एक तर्क का अंतर इसकी वृद्धि है डीएक्स = ∆ एक्स .
फ़ंक्शन का अंतर व्युत्पन्न और तर्क की वृद्धि का उत्पाद है डीवाई = एफ ′( एक्स )∙∆ एक्स या डीवाई = एफ ′( एक्स )∙ डीएक्स .
टिप्पणी:
वृद्धिशील अंतर की तुलना करें।
रहने दो
∆
y और ∆x लघुता के समान क्रम के हैं।
Dy और x लघुता के एक ही क्रम के हैं, अर्थात, dy और ∆y लघुता के एक ही क्रम के हैं।
α∙∆x x की तुलना में लघुता के उच्च क्रम का एक इनफिनिटसिमल है।
.अंतर फ़ंक्शन की वृद्धि का मुख्य भाग है .
किसी फ़ंक्शन का अंतर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि से भिन्न होता है
तर्क की वृद्धि से उच्च क्रम।
किसी फ़ंक्शन के अंतर का ज्यामितीय अर्थ।
डाई =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT।
अंतर स्पर्शरेखा कोटि की वृद्धि के बराबर है।
विभेदक गुण।
योग का अंतर अंतरों के योग के बराबर है।
डी ( तुम + वी) = डु + डीवी।
उत्पाद अंतर डी ( तुम वी ) = ड्यू ∙ वी + तुम डीवी .
एक यौगिक समारोह का अंतर।
y = f(u), u = (x), dy = y′ एक्स
डीएक्स = 
डीवाई = एफ ′( तुम ) ड्यू अंतर के रूप का अपरिवर्तनीय है।
उच्च क्रम अंतर।
डीवाई =
एफ
′(एक्स)∙
डीएक्स, इसलिए 
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य.
गणितीय विश्लेषण के कई अनुप्रयोगों में, घातीय कार्यों के संयोजन होते हैं।
परिभाषाएँ।
निम्नलिखित संबंध अतिपरवलयिक कार्यों की परिभाषा से अनुसरण करते हैं:
ch 2 x-sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ. अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न।
रोले का प्रमेय।
यदि समारोह एफ ( एक्स ) बंद अंतराल पर परिभाषित और निरंतर है [ ए , बी ], इस अंतराल के सभी आंतरिक बिंदुओं पर एक व्युत्पन्न है और अंतराल के सिरों पर समान मान लेता है, तो अंतराल के अंदर कम से कम एक ऐसा बिंदु होता हैएक्स = , जो एफ ′(ξ) = 0.
ज्यामितीय अर्थ।
आप
एफ(ए) = एफ(बी), क कास = 0.
एसीबीएक चिकने चाप पर [ए, बी] ऐसा एक बिंदु है
एफ(ए) एफ(बी) सी, जिसमें स्पर्शरेखा जीवा के समानांतर है।
ए ξ बी एक्स
लैग्रेंज की प्रमेय (1736-1813, फ्रांस).
यदि एक बंद अंतराल पर एक फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर है [ ए , बी ] और इस अंतराल के सभी आंतरिक बिंदुओं पर एक व्युत्पन्न है, तो इस अंतराल के अंदर कम से कम एक बिंदु x = ऐसा है किएफ ( बी ) – एफ ( ए ) = एफ ′(ξ)∙( बी – ए ).
लैग्रेंज के प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ।
तथा 
हम एक चिकने चाप AB बनाते हैं।
एक चिकने चाप AB पर एक बिंदु C होता है जिस पर स्पर्शरेखा जीवा AB के समानांतर होती है।
प्रमाण।समारोह पर विचार करें एफ(एक्स) = एफ(एक्स) – λ एक्स. आइए हम λ चुनें ताकि रोले के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हों।
एफ (एक्स) परिभाषित और निरंतर है [ ए, बी], इसलिये परिभाषित और निरंतर कार्य एफ(एक्स),.
एफ′(एक्स) = एफ ′(एक्स) – λ - मौजूद है,
आइए चुनें ताकि शर्तें एफ(ए) = एफ(बी), वे। एफ(ए) – λ ए = एफ(बी) – λ बी,
रोले के प्रमेय के अनुसार, एक ऐसा बिंदु है एक्स = ξЄ( ए, बी), क्या एफ′() = 0, यानी।
बढ़ते और घटते कार्य।
समारोह कहा जाता है की बढ़ती यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।
यदि समारोह
एक बिंदु पर अवकलनीय 
,
तब इसकी वृद्धि को दो पदों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
. ये पद के लिए अतिसूक्ष्म फलन हैं 
.पहला पद के संबंध में रैखिक है 
, दूसरा . की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्च क्रम है 
।सच में,
.
इस प्रकार, दूसरा पद 
तेजी से शून्य हो जाता है और जब फ़ंक्शन की वृद्धि का पता चलता है 
पहला कार्यकाल मुख्य भूमिका निभाता है 
या (क्योंकि 
)
.
परिभाषा
.
फंक्शन इंक्रीमेंट का मुख्य भाग
बिंदु पर 
, के संबंध में रैखिक
,अंतर कहा जाता है
कार्यों
इस बिंदु पर और निरूपितडीवाईयाडीएफ(एक्स)
. (2)
इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक स्वतंत्र चर का अंतर इसके वेतन वृद्धि के साथ मेल खाता है, अर्थात 
.
संबंध (2) अब रूप लेता है
(3)
टिप्पणी . संक्षिप्तता के लिए सूत्र (3) अक्सर रूप में लिखा जाता है
(4)
अंतर का ज्यामितीय अर्थ
एक अवकलनीय फलन के ग्राफ पर विचार करें 
. अंक 
और फ़ंक्शन के ग्राफ से संबंधित हैं। बिंदु पर एमएक स्पर्शरेखा प्रतिएक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए जिसका कोण अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है 
द्वारा निरूपित करें 
. आइए सीधे ड्रा करें एम.एन.
अक्ष के समानांतर ऑक्स
और 
अक्ष के समानांतर ओए. फ़ंक्शन की वृद्धि खंड की लंबाई के बराबर है 
. एक समकोण त्रिभुज से 
, जिसमें 
, हमें मिला
उपरोक्त तर्क हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:
समारोह अंतर
बिंदु पर 
इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर इसके संगत बिंदु पर स्पर्शरेखा के कोटि की वृद्धि द्वारा दर्शाया गया है 
.
अंतर और व्युत्पन्न के बीच संबंध
सूत्र पर विचार करें (4)
.
हम इस समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं डीएक्स, फिर
.
इस प्रकार से, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वतंत्र चर के अंतर के अंतर के अनुपात के बराबर होता है.
अक्सर यह रवैया 
केवल एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में माना जाता है परतर्क से एक्स.
व्युत्पन्न के लिए सुविधाजनक संकेतन भी है:
,
आदि।
प्रविष्टियों का भी उपयोग किया जाता है
,
,
विशेष रूप से सुविधाजनक जब एक जटिल अभिव्यक्ति का व्युत्पन्न लिया जाता है।
2. योग, गुणनफल और भागफल का अंतर।
चूँकि अवकलन से अवकलज को एक स्वतंत्र चर के अवकलन से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, तो मूल प्राथमिक फलनों के अवकलजों के साथ-साथ अवकलज ज्ञात करने के नियमों को जानकर, कोई भी अवकलन ज्ञात करने के लिए समान नियमों पर आ सकता है।
1 0 . एक स्थिरांक का अंतर शून्य होता है
.
2 0 . अवकलनीय फलनों की एक परिमित संख्या के बीजीय योग का अंतर इन फलनों के अंतरों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है
3 0 . दो अवकलनीय फलनों के गुणनफल का अंतर पहले फलन के गुणनफलों के योग और दूसरे और दूसरे फलन के अंतर और पहले फलन के अंतर के बराबर होता है
.
परिणाम. अचर गुणनखंड को अवकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है
.
उदाहरण. फ़ंक्शन के अंतर का पता लगाएं।
हल हम इस फंक्शन को फॉर्म में लिखते हैं
,
तब हमें मिलता है
.
4. पैरामीट्रिक रूप से दिए गए कार्य, उनका विभेदन।
परिभाषा
.
समारोह 
पैरामीट्रिक रूप से कहा जाता है यदि दोनों चर एक्स और
पर
प्रत्येक को एक ही सहायक चर के एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में अलग-अलग परिभाषित किया गया है - पैरामीटरटी:
कहाँ पेटीके भीतर भिन्न होता है 
.
टिप्पणी
. कार्यों का पैरामीट्रिक असाइनमेंट सैद्धांतिक यांत्रिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां पैरामीटर टी
समय, और समीकरणों को दर्शाता है 
एक गतिमान बिंदु के अनुमानों में परिवर्तन के नियम हैं 
धुरी पर 
और 
.
टिप्पणी . हम एक वृत्त और एक दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण प्रस्तुत करते हैं।
ए) मूल और त्रिज्या पर केंद्रित सर्कल आर पैरामीट्रिक समीकरण हैं:
कहाँ पे 
.
बी) आइए अंडाकार के लिए पैरामीट्रिक समीकरण लिखें:
कहाँ पे 
.
पैरामीटर को छोड़कर टी विचाराधीन रेखाओं के पैरामीट्रिक समीकरणों से, उनके विहित समीकरणों पर पहुंचा जा सकता है।
प्रमेय
. यदि समारोह y तर्क से
x समीकरणों द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है 
, कहाँ पे 
और 
द्वारा अवकलनीयटीकार्य और 
, फिर
.
उदाहरण. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं परसे एक्सपैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया गया।
समाधान। 
.
अंतर की परिभाषा
एक फ़ंक्शन पर विचार करें \(y = f\left(x \right),\) जो अंतराल में निरंतर है \(\left[ (a,b) \right].\) मान लीजिए कि किसी बिंदु पर \((x_0) \ in \left[ (a,b) \right]\) स्वतंत्र चर बढ़ा हुआ है \(\Delta x.\) फंक्शन इंक्रीमेंट \(\Delta y,\) तर्क में इस तरह के बदलाव के अनुरूप \(\ डेल्टा x,\) सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\ बाएँ (((x_0)) \ दाएँ) .\] किसी भी भिन्न कार्य के लिए, वृद्धि \(\Delta y\) को दो शब्दों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron \बाएं((\Delta x) \right),\] जहां पहला पद (तथाकथित .) मुख्य हिस्सा वृद्धि) वृद्धि पर रैखिक रूप से निर्भर करता है \(\Delta x,\) और दूसरे पद में \(\Delta x.\) के सापेक्ष लघुता का उच्च क्रम है \(A\Delta x\) को कहा जाता है समारोह अंतर और इसे \(dy\) या \(df\left(((x_0)) \right).\) द्वारा दर्शाया जाता है
एक साधारण उदाहरण का उपयोग करके फ़ंक्शन \(\Delta y\) की वृद्धि को दो भागों में विभाजित करने के इस विचार पर विचार करें। मान लीजिए कि भुजा \((x_0) = 1 \,\text(m)\,\) (ड्राइंग \(1\)) के साथ एक वर्ग दिया गया है। इसका क्षेत्रफल स्पष्ट रूप से है \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(m)^2.\] यदि वर्ग की भुजा \(\Delta x = 1\,\text(cm) से बढ़ जाती है ,\ ) तो बढ़े हुए वर्ग के क्षेत्रफल का सही मान \ होगा। क्षेत्र वृद्धि \(\Delta S\) है \[ (\Delta S = S - (S_0) = 1.0201 - 1 = 0.0201\,\text(m)^2) = (201\,\text(cm)^2 ।) \] आइए अब इस वेतन वृद्धि का प्रतिनिधित्व करते हैं \(\Delta S\) इस प्रकार है: \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left(((x_0) + \Delta x) ) \right)^2) - x_0^2) = (\cancel(x_0^2) + 2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) - \ रद्द करें (x_0 ^2)) = (2(x_0)\Delta x + (\बाएं((\Delta x) \right)^2)) = (A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] x\) और \ के बराबर है और लघुता के उच्च क्रम का एक पद है, जो बदले में \[\omicron\ के बराबर है लेफ्ट ((\ डेल्टा एक्स) \ राइट) = (\ लेफ्ट ((\ डेल्टा एक्स) \ राइट) ^ 2) = (0.01 ^ 2) = 0.0001 \, \ टेक्स्ट (एम) ^ 2 = 1 \, \ टेक्स्ट ( cm)^2.\] ये दोनों शब्द \(200 + 1 = 201\,\text(cm)^2.\) के बराबर कुल वर्ग क्षेत्रफल में वृद्धि करते हैं।
ध्यान दें कि इस उदाहरण में गुणांक \(A\) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान के बराबर है \(S\) बिंदु पर \((x_0):\) \ यह पता चला है कि निम्नलिखित किसी के लिए भी सही है अवकलनीय कार्य प्रमेय :
बिंदु \((x_0)\) पर फ़ंक्शन की वृद्धि के मुख्य भाग का गुणांक \(A\) व्युत्पन्न के मान के बराबर है \(f"\left(((x_0)) \right) \) इस बिंदु पर, यानी वृद्धि \( \Delta y\) सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है \[ (\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (f "\ बाएँ (((x_0)) \ दाएँ) \ डेल्टा x + \ omicron \ बाएँ ((\ डेल्टा x) \ दाएँ)।) \] (\ डेल्टा x)) = A + \ frac ((\ omicron \ बाएँ) ((\Delta x) \right)))((\Delta x))) = (f"\left(((x_0)) \right) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \ दाएँ)))((\Delta x))।) \] \((x_0):\) \[ (y"\left(((x_0)) \right) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (A = f"\left(((x_0)) \right).) \] छोटेपन का उच्च क्रम \(\Delta x) ,\) सीमा है \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\omicron\left((\Delta x) \right))) x)) = 0.\] यदि हम मान लें कि स्वतंत्र चर अंतर \(dx\) इसके वेतन वृद्धि के बराबर है \(\Delta x:\) \ तो यह संबंध \ that \ यानी \ से अनुसरण करता है। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दो अंतरों के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है।
किसी फ़ंक्शन के अंतर का ज्यामितीय अर्थ
आकृति \(2\) योजनाबद्ध रूप से फ़ंक्शन \(\Delta y\) के मुख्य भाग \(A\Delta x\) (फ़ंक्शन अंतर) में वृद्धि के टूटने और छोटेपन के उच्च क्रम की अवधि को दर्शाता है \( \omicron\बाएं((\डेल्टा x)\दाएं)\).
स्पर्शरेखा \(MN\) फ़ंक्शन के वक्र के लिए खींची गई \(y = f\left(x \right)\) बिंदु पर \(M\) को एक ढलान \(\alpha\) के लिए जाना जाता है, जिसका स्पर्शरेखा व्युत्पन्न के बराबर है: \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] जब तर्क को \(\Delta x\) में बदल दिया जाता है, तो स्पर्शरेखा बढ़ जाती है \( A\Delta x.\) यह एक रैखिक वृद्धि है, जो स्पर्शरेखा द्वारा बनाई गई है, ठीक फ़ंक्शन का अंतर है। कुल वृद्धि का शेष \(\Delta y\) (खंड \(N(M_1)\) ) \(\Delta x\ ) के संबंध में छोटेपन के उच्च क्रम के साथ "नॉनलाइनियर" जोड़ से मेल खाती है।
विभेदक गुण
मान लीजिए \(u\) और \(v\) चर \(x\) के फलन हैं। अंतर में निम्नलिखित गुण हैं:
- निरंतर गुणांक को अंतर के संकेत से निकाला जा सकता है:
\(d\left((Cu) \right) = Cdu\), जहां \(C\) एक स्थिर संख्या है।
- कार्यों का अंतर योग (अंतर):
\(d\बाएं((यू \pm v) \right) = du \pm DV.\)
- एक स्थिर मान का अंतर शून्य है:
\(डी\बाएं(सी \दाएं) = 0.\)
- स्वतंत्र चर \(x\) का अंतर इसके वेतन वृद्धि के बराबर है:
\(डीएक्स = \डेल्टा एक्स.\)
- एक रैखिक फ़ंक्शन का अंतर इसके वेतन वृद्धि के बराबर है:
\(d\left((ax + b) \right) = \Delta \left((ax + b) \right) = a\Delta x.\)
- दो कार्यों के उत्पाद का अंतर:
\(d\left((uv) \right) = du \cdot v + u \cdot DV.\)
- दो कार्यों का भागफल अंतर:
\(d\बाएं((\बड़ा\frac(u)(v)\ normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))(((v^2))) \सामान्य आकार।\)
- फ़ंक्शन का अंतर व्युत्पन्न के उत्पाद और तर्क के अंतर के बराबर है:
\(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)
डिफरेंशियल शेप इनवेरिएंस
दो कार्यों की संरचना पर विचार करें \(y = f\left(u \right)\) और \(u = g\left(x \right),\) यानी। एक जटिल फ़ंक्शन \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\) इसका व्युत्पन्न \[(y"_x) = (y"_u) \cdot (u" द्वारा दिया जाता है _x) ,\] जहां सबस्क्रिप्ट उस चर को दर्शाता है जिसके संबंध में विभेदन किया जाता है।
"बाहरी" फ़ंक्शन का अंतर \(y = f\left(u \right)\) के रूप में लिखा जाता है \ "आंतरिक" फ़ंक्शन का अंतर \(u = g\left(x \right)\) हो सकता है एक समान तरीके से प्रतिनिधित्व: \ यदि हम पिछले सूत्र में \ (du \) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें \ चूंकि \ ((y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x), \) मिलता है, तो \ यह देखा जा सकता है कि एक जटिल फ़ंक्शन के मामले में हमें एक फ़ंक्शन के अंतर के लिए अभिव्यक्ति का वही रूप मिलता है, जैसा कि "सरल" फ़ंक्शन के मामले में होता है। इस संपत्ति को कहा जाता है डिफरेंशियल फॉर्म इनवेरिएंस .
