Módulo de número (valor absoluto de número), definiciones, ejemplos, propiedades. Definición del módulo de un número. El significado geométrico del módulo.

El módulo de número introduce un nuevo concepto en matemáticas. Analicemos en detalle qué es el módulo de un número y cómo trabajar con él.

Considere un ejemplo:

Salimos de la casa a la tienda. Han pasado 300 m, matemáticamente esta expresión se puede escribir como +300, el significado del número 300 del signo "+" no cambiará. La distancia o módulo de un número en matemáticas es el mismo y también se puede escribir de la siguiente manera: |300|=300. El signo del módulo de un número se indica mediante dos líneas verticales.

Y luego en sentido contrario caminamos 200m. Matemáticamente, podemos escribir la ruta de retorno como -200. Pero no decimos así “nos fuimos menos doscientos metros”, aunque volvimos, porque la distancia como cantidad sigue siendo positiva. Para ello, se introdujo en matemáticas el concepto de módulo. Puede escribir la distancia o el módulo de -200 de la siguiente manera: |-200|=200.

Propiedades del módulo.

Definición:
Número de módulo o valor absoluto números es la distancia desde el punto de partida hasta el destino.

El módulo de un número entero distinto de cero es siempre un número positivo.

El módulo se escribe así:

1. El módulo de un número positivo es igual al número mismo.
| un|=a

2. El módulo de un número negativo es igual al número opuesto.
|- un|=a

3. Módulo de cero, igual a cero.
|0|=0

4. Los módulos de números opuestos son iguales.
| un|=|-un|=a

Preguntas relacionadas:
¿Qué es el módulo de un número?
Respuesta: El módulo es la distancia desde el punto de partida hasta el destino.

Si pones un signo "+" delante de un número entero, ¿qué sucede?
Respuesta: el número no cambiará su significado, por ejemplo, 4=+4.

Si pones un signo "-" delante de un número entero, ¿qué sucede?
Respuesta: el número cambiará a, por ejemplo, 4 y -4.

¿Qué números tienen el mismo módulo?
Respuesta: los números positivos y el cero tendrán el mismo módulo. Por ejemplo, 15=|15|.

¿Qué números tienen el módulo - el número opuesto?
respuesta: en números negativos, el módulo será igual al número opuesto. Por ejemplo, |-6|=6.

Ejemplo 1:
Encuentre el módulo de números: a) 0 b) 5 c) -7?

Solución:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Ejemplo #2:
¿Hay dos números distintos cuyos módulos son iguales?

Solución:
|10|=10
|-10|=10

Los módulos de números opuestos son iguales.

Ejemplo #3:
¿Qué dos números opuestos tienen módulo 9?

Solución:
|9|=9
|-9|=9

Respuesta: 9 y -9.

Ejemplo #4:
Haz lo siguiente: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Solución:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Ejemplo #5:
Encuentre: a) módulo del número 2 b) módulo del número 6 c) módulo del número 8 d) módulo del número 1 e) módulo del número 0.
Solución:

a) el módulo del número 2 se denota como |2| o |+2| Esto es lo mismo.
|2|=2

b) el módulo del número 6 se denota como |6| o |+6| Esto es lo mismo.
|6|=6

c) el módulo del número 8 se denota como |8| o |+8| Esto es lo mismo.
|8|=8

d) el módulo del número 1 se denota como |1| o |+1| Esto es lo mismo.
|1|=1

e) el módulo del número 0 se denota como |0|, |+0| o |-0| Esto es lo mismo.
|0|=0

Definición del módulo se puede dar de la siguiente manera: El valor absoluto de un número a(módulo) es la distancia desde el punto que representa el número dado a en la línea de coordenadas, al origen. De la definición se sigue que:

Así, para expandir un módulo, es necesario definir el signo de la expresión del submódulo. Si es positivo, simplemente puede eliminar el signo del módulo. Si la expresión del submódulo es negativa, entonces debe multiplicarse por "menos", y el signo del módulo, nuevamente, no debe escribirse más.

Las principales propiedades del módulo:

Algunos métodos para resolver ecuaciones con módulos

Hay varios tipos de ecuaciones de módulo para las que existe una solución preferida. Donde Por aquí no es el unico Por ejemplo, para una ecuación de la forma:

La forma preferida de resolver sería ir a un agregado:

Y para ecuaciones de la forma:

También puede ir a un conjunto casi similar, pero dado que el módulo solo acepta valores positivos, entonces el lado derecho de la ecuación también debe ser positivo. Esta condición debe agregarse como una restricción general para todo el ejemplo. Entonces obtenemos el sistema:

Ambos tipos de ecuaciones se pueden resolver de otra manera: expandiendo el módulo de manera adecuada en los intervalos donde la expresión del submódulo tiene un signo determinado. En este caso, obtendremos un conjunto de dos sistemas. vamos a traer forma general soluciones obtenidas para ambos tipos de ecuaciones anteriores:

Para resolver ecuaciones en las que se utiliza más de un módulo método de intervalo, que es el siguiente:

• Primero, encontramos los puntos en el eje numérico en los que desaparece cada una de las expresiones debajo del módulo.
• A continuación, dividimos todo el eje numérico en intervalos entre los puntos obtenidos y examinamos el signo de cada una de las expresiones del submódulo en cada intervalo. Tenga en cuenta que para determinar el signo de una expresión, debe sustituir cualquier valor en ella X del intervalo, a excepción de los puntos límite. Elige esos valores X, que son fáciles de sustituir.
• Además, en cada intervalo obtenido, revelamos todos los módulos en la ecuación original de acuerdo con sus signos en este intervalo y resolvemos la ecuación ordinaria resultante. En la respuesta final, escribimos solo aquellas raíces de esta ecuación que caen en el intervalo bajo estudio. Una vez más: llevamos a cabo dicho procedimiento para cada uno de los intervalos obtenidos.

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¿Cómo prepararse con éxito para el CT en Física y Matemáticas?

Para prepararse con éxito para el CT en Física y Matemáticas, entre otras cosas, se deben cumplir tres condiciones críticas:

1. Estudie todos los temas y complete todas las pruebas y tareas dadas en los materiales de estudio en este sitio. Para hacer esto, no necesita nada en absoluto, a saber: dedicar de tres a cuatro horas todos los días a prepararse para el CT en física y matemáticas, estudiar teoría y resolver problemas. El caso es que el CT es un examen donde no basta con saber física o matemáticas, también hay que saber resolver de forma rápida y sin fallos un gran número de tareas para diferentes temas y complejidad variable. Este último solo se puede aprender resolviendo miles de problemas.
2. Aprende todas las fórmulas y leyes de la física, y fórmulas y métodos de las matemáticas. De hecho, también es muy simple hacer esto, solo hay unas 200 fórmulas necesarias en física, e incluso un poco menos en matemáticas. En cada una de estas materias hay alrededor de una docena de métodos estándar para resolver problemas de un nivel básico de complejidad, que también se pueden aprender, y así, de forma totalmente automática y sin dificultad, resolver en el momento adecuado. más CONNECTICUT. Después de eso, solo tendrás que pensar en las tareas más difíciles.
3. Asistir a las tres etapas de las pruebas de ensayo en física y matemáticas. Cada RT se puede visitar dos veces para resolver ambas opciones. Nuevamente, en el DT, además de la capacidad para resolver problemas de manera rápida y eficiente, y el conocimiento de fórmulas y métodos, también es necesario poder planificar adecuadamente el tiempo, distribuir fuerzas y, lo más importante, completar correctamente el formulario de respuesta. , sin confundir ni el número de respuestas y tareas, ni tu propio apellido. Además, durante el RT, es importante acostumbrarse al estilo de hacer preguntas en las tareas, que puede parecer muy inusual para una persona no preparada en el DT.

La implementación exitosa, diligente y responsable de estos tres puntos le permitirá mostrar un excelente resultado en el CT, el máximo de lo que es capaz.

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1. Los módulos de números opuestos son iguales
2. El cuadrado del módulo de un número es igual al cuadrado de este número
3. Raíz cuadrada del cuadrado de un número es el módulo de este número
4. El módulo de un número es un número no negativo
5. Se puede sacar un factor positivo constante del signo del módulo.
6. Si , entonces
7. El módulo del producto de dos (o más) números es igual al producto de sus módulos

Intervalos numéricos

Vecindad de un punto Sea xo cualquier número real (un punto en la recta real). Una vecindad del punto x0 es cualquier intervalo (a; b) que contiene el punto x0. En particular, el intervalo (x o -ε, x o + ε), donde ε > 0, se llama la vecindad ε del punto x o. El número x o se llama el centro.

3 PREGUNTA el concepto de función Una función es tal dependencia de la variable y de la variable x, en la que cada valor de la variable x corresponde a un único valor de la variable y.

La variable x se llama variable independiente o argumento.

La variable y se llama variable dependiente.

Formas de configurar una función

manera tabular. consiste en establecer una tabla de valores de argumentos individuales y sus correspondientes valores de función. Este método para definir una función se usa cuando el dominio de la función es un conjunto finito discreto.

Con el método tabular de especificar una función, es posible calcular aproximadamente los valores de la función que no están contenidos en la tabla, correspondientes a los valores intermedios del argumento. Para hacer esto, use el método de interpolación.

Las ventajas del método tabular para establecer una función son que permite determinar ciertos valores específicos a la vez, sin mediciones o cálculos adicionales. Sin embargo, en algunos casos, la tabla no define la función por completo, sino solo para algunos valores del argumento y no proporciona una representación visual de la naturaleza del cambio en la función dependiendo del cambio en el argumento.

manera gráfica. Gráfico de función y = f(x) es el conjunto de todos los puntos en el plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada.

La forma gráfica de especificar una función no siempre permite determinar con precisión los valores numéricos del argumento. Sin embargo, tiene una gran ventaja sobre otros métodos: la visibilidad. En ingeniería y física, a menudo se usa un método gráfico para establecer una función, y un gráfico es la única forma disponible para esto.

Para que la asignación gráfica de una función sea bastante correcta desde un punto de vista matemático, es necesario indicar la construcción geométrica exacta del gráfico, que, en la mayoría de los casos, viene dada por una ecuación. Esto lleva a la siguiente manera de definir una función.

manera analítica. Para definir una función, debe especificar una forma en la que, para cada valor de argumento, se pueda encontrar el valor de función correspondiente. La más común es la forma de definir una función usando la fórmula y = f (x), donde f (x) es alguna expresión con la variable x. En este caso, decimos que la función está dada por una fórmula o que la función está dada analíticamente.

Para una función dada analíticamente, a veces el dominio de la función no se indica explícitamente. En este caso, se supone que el dominio de la función y \u003d f (x) coincide con el dominio de la expresión f (x), es decir, con el conjunto de aquellos valores de x para los que la expresión f (x) tiene sentido.

Alcance natural de una función

Alcance de la función F es un conjunto X todos los valores del argumento X, sobre el que se define la función.

Para marcar el alcance de una función F se utiliza la forma abreviada D(f).

definición paramétrica implícita explícita de una función

Si la función viene dada por la ecuación y=ƒ(x) resuelta con respecto a y, entonces la función viene dada explícitamente (función explícita).

Bajo asignación implícita Las funciones entienden la asignación de una función en forma de ecuación F(x;y)=0, no permitida con respecto a y.

Cualquier función dada explícitamente y=ƒ(x) puede escribirse como dada implícitamente por la ecuación ƒ(x)-y=0, pero no viceversa.

Objetivos de la lección

Introducir a los estudiantes a un concepto matemático como el módulo de un número;
Enseñar a los escolares las habilidades de encontrar módulos de números;
Consolidar el material estudiado realizando diversas tareas;

Tareas

Consolidar el conocimiento de los niños sobre el módulo del número;
con solución elementos de prueba comprobar cómo los estudiantes aprendieron el material estudiado;
Continuar inculcando interés en las lecciones de matemáticas;
Educar desde los escolares pensamiento lógico, curiosidad y perseverancia.

Plan de estudios

1. Conceptos generales y determinación del módulo del número.
2. sentido geométrico módulo.
3. El módulo del número de sus propiedades.
4. Resolver ecuaciones y desigualdades que contengan el módulo de un número.
5. referencia histórica sobre el término "módulo de un número".
6. Tarea para consolidar el conocimiento del tema tratado.
7. Tarea.

Conceptos generales sobre el módulo de un número

El módulo de un número se suele llamar el número mismo, si no tiene valor negativo, o el mismo número es negativo, pero con el signo opuesto.

Es decir, el módulo de un número real no negativo a es el propio número:

Y, el módulo de un número real negativo x será el número opuesto:

Por escrito, se verá así:

Para una mejor comprensión, tomemos un ejemplo. Entonces, por ejemplo, el módulo del número 3 es 3, y también el módulo del número -3 es 3.

De aquí se sigue que el módulo de un número significa un valor absoluto, es decir, su valor absoluto, pero sin tener en cuenta su signo. Para decirlo aún más simplemente, es necesario descartar el signo del número.

El módulo de un número se puede designar y verse así: |3|, |x|, |a| etc

Entonces, por ejemplo, el módulo del número 3 se denota por |3|.

Además, recuerda que el módulo de un número nunca es negativo: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 etc

El significado geométrico del módulo.

El módulo de un número es la distancia, que se mide en segmentos unitarios desde el origen hasta el punto. Esta definición revela el módulo desde un punto de vista geométrico.

Tomemos una línea de coordenadas y denotemos dos puntos en ella. Deje que estos puntos correspondan a números como -4 y 2.

Ahora echemos un vistazo a esta imagen. Vemos que el punto A indicado en la línea de coordenadas corresponde al número -4, y si te fijas bien, verás que este punto se encuentra a una distancia de 4 segmentos unitarios del punto de referencia 0. De ello se deduce que la longitud del segmento OA es igual a cuatro unidades. En este caso, la longitud del segmento OA, es decir, el número 4 será el módulo del número -4.

Designado y registrado en este caso módulo de un número así: |−4| = 4.

Ahora tome, y en la línea de coordenadas, denote el punto B.

Este punto B corresponderá al número +2 y, como vemos, se encuentra a una distancia de dos segmentos unitarios del origen. De esto se sigue que la longitud del segmento OB es igual a dos unidades. En este caso, el número 2 será el módulo del número +2.

Por escrito se verá así: |+2| = 2 o |2| = 2

Y ahora vamos a resumirlo. Si tomamos un número desconocido a y lo denotamos en la línea de coordenadas por el punto A, entonces en este caso la distancia desde el punto A al origen, es decir, la longitud del segmento OA, es precisamente el módulo del número "a ".

Por escrito se verá así: |a| = O. A.

Módulo del número de sus propiedades

Y ahora intentemos resaltar las propiedades del módulo, consideremos todos los casos posibles y escríbalos usando expresiones literales:

Primero, el módulo de un número es un número no negativo, lo que significa que el módulo de un número positivo es igual al número mismo: |a| = a si a > 0;

En segundo lugar, los módulos que constan de números opuestos son iguales: |a| = |–a|. Es decir, esta propiedad nos dice que los números opuestos siempre tienen módulos iguales, es decir, en la línea de coordenadas, aunque tengan números opuestos, están a la misma distancia del punto de referencia. De esto se sigue que los módulos de estos números opuestos son iguales.

En tercer lugar, el módulo de cero es igual a cero si este número es cero: |0| = 0 si a = 0. Aquí podemos decir con certeza que el módulo de cero es cero por definición, ya que corresponde al origen de la línea de coordenadas.

La cuarta propiedad del módulo es que el módulo del producto de dos números es igual al producto de los módulos de estos números. Ahora echemos un vistazo más de cerca a lo que esto significa. Si sigues la definición, entonces tú y yo sabemos que el módulo del producto de los números a y b será igual a ab, o − (ab), si, a in ≥ 0, o - (a in), si, a in es mayor que 0. En los registros se verá así: |a b| = |un| |b|.

La quinta propiedad es que el módulo del cociente de números es igual a la razón módulos de estos números: |а: b| = |a| : |b|.

Y las siguientes propiedades del módulo del número:

Resolver ecuaciones y desigualdades que contienen el módulo de un número

Al comenzar a resolver problemas que tienen un módulo de un número, se debe recordar que para resolver tal tarea, es necesario revelar el signo del módulo utilizando el conocimiento de las propiedades a las que corresponde este problema.

Ejercicio 1

Entonces, por ejemplo, si debajo del signo del módulo hay una expresión que depende de una variable, entonces el módulo debe expandirse de acuerdo con la definición:

Por supuesto, al resolver problemas, hay casos en los que el módulo se revela sin ambigüedades. Si, por ejemplo, tomamos

, aquí vemos que dicha expresión bajo el signo del módulo no es negativa para ningún valor de x e y.

O, por ejemplo, tomar

, vemos que esta expresión de módulo no es positiva para ningún valor de z.

Tarea 2

Frente a ti hay una línea de coordenadas. En esta línea, es necesario marcar los números, cuyo módulo será igual a 2.

Solución

En primer lugar, debemos dibujar una línea de coordenadas. Ya sabes que para ello, en un principio en una recta hay que elegir el origen, la dirección y el segmento unidad. Luego, necesitamos poner puntos desde el origen que sean iguales a la distancia de dos segmentos unitarios.

Como puede ver, hay dos puntos de este tipo en la línea de coordenadas, uno de los cuales corresponde al número -2 y el otro al número 2.

Información histórica sobre el módulo del número

El término "módulo" proviene de Nombre latino módulo, que traducido significa la palabra "medida". El término fue acuñado por el matemático inglés Roger Cotes. Pero el signo del módulo se introdujo gracias al matemático alemán Karl Weierstrass. Al escribir, un módulo se denota con el siguiente símbolo: | |.

Preguntas para consolidar el conocimiento de la materia.

En la lección de hoy, nos familiarizamos con un concepto como el módulo de un número, y ahora veamos cómo aprendiste este tema respondiendo las preguntas planteadas:

1. ¿Cómo se llama el número que es el opuesto de un número positivo?
2. ¿Cómo se llama el número que es el opuesto de un número negativo?
3. Nombra el número que es el opuesto de cero. ¿Existe tal número?
4. Nombre el número que no puede ser el módulo del número.
5. Defina el módulo de un número.

Tarea

1. Antes de que haya números que debe organizar en orden descendente de módulos. Si completa la tarea correctamente, reconocerá el nombre de la persona que introdujo por primera vez el término "módulo" en las matemáticas.

2. Dibuja una línea de coordenadas y encuentra la distancia desde M (-5) y K (8) hasta el origen.

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