Ճիշտը գրված էր գրատախտակին։ Խնդրի լուծումներ

Quest Աղբյուր: Որոշում 3754. ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄ 2016. Մաթեմատիկա, I. V. Yashchenko. 30 տարբերակ տիպիկ փորձարկման կետերի համար:

Առաջադրանք 19.Գրատախտակին գրված էին 20 բնական թվեր (պարտադիր չէ, որ տարբեր), որոնցից յուրաքանչյուրը չի գերազանցում 40-ը։ Որոշ թվերի փոխարեն (հնարավոր է մեկ) գրատախտակին գրեցին սկզբնական թվերից մեկով փոքր թվեր։ Այն թվերը, որոնք դրանից հետո պարզվել է, որ հավասար են 0-ի, ջնջվել են գրատախտակից։

ա) Հնարավո՞ր է, որ գրատախտակի թվերի միջին թվաբանականն ավելացել է:

բ) Սկզբնապես գրված թվերի միջին թվաբանականը հավասար էր 27-ի: Կարո՞ղ է գրատախտակին մնացած թվերի միջին թվաբանականը հավասար լինել 34-ի:

գ) Ի սկզբանե գրված թվերի միջին թվաբանականը եղել է 27: Գտե՛ք գրատախտակին մնացած թվերի միջին թվաբանական արժեքը:

Լուծում.

ա)Այո, միգուցե, օրինակ, եթե վերցնենք 19 թվեր, որոնք հավասար են 10-ի, իսկ 20-ը հավասար է 1-ի, ապա 20 թիվը 1-ով փոքրացնելուց հետո այն դառնում է 0-ի և միջին արժեքն այլևս ոչ թե 20 թիվ է, այլ 19: , ապա մենք ունենք.

Սկզբնական միջինը:;

Միջին արժեքը փոփոխությունից հետո. .

Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ միջին արժեքը դարձել է ավելի մեծ, քան սկզբնականը:

բ)Ենթադրենք, որ այս պայմանը կատարելու համար անհրաժեշտ է վերցնել միավորներ, այնուհետև վերցնել թվեր և մեկ թիվ, ընդհանուր առմամբ 20 թիվ։ Նրանց թվաբանական միջինը կլինի

,

և ջնջելուց հետո միավորները պետք է ստանան

,

այսինքն՝ մենք ունենք հավասարումների համակարգ.

Երկրորդը հանելով առաջին հավասարումից՝ ստանում ենք.

Այսպիսով, այս պարբերության պայմանը կատարելու համար անհրաժեշտ է վերցնել կոտորակային թվեր, ինչը անհնար է այս առաջադրանքի շրջանակներում։

Պատասխան.ոչ

v)Գրատախտակին մնացած թվերի առավելագույն միջինը ստանալու համար նախ պետք է գրել թվերի մի շարք, որը բաղկացած է ամենամեծ թվից (որն այնուհետև կջնջվի գրատախտակից), իսկ մնացած թվերը պետք է. լինել առավելագույնը. Մենք գրում ենք այս պայմանը ձևով

,

որտեղ է միավորների քանակը; - 20-րդ համարը (ընտրված է այնպես, որ ապահովվի միջինը 27): Այսպիսով, մենք ունենք.

Ստացված արտահայտությունից կարելի է տեսնել, որ նվազագույն արժեքը, որով մենք ստանում ենք առավելագույն արժեքը: Այսպիսով, մենք ունենք թվերի հաջորդականություն, որոնց գումարն է

ոչինչ չկա անելու.

Առաջադրանքը կատակ է. Իրան մորից 100 ռուբլի պարտք է վերցրել, բայց կորցրել է դրանք։ Հետո ընկերոջից 50 ռուբլի պարտք վերցրի։ 20 p.-ի համար գնել է կարկանդակներ, իսկ մնացած 30 ռուբլին: վերադարձավ մայրիկի մոտ: Պարզվում է, որ նա մորը 70 ռուբլի է պարտք։ գումարած 50 պ. ընկեր, ընդամենը 120 ռուբլի գումարած 20 ռուբլի, որը ես ծախսել եմ կարկանդակների վրա: Ընդհանուր 140 ռուբլի, բայց ընդհանուր առմամբ նա պետք է վերադարձնի 150 ռուբլի: Հարց. էլ որտեղ է 10 ռուբլին:

Լուծում. Իրան կորցրեց և ծախսեց 100 + 20 = 120 ռուբլի: Եվ ես պետք է վերադարձնեմ հենց այս գումարը. մայրիկին 100 - 30 = 70 ռուբլի: եւ ընկերուհին 50 p. Եվ մնացած բոլոր հաշվարկները չարից։

1.7. Բազմապատկում. Բազմապատկման օրենքները

1.8. Բաշխման օրենք

Վ Բաժին 1.7-ը ներկայացնում է երկու թվերի արտադրյալ հասկացությունը՝ օգտագործելով 3 և 4 թվերի արտադրյալի օրինակը: Նկատի ունեցեք, որ այս արտադրյալը երեք անդամների գումարն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 4-ի, այսինքն՝ 3 ∙ 4 = 4: + 4 + 4. Դա անհրաժեշտ է, որպեսզի հետագայում 3 ∙-ից ցածր լինի a հասկանալ a + a + a գումարը: Ցանկացած a թվի համար 1 ∙ a = a հավասարությունը համարվում է ճշմարիտ:

Ստեղծագործության սահմանման այս մոտեցումը անհարմար է թվում, քանի որ տարրական դպրոցում ասում են, որ 3 ∙ 4-ը 3 + 3 + 3 + 3 է (վերցրեք 3 4 անգամ): Բայց այս թվացյալ անհարմարությունը վերացվում է հենց առաջին դասին, հենց ցույց է տրվում, որ բազմապատկման տեղաշարժի օրենքը գործում է։

Բազմապատկման շարժման և համակցման օրենքները բացատրվում են քառակուսիների և խորանարդների քանակը հաշվարկելիս:

Ցանկացած a թվի համար ճշմարիտ են համարվում 0 ∙ a = 0, a ∙ 0 = 0 հավասարությունները, իսկ 0 ∙ 0 = 0 հավասարությունը ճշմարիտ է:

Վ 1.8 կետը բացատրում է բաշխման օրենքը քառակուսիների թիվը հաշվարկելիս, ցույց է տալիս բաշխման օրենքի կիրառումը փակագծերը բացելու և ընդհանուր գործակիցը փակագծերից հանելու համար:

Երեք օրենքներն էլ ուսումնասիրելիս դպրոցականներին պետք է սովորեցնել գրել օրենքներ կամայական թվեր նշանակող տառերով և անգիր սովորել օրենքների ձևակերպումները։ Սա օգնում է հստակ մաթեմատիկական խոսքի զարգացմանը, տալիս է

ուսանողների «խոսքի կաղապարներ» բանավոր պատասխանների համար:

Այստեղ և ներքևում, ուսանողներին պետք է ուշադրություն դարձնել հաշվարկների արագության առավելություններին, որոնք ունի սովորած օրենքներին տիրապետողը: Այսպիսով, ուսուցիչը ստեղծում է ներառարկայական մոտիվացիա, որը գալիս է առարկայից (և ոչ դրսից) դեպի ուսում:

RT. Առաջին դասին 66–70 առաջադրանքների օգտագործումը թույլ կտա կրկնել բազմապատկման աղյուսակը, ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել այն գործակիցների զույգերի վրա, որոնք բազմապատկում են տալիս 10, 100, 1000 և այլն։ ուսումնասիրված օրենքների կիրառումը։

Որոշումներ և մեկնաբանություններ

90. ա) 12 թիվը սկզբում ավելացվել է 2 անգամ, ստացված արդյունքը մեծացվել է 3 անգամ։ Ի՞նչ է ստացվում:

բ) Մտածեցինք մի թիվ, ավելացրինք 3 անգամ, արդյունքն ավելացվեց 4 անգամ։ Քանի՞ անգամ է ավելացել այդ թիվը։

Լուծում. ա) 12 ∙ 2 = 24, 24 ∙ 3 = 72, արդյունքը 72 է:

Այստեղ խորհուրդ է տրվում ուսանողներին հարցնել՝ քանի՞ անգամ է 2 անգամ ավելացել 12 թիվը։ Պատասխանը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով բազմապատկման համակցման օրենքը՝ (12 ∙ 2) ∙ 3 = 12 ∙ (2 ∙ 3) = 12 ∙ 6 - 12 թիվը 2 անգամ ավելացել է 6 անգամ: Այս պատասխանը կպատրաստի ուսանողներին ինքնուրույն լուծել 90b խնդիրը։

բ) Նախ՝ խնդիրը կարող է լուծվել կոնկրետ ենթադրյալ թվի համար, օրինակ՝ 2 կամ 3։ Ստացվում է, որ երկու դեպքում էլ բեղմնավորված թիվը 12 անգամ ավելացել է։ Որպեսզի ցույց տանք, որ այս խնդրի պատասխանն իրականում կախված չէ մտահղացված թվի ընտրությունից, ենթադրյալ թիվը նշում ենք a տառով։ Այնուհետև (a ∙ 3) ∙ 4 = a ∙ (3 ∙ 4) = a ∙ 12 - a թիվը 2 անգամ ավելացել է 12 անգամ:

91. Ինչ օրենքներ են օգտագործվում հետևյալ հաշվարկներում.

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600?

ա) Հաշվիր՝ 20 ∙ 50։

Լուծում. Օգտագործվել են բազմապատկման երկու օրենքները՝ տեղաշարժ և համակցություն: Նկատի ունեցեք, որ այս օրենքների վերը նշված կիրառումը մանրամասնորեն չի ցուցադրվում, օրինակ, այսպես.

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = ((2 ∙ 10) ∙ 3) ∙ 10 = (2 ∙ (10 ∙3)) ∙ 10 = = 2 ∙ (3 ∙ 10) ∙ 10 = ((2 ∙ 3) ∙ 10) ∙ 10 = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600,

քանի որ ուսանողները դեռևս չունեն թվային արտահայտությունների փոխակերպման մեջ ճշգրիտ լինելու մոտիվացիա: Այնուամենայնիվ, հետևյալ առաջադրանքները կատարելիս կարող եք չպահանջել լուծումների նման թերի գրանցում, որը տրված է վերևում: Լուծումը կարելի է հակիրճ գրել՝ ա) 20 ∙ 50 = 1000։

(27 + 73) = 356 100 + 644 100 = (356 + 644) 100 = 1000 100 =100 000.

Միջանկյալ հսկողություն. ԴՄ. C – 2.

1.9. Թվերի սյունակի գումարում և հանում

1.10. Թվերի բազմապատկում սյունակով

Այս կետերի նպատակն է ցույց տալ ուսանողներին, թե ինչպես են օգտագործվում գումարման և բազմապատկման օրենքները, բաշխման օրենքը սյունակում բազմանիշ թվեր գումարելիս, հանելիս և բազմապատկելիս: Սա չի նշանակում, որ ուսանողներն իրենք պետք է նմանատիպ հիմնավորումներ անեն, սակայն օգտակար կլինի նրանց համար նկատել, որ սյունակային հաշվարկների ճիշտությունը բխում է գումարման և բազմապատկման օրենքների ճիշտությունից:

Առանձնահատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել միմյանց տակ բազմապատկիչների ստորագրման ճիշտությանը, որոնց գրառումն ավարտվում է զրոներով։

Այս պահից սկսած, սյունակի հաշվարկները ներառված են հինգերորդ դասարանցիների հաշվողական պրակտիկայում, սակայն անհրաժեշտ է ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել, որ երբեմն բազմանիշ թվերով հաշվարկները կարող են ավելի հեշտ լինել առանց սյունակի, եթե նկատում եք զույգեր։ թվերի, որոնք տալիս են «կլոր» գումարներ (առաջադրանք 135); կամ եթե նկատել եք, որ ընդհանուր գործոնը կարելի է հանել փակագծերից (առաջադրանք 144): Պետք է ամեն կերպ զարգացնել և աջակցել դպրոցականների տնտեսապես հաշվարկելու ցանկությունը, և դրա համար, ինչպես արդեն նշել ենք, նրանցից պահանջվում է ուշադիր լինել.

և ուսումնասիրված տեսության տիրապետում.

Վ ապագայում հաշվարկներում ժամանակ խնայելու ցանկությունը պետք է խթան դառնա դիտարկման զարգացման համար, ինչպես նաև

գաղափարի ձևավորում, որ շատ տեսական տեղեկատվության իմացությունը կարող է պարզեցնել խնդրի լուծումը:

RT. Առաջին դասին 77, 78 առաջադրանքների օգտագործումը սյունակում գումարման և հանման վերաբերյալ կուժեղացնի ուսուցման գործընթացը, քանի որ ուսանողներին անհրաժեշտ է միայն պատասխանները մուտքագրել արդեն գրված սյունակներում: Առաջադրանք79-ը նրանց պատրաստում է առաջադրանք80-ին և դասագրքից առաջադրանքների 133 և 134: Առաջադրանք 81-ը կատարվում է սյունակի բազմապատկման ուսումնասիրության սկզբում, մինչդեռ անհրաժեշտ է ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել բազմապատկիչների գրանցման վրա։ Առաջադրանք 82-ը նվիրված է հանելուկների լուծմանը:

Որոշումներ և մեկնաբանություններ

133. Գրատախտակին գրվել են գումարման եւ հանման ճիշտ կատարված օրինակներ, այնուհետեւ որոշ թվեր ջնջվել եւ փոխարինվել տառերով։ Նորից գրեք օրինակները՝ տառերը փոխարինելով թվերով, որպեսզի նորից ստանաք ճիշտ գրառումները.

Այսուհետ ուսանողները կարող են պատասխաններ ստանալ՝ ընտրելով համապատասխան թիվ և ստուգելով պատասխանի ճիշտությունը, բայց ավելի լավ կլինի, եթե գրատախտակը բերի հիմնավորման օրինակներ՝ ստանալ 8, ավելացնել 5-ը 3-ին (օրինակ «ա») և այլն:

Պատասխանել. ա) 725 + 173 = 898; բ) 952 - 664 = 288; գ) 502 + 879 = 1381;

դ) 1456 - 568 = 888:

134. Վերակառուցեք օրինակները՝ ենթադրելով, որ նույն տառերը նշանակում են նույն թվերը, իսկ տարբեր տառերը՝ տարբեր թվեր.

պատասխանի գծային որոնման ալգորիթմ: Ամեն քայլափոխի նա տառին տալիս է մեկ իմաստ.

1) Երկու քառանիշ թվերի գումարը հնգանիշ թիվ է։ Հետևաբար,դ

1, այսինքն.

1raka 2) P + p գումարը զույգ թվանշանով ավարտվող թիվ է, այսինքն՝ a - զույգ.

թիվը, բայց հետո (տե՛ս գումարի հարյուրավորների տեղը) a = 2, այսինքն.

1p2k2 3) p + p գումարը 2-ով վերջացող թիվ է, դա հնարավոր է միայն երկուսով.

դեպքեր՝ p = 1 կամ p = 6: Բայց թիվ 1 արդեն գոյություն ունի (տարբեր տառեր համապատասխանում են տարբեր թվերի), հետևաբար, p = 6, այսինքն.

162k2 4) Թենակ = 5, y = 8, այսինքն.

«գ»-ի օրինակը վերականգնվել է, և բոլոր թվանշանները գտնվել են միանշանակ:

դ) Այս առաջադրանքն ավելի բարդ է, երբ այն կատարվում է, իրականացվում է պատասխան գտնելու ճյուղավորվող ալգորիթմ: Ինչ-որ քայլում դա տառի միակ իմաստը չի տալիս։ Դժվարությունը կայանում է նրանում, որ հիշել, թե լրացնել հիմնավորումը ալգորիթմի յուրաքանչյուր ճյուղի համար:

1) Երկու վեցանիշ թվերի գումարը յոթանիշ թիվ է, հետևաբար և =

2) b + b գումարն ավարտվում է զույգ թվանշանով, այսինքն e-ն զույգ թիվ է, տասնյակ + l տեղում զույգ թվանշանով ավարտվող թիվ է: Գումարի տասնյակում 1 թիվը ստանալու համար անհրաժեշտ է, որ այն լինի ≥ 5 կամ = 0 կամ = 5։

3) Եթե l = 0, այսինքն.

toa = 5, այսինքն. ե.

1sde01e Բայց հետո հազարերորդ տեղում + m + 1 գումարներն ավարտվում են կենտ թվով, այսինքն e.

Կենտ թիվ, բայց վերևում հաստատվեց, որ e-ն զույգ թիվ է: Ստացված հակասությունը նշանակում է, որ 0. Այսպիսով, η = 5:

4) Քանի որ l = 5, այսինքն. ե.

1sde51e ապա հարյուրավորների տեղում a + a + 1 գումարն ավարտվում է 5-ով: Դա հնարավոր է երկու դեպքում.

a = 2 կամ a = 7: Բայց a = 7-ի համար հազարավորների տեղում թիվը կենտ է, ինչը անհնար է, քանի որ վերևում հաստատվեց, որ e-ն զույգ թիվ է: Հետևաբար, a ≠ 7. Այսպիսով, a = 2:

5) Քանի որ a = 2, այսինքն.

1sde51e և քանի որ e-ն զույգ թիվ է, ապա այն չի կարող զրո լինել (եթե e = 0, ապա b = 0 կամ = 5,

ինչը անհնար է, քանի որ արդեն հաստատվել է, որ b ≥ 5, իսկ 5 թիվն արդեն գոյություն ունի): 2 թիվն արդեն գոյություն ունի, հետևաբար ≠ 2։ Հետևաբար, մնում է դիտարկել երեք հնարավոր դեպք՝ e = 4, e = 6,

e = 8.

6) Եթե e = 4, ապա b = 7, ապա (տե՛ս հազար տեղը) m = 2 կամ m = 7, ինչը անհնար է, քանի որ 2 և 7 թվերն արդեն կան։

7) Եթե e = 6, ապա d = 3 գումարի տասնյակ հազարավորների տեղում (քանի որ 2 թիվն արդեն

է), բայց այդ դեպքում գումարը յոթանիշ թիվ չի լինի, ինչը անհնար է։ Այսպիսով, e = 8:

8) Քանի որ f = 8, ապա b = 9, m = 4, q = 6, s = 3, այսինքն. ե.

«դ» օրինակը վերականգնվել է, և բոլոր թվերը գտնվել են միանշանակ։ Ցուցադրել «գ» և «դ» օրինակների լուծումները գրատախտակին ավելի հեշտ է, քան հրապարակելը

գիրք, քանի որ գծային ալգորիթմի դեպքում, օգտագործելով լաթ և կավիճ, կարող եք աստիճանաբար տառերը փոխարինել թվերով և այս օրինակից տառերով ստանալ ցանկալի օրինակը թվերով: Իսկ ճյուղավորվող ալգորիթմի դեպքում անհրաժեշտ է գրատախտակին թողնել բոլոր չմտածված տարբերակները։ Դ) առաջադրանքը լուծելիս իրականացվող ալգորիթմի սխեման կարելի է պատկերել հետևյալ կերպ.

Իհարկե, ուսանողները կարող են պարզապես վերցնել իրենց անհրաժեշտ թվերը, բայց հետո վստահ չեն լինի, որ իրենց գտած լուծումը միակն է։

135. ա) Կատարե՛ք քայլերը՝ (5486 + 3578) + 1422։

Լուծում. Այստեղ ես կցանկանայի, որ բացի սյունակում 2 անգամ հաշվարկներ կիրառելու հնարավորությունից, ուսանողներից մեկը նկատեց, որ երկրորդ և երրորդ թվերի գումարը «կլոր» է, ուստի հաշվարկը կարելի է հեշտությամբ կատարել տողում.

(5486 + 3578) + 1422 = 5486 + (3578 + 1422) = 5486 + 5000 = 10 486.

146. Չորս հաջորդական բնական թվերի արտադրյալը հավասար է

3024. Գտե՛ք այս թվերը։

Լուծում. Նկատի ունեցեք, որ փնտրված չորս թվերի մեջ չկա 10 և 5 համար, քանի որ եթե այդ գործոններից գոնե մեկը լիներ, ապա արտադրյալը կավարտվի զրոյով: Մնում է ստուգել՝ 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 4 = 24, 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024:

Պատասխանել. 6, 7, 8, 9.

1.11. Աստիճան բնական ցուցիչով

Այս կետը ներկայացնում է աստիճանի հայեցակարգը բնական ցուցիչով n> 1 և n = 1 դեպքերի համար: Ուսանողները պետք է տիրապետեն տերմինաբանությանը. որոնց վրա մենք բարձրացնում ենք աստիճանի հիմքը), քառակուսի թվեր, խորանարդային թվեր և սովորում ենք, թե ինչպես հաշվարկել աստիճանները:

RT. 83–86 առաջադրանքները նպատակահարմար է օգտագործել նյութի ուսումնասիրության սկզբնական փուլում։ Այս տարրն ուսումնասիրելիս կարող եք օգտագործել 87–90 առաջադրանքները:

Լուծումներ և մեկնաբանություններ

171. Առաջին հինգ բնական թվերի մեջ կան երկու անհավասար թվերմ

և n այնպես, որ n m = m n: Գտեք այս թվերը:

Լուծում. Այս թվերն են 2-ը և 4-ը: Իրոք, 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16, 42 = 4 ∙ 4 = = 16,

այսինքն 24 = 42:

Պատասխանել. 2 և 4.

1.12. Ամբողջ բաժանումը

Այս կետը ներկայացնում է ամբողջ բաժանման հասկացությունը և համապատասխան տերմինաբանությունը, բացատրվում է, թե ինչու որևէ բնական թիվ կամ զրո չի կարելի բաժանել զրոյի։ Որոշ դեպքերում տրված են բաժանման պարզեցման օրինակներ։ Պետք է ուշադրություն դարձնել գործակիցի հատկությանը, որը երբեմն օգնում է պարզեցնել հաշվարկները (առաջադրանքներ 186-187): Օրինակ՝ թիվը 5-ի բաժանելիս կարելի է բաժանել և

բազմապատկել բաժանարարը 2-ով և բաժանել նոր դիվիդենտը 10-ի.

320: 5 = 640: 10 = 64.

Քաղորդի այս հատկության ապացույցը դասագրքում չի իրականացվել։ Դասին բավական է նրան բերել այսպիսի օրինակ՝ «Ապացուցենք, որ եթե 320: 5 = c, ապա (320 ∙ 2): (5 ∙ 2) = c, որտեղ c-ն բնական թիվ է»:

Դա անելու համար մենք c-ն բազմապատկում ենք 5 ∙ 2-ով և ստուգում, թե արդյոք արդյունքը 320 ∙ 2 է: Այս դեպքում հաշվի ենք առնում, որ քանի որ 320: 5 = c, ապա c ∙ 5 = 320 հավասարությունը ճիշտ է:

c ∙ (5 ∙ 2) = (c ∙ 5) ∙ 2 = 320 ∙ 2:

Այսպիսով, քանորդի հատկությունն ապացուցվում է 320՝ 5 քանորդի և c բնական թվի համար։

Նկատի ունեցեք, որ եթե 320-ի և 5-ի փոխարեն վերցնենք ցանկացած բնական թվեր a և b այնպես, որ a:b = c հավասարությունը ճիշտ լինի, իսկ 2-ի փոխարեն վերցնենք ցանկացած բնական թիվ d, ապա նույն կերպ վիճելով՝ կստանանք. նույն հայտարարության ապացույցը ընդհանուր ձևով.

a: b = (a ∙ c): (b ∙ c):

Այս պահին առաջադրանքները ընտրվում են այնպես, որ դրանք լուծելիս չպահանջվի բաժանում սյունակի, որը կուսումնասիրվի 1.15-րդ կետում:

RT. Ցանկալի է օգտագործել 91–93 առաջադրանքները բաժանման ուսումնասիրության սկզբնական փուլում: Նրանք ստուգում են բաժանման կանոնի (սահմանման) ըմբռնումը: 94–97 առաջադրանքներ առանց սյունակի հաշվարկների համար: Առաջադրանք 98՝ գտնել անհայտ բաղադրիչներ բազմապատկման և բաժանման ժամանակ: 99–107 առաջադրանքներ՝ բազմապատկման և բաժանման ժամանակ բաղադրիչների փոխհարաբերությունների ըմբռնումը ստուգելու համար:

Որոշումներ և մեկնաբանություններ

188. Ապացուցե՛ք, որ եթե a և b բնական թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է c բնական թվի, ապա (a + b) հավասարությունը՝ c = a: c + b: c ճիշտ է։

Լուծում. Եկեք ընդհանուր ապացույց բերենք. Քանի որ a և b բնական թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է c բնական թվի, կան a:c և b:c բնական թվեր: Մենք բազմապատկում ենք դրանց գումարը c-ով և ստացված արտադրյալը փոխակերպում ենք՝ օգտագործելով բաշխման օրենքը և գործակիցի սահմանումը (a: c-ն այն թիվն է, որը, երբ բազմապատկվում է c-ով, տալիս է a, հետևաբար (a: c) ∙ c = a):

(a: c + b: c) ∙ c = (a: c) ∙ c + (b: c) ∙ c = a + b,

հետևաբար, հավասարությունը (a + b): c = a: c + b: c ճիշտ է:

Եթե ​​ուսուցիչը կարծում է, որ իր դասարանում ուսանողների կողմից տրված ընդհանուր ապացույցը (տառերով) դեռ պատրաստ չէ ընդունելու, ապա ավելի լավ է այն մեջբերել կոնկրետ դեպքի համար, օրինակ՝ սա. (15+ 35): 5. = 15: 5 + 35: 5. Այնուամենայնիվ, չպետք է ապացուցել հաշվարկների միջոցով. համոզվեք, որ ձախ և աջ կողմերը կստանան նույն պատասխանը (նման «ապացույցը» տառերով չի աշխատի): Անհրաժեշտ է, թեկուզ կոնկրետ թվերով, իրականացնել նույն պատճառաբանությունը, ինչ ընդհանուր գործի ապացույցում, սա աստիճանաբար կսովորեցնի ուսանողներին ապացուցել պնդումները:

Միջանկյալ հսկողություն. ԴՄ. C – 3.

1.13. Բառային խնդիրների լուծում բազմապատկման և բաժանման միջոցով

Այս պահին դպրոցականներին թվաբանական մեթոդներով խնդիրներ լուծելու սովորեցնելու ուղղությամբ ավելի վաղ սկսված աշխատանքները շարունակվում են։ Ուսումնական տեքստում առաջադրանքները լուծվում են բացատրություններով, սակայն ժամանակ առ ժամանակ անհրաժեշտ է սովորողներին տալ հրահանգ՝ «Եվ այս խնդիրը պետք է լուծել հարցերով»։ Առանձնահատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել այն փաստին, որ տարրական դպրոցի որոշ աշակերտներ արմատացած սխալ պատկերացումներ ունեն խնդրի լուծման համար գործողության ընտրության վերաբերյալ: Եթե ​​խնդրի տեքստում բախվում են «որքա՞ն» հարցին, ապա ասում են, որ պետք է հանել և այլն։ Ուստի 193 առաջադրանքը պետք է ավարտվի դասարանում և համոզվեք, որ պատասխան ստանալու գործողությունները ճիշտ են ընտրված։

RT. 108-117 խնդիրները կարող են օգտագործվել թեմայի առաջին դասերին՝ 108-112 խնդիրները լուծելով հարցերով, իսկ 113-117 խնդիրները՝ բացատրություններով: 118–137 խնդիրների լուծումը ներառում է ուսումնասիրված բոլոր գործողությունների օգտագործումը։

Որոշումներ և մեկնաբանություններ

193. ա) Յուրաքանչյուր սայլը բեռնված էր 8 պարկ կարտոֆիլով։ Քանի՞ սայլ բեռնեցին 72 պարկերը։

բ) 40 պարկերից մի քանիսը լցված էին հատիկավոր շաքարով: Մնացել է 10 դատարկ փաթեթ։ Քանի՞ պարկի մեջ է շաքարավազը լցրել:

գ) Կարի արտադրամասում կա 2 կտոր կտոր, յուրաքանչյուրը 60 մ, քանի՞ մետր կտոր է մնացել։

ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

Ընդհանուր նշումներ ստուգման վերաբերյալ:

Չափորոշիչները գրված են խնդրին «կրճատված» լուծման հիման վրա։

«Տարբեր» լուծման դեպքում այլ չափանիշներ պետք է մշակվեն չափանիշներին ներկայացվող ընդհանուր պահանջներին համապատասխան:

1. Տանյան գնաց գրիչներ և մատիտներ գնելու։ Ամբողջ գումարը ծախսելով՝ նա կարող էր գնել 6 գրիչ կամ 12 մատիտ։ Նա որոշել է երկուսն էլ հավասարապես գնել ամբողջ գումարով։ Որքան?

Պատասխան՝ 4.

Լուծում.

Մեկ գրիչը նման է երկու մատիտի, իսկ գրիչն ու մատիտը՝ երեք մատիտի։ Հետևաբար, Տանյան կարող է գնել 12: 3 = 4 հավաքածու գրիչ և մատիտ:

Ստուգման չափանիշներ.

Կոնկրետ թվային օրինակի հիման վրա՝ 1 միավոր

2. Երկվորյակներ Անյան, Մանյան և Տանյան իրենց ծննդյան օրվա համար տորթեր են թխել։ Եթե ​​Անյան ու Մանյան երկու անգամ ավելի շատ տորթեր թխեին, ապա տորթերի ընդհանուր թիվը կաճեր 60%-ով։ Քանի՞ տոկոս տորթեր է թխել Տանյան:

Լուծում. Եթե ​​Տանյան նույնպես կրկնակի շատ տորթեր թխեր, ապա բոլոր տորթերը 100%-ով կաճեին։ Անիի և Մանիի մասնաբաժինը կազմում է 60%, ինչը նշանակում է, որ Տանյայի մասնաբաժինը կազմում է 100% -60% = 40%:

Ստուգման չափանիշներ.

Ոչ մի ողջամիտ առաջընթաց, բայց կա պատասխան՝ 0 միավոր

Դիտարկվում է հատուկ դեպք՝ 1 միավոր.

Գործողություն կա 100% -60%, բայց Տանյայի մասին ենթադրություն չի արվում. 2 միավոր.

3. Գրատախտակին գրված էին չորս բնական թվեր: Բոլոր հնարավոր տարբեր ձևերով երկուսով ավելացնելով՝ Պետյան ստացավ հետևյալ վեց գումարները՝ 17, 18, 20, 21, 23, 26։ Ապացուցե՛ք, որ Պետյան սխալվել է գումարները հաշվարկելիս։

Լուծում. Բոլոր վեց զույգ գումարների գումարը 125 է։ Գրատախտակին գրված թվերից յուրաքանչյուրը ներառված է այս գումարի մեջ երեք անգամ, ինչը նշանակում է, որ այս գումարը պետք է լինի 3-ի բազմապատիկ, բայց 125-ը չի բաժանվում 3-ի։

Ստուգման չափանիշներ.

Գտնվել է բոլոր զույգ-զույգ գումարների գումարը, որը հավասար է 125:1 միավորի:

Նշվում է, որ յուրաքանչյուր թիվ որպես տերմին օգտագործվում է երեք անգամ՝ 2 միավոր։

Նախորդ երկու պնդումներն էլ արված են՝ 3 միավոր

Նկատվում է, որ քանի որ յուրաքանչյուր թիվ երեք անգամ գումարելի է, ուրեմն գումարը պետք է բաժանվի 3-ի, սակայն եզրակացություն, որ նրանք հակասության են եկել՝ 6 միավոր։

Լուծման մեջ բոլոր մանրամասների առկայությունը՝ 7 միավոր։

Մեթոդ 2. Գրված թվերը դասավորենք չնվազող կարգով՝ a £ b £ c £ d. Հետո

a + b = 17, a + c = 18, b + d = 23, c + d = 26: 18 + 23 = a + b + c + d = 17 + 26: (կամ 26–23 = c – b = 18–17) Մենք ստացել ենք հակասություն, հետևաբար, սխալ է եղել հաշվարկներում։

Այս լուծումը ներկայացված է ցույց տալու համար «բնական թվեր» պայմանի ավելորդ լինելը։ Դա երեխաներին առաջադրանքին այլ մոտեցում սովորեցնելու համար է (ծայրահեղության մեթոդ):

4. Պետյան ունի 5 × 7 ուղղանկյուն և 1 × 1 քառակուսի: Կարո՞ղ է Պետյան այս ուղղանկյունը կտրել 2 մասի, որոնք ուղղանկյուն չեն, այնուհետև ավելացնել 6 × 6 քառակուսի այս երկու մասերից և այս 1 × 1 քառակուսիից: (Հնարավորության դեպքում պետք է ցույց տալ, թե ինչպես է կտրվում ուղղանկյունը և ինչպես է կազմվում քառակուսին: Կամ պետք է բացատրել, թե ինչու դա հնարավոր չէ):

Պատասխանել. Միգուցե.

Նշված են մի քանի ուղղանկյուն կտրվածքներ և քառակուսի հավաքներ:

(Կան նաև այլ լուծումներ):

Նկար 1

Նկար 2.

Նկար 3

Նկար 4.

Ստուգման չափանիշներ.

Եթե ​​կա կտրվածք, բայց կա միայն մեկ գծագիր, այսինքն՝ ցույց է տրվում ինչպես հավաքել կամ ինչպես կտրել՝ 4 միավոր։

5. Վեց ընկեր՝ Անդրեյը, Վիտյան, Բորյան, Սաշան, Տոլյան և Գենան, շարված են իրենց հասակի նվազման կարգով (նրանցից ոչ մեկը նույն հասակը չունի)։ Հետո տեղերով փոխվեցին Գենան ու Անդրեյը, տեղերով փոխվեցին նաև Բորյան ու Վիտյան և վերջապես Սաշան ու Տոլյան նույնպես։ Պարզվեց, որ այժմ տղաներն իրենց հասակի աճման կարգով են։ Գտեք տղաների մեջ ամենաբարձրահասակին, եթե հայտնի է, որ Բորյան Անդրեյից և Գենայից բարձր է, բայց Սաշայից ցածր:

Լուծում... Քանի որ բոլոր փոխարկումներից հետո տղաները շարվեցին հակառակ հերթականությամբ, ամենաբարձրն ու ամենափոքրը հակադարձվեցին (1): Այս զույգը չի կարող ներառել Անդրեյին և Գենային. նրանք երկուսն էլ ցածր են Բորիից (2): Բորյան չի կարող մտնել այս զույգը: Նա Սաշայից ցածր է, բայց Անդրեյից բարձր, ինչը նշանակում է, որ նա ամենաբարձրը չէ և ոչ ամենացածրը (3): Մնացել է մեկ զույգ՝ Սաշան և Տոլյան։ Սաշան Բորիից բարձր է և չի կարող լինել ամենացածրը (4): Սա նշանակում է, որ ամենաբարձրը Սաշան է, իսկ ամենացածրը՝ Տոլյան։

Ստուգման չափանիշներ.

Նշված է միայն ճիշտ պատասխանը՝ 1 միավոր։

Կա առաջին պնդումը (1): 2 միավոր:

Կան պնդումներ (1) և (2): 3 միավոր:

Կան պնդումներ (1) և (2) և (3): 6 միավոր:

Բոլոր հայտարարությունները կան՝ 7 միավոր։

6. 10 ձախ դաշտերի վրա 1´20 շերտի վրա կա 10 շաշկի: Շաշիկը կարող է տեղափոխվել աջ կողմում գտնվող ազատ բջիջ կամ ցատկել աջ կողմում գտնվող խաղաքարի վրայով դեպի հաջորդ բջիջ, եթե այս բջիջն ազատ է: Ձախ շարժումը չի թույլատրվում։ Հնարավո՞ր է բոլոր խաղաքարերը անընդմեջ վերադասավորել առանց բացատների հակառակ հերթականությամբ:

Լուծում... Շաշկիները համարակալենք 1,2,3, ..., 9,10 թվերով։

Օրինակփոխակերպումներ. Շարժումները բաղկացած են երկու մասից՝ շարժվող կենտ (ապամոնտաժող) և շարժվող զույգ (հավաքում):

Ստուգման չափանիշներ.

Բոլոր փոխակերպումները նշված են՝ 7 միավոր:

Նշված են սկիզբը և ավարտը, բայց կան էլիպսներ: 6 միավոր.

Եթե ​​այն նույնպես կա, բայց շարժումների բացթողում կա՝ 5 միավոր:

Մեկնաբանություն.Յուրաքանչյուր կտորի շարժումը ցուցադրվում է սկզբի և վերջի դիրքով, միջանկյալ շարժումները հեշտ է վերականգնել: Նման փոխանցումներում պետք չէ մեղքեր գտնել։

1. Գրատախտակին գրված թվի մեջ Պետյան ջնջեց երեք թիվ և ստացավ 9-ի բազմապատիկ: Ի՞նչ թիվ է գրված հիմա գրատախտակին: (Թվարկե՛ք բոլոր հնարավորությունները և ապացուցե՛ք, որ ուրիշներ չկան):

Թիվը բաժանվում է 9-ի միայն այն դեպքում, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի: Գրված թվի թվանշանների գումարը 30 է: 1-ից 3-ի երեք թվանշանների գումարը կարող է տատանվել 3-ից մինչև 9-ը: Հետևաբար, հարվածելուց հետո երեք թվանշանից դուրս, նոր թվի թվանշանների գումարը կարող է լինել 23-ից 27-ը: Դրանցից միայն 27-ն են բաժանվում 9-ի: Սա նշանակում է, որ երեք թվանշանները հատվել են, որոնց գումարը 3 է, այսինքն. երեք միավոր. Համարը կմնա գրատախտակին.

Ստուգման չափանիշներ.

Ներկայացված պատասխան՝ 1 միավոր։

Նշվում է, որ անհրաժեշտ է թվանշանների գումարի բաժանելիությունը 9-ի վրա, ուստի պետք է հատել երեք թվանշան, որոնց գումարը 3 է, ինչը նշանակում է, որ դրանք երեք միավոր են՝ 4 միավոր։

Ամբողջական լուծման համար պետք է ցույց տալ, որ թվերի այլ գումար, որը բաժանվում է 9-ի, չի ստացվում։Եթե դա արվի՝ 7 միավոր։ Եթե ​​պատճառաբանությունը ցույց է տալիս, որ երեքը խաչված են, բայց թիվը ցույց չի տրվում՝ մինուս 1 միավոր:

2. Նատաշան և Իննան գնել են թեյի նույն տուփը: Հայտնի է, որ նրանք մեկ տոպրակով երկու կամ երեք բաժակ թեյ են պատրաստում: Այս տուփը Նատաշային բավական էր 53 բաժակ թեյի համար, իսկ Իննային՝ 76: Քանի՞ պարկ կար տուփի մեջ: Պատասխանը պետք է հիմնավորված լինի.

Լուծում

Նկատի ունեցեք, որ տուփը չէր կարող պարունակել 26 պարկից պակաս. եթե դրանք լինեն առնվազն 25-ը, ապա Իննան չի կարողանա ավելի շատ խմել = 75 բաժակ, բայց նա խմել է 76: Մյուս կողմից, տուփի մեջ.
26 պարկից ավելին չէր կարող լինել. եթե դրանցից առնվազն 27-ն է, ապա Նատաշան չէր կարող պակաս խմել = 54 բաժակ, բայց նա խմեց 53: Այսպիսով, տուփի մեջ կար 26 պարկ. Իննան երեք անգամ եփեց 24 պարկ և եփեց: 2 պարկ երկու անգամ, իսկ Նատաշան եփեց 1 պարկ երեք անգամ և 25 պարկ երկու անգամ:

Ստուգման չափանիշներ.

Տրվում է միայն պատասխան 26 պարկ՝ 0 միավոր:

Պարտադիր է, որ 53 և 76 բաժակ թեյ խմելու միջոց ցույց տաք, այլապես լուծումն ամբողջական չի լինի։ Բաց թողնված յուրաքանչյուր օրինակ՝ մինուս 1 միավոր:

3. Հետևում նստած են տարբեր տարիքի յոթ թզուկներ կլոր սեղան... Հայտնի է, որ յուրաքանչյուր թզուկ կարող է ճշմարտություն կամ սուտ խոսել։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ասաց, որ ինքը մեծ է իր հարեւաններից։ Ո՞րն է ճշմարիտ պնդումների ամենամեծ թիվը, որը կարող է լինել:

Դասարան. Դիտարկենք ավագ թզուկը: Նա չկարողացավ ասել ճշմարտությունը: Մնացած 6-ը բաժանեք երեք իրար կից զույգերի։ Յուրաքանչյուր զույգում միայն մեկ թզուկ կարող էր ասել ճշմարտությունը: Նշանակում է, որ երեք թզուկներից ավելին չի ասել ճշմարտությունը։ Օրինակ՝ 7, 5, 6, 3, 4, 1, 2: (Թզուկները համարակալվում են ըստ ավագության:)

Ստուգման չափանիշներ.

Գնահատման խնդիր գումարած օրինակ.

Օրինակ՝ 2 միավոր։

Միավորը՝ 4 միավոր։

Գնահատելիս կարևոր է, որ հարևան թզուկները երկուսն էլ չեն կարող ճշմարտությունն ասել, և եթե առնվազն չորսը խոսում են ճշմարտությունը, ապա նրանց մեջ կան հարևաններ:

Բոլորը միասին 7 միավոր.

Մեկնաբանություն. Եթե ​​թզուկները անընդմեջ նստեին, ապա 4 թզուկներ կարող էին ճշմարտությունն ասել։

6, 7, 4, 5, 2, 3, 1.

4. Հայտնի է, որ. Գտնել.

Լուծում

Ավելացնենք ձախ կողմի կոտորակները.

Որտեղ է դա նշանակում ... Կրկին գումարելով վերջին հավասարության ձախ կողմի կոտորակները՝ ստանում ենք.

Վերջապես, մենք ունենք

5. Փոքր երեխաները քաղցրավենիք էին ուտում։ Յուրաքանչյուրը կերել է 11-ով ավելի քիչ կոնֆետ, քան բոլորը միասին վերցրած, բայց դեռ մեկից ավելի կոնֆետ: Քանի՞ կոնֆետ է կերել ընդհանուր առմամբ:

Լուծում

Եկեք ընտրենք երեխաներից մեկին, օրինակ՝ Պետյային: Եթե ​​վերցնեք մնացած բոլոր կոնֆետներից 11-ը, ապա կլինի նույնքան, որքան Պետյայինը: Սա նշանակում է, որ Պետյայի կոնֆետների կրկնակի թիվը հավասար է կոնֆետների ընդհանուր թվին հանած տասնմեկ։ Նույնը կարելի է ասել երեխաներից ցանկացածի մասին, ինչը նշանակում է, որ բոլոր երեխաները քաղցրավենիքի հավասար բաժին ունեն՝ ասենք, մեկ կույտ։
Հասկանալի է, որ բոլորը մի ամբողջ թվով կույտ քիչ են կերել, քան մյուսները միասին։ Հետեւաբար, 11-ը բաժանվում է կույտի չափով: Սա նշանակում է (քանի որ, ըստ պայմանի, բոլորը կերել են 1-ից ավելի կոնֆետ), կույտերում 11 կոնֆետ կա, այսինքն՝ բոլորը մի կույտ պակաս են կերել, քան մյուսները միասին։ Պետյան կերավ մեկ կույտ, հետևաբար, մնացածը երկու: Սա նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ կա երեք կույտ, և 33 կոնֆետ։
Նույն լուծումը կարելի է գրել նաև հանրահաշվով։
Նշենք ըստ Սերեխաների կերած քաղցրավենիքի ընդհանուր քանակը. Եթե ​​երեխաներից մեկը կերավ աքաղցրավենիք, հետո պայմանով բոլորը կերան ա + 11 կոնֆետ, և այդպիսով բոլորը միասին կերան S = a +(ա + 11)= 2ա + 11 քաղցրավենիք. Այս պատճառաբանությունը ճիշտ է յուրաքանչյուր երեխայի համար, ուստի բոլոր երեխաները նույն քանակությամբ կոնֆետ են կերել. ա =(Ս– 11)/ 2 հատ.
Այժմ մենք նշում ենք Ներեխաների քանակը. Այնուհետև պայմանը գրվում է այսպես ա = ա(N– 1)– 11, որտեղից 11 = ա(N– 2). 11 թիվը պարզ է, ուստի գործոններից մեկը 1-ն է, իսկ մյուսը՝ 11։ Բայց պայմանով ա> 1, հետևաբար ա = 11 , N– 2= 1 . Դրանով իսկ N = 3, և կերան S = aN = 33կոնֆետներ.

Պատասխան. 33 կոնֆետ:

Միայն պատասխան՝ 0 միավոր։

6. K և D կետերը վերցվել են համապատասխանաբար ABC եռանկյան AB և AC կողմերի վրա: E կետն ընտրվել է այնպես, որ K-ն լինի DE հատվածի միջնակետը: Պարզվեց, որ РЕAK = РACB և AE = DC: Ապացուցեք, որ BD-ն ABC անկյան կիսորդն է:

D կետից DL և DM ուղղահայացները իջեցնում ենք համապատասխանաբար AB և BC ուղիղներին: E կետից ուղղահայաց EN-ը գցում ենք AB ուղղին: Ուղղանկյուն եռանկյունները AEN և CDM հավասար են հիպոթենուզայի և սուր անկյան տակ: Այսպիսով, DM = EN: Բացի այդ, EN = DL (ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարությունից, եթե N և L տարբեր են, կամ որպես համընկնող EK և DK հատվածների հետ, եթե N, L և K կետերը համընկնում են):

Այսպիսով, DL = DM, և D կետը հավասար է ABC անկյան կողմերից և, հետևաբար, գտնվում է այս անկյան կիսաչափի վրա:

Ստուգման չափանիշներ. Ցանկալի ուղղահայացները բաց թողնված են՝ 1 միավոր:

EN = DL հավասարությունն ապացուցելիս չի դիտարկվել ուղղանկյունների հիմքերի համընկնման դեպքը՝ մինուս 1 միավոր։

1. Բնական թվերի խորանարդ ՆԲաժանվում է 2010թ.-ի Նբաժանվում է 2010թ. Պատասխան՝ պետք է։

Լուծում... 2010 = 2 * 3 * 5 * 67. 2, 3, 5 և 67 թվերն պարզ են։

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "width =" 19 height = 15 "height =" 15 ">. gif" width = "21" height = "21 src ="> բաժանվում է 3-ի, բաժանվում է 3-ի,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "width =" 19 "height =" 15 "> բաժանվում է 5-ի,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "width =" 19 "height =" 15 "> բաժանվում է 67-ի։

Տրված է միայն պատասխան՝ 0 միավոր:

2. Կան տարբեր չափերի տարաներ՝ A, B, C և D: Հայտնի է, որ 11 բանկա A և 7 բանկա B պահում են նույն քանակությունը, ինչ 12 բանկա C։ բանկա C և 1 բանկա D. 6 բանկա D ամբողջությամբ լցված են ջրով: Արդյո՞ք 3 բանկա A և 8 բանկա B կբավականացնեն D 6 բանկաների ամբողջ ջուրը լցնելու համար:

Լուծում.Թող https://pandia.ru/text/77/496/images/image021_51.gif "height =" 15 src = "> լինեն համապատասխանաբար A, B, C և D տարաների ծավալները:

Ճիշտ կազմված հավասարումների համակարգի համար՝ 2 միավոր:

3. Տրվում է զուգահեռագիծ KLMNսուր գագաթ Կ... Ճառագայթների վրա ԿԼև ՄԼնշված կետերը Աև Բհամապատասխանաբար, և AM = ԵՍև Բ.Կ = ԿԼ.

ա) Ապացուցեք դա ԱՆ = BN.

բ) Ապացուցեք, որ եռանկյունները ABNև BKLնման են.

Լուծում.

Եռանկյունների հավասարությունից AMNև BKN(երկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը) հետևում է հատվածների հավասարությանը ԱՆև BN.

Անկյունների հավասարությունից AKBև AMB(նման հավասարաչափ եռանկյունների գագաթների անկյունները BKLև AML) հետևում է, որ կետերը Ա, Բ, Կ, Մպառկել նույն շրջանի վրա, և քանի որ

ապա կետը նույնպես այս շրջանի վրա է Ն... Հետեւաբար, անկյունները ԲՆԱև BKLգագաթներում Նև Կհավասարաչափ եռանկյուններ ԲՆԱև BKLհավասար են. Հետևաբար, եռանկյունները նման են:

Ա) կետն ապացուցված է՝ 3 միավոր.

Բ) կետն ապացուցված է՝ 4 միավոր.

4. Ապացուցեք, որ եթե հավասարումները և https://pandia.ru/text/77/496/images/image028_31.gif "width =" 263 "height =" 24 "> արմատ չունեն:

Լուծում.

Վերցնենք կամայականը.

Այնուհետև այն չունի արմատներ, այնպես որ ցանկացածի համար:

Հավասարումը արմատներ չունի, հետևաբար, որևէ մեկի համար: Հետեւաբար, որեւէ մեկի համար:

https://pandia.ru/text/77/496/images/image034_29.gif "width =" 255 "height =" 22 src = ">

որևէ մեկի համար: Այսինքն՝ հավասարումը

Ապացուցված է, որ ցանկացած +4 միավորի համար։

Եթե ​​չկա համապատասխան բացատրություն, ուրեմն չկա համապատասխան միավորների ավելացում։

5. Վասյան մոռացել է քառանիշ կոդը պահեստային սենյակում (կոդը կարող է լինել 0000-ից մինչև 9999-ը): Նա միայն հիշում է, որ այն թիվը, որը նշում է կոդը, բաժանվում է 3-ի և 7-ի և չի բաժանվում 5-ի և 9-ի: Քանի՞ տարբերակ պետք է անցնի, որպեսզի անպայման կռահի կոդը:

Պատասխան՝ 254։

Լուծում. 1 ճանապարհ.

Կոդ 0000 չի աշխատում։

1-ից մինչև 9999 թվերի մեջ ճիշտ = 476-ը բաժանվում է 21-ի..gif "width =" 65 "height =" 39 ">: Բայց 9-ի բաժանվող 158, իսկ 5-ի բաժանվող 95 թվերի մեջ կան համընկնումներ. 45-ի բաժանվող թվեր: 21-ի բաժանվող 476 թվերից կան հենց այդպիսի թվեր: Այնուհետև կան խնդրի պայմանը բավարարող ուղիղ + 31 = 254 թվեր:

9 * 5 * 7 = 315, հետևաբար, 1-ից մինչև 315, 316-ից մինչև 630, 630-ից մինչև 945 և այլն թվերի մեջ կա նույնքան թվեր, որոնք բավարարում են խնդրի պայմանը։ 1-ից մինչև 315 այդպիսի թվեր կան ուղիղ 8-ը (դրանք 21, 42, 84, 147, 168, 231, 273, 294 թվերն են)։ Այսպիսով, 1-ից մինչև 315 * 31 = 9765 նման թվեր 31 * 8 = 248: Մնում է դիտարկել 9766-ից մինչև 9999 թվերը և համոզվել, որ դրանցից ճիշտ 6 թվերը բավարարում են խնդրի պայմանը (9786, 9807, 9849, 9912, 9933, 9996): Ընդհանուր 248 + 6 = 254 թվեր:

Պատասխան առանց լուծման՝ 0 միավոր։

Նշված բանաձևն է + 31 = 254: + 3 միավոր:

Յուրաքանչյուր հաշվողական սխալ՝ - 1 միավոր:

Պատասխան առանց լուծման՝ 0 միավոր։

Նշվում է, որ հետևյալ 315 թվերից յուրաքանչյուրի մեջ խնդրի պայմանը բավարարող թվերի նույն թիվը՝ +3 միավոր։

Հաշվարկված է, որ 1-ից 315-ը բավարարում է ուղիղ 8-ը՝ +1 միավոր։

Հաշվարկված է, որ 9766-ից 9999-ը բավարարում է ուղիղ 6-ը՝ +1 միավոր։

Բանաձևը նման է 248 + 6 = 254: +2 միավոր:

Եթե ​​ինչ-որ մեկը համբերություն ունի գրի առնելու բոլոր 254 թվերը և չսխալվի՝ 7 միավոր:

6. Ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա վերցված են A և B կետերը ... Դրանցից ուղղահայացները բաց են թողնված աբսցիսային առանցքի վրա, ուղղահայացների հիմքերը՝ HA և HB; С-ն ծագումն է։ Ապացուցեք, որ CA, CB և աղեղ AB ուղիղ գծերով սահմանափակված պատկերի մակերեսը հավասար է AHA, BHB, աբսցիսային առանցքով և AB աղեղով սահմանափակված պատկերի մակերեսին: 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա վերցված են A և B կետերը: Դրանցից ուղղահայացները բաց են թողնված աբսցիսային առանցքի վրա, ուղղահայացների հիմքերը՝ HA և HB; С-ն ծագումն է։ Ապացուցեք, որ CA, CB և աղեղ AB ուղիղ գծերով սահմանափակված պատկերի մակերեսը հավասար է AHA, BHB, աբսցիսային առանցքով և AB աղեղով սահմանափակված պատկերի մակերեսին:

Լուծում.Կարելի է ենթադրել, որ A կետի աբսցիսան փոքր է B կետի աբսցիսայից (տե՛ս նկ.) Դիտարկենք AHA և СB հատվածների հատման K կետը։ Այնուհետև դիտարկված մակերեսների տարբերությունը հավասար է СAK եռանկյան և HAKBHB քառանկյան մակերեսների տարբերությանը, որն իր հերթին հավասար է СAHA և СBHB եռանկյունների մակերեսների տարբերությանը։ Եվ քանի որ СHA * AHA = СHB * BHB = 2010 (A-ն և B-ն գտնվում են գրաֆիկի վրա), այս տարածքները հավասար են միմյանց:

Ցույց է տրվում, որ դիտարկվող տարածքների տարբերությունը https://pandia.ru/text/77/496/images/image044_20.gif "width =" 101 "height =" 23 src = "> է՝ 4 միավոր։

Դա էլ է ապացուցված +3 միավոր.

1. ... Ապացուցեք, որ բոլոր բնական թվերի անհավասարությունը

Լուծում:Անհավասարության երկու կողմերը բաժանեք դրական արժեքի Ստացեք անհավասարությունը Եթե ուրեմն աստիճանը բացասական է, իսկ անհավասարությունը՝ ճշմարիտ .. gif "width =" 61 "height =" 19 ">՝ 0 միավոր։

Ստացված դիտում կամ՝ 1 միավոր

2. Կարո՞ղ է որոշ բնական k-ի թվանշանների գումարը նույնը լինել հաջորդ երկու թվերի համար https://pandia.ru/text/77/496/images/image059_10.gif "width =" 76 "height =" 24 src = " >?

Պատասխան. չի կարող:

Լուծում.Նշենք https://pandia.ru/text/77/496/images/image061_11.gif "width =" 171 "height =" 24 src = ">։ Երեք հաջորդական թվերից մեկը բաժանվում է երեքի, հետևաբար՝ մեկը։ թվերը https : //pandia.ru/text/77/496/images/image064_9.gif "width =" 53 "height =" 21 src = "> բաժանվում են երեքի, իսկ մյուսը` ոչ: Ուստի դրանցից միայն մեկի թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի։ Այսպիսով, նրանք տարբեր են.

3. Քառակուսի եռանկյուններ և դրական իրական արմատներ x 1, x 2 և x 3, x 4, համապատասխանաբար, և x1 < x3 < x2 < x4 . Ապացուցեք, որ քառակուսի եռանկյուն https://pandia.ru/text/77/496/images/image068_9.gif "width =" 85 "height =" 51 src = ">. Gif" width = "111" height = "21 «>.

Հնարավոր է անհավասարությունների այլ հիմնավորում. ա<-գ, բ<դօգտագործելով քառակուսի ֆունկցիայի հատկությունները:

Տրվում է լուծում, բայց անհավասարություններից անցնելիս՝ ա<-գև բ<դդեպի անհավասարություններ ա 2<գ 2, 4բ2 <4դ2 չի հիմնավորվում, որ - ա, բ,-գ, դդրական՝ 5 միավոր։

4. 2010-ի զրոները տեղադրվում են 1331-ի յուրաքանչյուր երկու թվանշանի միջև: Ապացուցեք, որ ստացված թիվը բաժանվում է 1331-ի։

Լուծում.Պատկերացնենք թիվը https://pandia.ru/text/77/496/images/image072_8.gif "width =" 386 "height =" 24 ">

https://pandia.ru/text/77/496/images/image074_8.gif "width =" 55 "height =" 35 src = "> բաժանվում է 11-ի (բաժանվում է 11-ի), ինչը նշանակում է 100..0013 բաժանվում է 113 = 1331։

Համարը ներկայացված է https://pandia.ru/text/77/496/images/image076_8.gif "width =" 31 "height =" 24 "> ձևով։

Լուծում.Թող լինի ՕՇրջանի կենտրոնն է, քանի որ Դ ԱԲ C-ն հավասարաչափ է, ուրեմն ԲՈ=OC... Դիտարկենք Դ FBOև Դ ԷԿՈ: Ð FBO=Ð ԷԿՈ= ա, Բֆ× CE=6, ԲՈ× OC=մ.թ.ա 2/4 = 6, այսինքն Բֆ× CE=ԲՈ× OCÛ https://pandia.ru/text/77/496/images/image079_8.gif "width =" 103 height = 38 "height =" 38 ">. Քանի որ Ð ԲՈՖ= բ, լ EOC= g, ապա РFOE = a. Հավասարություններից ԲՈ= OCև հետևում է դրան. Դիտարկենք Դ FOEև Դ ԷԿՈ: Ð FOE=Ð ԷԿՈ= a, և https://pandia.ru/text/77/496/images/image047_16.gif "width =" 13 height = 15 "height =" 15 "> անհավասարությունը ճիշտ է.

Լուծում:Անհավասարության երկու կողմերը բաժանեք դրական արժեքի Ստացեք անհավասարությունը Եթե ուրեմն աստիճանը բացասական է, իսկ անհավասարությունը՝ ճշմարիտ .. gif "width =" 61 "height =" 19 ">՝ 0 միավոր։

Ստացված դիտում կամ՝ 1 միավոր

Ապացուցված է միայն դեպքերից մեկով կամ՝ 3 միավոր։

2. Լուծե՛ք հավասարումը` https://pandia.ru/text/77/496/images/image082_8.gif "height =" 20 src = ">

Պատասխան. Լուծումներ չկան։

Առաջին լուծումը՝ հաջորդականությունը https://pandia.ru/text/77/496/images/image084_7.gif "width =" 31 "height =" 21 "> .. gif" width = "13" height = "15" > հավասար չէ 0-ի: Հավասարումն արմատներ չունի:

Եթե ​​նկատվում է, որ սա երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է՝ 1 միավոր

Գումարը գտնվել է, սակայն եզրակացություն չի արվել՝ +1 միավոր։

Կատարված փոխարինում` 1 միավոր:

Երկրորդ լուծում. Ոչ հավասարման լուծում: Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք և ստացե՛ք հավասարումը։

Մենք վերագրում ենք պայմանները հետևյալ հաջորդականությամբ

https://pandia.ru/text/77/496/images/image092_6.gif "width =" 75 "height =" 21 "> .. gif" width = "84" height = "24"> որն ունի արմատներ. , Նշենք, որ ըստ Քոշիի անհավասարության և հետևաբար երկու արմատներն էլ չեն տեղավորվում: