दशमलव लघुगणक के साथ असमानताओं को कैसे हल करें I लघुगणकीय समीकरण और असमानताएँ। लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीके

पाठ मकसद:

उपदेशात्मक:

• स्तर 1 - लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके सरलतम लघुगणकीय असमानताओं को हल करने का तरीका सिखाने के लिए;
• स्तर 2 - स्वयं एक समाधान विधि चुनकर लघुगणकीय असमानताओं को हल करें;
• स्तर 3 - गैर-मानक स्थितियों में ज्ञान और कौशल को लागू करने में सक्षम होना।

विकसित होना:स्मृति, ध्यान, तार्किक सोच, तुलना कौशल विकसित करना, सामान्यीकरण करने और निष्कर्ष निकालने में सक्षम होना

शैक्षिक:सटीकता लाने के लिए, निष्पादित कार्य के लिए जिम्मेदारी, पारस्परिक सहायता।

शिक्षण विधियों: मौखिक , चित्रमय , व्यावहारिक , आंशिक खोज , स्वयं सरकार , नियंत्रण।

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के आयोजन के रूप: ललाट , व्यक्ति , जोड़े में काम।

उपकरण: समाधान के लिए परीक्षण आइटम, पृष्ठभूमि नोट्स, रिक्त पत्रक का एक सेट।

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।पाठ के विषय और लक्ष्य, पाठ की योजना की घोषणा की जाती है: प्रत्येक छात्र को एक मूल्यांकन पत्रक दिया जाता है, जिसे छात्र पाठ के दौरान भरता है; छात्रों की प्रत्येक जोड़ी के लिए - असाइनमेंट के साथ मुद्रित सामग्री, असाइनमेंट को जोड़े में पूरा किया जाना चाहिए; समाधान के लिए खाली चादरें; समर्थन पत्रक: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ, उसके गुण; लघुगणक के गुण; लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म।

स्व-मूल्यांकन के बाद सभी निर्णय शिक्षक को सौंपे जाते हैं।

छात्र ग्रेड शीट

2. ज्ञान को अद्यतन करना।

शिक्षक निर्देश। एक लघुगणक की परिभाषा, एक लघुगणकीय फलन का आलेख और उसके गुण याद रखें। ऐसा करने के लिए, श्री ए अलीमोव, यू.एम. कोल्यागिन और अन्य द्वारा संपादित पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11" के पृष्ठ 88-90, 98-101 पर पाठ पढ़ें।

विद्यार्थियों को चादरें दी जाती हैं जिन पर लिखा होता है: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फलन, उसके गुणों का ग्राफ दिखाता है; लघुगणक के गुण; लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म, एक लघुगणकीय असमानता को हल करने का एक उदाहरण जो एक वर्ग को कम कर देता है।

3. नई सामग्री सीखना।

लॉगरिदमिक असमानताओं का समाधान लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता पर आधारित है।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

ए) असमानता का क्षेत्र खोजें (उप-लघुगणकीय व्यंजक शून्य से बड़ा है)।
बी) असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक ही आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें (यदि संभव हो)।
सी) निर्धारित करें कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ रहा है या घट रहा है: यदि टी> 1, तो यह बढ़ रहा है; अगर 0 1, फिर घट रहा है।
डी) एक सरल असमानता (सब-लॉगरिदमिक एक्सप्रेशन) पर जाएं, यह ध्यान में रखते हुए कि फ़ंक्शन बढ़ने पर असमानता का चिन्ह बना रहेगा, और घटने पर बदल जाएगा।

सीखने का तत्व # 1.

उद्देश्य: सरलतम लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को ठीक करना

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के आयोजन का रूप: व्यक्तिगत कार्य।

10 मिनट के लिए सेल्फ स्टडी असाइनमेंट। प्रत्येक असमानता के लिए, कई उत्तर विकल्प हैं, आपको सही विकल्प चुनने और कुंजी द्वारा जांच करने की आवश्यकता है।

कुंजी: 13321, अधिकतम अंक - 6 अंक।

सीखने का तत्व # 2।

उद्देश्य: लघुगणक के गुणों को लागू करते हुए, लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को ठीक करना।

शिक्षक निर्देश। लघुगणक के मूल गुणों को याद रखें। ऐसा करने के लिए, पृष्ठ 92, 103-104 पर पाठ्यपुस्तक का पाठ पढ़ें।

10 मिनट के लिए सेल्फ स्टडी असाइनमेंट।

कुंजी: 2113, अधिकतम अंक - 8 अंक।

सीखने का तत्व # 3.

उद्देश्य: वर्ग में कमी की विधि द्वारा लघुगणकीय असमानताओं के समाधान का अध्ययन करना।

शिक्षक के निर्देश: असमानता को वर्ग में कम करने की विधि यह है कि आपको असमानता को इस रूप में बदलने की आवश्यकता है कि कुछ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को एक नए चर द्वारा नामित किया जाता है, इस प्रकार इस चर के संबंध में एक वर्ग असमानता प्राप्त होती है।

आइए रिक्ति विधि लागू करें।

आपने सामग्री को आत्मसात करने के पहले स्तर को पार कर लिया है। अब आपको अपने सभी ज्ञान और क्षमताओं का उपयोग करते हुए, लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए स्वतंत्र रूप से एक विधि चुननी होगी।

लर्निंग एलिमेंट #4.

उद्देश्य: स्वयं एक तर्कसंगत समाधान चुनकर लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को समेकित करना।

10 मिनट के लिए स्व-अध्ययन कार्य

लर्निंग एलिमेंट #5.

शिक्षक निर्देश। बहुत बढ़िया! आपको दूसरे स्तर की कठिनाई के समीकरणों को हल करने में महारत हासिल है। आपके आगे के काम का उद्देश्य अपने ज्ञान और कौशल को अधिक जटिल और गैर-मानक स्थितियों में लागू करना है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

शिक्षक निर्देश। यह बहुत अच्छा है अगर आपने पूरे कार्य का सामना किया है। बहुत बढ़िया!

पूरे पाठ के लिए ग्रेड सभी शैक्षिक तत्वों के लिए प्राप्त अंकों की संख्या पर निर्भर करता है:

• यदि एन 20, तो आपको ग्रेड "5" मिलता है,
• 16 एन ≤ 19 पर - रेटिंग "4",
• 8 एन ≤ 15 - ग्रेड "3" पर,
• एन . पर< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

शिक्षक को मूल्यांकन लोमड़ियों को पास करें।

5. गृहकार्य: यदि आपने 15 पी से अधिक स्कोर नहीं किया है - गलतियों पर काम पूरा करें (शिक्षक से समाधान लिया जा सकता है), यदि आपने 15 पी से अधिक स्कोर किया है - "लॉगरिदमिक असमानता" विषय पर रचनात्मक कार्य पूरा करें।

वे लघुगणक के अंदर हैं।

उदाहरण:

\ (\ log_3⁡x≥ \ log_3⁡9 \)
\ (\ log_3⁡ ((x ^ 2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\ (\ log_ (x + 1) ⁡ ((x ^ 2 + 3x-7))> 2 \)
\ (\ एलजी ^ 2⁡ ((एक्स + 1)) + 10≤11 \ एलजी⁡ ((एक्स + 1)) \)

लॉगरिदमिक असमानताओं को कैसे हल करें:

किसी भी लघुगणकीय असमानता को \ (\ log_a⁡ (f (x)) ˅ \ log_a (⁡g (x)) \) के रूप में कम किया जाना चाहिए (प्रतीक \ (˅ \) का अर्थ है इनमें से कोई भी)। यह फ़ॉर्म आपको लॉगरिदम और उनके आधारों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है, जिससे लॉगरिदम के तहत अभिव्यक्तियों की असमानता में संक्रमण होता है, यानी फॉर्म \ (f (x) g (x) \)।

लेकिन इस संक्रमण को करते समय एक बहुत ही महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है:
\ (- \) यदि एक संख्या है और यह 1 से अधिक है, तो संक्रमण के दौरान असमानता का चिन्ह समान रहता है,
\ (- \) यदि आधार 0 से बड़ी संख्या है, लेकिन 1 से कम है (शून्य और एक के बीच स्थित है), तो असमानता का संकेत उलटा होना चाहिए, यानी।

उदाहरण:

\ (\ log_2⁡ ((8-x))<1\) ओडीजेड: \ (8-x> 0 \) \ (- x> -8 \) \ (एक्स<8\) समाधान: \ (\ लॉग \) \ (_ 2 \) \ ((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \ (8-x \) \ (<\) \(2\) \(8-2\ (x> 6 \) उत्तर: \ ((6; 8) \)

\ (\ लॉग \) \ (_ (0,5⁡) \) \ ((2x-4) \) ≥ \ (\ लॉग \) \ (_ (0,5) \) ⁡ \ ((x + एक))\) ODZ: \ (\ start (केस) 2x-4> 0 \\ x + 1> 0 \ end (केस) \) \ (\ start (केस) 2x> 4 \\ x> -1 \ एंड (केस) \) \ (\ लेफ्टराइटएरो \) \ (\ start (केस) x> 2 \\ x> -1 \ एंड (केस) \) \ (\ बायां तीर \) \ (x \ in (2; \ infty) \) समाधान: \ (2x-4 \) \ (≤ \) \ (x + 1 \) \ (2x-x≤4 + 1 \) \ (x≤5 \) उत्तर: \ ((2; 5] \)

बहोत महत्वपूर्ण!किसी भी असमानता में, फॉर्म \ (\ log_a (⁡f (x)) ˅ \ log_a⁡ (g (x)) \) से लॉगरिदम के तहत अभिव्यक्तियों की तुलना में संक्रमण केवल तभी किया जा सकता है जब:

उदाहरण ... असमानता को हल करें: \ (\ लॉग \) \ (≤-1 \)

समाधान:

\ (\ लॉग \) \ (_ (\ फ़्रेक (1) (3)) ⁡ (\ फ़्रेक (3x-2) (2x-3)) \)\(≤-1\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \ (\ फ़्रेक (3x-2) (2x-3) \) \ (> 0 \)
\ (⁡ \ फ़्रेक (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \)\(≥\) \(0\)	हम कोष्ठक खोलते हैं, हम देते हैं।
\ (⁡ \ फ़्रेक (-3x + 7) (2x-3) \) \ (≥ \) \ (0 \)	हम असमानता को \ (- 1 \) से गुणा करते हैं, तुलना चिह्न को उलटना नहीं भूलते।
\ (⁡ \ फ़्रेक (3x-7) (2x-3) \) \ (≤ \) \ (0 \)
\ (⁡ \ frac (3 (x- \ frac (7) (3))) (2 (x- \ frac (3) (2))) \)\(≤\) \(0\)	आइए एक संख्या अक्ष का निर्माण करें और उस पर \ (\ frac (7) (3) \) और \ (\ frac (3) (2) \) बिंदुओं को चिह्नित करें। ध्यान दें कि इस तथ्य के बावजूद कि असमानता सख्त नहीं है, हर से डॉट पंचर है। मुद्दा यह है कि यह बिंदु समाधान नहीं होगा, क्योंकि जब असमानता में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह हमें शून्य से विभाजन की ओर ले जाएगा।
\ (x∈ (\) \ (\ फ्रैक (3) (2) \) \ (; \) \ (\ फ्रैक (7) (3)] \)	अब, उसी संख्यात्मक अक्ष पर, हम ODZ प्लॉट करते हैं और ODZ में आने वाले अंतराल के जवाब में लिखते हैं।
	हम अंतिम उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: \ (x∈ (\) \ (\ फ्रैक (3) (2) \) \ (; \) \ (\ फ्रैक (7) (3)] \)

उदाहरण ... असमानता को हल करें: \ (\ लॉग ^ 2_3⁡x- \ log_3⁡x-2> 0 \)

समाधान:

\ (\ लॉग ^ 2_3⁡x- \ log_3⁡x-2> 0 \)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \ (एक्स> 0 \)	आइए समाधान के लिए नीचे उतरें।
समाधान: \ (\ लॉग ^ 2_3⁡x- \ log_3⁡x-2> 0 \)	हमारे सामने एक विशिष्ट वर्ग-लघुगणक असमानता है। हम यह करते हैं।
\ (टी = \ log_3⁡x \) \ (टी ^ 2-टी-2> 0 \)	असमानता के बाईं ओर का विस्तार करें।
\ (डी = 1 + 8 = 9 \) \ (t_1 = \ फ़्रेक (1 + 3) (2) = 2 \) \ (t_2 = \ frac (1-3) (2) = - 1 \) \ ((टी + 1) (टी-2)> 0 \)
	अब आपको मूल चर - x पर वापस जाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, एक ही समाधान पर जाएं और रिवर्स प्रतिस्थापन करें।
\ (\ बाएं [\ शुरू (एकत्र) टी> 2 \\ टी<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \ log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	कनवर्ट करें \ (2 = \ log_3⁡9 \), \ (- 1 = \ log_3⁡ \ frac (1) (3) \)।
\ (\ बाएं [\ प्रारंभ (एकत्रित) \ log_3⁡x> \ log_39 \\ \ log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	हम तर्कों की तुलना के लिए संक्रमण करते हैं। लघुगणक के आधार \ (1 \) से बड़े होते हैं, इसलिए असमानताओं का चिह्न नहीं बदलता है।
\ (\ बाएं [\ शुरू (एकत्र) x> 9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए असमानता के समाधान और डीएचएस को एक आकृति में संयोजित करें।
	आइए उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: \ ((0; \ फ्रैक (1) (3)) (9; ) \)

उपयोग में लघुगणक असमानताएँ

सेचिन मिखाइल अलेक्जेंड्रोविच

कजाकिस्तान गणराज्य के छात्र युवाओं की लघु विज्ञान अकादमी "साधक"

MBOU "सोवेत्सकाया माध्यमिक विद्यालय नंबर 1", ग्रेड 11, शहर। सोवेत्स्की सोवेत्स्की जिला

एमबीओयू "सोवियत स्कूल नंबर 1" के शिक्षक गुंको ल्यूडमिला दिमित्रिग्ना

सोवियत जिला

उद्देश्य:लघुगणक के दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करते हुए, गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके लघुगणकीय असमानताओं C3 को हल करने के लिए तंत्र की जांच।

अध्ययन का विषय:

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट लघुगणकीय असमानताओं C3 को हल करना सीखें।

परिणाम:

विषय

परिचय …………………………………………………………………… .4

अध्याय 1. पृष्ठभूमि ………………………………………………… 5

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह ………………………… 7

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि …………… 7

2.2. युक्तिकरण विधि ………………………………………………… 15

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन ………………………………………….. .. ..... 22

2.4. ट्रैप मिशन ………………………………………………… 27

निष्कर्ष ………………………………………………………… 30

साहित्य……………………………………………………………………। 31

परिचय

मैं 11वीं कक्षा में हूं और एक ऐसे विश्वविद्यालय में प्रवेश करने की योजना बना रहा हूं जहां गणित एक विशेष विषय है। इसलिए, मैं भाग सी की समस्याओं के साथ बहुत काम करता हूं। कार्य सी 3 में, आपको गैर-मानक असमानता या असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है, जो आमतौर पर लॉगरिदम से जुड़ी होती है। परीक्षा की तैयारी करते समय, मुझे C3 में प्रस्तावित परीक्षा लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के तरीकों और तकनीकों की कमी की समस्या का सामना करना पड़ा। इस विषय पर स्कूली पाठ्यक्रम में जिन विधियों का अध्ययन किया जाता है, वे कार्य C3 को हल करने के लिए आधार प्रदान नहीं करते हैं। गणित के शिक्षक ने मुझे अपने मार्गदर्शन में C3 कार्यों के साथ काम करने के लिए आमंत्रित किया। इसके अलावा, मुझे इस सवाल में दिलचस्पी थी: क्या हमारे जीवन में लघुगणक होते हैं?

इसे ध्यान में रखते हुए, विषय का चयन किया गया था:

"परीक्षा में लघुगणकीय असमानताएँ"

उद्देश्य:लघुगणक के दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करते हुए, गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके C3 समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र की जांच।

अध्ययन का विषय:

1) लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों के बारे में आवश्यक जानकारी प्राप्त करें।

2) लघुगणक के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करें।

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट C3 समस्याओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

व्यावहारिक महत्व C3 समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र के विस्तार में निहित है। इस सामग्री का उपयोग कुछ पाठों में, मंडलियों के लिए, गणित में पाठ्येतर गतिविधियों के लिए किया जा सकता है।

परियोजना उत्पाद "समाधान के साथ लघुगणक C3 असमानताओं" का संग्रह होगा।

अध्याय 1. पृष्ठभूमि

16वीं शताब्दी के दौरान, अनुमानित गणनाओं की संख्या में तेजी से वृद्धि हुई, मुख्यतः खगोल विज्ञान में। उपकरणों में सुधार, ग्रहों की चाल के अध्ययन और अन्य कार्यों के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होती है, कभी-कभी कई वर्षों तक। अधूरी गणनाओं में खगोल विज्ञान के डूबने का वास्तविक खतरा था। अन्य क्षेत्रों में कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं, उदाहरण के लिए, बीमा व्यवसाय में, ब्याज के विभिन्न मूल्यों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की तालिकाओं की आवश्यकता थी। मुख्य कठिनाई को गुणन, बहुअंकीय संख्याओं के विभाजन, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय मात्राओं द्वारा दर्शाया गया था।

लघुगणक की खोज 16वीं शताब्दी के अंत तक प्रगति के प्रसिद्ध गुणों पर आधारित थी। आर्किमिडीज ने ज्यामितीय प्रगति q, q2, q3, ... के सदस्यों और उनके घातांक 1, 2, 3, ... की अंकगणितीय प्रगति के बीच संबंध के बारे में बताया। एक अन्य शर्त थी डिग्री की अवधारणा का नकारात्मक और भिन्नात्मक संकेतकों तक विस्तार। कई लेखकों ने इंगित किया है कि गुणा, भाग, एक शक्ति में वृद्धि और जड़ की निकासी तेजी से अंकगणित में - उसी क्रम में - जोड़, घटाव, गुणा और भाग में मेल खाती है।

घातांक के रूप में लघुगणक के पीछे यही विचार था।

लघुगणक के सिद्धांत के विकास के इतिहास में कई चरण बीत चुके हैं।

प्रथम चरण

लघुगणक का आविष्कार 1594 के बाद स्वतंत्र रूप से स्कॉटिश बैरन नेपियर (1550-1617) द्वारा और दस साल बाद स्विस मैकेनिक बर्गी (1552-1632) द्वारा किया गया था। दोनों अंकगणितीय गणनाओं का एक नया सुविधाजनक साधन देना चाहते थे, हालाँकि उन्होंने इस समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल किया। नेपर ने कीनेमेटिक रूप से लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को व्यक्त किया और इस प्रकार, कार्यों के सिद्धांत के एक नए क्षेत्र में प्रवेश किया। बरघी असतत प्रगति पर विचार करने के आधार पर बना रहा। हालाँकि, दोनों के लिए लघुगणक की परिभाषा आधुनिक जैसी नहीं है। शब्द "लघुगणक" (लघुगणक) नेपियर से संबंधित है। यह ग्रीक शब्दों के संयोजन से उत्पन्न हुआ: लोगो - "संबंध" और अरीक्मो - "संख्या", जिसका अर्थ "संबंधों की संख्या" था। प्रारंभ में, नेपियर ने एक अलग शब्द का प्रयोग किया: संख्यात्मक कृत्रिम - "कृत्रिम संख्या", संख्यात्मक प्राकृतिक के विपरीत - "प्राकृतिक संख्या"।

1615 में, लंदन के ग्रेश कॉलेज में गणित के प्रोफेसर हेनरी ब्रिग्स (1561-1631) के साथ बातचीत में, नेपियर ने एक के लघुगणक के लिए शून्य और दस के लघुगणक के लिए 100 लेने का प्रस्ताव रखा, या, जो नीचे आता है वही बात, बस 1. इस तरह दशमलव लघुगणक प्रकट हुए और पहली लघुगणक तालिकाएँ मुद्रित की गईं। बाद में, डच पुस्तक विक्रेता और गणितज्ञ एंड्रियन फ्लेक (1600-1667) ने ब्रिग्स तालिकाओं को पूरक बनाया। नेपियर और ब्रिग्स, हालांकि वे किसी और की तुलना में पहले लघुगणक में आए थे, उन्होंने अपनी तालिकाओं को दूसरों की तुलना में बाद में प्रकाशित किया - 1620 में। लॉग और लॉग संकेत 1624 में आई. केप्लर द्वारा पेश किए गए थे। शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" 1659 में मेंगोली द्वारा पेश किया गया था, उसके बाद 1668 में एन। मर्केटर द्वारा, और लंदन के शिक्षक जॉन स्पीडेल ने "न्यू लॉगरिदम" शीर्षक के तहत 1 से 1000 तक की संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रकाशित कीं।

रूसी में, पहली लॉगरिदमिक टेबल 1703 में प्रकाशित हुई थी। लेकिन सभी लघुगणकीय तालिकाओं में गणना में त्रुटियां की गईं। पहली त्रुटि-मुक्त तालिकाएँ 1857 में बर्लिन में प्रकाशित हुईं, जिन्हें जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमिकर (1804-1877) द्वारा संसाधित किया गया था।

चरण 2

लघुगणक के सिद्धांत का आगे विकास विश्लेषणात्मक ज्यामिति के व्यापक अनुप्रयोग और इनफिनिटिमल के कलन के साथ जुड़ा हुआ है। एक समबाहु अतिपरवलय के चतुर्भुज और प्राकृतिक लघुगणक के बीच एक संबंध की स्थापना उस समय की है। इस काल के लघुगणक का सिद्धांत कई गणितज्ञों के नामों से जुड़ा है।

रचना में जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और इंजीनियर निकोलस मर्केटर

"लघुगणक" (1668) एक श्रृंखला देता है जो ln (x + 1) in . का विस्तार देता है

एक्स की शक्तियां:

यह अभिव्यक्ति बिल्कुल उनके विचार की रेखा से मेल खाती है, हालांकि, निश्चित रूप से, उन्होंने डी, ..., लेकिन अधिक बोझिल प्रतीकों का उपयोग नहीं किया। लॉगरिदमिक श्रृंखला की खोज के साथ, लॉगरिदम की गणना करने की तकनीक बदल गई: उन्हें अनंत श्रृंखला का उपयोग करके निर्धारित किया जाने लगा। 1907-1908 में दिए गए अपने व्याख्यान "एलिमेंट्री मैथमेटिक्स फ्रॉम द हाईएस्ट पॉइंट ऑफ़ व्यू" में, एफ। क्लेन ने लघुगणक के सिद्धांत के निर्माण के लिए सूत्र का उपयोग प्रारंभिक बिंदु के रूप में करने का सुझाव दिया।

चरण 3

व्युत्क्रम के एक समारोह के रूप में एक लघुगणकीय कार्य की परिभाषा

घातीय, लघुगणक किसी दिए गए आधार की डिग्री के संकेतक के रूप में

तुरंत तैयार नहीं किया गया था। लियोनार्ड यूलर द्वारा लिखित (1707-1783)

इनफिनिटिमल (1748) के विश्लेषण के लिए एक परिचय ने आगे के रूप में कार्य किया

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के सिद्धांत का विकास। इस तरह,

लॉगरिदम को पहली बार पेश किए 134 साल बीत चुके हैं

(1614 से गिनती) गणितज्ञों की परिभाषा में आने से पहले

लघुगणक की अवधारणा, जो अब स्कूल पाठ्यक्रम का आधार है।

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि।

समतुल्य संक्रमण

अगर एक> 1

अगर 0 < а < 1

सामान्यीकृत अंतराल विधि

लगभग किसी भी प्रकार की असमानताओं को हल करने के लिए यह विधि सबसे बहुमुखी है। समाधान योजना इस तरह दिखती है:

1. असमानता को उस रूप में कम करें जहां फ़ंक्शन बाईं ओर स्थित है
, और दाईं ओर 0.

2. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए
.

3. फ़ंक्शन के शून्य खोजें
, अर्थात्, समीकरण को हल करने के लिए
(और समीकरण को हल करना आमतौर पर असमानता को हल करने से आसान होता है)।

4. संख्या रेखा पर फलन का प्रांत और शून्य खींचिए।

5. फ़ंक्शन के संकेत निर्धारित करें
प्राप्त अंतराल पर।

6. उन अंतरालों का चयन करें जहां फ़ंक्शन आवश्यक मान लेता है, और उत्तर लिखें।

उदाहरण 1।

समाधान:

आइए रिक्ति विधि लागू करें

कहाँ पे

इन मानों के लिए, लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत सभी व्यंजक धनात्मक होते हैं।

उत्तर:

उदाहरण 2।

समाधान:

1 मार्ग . ODZ असमानता द्वारा परिभाषित किया गया है एक्स> 3. ऐसे के लिए लघुगणक लेना एक्सआधार 10, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम असमानता को अपघटन नियमों को लागू करके हल किया जा सकता है, अर्थात। कारकों की तुलना शून्य से करना। हालांकि, इस मामले में, फ़ंक्शन की स्थिरता के अंतराल को निर्धारित करना आसान है

इसलिए रिक्ति विधि लागू की जा सकती है।

समारोह एफ(एक्स) = 2एक्स(एक्स- 3,5) एलजी एक्स- 3ǀ निरंतर है एक्स> 3 और बिंदुओं पर गायब हो जाता है एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 3,5, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 4. इस प्रकार, हम फलन की स्थिरता के अंतराल को परिभाषित करते हैं एफ(एक्स):

उत्तर:

दूसरा रास्ता . आइए हम अंतराल की विधि के विचारों को सीधे मूल असमानता पर लागू करें।

ऐसा करने के लिए, याद रखें कि भाव एबी - एग और ( ए - 1)(बी- 1) एक चिन्ह है। फिर हमारी असमानता एक्स> 3 असमानता के बराबर है

या

अंतिम असमानता अंतराल की विधि द्वारा हल की जाती है

उत्तर:

उदाहरण 3.

समाधान:

आइए रिक्ति विधि लागू करें

उत्तर:

उदाहरण 4.

समाधान:

2 . के बाद से एक्स 2 - 3एक्स+ 3> 0 सभी वास्तविक के लिए एक्स, फिर

दूसरी असमानता को हल करने के लिए, हम अंतराल की विधि का उपयोग करते हैं

पहली असमानता में, हम प्रतिस्थापन करते हैं

तब हम असमिका 2y 2 पर पहुँचते हैं - आप - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те आपजो असमानता को संतुष्ट करता है -0.5< आप < 1.

कहाँ से

हम असमानता प्राप्त करते हैं

जो उनके साथ किया जाता है एक्सजिसके लिए 2 एक्स 2 - 3एक्स - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

अब, प्रणाली की दूसरी असमानता के समाधान को ध्यान में रखते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं

उत्तर:

उदाहरण 5.

समाधान:

असमानता सिस्टम के एक सेट के बराबर है

या

आइए अंतराल की विधि लागू करें या

उत्तर:

उदाहरण 6.

समाधान:

असमानता प्रणाली के बराबर है

होने देना

फिर आप > 0,

और पहली असमानता

सिस्टम रूप लेता है

या विस्तार करके

कारकों द्वारा वर्ग त्रिपद,

अंतराल की विधि को अंतिम असमानता पर लागू करना,

हम देखते हैं कि इसके समाधान स्थिति को संतुष्ट करते हैं आप> 0 सब होगा आप > 4.

इस प्रकार, मूल असमानता प्रणाली के बराबर है:

तो, असमानता के सभी समाधान हैं

2.2. युक्तिकरण की विधि।

पहले, असमानता को युक्तिसंगत बनाने का तरीका हल नहीं किया गया था, यह ज्ञात नहीं था। यह "घातीय और लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एक नया आधुनिक प्रभावी तरीका है" (एस आई कोलेनिकोवा की पुस्तक से उद्धरण)
और अगर शिक्षक उसे जानता भी था, तो आशंका थी - क्या परीक्षक उसे जानता है, और उसे स्कूल में क्यों नहीं दिया जाता है? ऐसे हालात थे जब शिक्षक ने छात्र से कहा: "कहां से मिला? बैठ जाओ - 2।"
विधि अब व्यापक रूप से प्रचारित की जाती है। और विशेषज्ञों के लिए इस पद्धति से जुड़े दिशानिर्देश हैं, और समाधान C3 में "मानक विकल्पों के सबसे पूर्ण संस्करण ..." में इस पद्धति का उपयोग किया जाता है।
अद्भुत तरीका!

"मैजिक टेबल"

अन्य स्रोतों में

अगर a> 1 और b> 1, फिर a b> 0 और (a -1) (b -1)> 0 लॉग करें;

अगर ए> 1 और 0

अगर 0<ए<1 и b >1, फिर एक बी लॉग करें<0 и (a -1)(b -1)<0;

अगर 0<ए<1 и 00 और (ए -1) (बी -1)> 0।

उपरोक्त तर्क सरल है, लेकिन यह लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को स्पष्ट रूप से सरल करता है।

उदाहरण 4.

लॉग एक्स (एक्स 2 -3)<0

समाधान:

उदाहरण 5.

लॉग 2 x (2x 2 -4x +6) log 2 x (x 2 + x)

समाधान:

उत्तर... (0; 0.5) यू.

उदाहरण 6.

इस असमानता को हल करने के लिए, हम हर के बजाय (x-1-1) (x-1), और अंश के बजाय गुणन (x-1) (x-3-9 + x) लिखेंगे।

उत्तर : (3;6)

उदाहरण 7.

उदाहरण 8.

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन।

उदाहरण 1।

उदाहरण 2।

उदाहरण 3.

उदाहरण 4.

उदाहरण 5.

उदाहरण 6.

उदाहरण 7.

लॉग 4 (3 x -1) लॉग 0.25

आइए प्रतिस्थापन करें y = 3 x -1; तब यह असमानता रूप लेती है

लॉग 4 लॉग 0.25
.

चूंकि लॉग 0.25 = -लॉग 4 = - (लॉग 4 y -लॉग 4 16) = 2-लॉग 4 y, फिर अंतिम असमानता को 2log 4 y -log 4 2 y के रूप में फिर से लिखें।

हम परिवर्तन करते हैं t = log 4 y और असमानता t 2 -2t + 0 प्राप्त करते हैं, जिसका समाधान अंतराल है - .

इस प्रकार, y का मान ज्ञात करने के लिए, हमारे पास दो सरल असमानताओं का एक समुच्चय है
इस सेट का हल अंतराल 0 . है<у≤2 и 8≤у<+.

इसलिए, मूल असमानता दो घातीय असमानताओं के संग्रह के बराबर है,
यानी समुच्चय

इस सेट की पहली असमानता का समाधान अंतराल 0 . है<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+... इस प्रकार, मूल असमानता 0 . के अंतराल से x के सभी मानों के लिए है<х≤1 и 2≤х<+.

उदाहरण 8.

समाधान:

असमानता प्रणाली के बराबर है

दूसरी असमानता का समाधान, जो डीएचएस को निर्धारित करता है, उसका समुच्चय होगा एक्स,

जिसके लिए एक्स > 0.

पहली असमानता को हल करने के लिए, हम प्रतिस्थापन करते हैं

तब हम असमानता प्राप्त करते हैं

या

अंतिम असमानता के समाधान का सेट विधि द्वारा पाया जाता है

अंतराल: -1< टी < 2. Откуда, возвращаясь к переменной एक्स, हम पाते हैं

या

उनमें से कई एक्सजो अंतिम असमानता को संतुष्ट करता है

ओडीजेड से संबंधित है ( एक्स> 0), इसलिए, सिस्टम का एक समाधान है

और इसलिए मूल असमानता।

उत्तर:

2.4. जाल के साथ कार्य।

उदाहरण 1।

.

समाधान। ODZ असमानताएँ सभी x हैं जो 0 . की स्थिति को संतुष्ट करती हैं ... अत: अंतराल 0 . से सभी x

उदाहरण 2।

लॉग 2 (2 x + 1-x 2)> लॉग 2 (2 x-1 + 1-x) +1।... ? तथ्य यह है कि दूसरी संख्या स्पष्ट रूप से . से बड़ी है

निष्कर्ष

विभिन्न शैक्षिक स्रोतों की विशाल बहुतायत से C3 समस्याओं को हल करने के लिए विशेष तरीके खोजना आसान नहीं था। किए गए कार्य के दौरान, मैं जटिल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों का अध्ययन करने में सक्षम था। ये हैं: समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि, युक्तिकरण की विधि , गैर-मानक प्रतिस्थापन , ODZ पर ट्रैप के साथ कार्य। ये विधियां स्कूली पाठ्यक्रम में अनुपस्थित हैं।

विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हुए, मैंने भाग सी, अर्थात् सी 3 में परीक्षा में प्रस्तावित 27 असमानताओं को हल किया। विधियों द्वारा समाधान के साथ इन असमानताओं ने "समाधान के साथ लघुगणक C3 असमानता" संग्रह का आधार बनाया, जो मेरे काम का एक परियोजना उत्पाद बन गया। परियोजना की शुरुआत में मैंने जो परिकल्पना प्रस्तुत की थी, उसकी पुष्टि की गई थी: इन विधियों को जानकर, C3 कार्यों को प्रभावी ढंग से हल किया जा सकता है।

इसके अलावा, मुझे लघुगणक के बारे में रोचक तथ्य मिले। यह करना मेरे लिए दिलचस्प था। मेरे डिजाइन उत्पाद छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए उपयोगी होंगे।

निष्कर्ष:

इस प्रकार, परियोजना के निर्धारित लक्ष्य को प्राप्त किया गया है, समस्या का समाधान किया गया है। और मुझे काम के सभी चरणों में परियोजना गतिविधियों में सबसे पूर्ण और बहुमुखी अनुभव मिला। परियोजना पर काम के दौरान, मेरा मुख्य विकासात्मक प्रभाव मानसिक क्षमता, तार्किक मानसिक संचालन से संबंधित गतिविधियों, रचनात्मक क्षमता के विकास, व्यक्तिगत पहल, जिम्मेदारी, दृढ़ता, गतिविधि पर था।

के लिए एक शोध परियोजना बनाते समय सफलता की गारंटी मैं बन गया: महत्वपूर्ण स्कूल अनुभव, विभिन्न स्रोतों से जानकारी निकालने की क्षमता, इसकी विश्वसनीयता की जांच करना, इसे महत्व से रैंक करना।

गणित में प्रत्यक्ष विषय ज्ञान के अलावा, उन्होंने कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में अपने व्यावहारिक कौशल का विस्तार किया, मनोविज्ञान के क्षेत्र में नया ज्ञान और अनुभव प्राप्त किया, सहपाठियों के साथ संपर्क स्थापित किया और वयस्कों के साथ सहयोग करना सीखा। परियोजना गतिविधियों के दौरान, संगठनात्मक, बौद्धिक और संचारी सामान्य शैक्षिक कौशल और क्षमताओं का विकास किया गया।

साहित्य

1. कोर्यानोव ए। जी।, प्रोकोफिव ए। ए। एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली (विशिष्ट कार्य C3)।

2. मल्कोवा ए. जी. गणित में परीक्षा की तैयारी।

3. समरोवा एसएस लॉगरिदमिक असमानताओं का समाधान।

4. गणित। ए.एल. द्वारा संपादित प्रशिक्षण कार्यों का संग्रह। सेमेनोवा और आई.वी. यशचेंको। -एम।: एमटीएसएनएमओ, 2009 .-- 72 पी। -

सभी प्रकार की लघुगणकीय असमानताओं के बीच, चर आधार वाली असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है, जिसे किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी बताया जाता है:

लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1) ∨ 0

"∨" चेकबॉक्स के बजाय, आप कोई असमानता चिह्न लगा सकते हैं: कम या ज्यादा। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इसलिए हम लघुगणक से छुटकारा पाते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता में कम करते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लॉगरिदम छोड़ते समय, अनावश्यक जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजने के लिए पर्याप्त है। यदि आप लघुगणक के ODZ को भूल गए हैं, तो मैं इसे दोहराने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं - "एक लघुगणक क्या है" देखें।

अनुमेय मूल्यों की सीमा से संबंधित सब कुछ अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ (एक्स)> 0; जी (एक्स)> 0; के (एक्स)> 0; के (एक्स) 1.

ये चार असमानताएं एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पाई जाती है, तो इसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ पार करना बाकी है - और उत्तर तैयार है।

कार्य। असमानता को हल करें:

आरंभ करने के लिए, आइए लघुगणक का ODZ लिखें:

पहली दो असमानताएँ अपने आप पूरी हो जाती हैं, और अंतिम का वर्णन करना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य होता है यदि और केवल यदि वह संख्या स्वयं शून्य हो, तो हमें प्राप्त होता है:

एक्स 2 + 1 1;
एक्स 2 0;
एक्स 0.

यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x (−∞ 0) ∪ (0; + ∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम एक लघुगणकीय असमानता से एक तर्कसंगत में संक्रमण करते हैं। मूल असमानता में एक "कम" चिह्न होता है, जिसका अर्थ है कि परिणामी असमानता भी "कम" चिह्न के साथ होनी चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - एक्स) (3 + एक्स) एक्स 2< 0.

इस व्यंजक के शून्यक: x = 3; एक्स = -3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरते समय, फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x (−∞ −3) ∪ (3; + ∞) प्राप्त होता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लॉगरिदमिक असमानताओं को बदलना

अक्सर मूल असमानता ऊपर वाले से भिन्न होती है। लॉगरिदम के साथ काम करने के मानक नियमों के अनुसार इसे ठीक करना आसान है - "लॉगरिदम के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एक लघुगणक से बदला जा सकता है।

मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में भी याद दिलाना चाहूंगा। चूंकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक के लिए ODV ज्ञात करना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का ODV ज्ञात कीजिए;
2. लघुगणक के जोड़ और घटाव के सूत्रों के अनुसार असमानता को मानक एक तक कम करें;
3. ऊपर दी गई योजना के अनुसार परिणामी असमानता को हल करें।

कार्य। असमानता को हल करें:

आइए पहले लघुगणक की परिभाषा का डोमेन (ODZ) खोजें:

हम अंतराल की विधि से हल करते हैं। अंश के शून्य ज्ञात कीजिए:

3x - 2 = 0;
एक्स = 2/3।

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न चिह्नित करते हैं:

हमें x (−∞ 2/3) (1; + ) प्राप्त होता है। ODV का दूसरा लघुगणक समान होगा। अगर आपको विश्वास नहीं है तो आप इसे चेक कर सकते हैं। अब हम दूसरे लघुगणक को रूपांतरित करते हैं ताकि आधार पर दो हों:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक के सामने त्रिक सिकुड़ गए हैं। एक ही आधार के साथ दो लघुगणक प्राप्त किए। हम उन्हें जोड़ते हैं:

लॉग 2 (एक्स - 1) 2< 2;
लॉग 2 (एक्स - 1) 2< log 2 2 2 .

मानक लघुगणक असमानता प्राप्त की। हम सूत्र द्वारा लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूँकि मूल असमानता में चिह्न से कम है, परिणामी परिमेय व्यंजक भी शून्य से कम होना चाहिए। हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) -1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
एक्स 2 - 2x + 1 - 4< 0;
एक्स 2 - 2x - 3< 0;
(एक्स - 3) (एक्स + 1)< 0;
एक्स (−1; 3)।

हमें दो सेट मिले:

1. ओडीजेड: एक्स ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
2. उम्मीदवार का उत्तर: x (−1; 3)।

इन सेटों को पार करना बाकी है - हमें असली जवाब मिलता है:

हम समुच्चयों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए दोनों तीरों पर भरे हुए अंतरालों का चयन करें। हमें x (−1; 2/3) (1; 3) मिलता है - सभी बिंदु पंचर हैं।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते हुए, हम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता की संपत्ति का उपयोग करते हैं। हम लघुगणक और मूल लघुगणक सूत्रों की परिभाषा का भी उपयोग करते हैं।

आइए संक्षेप करें कि लघुगणक क्या हैं:

लोगारित्मएक सकारात्मक आधार संख्या उस डिग्री का संकेतक है जिसे प्राप्त करने के लिए आपको बढ़ाने की आवश्यकता है।

जिसमें

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के लिए बुनियादी सूत्र:

(उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है)

(भागफल का लघुगणक लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है)

(शक्ति के लघुगणक का सूत्र)

नए आधार पर संक्रमण का सूत्र:

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम

हम कह सकते हैं कि लघुगणकीय असमानताओं को एक निश्चित एल्गोरिथम के अनुसार हल किया जाता है। हमें असमानता के स्वीकार्य मूल्यों (एडीवी) की सीमा को लिखने की जरूरत है। असमानता को रूप में कम करें यहाँ चिन्ह कोई भी हो सकता है: यह महत्वपूर्ण है कि असमानता में बाएँ और दाएँ एक ही आधार पर लघुगणक हों।

और उसके बाद हम लघुगणक को "त्याग" देते हैं! इसके अलावा, यदि आधार डिग्री है, तो असमानता का चिन्ह वही रहता है। यदि आधार ऐसा है कि असमानता का चिन्ह उलट जाता है।

बेशक, हम लॉगरिदम को केवल "ड्रॉप" नहीं करते हैं। हम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता की संपत्ति का उपयोग करते हैं। यदि लघुगणक का आधार एक से अधिक है, तो लघुगणकीय फलन नीरस रूप से बढ़ता है, और फिर x का बड़ा मान व्यंजक के बड़े मान से मेल खाता है।

यदि आधार शून्य से बड़ा और एक से कम है, तो लघुगणकीय फलन नीरस रूप से घटता है। तर्क का बड़ा मान x छोटे मान के अनुरूप होगा

महत्वपूर्ण नोट: समाधान को समतुल्य संक्रमणों की श्रृंखला के रूप में लिखना सबसे अच्छा है।

आइए अभ्यास के लिए आगे बढ़ें। हमेशा की तरह, आइए सबसे सरल असमानताओं से शुरू करें।

1. असमानता पर विचार करें लॉग 3 x> लॉग 3 5.
चूँकि लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित होते हैं, x धनात्मक होना चाहिए। शर्त x> 0 को इस असमानता के स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणी (ADV) कहा जाता है। केवल ऐसे x के लिए असमानता समझ में आती है।

खैर, यह शब्दांकन डैशिंग और याद रखने में आसान लगता है। लेकिन फिर भी हम ऐसा क्यों कर सकते हैं?

हम इंसान हैं, हमारे पास बुद्धि है। हमारे दिमाग को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि जो कुछ भी तार्किक, समझने योग्य और आंतरिक संरचना है, उसे याद किया जाता है और यादृच्छिक और असंबंधित तथ्यों की तुलना में बहुत बेहतर तरीके से लागू किया जाता है। इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि एक प्रशिक्षित गणितज्ञ कुत्ते की तरह यंत्रवत् रूप से नियमों को याद न रखें, बल्कि होशपूर्वक कार्य करें।

तो हम वैसे भी "लघुगणक क्यों छोड़ रहे हैं"?

इसका उत्तर सरल है: यदि आधार एक से बड़ा है (जैसा कि हमारे मामले में है), लघुगणकीय फलन नीरस रूप से बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि x का बड़ा मान y के बड़े मान से मेल खाता है, और असमानता से लॉग 3 x 1> लॉग 3 x 2 यह इस प्रकार है कि x 1> x 2।


कृपया ध्यान दें कि हम बीजगणितीय असमानता की ओर बढ़ चुके हैं, और असमानता का चिन्ह वही रहता है।

तो एक्स> 5.

अगली लघुगणकीय असमानता भी सरल है।

2.लॉग 5 (15 + 3x)> लॉग 5 2x

आइए मान्य मानों की श्रेणी से प्रारंभ करें। लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित होते हैं, इसलिए

इस प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: x> 0।

अब हम लघुगणकीय असमानता से बीजगणितीय असमानता में प्रवेश करेंगे - हम लघुगणक को "त्याग" देंगे। चूंकि लघुगणक का आधार एक से बड़ा है, असमानता का चिह्न संरक्षित है।

15 + 3x> 2x।

हम पाते हैं: x> −15।

उत्तर: एक्स> 0।

यदि लघुगणक का आधार एक से कम हो तो क्या होता है? यह अनुमान लगाना आसान है कि इस मामले में, बीजगणितीय असमानता में जाने पर, असमानता का संकेत बदल जाएगा।

आइए एक उदाहरण देते हैं।

आइए ODZ लिखें। वे व्यंजक जिनसे लघुगणक लिए गए हैं वे धनात्मक होने चाहिए, अर्थात्,

इस प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: x> 4.5।

चूंकि, आधार के साथ लघुगणकीय फलन नीरस रूप से घटता है। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का बड़ा मान तर्क के छोटे मान से मेल खाता है:


और अगर, तो
2x - 9 x।

हमें x 9 प्राप्त होता है।

उस x> 4.5 को ध्यान में रखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं:

अगली समस्या में, घातांकीय असमानता को घटाकर एक वर्ग कर दिया जाता है। इसलिए हम "वर्ग असमानताओं" विषय को दोहराने की सलाह देते हैं।

अब अधिक जटिल असमानताओं के लिए:

4. असमानता को हल करें

5. असमानता को हल करें

तो अगर। हम खुशनसीब हैं! हम जानते हैं कि ODV में शामिल x के सभी मानों के लिए लघुगणक का आधार एक से बड़ा है।

आइए एक प्रतिस्थापन करें

ध्यान दें कि हम पहले नए चर t के संबंध में असमानता को पूरी तरह से हल करते हैं। और उसके बाद ही हम वेरिएबल x पर लौटते हैं। इसे याद रखें और परीक्षा में गलती न करें!

आइए हम नियम को याद रखें: यदि किसी समीकरण या असमानता में मूल, भिन्न या लघुगणक हैं, तो समाधान अनुमेय मानों की सीमा से शुरू किया जाना चाहिए। चूँकि लघुगणक का आधार धनात्मक होना चाहिए और एक के बराबर नहीं होना चाहिए, हमें शर्तों की एक प्रणाली मिलती है:

आइए इस प्रणाली को सरल बनाएं:

यह असमानता के लिए मान्य मानों की श्रेणी है।

हम देखते हैं कि चर लघुगणक के आधार में समाहित है। चलो स्थायी आधार पर चलते हैं। याद करें कि

इस मामले में, आधार 4 पर जाना सुविधाजनक है।

आइए एक प्रतिस्थापन करें

आइए हम असमानता को सरल करें और इसे अंतराल की विधि से हल करें:

आइए वेरिएबल पर वापस जाएं एक्स:

हमने शर्त जोड़ दी है एक्स> 0 (ओडीजेड से)।

7. अगली समस्या भी अंतराल की विधि का उपयोग करके हल की जाती है

हमेशा की तरह, हम स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से लघुगणकीय असमानता को हल करना शुरू करते हैं। इस मामले में

इस शर्त को पूरा किया जाना चाहिए, और हम इस पर लौट आएंगे। अभी के लिए असमानता पर ही विचार करें। आइए बाईं ओर को आधार 3 के लघुगणक के रूप में लिखें:

दाईं ओर को आधार 3 लघुगणक के रूप में भी लिखा जा सकता है, और फिर बीजगणितीय असमानता पर जा सकते हैं:

हम देखते हैं कि शर्त (यानी ODZ) अब अपने आप पूरी हो गई है। खैर, इससे असमानता को हल करना आसान हो जाता है।

हम अंतराल विधि का उपयोग करके असमानता को हल करते हैं:

उत्तर:

हो गई? खैर, हम कठिनाई के स्तर को बढ़ाते हैं:

8. असमानता को हल करें:

असमानता प्रणाली के बराबर है:

9. असमानता को हल करें:

अभिव्यक्ति 5 - एक्स 2 समस्या कथन में अस्पष्ट रूप से दोहराया गया है। इसका मतलब है कि आप एक प्रतिस्थापन कर सकते हैं:

चूँकि घातांकीय फलन केवल धनात्मक मान लेता है, टी> 0. तब

असमानता का रूप ले लेगा:

अब बेहतर। आइए हम असमानता के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का पता लगाएं। हम पहले ही कह चुके हैं कि टी> 0. इसके अलावा, ( टी- 3) (5 9 .) टी − 1) > 0

यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो भागफल भी धनात्मक होगा।

और साथ ही असमानता के दाईं ओर लघुगणक के तहत अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए, अर्थात (625 .) टी − 2) 2 .

इसका मतलब है कि 625 टी- 2 0, अर्थात्

हम ODZ . को ध्यान से लिखेंगे

और अंतराल की विधि का उपयोग करके परिणामी प्रणाली को हल करें।

इसलिए,

खैर, आधी लड़ाई हो चुकी है - हमने ODZ से निपटा है। असमानता को स्वयं हल करना। बाईं ओर लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के रूप में दर्शाया जाता है।