Una función se llama par (impar) si para cualquiera y la igualdad 
.
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje 
.
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.
Ejemplo 6.2. Examinar funciones pares o impares
1)
;
2)
;
3)
.
Solución.
1) La función se define con 
. Encontremos 
.
Esos. 
. Medio, función dada incluso.
2) La función está definida para 
Esos. 
. Por lo tanto, esta función es impar.
3) la función está definida para , es decir por
,
. Por lo tanto, la función no es ni par ni impar. Llamémosla una función general.
3. Investigación de una función de monotonicidad.
Función 
se llama creciente (decreciente) en algún intervalo, si en este intervalo cada mayor valor argumento corresponde al valor mayor (menor) de la función.
Las funciones crecientes (decrecientes) en algún intervalo se llaman monótonas.
Si la función 
diferenciable en el intervalo 
y tiene una derivada positiva (negativa) 
, entonces la función 
aumenta (disminuye) en este intervalo.
Ejemplo 6.3. Encuentra intervalos de monotonicidad de funciones.
1)
;
3)
.
Solución.
1) Esta función se define en todo el eje numérico. Encontremos la derivada.
La derivada es cero si 
Y 
. Dominio de definición - eje numérico, dividido por puntos 
,
por intervalos. Determinemos el signo de la derivada en cada intervalo.
en el intervalo 
la derivada es negativa, la función decrece en este intervalo.
en el intervalo 
la derivada es positiva, por lo tanto, la función es creciente en este intervalo.
2) Esta función se define si 
o
.
Determinamos el signo del trinomio cuadrado en cada intervalo.
Así, el alcance de la función
Encontremos la derivada 
,
, si 
, es decir. 
, pero 
. Determinemos el signo de la derivada en los intervalos 
.
en el intervalo 
la derivada es negativa, por lo tanto, la función decrece en el intervalo 
. en el intervalo 
la derivada es positiva, la función crece en el intervalo 
.
4. Investigación de una función para un extremo.
Punto 
se llama el punto máximo (mínimo) de la función 
, si existe tal vecindad del punto 
eso para todos 
este barrio satisface la desigualdad 
.
Los puntos máximos y mínimos de una función se llaman puntos extremos.
Si la función 
en el punto 
tiene un extremo, entonces la derivada de la función en este punto es igual a cero o no existe (condición necesaria para la existencia de un extremo).
Los puntos en los que la derivada es igual a cero o no existe se denominan críticos.
5. Condiciones suficientes para la existencia de un extremum.
Regla 1. Si durante la transición (de izquierda a derecha) a través del punto crítico 
derivado 
cambia el signo de "+" a "-", luego en el punto 
función 
tiene un máximo; si de "-" a "+", entonces el mínimo; si 
no cambia de signo, entonces no hay extremum.
Regla 2. Deja en el punto 
primera derivada de la función 
cero 
, y la segunda derivada existe y es distinta de cero. Si 
, luego 
es el punto máximo, si 
, luego 
es el punto mínimo de la función.
Ejemplo 6.4 . Explore las funciones máximas y mínimas:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Solución.
1) La función es definida y continua en el intervalo 
.
Encontremos la derivada 
y resuelve la ecuacion 
, es decir. 
.de aquí 
son puntos críticos.
Determinemos el signo de la derivada en los intervalos , 
.
Al pasar por puntos 
Y 
la derivada cambia de signo de “–” a “+”, por lo tanto, según la regla 1 
son los puntos mínimos.
Al pasar por un punto 
la derivada cambia el signo de "+" a "-", por lo que 
es el punto máximo.
,
.
2) La función es definida y continua en el intervalo 
. Encontremos la derivada 
.
Al resolver la ecuación 
, encontrar 
Y 
son puntos críticos. Si el denominador 
, es decir. 
, entonces la derivada no existe. Entonces, 
es el tercer punto crítico. Determinemos el signo de la derivada en intervalos.
Por lo tanto, la función tiene un mínimo en el punto 
, máximo en puntos 
Y 
.
3) Una función es definida y continua si 
, es decir. en 
.
Encontremos la derivada 
.
Encontremos los puntos críticos: 
barrios de puntos 
no pertenecen al dominio de definición, por lo que no son extremum t. Así que exploremos los puntos críticos. 
Y 
.
4) La función es definida y continua en el intervalo 
. Usamos la regla 2. Encuentra la derivada 
.
Encontremos los puntos críticos:
Encontremos la segunda derivada 
y determine su signo en los puntos 
en los puntos 
La función tiene un mínimo.
en los puntos 
La función tiene un máximo.
La dependencia de la variable y de la variable x, en la que cada valor de x corresponde a un único valor de y, se denomina función. La notación es y=f(x). Cada función tiene una serie de propiedades básicas, como monotonicidad, paridad, periodicidad y otras.
Considere la propiedad de paridad con más detalle.
Se llama a una función y=f(x) incluso si cumple las siguientes dos condiciones:
2. El valor de la función en el punto x perteneciente al ámbito de la función debe ser igual al valor de la función en el punto -x. Es decir, para cualquier punto x, del dominio de la función, la siguiente igualdad f (x) \u003d f (-x) debe ser cierta.
Gráfica de una función par
Si construyes una gráfica de una función par, será simétrica con respecto al eje y.
Por ejemplo, la función y=x^2 es par. Vamos a ver. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.
Tome un x=3 arbitrario. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Por lo tanto, f(x) = f(-x). Por lo tanto, ambas condiciones se cumplen para nosotros, lo que significa que la función es par. A continuación se muestra un gráfico de la función y=x^2.
La figura muestra que la gráfica es simétrica respecto al eje y.
Gráfica de una función impar
Una función y=f(x) se llama impar si cumple las siguientes dos condiciones:
1. El dominio de la función dada debe ser simétrico con respecto al punto O. Es decir, si algún punto a pertenece al dominio de la función, entonces el punto correspondiente -a también debe pertenecer al dominio de la función dada.
2. Para cualquier punto x, del dominio de la función, se debe cumplir la siguiente igualdad f (x) \u003d -f (x).
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al punto O - el origen. Por ejemplo, la función y=x^3 es impar. Vamos a ver. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.
Tome un x=2 arbitrario. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Por lo tanto f(x) = -f(x). Por lo tanto, ambas condiciones se cumplen para nosotros, lo que significa que la función es impar. A continuación se muestra un gráfico de la función y=x^3.
La figura muestra claramente que incluso función y=x^3 es simétrica respecto al origen.
incluso, si para todo \(x\) de su dominio es cierto: \(f(-x)=f(x)\) .
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje \(y\):
Ejemplo: la función \(f(x)=x^2+\cos x\) es par, porque \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) La función \(f(x)\) se llama impar, si para todo \(x\) de su dominio es cierto: \(f(-x)=-f(x)\) .
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen:
Ejemplo: la función \(f(x)=x^3+x\) es impar porque \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Las funciones que no son ni pares ni impares se llaman funciones vista general. Tal función siempre se puede representar de forma única como la suma de una función par y una impar.
Por ejemplo, la función \(f(x)=x^2-x\) es la suma de una función par \(f_1=x^2\) y una función impar \(f_2=-x\) .
\(\triángulonegroderecho\) Algunas propiedades:
1) El producto y el cociente de dos funciones de la misma paridad es una función par.
2) El producto y el cociente de dos funciones de diferente paridad - Función impar.
3) La suma y diferencia de funciones pares es una función par.
4) La suma y diferencia de funciones impares es una función impar.
5) Si \(f(x)\) es una función par, entonces la ecuación \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) tiene raíz única si y solo si, cuando \(x=0\) .
6) Si \(f(x)\) es una función par o impar, y la ecuación \(f(x)=0\) tiene una raíz \(x=b\), entonces esta ecuación necesariamente tendrá una segunda raíz \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Una función \(f(x)\) se llama periódica en \(X\) si para algún número \(T\ne 0\) tenemos \(f(x)=f(x+ T) \) , donde \(x, x+T\en X\) . El \(T\) más pequeño, para el cual se cumple esta igualdad, se denomina período principal (básico) de la función.
Una función periódica tiene cualquier número de la forma \(nT\) , donde \(n\in \mathbb(Z)\) también será un período.
Ejemplo: cualquier Funcion trigonometrica es periódico;
las funciones \(f(x)=\sin x\) y \(f(x)=\cos x\) período principal es igual a \(2\pi\) , el período principal de las funciones \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) y \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x \) es \ (\pi\) .
Para trazar una función periódica, puede trazar su gráfico en cualquier segmento de longitud \(T\) (período principal); luego la gráfica de toda la función se completa desplazando la parte construida por un número entero de períodos hacia la derecha y hacia la izquierda:
\(\blacktriangleright\) El dominio \(D(f)\) de la función \(f(x)\) es el conjunto formado por todos los valores del argumento \(x\) para los que la función tiene sentido (se define).
Ejemplo: la función \(f(x)=\sqrt x+1\) tiene un dominio de definición: \(x\in
Tarea 1 #6364
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
¿Para qué valores del parámetro \(a\) la ecuación
Tiene única decisión?
Tenga en cuenta que como \(x^2\) y \(\cos x\) son funciones pares, si la ecuación tiene una raíz \(x_0\) , también tendrá una raíz \(-x_0\) .
En efecto, sea \(x_0\) una raíz, es decir, la igualdad \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Correcto. Sustituye \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Por lo tanto, si \(x_0\ne 0\) , entonces la ecuación ya tendrá al menos dos raíces. Por lo tanto, \(x_0=0\) . Luego:
Tenemos dos valores de parámetro \(a\) . Tenga en cuenta que hemos utilizado el hecho de que \(x=0\) es exactamente la raíz de la ecuación original. Pero nunca usamos el hecho de que él es el único. Por lo tanto, es necesario sustituir los valores resultantes del parámetro \(a\) en la ecuación original y verificar para qué \(a\) la raíz \(x=0\) será realmente única.
1) Si \(a=0\) , entonces la ecuación tomará la forma \(2x^2=0\) . Obviamente, esta ecuación tiene una sola raíz \(x=0\) . Por lo tanto, el valor \(a=0\) nos conviene.
2) Si \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , entonces la ecuación toma la forma \ Reescribimos la ecuación en la forma \ Porque \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), luego \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Por tanto, los valores del lado derecho de la ecuación (*) pertenecen al segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Dado que \(x^2\geqslant 0\) , entonces el lado izquierdo de la ecuación (*) es mayor o igual que \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Por lo tanto, la igualdad (*) solo se puede mantener cuando ambos lados de la ecuación son iguales a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Y esto significa que \[\begin(casos) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(casos) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(casos) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(casos)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Por lo tanto, el valor \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nos conviene.
Responder:
\(a\en \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Tarea 2 #3923
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la gráfica de la función \
simétrica respecto al origen.
Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al origen, entonces dicha función es impar, es decir, \(f(-x)=-f(x)\) se cumple para cualquier \(x\) de la función dominio. Por lo tanto, se requiere encontrar aquellos valores de parámetros para los cuales \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(alineado) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(alineado)\]
La última ecuación debe ser válida para todo \(x\) del dominio \(f(x)\) , por lo tanto \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Responder:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Tarea 3 #3069
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \ tiene 4 soluciones, donde \(f\) es una función periódica par con período \(T=\dfrac(16)3\) definido en toda la línea real, y \(f(x)=ax^2\) para \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Tarea de los suscriptores)
Como \(f(x)\) es una función par, su gráfica es simétrica con respecto al eje y, por lo tanto, cuando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Así, en \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), y este es un segmento de longitud \(\dfrac(16)3\) , la función \(f(x)=ax^2\) .
1) Sea \(a>0\) . Entonces la gráfica de la función \(f(x)\) se verá así: 
Entonces, para que la ecuación tenga 4 soluciones, es necesario que la gráfica \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) pase por el punto \(A\) : 
Como consecuencia, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(alineado) \end(reunidos)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(alineados) \end( reunidos)\right.\] Dado que \(a>0\) , entonces \(a=\dfrac(18)(23)\) está bien.
2) Sea \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Necesitamos que la gráfica \(g(x)\) pase por el punto \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(recolectado)\begin(alineado) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(alineado) \end(reunidos)\right.\] Desde un<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) El caso donde \(a=0\) no es adecuado, porque entonces \(f(x)=0\) para todo \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) y The la ecuación solo tendrá 1 raíz.
Responder:
\(a\en \izquierda\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\derecha\)\)
Tarea 4 #3072
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \
tiene al menos una raíz.
(Tarea de los suscriptores)
Reescribimos la ecuación en la forma \
y considere dos funciones: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) y \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
La función \(g(x)\) es par, tiene un punto mínimo \(x=0\) (y \(g(0)=49\) ).
La función \(f(x)\) para \(x>0\) es decreciente, y para \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
De hecho, para \(x>0\) el segundo módulo se expande positivamente (\(|x|=x\) ), por lo tanto, independientemente de cómo se expanda el primer módulo, \(f(x)\) será igual a \ ( kx+A\) , donde \(A\) es una expresión de \(a\) , y \(k\) es igual a \(-9\) o \(-3\) . Para \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Encuentre el valor \(f\) en el punto máximo: \ 
Para que la ecuación tenga al menos una solución, es necesario que las gráficas de las funciones \(f\) y \(g\) tengan al menos un punto de intersección. Por lo tanto, necesitas: \ \\]
Responder:
\(a\en \(-7\)\taza\)
Tarea 5 #3912
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \
tiene seis soluciones diferentes.
Hagamos la sustitución \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Entonces la ecuación tomará la forma \
Escribiremos gradualmente las condiciones bajo las cuales la ecuación original tendrá seis soluciones.
Tenga en cuenta que la ecuación cuadrática \((*)\) puede tener como máximo dos soluciones. Cualquier ecuación cúbica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) no puede tener más de tres soluciones. Por tanto, si la ecuación \((*)\) tiene dos soluciones diferentes (¡positivas!, ya que \(t\) debe ser mayor que cero) \(t_1\) y \(t_2\) , entonces, habiendo hecho lo contrario sustitución, obtenemos: \[\left[\begin(recolectado)\begin(alineado) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(alineado)\end(reunidos)\right.\] Dado que cualquier número positivo puede representarse como \(\sqrt2\) hasta cierto punto, por ejemplo, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), entonces la primera ecuación del conjunto se reescribirá en la forma \
Como ya hemos dicho, cualquier ecuación cúbica no tiene más de tres soluciones, por lo tanto, cada ecuación del conjunto no tendrá más de tres soluciones. Esto significa que todo el conjunto no tendrá más de seis soluciones.
Esto significa que para que la ecuación original tenga seis soluciones, la ecuación cuadrática \((*)\) debe tener dos soluciones diferentes, y cada ecuación cúbica resultante (del conjunto) debe tener tres soluciones diferentes (y no una sola). la solución de una ecuación debe coincidir con la cual, ¡o por decisión de la segunda!)
Obviamente, si la ecuación cuadrática \((*)\) tiene una solución, entonces no obtendremos seis soluciones para la ecuación original.
Por lo tanto, el plan de solución se vuelve claro. Escribamos las condiciones que deben cumplirse punto por punto.
1) Para que la ecuación \((*)\) tenga dos soluciones diferentes, su discriminante debe ser positivo: \
2) También necesitamos que ambas raíces sean positivas (porque \(t>0\) ). Si el producto de dos raíces es positivo y su suma es positiva, entonces las raíces mismas serán positivas. Por lo tanto, necesitas: \[\begin(casos) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(casos)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Por lo tanto, ya nos hemos provisto de dos raíces positivas distintas \(t_1\) y \(t_2\) .
3)
Veamos esta ecuación \
¿Para qué \(t\) tendrá tres soluciones diferentes? Por lo tanto, hemos determinado que ambas raíces de la ecuación \((*)\) deben estar en el intervalo \((1;4)\) . ¿Cómo escribir esta condición? tenía cuatro raíces distintas de cero, que representan junto con \(x=0\) una progresión aritmética. Tenga en cuenta que la función \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) es par, por lo que si \(x_0\) es la raíz de la ecuación \((* )\ ) , entonces \(-x_0\) también será su raíz. Entonces es necesario que las raíces de esta ecuación sean números ordenados en orden ascendente: \(-2d, -d, d, 2d\) (entonces \(d>0\) ). Es entonces que estos cinco números formarán una progresión aritmética (con la diferencia \(d\) ). Para que estas raíces sean los números \(-2d, -d, d, 2d\) , es necesario que los números \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) sean las raíces de la ecuación \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Entonces por el teorema de Vieta: Reescribimos la ecuación en la forma \
y considere dos funciones: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) y \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Para que la ecuación tenga al menos una solución, es necesario que las gráficas de las funciones \(f\) y \(g\) tengan al menos un punto de intersección. Por lo tanto, necesitas: \
Resolviendo este conjunto de sistemas, obtenemos la respuesta: \\]
Responder: \(a\en \(-2\)\taza\) Los gráficos de funciones pares e impares tienen las siguientes características: Si una función es par, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Si una función es impar, entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen. Solución. Considere la función: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) y sustituya \(x \) por el opuesto \(-x \). Como resultado de transformaciones simples, obtenemos: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In en otras palabras, si reemplaza el argumento con el signo opuesto, la función no cambiará. Esto significa que esta función es par y su gráfica será simétrica con respecto al eje y (eje vertical). La gráfica de esta función se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que al trazar un gráfico, solo puede dibujar la mitad y la segunda parte (a la izquierda del eje vertical, dibuje ya simétricamente hacia el lado derecho). Al determinar la simetría de una función antes de comenzar a trazar su gráfico, puede simplificar enormemente el proceso de construcción o estudio de una función. Si es difícil realizar una verificación en forma general, puede hacerlo más fácilmente: sustituya los mismos valores de diferentes signos en la ecuación. Por ejemplo, -5 y 5. Si los valores de la función son iguales, podemos esperar que la función sea par. Desde un punto de vista matemático, este enfoque no es del todo correcto, pero desde un punto de vista práctico, es conveniente. Para aumentar la confiabilidad del resultado, puede sustituir varios pares de valores opuestos. Solución. Comprobemos lo mismo que en el ejemplo anterior: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Esto significa que la función original es impar (el signo de la función está invertido). Conclusión: la función es simétrica con respecto al origen. Puede construir solo una mitad y dibujar la otra mitad simétricamente. Esta simetría es más difícil de dibujar. Esto significa que está mirando el gráfico desde el otro lado de la hoja, e incluso al revés. Y también puede hacer esto: tome la parte dibujada y gírela alrededor del origen 180 grados en sentido contrario a las agujas del reloj. Solución. Realicemos la misma verificación de cambio de signo que en los dos ejemplos anteriores. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Lo que significa que la función no es ni par ni impar . Conclusión: la función no es simétrica ni respecto al origen ni respecto al centro del sistema de coordenadas. Esto sucedió porque es la suma de dos funciones: par e impar. La misma situación será si restas dos funciones diferentes. Pero la multiplicación o la división conducirán a un resultado diferente. Por ejemplo, el producto de una función par e impar da como resultado una función impar. O el cociente de dos impares da como resultado una función par.
Considere la función \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Se puede multiplicar: \
Por lo tanto, sus ceros son: \(x=-1;2\) .
Si encontramos la derivada \(f"(x)=3x^2-6x\) , entonces obtenemos dos puntos extremos \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Por lo tanto, el gráfico queda así: 
Vemos que cualquier recta horizontal \(y=k\) , donde \(0
Por lo tanto, necesita: \[\begin(casos) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Notemos también de inmediato que si los números \(t_1\) y \(t_2\) son diferentes, entonces los números \(\log_(\sqrt2)t_1\) y \(\log_(\sqrt2)t_2\) serán ser diferente, por lo que las ecuaciones \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Y \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) tendrá diferentes raíces.
El sistema \((**)\) se puede reescribir así: \[\begin(casos) 1
No escribiremos explícitamente las raíces.
Considere la función \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Su gráfico es una parábola con ramas hacia arriba, que tiene dos puntos de intersección con el eje de abscisas (escribimos esta condición en el párrafo 1)). ¿Cómo debería verse su gráfica para que los puntos de intersección con el eje de abscisas estén en el intervalo \((1;4)\) ? Entonces: 
En primer lugar, los valores \(g(1)\) y \(g(4)\) de la función en los puntos \(1\) y \(4\) deben ser positivos, y en segundo lugar, el vértice de la parábola \(t_0\ ) también debe estar en el intervalo \((1;4)\) . Por lo tanto, el sistema se puede escribir: \[\begin(casos) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
La función \(g(x)\) tiene un punto máximo \(x=0\) (y \(g_(\texto(arriba))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivada cero: \(x=0\) . Para \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , para \(x>0\) : \(g"<0\)
.
La función \(f(x)\) para \(x>0\) es creciente, y para \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
De hecho, para \(x>0\) el primer módulo se expande positivamente (\(|x|=x\) ), por lo tanto, independientemente de cómo se expanda el segundo módulo, \(f(x)\) será igual a \ ( kx+A\) , donde \(A\) es una expresión de \(a\) , y \(k\) es \(13-10=3\) o \(13+10=23\) . Para \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Encontremos el valor \(f\) en el punto mínimo: \
Ejemplo. Trace la función \(y=x\left|x \right|\).
Ejemplo. Trace la función \(y=x^3+x^2\).
