни, тоест AF = DM = (AD - BC) / 2 = (bk) / 2. Сега, въз основа на условието на задачата, ние дефинираме познатите стойности и едва тогава намираме височина, като се вземат предвид всички свойства на равнобедрен трапец.
За да се чувствате уверени в уроците по геометрия и да решавате успешно задачи, не е достатъчно да научите формули. Преди всичко трябва да ги разберете. Да се страхуваш, камо ли да мразиш формули, е непродуктивно. В тази статия достъпен езикще бъдат анализирани различни начинипотърсете областта на трапеца. За по-добро разбиране на съответните правила и теореми ще обърнем известно внимание на неговите свойства. Това ще ви помогне да разберете как работят правилата и кога трябва да приложите определени формули.
Определяне на трапец
Каква е тази цифра като цяло? Трапецът е многоъгълник от четири ъгъла с две успоредни страни. Другите две страни на трапеца могат да бъдат наклонени под различни ъгли. Нейните успоредни страни се наричат основи, а за неуспоредните страни се използва името "страни" или "бедрата". Такива фигури са доста често срещани в ежедневието... Контурите на трапеца могат да се видят в силуетите на дрехи, интериорни предмети, мебели, съдове и много други. Трапецът се случва различни видове: универсален, равнобедрен и правоъгълен. Ще анализираме техните видове и свойства по-подробно по-нататък в статията.
Свойства на трапец
Нека се спрем накратко върху свойствата на тази фигура. Сумата от ъглите, съседни на двете страни, винаги е равна на 180 °. Трябва да се отбележи, че всички ъгли на трапеца са 360 °. Трапецът има концепцията за средна линия. Ако свържете средните точки на страните със сегмент, това ще бъде средната линия. Той е обозначен с m. Средната линия има важни свойства: винаги е успоредна на основите (помним, че основите също са успоредни една на друга) и е равна на тяхната полусума:
Тази дефиниция трябва да се научи и разбере, защото тя е ключът към решаването на много проблеми!
При трапеца винаги можете да намалите височината до основата. Височината е перпендикуляр, често обозначаван със символа h, който се изтегля от всяка точка на една основа до друга основа или нейно продължение. Средната линия и височината ще ви помогнат да намерите площта на трапеца. Такива задачи са най-често срещани в училищен курсгеометрия и редовно се появяват сред контролните и изпитните работи.
Най-простите формули за площта на трапец
Нека анализираме двете най-популярни и прости формули, с помощта на който се намира площта на трапеца. Достатъчно е да умножите височината на половината от сбора на основите, за да намерите лесно това, което търсите:
S = h * (a + b) / 2.
В тази формула a, b означават основата на трапеца, h - височината. За удобство в тази статия знаците за умножение са маркирани с (*) във формулите, въпреки че в официалните справочници знакът за умножение обикновено се пропуска.
Нека да разгледаме един пример.
Дадено: трапец с две основи, равни на 10 и 14 см, височината е 7 см. Каква е площта на трапеца?
Нека анализираме решението на този проблем. Използвайки тази формула, първо трябва да намерите полусумата на основите: (10 + 14) / 2 = 12. И така, полусумата е равна на 12 см. Сега умножаваме полусумата по височината: 12 * 7 = 84. Желаният артикул е намерен. Отговор: Площта на трапеца е 84 кв. см.
Втората добре известна формула казва: площта на трапеца е равна на произведението на средната линия на височината на трапеца. Тоест всъщност следва от предишната концепция за средната линия: S = m * h.
Използване на диагонали за изчисления
Друг начин за намиране на площта на трапец всъщност не е толкова труден. Той е свързан с неговите диагонали. Съгласно тази формула, за да намерите площта, трябва да умножите полупродукта на нейните диагонали (d 1 d 2) по синуса на ъгъла между тях:
S = ½ d 1 d 2 sin а.
Помислете за проблем, който показва приложението на този метод. Даден е: трапец с дължина на диагонала съответно 8 и 13 см. Ъгълът а между диагоналите е 30°. Намерете площта на трапеца.
Решение. Използвайки горната формула, е лесно да се изчисли какво е необходимо. Както знаете, грехът 30 ° е 0,5. Следователно S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Отговор: Площта е 52 кв. см.
Търсим площта на равнобедрен трапец
Трапецът може да бъде равнобедрен (равнобедрен). Страните му са еднакви И ъглите при основите са равни, което е добре илюстрирано на фигурата. Равнобедрен трапец има същите свойства като обикновения трапец плюс редица специални. Около равнобедрен трапец може да се опише окръжност и да се впише окръжност в него.
Какви са методите за изчисляване на площта на такава фигура? Методът по-долу ще изисква много изчисления. За да го използвате, трябва да знаете стойностите на синуса (sin) и косинуса (cos) на ъгъла в основата на трапеца. За да ги изчислите, са необходими или таблици на Брадис, или инженерен калкулатор. Ето формулата:
S = ° С* грях а*(а - ° С* cos а),
където с- странично бедро, а- ъгъл при долната основа.
Равнобедрен трапец има диагонали еднаква дължина... Обратното също е вярно: ако трапецът има равни диагонали, тогава той е равнобедрен. Оттук следната формула, което помага да се намери площта на трапец - полупродуктът на квадрата на диагоналите от синуса на ъгъла между тях: S = ½ d 2 sin а.
Намерете площта на правоъгълен трапец
Известен е специален случай на правоъгълен трапец. Това е трапец, в който една странична страна (бедрата му) граничи с основите под прав ъгъл. Има свойствата на обикновен трапец. Освен това тя има много интересна характеристика... Разликата между квадратите на диагоналите на такъв трапец е равна на разликата между квадратите на неговите основи. За него се използват всички посочени по-горе методи за изчисляване на площта.
Прилагане на изобретателност
Има един трик, който може да помогне в случай на забравяне на конкретни формули. Нека да разгледаме по-подробно какво е трапец. Ако умствено го разделим на части, тогава получаваме познати и разбираеми геометрични фигури: квадрат или правоъгълник и триъгълник (един или два). Ако знаете височината и страните на трапеца, можете да използвате формулите за площта на триъгълник и правоъгълник и след това да добавите всички получени стойности.
Нека илюстрираме това със следния пример. Даден е правоъгълен трапец. Ъгъл C = 45 °, ъгли A, D са 90 °. Горната основа на трапеца е 20 см, височината е 16 см. Необходимо е да се изчисли площта на фигурата.
Тази фигура очевидно се състои от правоъгълник (ако двата ъгъла са 90 °) и триъгълник. Тъй като трапецът е правоъгълен, следователно височината му е равна на страничната му страна, тоест 16 см. Имаме правоъгълник със страни съответно 20 и 16 см. Помислете сега за триъгълник, чийто ъгъл е 45 °. Знаем, че едната му страна е 16 см. Тъй като тази страна е в същото време височината на трапеца (и знаем, че височината пада до основата под прав ъгъл), следователно, вторият ъгъл на триъгълника е 90°. Следователно оставащият ъгъл на триъгълника е 45 °. В резултат на това получаваме правоъгълник равнобедрен триъгълникчиито две страни са еднакви. Това означава, че другата страна на триъгълника е равна на височината, тоест 16 см. Остава да изчислим площта на триъгълника и правоъгълника и да добавим получените стойности.
Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на неговите крака: S = (16 * 16) / 2 = 128. Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговата ширина и дължина: S = 20 * 16 = 320. Намерихме необходимото: площта на трапеца S = 128 + 320 = 448 кв. вижте. Можете лесно да се проверите отново, като използвате горните формули, отговорът ще бъде идентичен.
Използване на формулата на Pick
И накрая, представяме още една оригинална формула, която помага да се намери площта на трапец. Нарича се формула на Пик. Удобно е да го използвате, когато трапецът е нарисуван върху карирана хартия. Подобни задачи често се срещат в материалите на GIA. Изглежда така:
S = M / 2 + N - 1,
в тази формула M е броят на възлите, т.е. пресечните точки на линиите на фигурата с линиите на клетките по границите на трапеца (оранжеви точки на фигурата), N е броят на възлите във фигурата (сини точки). Най-удобно е да го използвате при намиране на площта на неправилен многоъгълник. Въпреки това, колкото по-голям е арсеналът от използвани техники, толкова по-малко грешки и по-добри са резултатите.
Разбира се, предоставената информация не изчерпва видовете и свойствата на трапеца, както и методите за намиране на неговата площ. Тази статия предоставя преглед на най-важните му характеристики. При решаването на геометрични задачи е важно да действате постепенно, да започнете с лесни формули и задачи, последователно да консолидирате разбирането, да преминете към друго ниво на сложност.
Събирането на най-често срещаните формули ще помогне на учениците да се ориентират по различни начини за изчисляване на площта на трапец и по-добре да се подготвят за тестове и контролни работипо тази тема.
