Թվի սինուսի սահմանում: Սինուս, կոսինուս, շոշափող, սուր անկյան կոտանգենս: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Այս հոդվածում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես Անկյունի և թվի սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները եռանկյունաչափության մեջ. Այստեղ կխոսենք նշագրման մասին, կտանք գրառումների օրինակներ, կտանք գրաֆիկական նկարազարդումներ։ Եզրափակելով՝ մենք զուգահեռ ենք անցկացնում սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանումների միջև եռանկյունաչափության և երկրաչափության մեջ:

Էջի նավարկություն.

Սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը

Հետևենք, թե ինչպես է ձևավորվում սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս հասկացությունը դպրոցական դասընթացՄաթեմատիկա. Երկրաչափության դասերին տրված է ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը: Իսկ ավելի ուշ ուսումնասիրվում է եռանկյունաչափությունը, որը վերաբերում է պտտման անկյան սինուսին, կոսինուսին, շոշափողին և կոտանգենսին և թվին։ Մենք տալիս ենք այս բոլոր սահմանումները, տալիս ենք օրինակներ և տալիս ենք անհրաժեշտ մեկնաբանությունները։

Սուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյան մեջ

Երկրաչափության ընթացքից հայտնի են ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները։ Դրանք տրված են որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերություն: Ներկայացնում ենք նրանց ձեւակերպումները.

Սահմանում.

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան սինուսհակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է:

Սահմանում.

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան կոսինուսհարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է:

Սահմանում.

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան շոշափողըհակառակ ոտքի և հարակից ոտքի հարաբերակցությունն է:

Սահմանում.

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան կոտանգենսըհարակից ոտքի և հակառակ ոտքի հարաբերակցությունն է:

Այնտեղ ներմուծված է նաև սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի նշումը՝ համապատասխանաբար sin, cos, tg և ctg։

Օրինակ, եթե ABC-ն ուղղանկյուն C ուղղանկյուն եռանկյուն է, ապա A սուր անկյան սինուսը հավասար է BC հակառակ ոտքի և AB հիպոթենուսի հարաբերությունին, այսինքն՝ sin∠A=BC/AB:

Այս սահմանումները հնարավորություն են տալիս հաշվարկել սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հայտնի երկարություններից, ինչպես նաև՝ հայտնի արժեքներսինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս և կողմերից մեկի երկարությունը մյուս կողմերի երկարությունները գտնելու համար: Օրինակ, եթե իմանայինք, որ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AC ոտքը 3 է, իսկ AB հիպոթենուսը՝ 7, ապա մենք կարող էինք հաշվարկել A սուր անկյան կոսինուսը ըստ սահմանման՝ cos∠A=AC/AB=3/7:

Պտտման անկյուն

Եռանկյունաչափության մեջ նրանք սկսում են ավելի լայնորեն նայել անկյունին. նրանք ներկայացնում են պտտման անկյուն հասկացությունը: Պտտման անկյունը, ի տարբերություն սուր անկյան, չի սահմանափակվում 0-ից 90 աստիճան շրջանակներով, պտտման անկյունը աստիճաններով (և ռադիաններով) կարող է արտահայտվել −∞-ից մինչև +∞ ցանկացած իրական թվով։

Այս լույսի ներքո սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները այլևս սուր անկյուն չեն, այլ կամայական մեծության անկյուն՝ պտտման անկյուն: Դրանք տրվում են A 1 կետի x և y կոորդինատների միջոցով, որի մեջ անցնում է այսպես կոչված սկզբնական A(1, 0) կետը O կետի շուրջ α անկյան միջով պտտվելուց հետո՝ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկիզբ: և միավորի շրջանագծի կենտրոնը:

Սահմանում.

Պտտման անկյան սինուսα-ն A 1 կետի օրդինատն է, այսինքն sinα=y ։

Սահմանում.

պտտման անկյան կոսինուսα կոչվում է A 1 կետի աբսցիսսա, այսինքն՝ cosα=x:

Սահմանում.

Պտտման անկյան շոշափումα-ն A 1 կետի օրդինատի հարաբերությունն է նրա աբսցիսային, այսինքն՝ tgα=y/x:

Սահմանում.

Պտտման անկյան կոտանգենսըα-ն A 1 կետի աբսցիսայի հարաբերությունն է նրա օրդինատին, այսինքն՝ ctgα=x/y:

Սինուսը և կոսինուսը սահմանվում են ցանկացած α անկյան համար, քանի որ մենք միշտ կարող ենք որոշել կետի աբսցիսան և օրդինատը, որը ստացվում է սկզբնական կետը α անկյան միջով պտտելով։ Իսկ շոշափողն ու կոտանգենսը ոչ մի անկյան համար սահմանված չեն։ Շոշափողը չի սահմանվում α անկյունների համար, որոնցում սկզբնական կետը գնում է զրոյական աբսցիսով կետ (0, 1) կամ (0, −1), և դա տեղի է ունենում 90°+180° k , k∈Z անկյուններում: (π /2+π k rad). Իրոք, պտտման նման անկյուններում tgα=y/x արտահայտությունն իմաստ չունի, քանի որ այն պարունակում է բաժանում զրոյի։ Ինչ վերաբերում է կոտանգենսին, ապա այն չի սահմանվում α անկյունների համար, որոնցում մեկնարկային կետը գնում է զրոյական օրդինատ ունեցող կետ (1, 0) կամ (−1, 0), և դա վերաբերում է 180° k, k անկյուններին։ ∈Z (π k rad).

Այսպիսով, սինուսը և կոսինուսը սահմանվում են պտտման ցանկացած անկյունների համար, շոշափողը սահմանվում է բոլոր անկյունների համար, բացառությամբ 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), իսկ կոտանգենսը բոլոր անկյունների համար է, բացի 180-ից: ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Մեզ արդեն հայտնի նշումները հայտնվում են sin, cos, tg և ctg սահմանումներում, դրանք օգտագործվում են նաև պտտման անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը նշելու համար (երբեմն կարող եք գտնել tan և cot նշումները, որոնք համապատասխանում են շոշափողին և կոտանգենս): Այսպիսով, 30 աստիճան պտտման անկյան սինուսը կարող է գրվել որպես sin30°, tg(−24°17′) և ctgα գրառումները համապատասխանում են պտտման անկյան շոշափմանը −24 աստիճան 17 րոպե և α պտտման անկյան կոտանգենսին։ . Հիշեցնենք, որ անկյան ռադիանի չափումը գրելիս «ռադ» նշումը հաճախ բաց է թողնվում։ Օրինակ, երեք պի ռադ պտտման անկյան կոսինուսը սովորաբար նշվում է cos3 π :

Եզրափակելով այս պարբերությունը, հարկ է նշել, որ պտտման անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի մասին խոսելիս հաճախ բաց է թողնվում «պտտման անկյուն» արտահայտությունը կամ «պտույտ» բառը: Այսինքն՝ «ալֆայի պտտման անկյան սինուս» արտահայտության փոխարեն սովորաբար օգտագործում են «ալֆայի անկյան սինուս» արտահայտությունը կամ էլ ավելի կարճ՝ «ալֆայի սինուս»։ Նույնը վերաբերում է կոսինուսին, տանգենտին և կոտանգենսին:

Ասենք նաև, որ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները համահունչ են 0-ից 90 տատանվող պտտման անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումների հետ։ աստիճաններ։ Սա կհիմնավորենք։

Թվեր

Սահմանում.

Թվի սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս t կոչվում է թիվ, հավասար է սինուսին, պտտման անկյան կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը համապատասխանաբար t ռադիաններով։

Օրինակ, 8 π-ի կոսինուսը, ըստ սահմանման, 8 π rad անկյան կոսինուսին հավասար թիվ է: Իսկ 8 π rad-ում անկյան կոսինուսը հավասար է մեկի, հետևաբար 8 π թվի կոսինուսը հավասար է 1-ի։

Գոյություն ունի թվի սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանման մեկ այլ մոտեցում։ Այն բաղկացած է նրանից, որ t յուրաքանչյուր իրական թվին վերագրվում է միավոր շրջանագծի կետ, որը կենտրոնացած է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի սկզբնակետում, և սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը որոշվում են այս կետի կոորդինատների միջոցով: Սրա վրա ավելի մանրամասն կանգնենք։

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է հաստատվում իրական թվերի և շրջանագծի կետերի համապատասխանությունը.

• 0 համարին վերագրվում է ելակետ A(1, 0);
• t դրական թիվը կապված է միավոր շրջանագծի մի կետի հետ, որին մենք կհասնենք, եթե շրջանագծի շուրջը շարժվենք սկզբնական կետից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ հակառակ ուղղությամբ և անցնենք t երկարությամբ ճանապարհով.
• բացասական թիվ t-ը համապատասխանում է միավոր շրջանագծի կետին, որին մենք կհասնենք, եթե շրջանագծի շուրջը շարժվենք սկզբնական կետից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ և անցնենք երկարությամբ |t| .

Այժմ անցնենք t թվի սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումներին։ Ենթադրենք, որ t թիվը համապատասխանում է A 1 (x, y) շրջանագծի մի կետին (օրինակ՝ &pi/2 թիվը համապատասխանում է A 1 (0, 1) կետին):

Սահմանում.

Թվի սինուս t-ը t թվին համապատասխան միավոր շրջանագծի կետի օրդինատն է, այսինքն՝ sint=y:

Սահմանում.

Թվի կոսինուս t կոչվում է t թվին համապատասխանող միավոր շրջանագծի կետի աբսցիսա, այսինքն՝ ծախս=x։

Սահմանում.

Թվի շոշափող t-ը t թվին համապատասխանող միավոր շրջանագծի կետի օրդինատի և աբսցիսայի հարաբերությունն է, այսինքն՝ tgt=y/x։ Մեկ այլ համարժեք ձևակերպման մեջ t թվի շոշափողը այս թվի սինուսի և կոսինուսի հարաբերությունն է, այսինքն՝ tgt=sint/cost ։

Սահմանում.

Թվի կոտանգենս t-ը աբսցիսայի հարաբերությունն է t թվին համապատասխան միավոր շրջանագծի կետի օրդինատին, այսինքն՝ ctgt=x/y։ Մեկ այլ ձևակերպում հետևյալն է՝ t թվի շոշափողը t թվի կոսինուսի և t թվի սինուսի հարաբերությունն է՝ ctgt=cost/sint։

Այստեղ մենք նշում ենք, որ հենց նոր տրված սահմանումները համընկնում են այս ենթաբաժնի սկզբում տրված սահմանման հետ: Իրոք, t թվին համապատասխան միավոր շրջանագծի կետը համընկնում է այն կետի հետ, որը ստացվում է սկզբնական կետը t ռադիանների անկյան տակ պտտելով։

Արժե նաև պարզաբանել այս կետը. Ենթադրենք, մենք ունենք sin3 մուտք: Ինչպե՞ս հասկանալ՝ 3 թվի սինուսի կամ 3 ռադիանի պտտման անկյան սինուսի մասին է խոսքը։ Սա սովորաբար պարզ է դառնում համատեքստից, հակառակ դեպքում, հավանաբար, դա նշանակություն չունի:

Անկյունային և թվային արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Համաձայն նախորդ պարբերության մեջ տրված սահմանումների՝ α պտտման յուրաքանչյուր անկյուն համապատասխանում է sinα-ի լավ սահմանված արժեքին, ինչպես նաև cosα-ի արժեքին։ Բացի այդ, պտտման բոլոր անկյունները, բացի 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) համապատասխանում են tgα արժեքներին, և բացի 180° k, k∈Z (π k rad) արժեքներին: ctgα-ի արժեքներն են: Հետևաբար sinα, cosα, tgα և ctgα α անկյան ֆունկցիաներ են։ Այսինքն՝ սրանք անկյունային արգումենտի ֆունկցիաներ են։

Նմանապես, մենք կարող ենք խոսել թվային արգումենտի սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս ֆունկցիաների մասին: Իրոք, t յուրաքանչյուր իրական թիվը համապատասխանում է sint-ի լավ սահմանված արժեքին, ինչպես նաև արժեքին: Բացի այդ, π/2+π·k, k∈Z-ից բացի բոլոր թվերը համապատասխանում են tgt արժեքներին, իսկ π·k, k∈Z թվերը համապատասխանում են ctgt արժեքներին:

Սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս ֆունկցիաները կոչվում են հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.

Սովորաբար կոնտեքստից պարզ է դառնում, որ գործ ունենք անկյունային արգումենտի կամ թվային արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Հակառակ դեպքում մենք կարող ենք անկախ փոփոխականը համարել և՛ որպես անկյան չափիչ (անկյան արգումենտ), և՛ թվային արգումենտ։

Սակայն դպրոցը հիմնականում ուսումնասիրում է թվային ֆունկցիաներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ, որոնց արգումենտները, ինչպես նաև համապատասխան ֆունկցիայի արժեքները թվեր են։ Հետեւաբար, եթե մենք խոսում ենքԿոնկրետ ֆունկցիաների մասին նպատակահարմար է եռանկյունաչափական ֆունկցիաները դիտարկել որպես թվային փաստարկների ֆունկցիաներ։

Սահմանումների միացում երկրաչափությունից և եռանկյունաչափությունից

Եթե ​​դիտարկենք α պտտման անկյունը 0-ից մինչև 90 աստիճան, ապա եռանկյունաչափության համատեքստում պտտման անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանման տվյալները լիովին համապատասխանում են սինուսի, կոսինուսի սահմանումներին։ , ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափող և կոտանգենս, որոնք տրված են երկրաչափության դասընթացում։ Սա հիմնավորենք.

Դեկեկարտյան կոորդինատային ուղղանկյուն Oxy համակարգում գծե՛ք միավոր շրջան: Նշեք մեկնարկային կետը A(1, 0): Պտտենք այն α անկյան տակ, որը տատանվում է 0-ից 90 աստիճան, ստանում ենք A 1 կետը (x, y) : A 1 H ուղղահայացը գցենք A 1 կետից Ox առանցքի վրա։

Հեշտ է տեսնել, որ ուղղանկյուն եռանկյունում A 1 OH անկյունը հավասար է α պտտման անկյունին, այս անկյան կից OH ոտքի երկարությունը հավասար է A 1 կետի աբսցիսային, այսինքն՝ |OH: |=x, անկյան հակառակ A 1 H ոտքի երկարությունը հավասար է A 1 կետի օրդինատին, այսինքն՝ |A 1 H|=y , իսկ OA 1 հիպոթենուզի երկարությունը հավասար է մեկի. , քանի որ դա միավոր շրջանագծի շառավիղն է։ Այնուհետև, ըստ երկրաչափության սահմանման, A 1 OH ուղղանկյուն եռանկյան α սուր անկյան սինուսը հավասար է հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությանը, այսինքն՝ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Իսկ եռանկյունաչափության սահմանմամբ α պտտման անկյան սինուսը հավասար է A 1 կետի օրդինատին, այսինքն sinα=y։ Սա ցույց է տալիս, որ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան սինուսի սահմանումը համարժեք է α պտտման անկյան սինուսի սահմանմանը α 0-ից մինչև 90 աստիճան:

Նմանապես, կարելի է ցույց տալ, որ α սուր անկյան կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները համահունչ են α պտտման անկյան կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումներին։

Մատենագիտություն.

1. Երկրաչափություն. 7-9 դասարաններ: ուսումնասիրություններ. հանրակրթության համար հիմնարկներ / [Լ. Ս. Աթանասյան, Վ. Ֆ. Բուտուզով, Ս. Բ. Կադոմցև և ուրիշներ]: - 20-րդ հրատ. Մ.: Կրթություն, 2010. - 384 էջ: հիվանդ. - ISBN 978-5-09-023915-8 ։
2. Պոգորելով Ա.Վ.Երկրաչափություն՝ պրոկ. 7-9 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / A. V. Pogorelov. - 2-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 2001. - 224 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Հանրահաշիվ և տարրական գործառույթներ : Ուսուցողական 9-րդ դասարանի աշակերտների համար ավագ դպրոց/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Խմբագրվել է ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր Օ. Ն. Գոլովինի կողմից - 4-րդ հրատ. Մոսկվա: Կրթություն, 1969 թ.
4. Հանրահաշիվ:Պրոց. 9 բջիջների համար: միջին դպրոց / Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա; Էդ. Ս.Ա.Տելյակովսկի.- Մ.: Լուսավորություն, 1990.- 272 էջ: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Հանրահաշիվև վերլուծության սկիզբը՝ Պրոց. 10-11 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին և այլք; Էդ. Ա. Ն. Կոլմոգորովա.- 14-րդ հրատ.- Մ.: Լուսավորություն, 2004.- 384 էջ: ill.- ISBN 5-09-013651-3:
6. Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-րդ դասարան. Ժամը 2-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար ( պրոֆիլի մակարդակ)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4-րդ հրատ., ավելացնել. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-00792-0 ։
7. Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: Դասարան 10: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ /[Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբ. A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - I .: Կրթություն, 2010. - 368 էջ: Հիվանդ - ISBN 978-5-09-022771-1:
8. Բաշմակով Մ.Ի.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Պրոց. 10-11 բջիջների համար: միջին դպրոց - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 1993. - 351 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-004617-4։
9. Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Սինուս (), կոսինուս (), շոշափող (), կոտանգենս () հասկացությունները անքակտելիորեն կապված են անկյուն հասկացության հետ։ Առաջին հայացքից դրանք լավ հասկանալու համար. բարդ հասկացություններ(որոնք սարսափելի վիճակ են առաջացնում շատ դպրոցականների մոտ), և համոզվեք, որ «սատանան այնքան սարսափելի չէ, որքան նկարված է», եկեք սկսենք հենց սկզբից և հասկանանք անկյուն հասկացությունը։

Անկյուն հասկացությունը՝ ռադիան, աստիճան

Եկեք նայենք նկարին։ Վեկտորը «շրջվել» է կետի նկատմամբ որոշակի քանակությամբ։ Այսպիսով, այս պտույտի չափը նախնական դիրքի համեմատ կլինի ներարկում.

Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք անկյուն հասկացության մասին: Դե, անկյան միավորներ, իհարկե։

Անկյունը և՛ երկրաչափության, և՛ եռանկյունաչափության մեջ կարելի է չափել աստիճաններով և ռադիաններով:

Անկյունը (մեկ աստիճան) շրջանագծի կենտրոնական անկյունն է, որը հիմնված է շրջանագծի մասին հավասար շրջանաձև աղեղի վրա: Այսպիսով, ամբողջ շրջանը բաղկացած է շրջանաձև աղեղների «կտորներից», կամ շրջանագծի նկարագրած անկյունը հավասար է։

Այսինքն՝ վերևի նկարը ցույց է տալիս հավասար անկյուն, այսինքն՝ այս անկյունը հիմնված է շրջագծի չափով շրջանաձև աղեղի վրա։

Ռադիաններով անկյունը շրջանագծի կենտրոնական անկյուն է, որը հիմնված է շրջանաձև աղեղի վրա, որի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին: Լավ, հասկացա՞ր։ Եթե ​​ոչ, ապա եկեք նայենք նկարին։

Այսպիսով, նկարը ցույց է տալիս ռադիանի հավասար անկյուն, այսինքն, այս անկյունը հիմնված է շրջանաձև աղեղի վրա, որի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին (երկարությունը հավասար է երկարությանը կամ շառավիղը հավասար է. աղեղի երկարությունը): Այսպիսով, աղեղի երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

Որտեղ է կենտրոնական անկյունը ռադիաններով:

Դե, իմանալով սա, կարո՞ղ եք պատասխանել, թե քանի ռադիան է պարունակում շրջանով նկարագրված անկյուն: Այո, դրա համար անհրաժեշտ է հիշել շրջանագծի շրջագծի բանաձեւը։ Ահա նա.

Դե, հիմա եկեք փոխկապակցենք այս երկու բանաձևերը և ստանանք, որ շրջանագծի նկարագրած անկյունը հավասար է: Այսինքն՝ փոխկապակցելով արժեքը աստիճաններով և ռադիաններով՝ մենք ստանում ենք դա։ Համապատասխանաբար, . Ինչպես տեսնում եք, ի տարբերություն «աստիճանների», «ռադիան» բառը բաց է թողնվում, քանի որ չափման միավորը սովորաբար պարզ է համատեքստից։

Քանի՞ ռադիան է: Ճիշտ է!

Հասկացա? Այնուհետև ամրացրեք առաջ.

Դժվարություններ կա՞ն: Հետո նայիր պատասխանները:

Ուղղանկյուն եռանկյուն՝ սինուս, կոսինուս, շոշափող, անկյան կոտանգենս

Այսպիսով, անկյան հայեցակարգը պարզվեց: Բայց ո՞րն է անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, կոտանգենսը: Եկեք պարզենք այն: Դրա համար մեզ կօգնի ուղղանկյուն եռանկյունը։

Ինչպե՞ս են կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը: Ճիշտ է, հիպոթենուսը և ոտքերը. հիպոթենուսը հակառակ կողմն է Աջ անկյունը(մեր օրինակում սա կողմն է); ոտքերը մնացած երկու կողմերն են և (որոնք հարում են ուղիղ անկյան տակ), ընդ որում, եթե ոտքերը դիտարկենք անկյան նկատմամբ, ապա ոտքը հարակից ոտքն է, իսկ ոտքը՝ հակառակը։ Այսպիսով, հիմա եկեք պատասխանենք հարցին. որո՞նք են անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը:

Անկյունի սինուսհակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:

մեր եռանկյունու մեջ։

Անկյան կոսինուս- սա հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հիպոթենուսին:

մեր եռանկյունու մեջ։

Անկյուն շոշափող- սա հակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերակցությունն է հարակից (մոտ):

մեր եռանկյունու մեջ։

Անկյունի կոտանգենս- սա հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ (հեռու):

մեր եռանկյունու մեջ։

Այս սահմանումները անհրաժեշտ են հիշիր! Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հիշել, թե որ ոտքը ինչի վրա բաժանել, դուք պետք է հստակ հասկանաք դա շոշափողև կոտանգենսմիայն ոտքերը նստում են, իսկ հիպոթենուսը հայտնվում է միայն ներսում սինուսև կոսինուս. Եվ հետո դուք կարող եք գալ ասոցիացիաների շղթա: Օրինակ, այս մեկը.

կոսինուս→ շոշափել→ հպել→ հարակից;

Կոտանգենտ→ շոշափել→ շոշափել→ հարակից.

Նախ պետք է հիշել, որ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը որպես եռանկյան կողմերի հարաբերություններ կախված չեն այս կողմերի երկարություններից (մեկ անկյան տակ): Չեն հավատում? Այնուհետև համոզվեք՝ նայելով նկարին.

Դիտարկենք, օրինակ, անկյան կոսինուսը: Ըստ սահմանման՝ եռանկյունից՝ , բայց անկյան կոսինուսը կարող ենք հաշվել եռանկյունից՝ . Տեսեք, կողմերի երկարությունները տարբեր են, բայց մեկ անկյան կոսինուսի արժեքը նույնն է։ Այսպիսով, սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները կախված են բացառապես անկյան մեծությունից:

Եթե ​​հասկանում եք սահմանումները, ապա առաջ գնացեք և ուղղեք դրանք:

Ստորև նկարում ներկայացված եռանկյունու համար մենք գտնում ենք.

Դե, ստացե՞լ եք: Ապա փորձեք ինքներդ՝ նույնը հաշվարկեք անկյունի համար։

Միավոր (եռանկյունաչափական) շրջան

Հասկանալով աստիճաններ և ռադիաններ հասկացությունները՝ մենք համարեցինք հավասար շառավղով շրջան։ Նման շրջանակը կոչվում է միայնակ. Այն շատ օգտակար է եռանկյունաչափության ուսումնասիրության մեջ։ Հետևաբար, մենք մի փոքր ավելի մանրամասն կանդրադառնանք դրան:

Ինչպես տեսնում եք, այս շրջանակը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Շրջանակի շառավիղը հավասար է մեկի, մինչդեռ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է սկզբնամասում, շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը ամրագրված է առանցքի դրական ուղղության երկայնքով (մեր օրինակում սա շառավիղն է):

Շրջանակի յուրաքանչյուր կետը համապատասխանում է երկու թվի՝ առանցքի երկայնքով կոորդինատը և առանցքի երկայնքով կոորդինատը: Որո՞նք են այս կոորդինատային թվերը: Իսկ ընդհանրապես ի՞նչ կապ ունեն քննարկվող թեմայի հետ։ Դա անելու համար հիշեք դիտարկված ուղղանկյուն եռանկյունու մասին: Վերևի նկարում կարող եք տեսնել երկու ամբողջական ուղղանկյուն եռանկյունիներ: Դիտարկենք եռանկյուն: Այն ուղղանկյուն է, քանի որ այն ուղղահայաց է առանցքին:

Ինչի՞ է հավասար եռանկյունից: Ճիշտ է. Բացի այդ, մենք գիտենք, որ դա միավորի շրջանագծի շառավիղն է, և, հետևաբար, . Փոխարինեք այս արժեքը մեր կոսինուսի բանաձևով: Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.

Իսկ ինչի՞ն է հավասար եռանկյունից։ Դե, իհարկե,! Փոխարինեք շառավիղի արժեքը այս բանաձևով և ստացեք.

Այսպիսով, կարո՞ղ եք ինձ ասել, թե որոնք են շրջանագծին պատկանող կետի կոորդինատները: Դե, ոչ մի կերպ: Իսկ եթե դուք դա գիտակցում եք և պարզապես թվեր եք: Ո՞ր կոորդինատին է այն համապատասխանում: Դե, իհարկե, կոորդինատը: Ո՞ր կոորդինատին է այն համապատասխանում: Ճիշտ է, կոորդինացե՛ք։ Այսպիսով, կետը.

Իսկ ի՞նչն է այդ դեպքում հավասար և. Ճիշտ է, օգտագործենք շոշափողի և կոտանգենսի համապատասխան սահմանումները և ստանանք, որ ա.

Իսկ եթե անկյունն ավելի մեծ է: Ահա, օրինակ, ինչպես այս նկարում.

Ինչ է փոխվել մեջ այս օրինակը? Եկեք պարզենք այն: Դա անելու համար մենք կրկին դիմում ենք ուղղանկյուն եռանկյունի: Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունը՝ անկյուն (անկյունին կից): Որքա՞ն է անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքը: Ճիշտ է, մենք հավատարիմ ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համապատասխան սահմանումներին.

Դե, ինչպես տեսնում եք, անկյան սինուսի արժեքը դեռևս համապատասխանում է կոորդինատին. անկյան կոսինուսի արժեքը՝ կոորդինատը; և համապատասխան հարաբերակցություններին շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները: Այսպիսով, այս հարաբերությունները կիրառելի են շառավիղի վեկտորի ցանկացած պտույտի համար:

Արդեն նշվեց, որ շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը առանցքի դրական ուղղության երկայնքով է։ Մինչ այժմ մենք պտտել ենք այս վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, բայց ի՞նչ կլինի, եթե այն պտտենք ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Ոչ մի արտառոց բան, դուք նույնպես որոշակի չափի անկյուն կստանաք, բայց միայն այն կլինի բացասական։ Այսպիսով, շառավիղի վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելիս ստանում ենք դրական անկյուններև ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվելիս՝ բացասական.

Այսպիսով, մենք գիտենք, որ շրջանագծի շուրջ շառավղային վեկտորի մի ամբողջ պտույտ է կամ. Հնարավո՞ր է շառավիղի վեկտորը պտտել ըստ կամ ըստ: Դե, իհարկե, կարող ես: Այսպիսով, առաջին դեպքում շառավիղի վեկտորը կկատարի մեկ ամբողջական պտույտ և կանգ կառնի դիրքում կամ.

Երկրորդ դեպքում, այսինքն, շառավիղի վեկտորը կկատարի երեք ամբողջական պտույտ և կանգ կառնի դիրքում կամ.

Այսպիսով, վերը նշված օրինակներից կարող ենք եզրակացնել, որ անկյունները, որոնք տարբերվում են կամ (որտեղ կա որևէ ամբողջ թիվ) համապատասխանում են շառավիղի վեկտորի նույն դիրքին։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս անկյունը: Նույն պատկերը համապատասխանում է անկյունին և այլն։ Այս ցանկը կարելի է անվերջ շարունակել։ Այս բոլոր անկյունները կարելի է գրել ընդհանուր բանաձևով կամ (որտեղ կա որևէ ամբողջ թիվ)

Այժմ, իմանալով հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները և օգտագործելով միավորի շրջանակը, փորձեք պատասխանել, թե ինչ արժեքներ են հավասար.

Ահա միավորի շրջանակը, որը կօգնի ձեզ.

Դժվարություններ կա՞ն: Հետո եկեք պարզենք: Այսպիսով, մենք գիտենք, որ.

Այստեղից որոշում ենք անկյան որոշակի չափումների համապատասխան կետերի կոորդինատները։ Դե, եկեք սկսենք հերթականությամբ. ժամը անկյունը համապատասխանում է կոորդինատներով կետի, հետևաբար.

Գոյություն չունի;

Այնուհետև, հավատարիմ մնալով նույն տրամաբանությանը, պարզում ենք, որ անկյունները համապատասխանաբար համապատասխանում են կոորդինատներով կետերին։ Իմանալով դա՝ հեշտ է որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները համապատասխան կետերում: Փորձեք նախ ինքներդ, ապա ստուգեք պատասխանները:

Պատասխանները:

Գոյություն չունի

Գոյություն չունի

Գոյություն չունի

Գոյություն չունի

Այսպիսով, մենք կարող ենք կազմել հետևյալ աղյուսակը.

Այս բոլոր արժեքները հիշելու կարիք չկա։ Բավական է հիշել միավորի շրջանագծի կետերի կոորդինատների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների համապատասխանությունը.

Բայց ստորև բերված աղյուսակում տրված անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները, պետք է հիշել:

Մի վախեցեք, հիմա մենք ցույց կտանք օրինակներից մեկը համապատասխան արժեքների բավականին պարզ անգիր:

Այս մեթոդն օգտագործելու համար կարևոր է հիշել սինուսի արժեքները անկյան բոլոր երեք չափումների համար (), ինչպես նաև անկյան շոշափողի արժեքը: Իմանալով այս արժեքները, բավականին հեշտ է վերականգնել ամբողջ աղյուսակը. կոսինուսի արժեքները փոխանցվում են սլաքների համաձայն, այսինքն.

Իմանալով դա, դուք կարող եք վերականգնել արժեքները: « » համարիչը կհամընկնի, իսկ հայտարարը կհամապատասխանի: Կոտանգենտի արժեքները փոխանցվում են նկարում ներկայացված սլաքների համաձայն: Եթե ​​դուք հասկանում եք սա և հիշում եք սլաքներով գծապատկերը, ապա բավական կլինի հիշել ամբողջ արժեքը աղյուսակից:

Շրջանակի վրա գտնվող կետի կոորդինատները

Հնարավո՞ր է շրջանի վրա գտնել կետ (դրա կոորդինատները), իմանալով շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները, նրա շառավիղը և պտտման անկյունը?

Դե, իհարկե, կարող ես: Եկեք դուրս բերենք կետի կոորդինատները գտնելու ընդհանուր բանաձև.

Ահա, օրինակ, մենք ունենք այսպիսի շրջանակ.

Մեզ տրվում է, որ կետը շրջանագծի կենտրոնն է։ Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել կետի կոորդինատները, որոնք ստացվում են կետը աստիճաններով պտտելով։

Ինչպես երևում է նկարից, կետի կոորդինատը համապատասխանում է հատվածի երկարությանը։ Հատվածի երկարությունը համապատասխանում է շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատին, այսինքն՝ այն հավասար է. Հատվածի երկարությունը կարելի է արտահայտել՝ օգտագործելով կոսինուսի սահմանումը.

Այնուհետև մենք ունենք այն կետի կոորդինատը:

Նույն տրամաբանությամբ մենք գտնում ենք կետի համար y կոորդինատի արժեքը։ Այս կերպ,

Այսպիսով, ներս ընդհանուր տեսարանկետի կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.

Շրջանակի կենտրոնի կոորդինատները,

շրջանագծի շառավիղ,

Շառավիղի վեկտորի պտտման անկյուն:

Ինչպես տեսնում եք, միավորի շրջանակի համար, որը մենք դիտարկում ենք, այս բանաձևերը զգալիորեն կրճատվել են, քանի որ կենտրոնի կոորդինատները զրո են, իսկ շառավիղը հավասար է մեկի.

Դե, եկեք փորձենք այս բանաձեւերը համտեսելու համար՝ պարապելով շրջանագծի վրա միավորներ գտնելու՞ն:

1. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվում է կետը միացնելով:

2. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվում է կետը պտտելով:

3. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվել է կետը միացնելով:

4. Կետ - շրջանագծի կենտրոն: Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել սկզբնական շառավիղի վեկտորը պտտելով ստացված կետի կոորդինատները:

5. Կետ - շրջանագծի կենտրոն: Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել սկզբնական շառավիղի վեկտորը պտտելով ստացված կետի կոորդինատները:

Ունե՞ք դժվարություն շրջանագծի վրա գտնվող կետի կոորդինատները գտնելու հարցում:

Լուծեք այս հինգ օրինակները (կամ լավ հասկացեք լուծումը) և կսովորեք, թե ինչպես գտնել դրանք:

1.

Երևում է, որ. Եվ մենք գիտենք, թե ինչ է համապատասխանում ելակետի ամբողջական շրջադարձին։ Այսպիսով, ցանկալի կետը կլինի նույն դիրքում, ինչ շրջվելիս: Իմանալով դա՝ մենք գտնում ենք կետի ցանկալի կոորդինատները.

2. Շրջանակը միավոր է կենտրոնով մի կետում, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք օգտագործել պարզեցված բանաձևեր.

Երևում է, որ. Մենք գիտենք, թե ինչն է համապատասխանում երկուսին ամբողջական շրջադարձԵլակետ. Այսպիսով, ցանկալի կետը կլինի նույն դիրքում, ինչ շրջվելիս: Իմանալով դա՝ մենք գտնում ենք կետի ցանկալի կոորդինատները.

Սինուսը և կոսինուսը աղյուսակային արժեքներ են: Մենք հիշում ենք դրանց արժեքները և ստանում.

Այսպիսով, ցանկալի կետն ունի կոորդինատներ:

3. Շրջանակը միավոր է կենտրոնով մի կետում, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք օգտագործել պարզեցված բանաձևեր.

Երևում է, որ. Դիտարկված օրինակը պատկերենք նկարում.

Շառավիղը կազմում է անկյուններ, որոնց առանցքը հավասար է և. Իմանալով, որ կոսինուսի և սինուսի աղյուսակի արժեքները հավասար են, և որոշելով, որ այստեղ կոսինուսը վերցնում է բացասական նշանակություն, իսկ սինուսը դրական է, ունենք.

Նմանատիպ օրինակներն ավելի մանրամասն վերլուծվում են թեմայում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կրճատման բանաձեւերն ուսումնասիրելիս։

Այսպիսով, ցանկալի կետն ունի կոորդինատներ:

4.

Շառավիղի վեկտորի պտտման անկյուն (ըստ պայմանի)

Սինուսի և կոսինուսի համապատասխան նշանները որոշելու համար մենք կառուցում ենք միավոր շրջան և անկյուն.

Ինչպես տեսնում եք, արժեքը, այսինքն՝ դրական է, իսկ արժեքը, այսինքն՝ բացասական։ Իմանալով համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակային արժեքները՝ մենք ստանում ենք, որ.

Եկեք ստացված արժեքները փոխարինենք մեր բանաձևով և գտնենք կոորդինատները.

Այսպիսով, ցանկալի կետն ունի կոորդինատներ:

5. Այս խնդիրը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք ընդհանուր ձևով բանաձևեր, որտեղ

Շրջանակի կենտրոնի կոորդինատները (մեր օրինակում.

Շրջանակի շառավիղը (ըստ պայմանի)

Շառավիղի վեկտորի պտտման անկյուն (ըստ պայմանի).

Փոխարինեք բոլոր արժեքները բանաձևի մեջ և ստացեք.

և - աղյուսակի արժեքները: Մենք հիշում և փոխարինում ենք դրանք բանաձևով.

Այսպիսով, ցանկալի կետն ունի կոորդինատներ:

ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ

Անկյունի սինուսը հակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:

Անկյունի կոսինուսը հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:

Անկյան շոշափողը հակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերակցությունն է հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունը:

Անկյունի կոտանգենսը հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ (հեռու):

Այս հոդվածը հավաքել է սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների աղյուսակներ. Նախ, մենք տալիս ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հիմնական արժեքների աղյուսակը, այսինքն՝ 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 աստիճան անկյունների սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների աղյուսակը ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πռադիան): Դրանից հետո մենք կտանք սինուսների և կոսինուսների աղյուսակը, ինչպես նաև Վ. Մ. Բրադիսի շոշափողների և կոտանգենսների աղյուսակը և ցույց կտանք, թե ինչպես օգտագործել այս աղյուսակները եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները գտնելիս:

Էջի նավարկություն.

Սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների աղյուսակ 0, 30, 45, 60, 90, ... աստիճան անկյունների համար

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:Պրոց. 9 բջիջների համար: միջին դպրոց / Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա; Էդ. Ս.Ա.Տելյակովսկի.- Մ.: Լուսավորություն, 1990.- 272 էջ: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Բաշմակով Մ.Ի.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Պրոց. 10-11 բջիջների համար: միջին դպրոց - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 1993. - 351 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-004617-4։
• Հանրահաշիվև վերլուծության սկիզբը՝ Պրոց. 10-11 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին և այլք; Էդ. Ա. Ն. Կոլմոգորովա.- 14-րդ հրատ.- Մ.: Լուսավորություն, 2004.- 384 էջ: ill.- ISBN 5-09-013651-3:
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.
• Բրեդիս Վ.Մ.Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ՝ հանրակրթական. դասագիրք հաստատություններ. - 2-րդ հրատ. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: հիվանդ. ISBN 5-7107-2667-2

Մաթեմատիկայի այն ճյուղերից մեկը, որով դպրոցականները հաղթահարում են ամենամեծ դժվարությունները, եռանկյունաչափությունն է։ Զարմանալի չէ. այս գիտելիքի ոլորտը ազատորեն տիրապետելու համար անհրաժեշտ է տարածական մտածողություն, սինուսներ, կոսինուսներ, շոշափողներ, կոտանգենսներ գտնելու ունակություն՝ օգտագործելով բանաձևեր, պարզեցնել արտահայտությունները և կարողանալ օգտագործել pi թիվը հաշվարկներում: Բացի այդ, դուք պետք է կարողանաք կիրառել եռանկյունաչափություն թեորեմներն ապացուցելիս, և դրա համար անհրաժեշտ է կա՛մ զարգացած մաթեմատիկական հիշողություն, կա՛մ բարդ տրամաբանական շղթաներ դուրս բերելու կարողություն:

Եռանկյունաչափության ծագումը

Այս գիտության հետ ծանոթությունը պետք է սկսվի անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի սահմանումից, բայց նախ պետք է պարզել, թե ընդհանրապես ինչ է անում եռանկյունաչափությունը:

Պատմականորեն ուղղանկյուն եռանկյունները եղել են մաթեմատիկական գիտության այս բաժնում ուսումնասիրության հիմնական առարկան: 90 աստիճանի անկյան առկայությունը հնարավորություն է տալիս իրականացնել տարբեր գործողություններ, որոնք թույլ են տալիս որոշել դիտարկվող գործչի բոլոր պարամետրերի արժեքները՝ օգտագործելով երկու կողմ և մեկ անկյուն կամ երկու անկյուն և մեկ կողմ: Նախկինում մարդիկ նկատեցին այս օրինաչափությունը և սկսեցին ակտիվորեն օգտագործել այն շենքերի կառուցման, նավիգացիայի, աստղագիտության և նույնիսկ արվեստի մեջ:

Առաջին փուլ

Սկզբում մարդիկ խոսում էին անկյունների և կողմերի հարաբերությունների մասին բացառապես ուղղանկյուն եռանկյունների օրինակով։ Այնուհետև հայտնաբերվեցին հատուկ բանաձևեր, որոնք հնարավորություն տվեցին ընդլայնել օգտագործման սահմանները Առօրյա կյանքմաթեմատիկայի այս ճյուղը։

Դպրոցում եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունն այսօր սկսվում է ուղղանկյուն եռանկյուններով, որից հետո ստացած գիտելիքները սովորողները օգտագործում են ֆիզիկայում և աբստրակտ եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, որոնց հետ աշխատանքը սկսվում է ավագ դպրոցից։

Գնդաձև եռանկյունաչափություն

Ավելի ուշ, երբ գիտությունը եկավ հաջորդ մակարդակըզարգացումը, սինուսով, կոսինուսով, շոշափողով, կոտանգենսով բանաձևերը սկսեցին կիրառվել գնդաձև երկրաչափության մեջ, որտեղ գործում են այլ կանոններ, և եռանկյան անկյունների գումարը միշտ ավելի քան 180 աստիճան է։ Այս բաժինը դպրոցում չի ուսումնասիրվում, սակայն անհրաժեշտ է իմանալ դրա գոյության մասին, թեկուզ այն պատճառով, որ երկրի մակերեսը և ցանկացած այլ մոլորակի մակերեսը ուռուցիկ է, ինչը նշանակում է, որ ցանկացած մակերևույթի գծանշում կլինի «աղեղաձև»: եռաչափ տարածություն.

Վերցրեք գլոբուսը և թելը: Կցեք թելը գլոբուսի ցանկացած երկու կետի վրա, որպեսզի այն ձգվի: Ուշադրություն դարձրեք՝ այն ձեռք է բերել աղեղի ձև։ Հենց այսպիսի ձևերի հետ է առնչվում գնդային երկրաչափությունը, որն օգտագործվում է գեոդեզիայի, աստղագիտության և այլ տեսական ու կիրառական ոլորտներում։

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Մի փոքր սովորելով եռանկյունաչափության օգտագործման եղանակներին՝ վերադառնանք հիմնական եռանկյունաչափությանը, որպեսզի հետագայում հասկանանք, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, ինչ հաշվարկներ կարելի է կատարել դրանց օգնությամբ և ինչ բանաձևեր օգտագործել։

Առաջին քայլը ուղղանկյուն եռանկյունու հետ կապված հասկացությունները հասկանալն է: Նախ, հիպոթենուսը 90 աստիճանի անկյան հակառակ կողմն է: Նա ամենաերկարն է: Հիշում ենք, որ, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, նրա թվային արժեքը հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարի արմատին։

Օրինակ, եթե երկու կողմերը համապատասխանաբար 3 և 4 սանտիմետր են, հիպոթենուսի երկարությունը կլինի 5 սանտիմետր: Ի դեպ, այս մասին հին եգիպտացիները գիտեին մոտ չորսուկես հազար տարի առաջ։

Մնացած երկու կողմերը, որոնք կազմում են ուղիղ անկյուն, կոչվում են ոտքեր: Բացի այդ, պետք է հիշել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճան է:

Սահմանում

Ի վերջո, երկրաչափական հիմքի լավ ըմբռնմամբ մենք կարող ենք դիմել անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի սահմանմանը:

Անկյունի սինուսը հակառակ ոտքի (այսինքն՝ ցանկալի անկյան հակառակ կողմի) հարաբերությունն է հիպոթենուսին: Անկյունի կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է:

Հիշեք, որ ոչ սինուսը, ոչ կոսինուսը չեն կարող մեկից մեծ լինել: Ինչո՞ւ։ Որովհետև հիպոթենուզը լռելյայն ամենաերկարն է: Անկախ նրանից, թե որքան երկար է ոտքը, այն ավելի կարճ կլինի, քան հիպոթենուսը, ինչը նշանակում է, որ դրանց հարաբերակցությունը միշտ կլինի մեկից պակաս: Այսպիսով, եթե խնդրի պատասխանում ստանում եք 1-ից մեծ արժեք ունեցող սինուս կամ կոսինուս, ապա փնտրեք սխալ հաշվարկներում կամ հիմնավորումներում: Այս պատասխանն ակնհայտորեն սխալ է։

Ի վերջո, անկյան շոշափողը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է: Նույն արդյունքը կտա սինուսի բաժանումը կոսինուսով։ Նայեք՝ ըստ բանաձևի՝ կողմի երկարությունը բաժանում ենք հիպոթենուզայի վրա, որից հետո բաժանում ենք երկրորդ կողմի երկարության վրա և բազմապատկում հիպոթենուսով։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք նույն հարաբերակցությունը, ինչ շոշափողի սահմանման մեջ:

Կոտանգենսը, համապատասխանաբար, անկյունին հարող կողմի և հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է: Նույն արդյունքը ստանում ենք՝ բաժանելով միավորը շոշափողի վրա։

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք այն սահմանումները, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը, և կարող ենք գործ ունենալ բանաձևերի հետ:

Ամենապարզ բանաձևերը

Եռանկյունաչափության մեջ չի կարելի անել առանց բանաձևերի՝ ինչպե՞ս գտնել սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս առանց դրանց: Եվ հենց դա է պահանջվում խնդիրներ լուծելիս։

Առաջին բանաձևը, որը դուք պետք է իմանաք, երբ սկսում եք ուսումնասիրել եռանկյունաչափությունը, ասում է, որ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի: Այս բանաձևը Պյութագորասի թեորեմի ուղղակի հետևանքն է, բայց այն ժամանակ է խնայում, եթե ցանկանում եք իմանալ անկյան արժեքը, ոչ թե կողմը:

Շատ սովորողներ չեն կարողանում հիշել երկրորդ բանաձևը, որը նույնպես շատ տարածված է դպրոցական խնդիրներ լուծելիս՝ մեկի գումարը և անկյան տանգենսի քառակուսին հավասար է մեկի՝ բաժանված անկյան կոսինուսի քառակուսու վրա։ Ուշադիր նայեք. ի վերջո, սա նույն պնդումն է, ինչ առաջին բանաձևում, միայն ինքնության երկու կողմերն են բաժանվել կոսինուսի քառակուսու վրա: Պարզվում է, որ պարզ մաթեմատիկական գործողությունը եռանկյունաչափական բանաձեւը լիովին անճանաչելի է դարձնում։ Հիշեք. իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը, փոխակերպման կանոնները և մի քանի հիմնական բանաձևերը, դուք կարող եք ցանկացած պահի ինքնուրույն դուրս բերել պահանջվող ավելի բարդ բանաձևերը թղթի վրա:

Կրկնակի անկյունային բանաձևեր և արգումենտների ավելացում

Եվս երկու բանաձև, որոնք դուք պետք է սովորեք, կապված են անկյունների գումարի և տարբերության սինուսի և կոսինուսի արժեքների հետ: Դրանք ներկայացված են ստորև բերված նկարում: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ առաջին դեպքում սինուսը և կոսինուսը բազմապատկվում են երկու անգամ, իսկ երկրորդում գումարվում է սինուսի և կոսինուսի զույգ արտադրյալը:

Կան նաև բանաձևեր, որոնք կապված են կրկնակի անկյան փաստարկների հետ: Դրանք ամբողջությամբ բխում են նախորդներից՝ որպես պրակտիկա, փորձեք ինքներդ ստանալ դրանք՝ վերցնելով ալֆա անկյունը հավասար է անկյանբետա.

Ի վերջո, նշեք, որ կրկնակի անկյան բանաձևերը կարող են փոխակերպվել սինուսի, կոսինուսի, շոշափող ալֆայի աստիճանի իջեցման համար:

Թեորեմներ

Հիմնական եռանկյունաչափության երկու հիմնական թեորեմներն են սինուսի թեորեմը և կոսինուսի թեորեմը։ Այս թեորեմների օգնությամբ դուք հեշտությամբ կարող եք հասկանալ, թե ինչպես կարելի է գտնել սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, և, հետևաբար, գործչի տարածքը և յուրաքանչյուր կողմի չափը և այլն:

Սինուսների թեորեմն ասում է, որ եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը հակառակ անկյան արժեքի վրա բաժանելու արդյունքում ստանում ենք. նույն թիվը. Ընդ որում, այս թիվը հավասար կլինի շրջագծված շրջանագծի երկու շառավղին, այսինքն՝ տվյալ եռանկյան բոլոր կետերը պարունակող շրջանագծին։

Կոսինուսի թեորեմն ընդհանրացնում է Պյութագորասի թեորեմը՝ այն նախագծելով ցանկացած եռանկյունու վրա։ Ստացվում է, որ երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանեք դրանց արտադրյալը, բազմապատկած նրանց հարակից անկյան կրկնակի կոսինուսով, ստացված արժեքը հավասար կլինի երրորդ կողմի քառակուսուն: Այսպիսով, պարզվում է, որ Պյութագորասի թեորեմը կոսինուսի թեորեմի հատուկ դեպք է։

Սխալներ անուշադրության պատճառով

Նույնիսկ իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, հեշտ է սխալվել անսխալության կամ ամենապարզ հաշվարկների սխալի պատճառով: Նման սխալներից խուսափելու համար եկեք ծանոթանանք դրանցից ամենահայտնիներին։

Նախ, դուք չպետք է սովորական կոտորակները վերածեք տասնորդականների, քանի դեռ վերջնական արդյունքը չի ստացվել, պատասխանը կարող եք թողնել ձևի մեջ. ընդհանուր կոտորակեթե պայմանով այլ բան նախատեսված չէ: Նման վերափոխումը չի կարելի սխալ անվանել, բայց պետք է հիշել, որ առաջադրանքի յուրաքանչյուր փուլում կարող են հայտնվել նոր արմատներ, որոնք, հեղինակի մտահղացմամբ, պետք է կրճատվեն։ Այս դեպքում ժամանակ կկորցնեք ավելորդների վրա մաթեմատիկական գործողություններ. Սա հատկապես ճիշտ է այնպիսի արժեքների համար, ինչպիսիք են երեք կամ երկուսի արմատը, քանի որ դրանք առաջանում են առաջադրանքների մեջ ամեն քայլափոխի: Նույնը վերաբերում է «տգեղ» թվերի կլորացմանը։

Ավելին, նշեք, որ կոսինուսի թեորեմը վերաբերում է ցանկացած եռանկյունու, բայց ոչ Պյութագորասի թեորեմին: Եթե ​​սխալմամբ մոռանաք երկու անգամ պակասեցնել կողմերի արտադրյալը, որը բազմապատկվել է նրանց միջև ընկած անկյան կոսինուսով, դուք ոչ միայն լիովին սխալ արդյունք կստանաք, այլև կցուցադրեք թեմայի ամբողջական թյուրիմացություն: Սա ավելի վատ է, քան անզգույշ սխալը:

Երրորդ, մի շփոթեք սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների, կոտանգենսների համար 30 և 60 աստիճանի անկյունների արժեքները: Հիշեք այս արժեքները, քանի որ 30 աստիճանի սինուսը հավասար է 60-ի կոսինուսին և հակառակը։ Հեշտ է դրանք խառնել, ինչի արդյունքում անխուսափելիորեն սխալ արդյունք կստանաք։

Դիմում

Շատ ուսանողներ չեն շտապում սկսել եռանկյունաչափություն ուսումնասիրել, քանի որ չեն հասկանում դրա կիրառական նշանակությունը։ Ի՞նչ է սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը ինժեների կամ աստղագետի համար: Սրանք այն հասկացություններն են, որոնցով դուք կարող եք հաշվարկել հեռավորությունը հեռավոր աստղեր, գուշակել երկնաքարի անկումը, հետազոտական ​​զոնդ ուղարկել այլ մոլորակ։ Առանց դրանց անհնար է շենք կառուցել, մեքենա նախագծել, հաշվարկել մակերեսի ծանրաբեռնվածությունը կամ օբյեկտի հետագիծը։ Եվ սրանք ընդամենը ամենաակնառու օրինակներն են։ Ի վերջո, եռանկյունաչափությունն այս կամ այն ​​ձևով կիրառվում է ամենուր՝ երաժշտությունից մինչև բժշկություն:

Վերջապես

Այսպիսով, դուք սինուս եք, կոսինուս, շոշափող: Դուք կարող եք դրանք օգտագործել հաշվարկներում և հաջողությամբ լուծել դպրոցական խնդիրները:

Եռանկյունաչափության ողջ էությունը հանգում է նրան, որ անհայտ պարամետրերը պետք է հաշվարկվեն եռանկյունու հայտնի պարամետրերից։ Ընդհանուր առմամբ կա վեց պարամետր՝ երկարություններ երեք կողմև երեք անկյունների չափերը: Առաջադրանքների ամբողջ տարբերությունը կայանում է նրանում, որ տարբեր մուտքային տվյալներ են տրվում:

Ինչպես գտնել սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը ոտքերի հայտնի երկարությունների կամ հիպոթենուսի հիման վրա, այժմ դուք գիտեք: Քանի որ այս տերմինները նշանակում են ոչ այլ ինչ, քան հարաբերակցություն, իսկ հարաբերակցությունը կոտորակ է, հիմնական նպատակըՍովորական հավասարման կամ հավասարումների համակարգի արմատները գտնելը դառնում է եռանկյունաչափական խնդիր: Իսկ այստեղ ձեզ կօգնի սովորական դպրոցական մաթեմատիկան։

Սկզբում սինուսը և կոսինուսը առաջացել են ուղղանկյուն եռանկյուններով մեծությունները հաշվարկելու անհրաժեշտության պատճառով: Նկատվեց, որ եթե ուղղանկյուն եռանկյան անկյունների աստիճանի չափման արժեքը չի փոխվում, ապա կողմերի հարաբերակցությունը, անկախ նրանից, թե որքանով են փոխվում այս կողմերը երկարությամբ, միշտ մնում է նույնը։

Այսպես են ներմուծվել սինուս և կոսինուս հասկացությունները։ Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան սինուսը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է, իսկ կոսինուսը՝ հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունը։

Կոսինուսների և սինուսների թեորեմներ

Բայց կոսինուսներն ու սինուսները կարող են օգտագործվել ոչ միայն ուղղանկյուն եռանկյունիներում։ Բութ կամ սուր անկյան, ցանկացած եռանկյան կողմի արժեքը գտնելու համար բավական է կիրառել կոսինուսի և սինուսի թեորեմը։

Կոսինուսների թեորեմը բավականին պարզ է. «Եռանկյան կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին` հանած երկու կողմերի արտադրյալը նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսով»:

Սինուսի թեորեմի երկու մեկնաբանություն կա՝ փոքր և ընդլայնված: Ըստ փոքրի՝ «Եռանկյունում անկյունները համաչափ են հակառակ կողմերին»։ Այս թեորեմը հաճախ ընդլայնվում է եռանկյան շրջանագծի հատկության պատճառով՝ «Եռանկյունում անկյունները համաչափ են հակառակ կողմերին, և դրանց հարաբերակցությունը հավասար է շրջագծված շրջանագծի տրամագծին»։

Ածանցյալներ

Ածանցյալը մաթեմատիկական գործիք է, որը ցույց է տալիս, թե ինչ արագությամբ է փոխվում ֆունկցիան՝ կապված իր փաստարկի փոփոխության հետ: Ածանցյալները օգտագործվում են երկրաչափության մեջ և մի շարք տեխնիկական առարկաներում։

Խնդիրներ լուծելիս դուք պետք է իմանաք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակային արժեքները՝ սինուս և կոսինուս: Սինուսի ածանցյալը կոսինուսն է, իսկ կոսինուսի ածանցյալը՝ սինուսը, բայց մինուս նշանով։

Կիրառում մաթեմատիկայի մեջ

Հատկապես հաճախ սինուսներն ու կոսինուսները օգտագործվում են ուղղանկյուն եռանկյունների և դրանց հետ կապված խնդիրների լուծման ժամանակ։

Սինուսների և կոսինուսների հարմարավետությունն արտացոլված է նաև տեխնոլոգիայի մեջ: Անկյունները և կողմերը հեշտ էր գնահատել՝ օգտագործելով կոսինուսի և սինուսի թեորեմները՝ բաժանելով բարդ ձևերն ու առարկաները «պարզ» եռանկյունների: Ինժեներները և, հաճախ զբաղվելով կողմերի հարաբերակցության և աստիճանի չափումների հաշվարկներով, շատ ժամանակ և ջանք են ծախսել ոչ աղյուսակային անկյունների կոսինուսների և սինուսների հաշվարկի վրա:

Այնուհետև օգնության հասան Բրեդիսի աղյուսակները, որոնք պարունակում էին տարբեր անկյունների սինուսների, կոսինուսների, շոշափողների և կոտանգենսների հազարավոր արժեքներ: Վ Խորհրդային ժամանակորոշ ուսուցիչներ ստիպեցին իրենց ծխերին անգիր սովորել Բրեդիսի աղյուսակների էջերը:

Ռադիան - աղեղի անկյունային արժեքը, երկարությամբ, որը հավասար է շառավղին կամ 57,295779513 ° աստիճանին:

Աստիճան (երկրաչափության մեջ) - շրջանագծի 1/360-րդ կամ ուղիղ անկյան 1/90-րդ:

π = 3.141592653589793238462… (pi-ի մոտավոր արժեքը):

Կոսինուսի աղյուսակ անկյունների համար՝ 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°։

x անկյուն (աստիճաններով)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
x անկյուն (ռադիաններով)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1