Definición
aceleración centrípeta se llama componente de aceleración total punto material, moviéndose a lo largo de una trayectoria curvilínea, que determina la tasa de cambio en la dirección del vector de velocidad.
El otro componente de la aceleración total es la aceleración tangencial, que es responsable del cambio en la magnitud de la velocidad. Indica la aceleración centrípeta, normalmente $(\overline(a))_n$. La aceleración centrípeta también se llama normal.
La aceleración centrípeta es:
\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\derecha),\]
donde $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ es un vector unitario que se dirige desde el centro de curvatura de la trayectoria hasta el punto considerado; $r$ es el radio de curvatura de la trayectoria en la ubicación del punto material en el momento considerado.
H. Huygens fue el primero en obtener fórmulas correctas para calcular la aceleración centrípeta.
La unidad de aceleración centrípeta en el Sistema Internacional de Unidades es el metro dividido por un segundo al cuadrado:
\[\left=\frac(m)(s^2).\]
La fórmula para la aceleración centrípeta con movimiento uniforme de un punto a lo largo de un círculo
Considere el movimiento uniforme de un punto material a lo largo de un círculo. Con tal desplazamiento, el valor de la velocidad de un punto material no cambia ($v=const$). Pero esto no significa que la aceleración total de un punto material en este tipo de movimiento sea cero. El vector de velocidad instantánea se dirige tangencialmente al círculo a lo largo del cual se mueve el punto. Por lo tanto, en este movimiento, la velocidad cambia constantemente de dirección. De ello se deduce que el punto tiene una aceleración.
Considere los puntos A y B que se encuentran en la trayectoria de la partícula. Encontramos el vector de cambio de velocidad para los puntos A y B como:
\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]
Si el tiempo que se tarda en pasar del punto A al punto B tiende a cero, entonces el arco AB no difiere mucho de la cuerda AB. Los triángulos AOB y BMN son semejantes, obtenemos:
\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\right).\]
El valor del módulo de aceleración promedio se determina como:
\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\right).\]
Pasemos al límite en $\Delta t\to 0\ $ from $\left\langle a\right\rangle \ \ $ en la fórmula (4):
El vector aceleración promedio forma un ángulo igual al vector velocidad:
\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(6\right).\]
Para $\Delta t\to 0\ $ el ángulo es $\alpha \to 0.$ Resulta que el vector de aceleración instantánea forma un ángulo $\frac(\pi)(2)$ con el vector de velocidad.
Y si un punto material que se mueve uniformemente a lo largo de un círculo tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro del círculo ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), su valor es igual a la velocidad al cuadrado dividido por los radios de los círculos:
donde $\omega $ es la velocidad angular del punto material ($v=\omega \cdot R$). En forma vectorial, la fórmula para la aceleración centrípeta se puede escribir con base en (7) como:
\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]
donde $\overline(R)$ es el radio-vector, de longitud igual al radio del arco circular, dirigido desde el centro de curvatura hasta la ubicación del punto material considerado.
Ejemplos de problemas con solución
Ejemplo 1
Ejercicio. Ecuación vectorial $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, donde $\omega =2\ \frac(rad)(c),$ describe el movimiento de un punto material. ¿Cuál es la trayectoria de este punto? ¿Cuál es el módulo de su aceleración centrípeta? Considere que todas las cantidades están en el sistema SI.
Solución. Considere la ecuación de movimiento de un punto:
\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \izquierda(1.1\derecha).\]
En un sistema de coordenadas cartesianas, esta ecuación es equivalente al sistema de ecuaciones:
\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(matriz)\left(1.2\right).\right.\]
Para comprender en qué trayectoria se mueve el punto, debemos excluir el tiempo de las ecuaciones del sistema (1.2). Para ello, elevamos al cuadrado ambas ecuaciones y las sumamos:
De la ecuación (1.3) vemos que la trayectoria del punto es un círculo (Fig. 2) de radio $R=1$ m.
Para encontrar la aceleración centrípeta, usamos la fórmula:
Determinamos el módulo de velocidad utilizando el sistema de ecuaciones (1.2). Encontremos las componentes de la velocidad que son iguales a:
\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]
El cuadrado del módulo de velocidad será igual a:
De lo que resultó ser el módulo de velocidad (1.6), vemos que nuestro punto se mueve uniformemente alrededor del círculo, por lo tanto, la aceleración centrípeta coincidirá con la aceleración total.
Sustituyendo $v^2$ de (1.6) en la fórmula (1.4), tenemos:
Calculemos $a_n$:
$a_n=\frac(4)(1)=4\ \left(\frac(m)(c^2)\right).$
Respuesta. 1) Círculo; 2) $a_n=4\ \frac(m)(c^2)$
Ejemplo 2
Ejercicio.¿Cuál es la aceleración centrípeta de los puntos en el borde del disco en el momento $t=2$c si el disco gira de acuerdo con la ecuación: $\varphi (t)=3+2t^3$? El radio del disco es $R=0,(\rm 1)$ m.
Solución. La aceleración centrípeta de los puntos del disco se buscará aplicando la fórmula:
Encontramos la velocidad angular usando la ecuación $\varphi (t)=3+2t^3$ como:
\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]
Para $t=2\ $c la velocidad angular es:
\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(c)\right).\]
Puedes calcular la aceleración centrípeta usando la fórmula (2.1):
Respuesta.$a_n=57.6\frac(m)(s^2)$
Dos rayos que emanan de él forman un ángulo. Su valor se puede especificar tanto en radianes como en grados. Ahora, a cierta distancia del punto central, dibujemos mentalmente un círculo. La medida del ángulo, expresada en radianes, en este caso es la razón matemática de la longitud del arco L, separados por dos rayos, al valor de la distancia entre punto central y la línea circular (R), es decir:
Si ahora imaginamos el sistema descrito como material, entonces no solo se le pueden aplicar los conceptos de ángulo y radio, sino también la aceleración centrípeta, la rotación, etc. La mayoría de ellos describen el comportamiento de un punto en un círculo giratorio. Por cierto, un disco sólido también se puede representar mediante un conjunto de círculos, cuya diferencia está solo en la distancia desde el centro.
Una de las características de tal sistema giratorio es el período de revolución. Indica el tiempo que tarda un punto de un círculo arbitrario en volver a su posición original o, lo que también es cierto, en girar 360 grados. A una velocidad de rotación constante, la correspondencia es T = (2 * 3,1416) / Ug (en adelante, Ug es el ángulo).
La velocidad de rotación indica el número revoluciones completas ejecutado en 1 segundo. A velocidad constante, obtenemos v = 1 / T.
Depende del tiempo y del llamado ángulo de rotación. Es decir, si tomamos un punto arbitrario A en el círculo como origen, entonces durante la rotación del sistema este punto se desplazará a A1 en el tiempo t, formando un ángulo entre los radios A-centro y A1-centro. Conociendo el tiempo y el ángulo, puedes calcular la velocidad angular.
Y como hay círculo, movimiento y velocidad, entonces también hay aceleración centrípeta. Es uno de los componentes que describen el movimiento en el caso del movimiento curvilíneo. Los términos "normal" y "aceleración centrípeta" son idénticos. La diferencia es que el segundo se usa para describir el movimiento en un círculo cuando el vector de aceleración se dirige hacia el centro del sistema. Por lo tanto, siempre es necesario saber exactamente cómo se mueve el cuerpo (punto) y su aceleración centrípeta. Su definición es la siguiente: es la razón de cambio de la velocidad, cuyo vector se dirige perpendicularmente a la dirección del vector y cambia la dirección de este último. La enciclopedia indica que Huygens se dedicó al estudio de este tema. La fórmula para la aceleración centrípeta propuesta por él se ve así:
Acs = (v*v) / r,
donde r es el radio de curvatura del camino recorrido; v - velocidad de movimiento.
La fórmula mediante la cual se calcula la aceleración centrípeta todavía se debate acaloradamente entre los entusiastas. Por ejemplo, recientemente se expresó una teoría curiosa.
Huygens, considerando el sistema, partió del hecho de que el cuerpo se mueve en un círculo de radio R con una velocidad v medida en el punto inicial A. Dado que el vector de inercia está dirigido a lo largo, una trayectoria en forma de línea recta AB es adquirido. Sin embargo, la fuerza centrípeta mantiene al cuerpo en un círculo en el punto C. Si designamos el centro como O y dibujamos las líneas AB, BO (la suma de BS y CO), así como AO, obtenemos un triángulo. Según la ley de Pitágoras:
BS=(a*(t*t)) / 2, donde a es la aceleración; t - tiempo (a * t * t - esta es la velocidad).
Si ahora usamos la fórmula de Pitágoras, entonces:
R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, donde R es el radio y la ortografía alfanumérica sin el signo de multiplicación es el grado.
Huygens admitió que, dado que el tiempo t es pequeño, puede ignorarse en los cálculos. Habiendo transformado la fórmula anterior, llegó a la conocida Acs = (v * v) / r.
Sin embargo, dado que el tiempo está al cuadrado, se produce una progresión: cuanto mayor es t, mayor es el error. Por ejemplo, para 0,9, casi el valor total del 20% no se tiene en cuenta.
El concepto de aceleración centrípeta es importante para ciencia moderna, pero, obviamente, es demasiado pronto para poner fin a este problema.
Cuando se mueve a lo largo de un círculo con una velocidad lineal constante υ, el cuerpo tiene una aceleración centrípeta constante dirigida hacia el centro del círculo
a c \u003d υ 2 / R, (18)
donde R es el radio del círculo.
Derivación de la fórmula para la aceleración centrípeta
Por definición.
Figura 6 Derivación de la fórmula para la aceleración centrípeta
En la figura, los triángulos formados por los vectores de desplazamientos y velocidades son semejantes. Dado que 
=
= R y 
=
= υ, de la semejanza de triángulos encontramos:
(20)
(21)
Coloquemos el origen en el centro del círculo y elijamos el plano en el que se encuentra el círculo como el plano (x, y). La posición de un punto en un círculo en cualquier momento está determinada únicamente por el ángulo polar φ, medido en radianes (rad), y
x = R cos(φ + φ 0), y = R sen(φ + φ 0), (22)
donde φ 0 define fase inicial(posición inicial de un punto en un círculo en el momento cero del tiempo).
En el caso de rotación uniforme, el ángulo φ, medido en radianes, crece linealmente con el tiempo:
φ = ωt, (23)
donde ω se denomina frecuencia cíclica (circular). Dimensión de la frecuencia cíclica: [ω] = c –1 = Hz.
La frecuencia cíclica es igual al ángulo de rotación (medido en rad) por unidad de tiempo, por lo que también se denomina velocidad angular.
La dependencia de las coordenadas de un punto en un círculo en el tiempo en el caso de rotación uniforme con una frecuencia dada se puede escribir como:
x= R cos(ωt + φ 0), (24)
y = R sen(ωt + φ 0).
El tiempo que tarda en completar una revolución se llama período T.
Frecuencia ν = 1/T. (25)
Unidad de frecuencia: [ν] = s –1 = Hz.
Relación de la frecuencia cíclica con el período y la frecuencia: 2π = ωT, de donde
ω = 2π/T = 2πν. (26)
La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular se encuentra a partir de la igualdad:
2πR = υT, de donde
υ = 2πR/T = ωR. (27)
La expresión para la aceleración centrípeta se puede escribir diferentes caminos, utilizando las relaciones entre velocidad, frecuencia y período:
a c \u003d υ 2 / R \u003d ω 2 R \u003d 4π 2 ν 2 R \u003d 4π 2 R / T 2. (28)
4.6 Relación entre los movimientos de traslación y rotación
Las principales características cinemáticas del movimiento en línea recta con aceleración constante: desplazamiento s, velocidad υ y aceleración a. Características relevantes al moverse en un círculo con radio R: desplazamiento angular φ, velocidad angular ω y aceleración angular ε (si el cuerpo gira a una velocidad variable).
A partir de consideraciones geométricas, se deducen las siguientes relaciones entre estas características:
desplazamiento s → desplazamiento angular φ = s/R;
velocidad υ → velocidad angular ω = υ /R;
aceleración a→ aceleración angular ε = a/R.
Todas las fórmulas para la cinemática del movimiento uniformemente acelerado a lo largo de una línea recta se pueden convertir en fórmulas para la cinemática de rotación a lo largo de un círculo si se realizan los reemplazos indicados. Por ejemplo:
s = υt → φ = ωt, (29)
υ = υ 0 + a t → ω = ω 0 + ε t. (29a)
La relación entre las velocidades lineal y angular de un punto cuando gira alrededor de un círculo se puede escribir en forma vectorial. De hecho, suponga que el círculo con centro en el origen se encuentra en el plano (x, y). En cualquier momento, el vector 
, dibujada desde el origen de coordenadas hasta un punto en el círculo donde se encuentra el cuerpo, es perpendicular al vector de velocidad del cuerpo 
dirigida tangente a la circunferencia en ese punto. Definamos el vector 
, que es igual en valor absoluto a la velocidad angular ω y está dirigida a lo largo del eje de rotación hacia el lado, que está determinada por la regla del tornillo derecho: si atornilla el tornillo de modo que la dirección de su rotación coincida con la dirección de rotación del punto a lo largo del círculo, luego la dirección del movimiento del tornillo muestra la dirección del vector 
. Entonces la conexión de tres vectores mutuamente perpendiculares 
,
y 
se puede escribir usando el producto cruz de vectores.
Nos permite existir en este planeta. ¿Cómo puedes entender lo que constituye la aceleración centrípeta? Definición de esto cantidad física mostrado abajo.
Observaciones
El ejemplo más simple de la aceleración de un cuerpo que se mueve en un círculo se puede observar haciendo girar una piedra en una cuerda. Tiras de la cuerda y la cuerda tira de la roca hacia el centro. En cada momento, la cuerda le da a la piedra una cierta cantidad de movimiento, y cada vez en una nueva dirección. Puedes imaginar el movimiento de la cuerda como una serie de sacudidas débiles. Un tirón, y la cuerda cambia de dirección, otro tirón, otro cambio, y así sucesivamente en un círculo. Si de repente sueltas la cuerda, los tirones se detendrán, y con ellos se detendrá el cambio de dirección de la velocidad. La piedra se moverá en la dirección tangente al círculo. Surge la pregunta: "¿Con qué aceleración se moverá el cuerpo en este instante?"
fórmula para la aceleración centrípeta
En primer lugar, vale la pena señalar que el movimiento del cuerpo en un círculo es complejo. La piedra participa en dos tipos de movimiento al mismo tiempo: bajo la acción de una fuerza, se desplaza hacia el centro de rotación, y al mismo tiempo, tangencialmente al círculo, se aleja de este centro. De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la fuerza que sostiene una piedra en una cuerda se dirige hacia el centro de rotación a lo largo de esa cuerda. El vector de aceleración también estará dirigido allí.
Supongamos que durante un tiempo t, nuestra piedra, moviéndose uniformemente a una velocidad V, llega del punto A al punto B. Supongamos que en el momento en que el cuerpo cruzó el punto B, la fuerza centrípeta dejó de actuar sobre él. Luego, durante un período de tiempo, llegaría al punto K. Se encuentra en la tangente. Si en el mismo momento del tiempo solo actuaran fuerzas centrípetas sobre el cuerpo, entonces en el tiempo t, moviéndose con la misma aceleración, terminaría en el punto O, que está ubicado en una línea recta que representa el diámetro de un círculo. Ambos segmentos son vectores y obedecen la regla de la suma de vectores. Como resultado de la suma de estos dos movimientos durante un tiempo t, obtenemos el movimiento resultante a lo largo del arco AB.
Si el intervalo de tiempo t se toma despreciablemente pequeño, entonces el arco AB diferirá poco de la cuerda AB. Por lo tanto, es posible reemplazar el movimiento a lo largo de un arco con el movimiento a lo largo de una cuerda. En este caso, el movimiento de la piedra a lo largo de la cuerda obedecerá a las leyes movimiento rectilíneo, es decir, la distancia recorrida por AB será igual al producto de la velocidad de la piedra por el tiempo de su movimiento. AB = V x t.
Denotemos la aceleración centrípeta deseada con la letra a. Entonces, el camino recorrido solo bajo la acción de la aceleración centrípeta se puede calcular usando la fórmula del movimiento uniformemente acelerado:
La distancia AB es igual al producto de la velocidad y el tiempo, es decir, AB = V x t,
AO - calculado anteriormente utilizando la fórmula de movimiento uniformemente acelerado para moverse en línea recta: AO = en 2 / 2.
Sustituyendo estos datos en la fórmula y transformándolos, obtenemos una fórmula simple y elegante para la aceleración centrípeta:
En palabras, esto se puede expresar de la siguiente manera: la aceleración centrípeta de un cuerpo que se mueve en un círculo es igual al cociente de dividir la velocidad lineal al cuadrado por el radio del círculo a lo largo del cual gira el cuerpo. La fuerza centrípeta en este caso se verá como la imagen de abajo.
Velocidad angular
La velocidad angular es igual a la velocidad lineal dividida por el radio del círculo. Lo contrario también es cierto: V = ωR, donde ω es la velocidad angular
Si sustituimos este valor en la fórmula, podemos obtener la expresión de la aceleración centrífuga para la velocidad angular. Se verá así:
Aceleración sin cambio de velocidad
Y, sin embargo, ¿por qué un cuerpo con aceleración dirigida hacia el centro no se mueve más rápido y se acerca al centro de rotación? La respuesta está en la propia redacción de la aceleración. Los hechos muestran que el movimiento circular es real, pero que requiere aceleración hacia el centro para mantenerlo. Bajo la acción de la fuerza causada por esta aceleración, hay un cambio en el impulso, como resultado de lo cual la trayectoria del movimiento se curva constantemente, cambiando todo el tiempo la dirección del vector de velocidad, pero sin cambiarlo. valor absoluto. Moviéndose en círculo, nuestra piedra sufrida se precipita hacia adentro, de lo contrario continuaría moviéndose tangencialmente. Cada instante de tiempo, saliendo por la tangente, la piedra es atraída hacia el centro, pero no cae en él. Otro ejemplo de aceleración centrípeta sería un esquiador acuático que hace pequeños círculos en el agua. La figura del atleta está inclinada; parece estar cayendo, continúa moviéndose e inclinándose hacia adelante.
Por tanto, podemos concluir que la aceleración no aumenta la velocidad del cuerpo, ya que los vectores velocidad y aceleración son perpendiculares entre sí. Agregado al vector de velocidad, la aceleración solo cambia la dirección del movimiento y mantiene el cuerpo en órbita.
Margen de seguridad excedido
En la experiencia anterior, tratábamos con una cuerda ideal que no se rompía. Pero, digamos que nuestra cuerda es la más común, e incluso puedes calcular el esfuerzo después del cual simplemente se romperá. Para calcular esta fuerza, basta comparar el margen de seguridad de la cuerda con la carga que experimenta durante la rotación de la piedra. Al hacer girar la piedra más rápido, le estás diciendo gran cantidad movimiento y, por lo tanto, una mayor aceleración.
Con un diámetro de cuerda de yute de unos 20 mm, su resistencia a la tracción es de unos 26 kN. Es de destacar que la longitud de la cuerda no aparece en ninguna parte. Haciendo girar una carga de 1 kg sobre una cuerda de 1 m de radio, podemos calcular que la velocidad lineal necesaria para romperla es de 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m, por lo que la velocidad que es peligroso sobrepasar será ser igual a √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.
Gravedad
Al considerar el experimento, despreciamos la acción de la gravedad, ya que a velocidades tan altas su influencia es insignificantemente pequeña. Pero puedes ver que al desenrollar una cuerda larga, el cuerpo describe una trayectoria más compleja y se acerca gradualmente al suelo.
cuerpos celestiales
Si trasladamos las leyes del movimiento circular al espacio y las aplicamos al movimiento de los cuerpos celestes, podemos redescubrir varias fórmulas conocidas desde hace mucho tiempo. Por ejemplo, la fuerza con la que un cuerpo es atraído hacia la Tierra se conoce por la fórmula:
En nuestro caso, el factor g es la misma aceleración centrípeta que se derivó de la fórmula anterior. Solo en este caso, el papel de la piedra jugará. cuerpo celestial, atraído por la Tierra, y el papel de la cuerda es la fuerza de la gravedad. El factor g se expresará en términos del radio de nuestro planeta y la velocidad de su rotación.
Resultados
La esencia de la aceleración centrípeta es el duro e ingrato trabajo de mantener en órbita un cuerpo en movimiento. Hay un caso paradójico cuando aceleración constante el cuerpo no cambia su velocidad. Para la mente inexperta, tal declaración es bastante paradójica. Sin embargo, al calcular el movimiento de un electrón alrededor del núcleo y al calcular la velocidad de rotación de una estrella alrededor de un agujero negro, la aceleración centrípeta juega un papel importante.
