Վիդեո ձեռնարկ 2: Երեք ուղղահայաց թեորեմ. Տեսություն

Վիդեո ձեռնարկ 3: Երեք ուղղահայաց թեորեմ. Առաջադրանք

Դասախոսություն: Ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացություն, նշաններ և հատկություններ. ուղղահայաց և թեք; երեք ուղղահայաց թեորեմ

Ուղղակի և հարթության ուղղահայացություն

Հիշենք, թե ընդհանրապես ինչ է ուղիղ գծերի ուղղահայացությունը։ Ուղղահայաց են այն ուղիղները, որոնք հատվում են 90 աստիճանի անկյան տակ: Այս դեպքում նրանց միջև անկյունը կարող է լինել և՛ ինչ-որ կետի հատման, և՛ հատման դեպքում։ Եթե ​​որոշ ուղիղներ հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ապա դրանք կարելի է անվանել նաև ուղղահայաց, եթե զուգահեռ փոխանցման շնորհիվ ուղիղը տեղափոխվում է երկրորդ ուղիղի մի կետ։

Սահմանում:Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է ցանկացած ուղիղ գծի, որը պատկանում է հարթությանը, ապա այն կարելի է համարել այս հարթությանը ուղղահայաց։

Նշան:Եթե ​​ինչ-որ հարթության վրա կան երկու ուղղահայաց ուղիղներ, և ինչ-որ երրորդ ուղիղ ուղղահայաց է դրանցից յուրաքանչյուրին, ապա այս երրորդ ուղիղը ուղղահայաց է հարթությանը:

Հատկություններ:

• Եթե ​​որոշ ուղիղներ ուղղահայաց են մեկ հարթությանը, ապա դրանք փոխադարձաբար զուգահեռ են միմյանց:

• Եթե ​​կան երկու զուգահեռ հարթություններ, ինչպես նաև մի քանի ուղիղ, որը ուղղահայաց է հարթություններից մեկին, ապա այն ուղղահայաց է երկրորդին:
• Կարող եք նաև հակառակ պնդումը. եթե ինչ-որ ուղիղ գիծ ուղղահայաց է երկու տարբեր հարթությունների, ապա այդպիսի հարթություններն անպայման զուգահեռ են:

Շեղ

Եթե ​​ինչ-որ ուղիղ գիծ միացնում է կամայական կետը, որը չի գտնվում հարթության վրա, հարթության որևէ կետի հետ, ապա այդպիսի ուղիղ կկոչվի. թեք.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այն թեքված է միայն այն դեպքում, եթե դրա և ինքնաթիռի միջև անկյունը 90 աստիճան չէ:

Նկարում AB-ը թեքված է α հարթության վրա: Այս դեպքում B կետը կոչվում է թեք հիմք:

Եթե ​​A կետից դեպի հարթություն գծեք հատված, որը հարթության հետ կկազմի 90 աստիճանի անկյուն, ապա այդ հատվածը կկոչվի ուղղահայաց։ Ուղղահայացը կոչվում է նաև ամենափոքր հեռավորությունը դեպի հարթություն:

AC - ուղղահայաց գծված A կետից α հարթությանը: Այս դեպքում C կետը կոչվում է ուղղահայաց հիմք:

Եթե ​​այս գծագրի վրա գծված է հատված, որը կկապի ուղղահայաց (C) հիմքը թեքված (B) հիմքի հետ, ապա ստացված հատվածը կկոչվի. պրոյեկցիա.

Պարզ կոնստրուկցիաների արդյունքում ստացանք ուղղանկյուն եռանկյունի։ Այս եռանկյան մեջ ABC անկյունը կոչվում է թեքության և պրոյեկցիայի միջև ընկած անկյուն:

Երեք ուղղահայաց թեորեմ

10-րդ դասարանի երկրաչափության դասի ուրվագիծ «Ուղի և հարթության ուղղահայացություն» թեմայով.

Դասի նպատակները.

ուսուցում

ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացության նշանի ներմուծում.

ձևավորել ուսանողների պատկերացումները ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացության, դրանց հատկությունների մասին.

ձևավորել ուսանողների թեմայի վերաբերյալ բնորոշ խնդիրներ լուծելու ունակություն, հայտարարություններ ապացուցելու ունակություն.

զարգացող

զարգացնել անկախություն, ճանաչողական գործունեություն;

զարգացնել վերլուծելու, եզրակացություններ անելու, ստացված տեղեկատվությունը համակարգելու կարողությունը,

զարգացնել տրամաբանական մտածողությունը;

զարգացնել տարածական երևակայությունը.

կրթական

ուսանողների խոսքի մշակույթի կրթություն, հաստատակամություն;

ուսանողների մեջ հետաքրքրություն սերմանել առարկայի նկատմամբ.

Դասի տեսակը.Դաս ուսումնասիրության և գիտելիքների առաջնային համախմբման վերաբերյալ:

Ուսանողների աշխատանքի ձևերը.ճակատային հետազոտություն.

Սարքավորումներ:համակարգիչ, պրոյեկտոր, էկրան։

Գրականություն:«Երկրաչափություն 10-11», Դասագիրք. Աթանասյան Լ.Ս. և այլն։

(2009, 255s.)

Դասի պլան:

Կազմակերպչական պահ (1 րոպե);

Գիտելիքների թարմացում (5 րոպե);

Նոր նյութի ուսուցում (15 րոպե);

Ուսումնասիրված նյութի նախնական համախմբում (20 րոպե);

Ամփոփում (2 րոպե);

Տնային աշխատանք (2 րոպե):

Դասերի ժամանակ.

Կազմակերպչական պահ (1 րոպե)

Ողջույններ ուսանողներից. Ուսանողների պատրաստակամության ստուգում դասին. տետրերի, դասագրքերի առկայության ստուգում. Դասից բացակայողների ստուգում.

Գիտելիքների թարմացում (5 րոպե)

Ուսուցիչ. Ո՞ր ուղիղն է կոչվում հարթությանը ուղղահայաց:

Ուսանող. Այս հարթության վրա գտնվող ցանկացած ուղիղ գծին ուղղահայաց կոչվում է այս հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ:

Ուսուցիչ. Ինչպե՞ս է հնչում երրորդին ուղղահայաց երկու զուգահեռ ուղիղների լեմման:

Ուսանող. Եթե ​​երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկն ուղղահայաց է երրորդ ուղղին, ապա մյուս ուղիղը ուղղահայաց է այս ուղղին։

Ուսուցիչ. Հարթությանը երկու զուգահեռ ուղիղների ուղղահայացության թեորեմը.

Ուսանող. Եթե ​​երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկն ուղղահայաց է հարթությանը, ապա երկրորդ ուղիղն ուղղահայաց է այս հարթությանը։

Ուսուցիչ. Ինչպե՞ս է հնչում հակառակ թեորեմը:

Ուսանող. Եթե ​​երկու ուղիղները ուղղահայաց են նույն հարթությանը, ապա դրանք զուգահեռ են։

Տնային աշխատանքների ստուգում

Տնային աշխատանքը ստուգվում է, եթե աշակերտները դժվարանում են լուծել այն:

Նոր նյութի ուսուցում (15 րոպե)

Ուսուցիչ. Մենք գիտենք, որ եթե ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, ապա այն ուղղահայաց կլինի այս հարթության մեջ ընկած ցանկացած ուղիղ գծի, սակայն սահմանման մեջ ուղիղ գծի ուղղահայացությունը հարթությանը տրված է որպես փաստ։ Գործնականում, սակայն, հաճախ անհրաժեշտ է լինում որոշել՝ ուղիղ գիծն ուղղահայաց կլինի՞ հարթությանը, թե՞ ոչ։ Նման օրինակներ կարելի է բերել կյանքից՝ շենքերի կառուցման ժամանակ կույտերը քշվում են երկրի մակերեսին ուղղահայաց, հակառակ դեպքում կառույցը կարող է փլուզվել։ Այս դեպքում անհնար է օգտագործել ուղիղ ուղղահայաց հարթության սահմանումը: Ինչո՞ւ։ Քանի՞ գիծ կարող եք նկարել հարթության մեջ:

Ուսանող. Հարթության մեջ կարելի է գծել անսահման շատ ուղիղ գծեր

Ուսուցիչ. Ճիշտ. Եվ անհնար է ստուգել ուղիղ գծի ուղղահայացությունը յուրաքանչյուր առանձին հարթության վրա, քանի որ դրա համար անսահման երկար ժամանակ կպահանջվի։ Որպեսզի հասկանանք, թե արդյոք ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, ներկայացնում ենք ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացության նշան: Գրեք այն նոթատետրում: Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթության մեջ ընկած երկու հատվող ուղիղներին, ապա այն ուղղահայաց է այս հարթությանը:

Նոթատետրում գրելը. Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթության մեջ ընկած երկու հատվող ուղիղներին, ապա այն ուղղահայաց է այս հարթությանը:

Ուսուցիչ. Այսպիսով, յուրաքանչյուր ուղիղ հարթության համար պետք չէ ստուգել ուղիղ գծի ուղղահայացությունը, բավական է ստուգել ուղղահայացությունը միայն այս հարթության երկու ուղիղների համար։

Ուսուցիչ. Եկեք ապացուցենք այս նշանը.

Տրված է. էջև ք- ուղիղ գծեր, էջ ∩ ք = Օ, ա⊥ էջ, ա⊥ ք, էջ ϵ α, ք ϵ α.

Ապացուցել. ա⊥ α.

Ուսուցիչ. Եվ այնուամենայնիվ, ապացույցի համար մենք կօգտագործենք ուղիղ ուղղահայաց հարթության սահմանումը, ինչպե՞ս է այն հնչում:

Ուսանող. Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, ապա այն ուղղահայաց է այս հարթությունում ընկած ցանկացած ուղիղ գծին:

Ուսուցիչ. Ճիշտ. α հարթության մեջ գծե՛ք m ցանկացած ուղիղ: O կետով l ║ m ուղիղ գիծ գծե՛ք: a ուղիղ գծի վրա մենք նշում ենք A և B կետերը, որպեսզի O կետը լինի AB հատվածի միջնակետը: Նկարենք z ուղիղը այնպես, որ այն հատի p, q, l ուղիղները, այս ուղիղների հատման կետերը կնշանակվեն համապատասխանաբար P, Q, L-ով։ Միացնենք AB հատվածի ծայրերը P, Q և L կետերով։

Ուսուցիչ. Ի՞նչ կարող ենք ասել ∆APQ և ∆BPQ եռանկյունների մասին:

Ուսանող. Այս եռանկյունները հավասար կլինեն (եռանկյունների հավասարության 3 նշանով):

Ուսուցիչ. Ինչո՞ւ։

Ուսանող. Որովհետեւ ուղիղ գծերը p և q ուղղահայաց են, ապա AP = BP, AQ = BQ, և PQ կողմը սովորական է:

Ուսուցիչ. Ճիշտ. Ի՞նչ կարող ենք ասել ∆APL և ∆BPL եռանկյունների մասին:

Ուսանող. Այս եռանկյունները նույնպես հավասար կլինեն (եռանկյունների հավասարության 1 նշանով):

Ուսուցիչ. Ինչո՞ւ։

Ուսանող. ԱՊ = BP, PL- ընդհանուր կողմը, ԱՊԼ =  BPL(Δ հավասարությունից APQև ∆ BPQ)

Ուսուցիչ. Ճիշտ. Այսպիսով, AL = BL: Այսպիսով, ինչ կլինի ∆ALB:

Ուսանող. Այսպիսով, ∆ALB-ը կլինի հավասարաչափ:

Ուսուցիչ. LO-ն ΔALB-ի միջինն է, ուրեմն ո՞րն է այն այս եռանկյունու մեջ:

Ուսանող. Այսպիսով, LO կլինի նաև բարձրությունը:

Ուսուցիչ. Այստեղից էլ ուղիղլուղղահայաց կլինի ուղիղ գծինա... Եվ քանի որ ուղիղլԱրդյո՞ք α հարթությանը պատկանող ցանկացած ուղիղ գիծ, ​​ապա ըստ սահմանման՝ ուղիղա⊥ α. Ք.Ե.Դ.

Ապացուցված է ներկայացմամբ

Ուսուցիչ. Իսկ ի՞նչ անել, եթե a ուղիղը չի հատում O կետը, այլ մնում է p և q ուղիղներին ուղղահայաց: Եթե ​​a ուղիղը հատում է տվյալ հարթության որևէ այլ կետ.

Ուսանող. Դուք կարող եք ուղիղ գիծ կառուցել a 1 , որը զուգահեռ կլինի a ուղիղին, կհատի O կետը, իսկ երրորդին ուղղահայաց երկու զուգահեռ ուղիղների մասին լեմմայով կարելի է ապացուցել, որ.ա 1 ⊥ էջ, ա 1 ⊥ ք.

Ուսուցիչ. Ճիշտ.

Ուսումնասիրված նյութի նախնական համախմբում (20 րոպե)

Ուսուցիչ. Մեր կողմից ուսումնասիրված նյութը համախմբելու համար կլուծենք թիվ 126. Կարդացեք առաջադրանքը.

Ուսանող. ՄԲ ուղիղը ուղղահայաց է ABC եռանկյան AB և BC կողմերին: Որոշեք MBD եռանկյան տեսակը, որտեղ D-ը AC ուղղի կամայական կետն է:

Նկարչություն.

Տրված է՝ ∆ ABC, ՄԲ⊥ ԲԱ, ՄԲ⊥ մ.թ.ա, Դ ϵ AC.

Գտեք՝ ∆ MBD.

Լուծում.

Ուսուցիչ. Կարո՞ղ եք հարթություն գծել եռանկյան գագաթներով:

Ուսանող. Այո, դու կարող ես. Ինքնաթիռը կարելի է գծել երեք կետով:

Ուսուցիչ. Ինչպե՞ս են BA և CB ուղիղները տեղակայված այս հարթության համեմատ:

Ուսանող. Այս տողերը ընկած կլինեն այս հարթության մեջ:

Ուսուցիչ. Ստացվում է, որ մենք ունենք հարթություն, և դրա մեջ երկու հատվող գիծ կա։ Ինչպե՞ս է MV գիծը կապված այս գծերի հետ:

Ուսանող. Ուղղակի ՄՎ⊥ VA, MV ⊥ VS.

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. Որովհետեւ Մ.Վ⊥ VA, MV ⊥ VS

Ուսուցիչ. Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթության մեջ ընկած երկու հատվող ուղիղներին, ապա ուղիղը կվերաբերի այս հարթությանը:

Ուսանող. ՄԲ ուղիղը ուղղահայաց կլինի ABC հարթությանը:

⊥ ABC.

Ուսուցիչ. D կետը կամայական կետ է AC հատվածի վրա, այսպիսով, ինչպե՞ս BD ուղիղ գիծը կկապվի ABC հարթության հետ:

Ուսանող. Այսպիսով, BD-ն պատկանում է ABC ինքնաթիռին:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. Որովհետեւ BD ϵ ABC

Ուսուցիչ. Ինչպիսի՞ն կլինեն ուղիղ MB-ն և BD-ն միմյանց նկատմամբ:

Ուսանող. Այս ուղիղները ըստ սահմանման կլինեն ուղղահայաց, հարթությանը ուղղահայաց ուղիղը:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. ↔ Մ.Վ⊥ ԲԴ

Ուսուցիչ. Եթե ​​MB-ն ուղղահայաց է BD-ին, ո՞րն է լինելու MBD եռանկյունը:

Ուսանող. MBD եռանկյունը կլինի ուղղանկյուն:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. ↔ ∆MBD - ուղղանկյուն:

Ուսուցիչ. Ճիշտ. Լուծենք 127 թիվը.Կարդացեք առաջադրանքը.

Ուսանող. Եռանկյունու մեջABCանկյունների գումարը Աև Բհավասար է 90 °: ՈւղիղԲԴհարթությանը ուղղահայացABC... Ապացուցեք դա CD⊥ AC.

Աշակերտը գնում է գրատախտակի մոտ: Նկարում է նկար:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը.

Տրված է՝ ∆ ABC,  Ա +  Բ= 90 °, ԲԴ⊥ ABC.

Ապացուցել. CD⊥ AC.

Ապացույց:

Ուսուցիչ. Որքա՞ն է եռանկյան անկյունների գումարը:

Ուսանող. Եռանկյունի անկյունները գումարվում են մինչև 180 °:

Ուսուցիչ. Որքա՞ն է C անկյունը ABC եռանկյան մեջ:

Ուսանող. ABC եռանկյան C անկյունը կլինի 90 °:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. C = 180 ° - Ա - Բ= 90 °

Ուսուցիչ. Եթե ​​С անկյունը հավասար է 90 °, ինչպե՞ս կտեղակայվեն AC և BC ուղիղները միմյանց նկատմամբ:

Ուսանող. Այսպիսով, AC⊥ Արև.

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. ↔ AC⊥ արև

Ուսուցիչ. BD ուղիղը ուղղահայաց է ABC հարթությանը: Ի՞նչ է հետևում սրանից։

Ուսանող. Այսպիսով, BD-ն ուղղահայաց է ABC-ից ցանկացած ուղիղ գծին:

ԲԴ⊥ ABC ↔ ԲԴուղղահայաց ցանկացած ուղիղ գծիցABC(նախնական)

Ուսուցիչ. Համապատասխանաբար, ինչպե՞ս կկապվեն ուղիղ BD-ն և AC-ը:

Ուսանող. Սա նշանակում է, որ այս գծերը կլինեն ուղղահայաց:

ԲԴ⊥ AC

Ուսուցիչ. AC-ը ուղղահայաց է երկու հատվող ուղիղների, որոնք ընկած են DBC հարթությունում, բայց AC-ը չի անցնում հատման կետով: Ինչպե՞ս ուղղել այն:

Ուսանող. B կետի միջով ուղիղ գծում ենք AC զուգահեռ գիծ: Քանի որ AC-ն ուղղահայաց է BC-ին և BD-ին, ապա a-ն նույնպես ուղղահայաց կլինի BC-ին և BD-ին լեմմայով:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. Գծե՛ք ուղիղ գիծ a ║AC ↔ a B կետով⊥ մ.թ.աև ⊥ ԲԴ

Ուսուցիչ. Եթե ​​a ուղիղը ուղղահայաց է BC-ին և BD-ին, ապա ի՞նչ կարելի է ասել ուղիղ a-ի և BDC հարթության հարաբերական դիրքի մասին:

Ուսանող. Սա նշանակում է, որ a ուղիղը ուղղահայաց կլինի BDC հարթությանը, և հետևաբար AC ուղիղը կլինի BDC-ին ուղղահայաց:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. ↔ ա⊥ BDC↔ AC ⊥ BDC.

Ուսուցիչ. Եթե ​​AC-ն ուղղահայաց է BDC-ին, ինչպե՞ս կտեղադրվեն ուղիղ AC-ն և DC-ն միմյանց նկատմամբ:

Ուսանող. AC և DC ըստ սահմանման ուղղահայաց կլինեն հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գծին:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. Որովհետեւ ԱՍ⊥ BDC↔ AC ⊥ DC

Ուսուցիչ. Լավ արեցիք։ Լուծենք 129 թիվը։ Կարդացեք հանձնարարությունը.

Ուսանող. ՈւղիղAMուղղահայաց է քառակուսու հարթությանըԱ Բ Գ Դորի անկյունագծերը հանդիպում են O կետում Ապացուցե՛ք, որ ա) ուղիղըԲԴհարթությանը ուղղահայացԱՄՕ; բ)MO⊥ ԲԴ.

Մի ուսանող դուրս է գալիս գրատախտակի մոտ: Նկարում է նկար:

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը.

Տրված է.Ա Բ Գ Դ- քառակուսի,AM⊥ Ա Բ Գ Դ, AC ∩ ԲԴ = Օ

Ապացուցել.ԲԴ⊥ AMO, MO⊥ ԲԴ

Ապացույց:

Ուսուցիչ. Պետք է ապացուցել, որ ուղիղԲԴ⊥ ԱՄՕ... Ի՞նչ պայմաններ պետք է պահպանվեն դրա համար:

Ուսանող. Այն պետք է ուղիղ լինիԲԴ ուղղահայաց էր հարթությունից առնվազն երկու հատվող ուղիղ գծերինԱՄՕ.

Ուսուցիչ. Պայմանն ասում էԲԴ -ից ուղղահայաց երկու հատվող ուղիղներին AMO?

Ուսանող. Ոչ

Ուսուցիչ. Բայց մենք դա գիտենք AM ուղղահայացԱ Բ Գ Դ ... Սրանից ի՞նչ եզրակացություն կարելի է անել։

Ուսանող. Նշանակում է ինչ AM այս հարթությունից ցանկացած ուղիղ գծի ուղղահայաց, այսինքն AM ուղղահայացԲԴ.

AM⊥ Ա Բ Գ Դ ↔ AM⊥ ԲԴ(a-priory):

Ուսուցիչ. Մեկ ուղիղ գիծը ուղղահայաց էԲԴ կա. Ուշադրություն դարձրեք քառակուսին, թե ինչպես են ուղիղ գծերը տեղադրվելու միմյանց համեմատ AC և BD.

Ուսանող. AC ուղղահայաց կլինիԲԴ քառակուսու անկյունագծերի հատկությամբ։

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. ՈրովհետեւԱ Բ Գ Դ- քառակուսի, ուրեմնAC⊥ ԲԴ(քառակուսու անկյունագծերի հատկությամբ)

Ուսուցիչ. Մենք գտանք երկու հատվող ուղիղներ, որոնք ընկած էին հարթության մեջԱՄՕ ուղղահայաց ուղիղԲԴ ... Ի՞նչ է հետևում սրանից։

Ուսանող. Նշանակում է ինչԲԴ հարթությանը ուղղահայացԱՄՕ.

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. ՈրովհետեւAC⊥ ԲԴևAM⊥ ԲԴ ↔ ԲԴ⊥ ԱՄՕ(ըստ հատկանիշի)

Ուսուցիչ. Ո՞ր ուղիղն է կոչվում հարթությանը ուղղահայաց:

Ուսանող. Ուղիղ գիծը կոչվում է հարթությանը ուղղահայաց, եթե այն ուղղահայաց է այս հարթությունից որևէ ուղիղ գծի:

Ուսուցիչ. Այսպիսով, ինչպես են ուղիղ գծերը փոխադարձաբար տեղակայված: BD և OM?

Ուսանող. Այսպիսով, BD ուղղահայացՕ.Մ ... Ք.Ե.Դ.

Գրատախտակին և նոթատետրում գրելը. ↔ԲԴ⊥ MO(a-priory): Ք.Ե.Դ.

Ամփոփում (2 րոպե)

Ուսուցիչ. Այսօր մենք ուսումնասիրել ենք ուղիղի և հարթության ուղղահայացության նշանը։ Ինչպե՞ս է դա հնչում:

Ուսանող. Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթության մեջ ընկած երկու հատվող ուղիղներին, ապա այս ուղիղը ուղղահայաց է այս հարթությանը:

Ուսուցիչ. Ճիշտ. Մենք սովորել ենք կիրառել այս հատկությունը խնդիրներ լուծելիս։ Ով գրատախտակի մոտ պատասխանեց և տեղից օգնեց, լավ արեց:

Տնային աշխատանք (2 րոպե)

Ուսուցիչ. 1-ին պարբերություն, պարբերություններ 15-17, սովորեցնում են՝ լեմման, սահմանումը և բոլոր թեորեմները: Թիվ 130, 131։

Տիեզերքում երկու ուղիղները կոչվում են ուղղահայաց, եթե նրանց միջև անկյունը 90 o է:

բրինձ. 37	Ուղղահայաց գծերը կարող են հատվել և հատվել: Լեմմա.Եթե ​​երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկն ուղղահայաց է երրորդ ուղղին, ապա մյուս ուղիղն ուղղահայաց է այս ուղղին։ Սահմանում.Ուղիղ գիծը կոչվում է հարթությանը ուղղահայաց, եթե այն ուղղահայաց է հարթության մեջ ընկած ցանկացած ուղիղ գծի: Ասում են նաև, որ հարթությունը ուղղահայաց է a-ին։
բրինձ. 38	Եթե ​​a ուղիղը ուղղահայաց է հարթությանը, ապա այն ակնհայտորեն հատում է այս հարթությունը։ Իսկապես, եթե a ուղիղ գիծը չհատեր հարթությունը, ապա այն ընկած կլիներ այս հարթության մեջ կամ կլիներ դրան զուգահեռ։ Բայց երկու դեպքում էլ հարթության մեջ կլինեն ուղիղներ, որոնք ուղղահայաց չեն ուղիղ գծին, բայց, օրինակ, դրան զուգահեռ ուղիղներ, ինչը անհնար է։ Այսպիսով, a ուղիղ գիծը հատում է հարթությունը:

Ուղիղ գծերի զուգահեռության և հարթությանը դրանց ուղղահայացության հարաբերությունը:

Ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացության նշան:

Դիտողություններ.

1. Տրված ուղիղին ուղղահայաց հարթությունն անցնում է տարածության ցանկացած կետով, ընդ որում՝ միակ։
2. Տվյալ հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գիծն անցնում է տարածության ցանկացած կետով, ընդ որում՝ միայն մեկ կետով։
3. Եթե ​​երկու հարթություններ ուղղահայաց են ուղիղ գծին, ապա դրանք զուգահեռ են։

Խնդիրներ և թեստեր «Թեմա 5.» ուղղի և հարթության ուղղահայացություն թեմայով:

• Ուղղակի և հարթության ուղղահայացություն
• Dihedral անկյուն. Հարթությունների ուղղահայացություն - 10 դասի գծերի և հարթությունների ուղղահայացություն

  Դասեր՝ 1 առաջադրանք՝ 10 թեստ՝ 1

• Ուղղահայաց և թեք: Անկյուն գծի և հարթության միջև - 10 դասի գծերի և հարթությունների ուղղահայացություն

  Դասեր՝ 2 առաջադրանք՝ 10 թեստ՝ 1

• Ուղիղ գծերի, ուղիղ գծի և հարթության զուգահեռություն - Ուղիների և հարթությունների զուգահեռություն 10 դաս

  Դասեր՝ 1 առաջադրանք՝ 9 թեստ՝ 1

• Ուղղահայաց ուղիղ գծեր - Հիմնական երկրաչափական տեղեկատվության 7-րդ դասարան

  Դասեր՝ 1 առաջադրանք՝ 17 Թեստ՝ 1

Թեմայի նյութը ամփոփում և համակարգում է պլանիմետրիայից ձեզ հայտնի ուղիղ գծերի ուղղահայացության մասին տեղեկատվությունը: Ցանկալի է համատեղել տարածության մեջ ուղիղ գծերի և հարթությունների զուգահեռության և ուղղահայացության, ինչպես նաև ուղղահայաց և թեքվածների նյութի փոխհարաբերությունների թեորեմների ուսումնասիրությունը պլանաչափությունից համապատասխան նյութի համակարգված կրկնությամբ:

Գրեթե բոլոր հաշվողական խնդիրների լուծումները կրճատվում են Պյութագորասի թեորեմի և դրա հետևանքների կիրառմամբ: Շատ խնդիրների դեպքում Պյութագորասի թեորեմի կամ դրա հետևանքների կիրառման հնարավորությունը հիմնավորվում է երեք ուղղահայաց թեորեմով կամ հարթությունների զուգահեռության և ուղղահայացության հատկություններով։

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ
Դասի պլաններ 10 դասարանների համար

Թեմա. Ուղիղ գծի և հարթության հատկությունները՝ միմյանց ուղղահայաց

Դասի նպատակը՝ սովորողների գիտելիքների ձևավորումը ուղղահայաց ուղիղների և հարթությունների հատկությունների մասին։

Սարքավորում՝ ստերեոմետրիկ հավաքածու, դիագրամ «Ուղիղ գծերի և հարթությունների հատկությունները միմյանց ուղղահայաց» (էջ 116):

Դասերի ժամանակ

I. Տնային առաջադրանքների ստուգում

1. Թիվ 10 խնդրի լուծման կոլեկտիվ քննարկում.

2. Մաթեմատիկական թելադրություն.

Տրված է խորանարդի պատկեր՝ տարբերակ 1 - նկ. 151, տարբերակ 2 - նկ. 152։

Օգտագործելով պատկերը, գրեք.

1) հարթություն, որն անցնում է AM ուղիղ գծի M կետով և ուղղահայաց է դրան. (2 միավոր)

2) ուղիղ գիծ, ​​որն ուղղահայաց է ABC հարթությանը և անցնում է D կետով. (2 միավոր)

3) ուղիղ գիծ, ​​որն ուղղահայաց է ABC հարթությանը և անցնում է N կետով. (2 միավոր)

4) հարթություն, որն ուղղահայաց է BD ուղիղ գծին. (2 միավոր)

5) ԱՄԿ-ի հարթությանը ուղղահայաց ուղիղներ. (2 միավոր)

6) հարթություններ, որոնք ուղղահայաց են DC ուղղին. (2 միավոր)

Տարբերակ 1.1) (MNK); 2) ԿԴ; 3) ԲՆ. 4) (AFM); 5) ԲԴ և ԿՆ. 6) (ADK) և (BCL):

Տարբերակ 2.1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (AFM); 5) BD i KL; 6) (BCN) և (ADM):

II. Նոր նյութի ընկալում և իրազեկում

Ուղիղ գծի և միմյանց ուղղահայաց հարթության հատկությունները

Թեորեմ 1.

Եթե ​​հարթությունը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նույնպես ուղղահայաց է մյուսին:

Բերելով

Թող ա1 || a2 և a1α. Փաստենք, որ աա2 (նկ. 153): A1 և A2 կետերը a1-ի և a2-ի α հարթության հետ հատման կետերն են:

A հարթությունում, որը անցնում է A2 կետով, մենք գծում ենք կամայական ուղիղ x2, իսկ A1 կետով` x1 ուղիղ, որպեսզի x1 || x2. Քանի որ a1 || a2, x1 || x2 և a1x1, ապա թեորեմ 3.1 a2x2: Քանի որ α հարթությունում կամայականորեն ընտրվում է x2, ապա a2α:

Թեորեմ 2.

Եթե ​​երկու ուղիղները ուղղահայաց են նույն հարթությանը, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ են։

Բերելով

Թող aα, b α. Ապացուցենք, որ ա || բ (նկ. 154). Ենթադրենք աբ. Այնուհետև b ուղիղ գծի C կետով գծեք b 1-ը a-ին զուգահեռ: Եվ քանի որ α, ապա b1α ապացուցված թեորեմով, իսկ bα պայմանով։ Եթե ​​A և B կետերը b 1 և b ուղիղների α հարթության հետ հատման կետերն են, ապա ենթադրությունից հետևում է, որ A = B = 90 ° եռանկյունում, որը չի կարող լինել: Հետևաբար, մի || բ.

Խնդիրների լուծում

1. Որոշեք AA 1B 1B քառանկյան տեսակը, եթե.

ա) AA1α; AA1 || BB1; Aα, Bα; AA 1 ≠ BB1 (Նկար 155);

բ) AA1α; BB1α; α, Ва (Նկար 156);

գ) α; α; AA1α; BB1α; AA1 = BB1 (նկ. 156):

2. Խնդիր թիվ 12 դասագրքից (էջ 35):

3. Խնդիր թիվ 13 դասագրքից (էջ 35):

4. Խնդիր թիվ 16 դասագրքից (էջ 35):

Թեորեմ 3.

Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ հարթություններից մեկին, ապա այն ուղղահայաց է նաև մյուսին։

Բերելով

Թող α || β, աա. Ապացուցենք, որ α β. (նկ. 157): Թող A և B կետերը լինեն a ուղիղ գծի հատման կետերը α և β հարթությունների հետ: β հարթությունում B կետով անցեք կամայական b ուղիղ գիծ: b ուղղի և A կետի միջով գծում ենք γ հարթությունը, որը հատում է α-ն c ուղիղով և || բ. Եվ քանի որ α, ապա ac (հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գծի սահմանմամբ): Այսպիսով, ac, b || c-ն ու a, b, c-ն ընկած են γ-ում, ապա ab. Հաշվի առնելով, որ b-ը β հարթության կամայական ուղիղ գիծ է, ունենք aβ.

Թեորեմ 4.

Եթե ​​երկու հարթություններ ուղղահայաց են նույն ուղիղ գծին, ապա դրանք զուգահեռ են։

Բերելով

Թող α a β a, ապացուցենք, որ α || β (նկ. 158): Թող A և B կետերը լինեն a ուղիղ գծի հատման կետերը α և β հարթությունների հետ: Ենթադրենք α β. Վերցրեք C կետը α և β հարթությունների հատման գծի վրա: Ca, քանի որ հակառակ դեպքում α և β երկու տարբեր հարթություններ կանցնեին C կետով՝ a ուղիղին ուղղահայաց, ինչը անհնար է։ Գ հարթությունը գծենք C կետով և a ուղիղ գծով, այս հարթությունը հատում է α և β համապատասխանաբար AC և BC ուղիղ գծերով: Եվ քանի որ α, ապա aAC, նման է aBC-ին: Հետևաբար, α հարթությունում, որը անցնում է C կետով, կան երկու տարբեր ուղիղներ AC և BC՝ ուղղահայաց a ուղիղ գծին, ինչը անհնար է։ Հետեւաբար, α || β.

Խնդիրների լուծում

1. Թող ABCD լինի ուղղանկյուն՝ BSAB, AMAB (նկ. 159): Ինչպե՞ս են տեղակայված AMD և BSC ինքնաթիռները:

2. B1β; AA1α, AA1β; B B1 || AA1; AA1 = 12 սմ, A1B = 13 սմ (նկ. 160): Գտեք AB.

Սահմանում. Հարթությունը հատող ուղիղը կոչվում է այս հարթությանը ուղղահայաց, եթե այն ուղղահայաց է այս հարթության մեջ ընկած և հատման կետով անցնող ցանկացած ուղիղ գծի:
Նշանուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացություն.Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթության երկու հատվող ուղիղներին, ապա այն ուղղահայաց է այս հարթությանը:
Ապացույց. Թող լինի ա- ուղիղ գծերին ուղղահայաց բև հետինքնաթիռին պատկանող ա... A-ն ուղիղ գծերի հատման կետն է: Ինքնաթիռում աուղիղ գիծ գծե՛ք Ա կետով դչի համընկնում ուղիղ գծերի հետ բև հետ... Հիմա ինքնաթիռում աեկեք ուղիղ գիծ քաշենք կհատելով ուղիղ գծերը դև հետև չի անցնում A կետով: Խաչմերուկի կետերը, համապատասխանաբար, D, B և C. Դրեք գծի վրա ա A կետից տարբեր ուղղություններով հավասար հատվածներ AA 1 և AA 2: А 1 CA 2 եռանկյունը հավասարաչափ է, քանի որ բարձրախոսի բարձրությունը նաև միջինն է (հատկանիշ 1), այսինքն. A 1 C = CA 2: Նմանապես, A 1 BA եռանկյան մեջ A 1 B և BA 2 կողմերը հավասար են: Հետևաբար, А 1 ВС և А 2 ВС եռանկյունները երրորդ հատկանիշում հավասար են, հետևաբար, А 1 ВД և А 2 ВД անկյունները հավասար են։ Սա նշանակում է, որ A 1 BD և A 2 BD եռանկյունները առաջին նշանով հավասար են: Հետևաբար, A 1 D և A 2 D: Այսպիսով, A 1 DA 2 եռանկյունը ըստ սահմանման հավասարաչափ է: Հավասարաչափ եռանկյունում A 1 D A 2 Դ A-ն միջինն է (ըստ կառուցման), և հետևաբար բարձրությունը, այսինքն՝ A 1 AD անկյունը ուղիղ է, ինչը նշանակում է ուղիղ աուղիղ գծին ուղղահայաց դ.Այսպիսով, մենք կարող ենք ապացուցել, որ գիծը աուղղահայաց ցանկացած ուղիղ գծի, որն անցնում է A կետով և պատկանում է հարթությանը ա... Սահմանումից բխում է, որ ուղիղ գիծը ահարթությանը ուղղահայաց ա.

Շինությունայս հարթությունից դուրս գտնվող կետից տրված հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գիծ:
Թող լինի ա- հարթություն, A - կետ, որտեղից ուղղահայացը պետք է իջեցվի: Ինքնաթիռում մի քանի ուղիղ գիծ քաշեք ա... A կետի և ուղիղի միջով անկարել ինքնաթիռ բ(ուղին և կետը սահմանում են հարթություն, և միայն մեկը): Ինքնաթիռում բ A կետից մենք իջնում ​​ենք ուղիղ գիծ աուղղահայաց AB. Ինքնաթիռի B կետից ամենք վերականգնում ենք ուղղահայացը և նշում այն ​​գիծը, որի հետևում ընկած է այս ուղղահայացը հետ... AB հատվածի և ուղիղ գծի միջով հետնկարել ինքնաթիռ է(երկու հատվող ուղիղները սահմանում են հարթություն, և միայն մեկը): Ինքնաթիռում է A կետից մենք իջնում ​​ենք ուղիղ գիծ հետուղղահայաց AC. Ապացուցենք, որ AC հատվածը ուղղահայաց է հարթությանը բ... Ապացույց. Ուղիղ աուղիղ գծերին ուղղահայաց հետև AB (ըստ կառուցման), ինչը նշանակում է, որ այն ուղղահայաց է բուն հարթությանը է, որի մեջ ընկած են այս երկու հատվող ուղիղները (ըստ ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացության նշանի)։ Եվ քանի որ այն ուղղահայաց է այս հարթությանը, ուրեմն այն ուղղահայաց է և ցանկացած ուղիղ այս հարթության մեջ, ապա ուղիղ գիծ աուղղահայաց խոսակցին. Ուղիղ AS-ը ուղղահայաց է α հարթության մեջ ընկած երկու ուղիղներին. հետ(շինարարությամբ) և ա(ըստ ապացուցվածի), ապա այն ուղղահայաց է α հարթությանը (ըստ ուղիղի և հարթության ուղղահայացության չափանիշի)

Թեորեմ 1 ... Եթե ​​երկու հատվող ուղիղները, համապատասխանաբար, զուգահեռ են երկու ուղղահայաց ուղիղների, ապա դրանք նույնպես ուղղահայաց են։
Ապացույց. Թող լինի աև բ- ուղղահայաց ուղիղ գծեր, ա 1 և բ 1 - նրանց զուգահեռ ուղիղ գծեր: Եկեք ապացուցենք, որ տողերը ա 1 և բ 1 ուղղահայաց են:
Եթե ​​ուղիղ ա, բ, ա 1 և բ 1 ընկած են նույն հարթության մեջ, ապա նրանք ունեն թեորեմում նշված հատկությունը, ինչպես հայտնի է պլանաչափությունից:
Եկեք հիմա ենթադրենք, որ մեր գծերը չեն գտնվում նույն հարթության վրա: Հետո ուղիղ աև բընկած են α հարթության մեջ, իսկ ուղիղները ա 1 և բ 1 - որոշ β հարթությունում: Հարթությունների զուգահեռության հիման վրա α և β հարթությունները զուգահեռ են։ Թող С լինի ուղիղների հատման կետը աև բ, իսկ С 1 - ուղիղ գծերի խաչմերուկներ ա 1 և բ 1 . Եկեք գծենք զուգահեռ ուղիղների հարթությունը աև ա աև ա 1 A և A կետերում 1. Զուգահեռ ուղիղների հարթությունում բև բՈւղիղ CC 1-ին զուգահեռ 1 ուղիղ գիծ: Նա կանցնի գծերը բև բ 1 B և B 1 կետերում:
CAA 1 C 1 և SVB 1 C 1 քառանկյունները զուգահեռներ են, քանի որ դրանց հակառակ կողմերը զուգահեռ են: Քառանկյուն ABB 1 A 1 նույնպես զուգահեռագիծ է: Նրա AA 1 և BB 1 կողմերը զուգահեռ են, քանի որ դրանցից յուրաքանչյուրը զուգահեռ է CC 1 ուղիղ գծին: Այսպիսով, քառանկյունը գտնվում է AA 1 և BB 1 զուգահեռ ուղիղների միջով անցնող հարթության մեջ: Եվ այն հատում է α և β զուգահեռ հարթությունները AB և A 1 B 1 զուգահեռ ուղիղների երկայնքով:
Քանի որ զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են, ապա AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1: Ըստ հավասարության երրորդ նշանի՝ ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները հավասար են։ Այսպիսով, անկյունը A 1 C 1 B 1, հավասար է ACB անկյունին, ուղիղ գիծ, ​​այսինքն. ուղիղ ա 1 և բ 1 ուղղահայաց են: Չ.տ.դ.

Հատկություններուղղահայաց ուղիղ գծին և հարթությանը:
Թեորեմ 2 ... Եթե ​​հարթությունը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն ուղղահայաց է մյուսին:
Ապացույց. Թող լինի ա 1 և ա 2 - երկու զուգահեռ ուղիղներ և α - հարթություն, ուղղահայաց ուղիղ գծին ա 1 . Փաստենք, որ այս հարթությունն ուղղահայաց է ա 2 .
A կետի միջով գծե՛ք ուղիղ գծի 2 հատվողներ ա 2 հարթությամբ α կամայական ուղիղ գիծ հետ 2 հարթությունում α. Անցնենք α հարթության մեջ ուղիղ գծի հատման A 1 կետով ա 1 α հարթությամբ, ուղիղ գիծ հետ 1 ուղիղ գծի զուգահեռ հետ 2. Քանի որ ուղիղ ա 1-ն ուղղահայաց է α հարթությանը, ապա ուղիղները ա 1 և հետ 1 ուղղահայաց են: Իսկ թեորեմ 1-ով` զուգահեռ հատվող ուղիղները ա 2 և հետ 2-ը նույնպես ուղղահայաց են: Այսպիսով, ուղիղ ա 2 ուղղահայաց ցանկացած ուղիղ գծի հետ 2 հարթությունում α. Սա նշանակում է, որ ուղիղ ա 2-ն ուղղահայաց է α հարթությանը: Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 3 ... Նույն հարթությանը ուղղահայաց երկու ուղիղներ զուգահեռ են միմյանց:
Մենք ունենք α հարթություն և նրան ուղղահայաց երկու ուղիղ աև բ... Եկեք ապացուցենք դա ա || բ.
Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի հատման կետերի միջով ուղիղ գիծ գծեք հետ... Չափանիշի համաձայն՝ ստանում ենք ա ^ գև բ ^ գ... Ուղիղ միջով աև բգծեք հարթություն (երկու զուգահեռ ուղիղները սահմանում են հարթություն և, ընդ որում, միայն մեկը): Այս հարթությունում մենք ունենք երկու զուգահեռ ուղիղ աև բև սեկանտ հետ... Եթե ​​ներքին միակողմանի անկյունների գումարը 180 ° է, ապա ուղիղները զուգահեռ են։ Մենք ունենք հենց այդպիսի դեպք՝ երկու ուղիղ անկյուն։ Ահա թե ինչու ա || բ.