स्थायी और गिरती शक्ति आवृत्ति तरंग। स्थायी तरंगें और उनके गठन के तरीके। खड़ी तरंगों का व्यावहारिक महत्व

तरंग हस्तक्षेप

घटना दखल अंदाजीदो (या अधिक) तरंगों के इस तरह के ओवरलैप में होते हैं, जो कुछ स्थानों पर माध्यम के कणों के दोलनों के एक स्थिर (समय-स्वतंत्र) प्रवर्धन की ओर जाता है और अंतरिक्ष में अन्य स्थानों में कमजोर (या पूर्ण दमन) होता है। यदि दो तरंगें किसी लोचदार माध्यम में फैलती हैं, तो माध्यम का प्रत्येक कण, के माध्यम से

जो दोनों तरंगें एक साथ गुजरती हैं, प्रत्येक तरंग के कारण दो स्वतंत्र दोलन आंदोलनों में एक साथ भाग लेंगी। कण की परिणामी गति कंपन घटकों की आवृत्तियों, आयामों और प्रारंभिक चरणों पर निर्भर करती है। हालाँकि, यदि प्रसार तरंगों की आवृत्तियाँ समान होती हैं और यदि वे अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु पर एक ही सीधी रेखा के साथ कण के दोलन का कारण बनती हैं, तो या तो दोलनों का प्रवर्धन या उनका क्षीणन (भिगोना) होता है, जो चरण अंतर पर निर्भर करता है कंपन के घटक।

अंतरिक्ष में हमेशा ऐसे बिंदु होते हैं जहां आने वाले दोलनों का चरण अंतर होता है 2kπ(कहाँ पे कएक पूर्णांक है)। नतीजतन, इन बिंदुओं पर माध्यम के कणों के दोलनों का एक स्थिर (हमेशा हर समय जारी) प्रवर्धन होगा। ऐसे बिंदु भी हैं जिन पर आने वाले दोलनों का चरण अंतर बराबर होगा (2k +1)... अंतरिक्ष में ऐसे बिंदुओं पर, माध्यम के कणों के दोलनों का एक स्थिर कमजोर होना देखा जाएगा। नतीजतन, अंतरिक्ष का वह क्षेत्र जिसमें तरंगें एक दूसरे पर आरोपित होती हैं, माध्यम के कणों के बढ़े हुए दोलन वाले क्षेत्रों और उन क्षेत्रों का एक विकल्प होगा जहां कणों का दोलन कमजोर होता है या कण बिल्कुल भी दोलन नहीं करते हैं .

यह स्पष्ट है कि एक हस्तक्षेप पैटर्न तभी उत्पन्न होता है जब ऐसी तरंगें आरोपित होती हैं, जिनकी आवृत्ति समान होती है, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर समय के चरण में एक स्थिर अंतर होता है और अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर एक सीधी रेखा के साथ दोलन पैदा करता है। वे तरंगें जो इन तीन स्थितियों (और उन्हें बनाने वाले स्रोत) को संतुष्ट करती हैं, कहलाती हैं सुसंगत।

हस्तक्षेप का सबसे सरल मामला तब देखा जाता है जब यात्रा और परावर्तित तरंगों को आरोपित किया जाता है। ये तरंगें सुसंगत हैं (वे तीनों सुसंगतता शर्तों को पूरा करती हैं)। ऐसी तरंगों के अध्यारोपण से तथाकथित का निर्माण होता है खड़ी लहर।

स्थायी तरंग विस्थापन। आइए हम दो समतल तरंगों के समीकरणों को लिखें जिनकी आवृत्तियाँ और आयाम समान हों और जो विपरीत दिशाओं में फैलती हों:

निर्देशांक के साथ माध्यम के एक कण का कुल विस्थापन एक्सविस्थापन 1 और ξ 2 . के योग के बराबर है

या (त्रिकोणमितीय परिवर्तनों के बाद):

यह स्थायी तरंग समीकरण है। यह दर्शाता है कि आगे और पीछे की तरंगों के सुपरपोजिशन के परिणामस्वरूप, माध्यम के बिंदु कंपन करते हैं ताकि वे सभी एक साथ संतुलन की स्थिति से गुजरें (sin ) टी = 0) और वे सभी एक साथ अपने सबसे बड़े विचलन (sin .) तक पहुँच जाते हैं टी= ± 1)।

यह कहा जा सकता है कि खड़ी तरंग में कण एक चरण में दोलन करते हैं। हालांकि, इस तथ्य के कारण कि कारक में बीजगणितीय चिन्ह होता है, कण वास्तव में होते हैं

या तो एक चरण में दोलन करते हैं, यदि उनके पास एक ही संकेत है, या एंटीफ़ेज़ में, यदि उनके लिए अलग-अलग संकेत हैं।

जो कहा गया है उसे स्पष्ट करने के लिए, चित्र 4 समय के विभिन्न क्रमिक क्षणों के लिए माध्यम के कणों के विस्थापन के वितरण को दर्शाता है। समय के क्षणों में टी 1तथा टी 5कणों में सबसे बड़ा विचलन होता है (यदि हमारा मतलब कॉर्ड में कतरनी तरंग है, तो ग्राफ़ अंतरिक्ष में कणों की सही स्थिति का वर्णन करते हैं), जबकि उनका वेग शून्य के बराबर होता है। में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी 3कण संतुलन की स्थिति से गुजरते हैं; उनकी गति अधिकतम है। पलों के लिए टी 2तथा टी 4सबसे बड़े और शून्य विस्थापन के बीच विस्थापन का वितरण दिखाया गया है। निर्देशांक वाले तीन बिंदु ग्राफ़ पर चुने गए हैं एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3... समय में प्रत्येक क्षण के लिए, तीर इन बिंदुओं के वेगों को दिखाते हैं। ग्राफ से पता चलता है कि अंक एक्स 1तथा एक्स 2एंटीफेज में दोलन, और अंक एक्स 1तथा एक्स 3- एक चरण में। अलग-अलग बिंदुओं पर उतार-चढ़ाव की रेंज अलग-अलग होती है। तो, बिंदु 4 खंड के भीतर उतार चढ़ाव ए, बी।खड़ी तरंग में कणों का कंपन आयाम उनके समन्वय पर निर्भर करता है, लेकिन समय पर निर्भर नहीं करता है:

यहां मापांक चिह्न सेट किया गया है क्योंकि आयाम एक विशुद्ध रूप से सकारात्मक मान है। एक खड़ी लहर में ऐसे बिंदु होते हैं जो हर समय गतिहीन रहते हैं। ऐसे विशिष्ट बिंदुओं को कहा जाता है समुद्री मीलविस्थापन। उनकी स्थिति स्थिति से निर्धारित होती है

यह समीकरण तर्क के मूल्यों के लिए संतुष्ट है

कहाँ पे क= 0, 1, 2, .... यहां से

चित्र 6 में दिखाया गया स्टैंडिंग वेव ग्राफ सशर्त है: यह दर्शाता है कि माध्यम के विभिन्न बिंदुओं में, जिसमें स्टैंडिंग वेव का गठन किया गया था, किस हद तक उतार-चढ़ाव होता है। इस ग्राफ पर विस्थापन के नोड और एंटीनोड स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहे हैं।

यदि माध्यम में एक साथ कई तरंगें फैलती हैं, तो माध्यम के कणों का दोलन उन दोलनों का ज्यामितीय योग बन जाता है जो कण प्रत्येक तरंग के अलग-अलग प्रसार के दौरान प्रदर्शन करेंगे। इस अनुभवजन्य कथन को कहा जाता है तरंगों के सुपरपोजिशन (सुपरपोजिशन) का सिद्धांत.

उस स्थिति में जब माध्यम के प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग तरंगों के कारण होने वाले दोलनों में निरंतर चरण अंतर होता है, तरंगें कहलाती हैं सुसंगत।जब सुसंगत तरंगों को जोड़ा जाता है, तो हस्तक्षेप की घटना होती है, जिसमें यह तथ्य होता है कि कुछ बिंदुओं पर दोलन बढ़ते हैं, और अन्य बिंदुओं पर एक दूसरे को कमजोर करते हैं। हस्तक्षेप का एक बहुत ही महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब एक ही आयाम के साथ दो काउंटरप्रोपेगेटिंग विमान तरंगों को आरोपित किया जाता है। परिणामी दोलन प्रक्रिया कहलाती है खड़ी लहर।

स्थायी लहर- यह एक तरंग है जो तब बनती है जब एक ही आयाम और आवृत्ति वाली दो तरंगें एक दूसरे की ओर बढ़ने पर एक दूसरे पर आरोपित होती हैं।

व्यावहारिक रूप से खड़ी तरंगें तब उत्पन्न होती हैं जब तरंगें बाधाओं से परावर्तित होती हैं। बाधा पर पड़ने वाली लहर और उसकी ओर दौड़ती हुई परावर्तित लहर, एक दूसरे पर आरोपित होकर, एक खड़ी लहर देती है।

आइए अक्ष के अनुदिश प्रसार करने वाली दो समतल तरंगों के समीकरण लिखें एक्सविपरीत दिशाओं में:

इन समीकरणों को जोड़ने और परिणाम को कोज्या के योग के लिए सूत्र द्वारा बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, मूल चुनें एक्सताकि अंतर शून्य और मूल के बराबर हो जाए टी- ताकि योग शून्य के बराबर हो

- स्थायी तरंग समीकरण.

वेवनंबर की जगह प्रतिइसका मान, हम एक स्थायी तरंग का समीकरण प्राप्त करते हैं, जो एक स्थायी तरंग में कणों के दोलनों का विश्लेषण करने के लिए सुविधाजनक है:

.

इस समीकरण से यह देखा जाता है कि खड़ी तरंग के प्रत्येक बिंदु पर, समान आवृत्ति के दोलन होते हैं जो प्रतिप्रचार तरंगों के होते हैं, और दोलनों का आयाम निर्भर करता है एक्स:

.

उन बिंदुओं पर जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं

,

कंपन आयाम अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है। इन बिंदुओं को कहा जाता है एंटीनोड्सखड़ी लहर। एंटिनोड्स के निर्देशांक के मान समान हैं:

.

उन बिंदुओं पर जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं:

,

कंपन आयाम गायब हो जाता है। इन बिंदुओं को कहा जाता है समुद्री मीलखड़ी लहर। नोड्स पर स्थित माध्यम के बिंदु कंपन नहीं करते हैं। नोड्स के निर्देशांक हैं:

.

इन सूत्रों से यह इस प्रकार है कि आसन्न एंटिनोड्स के बीच की दूरी, साथ ही आसन्न नोड्स के बीच की दूरी बराबर है। धक्कों और नोड्स को एक दूसरे के सापेक्ष एक तरंग दैर्ध्य के एक चौथाई द्वारा स्थानांतरित किया जाता है।

यह आंकड़ा समय के लिए संतुलन की स्थिति से बिंदुओं के विचलन का एक ग्राफ दिखाता है टी(ठोस रेखा) और समय में एक बिंदु (धराशायी रेखा) के लिए बिंदु विचलन का एक प्लॉट। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, नोड के विपरीत किनारों पर स्थित बिंदु एंटीफ़ेज़ में दोलन करते हैं। दो आसन्न नोड्स के बीच संलग्न सभी बिंदु चरण में (अर्थात एक ही चरण में) दोलन करते हैं।

एक खड़ी लहर ऊर्जा को स्थानांतरित नहीं करती है। अवधि के दौरान दो बार, स्थायी तरंग की ऊर्जा या तो पूरी तरह से संभावित रूप से परिवर्तित हो जाती है, मुख्य रूप से लहर के नोड्स के पास केंद्रित होती है, फिर पूरी तरह से गतिज में, मुख्य रूप से लहर के एंटीनोड्स के पास केंद्रित होती है। नतीजतन, ऊर्जा प्रत्येक नोड से पड़ोसी एंटीनोड में स्थानांतरित हो जाती है और इसके विपरीत। तरंग के किसी भी भाग में समय-औसत ऊर्जा प्रवाह शून्य होता है।

हस्तक्षेप का एक बहुत ही महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब समान आयाम की समतल तरंगों को आरोपित किया जाता है। परिणामी दोलन प्रक्रिया कहलाती है खड़ी लहर.

व्यावहारिक रूप से खड़ी तरंगें तब उत्पन्न होती हैं जब तरंगें बाधाओं से परावर्तित होती हैं। बाधा पर पड़ने वाली लहर और उसकी ओर दौड़ती हुई परावर्तित लहर, एक दूसरे पर आरोपित होकर, एक खड़ी लहर देती है।

एक ही आयाम की दो साइनसोइडल समतल तरंगों के हस्तक्षेप के परिणाम पर विचार करें, जो विपरीत दिशाओं में फैलती हैं।

तर्क की सरलता के लिए, आइए मान लें कि दोनों तरंगें मूल चरण में एक ही चरण में दोलन करती हैं।

इन कंपनों के समीकरण इस प्रकार हैं:

दोनों समीकरणों को जोड़ने और परिणाम को बदलने के लिए, साइन के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

- स्थायी तरंग समीकरण.

हार्मोनिक कंपन के समीकरण के साथ इस समीकरण की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि परिणामी कंपन का आयाम है:

चूंकि, ए, तब।

माध्यम के उन बिन्दुओं पर जहाँ दोलन नहीं होते हैं, अर्थात्। ... इन बिंदुओं को कहा जाता है स्टैंडिंग वेव नॉट्स.

उन बिंदुओं पर जहां दोलनों के आयाम का मान सबसे अधिक होता है, के बराबर। इन बिंदुओं को कहा जाता है स्टैंडिंग वेव एंटीनोड्स... एंटीनोड्स के निर्देशांक स्थिति से पाए जाते हैं, क्योंकि , फिर ।

यहां से:

इसी तरह, नोड्स के निर्देशांक स्थिति से पाए जाते हैं:

कहां:

नोड्स और एंटीनोड्स के निर्देशांक के सूत्रों से, यह इस प्रकार है कि आसन्न एंटीनोड्स के बीच की दूरी, साथ ही पड़ोसी नोड्स के बीच की दूरी बराबर है। धक्कों और नोड्स को एक दूसरे के सापेक्ष एक तरंग दैर्ध्य के एक चौथाई द्वारा स्थानांतरित किया जाता है।

आइए हम खड़ी और यात्रा तरंगों में दोलनों की प्रकृति की तुलना करें। एक यात्रा तरंग में, प्रत्येक बिंदु दोलन करता है, जिसका आयाम अन्य बिंदुओं के आयाम से भिन्न नहीं होता है। लेकिन विभिन्न बिंदुओं में उतार-चढ़ाव होता है विभिन्न चरण.

एक खड़ी लहर में, दो पड़ोसी साइटों के बीच स्थित माध्यम के सभी कण एक ही चरण में कंपन करते हैं, लेकिन विभिन्न आयामों के साथ। नोड से गुजरते समय, दोलनों का चरण अचानक बदल जाता है, क्योंकि संकेत बदल जाता है।

ग्राफिक रूप से, एक खड़ी लहर को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

उस समय जब माध्यम के सभी बिंदुओं में अधिकतम विस्थापन होता है, जिसकी दिशा चिन्ह द्वारा निर्धारित की जाती है। इन ऑफसेट्स को ठोस तीरों के साथ चित्र में दिखाया गया है।

अवधि के एक चौथाई के बाद, जब सभी बिंदुओं की ऑफसेट शून्य के बराबर होती है। कण विभिन्न गति से रेखा के माध्यम से यात्रा करते हैं।

अवधि के एक और तिमाही के बाद, जब कणों में फिर से अधिकतम विस्थापन होगा, लेकिन विपरीत दिशा में (धराशायी तीर)।

लोचदार प्रणालियों में दोलन प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय, न केवल विस्थापन, बल्कि कण वेग, साथ ही माध्यम के सापेक्ष विरूपण की भयावहता को एक दोलन मात्रा के रूप में लिया जा सकता है।

एक खड़ी लहर की गति में परिवर्तन के नियम को खोजने के लिए, हम एक स्थायी लहर के विस्थापन के समीकरण से अंतर करते हैं, और विरूपण में परिवर्तन के कानून को खोजने के लिए, हम एक स्थायी लहर के समीकरण द्वारा अंतर करते हैं।

इन समीकरणों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि वेग के नोड और एंटीनोड विस्थापन के नोड्स और एंटीनोड के साथ मेल खाते हैं; विरूपण के नोड्स और एंटीनोड्स क्रमशः, एंटीनोड्स और वेग और विस्थापन के नोड्स के साथ मेल खाते हैं।

स्ट्रिंग कंपन

दोनों सिरों पर स्थिर तनी हुई डोरी में, जब अनुप्रस्थ कंपन उत्तेजित होते हैं, तो खड़ी तरंगें स्थापित हो जाती हैं, और गांठें उन स्थानों पर स्थित होनी चाहिए जहां डोरी स्थिर होती है। इसलिए, स्ट्रिंग में केवल ऐसे कंपन उत्तेजित होते हैं, जिसकी लंबाई का आधा हिस्सा स्ट्रिंग की लंबाई को पूर्णांक संख्या में फिट करता है।

यह शर्त का तात्पर्य है:

स्ट्रिंग की लंबाई कहां है।

या अन्यथा। ये तरंग दैर्ध्य आवृत्तियों के अनुरूप होते हैं, जहां तरंग का चरण वेग होता है। इसका मान डोरी के तनाव और उसके द्रव्यमान से निर्धारित होता है।

पर मौलिक आवृत्ति है।

पर - स्ट्रिंग के कंपन की प्राकृतिक आवृत्तियाँ or मकसद.

डॉपलर प्रभाव

सबसे सरल मामलों पर विचार करें जब तरंग स्रोत और पर्यवेक्षक एक सीधी रेखा के साथ माध्यम के सापेक्ष चलते हैं:

1. ध्वनि स्रोत माध्यम के सापेक्ष गति से चलता है, ध्वनि रिसीवर आराम पर है।

इस मामले में, दोलनों की अवधि के दौरान, ध्वनि तरंग स्रोत से कुछ दूरी पर चली जाएगी, और स्रोत स्वयं के बराबर दूरी से स्थानांतरित हो जाएगा।

यदि स्रोत को रिसीवर से हटा दिया जाता है, अर्थात। विपरीत दिशा में तरंग के प्रसार की दिशा में आगे बढ़ें, फिर तरंग दैर्ध्य।

यदि ध्वनि स्रोत को रिसीवर के करीब लाया जाता है, अर्थात। फिर तरंग प्रसार की दिशा में आगे बढ़ें।

रिसीवर द्वारा महसूस की जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति बराबर होती है:

आइए दोनों मामलों के लिए उनके मूल्यों के बजाय स्थानापन्न करें:

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि, स्रोत की दोलन आवृत्ति कहाँ है, समानता का रूप ले लेगा:

हम इस भिन्न के अंश और हर दोनों को विभाजित करते हैं, फिर:

2. ध्वनि स्रोत स्थिर है, और रिसीवर गति के साथ माध्यम के सापेक्ष गति करता है।

इस मामले में, माध्यम में तरंग दैर्ध्य नहीं बदलता है और अभी भी बराबर है। एक ही समय में, दो क्रमिक आयाम, एक दोलन अवधि द्वारा समय में भिन्न, गतिमान रिसीवर तक पहुंचते हुए, एक समय अंतराल के लिए रिसीवर के साथ तरंग बैठक के क्षणों में समय में भिन्न होगा, जिसका मूल्य अधिक या कम होता है इस पर कि क्या रिसीवर दूर जा रहा है या स्रोत ध्वनि के पास आ रहा है। समय के साथ, ध्वनि एक दूरी तय करती है, और रिसीवर एक दूरी तय करता है। इन मूल्यों का योग हमें तरंग दैर्ध्य देता है:

रिसीवर द्वारा कथित दोलनों की अवधि अनुपात द्वारा इन दोलनों की आवृत्ति से संबंधित है:

व्यंजक को इसके स्थान पर समानता (1) से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

चूंकि , स्रोत की दोलन आवृत्ति कहाँ है, a, तब:

3. ध्वनि का स्रोत और रिसीवर पर्यावरण के सापेक्ष गति करता है। पिछले दो मामलों में प्राप्त परिणामों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं:

ध्वनि तरंगें

यदि हवा में फैलने वाली लोचदार तरंगों की आवृत्ति 20 से 20,000 हर्ट्ज की सीमा में होती है, तो, मानव कान तक पहुँचने पर, वे ध्वनि की अनुभूति का कारण बनती हैं। इसलिए, इस आवृत्ति रेंज में पड़ी तरंगों को ध्वनि तरंगें कहा जाता है। 20 Hz से कम आवृत्ति वाली प्रत्यास्थ तरंगें कहलाती हैं इन्फ्रासाउंड ... 20,000 हर्ट्ज से अधिक की आवृत्ति वाली तरंगों को कहा जाता है अल्ट्रासाउंड... मानव कान अल्ट्रासाउंड और इन्फ्रासाउंड नहीं सुनता है।

ध्वनि संवेदनाओं की विशेषता पिच, समय और मात्रा है। पिच कंपन आवृत्ति द्वारा निर्धारित की जाती है। हालाँकि, एक ध्वनि स्रोत न केवल एक, बल्कि आवृत्तियों के एक पूरे स्पेक्ट्रम का उत्सर्जन करता है। किसी ध्वनि में उपस्थित कंपन आवृत्तियों के समुच्चय को कहा जाता है ध्वनिक स्पेक्ट्रम... ध्वनिक स्पेक्ट्रम की सभी आवृत्तियों के बीच कंपन ऊर्जा वितरित की जाती है। पिच एक द्वारा निर्धारित की जाती है - मौलिक आवृत्ति, यदि इस आवृत्ति के हिस्से में अन्य आवृत्तियों के हिस्से की तुलना में बहुत अधिक ऊर्जा होती है।

यदि स्पेक्ट्रम में आवृत्ति रेंज से लेकर आवृत्ति रेंज में स्थित कई आवृत्तियां होती हैं, तो ऐसे स्पेक्ट्रम को कहा जाता है ठोस(उदाहरण शोर है)।

यदि स्पेक्ट्रम में असतत आवृत्तियों के दोलनों का एक समूह होता है, तो ऐसे स्पेक्ट्रम को कहा जाता है शासन(उदाहरण - संगीतमय ध्वनियाँ)।

ध्वनि का ध्वनिक स्पेक्ट्रम, उसके चरित्र पर और आवृत्तियों के बीच ऊर्जा के वितरण पर निर्भर करता है, ध्वनि संवेदना की मौलिकता को निर्धारित करता है, जिसे ध्वनि का समय कहा जाता है। विभिन्न संगीत वाद्ययंत्रों में अलग-अलग ध्वनिक स्पेक्ट्रम होते हैं, अर्थात। ध्वनि के समय में अंतर।

ध्वनि की तीव्रता को विभिन्न मूल्यों की विशेषता है: माध्यम के कणों के कंपन, उनके वेग, दबाव बल, उनमें तनाव आदि।

यह इनमें से प्रत्येक मात्रा के दोलनों के आयाम की विशेषता है। हालाँकि, चूंकि ये मात्राएँ परस्पर संबंधित हैं, इसलिए सलाह दी जाती है कि एकल ऊर्जा विशेषता को पेश किया जाए। किसी भी प्रकार की तरंगों के लिए ऐसी विशेषता का प्रस्ताव 1877 में किया गया था। पर। उमोव।

आइए हम मानसिक रूप से एक मंच को यात्रा की लहर के सामने से काट दें। समय के साथ, यह क्षेत्र एक दूरी पर चला जाएगा, जहां लहर की गति है।

आइए हम एक दोलन माध्यम के एक इकाई आयतन की ऊर्जा द्वारा निरूपित करें। तब पूरे आयतन की ऊर्जा बराबर होगी।

इस ऊर्जा को समय के साथ साइट के माध्यम से फैलने वाली लहर द्वारा स्थानांतरित किया गया था।

इस व्यंजक को और से भाग देने पर, हम समय की प्रति इकाई क्षेत्र की एक इकाई के माध्यम से तरंग द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा प्राप्त करते हैं। यह मान एक अक्षर द्वारा इंगित किया जाता है और कहा जाता है उमोव वेक्टर का

ध्वनि क्षेत्र के लिए उमोव का वेक्टरध्वनि की शक्ति कहा जाता है।

ध्वनि की तीव्रता ध्वनि की तीव्रता की एक भौतिक विशेषता है। हम इसका व्यक्तिपरक मूल्यांकन करते हैं: आयतनध्वनि। मानव कान ध्वनियों को मानता है, जिसकी शक्ति एक निश्चित न्यूनतम मूल्य से अधिक होती है, जो विभिन्न आवृत्तियों के लिए भिन्न होती है। इस मान को कहा जाता है सुनवाई की दहलीजध्वनि। Hz कोटि की मध्यम आवृत्तियों के लिए श्रव्यता सीमा किसके क्रम की होती है।

आदेश की बहुत बड़ी ध्वनि शक्ति के साथ, स्पर्श के अंगों द्वारा कान के अलावा ध्वनि को माना जाता है, और कानों में यह एक दर्दनाक सनसनी का कारण बनता है।

वह तीव्रता मान जिस पर यह घटित होता है, कहलाता है दर्द की इंतिहा... दर्द दहलीज, साथ ही सुनने की दहलीज, आवृत्ति पर निर्भर करती है।

ध्वनियों की धारणा के लिए एक व्यक्ति के पास एक जटिल उपकरण है। ध्वनि कंपन को एरिकल द्वारा एकत्र किया जाता है और श्रवण नहर के माध्यम से ईयरड्रम पर कार्य करता है। इसके कंपन को कोक्लीअ नामक एक छोटी सी गुहा में प्रेषित किया जाता है। कोक्लीअ के अंदर बड़ी संख्या में तंतु स्थित होते हैं, जिनकी लंबाई और तनाव अलग-अलग होते हैं और इसलिए, विभिन्न प्राकृतिक कंपन आवृत्तियाँ होती हैं। जब ध्वनि द्वारा कार्य किया जाता है, तो प्रत्येक तंतु एक स्वर में प्रतिध्वनित होता है जिसकी आवृत्ति फाइबर की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है। श्रवण यंत्र में गुंजयमान आवृत्तियों का सेट हमारे द्वारा अनुभव किए जाने वाले ध्वनि कंपन की सीमा को निर्धारित करता है।

हमारे कान द्वारा विशेष रूप से मूल्यांकन किया जाता है, ध्वनि तरंगों की तीव्रता की तुलना में मात्रा बहुत अधिक धीरे-धीरे बढ़ती है। जबकि तीव्रता तेजी से बढ़ती है, अंकगणितीय प्रगति में मात्रा बढ़ जाती है। इस आधार पर, लाउडनेस स्तर को किसी दिए गए ध्वनि की तीव्रता के अनुपात के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कि प्रारंभिक एक के रूप में लिया जाता है।

आयतन स्तर की इकाई कहलाती है गोरा... छोटी इकाइयों का भी प्रयोग किया जाता है - डेसीबल(10 गुना कम सफेद)।

ध्वनि अवशोषण गुणांक कहाँ है।

ध्वनि अवशोषण गुणांक ध्वनि आवृत्ति के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए कम ध्वनियां उच्च ध्वनियों की तुलना में अधिक फैलती हैं।

बड़े कमरों के लिए स्थापत्य ध्वनिकी में, किसके द्वारा एक आवश्यक भूमिका निभाई जाती है प्रतिध्वनिया परिसर की गूंज। संलग्न सतहों से कई प्रतिबिंबों का अनुभव करने वाली ध्वनियों को श्रोता द्वारा लंबे समय तक माना जाता है। इससे ध्वनि की शक्ति हम तक पहुँचती है, हालाँकि, बहुत लंबी प्रतिध्वनि के साथ, अलग-अलग ध्वनियाँ एक-दूसरे पर आरोपित हो जाती हैं और भाषण को कलात्मक रूप से माना जाना बंद हो जाता है। इसलिए, हॉल की दीवारों को विशेष ध्वनि-अवशोषित सामग्री के साथ कवर किया जाता है ताकि गूंज को कम किया जा सके।

कोई भी दोलन करने वाला पिंड ध्वनि कंपन के स्रोत के रूप में काम कर सकता है: एक घंटी की जीभ, एक ट्यूनिंग कांटा, एक वायलिन स्ट्रिंग, पवन उपकरणों में हवा का एक स्तंभ, आदि। पर्यावरण के कंपन के प्रभाव में गति में आने पर ये निकाय ध्वनि के रिसीवर के रूप में भी काम कर सकते हैं।

अल्ट्रासाउंड

दिशात्मक पाने के लिए, अर्थात्। समतल तरंग के निकट, उत्सर्जक का आयाम तरंगदैर्घ्य से कई गुना बड़ा होना चाहिए। हवा में ध्वनि तरंगों की लंबाई 15 मीटर तक होती है, तरल और ठोस में, तरंग दैर्ध्य और भी अधिक होता है। इसलिए, रेडिएटर का निर्माण करना व्यावहारिक रूप से असंभव है जो इतनी लंबाई की एक निर्देशित तरंग पैदा करेगा।

अल्ट्रासोनिक कंपन की आवृत्ति 20,000 हर्ट्ज से अधिक होती है, इसलिए उनकी तरंग दैर्ध्य बहुत छोटी होती है। तरंग दैर्ध्य कम होने के साथ, तरंग प्रसार की प्रक्रिया में विवर्तन की भूमिका भी कम हो जाती है। इसलिए, अल्ट्रासोनिक तरंगें प्रकाश के पुंजों के समान दिशात्मक बीम के रूप में प्राप्त की जा सकती हैं।

अल्ट्रासोनिक तरंगों को उत्तेजित करने के लिए दो परिघटनाओं का उपयोग किया जाता है: रिवर्स पीजोइलेक्ट्रिक प्रभावतथा चुंबकीय विरूपण.

रिवर्स पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव यह है कि कुछ क्रिस्टल (रोशेल नमक, क्वार्ट्ज, बेरियम टाइटेनेट, आदि) की प्लेट एक विद्युत क्षेत्र की क्रिया के तहत थोड़ी विकृत होती है। इसे धातु की प्लेटों के बीच रखकर, जिसमें एक वैकल्पिक वोल्टेज लगाया जाता है, प्लेट के मजबूर कंपन को प्रेरित करना संभव है। ये कंपन पर्यावरण में संचारित होते हैं और उसमें एक अल्ट्रासोनिक तरंग उत्पन्न करते हैं।

मैग्नेटोस्ट्रिक्शन का मतलब है कि चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में फेरोमैग्नेटिक पदार्थ (लोहा, निकल, उनके मिश्र, आदि) विकृत हो जाते हैं। इसलिए, एक फेरोमैग्नेटिक रॉड को एक वैकल्पिक चुंबकीय क्षेत्र में रखकर, यांत्रिक कंपन को उत्तेजित किया जा सकता है।

ध्वनिक गति और त्वरण के उच्च मूल्यों के साथ-साथ अल्ट्रासोनिक कंपन के अध्ययन और प्राप्त करने के अच्छी तरह से विकसित तरीकों ने कई तकनीकी समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग करना संभव बना दिया। आइए उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करें।

1928 में, सोवियत वैज्ञानिक S.Ya। सोकोलोव ने दोष का पता लगाने के लिए अल्ट्रासाउंड का उपयोग करने का सुझाव दिया, अर्थात। धातु उत्पादों में छिपे हुए आंतरिक दोषों जैसे खोल, दरारें, ढीलापन, स्लैग समावेशन आदि का पता लगाने के लिए। यदि दोष का आयाम अल्ट्रासाउंड तरंग दैर्ध्य से अधिक है, तो अल्ट्रासोनिक पल्स दोष से परिलक्षित होता है और वापस लौटता है। उत्पाद को अल्ट्रासोनिक पल्स भेजकर और प्रतिबिंबित इको सिग्नल दर्ज करके, न केवल उत्पादों में दोषों की उपस्थिति का पता लगाना संभव है, बल्कि इन दोषों के आकार और स्थान का न्याय करना भी संभव है। इस पद्धति का अब व्यापक रूप से उद्योग में उपयोग किया जाता है।

दिशात्मक अल्ट्रासोनिक बीम व्यापक रूप से स्थान उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाते हैं, अर्थात। पानी में वस्तुओं का पता लगाने और उनसे दूरी निर्धारित करने के लिए। पहली बार, एक उत्कृष्ट फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी द्वारा अल्ट्रासोनिक स्थान का विचार दिखाया गया था पी. लैंगविनऔर पनडुब्बियों का पता लगाने के लिए प्रथम विश्व युद्ध के दौरान उनके द्वारा विकसित किया गया था। वर्तमान में, सोनार सिद्धांतों का उपयोग हिमखंडों, मछलियों के स्कूलों आदि का पता लगाने के लिए किया जाता है। ये विधियां जहाज के तल के नीचे समुद्र की गहराई (इको साउंडर) भी निर्धारित कर सकती हैं।

उच्च-आयाम वाली अल्ट्रासोनिक तरंगों का वर्तमान में व्यापक रूप से ठोस पदार्थों के यांत्रिक प्रसंस्करण के लिए प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है, एक तरल में रखी छोटी वस्तुओं (घड़ी तंत्र के कुछ हिस्सों, पाइपलाइनों, आदि) की सफाई, degassing, आदि।

अपने पारित होने के दौरान माध्यम में मजबूत दबाव स्पंदन पैदा करते समय, अल्ट्रासोनिक तरंगें कई विशिष्ट घटनाओं का कारण बनती हैं: एक तरल में निलंबित कणों को पीसना (फैलाना), इमल्शन का निर्माण, प्रसार प्रक्रियाओं का त्वरण, रासायनिक प्रतिक्रियाओं की सक्रियता, जैविक पर प्रभाव वस्तुओं, आदि

6.1 लोचदार माध्यम में स्थायी तरंगें

सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, जब कई तरंगें एक लोचदार माध्यम में एक साथ फैलती हैं, तो वे ओवरलैप होती हैं, और तरंगें एक-दूसरे को परेशान नहीं करती हैं: माध्यम के कणों के दोलन दोलनों का सदिश योग होता है जो कण इस दौरान प्रदर्शन करेंगे। प्रत्येक तरंग का अलग-अलग प्रसार...

तरंगें जो माध्यम के कंपन पैदा करती हैं, जिनके बीच चरण अंतर अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर स्थिर होते हैं, कहलाते हैं सुसंगत.

जब सुसंगत तरंगों को जोड़ा जाता है, तो घटना उत्पन्न होती है दखल अंदाजी, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि अंतरिक्ष में कुछ बिंदुओं पर तरंगें एक दूसरे को सुदृढ़ करती हैं, और अन्य बिंदुओं पर वे कमजोर होती हैं। हस्तक्षेप का एक महत्वपूर्ण मामला तब देखा जाता है जब समान आवृत्ति और आयाम के साथ दो काउंटरप्रोपेगेटिंग विमान तरंगों को आरोपित किया जाता है। परिणामी दोलनों को कहा जाता है खड़ी लहर... सबसे अधिक बार, खड़ी तरंगें तब उत्पन्न होती हैं जब एक यात्रा तरंग एक बाधा से परावर्तित होती है। इस स्थिति में, आपतित तरंग और तरंग अपनी ओर परावर्तित होती है, जब जोड़ दी जाती है, तो एक खड़ी तरंग देती है।

आइए एक स्थायी तरंग का समीकरण प्राप्त करें। अक्ष के अनुदिश दो समतल आवर्त तरंगें लीजिए जो एक दूसरे की ओर फैलती हैं एक्सऔर समान आवृत्ति और आयाम वाले:

पहली लहर के पारित होने के दौरान माध्यम के बिंदुओं के दोलनों का चरण कहां है;

- दूसरी लहर के पारित होने के दौरान माध्यम के बिंदुओं के दोलनों का चरण।

अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर चरण अंतर एक्ससमय पर निर्भर नहीं होगा, अर्थात। स्थिर रहेगा:

इसलिए, दोनों तरंगें सुसंगत होंगी।

विचाराधीन तरंगों के योग से उत्पन्न होने वाले माध्यम के कणों का दोलन इस प्रकार होगा:

हम नियम (4.4) के अनुसार कोणों की कोज्याओं के योग को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं:

कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम मूल का चयन करेंगे ताकि चरण अंतर और समय की उत्पत्ति ताकि चरणों का योग शून्य के बराबर हो:।

तब तरंगों के योग का समीकरण रूप लेगा:

समीकरण (6.6) कहलाता है स्थायी तरंग समीकरण... इससे यह देखा जा सकता है कि खड़ी तरंग की आवृत्ति यात्रा तरंग की आवृत्ति के बराबर होती है, और आयाम, यात्रा तरंग के विपरीत, मूल से दूरी पर निर्भर करता है:

खाते (6.7) को ध्यान में रखते हुए, स्थायी तरंग समीकरण रूप लेता है:

इस प्रकार, माध्यम के बिंदु एक आवृत्ति के साथ कंपन करते हैं जो यात्रा तरंग की आवृत्ति और आयाम के साथ मेल खाता है एअक्ष पर बिंदु की स्थिति के आधार पर एक्स... तदनुसार, आयाम कोज्या नियम के अनुसार बदलता है और इसकी अपनी अधिकतम और न्यूनतम होती है (चित्र 6.1)।

आयाम के मिनिमा और मैक्सिमा के स्थान को नेत्रहीन रूप से दर्शाने के लिए, हम (5.29) के अनुसार, वेवनंबर को इसके मान से प्रतिस्थापित करते हैं:

तब आयाम के लिए व्यंजक (6.7) रूप लेता है

यहाँ से यह स्पष्ट हो जाता है कि विस्थापन का आयाम अधिकतम है, अर्थात। उन बिंदुओं पर जिनका निर्देशांक शर्त को पूरा करता है:

यहाँ से हमें उन बिंदुओं के निर्देशांक प्राप्त होते हैं जहाँ विस्थापन का आयाम अधिकतम होता है:

वे बिंदु जहाँ माध्यम के दोलनों का आयाम अधिकतम होता है, कहलाते हैं वेव एंटीनोड्स.

तरंग का आयाम उन बिंदुओं पर शून्य होता है जहां। ऐसे बिंदुओं का निर्देशांक, कहा जाता है लहर गांठें, शर्त को संतुष्ट करता है:

(6.13) से यह देखा जा सकता है कि नोड्स के निर्देशांक के मान हैं:

अंजीर में। 6.2 एक स्थायी लहर का अनुमानित दृश्य दिखाता है, नोड्स और एंटीनोड्स का स्थान चिह्नित किया जाता है। यह देखा जा सकता है कि विस्थापन के आसन्न नोड्स और एंटीनोड एक दूसरे से समान दूरी से अलग होते हैं।

आइए पड़ोसी एंटीनोड्स और नोड्स के बीच की दूरी का पता लगाएं। (6.12) से हम एंटिनोड्स के बीच की दूरी प्राप्त करते हैं:

नोड्स के बीच की दूरी (6.14) से प्राप्त की जाती है:

प्राप्त संबंधों (6.15) और (6.16) से यह देखा जा सकता है कि पड़ोसी नोड्स के साथ-साथ पड़ोसी एंटीनोड्स के बीच की दूरी स्थिर और बराबर है; नोड्स और एंटेकेस एक दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित होते हैं (चित्र 6.3)।

तरंग दैर्ध्य की परिभाषा से, आप खड़े तरंग की लंबाई के लिए अभिव्यक्ति लिख सकते हैं: यह यात्रा तरंग की आधी लंबाई के बराबर है:

आइए, खाते (6.17) को ध्यान में रखते हुए, नोड्स और एंटीनोड्स के निर्देशांक के लिए व्यंजक लिखें:

गुणक जो स्थायी तरंग के आयाम को निर्धारित करता है, शून्य मान को पार करते समय अपना संकेत बदल देता है, जिसके परिणामस्वरूप नोड के विभिन्न पक्षों पर दोलनों का चरण भिन्न होता है। नतीजतन, नोड के विपरीत पक्षों पर स्थित सभी बिंदु एंटीफ़ेज़ में दोलन करते हैं। पड़ोसी नोड्स के बीच स्थित सभी बिंदु चरण में दोलन करते हैं।

नोड्स सशर्त रूप से पर्यावरण को स्वायत्त क्षेत्रों में विभाजित करते हैं, जिसमें हार्मोनिक दोलन स्वतंत्र रूप से होते हैं। क्षेत्रों के बीच गति का कोई हस्तांतरण नहीं होता है, और इसलिए, क्षेत्रों के बीच ऊर्जा का कोई अतिप्रवाह नहीं होता है। अर्थात् अक्ष के अनुदिश विक्षोभ का संचरण नहीं होता है। इसलिए, लहर को खड़ा कहा जाता है।

तो, समान आवृत्तियों और आयामों की दो विपरीत निर्देशित यात्रा तरंगों से एक खड़ी लहर बनती है। इन तरंगों में से प्रत्येक के उमोव सदिश परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होते हैं, और जब जोड़ा जाता है, तो शून्य देते हैं। नतीजतन, खड़ी लहर में ऊर्जा नहीं होती है।

6.2 खड़ी तरंगों के उदाहरण

6.2.1 एक डोरी में खड़ी तरंग

लंबाई की एक स्ट्रिंग पर विचार करें ली, दोनों सिरों पर स्थिर है (चित्र 6.4)।

हम अक्ष को स्ट्रिंग के साथ रखते हैं एक्सताकि स्ट्रिंग के बाएं छोर में निर्देशांक हो एक्स = 0और सही है एक्स = एल... समीकरण द्वारा वर्णित स्ट्रिंग में दोलन होते हैं:

आइए विचार की गई स्ट्रिंग के लिए सीमा शर्तों को लिखें। चूँकि इसके सिरे स्थिर हैं, तो निर्देशांक वाले बिंदुओं पर एक्स = 0तथा एक्स = एलबिना हिचकिचाहट:

आइए हम लिखित सीमा शर्तों के आधार पर स्ट्रिंग के कंपन के लिए समीकरण खोजें। आइए हम (6.21) को ध्यान में रखते हुए स्ट्रिंग के बाएं छोर के लिए समीकरण (6.20) लिखें:

संबंध (6.23) किसी भी समय के लिए धारण करते हैं टीदो मामलों में:

एक। । यह तभी संभव है जब डोरी () में कोई कंपन न हो। यह मामला कोई दिलचस्पी का नहीं है, और हम इस पर विचार नहीं करेंगे।

2... यहाँ चरण है। यह मामला हमें स्ट्रिंग के कंपन के लिए समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देगा।

स्ट्रिंग के दाहिने छोर के लिए प्राप्त चरण मान को सीमा स्थिति (6.22) में बदलें:

ध्यान में रख कर

(6.25) से हम पाते हैं:

दोबारा, दो मामले हैं जिनमें संबंध (6.27) संतुष्ट है। हम उस स्थिति पर विचार नहीं करेंगे जब स्ट्रिंग () में कोई कंपन न हो।

दूसरे मामले में, समानता सत्य होनी चाहिए:

और यह तभी संभव है जब साइन तर्क एक पूर्णांक गुणक हो:

हम मूल्य को त्याग देते हैं, क्योंकि इस मामले में, और इसका मतलब या तो शून्य स्ट्रिंग लंबाई ( एल = 0) या लहर-नई संख्या कश्मीर = 0... तरंग संख्या और तरंग दैर्ध्य के बीच संबंध (6.9) को ध्यान में रखते हुए, यह देखा जा सकता है कि तरंग संख्या शून्य के बराबर होने के लिए, तरंग दैर्ध्य अनंत होना चाहिए, और इसका मतलब दोलनों की अनुपस्थिति होगा।

(6.28) से यह देखा जा सकता है कि दोनों सिरों पर स्थिर स्ट्रिंग के कंपन के दौरान तरंग संख्या केवल कुछ असतत मान ले सकती है:

खाते (6.9) को ध्यान में रखते हुए, हम फॉर्म में (6.30) लिखते हैं:

जहाँ से हम स्ट्रिंग में संभावित तरंग दैर्ध्य के लिए व्यंजक को खींचते हैं:

दूसरे शब्दों में, स्ट्रिंग की लंबाई पर लीएक पूर्णांक फिट होना चाहिए एनअर्ध-लहरें:

संबंधित कंपन आवृत्तियों को (5.7) से निर्धारित किया जा सकता है:

यहां तरंग का चरण वेग है, जो (5.102) के अनुसार, स्ट्रिंग के रैखिक घनत्व और स्ट्रिंग के तनाव पर निर्भर करता है:

(6.34) को (6.33) में प्रतिस्थापित करने पर, हम स्ट्रिंग कंपन की संभावित आवृत्तियों का वर्णन करने वाला एक व्यंजक प्राप्त करते हैं:

आवृत्तियों को कहा जाता है प्राकृतिक आवृत्तियोंतार। आवृत्ति (एटी एन = 1):

कहा जाता है मौलिक आवृत्ति(या मूल स्वर) तार। पर निर्धारित फ़्रीक्वेंसी एन> 1कहा जाता है मकसदया हार्मोनिक्स... हार्मोनिक संख्या है एन-1... उदाहरण के लिए, आवृत्ति:

पहले हार्मोनिक से मेल खाती है, और आवृत्ति:

दूसरे हार्मोनिक से मेल खाती है, आदि। चूंकि एक स्ट्रिंग को एक असतत प्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें अनंत संख्या में स्वतंत्रता होती है, प्रत्येक हार्मोनिक होता है पहनावास्ट्रिंग का कंपन। सामान्य तौर पर, स्ट्रिंग कंपन मोड का एक सुपरपोजिशन होता है।

प्रत्येक हार्मोनिक की अपनी तरंग दैर्ध्य होती है। मुख्य स्वर के लिए (at एन = 1) तरंग दैर्ध्य:

पहले और दूसरे हार्मोनिक्स के लिए, क्रमशः (at एन = 2 और एन = 3) तरंग दैर्ध्य होगा:

चित्र 6.5 एक स्ट्रिंग द्वारा उत्पन्न कंपन के कई तरीकों का एक दृश्य दिखाता है।

इस प्रकार, निश्चित सिरों वाली एक स्ट्रिंग शास्त्रीय भौतिकी के ढांचे के भीतर एक असाधारण मामले का एहसास करती है - कंपन आवृत्ति (या तरंग दैर्ध्य) का एक असतत स्पेक्ट्रम। एक या दोनों क्लैंप्ड सिरों वाली लोचदार छड़ और पाइपों में वायु स्तंभ के दोलन उसी तरह से व्यवहार करते हैं, जिसकी चर्चा बाद के खंडों में की जाएगी।

6.2.2 गति पर प्रारंभिक स्थितियों का प्रभाव

निरंतर स्ट्रिंग। फूरियर विश्लेषण

कंपन आवृत्तियों के असतत स्पेक्ट्रम के अलावा, क्लैंप किए गए सिरों के साथ एक स्ट्रिंग के कंपन में एक और महत्वपूर्ण गुण होता है: स्ट्रिंग कंपन का विशिष्ट रूप कंपन के उत्तेजना की विधि पर निर्भर करता है, यानी। प्रारंभिक स्थितियों से। आओ हम इसे नज़दीक से देखें।

समीकरण (6.20), जो एक स्ट्रिंग में एक स्थायी तरंग के एक मोड का वर्णन करता है, अंतर तरंग समीकरण (5.61) का एक विशेष समाधान है। चूंकि एक स्ट्रिंग का कंपन सभी संभावित मोड (एक स्ट्रिंग के लिए - एक अनंत संख्या) से बना होता है, इसलिए तरंग समीकरण (5.61) का सामान्य समाधान अनंत संख्या में विशेष समाधानों से बना होता है:

कहाँ पे मैंकंपन मोड की संख्या है। व्यंजक (6.43) इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए लिखा गया है कि डोरी के सिरे स्थिर हैं:

और आवृत्ति कनेक्शन को भी ध्यान में रखते हुए मैं-वें मोड और इसकी लहर संख्या:

यहाँ लहरनंबर है मैंवें फैशन;

- 1 मोड की तरंग संख्या;

आइए हम प्रत्येक कंपन मोड के लिए प्रारंभिक चरण का मान ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, समय के समय टी = 0स्ट्रिंग को फ़ंक्शन द्वारा वर्णित आकार दें एफ 0 (एक्स), जिसके लिए व्यंजक (6.43) से प्राप्त किया जाएगा:

अंजीर में। 6.6 एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित स्ट्रिंग आकार का एक उदाहरण दिखाता है एफ 0 (एक्स).

एक पल में टी = 0स्ट्रिंग अभी भी आराम पर है, अर्थात। इसके सभी बिंदुओं की गति शून्य है। (6.43) से हम स्ट्रिंग के बिंदुओं की गति के लिए व्यंजक पाते हैं:

और इसमें प्रतिस्थापित करना टी = 0, हम समय के प्रारंभिक क्षण में स्ट्रिंग के बिंदुओं की गति के लिए एक व्यंजक प्राप्त करते हैं:

चूँकि प्रारंभिक समय में गति शून्य के बराबर होती है, व्यंजक (6.49) स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं के लिए शून्य के बराबर होगा, यदि। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी विधाओं के लिए प्रारंभिक चरण भी शून्य () है। इसे ध्यान में रखते हुए, व्यंजक (6.43), जो डोरी की गति का वर्णन करता है, रूप लेता है:

और व्यंजक (6.47), जो स्ट्रिंग के प्रारंभिक आकार का वर्णन करता है, ऐसा दिखता है:

एक स्ट्रिंग में एक स्थायी तरंग का वर्णन एक फ़ंक्शन द्वारा किया जाता है जो एक अंतराल पर आवधिक होता है जहां यह दो स्ट्रिंग लंबाई के बराबर होता है (चित्र 6.7):

यह इस तथ्य से देखा जा सकता है कि अंतराल पर आवधिकता का अर्थ है:

इसलिये,

जो हमें अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है (6.52)।

गणितीय विश्लेषण से यह ज्ञात होता है कि फूरियर श्रृंखला में किसी भी आवधिक कार्य को उच्च परिशुद्धता के साथ विस्तारित किया जा सकता है:

जहां फूरियर गुणांक हैं।

हमारे मामले में, जब फ़ंक्शन अंतराल पर आवधिक होता है, तो फूरियर गुणांक की गणना इस प्रकार की जाती है:

गणित में, फूरियर विश्लेषण के दौरान, यह दिखाया गया है कि आवधिक फ़ंक्शन के विस्तार के लिए इस तरह से प्राप्त फूरियर गुणांक वास्तव में फ़ंक्शन के विस्तार के गुणांक हैं। एफ 0 (एक्स)।

फूरियर विश्लेषण आपको स्ट्रिंग द्वारा किए गए कंपन को एक स्पेक्ट्रम में विघटित करने की अनुमति देता है, अर्थात। पता लगाएँ कि स्ट्रिंग उत्तेजना की दी गई विधि के साथ कंपन के कौन से तरीके वास्तव में होते हैं।

स्ट्रिंग कंपन को उत्तेजित करने के दो तरीकों पर विचार करें।

विधि 1। समय के प्रारंभिक क्षण में स्ट्रिंग को पहले कंपन मोड के अनुरूप एक आकार दिया जाता है और फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है:

स्ट्रिंग जारी होने के बाद, यह प्रारंभिक स्थिति से कंपन करना शुरू कर देता है। गणना से पता चलता है कि इस मामले के लिए फूरियर गुणांक सभी शून्य के बराबर हैं, एक को छोड़कर, जो आयाम के बराबर है ए:

उत्तेजना की इस पद्धति के साथ, केवल एक कंपन मोड उत्पन्न होता है; कोई ओवरटोन नहीं हैं।

विधि 2। स्ट्रिंग को बीच में संतुलन की स्थिति से हटा दिया जाता है, जैसा कि स्ट्रिंग वाले उपकरणों में होता है। प्रारंभिक रूप अंजीर में दिखाया गया है। 6.8.

अंजीर में दिखाया गया स्ट्रिंग आकार। 6.8 फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है:

(6.64) के संगत फलन और जो अंतराल पर आवर्ती है, इस प्रकार लिखा गया है:

पर, (6.65)

आवर्त फलन (6.65) का रूप चित्र 6.9 में दिखाया गया है:

गणना से पता चलता है कि ऐसे फ़ंक्शन के लिए सभी फूरियर गुणांक शून्य (गुणांक सहित) के बराबर हैं। पहले तीन गुणांक ए 1 , ए 2 , ए 3 क्रमशः बराबर हैं:

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक आवधिक फ़ंक्शन के विस्तार के लिए इस तरह से प्राप्त फूरियर गुणांक वास्तव में फ़ंक्शन के विस्तार गुणांक हैं। एफ 0 (एक्स)।

फिर, फूरियर श्रृंखला के पहले तीन शब्दों को ध्यान में रखते हुए, फ़ंक्शन (6.64) को लगभग निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

हमें फलन (6.64) के फूरियर विस्तार के केवल पहले तीन पद मिले। बेशक, हमारे द्वारा प्राप्त फूरियर श्रृंखला (6.69) एक सीमित संख्या में शर्तों के साथ, हमारे मामले में तीन के बराबर, मूल फ़ंक्शन को केवल लगभग पुन: पेश कर सकती है। हालांकि, फूरियर गुणांक की गणना जारी रखी जा सकती है। यह पता चला है कि कंपन के मामले में हम विचार कर रहे हैं, स्ट्रिंग में कई हार्मोनिक्स दिखाई देते हैं (सैद्धांतिक रूप से, हार्मोनिक्स की एक अनंत श्रृंखला)।

पहले और दूसरे माने जाने वाले मामलों की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि उनमें से पहले में केवल एक ही मोड था, और दूसरे में कई हार्मोनिक्स हैं।

इस प्रकार, विचार किए गए मामलों से पता चलता है कि दोनों तरफ जकड़े हुए एक स्ट्रिंग के कंपन का विशिष्ट रूप कंपन के उत्तेजना की विधि पर निर्भर करता है, अर्थात प्रारंभिक स्थितियों पर।

स्थायी तरंगें विभिन्न परिस्थितियों में बन सकती हैं। इस घटना को एक सीमित स्थान में प्रदर्शित करना सबसे आसान है। विपरीत दिशाओं में फैलने वाले समान तरंग दैर्ध्य के दो कंपनों के संयोजन से यह प्रभाव प्राप्त किया जा सकता है। दो संकेतों के हस्तक्षेप से एक परिणामी तरंग उत्पन्न होती है, जो पहली नज़र में चलती नहीं है (अर्थात, खड़ी)।

एक महत्वपूर्ण शर्त यह है कि ऊर्जा को एक निश्चित दर से सिस्टम में प्रवेश करना चाहिए। इसका मतलब है कि उत्तेजना आवृत्ति लगभग प्राकृतिक कंपन आवृत्ति के बराबर होनी चाहिए। इसे प्रतिध्वनि के रूप में भी जाना जाता है। स्थायी तरंगें हमेशा से जुड़ी होती हैं। अनुनाद की घटना परिणामी दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि से निर्धारित की जा सकती है। समान आयाम की यात्रा तरंगों की तुलना में खड़ी तरंगों को बनाने में बहुत कम ऊर्जा खर्च होती है।

यह मत भूलो कि किसी भी प्रणाली में जहां खड़ी तरंगें होती हैं, वहां भी कई प्राकृतिक आवृत्तियां होती हैं। सभी संभावित स्थायी तरंगों की विविधता को सिस्टम हार्मोनिक्स के रूप में जाना जाता है। सबसे सरल हार्मोनिक्स को मौलिक या प्रथम कहा जाता है। बाद की खड़ी तरंगों को दूसरी, तीसरी आदि कहा जाता है। मौलिक से भिन्न हार्मोनिक्स को कभी-कभी सबटेक्स्टुअल कहा जाता है।

खड़ी तरंगों के प्रकार

भौतिक विशेषताओं के आधार पर, कई प्रकार की स्थायी तरंगें होती हैं। उन सभी को मोटे तौर पर तीन बड़े समूहों में विभाजित किया जा सकता है: एक-आयामी, दो-आयामी और तीन-आयामी।

समतल बंद स्थान होने पर एक आयामी खड़ी तरंगें दिखाई देती हैं। इस मामले में, लहर केवल एक दिशा में फैल सकती है: स्रोत से अंतरिक्ष की सीमा तक। एक-आयामी खड़ी तरंगों के तीन उपसमूह होते हैं: सिरों पर दो नोड्स के साथ, बीच में एक नोड के साथ, और लहर के एक छोर पर एक नोड के साथ। एक नोड सबसे कम सिग्नल आयाम और ऊर्जा वाला बिंदु है।

द्वि-आयामी स्थायी तरंगें तब होती हैं जब दोलन स्रोत से दो दिशाओं में फैलते हैं। बाधा से परावर्तन के बाद, एक खड़ी लहर दिखाई देती है।

त्रि-आयामी स्थायी तरंगें संकेत हैं जो अंतरिक्ष में एक सीमित गति से फैलती हैं। इस प्रकार के कंपन में नोड द्वि-आयामी सतह होंगे। यह उनके शोध को बहुत जटिल करता है। ऐसी तरंगों का एक उदाहरण परमाणु में इलेक्ट्रॉन की गति की कक्षा है।

खड़ी तरंगों का व्यावहारिक महत्व

स्थायी तरंगें महत्वपूर्ण हैं क्योंकि ध्वनि कई कंपनों का एक संयोजन है। तारों की लंबाई और कठोरता की सही गणना आपको किसी विशेष उपकरण की सर्वोत्तम ध्वनि प्राप्त करने की अनुमति देती है।

खड़ी लहरें भी बहुत महत्वपूर्ण हैं। एक्स-रे स्पेक्ट्रोस्कोपी का उपयोग करके कणों के अध्ययन की विधि में, परावर्तित संकेत के प्रसंस्करण से वस्तु की अनुमानित मात्रात्मक और गुणात्मक संरचना का निर्धारण करना संभव हो जाता है।