диференциал х. Функционален диференциал. Геометричното значение на диференциала на функция

Диференциалът на даден аргумент е неговото увеличение dx = ∆ х .

Диференциалът на функция е произведението на производната и приращението на аргумента dy = е ′( х )∙∆ х или dy = е ′( х )∙ dx .

коментар:

Сравнете инкременталния диференциал.

Позволявам ∆ y и ∆x са от същия порядък на малка степен.

Dy и ∆x са от един и същ ред на малка степен, т.е. dy и ∆y са от същия порядък на малка степен.

α∙∆x е безкрайно малка от по-висок порядък на малко от ∆x.

.Диференциалът е основната част от приращението на функцията .

Диференциалът на функция се различава от нарастването на функция с безкрайно малко

по-висок порядък от приращението на аргумента.

Геометричното значение на диференциала на функция.

dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.

Диференциалът е равен на приращението на допирателната ордината.

диференциални свойства.

Диференциалът на сбора е равен на сбора от диференциалите.

д ( u + v) = du + dv.

продуктов диференциал д ( u v ) = ду ∙ v + u dv .

Диференциал на съставна функция.

y = f(u), u = φ(x), dy = y′ х dx=

dy = е ′( u ) ду е инвариантността на формата на диференциала.

Диференциали от по-висок порядък.

dy = е ′(х)∙ dx, следователно

Хиперболични функции.

В много приложения на математическия анализ има комбинации от експоненциални функции.

Определения.

Следните отношения следват от дефинициите на хиперболичните функции:

ch 2 x–sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ. Производни на хиперболични функции.

Теорема на Рол.

Ако функцията е ( х ) е дефиниран и непрекъснат на затворения интервал [ а , б ], има производна във всички вътрешни точки на този интервал и приема равни стойности в краищата на интервала, тогава има поне една такава точка вътре в интервалах = ξ, което е ′(ξ) = 0.

геометричен смисъл.

г

е(а) = е(б), к kas = 0.

А° СБНа гладка дъга [а, б] има такъв момент

е(а) е(б) C, в която допирателната е успоредна на хордата.

а ξ б х

Теоремата на Лагранж (1736-1813, Франция).

Ако функция е дефинирана и непрекъсната на затворен интервал [ а , б ] и има производна във всички вътрешни точки на този интервал, то вътре в този интервал има поне една точка x = ξ, така чее ( б ) – е ( а ) = е ′(ξ)∙( б – а ).

Геометричното значение на теоремата на Лагранж.

И правим гладка дъга AB.

На гладка дъга AB има точка C, в която допирателната е успоредна на хордата AB.

Доказателство.Помислете за функцията Ф(х) = е(х) – λ х. Нека изберем λ така, че да са изпълнени условията на теоремата на Рол.

F(x) е дефиниран и непрекъснат на [ а, б], защото дефинирана и непрекъсната функция е(х),.

Ф′(х) = е ′(х) – λ − съществува,

Нека изберем λ така, че условията Ф(а) = Ф(б), тези. е(а) – λ а = е(б) – λ б,

По теоремата на Рол има такава точка х = ξЄ( а, б), Какво Ф′(ξ) = 0, т.е.

Увеличаваща и намаляваща функция.

Функцията се извиква повишаване на ако по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията.

Ако функцията диференцируеми в дадена точка , тогава приращението му може да се представи като сбор от два члена

. Тези термини са безкрайно малки функции за
.Първият член е линеен по отношение на
, вторият е безкрайно малък по-висок порядък от
.Наистина ли,

.

Така вторият мандат при
клони към нула по-бързо и при намиране на приращение на функцията
първият мандат играе основна роля
или (защото
)
.

Определение . Основна част от функцията приращение
в точката , линейни по отношение на
,наречен диференциал функции в този момент и се обозначаваdyилиdf(х)

. (2)

Така можем да заключим: диференциалът на независима променлива съвпада с нейното приращение, т.е
.

Съотношението (2) сега приема формата

(3)

Коментирайте . Формула (3) за краткост често се записва във формата

(4)

Геометричното значение на диференциала

Разгледайте графиката на диференцируема функция
. точки
и принадлежат на графиката на функцията. В точката Мдопирателна Да секъм графиката на функция, чийто ъгъл с положителната посока на оста
означават с
. Да рисуваме направо MN успоредно на оста вол и
успоредно на оста Ой. Увеличението на функцията е равно на дължината на сегмента
. От правоъгълен триъгълник
, при което
, получаваме

Горните разсъждения ни позволяват да заключим:

Функционален диференциал
в точката се представя чрез увеличение на ординатата на допирателната към графиката на тази функция в съответната точка
.

Връзка между диференциала и производната

Помислете за формула (4)

.

Разделяме двете страни на това равенство на dx, тогава

.

По този начин, производната на функция е равна на отношението на нейния диференциал към диференциала на независимата променлива.

Често това отношение третира се просто като символ, обозначаващ производната на функция припо аргумент х.

Удобна нотация за производната също е:

,
и така нататък.

Използват се и записи

,
,

особено удобно, когато се взема производната на сложен израз.

2. Диференциал на сбор, произведение и частно.

Тъй като диференциалът се получава от производната чрез умножаването му по диференциала на независима променлива, тогава, знаейки производните на основните елементарни функции, както и правилата за намиране на производни, може да се стигне до подобни правила за намиране на диференциали.

1 0 . Диференциалът на константата е нула

.

2 0 . Диференциалът на алгебричната сума на краен брой диференцируеми функции е равен на алгебричния сбор от диференциалите на тези функции

3 0 . Диференциалът на произведението на две диференцируеми функции е равен на сбора от произведенията на първата функция и диференциала на втората и втората функция и диференциала на първата

.

Последствие. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на диференциала

.

Пример. Намерете диференциала на функцията.

Решение Записваме тази функция във формата

,

тогава получаваме

.

4. Функции, зададени параметрично, тяхното диференциране.

Определение . Функция
се нарича параметрично даден, ако и двете променливи х и при се дефинират всяка поотделно като еднозначни функции на една и съща спомагателна променлива - параметъраT:

къдетоTварира в рамките на
.

Коментирайте . Параметричното присвояване на функции е широко използвано в теоретичната механика, където параметърът T обозначава времето и уравненията
са законите за промяна в проекциите на движеща се точка
на ос
и
.

Коментирайте . Представяме параметричните уравнения на окръжност и елипса.

а) Кръг с център в началото и радиуса r има параметрични уравнения:

където
.

б) Нека напишем параметричните уравнения за елипсата:

където
.

Чрез изключване на параметъра T От параметричните уравнения на разглежданите линии може да се стигне до техните канонични уравнения.

Теорема . Ако функцията y от аргумент x се задава параметрично от уравненията
, където
и
диференцируем поTфункции и
, тогава

.

Пример. Намерете производната на функция приот хдадено от параметрични уравнения.

Решение.
.

Приложение

Решаване на диференциални уравнения онлайн на сайта за учениците, за да затвърдят материала, който са изучавали. И практикувайте практическите си умения. Диференциални уравнения онлайн. Difuras онлайн, онлайн математическо решение. Стъпка по стъпка решаване на математически задачи онлайн. Редът или степента на диференциалното уравнение е най-високият ред на производните, включени в него. Диференциални уравнения онлайн. Процесът на решаване на диференциално уравнение се нарича интегриране. Проблемът с интегрирането на диференциално уравнение се счита за решен, ако намирането на неизвестната функция може да се доведе до квадратура, независимо дали полученият интеграл е изразен в крайния вид чрез известни функции или не. Стъпка по стъпка решение на диференциални уравнения онлайн. Всички диференциални уравнения могат да бъдат разделени на обикновени диференциални уравнения (ODE), които включват само функции (и техните производни) на един аргумент, и частни диференциални уравнения (PDE), в които входните функции зависят от много променливи. Диференциални уравнения онлайн. Съществуват и стохастични диференциални уравнения (SDE), включващи случайни процеси. Стъпка по стъпка решение на диференциални уравнения онлайн. В зависимост от комбинациите от производни, функции, независими променливи диференциалните уравнения се делят на линейни и нелинейни, с постоянни или променливи коефициенти, хомогенни или нехомогенни. Поради важността на приложенията, квазилинейните (линейни по отношение на по-високите производни) частни диференциални уравнения са отделени в отделен клас. Решенията на диференциалните уравнения се делят на общи и частни решения. Диференциални уравнения онлайн. Общите решения включват недефинирани константи, а за частни диференциални уравнения, произволни функции на независими променливи, които могат да бъдат прецизирани от допълнителни условия на интегриране (начални условия за обикновени диференциални уравнения, начални и гранични условия за частни диференциални уравнения). Стъпка по стъпка решение на диференциални уравнения онлайн. След определяне на формата на тези постоянни и неопределени функции, решенията стават частни. Търсенето на решения на обикновени диференциални уравнения доведе до създаването на клас от специални функции - функции, често срещани в приложения, които не се изразяват чрез известни елементарни функции. Диференциални уравнения онлайн. Техните свойства бяха подробно проучени, съставени са таблици със стойности, определени взаимовръзки и др. . Наборът от изброени числа може да бъде изследван. Най-добрият отговор на дадения проблем. Как да намерим в първо приближение изходящия вектор към областта на сходимост около диференциалните уравнения, без да изясняваме намерената горна граница. Изборът е очевиден за увеличаване на математическите функции. Има прогресивен метод над нивото на изследване. За да се приведе в съответствие с първоначалното условие на задачата, решението на диференциала ще помогне да се намери еднозначна избрана стойност. Може да се окаже, че той може да определи неизвестното веднага. Както в предишния пример за посочване на решение на математически проблем, линейните диференциални уравнения са отговорът на конкретен проблем в определен период от време. Поддържането на процедурата на изследване не е локално дефинирано. Ще бъде така, че да има пример за всеки ученик и решението на диференциални уравнения ще се определя от лицето, определено към отговорния изпълнител от поне две стойности. Вземете функция с обща стойност на определен сегмент и предупредете по коя ос ще има пролука. След като се изследват диференциалните уравнения онлайн, е възможно недвусмислено да се покаже колко важен е резултатът, ако е предоставен от началните условия. Изрязването на регион от дефиниция на функция е невъзможно, тъй като няма локално определение на задача. Тъй като е намерен от система от уравнения, отговорът съдържа променлива, която може да бъде изчислена в общия смисъл, но естествено ще бъде възможно да се реши диференциално уравнение онлайн без това действие за определяне на споменатото условие. В близост до интервала на сегмента може да се види как онлайн решението на диференциални уравнения е в състояние да придвижи резултата от изследването в положителна посока в момента на прекъсване на знанията на учениците. Най-доброто не винаги се получава от общоприетия подход към бизнеса. На ниво 2x човек може полезно да види всички необходими естествени линейни диференциални уравнения, но способността да се изчисли числова стойност ще доведе до увеличаване на знанията. Според всяка техника в математиката има диференциални уравнения, които са представени в по същество различни изрази, като хомогенни или сложни. След като се извърши общ анализ на изследването на функцията, ще стане ясно, че решението на диференциала като набор от възможности представлява ясна грешка в стойностите. Истината в него се крие в пространството над линиите на абсцисата. Някъде в областта на сложна функция, в определен момент от нейната дефиниция, линейните диференциални уравнения ще могат да представят отговора в аналитична форма. тоест в общи линии като същност. Нищо няма да се промени при промяна на променливата. Необходимо е обаче да се вгледате в отговора с особен интерес. Всъщност калкулаторът променя съотношението в крайна сметка, тоест как решението на диференциалните уравнения е пропорционално на глобалната стойност се посочва в желаното решение. В някои случаи предупреждението за масова грешка е неизбежно. Диференциалните уравнения онлайн реализират обща идея за проблема, но в крайна сметка трябва да предвидите положителните аспекти на кръстосания продукт възможно най-скоро. В математиката случаите на грешки в теорията на числата не са необичайни. Определено трябва да се провери. Естествено, по-добре е да дадете това право на професионалисти в своята област и именно те ще помогнат за решаването на диференциалното уравнение онлайн, тъй като техният опит е колосален и положителен. Разликата в повърхностите на фигурите и площта е такава, че не решението на диференциални уравнения онлайн ще ви позволи да видите, а наборът от непресичащи се обекти е такъв, че линията е успоредна на оста. В резултат на това можете да получите два пъти повече стойности. Като имплицитна, нашата идея за коректността на формалната нотация предвижда линейни диференциални уравнения както в областта на гледане, така и във връзка с умишленото надценяване на качеството на резултата. В рецензията няколко пъти се публикува дискусия по тема, която е интересна за всички ученици. По време на изучаването на пълния курс на лекциите ние ще насочим вниманието си към диференциалните уравнения и свързаните с тях области на изучаване на науката, ако това не противоречи на истината. Много етапи могат да бъдат избегнати в началото на пътуването. Ако диференциалното решение все още е фундаментално нещо ново за учениците, тогава старото изобщо не се забравя, а напредва в бъдещето с висока скорост на развитие. Първоначално условията за задача по математика се различават, но това е посочено в параграфа вдясно. След изтичане на времето, определено по дефиниция, не се изключва възможността за пропорционален зависим резултат в различни равнини на движение на вектора. Такъв прост случай се коригира по същия начин, както линейните диференциални уравнения се описват на калкулатор в общ вид, така че ще бъде по-бързо и изместването на изчисленията няма да доведе до погрешно мнение. Само пет случая, посочени според теорията, могат да разместят границите на случващото се. Нашето решение на диференциални уравнения ще помогне ръчно да се изчисли стойността в числа още на първите етапи на разлагане на функционалното пространство. На правилните места е необходимо да се представи точката на допир на четирите линии в общ смисъл. Но ако трябва да изключите задачата, тогава ще бъде лесно да приравните сложността. Първоначалните данни са достатъчни за проектиране на съседния крак и онлайн диференциалните уравнения изглеждат подравнени вляво и едностранната повърхност е насочена към векторния ротор. Над горната граница са възможни цифрови стойности, надвишаващи посоченото условие. Възможно е да се вземе предвид математическата формула и да се реши диференциалното уравнение онлайн поради три неизвестни в общата стойност на пропорцията. Местният метод на изчисление се признава за валиден. Координатната система е правоъгълна по отношение на движението на равнината. Общото онлайн решение на диференциални уравнения дава възможност недвусмислено да се направи заключение в полза на изчислителното преминаване през дефинициите на матрица на цялата права линия, разположена над графиката на изрично дадена функция. Решението се вижда, ако приложите вектора на движение към точката на контакт на трите полукълба. Цилиндърът се получава чрез завъртане на правоъгълника около страната и линейните диференциални уравнения могат да покажат посоката на движение на точката според дадените изрази на нейния закон за движение. Първоначалните данни са верни и задачата по математика е взаимозаменяема при едно просто условие. Въпреки това, поради обстоятелства, с оглед на сложността на подпроблема за настройка, диференциалните уравнения опростяват процеса на изчисляване на числови пространства на ниво тримерно пространство. Лесно е да се докаже обратното, но е възможно да се избегне, както в примера по-горе. Във висшата математика са предвидени следните точки: когато даден проблем се свежда до опростена форма, към него трябва да се положат възможно най-големите усилия от страна на учениците. Линиите, насложени една върху друга, попадат в отместването. Професионалното диференциално решение все още възобновява предимството на споменатия метод върху крива линия. Ако в началото не разпознаете това, от което се нуждаете, тогава математическата формула ще направи нова стойност на израза. Целта е оптимален подход за решаване на поставените от професора задачи. Не трябва да приемате, че линейните диференциални уравнения в опростен вид ще надвишават очаквания резултат. Поставяме три вектора върху крайно съставена повърхност. ортогонални един към друг. Нека изчислим продукта. Нека извършим добавянето на по-голям брой символи и да изпишем всички променливи на функцията от получения израз. Има пропорция. Няколко действия, предхождащи края на изчислението, няма да дадат еднозначен отговор на решението на диференциалните уравнения веднага, а само след изтичане на определеното време по оста на ординатата. Вляво от точката на прекъсване, дадена имплицитно от функцията, начертаваме ос, ортогонална на най-добрия нарастващ вектор и поставяме онлайн диференциалните уравнения по най-малката гранична стойност на долната граница на математическия обект. Нека добавим допълнителен аргумент в зоната за прекъсване на функцията. Вдясно от точките на извитата линия, написаните от нас формули за свеждане до общ знаменател ще помогнат за решаването на диференциалното уравнение онлайн. Единственият правилен подход е този, който ще хвърли светлина върху нерешените проблеми от теория към практика, в общия случай недвусмислено. Линиите в посоката на координатите на дадените точки никога не са затваряли крайното положение на квадрата, но решението на диференциални уравнения онлайн ще помогне както на студентите, така и на нас, и само начинаещите в тази област, да изучаваме математика. Говорим за възможността за заместване на аргумента стойност във всички значими подредове на едно поле. По принцип, както може да се очаква, нашите линейни диференциални уравнения са нещо изолирано в една концепция за редуцираното значение. За да помогне на студентите, една от най-добрите сред подобни услуги е калкулатор. Преминете през всички курсове и изберете най-добрия за вас.

=

Определение на диференциала

Помислете за функция \(y = f\left(x \right),\), която е непрекъсната в интервала \(\left[ (a,b) \right].\) Да предположим, че в някаква точка \((x_0) \ в \left[ (a,b) \right]\) независимата променлива се увеличава \(\Delta x.\) Инкрементът на функцията \(\Delta y,\), съответстващ на такава промяна в аргумента \(\ Делта x,\) се изразява с формулата \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\ left(((x_0)) \right) .\] За всяка диференцируема функция, приращението \(\Delta y\) може да бъде представено като сбор от два члена: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron \left((\Delta x) \right),\] където първият член (т.нар Главна част инкремент) зависи линейно от приращението \(\Delta x,\) и вторият член има по-висок порядък на малка степен спрямо \(\Delta x.\) Изразът \(A\Delta x\) се нарича функционален диференциал и се обозначава с \(dy\) или \(df\left(((x_0)) \right).\)

Помислете за тази идея за разделяне на увеличението на функцията \(\Delta y\) на две части, като използвате прост пример. Нека е даден квадрат със страна \((x_0) = 1 \,\text(m)\,\) (чертеж \(1\)). Площта му очевидно е \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(m)^2.\] Ако страната на квадрата се увеличи с \(\Delta x = 1\,\text(cm) ,\ ) тогава точната стойност на площта на увеличения квадрат ще бъде \ т.е. увеличение на площта \(\Delta S\) е \[ (\Delta S = S - (S_0) = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\text(m)^2 ) = (201\,\text(cm)^2 .) \] Нека сега представим това увеличение \(\Delta S\) както следва: \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left(((x_0) + \Delta x ) \right)^2) - x_0^2 ) = (\cancel(x_0^2) + 2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) - \ cancel(x_0 ^2) ) = (2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) ) = (A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] x\) и е равно на \ и член от по-висок порядък на малка, от своя страна равен на \[\omicron\left( (\Delta x) \вдясно) = (\left((\Delta x) \right)^2) = (0,01^2) = 0,0001\,\text(m)^2 = 1\,\text(cm) ^2.\] И двата термина се равняват на общо увеличение на квадратната площ, равно на \(200 + 1 = 201\,\text(cm)^2.\)

Обърнете внимание, че в този пример коефициентът \(A\) е равен на стойността на производната на функцията \(S\) в точката \((x_0):\) \ Оказва се, че следното важи за всяко диференцируема функция теорема :

Коефициентът \(A\) на основната част от нарастването на функцията в точката \((x_0)\) е равен на стойността на производната \(f"\left(((x_0)) \right) \) в този момент, т.е. приращението \( \Delta y\) се изразява с формулата \[ (\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (f "\left(((x_0)) \right)\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right).) \] (\Delta x)) = A + \frac((\omicron\left) ((\Delta x) \right)))((\Delta x)) ) = (f"\left(((x_0)) \right ) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \ дясно)))((\Delta x)).) \] \((x_0):\) \[ (y"\left(((x_0)) \right) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (A = f"\left(((x_0)) \right).) \] по-висок порядък на малка степен от \(\Delta x ,\) ограничението е \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)) = 0.\] Ако приемем, че независим променлив диференциал \(dx\) е равно на неговото приращение \(\Delta x:\) \ тогава от отношението \ следва, че \ т.е. Производната на функция може да бъде представена като отношение на два диференциала.

Геометричното значение на диференциала на функция

Фигурата \(2\) схематично показва разбивката на нарастването на функцията \(\Delta y\) в главната част \(A\Delta x\) (функционален диференциал) и члена от по-висок порядък на малка \( \omicron\left((\Delta x )\right)\).

Известно е, че допирателната \(MN\), начертана към кривата на функцията \(y = f\left(x \right)\) в точката \(M\), има наклон \(\alpha\), чийто допирателната е равна на производната : \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] Когато аргументът се промени на \(\Delta x\), допирателната се увеличава \( A\Delta x.\) Това е линеен инкремент, образуван от допирателната, е точно диференциалът на функцията. Останалата част от общото приращение \(\Delta y\) (сегментът \(N(M_1)\) ) съответства на "нелинейно" събиране с по-висок порядък на малко по отношение на \(\Delta x\).

Диференциални свойства

Нека \(u\) и \(v\) са функции на променливата \(x\). Диференциалът има следните свойства:

1. Постоянният коефициент може да бъде изваден от знака на диференциала:

   \(d\left((Cu) \right) = Cdu\), където \(C\) е постоянно число.

2. Диференциална сума (разлика) на функциите:

   \(d\вляво((u \pm v) \вдясно) = du \pm dv.\)

3. Диференциалът на константна стойност е нула:

   \(d\вляво(C \вдясно) = 0.\)

4. Диференциалът на независимата променлива \(x\) е равен на нейното увеличение:

   \(dx = \Delta x.\)

5. Диференциалът на линейна функция е равен на нейното увеличение:

   \(d\left((ax + b) \right) = \Delta \left((ax + b) \right) = a\Delta x.\)

6. Диференциал на произведението на две функции:

   \(d\left((uv) \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)

7. Коефициентният диференциал на две функции:

   \(d\left((\large\frac(u)(v)\normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))(((v^2))) \нормален размер.\)

8. Диференциалът на функция е равен на произведението на производната и диференциала на аргумента:

   \(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)

Както можете да видите, диференциалът на функцията \(dy\) се различава от производната само с коефициента \(dx\). Например, \[ (d\left(((x^n)) \right) = n(x^(n - 1))dx,)\;\; (d\left((\ln x) \right) = \frac((dx))(x),)\;\; (d\left((\sin x) \right) = \cos x dx) \] и т.н.

Инвариантност на диференциалната форма

Помислете за състава на две функции \(y = f\left(u \right)\) и \(u = g\left(x \right),\), т.е. сложна функция \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\) Нейната производна се дава от \[(y"_x) = (y"_u) \cdot (u" _x) ,\] където индексът обозначава променливата, по отношение на която се извършва диференциране.

Диференциалът на "външната" функция \(y = f\left(u \right)\) се записва като \ Диференциалът на "вътрешната" функция \(u = g\left(x \right)\) може да бъде представено по подобен начин: \ Ако заместим \ (du \) в предишната формула, тогава получаваме \ Тъй като \ ((y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x), \) тогава \ Може да се види, че в случай на сложна функция получаваме същата форма на израз за диференциала на функция, както в случая на "проста" функция. Това свойство се нарича диференциална форма инвариантност .