Construir el punto de intersección de una línea recta con un plano saliente Se reduce a construir una segunda proyección de un punto en un diagrama, ya que una proyección de un punto siempre se encuentra en la traza del plano que se proyecta, porque todo lo que está en el plano que se proyecta se proyecta sobre una de las trazas del plano. En la Fig. 224, A muestra la construcción del punto de intersección de una línea recta E.F. con un plano de un triángulo que se proyecta frontalmente A B C(perpendicular al plano V) al avión V triángulo A B C se proyecta en el segmento C.A" recta y punto A" también estará en esta línea y estará en el punto de intersección e"f Con C.A". Una proyección horizontal se construye utilizando una línea de conexión de proyección. Visibilidad de una línea recta con respecto al plano del triángulo. A B C determinado por la posición relativa de las proyecciones del triángulo A B C y recto E.F. en la superficie v. Dirección de visión en la Fig. 224, A indicado por una flecha. Será visible aquel tramo de la línea recta cuya proyección frontal está por encima de la proyección del triángulo. A la izquierda del punto A" la proyección de la línea está por encima de la proyección del triángulo, por lo tanto, en el plano norte esta zona es visible.
En la Fig. 224, b derecho E.F. intersecta el plano horizontal r. proyección frontal A" puntos A- puntos de intersección de una línea E.F. con el plano P - estará en el punto de intersección de la proyección e" F"con un rastro del avión PV, ya que el plano horizontal es un plano que se proyecta frontalmente. Proyección horizontal k puntos A encontrado utilizando una línea de comunicación de proyección.
Construyendo la línea de intersección de dos planos. Se reduce a encontrar dos puntos comunes a estos dos planos. Para construir una línea de intersección, esto es suficiente, ya que la línea de intersección es una línea recta y una línea recta está definida por dos puntos. Cuando el plano de proyección se cruza con el plano. posición general una de las proyecciones de la línea de intersección coincide con la traza del plano ubicado en el plano de proyección al que es perpendicular el plano de proyección. En la Fig. 225, A proyección frontal t"p" líneas de intersección Minnesota coincide con el rastro PV plano de proyección frontal R, y en la Fig. 225, b proyección horizontal kl coincide con la traza del plano que se proyecta horizontalmente r. Otras proyecciones de la línea de intersección se construyen utilizando líneas de enlace de proyección.
Construir el punto de intersección de una recta con un plano general.(Figura 226, A) realizado utilizando un plano de proyección auxiliar R, que se traza a través de esta línea recta E.F. Construyendo una línea de intersección 12 avión auxiliar R. con un plano triangular dado A B C, subirse al avión R dos rectas: E.F.- línea recta dada y 12 - línea de intersección construida que se cruza en un punto k.
Encontrar proyecciones de un punto. A mostrado en la Fig. 226, b. Las construcciones se llevan a cabo en la siguiente secuencia.
Vía directa E.F. dibujar un plano de proyección horizontal auxiliar r. Su rastro Rн coincide con la proyección horizontal ef derecho E.F.
Construyendo una proyección frontal 1 ø 2" líneas de intersección 12 avión R con un plano triangular dado A B C utilizando líneas de comunicación de proyección, ya que se conoce la proyección horizontal de la línea de intersección. Coincide con la traza horizontal. RH avión r.
Determinar la proyección frontal. A" el punto deseado A, que se encuentra en la intersección de la proyección frontal de esta línea con la proyección 1"2" líneas de intersección. La proyección horizontal de un punto se construye mediante una línea de enlace de proyección.
Visibilidad de una línea recta con respecto al plano del triángulo. A B C determinado por el método de puntos en competencia. Para determinar la visibilidad de una línea recta en el plano frontal de proyecciones (Fig.226, b) comparar las coordenadas Y puntos 3 Y 4, cuyas proyecciones frontales coinciden. Coordinar Y puntos 3, acostado en línea recta sol, menos coordinar Y puntos 4, acostado en línea recta E.F. Por lo tanto, el punto 4 está más cerca del observador (la dirección de visión está indicada por la flecha) y la proyección de la línea recta se representa en el plano V visible. La recta pasa por delante del triángulo. A la izquierda del punto A' la recta esta recorrida por el plano del triangulo A B C. La visibilidad en el plano de proyección horizontal se muestra comparando las coordenadas Z de los puntos. 1 Y 5. Porque Z 1 > Z 5, punto 1 visible. Por tanto, a la derecha del punto. 1 (al punto A) derecho E.F. invisible.
Para construir la línea de intersección de dos planos generales se utilizan planos de corte auxiliares. Esto se muestra en la figura. 227, a. Un plano está definido por un triángulo. A B C, el otro - líneas paralelas E.F. Y MINNESOTA. Planos especificados (Fig.227, A) intersecado por un tercer plano auxiliar. Para facilitar la construcción, se toman como planos auxiliares planos horizontales o frontales. EN en este caso avión auxiliar R es un plano horizontal. Intersecta planos dados en líneas rectas. 12 Y 34, que en la intersección dan un punto A, perteneciente a los tres planos y, por tanto, a dos dados, es decir, situado en la línea de intersección de los planos dados. El segundo punto se encuentra usando el segundo plano auxiliar. q. Encontré dos puntos A Y l determinar la línea de intersección de dos planos.
En la Fig. 227, b avión auxiliar R dado por la traza frontal. Proyecciones frontales de líneas de intersección. 1"2" Y 3"4" avión R con planos dados coinciden con la traza frontal RV avión R, desde el avión R perpendicular al plano V, y todo lo que hay en él (incluidas las líneas de intersección) se proyecta sobre su traza frontal Rv. Las proyecciones horizontales de estas líneas se construyen utilizando líneas de conexión de proyección extraídas de las proyecciones frontales de los puntos 1", 2", 3", 4" hasta que se cruzan con las proyecciones horizontales de las líneas correspondientes en los puntos 1, 2, 3, 4. Las proyecciones horizontales construidas de las líneas de intersección se extienden hasta que se cruzan entre sí en el punto k, cual es la proyección horizontal del punto k, perteneciente a la línea de intersección de dos planos. La proyección frontal de este punto está en la traza. Rv.
La tarea requiere encontrar la línea de intersección de dos planos y determinar el tamaño real de uno de ellos por el método de movimiento plano-paralelo.
Para resolver un problema tan clásico en geometría descriptiva, es necesario conocer el siguiente material teórico:
- dibujar proyecciones de puntos espaciales en un dibujo complejo según coordenadas dadas;
— métodos para especificar un plano en un dibujo complejo, un plano general y particular;
— líneas principales del avión;
— determinación del punto de intersección de una línea recta con un plano (hallazgo "puntos de encuentro");
— método de movimiento plano-paralelo para determinar el tamaño natural de una figura plana;
— determinar la visibilidad de líneas rectas y planos en un dibujo utilizando puntos en competencia.
Procedimiento para resolver el problema.
1. Según la opción Asignación utilizando coordenadas de puntos, trazamos dos planos en un dibujo complejo, especificado en forma de triángulos. A B C(A', B', C'; A, B, C) y DKE(D', K', E'; D, K, E) ( Fig.1.1).
Fig.1.1
2 . Para encontrar la línea de intersección usamos método del plano de proyección. Su esencia es que un lado (línea) del primer plano (triángulo) se toma y se incluye en el plano saliente. Se determina el punto de intersección de esta línea con el plano del segundo triángulo. Repitiendo esta tarea nuevamente, pero para la línea del segundo triángulo y el plano del primer triángulo, determinamos el segundo punto de intersección. Dado que los puntos resultantes pertenecen simultáneamente a ambos planos, deben estar en la línea de intersección de estos planos. Conectando estos puntos con una línea recta, tendremos la línea de intersección de los planos deseada.
3. El problema se resuelve de la siguiente manera:
A) encerrar en el plano de proyección F(F’) lado AB(A’ B’) el primer triángulo en el plano frontal de proyecciones V. Marcamos los puntos de intersección del plano saliente con los lados. NS Y Delaware segundo triángulo, obteniendo puntos 1(1') y 2 (2'). Los transferimos a lo largo de líneas de comunicación al plano de proyección horizontal. h a los lados correspondientes del triángulo, punto 1 (1) en el lado Delaware y punto 2(2) en el lado NS.
Fig.1.2
b) conectando las proyecciones de los puntos 1 y 2, tendremos una proyección del plano proyectante. F. Entonces el punto de intersección de la recta AB con el plano del triángulo DKE se determina (según la regla) junto con la intersección de la proyección del plano saliente 1-2 y la proyección de la línea del mismo nombre AB. Así, obtuvimos una proyección horizontal del primer punto de intersección de los planos. METRO, mediante el cual determinamos (proyectamos a lo largo de líneas de comunicación) su proyección frontal – METRO’ en linea recta A’ B’ (Fig.1.2.a);
V) encontramos el segundo punto de manera similar. Lo encerramos en el plano de proyección. GRAMO(GRAMO) lado del segundo triangulo NS(NS) . Marcamos los puntos de intersección del plano saliente con los lados del primer triángulo. C.A.YANTES DE CRISTO. en proyección horizontal, obteniendo proyecciones de puntos 3 y 4. Los proyectamos en los lados correspondientes en el plano frontal, obtenemos 3’ y 4'. Al conectarlos con una línea recta, tenemos la proyección del plano saliente. Entonces el segundo punto de intersección de los planos estará en la intersección de la recta. 3’-4’ con el lado del triangulo D’ k’ , que estaba encerrado en el plano de proyección. Así, obtuvimos una proyección frontal del segundo punto de intersección: norte’ , a lo largo de la línea de comunicación encontramos la proyección horizontal - norte (Fig.1.2.b).
GRAMO) conectando los puntos resultantes Minnesota(Minnesota) Y (METRO’ norte’) en los planos horizontal y frontal, tenemos la línea deseada de intersección de los planos dados.
4. Utilizando puntos en competencia, determinamos la visibilidad de los aviones. Tomemos un par de puntos en competencia, por ejemplo, 1’=5’ en proyección frontal. Los proyectamos sobre los lados correspondientes en el plano horizontal, y obtenemos 1 y 5. Vemos que el punto 1 , acostado de lado Dmi tiene una coordenada grande con respecto al eje X que un punto 5 , acostado de lado AEN. Por tanto, según la regla, cuanto mayor sea la coordenada, el punto 1 y lado del triangulo D'MI’ en el plano frontal será visible. Así, se determina la visibilidad de cada lado del triángulo en los planos horizontal y frontal. Las líneas visibles en los dibujos se dibujan como una línea de contorno continua y las líneas no visibles se dibujan como una línea discontinua. Recuerde que en los puntos de intersección de los planos ( METRO— norte YMETRO’- norte’ ) habrá un cambio en la visibilidad.
Fig.1.3
RFigura 1.4 .
El diagrama muestra además la determinación de la visibilidad en el plano horizontal mediante puntos en competencia. 3 Y 6 en lineas rectas NS Y AB.
5. Utilizando el método de movimiento plano-paralelo, determinamos el tamaño natural del plano del triángulo. A B C, Para qué:
A) en el plano especificado que pasa por un punto C(C) realizar el frontal C— F(CON-FYC’- F’) ;
b) en el campo libre del dibujo en la proyección horizontal tomamos (marcamos) un punto arbitrario C 1, considerando que este es uno de los vértices del triángulo (específicamente el vértice C). Desde allí restauramos la perpendicular al plano frontal (a través de eje x);
Fig.1.5
V) mediante movimiento plano paralelo trasladamos la proyección horizontal del triángulo A B C, a una nueva posición A 1 B 1 C 1 de modo que en la proyección frontal toma una posición de proyección (se transforma en línea recta). Para hacer esto: en la perpendicular desde el punto. C 1, dejar de lado la proyección horizontal frontal C 1 — F 1 (longitud l FQ) obtenemos un punto F 1 . Solución de brújula desde un punto. F 1 tamaño FA hacemos una muesca en arco, y desde el punto C 1 - tamaño de muesca CALIFORNIA., luego en la intersección de las líneas de arco obtenemos un punto A 1 (segundo vértice del triángulo);
- de manera similar entendemos el punto B 1 (desde el punto C 1 hacer una muesca de tamaño C— B(57 mm), y desde el punto F 1 tamaño F— B(90 mm). Tenga en cuenta que con la solución correcta hay tres puntos A 1 F’ 1 Y B’ 1 debe estar en la misma línea recta (lado del triángulo A 1 — B 1 )otros dos lados CON 1 — A 1 Y C 1 — B 1 se obtienen conectando sus vértices;
GRAMO) Del método de rotación se deduce que al mover o girar un punto en algún plano de proyección - en el plano conjugado, la proyección de este punto debe moverse en línea recta, en nuestro caso particular a lo largo de un eje recto paralelo X. Luego sacamos de los puntos. A’ B’ C’ desde la proyección frontal estas líneas rectas (se llaman planos de rotación de puntos), y desde las proyecciones frontales de los puntos desplazados A 1 EN 1C 1 restaurar perpendiculares (líneas de conexión) ( Fig.1.6).
Fig.1.6
La intersección de estas líneas con las correspondientes perpendiculares da nuevas posiciones de la proyección frontal del triángulo. A B C, específicamente A’ 1 EN 1C’ 1 que debería volverse proyectiva (línea recta), ya que la horizontal h 1 dibujamos perpendicular al plano frontal de proyecciones ( Fig.1.6);
5) luego, para obtener el tamaño natural del triángulo, basta con rotar su proyección frontal hasta quedar paralelo al plano horizontal. El giro se realiza mediante un compás a través de un punto. A'1, considerándolo como centro de rotación, colocamos un triángulo A’ 1 EN 1C’ 1 paralelo al eje X, obtenemos A’ 2 A LAS 2C’ 2 . Como se mencionó anteriormente, cuando se gira un punto, en la proyección conjugada (ahora horizontal) se mueven a lo largo de líneas rectas paralelas al eje. X. Omitir perpendiculares (líneas de conexión) de las proyecciones frontales de puntos A’ 2 A LAS 2C’ 2 cruzándolas con las líneas correspondientes encontramos la proyección horizontal del triángulo A B C (A 2 A LAS 2C 2 ) Tamaño real ( Fig.1.7).
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Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o cruzarse; un caso especial de planos que se cruzan son planos mutuamente perpendiculares.
Construir la línea de intersección de planos es una de las principales tareas de la geometría descriptiva, que tiene una gran significado práctico. Pertenece a los llamados posicional tareas.
posicional se llaman problemas para determinar elementos comunes varias formas geométricas de apareamiento. Estos incluyen tareas por pertenecer elementos geométricos y en la intersección objetos geométricos, por ejemplo, la intersección de una línea y un plano con una superficie, la intersección de dos superficies y, en particular, el problema de la intersección de dos planos.
La línea de intersección de dos planos es una línea recta que pertenece simultáneamente a ambos planos que se cruzan.. Por lo tanto, para construir una línea de intersección de planos, es necesario determinar dos puntos de esta línea o un punto y la dirección de la línea de intersección.
Consideremos caso especial intersección de planos cuando uno de ellos se proyecta. En la Fig. 3.6 muestra un plano en posición general, definido por el triángulo ABC y el P que se proyecta horizontalmente. Los dos puntos comunes que pertenecen a ambos planos son los puntos D y E, que determinan la línea de intersección.
Para determinar estos puntos se encontraron los puntos de intersección de los lados AB y BC con el plano saliente. Construir los puntos D y E tanto en el dibujo espacial (Fig. 3.6, a) como en el diagrama (Fig. 3.6, b) no causa dificultades, porque basado en la propiedad colectiva de proyectar huellas de aviones discutidas anteriormente.
Conectando las mismas proyecciones de los puntos D y E, obtenemos las proyecciones de la línea de intersección del plano del triángulo ABC y el plano P. Así, la proyección horizontal D 1 E 1 de la línea de intersección de los planos dados coincide con la proyección horizontal del plano saliente P - con su traza horizontal.
Consideremos caso general intersección cuando ambos planos están en posición general. En la Fig. 3.7. Muestra dos planos genéricos definidos por un triángulo y dos rectas paralelas. Para determinar dos puntos comunes de la línea de intersección de planos, dibujamos dos planos de nivel auxiliares (horizontales) R y T. El plano auxiliar R cruza los planos dados a lo largo de dos horizontales h y h 1, que en su intersección definen el punto 1, común a los planos P y Q, por lo que pertenecen simultáneamente al plano de corte auxiliar R. El segundo plano, el mediador T, también cruza cada uno de los planos dados a lo largo de las horizontales h 2 y h 3, que son paralelas a las dos primeras horizontales. . En la intersección de las líneas horizontales obtenemos el segundo punto común de 2 planos dados. Conectando las proyecciones de estos puntos del mismo nombre en el diagrama (Fig. 3.8, b), obtenemos las proyecciones de la línea de intersección de los planos.
En la Fig. La figura 3.8 muestra dos planos definidos por trazas. Los puntos comunes de los planos son los puntos de intersección de M y N de las mismas trazas. Al conectar las proyecciones de estos puntos del mismo nombre con una línea recta, obtuve las proyecciones de la línea de intersección de los planos.
Si los puntos de intersección de las mismas trazas están fuera del campo de dibujo (ver ejemplo 5), así como en los casos en que los planos no están definidos por trazas, sino por otros elementos geométricos, entonces para determinar la línea de intersección de los planos usted debería usar planos de nivel auxiliar– horizontales o frontales. Cabe señalar que al construir la línea de intersección de los planos especificados por las trazas, el papel de planos de corte auxiliares lo desempeñan los planos de proyección P 1 y P 2.
En la Fig. La figura 3.9 muestra el caso de intersección de dos planos, cuando se conoce la dirección de la línea de intersección, porque el plano P es el plano nivelado (P||P 1). Por tanto, basta con tener un solo punto de intersección de las trazas y luego trazar una línea recta a través de este punto, en función de la posición de los planos y sus trazas. En nuestro caso, la línea de intersección es la NA horizontal común de los planos P y T.
Uno de los problemas fundamentales de la geometría descriptiva es el problema de construir la línea de intersección de dos planos en posición general. Los casos de especificación de planos son diferentes, pero en cualquier caso te encontrarás con una tarea en la que necesitarás construir una línea de intersección de dos planos definidos por triángulos (u otras formas geométricas planas). Propongo considerar ahora un algoritmo para resolver tal problema.
Entonces, se dan dos planos, definidos por los triángulos ABC y DEF. El método se reduce a encontrar alternativamente dos puntos de intersección de dos aristas de un triángulo con el plano de otro. Al conectar estos puntos obtenemos la línea de intersección de dos planos. La construcción del punto de intersección de una recta con un plano se analizó con más detalle en la lección anterior, permítanme recordarles solo las acciones mecánicas:
Encierremos la recta AC en el plano que se proyecta frontalmente y transfiramos a lo largo de las líneas de comunicación a la proyección horizontal los puntos de intersección de este plano con las rectas DE y DF - puntos 1 y 2
En la proyección horizontal conectamos las proyecciones de los puntos 1 y 2 y encontramos el punto de intersección de la recta resultante con la proyección horizontal de la recta que incluimos en el plano frontal, en este caso con la recta AC. Obtuvimos el punto M.
Encierremos la recta BC en el plano que se proyecta frontalmente y transfiramos a lo largo de las líneas de comunicación a la proyección horizontal los puntos de intersección de este plano con las rectas EF y DF - puntos 3 y 4
Conectemos sus proyecciones horizontales y obtengamos el punto de intersección de esta línea con la línea recta BC - punto N.
Al conectar los puntos M y N obtenemos la línea de intersección de los planos definidos por los triángulos. De hecho, ya se ha encontrado la línea de intersección. - Sólo queda determinar la visibilidad de los bordes de los triángulos. Esto se hace utilizando el método de puntos competitivos.
Con la ayuda de los visitantes más atentos del sitio, pudimos encontrar una inexactitud al determinar la visibilidad de los aviones. A continuación se muestra un dibujo en el que se ha corregido la visibilidad de las líneas que limitan los planos en el plano horizontal.
17. Método de sustitución de planos de proyección.
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MÉTODO PARA REEMPLAZAR PLANOS DE PROYECCIÓN |
Cambiar la posición relativa del objeto en estudio y los planos de proyección se logra reemplazando uno de los planos. PAG 1 o PAG 2 nuevos aviones PAG 4 (arroz. 148 ). El nuevo plano siempre se selecciona perpendicular al plano de proyección restante.
Para resolver algunos problemas, puede ser necesario reemplazar dos veces los planos de proyección (Fig. 149 ). El paso consecutivo de un sistema de planos de proyección a otro deberá realizarse siguiendo la siguiente regla: la distancia desde la nueva proyección del punto al nuevo eje debe ser igual a la distancia desde la proyección reemplazada del punto al eje reemplazado.
Problema 1 : Determinar el tamaño natural del segmento. AB Línea recta de disposiciones generales (Fig. 148 ). Por la propiedad de la proyección paralela se sabe que un segmento se proyecta sobre un plano en tamaño completo si es paralelo a este plano.
Elijamos un nuevo plano de proyección. PAG 4 , paralelo al segmento AB y perpendicular al plano PAG 1 . Al introducir un nuevo avión, pasamos del sistema de aviones. PAG 1 PAG 2 en el sistema PAG 1 PAG 4 , y en nuevo sistema Proyección de planos de un segmento. A 4 EN 4 será el valor natural del segmento AB .
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Una recta en el espacio se puede definir como la línea de intersección de dos planos no paralelos y, es decir, como un conjunto de puntos que satisfacen el sistema de dos ecuaciones lineales
(V.5)
La afirmación inversa también es cierta: un sistema de dos ecuaciones lineales independientes de la forma (V.5) define una línea recta como la línea de intersección de planos (si no son paralelos). Las ecuaciones del sistema (V.5) se llaman ecuación general línea recta en el espacio 
.
EjemploV.12 . Componer una ecuación canónica de una recta dada por las ecuaciones generales de planos.
Solución. Para escribir la ecuación canónica de una recta o, lo que es lo mismo, la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario encontrar las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta. Pueden ser los puntos de intersección de una línea recta con dos planos de coordenadas cualesquiera, por ejemplo Oyz Y Oxz.
Punto de intersección de una recta y un plano. Oyz tiene una abscisa 
. Por lo tanto, suponiendo en este sistema de ecuaciones 
, obtenemos un sistema con dos variables:
Su decisión 
,
Juntos con 
define un punto 
la recta deseada. Suponiendo en este sistema de ecuaciones 
, obtenemos el sistema
cuya solución 
,
Juntos con 
define un punto 
intersección de una recta con un plano Oxz.
Ahora escribamos las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos. 
Y 
:
o 
, Dónde 
será el vector director de esta recta.
EjemploV.13.
La línea recta viene dada por la ecuación canónica. 
. Escribe una ecuación general para esta línea.
Solución. La ecuación canónica de una recta se puede escribir como un sistema de dos ecuaciones independientes:
Hemos obtenido la ecuación general de una recta, que ahora viene dada por la intersección de dos planos, uno de los cuales 
paralelo al eje Onz
(
), y el otro 
– ejes UNED
(
).
Esta recta se puede representar como una línea de intersección de otros dos planos escribiendo su ecuación canónica en forma de otro par de ecuaciones independientes:
Comentario . Una misma recta puede definirse mediante diferentes sistemas de dos ecuaciones lineales (es decir, mediante la intersección de diferentes planos, ya que a través de una recta se puede trazar un número infinito de planos), así como mediante diferentes ecuaciones canónicas (dependiendo de la elección de un punto en la recta y su vector director) .
Un vector distinto de cero paralelo a una línea recta, lo llamaremos vector guía .
Deja entrar el espacio tridimensional. 
se da una línea recta yo, pasando por el punto 
, y su vector de dirección 
.
cualquier vector 
, Dónde 
, situado sobre una recta, es colineal con el vector 
, por lo tanto sus coordenadas son proporcionales, es decir
. (V.6)
Esta ecuación se llama ecuación canónica de la recta. En el caso especial cuando ﻉ es un plano, obtenemos la ecuación de una recta en el plano
. (V.7)
EjemploV.14.
Encuentra la ecuación de una recta que pasa por dos puntos. 
,
.
,
Dónde 
,
,
.
Es conveniente escribir la ecuación (V.6) en forma paramétrica. Dado que las coordenadas de los vectores directores de rectas paralelas son proporcionales, entonces, suponiendo
,
Dónde t
- parámetro, 
.
Distancia de un punto a una línea
Considere un espacio euclidiano bidimensional ﻉ con un sistema de coordenadas cartesiano. deja el punto 
ﻉ y yoﻉ. Encontremos la distancia desde este punto a la recta. Pongamos 
, y recto yo dado por la ecuación 
(Figura V.8).
Distancia 
, vector 
, Dónde 
– vector de línea normal yo,
Y 
– colineales, por lo que sus coordenadas son proporcionales, es decir 
, por eso, 
,
.
De aquí 
o multiplicando estas ecuaciones por A Y B respectivamente, y sumándolos, encontramos 
, de aquí
.
(V.8)
determina la distancia desde un punto 
a una línea recta 
.
EjemploV.15.
Encuentra la ecuación de una recta que pasa por un punto. 
perpendicular a una recta yo:
y encontrar la distancia desde 
a una línea recta yo.
De la Fig. V.8 tenemos 
, y el vector normal es recto yo
. De la condición de perpendicularidad tenemos
Porque 
, Eso
. (V.9)
Esta es la ecuación de una recta que pasa por un punto. 
,perpendicular a una recta 
.
Tengamos la ecuación de la recta (V.9) que pasa por el punto 
, perpendicular a la recta yo:
. Encuentra la distancia desde el punto. 
a una línea recta yo, utilizando la fórmula (V.8).
Para encontrar la distancia requerida, basta con encontrar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos. 
y punto 
situada sobre la línea en la base de la perpendicular. Dejar 
, Entonces
Porque 
, y el vector 
, Eso
. (V.11)
Desde el punto 
se encuentra en una línea recta yo, entonces tenemos otra igualdad 
o
Reduzcamos el sistema a una forma conveniente para aplicar el método Cramer.
Su solución tiene la forma
,
. (V.12)
Sustituyendo (V.12) en (V.10), obtenemos la distancia original.
EjemploV.16.
Un punto está dado en un espacio bidimensional. 
y recto 
. encontrar la distancia desde un punto 
a una línea recta; escribe la ecuacion de una recta que pasa por un punto 
perpendicular a una recta dada y encontrar la distancia desde el punto 
a la base de la perpendicular a la línea original.
Por la fórmula (V.8) tenemos
Encontramos la ecuación de una recta que contiene una perpendicular como una recta que pasa por dos puntos 
Y 
, utilizando la fórmula (V.11). Porque 
, entonces, teniendo en cuenta el hecho de que 
, A 
, tenemos
.
para encontrar coordenadas 
tenemos un sistema teniendo en cuenta el hecho de que el punto 
se encuentra en la línea original
Por eso, 
,
, de aquí.
Considere un espacio euclidiano tridimensional ﻉ. deja el punto 
ﻉ y plano ﻉ. Encontremos la distancia desde este punto. 
al plano dado por la ecuación (Fig. V.9).
De manera análoga al espacio bidimensional tenemos 
y vector 
, ah, desde aquí
. (V.13)
Escribimos la ecuación de una recta que contiene una perpendicular al plano como la ecuación de una recta que pasa por dos puntos 
Y 
, tumbado en el avión:
. (V.14)
Para encontrar las coordenadas de un punto. 
a dos igualdades cualesquiera de la fórmula (V.14) le sumamos la ecuación
Resolviendo el sistema de tres ecuaciones (V.14), (V.15), encontramos 
,
,
– coordenadas de puntos 
. Entonces la ecuación de la perpendicular se escribirá en la forma
.
Para encontrar la distancia desde un punto. 
al avión en lugar de la fórmula (V.13) usamos
