ផ្ទះ ផ្លែប៊ឺរី បាល់ត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិត prism ។ ព្រីសត្រង់ (រាងបួនជ្រុងខាងស្តាំ) ។ ការកត់សម្គាល់ទូទៅអំពីទីតាំងនៃកណ្តាលនៃបាល់

ផ្លែប៊ឺរី

បាល់ត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិត prism ។ ព្រីសត្រង់ (រាងបួនជ្រុងខាងស្តាំ) ។ ការកត់សម្គាល់ទូទៅអំពីទីតាំងនៃកណ្តាលនៃបាល់

ដើម្បីប្រើការមើលជាមុននៃបទបង្ហាញ សូមបង្កើតគណនី Google (គណនី) ហើយចូល៖ https://accounts.google.com

ចំណងជើងស្លាយ៖

ស្វ៊ែរដែលបានពិពណ៌នានៅជិត polyhedra ។

និយមន័យ។ ពហុហេដរ៉ុនត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានចារឹកក្នុងស្វ៊ែរមួយ (និងស្វ៊ែរដែលគូសរង្វង់ជិតពហុហេដរុនមួយ) ប្រសិនបើចំណុចកំពូលទាំងអស់នៃពហុហេដរ៉ុនជារបស់ស្វ៊ែរនេះ។ ផលវិបាក។ ចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់មូលគឺជាចំណុចដែលស្មើគ្នាពីចំណុចកំពូលទាំងអស់នៃពហុហេដរ៉ុន។ អូ o o ។ . .

ទ្រឹស្តីបទ 1. សំណុំនៃចំនុចដែលស្មើគ្នាពីចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺជាយន្តហោះកាត់កែងទៅផ្នែកដែលមានចុងនៅចំណុចទាំងនេះ ដោយឆ្លងកាត់កណ្តាលរបស់វា (ប្លង់នៃ bisectors កាត់កែងទៅផ្នែកនេះ)។ AB ┴ α AO = OB α A B O

ទ្រឹស្តីបទ 2. សំណុំនៃចំនុចដែលស្មើគ្នាពីចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ n ដែលស្ថិតនៅលើរង្វង់ដូចគ្នាគឺជាបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងប្លង់នៃចំនុចទាំងនេះ ដោយឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃរង្វង់កាត់។ C E A B D O ក . . . . . . C E A B D ។ . . . .

ព្រីមបានចារឹកក្នុងរង្វង់មួយ។ OA=OB=…=OX=R sf ។ អូ ១. អូ O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X1. .A .B .C .D E. X. a 1 . អូ អូរ ១

ផលវិបាក។ 1) នៅជិតព្រីសរាងត្រីកោណខាងស្ដាំ ស្វ៊ែរមួយអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសារតែ រង្វង់មួយតែងតែអាចគូសរង្វង់ជុំវិញត្រីកោណ។ 2) ស្វ៊ែរមួយអាចត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិត prism ធម្មតាណាមួយ, ដោយសារតែ ព្រីសធម្មតាគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ ហើយរង្វង់មួយតែងតែអាចគូសរង្វង់នៅជិតប៉ូលីអេដរ៉ុនធម្មតា។ អូ អូ .

លេខកិច្ចការ 1 ។ បាល់ត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតព្រីសមួយ នៅមូលដ្ឋានដែលស្ថិតនៅត្រីកោណខាងស្តាំដែលមានជើង 6 និង 8។ គែមក្រោយនៃព្រីសគឺ 24។ ស្វែងរកកាំនៃបាល់។ បានផ្តល់ឱ្យ៖ ∆ ABC - ចតុកោណ; AC=6, BC=8, AA 1=24 ។ ស្វែងរក៖ R w = ? ដំណោះស្រាយ៖ 1) OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 = AA 1 = 24 ។ 2) ABC: AB = 10 ។ 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 ចំលើយ៖ 13. O 1 O.. . R w O w C 1 B 1 A 1 A C B

លេខកិច្ចការ 3 ។ រង្វាស់នៃគូបគឺ 2,3 និង 5។ រកកាំនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់។ ផ្តល់៖ AB=a=2; BC=b=3; CC 1=c=5។ ស្វែងរក៖ R w = ? ដំណោះស្រាយ៖ 1) AC 2 = a 2 +b 2 +c 2 ។ 2) A 1 C 2 = 25 + 9 + 4 = 38 (ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ parallelepiped) 3) A 1 C = √38; R w \u003d O w C \u003d √38 / 2 ចំលើយ៖ √38 / 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 ៣. . . អូ វ

លេខកិច្ចការ 3 ។ ផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃព្រីសរាងត្រីកោណធម្មតាគឺ a ហើយគែមចំហៀងគឺ 2 a ។ ស្វែងរកកាំនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់។ បានផ្ដល់ឱ្យ៖ AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1 = 2 ក។ ស្វែងរក៖ R w = ? ដំណោះស្រាយ៖ 1) AB = AO √3; AO=a/√3. 2) R w \u003d √ a 2 + a 2 / 3 \u003d 2a / √ 3 ចំលើយ៖ 2a / √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w ។ អូរ ១

ផលវិបាក។ 1) ស្វ៊ែរអាចត្រូវបានពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីតរាងត្រីកោណជានិច្ច ព្រោះរង្វង់តែងតែអាចត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតត្រីកោណ។ 2) នៅជិតពីរ៉ាមីតធម្មតា អ្នកតែងតែអាចពណ៌នាអំពីស្វ៊ែរមួយ។ 3) ប្រសិនបើគែមចំហៀងនៃពីរ៉ាមីតគឺស្មើគ្នា (ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងមូលដ្ឋាន) នោះរង្វង់មួយតែងតែអាចត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតសាជីជ្រុងបែបនេះ។ *ក្នុងករណីពីរចុងក្រោយ ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលមានកម្ពស់ពីរ៉ាមីត។ អូ អូ

កិច្ចការ (រង្វង់ដែលបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីត) ។ បាល់មួយត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីត PABC ដែលមូលដ្ឋានរបស់វាគឺត្រីកោណធម្មតា ABC ដែលមានចំហៀង 4√3។ គែមចំហៀង PA កាត់កែងទៅនឹងប្លង់នៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីត ហើយស្មើនឹង 6. រកកាំនៃបាល់។ បានផ្តល់ឱ្យ៖ AB = BC = AC = 4 √3 ; PA┴(ABC); PA=6. ស្វែងរក៖ R w = ? ដំណោះស្រាយ៖ 1) OO SF ┴(ABC); O គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់រង្វង់ ∆ABC; K O SF ┴ PA; KP=AK (KO SF មួយនៃ bisectors កាត់កែងទៅគែមចំហៀង PA); O SF គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់មូល។ 2) OO SF ┴(ABC); OO SF ជាកម្មសិទ្ធិ (AKO); PA┴(ABC); AK ជាកម្មសិទ្ធិ (AKO); មានន័យថា KA|| OO SF; . អូ អេសអេហ្វ។ អូ K.P.A.B.C

កិច្ចការ (រង្វង់ដែលបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីត) ។ 3) KO c f ┴AP; KO c f ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ (AOK); AO ┴AP; AO ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ (AOK); មានន័យថា KO c f || AO; 4) ពី (2) និង (3): AOO c f K-ចតុកោណកែង AK=PA/2=3; 5) AO = AB/ √3 = 4; 6) ∆ AO O c f: AO c f \u003d R w \u003d 5 ចម្លើយ៖ 5

កិច្ចការ (រង្វង់ដែលបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីត) ។ នៅក្នុងសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុងធម្មតា គែមចំហៀងមានទំនោរទៅមូលដ្ឋាននៅមុំ 45 ˚។ កម្ពស់នៃពីរ៉ាមីតគឺ h ។ ស្វែងរកកាំនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់។ បានផ្តល់ឱ្យ: PABCD គឺជាសាជីជ្រុងធម្មតា; (AP^(ABC))=45 ˚; PO = ម៉ោង។ ស្វែងរក៖ R w = ? ដំណោះស្រាយ៖ ១) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP 1 - ចតុកោណ; PP 1 - អង្កត់ផ្ចិតបាល់; PP 1 \u003d 2 R w; AP 2 = PP 1 * OP; (h √ 2) 2 = 2 Rw * h; R w \u003d 2h 2 / 2h \u003d ម៉ោង។ ចម្លើយ៖ ហ។ គ. B A. .D .P .P 1 . អូ

កិច្ចការ (រង្វង់ដែលបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីត) ។ ដោយខ្លួនឯង។ កាំនៃស្វ៊ែរដែលគូសរង្វង់អំពី tetrahedron ធម្មតាគឺ R. ស្វែងរកផ្ទៃដីសរុបនៃ tetrahedron ។

កិច្ចការ (រង្វង់ដែលបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីត) ។ ដោយខ្លួនឯង។ បានផ្តល់ឱ្យ: DABC គឺជា tetrahedron ធម្មតា; R គឺជាកាំនៃស្វ៊ែរ។ ស្វែងរក៖ តេត្រាពេញ។ =? ដំណោះស្រាយ: 1) ចាប់តាំងពី tetrahedron គឺទៀងទាត់, កណ្តាលនៃរង្វង់កាត់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ត្រង់ដែលមានកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីត; 2) S ពេញ tetra ។ = a 2 √ 3/4 * 4 = a 2 √ 3; 3) ចំណុច D, A, D 1 ជារបស់រង្វង់ដូចគ្នា - ផ្នែកនៃស្វ៊ែរដោយយន្តហោះ DAD 1 ដូច្នេះមុំ DAD 1 គឺជាមុំចារឹកដោយផ្អែកលើអង្កត់ផ្ចិត DD 1; មុំ DAD 1 =90 ˚; 4) AO គឺជាកំពស់ ∆ ADD 1 គូរពីចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំ។ AD 2 = DO * DD 1 ; 5) AO = a/ √ 3; DO = √ a 2 -a 2 / 3 = a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3 * 2R; a= √ 2 / √ 3 * 2R; a 2 \u003d 8R 2 / 3; .D 1 .D .O .B .C A. a

កិច្ចការ (រង្វង់ដែលបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីត) ។ ដោយខ្លួនឯង។ 6) S ពេញ tetra ។ = 8R 2 √ 3/3 ចំលើយ៖ 8R 2 √ 3/3

ប្រធានបទ "បញ្ហាផ្សេងគ្នាលើពហុហេដដ្រា ស៊ីឡាំង កោណ និងបាល់" គឺជាបញ្ហាលំបាកបំផុតមួយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រថ្នាក់ទី ១១។ មុននឹងដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រ ជាធម្មតាពួកគេសិក្សាផ្នែកពាក់ព័ន្ធនៃទ្រឹស្ដីដែលសំដៅទៅលើនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាដោយ S. Atanasyan et al. លើប្រធានបទនេះ (ទំព័រ 138) មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញតែនិយមន័យនៃពហុហេដរ៉ុនដែលបានគូសរង្វង់អំពីស្វ៊ែរ ពហុហេដរ៉ុនដែលចារឹកក្នុងស្វ៊ែរ ស្វ៊ែរដែលចារឹកក្នុងពហុហ័រ និងស្វ៊ែរដែលបានគូសរង្វង់នៅជិត។ polyhedron មួយ។ ការណែនាំអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់សៀវភៅសិក្សានេះ (សូមមើលសៀវភៅ "សិក្សាធរណីមាត្រនៅថ្នាក់ទី 10-11" ដោយ S.M. Saakyan និង V.F. Butuzov ទំព័រ 159) និយាយថាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃរូបកាយណាមួយត្រូវបានពិចារណានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាលេខ 629–646 ហើយការយកចិត្តទុកដាក់ត្រូវបានទាញ ចំពោះការពិតដែលថា "នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់ណាមួយជាដំបូងវាចាំបាច់ដើម្បីធានាថាសិស្សមានគំនិតល្អអំពីទីតាំងទាក់ទងនៃសាកសពដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ" ។ ខាងក្រោមនេះជាដំណោះស្រាយលេខ ៦៣៨(ក) និងលេខ ៦៤០។

ដោយពិចារណាលើចំណុចទាំងអស់ខាងលើ ហើយការពិតដែលថាកិច្ចការដ៏លំបាកបំផុតសម្រាប់សិស្សគឺជាភារកិច្ចនៃការរួមបញ្ចូលគ្នារវាងបាល់ជាមួយនឹងសាកសពផ្សេងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការរៀបចំប្រព័ន្ធទ្រឹស្តីដែលពាក់ព័ន្ធ និងទំនាក់ទំនងពួកគេទៅកាន់សិស្ស។

និយមន័យ។

1. បាល់មួយត្រូវបានគេហៅថាចារឹកនៅក្នុងពហុហេដរ៉ុន ហើយពហុហេដរ៉ុនត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានគូសរង្វង់នៅជិតបាល់ ប្រសិនបើផ្ទៃនៃបាល់ប៉ះនឹងមុខទាំងអស់នៃពហុហេដរ៉ុន។

2. បាល់មួយត្រូវបានគេហៅថាគូសរង្វង់នៅជិតពហុហេដរ៉ុន ហើយពហុហេដរ៉ុនត្រូវបានគេហៅថាចារឹកនៅក្នុងបាល់ ប្រសិនបើផ្ទៃនៃបាល់ឆ្លងកាត់កំពូលទាំងអស់នៃពហុហេដរ៉ុន។

3. បាល់មួយត្រូវបានគេហៅថាចារឹកក្នុងស៊ីឡាំង កោណកាត់ (កោណ) និងរាងស៊ីឡាំង កោណកាត់ (កោណ) ត្រូវបានគេហៅថាពិពណ៌នានៅជិតបាល់ ប្រសិនបើផ្ទៃបាល់ប៉ះនឹងមូលដ្ឋាន (មូលដ្ឋាន) និងគ្រប់ជំនាន់ទាំងអស់ នៃស៊ីឡាំង, កោណកាត់ (កោណ) ។

(វាធ្វើតាមនិយមន័យនេះដែលបរិមាត្រនៃរង្វង់ដ៏អស្ចារ្យនៃបាល់អាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងផ្នែកអ័ក្សណាមួយនៃតួទាំងនេះ)។

4. បាល់មួយត្រូវបានគេហៅថាគូសរង្វង់នៅជិតស៊ីឡាំង កោណកាត់ (កោណ) ប្រសិនបើរង្វង់នៃមូលដ្ឋាន (រង្វង់នៃមូលដ្ឋាន និងផ្នែកខាងលើ) ជារបស់ផ្ទៃបាល់។

(ពីនិយមន័យនេះ វាដូចខាងក្រោមអំពីផ្នែកអ័ក្សណាមួយនៃតួទាំងនេះ រង្វង់នៃរង្វង់ធំជាងនៃបាល់អាចត្រូវបានពិពណ៌នា)។

ការកត់សម្គាល់ទូទៅអំពីទីតាំងនៃកណ្តាលនៃបាល់។

1. ចំណុចកណ្តាលនៃបាល់ដែលមានចារឹកក្នុងពហុហេដរ៉ុនស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃប្លង់ bisector នៃមុំ dihedral ទាំងអស់នៃ polyhedron ។ វាមានទីតាំងនៅខាងក្នុង polyhedron ប៉ុណ្ណោះ។

2. ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរដែលគូសរង្វង់អំពីពហុហេដរ៉ុនស្ថិតនៅចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលកាត់កែងទៅគែមទាំងអស់នៃពហុហេដរុន ហើយឆ្លងកាត់ចំណុចកណ្តាលរបស់វា។ វាអាចមានទីតាំងនៅខាងក្នុង លើផ្ទៃ និងខាងក្រៅនៃពហុកោណ។

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃស្វ៊ែរ និងព្រីស។

1. ស្វ៊ែរដែលចារឹកក្នុងព្រីសត្រង់។

ទ្រឹស្តីបទ ១. ស្វ៊ែរអាចត្រូវបានចារឹកក្នុងព្រីសខាងស្ដាំប្រសិនបើរង្វង់អាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃព្រីស ហើយកម្ពស់របស់ព្រីសគឺស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់នេះ។

លទ្ធផល ១.ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរដែលមានចារឹកក្នុងព្រីសខាងស្តាំស្ថិតនៅចំកណ្តាលកម្ពស់នៃព្រីសដែលឆ្លងកាត់កណ្តាលរង្វង់ដែលមានចារឹកនៅក្នុងមូលដ្ឋាន។

លទ្ធផល ២.ជាពិសេស បាល់មួយអាចត្រូវបានចារឹកជាបន្ទាត់ត្រង់៖ ត្រីកោណ ធម្មតា រាងបួនជ្រុង (ដែលផលបូកនៃជ្រុងទល់មុខនៃមូលដ្ឋានគឺស្មើគ្នា) ក្រោមលក្ខខណ្ឌ H = 2r ដែល H ជាកម្ពស់នៃព្រីស , r គឺជាកាំនៃរង្វង់ដែលចារឹកក្នុងមូលដ្ឋាន។

2. ស្វ៊ែរមួយដែលបានពិពណ៌នានៅជិតព្រីសមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ស្វ៊ែរមួយអាចត្រូវបានកាត់រង្វង់អំពីព្រីសបានប្រសិនបើព្រីសត្រង់ ហើយរង្វង់អាចត្រូវបានកាត់នៅជិតមូលដ្ឋានរបស់វា។

កូរ៉ូឡារី ១. ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរដែលគូសរង្វង់នៅជិតព្រីសត្រង់ស្ថិតនៅចំកណ្តាលកម្ពស់នៃព្រីសដែលគូសកាត់កណ្តាលរង្វង់ដែលគូសនៅជិតមូលដ្ឋាន។

លទ្ធផល ២.ជាពិសេស ស្វ៊ែរមួយអាចត្រូវបានពិពណ៌នា៖ នៅជិតព្រីសរាងត្រីកោណខាងស្តាំ នៅជិតព្រីសធម្មតា នៅជិតរាងចតុកោណ parallelepiped នៅជិតព្រីសរាងបួនជ្រុងខាងស្តាំ ដែលផលបូកនៃមុំទល់មុខនៃមូលដ្ឋានគឺ 180 ដឺក្រេ។

ពីសៀវភៅសិក្សាដោយ L.S. Atanasyan បញ្ហាលេខ 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b) អាចត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃបាល់ជាមួយនឹងព្រីស។

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃស្វ៊ែរជាមួយពីរ៉ាមីត។

1. បាល់ដែលបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីត។

ទ្រឹស្តីបទ ៣. រង្វង់មួយអាចត្រូវបានគូសរង្វង់នៅជិតពីរ៉ាមីត ប្រសិនបើរង្វង់អាចគូសរង្វង់នៅជិតមូលដ្ឋានរបស់វា។

លទ្ធផល ១.ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរដែលគូសរង្វង់នៅជិតពីរ៉ាមីតស្ថិតនៅចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីត ឆ្លងកាត់កណ្តាលរង្វង់ដែលគូសរង្វង់នៅជិតមូលដ្ឋាននេះ ហើយយន្តហោះកាត់កែងទៅគែមចំហៀងណាមួយដែលគូសកាត់កណ្តាល។ នៃគែមនេះ។

លទ្ធផល ២.ប្រសិនបើគែមចំហៀងនៃពីរ៉ាមីតគឺស្មើគ្នា (ឬទំនោរស្មើគ្នាទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន) នោះបាល់មួយអាចត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតសាជីជ្រុងបែបនេះ។ កណ្តាលនៃបាល់នេះក្នុងករណីនេះស្ថិតនៅចំណុចប្រសព្វនៃ កម្ពស់នៃពីរ៉ាមីត (ឬការបន្តរបស់វា) ជាមួយនឹងអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃគែមចំហៀងដែលស្ថិតនៅក្នុងគែមចំហៀងរបស់យន្តហោះ និងកម្ពស់។

លទ្ធផល ៣.ជាពិសេស បាល់មួយអាចត្រូវបានពិពណ៌នា៖ នៅជិតពីរ៉ាមីតរាងត្រីកោណ ជិតពីរ៉ាមីតធម្មតា នៅជិតសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុង ដែលផលបូកនៃមុំទល់មុខគឺ 180 ដឺក្រេ។

2. បាល់មួយចារឹកក្នុងពីរ៉ាមីត។

ទ្រឹស្តីបទ ៤. ប្រសិនបើមុខចំហៀងនៃពីរ៉ាមីតមានទំនោរស្មើគ្នាទៅនឹងមូលដ្ឋាន នោះរង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងសាជីជ្រុងបែបនេះ។

លទ្ធផល ១.ចំណុចកណ្តាលនៃបាល់ដែលមានចារឹកក្នុងសាជីជ្រុង ដែលមុខចំហៀងមានទំនោរស្មើគ្នាទៅនឹងមូលដ្ឋាន ស្ថិតនៅត្រង់ចំនុចប្រសព្វនៃកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីត ជាមួយនឹងផ្នែកនៃមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំឌីអេដ្រាល់ណាមួយនៅមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុង។ ផ្នែកខាងដែលជាកម្ពស់នៃមុខចំហៀងដែលគូរពីកំពូលនៃពីរ៉ាមីត។

លទ្ធផល ២.បាល់អាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងសាជីជ្រុងធម្មតា។

ពីសៀវភៅសិក្សាដោយ L.S. Atanasyan បញ្ហាលេខ 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641 អាចត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃបាល់ជាមួយសាជីជ្រុង។

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃស្វ៊ែរជាមួយនឹងសាជីជ្រុងកាត់ខ្លី។

1. បាល់មួយបានគូសរង្វង់នៅជិតសាជីជ្រុងដែលកាត់ជារាងធម្មតា។

ទ្រឹស្តីបទ ៥. នៅជិតសាជីជ្រុងដែលកាត់ជារាងទៀងទាត់ រង្វង់មួយអាចត្រូវបានពិពណ៌នា។ (លក្ខខណ្ឌនេះគឺគ្រប់គ្រាន់ ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់)

2. បាល់ដែលចារឹកក្នុងសាជីជ្រុងដែលកាត់ជារាងទៀងទាត់។

ទ្រឹស្តីបទ ៦. បាល់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងសាជីជ្រុងដែលកាត់ជាប្រក្រតី ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ apothem នៃពីរ៉ាមីតគឺស្មើនឹងផលបូកនៃ apothems នៃមូលដ្ឋាន។

មានបញ្ហាតែមួយគត់សម្រាប់ការផ្សំបាល់ជាមួយនឹងសាជីជ្រុងកាត់ខ្លីនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់ L.S. Atanasyan (លេខ 636)។

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃបាល់មួយដែលមានរាងមូល។

ទ្រឹស្តីបទ ៧. នៅជិតស៊ីឡាំង កោណកាត់ (រង្វង់ខាងស្តាំ) កោណរាងស្វ៊ែរអាចត្រូវបានពិពណ៌នា។

ទ្រឹស្តីបទ ៨. ស្វ៊ែរអាចត្រូវបានចារឹកក្នុងស៊ីឡាំង (រង្វង់ខាងស្ដាំ) ប្រសិនបើស៊ីឡាំងមានសមមូល។

ទ្រឹស្តីបទ ៩. ស្វ៊ែរមួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងកោណណាមួយ (រង្វង់ខាងស្តាំ)។

ទ្រឹស្តីបទ ១០. បាល់អាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងកោណដែលកាត់ចេញ (រង្វង់ខាងស្តាំ) ប្រសិនបើ generatrix របស់វាស្មើនឹងផលបូកនៃរ៉ាឌីនៃមូលដ្ឋាន។

ពីសៀវភៅសិក្សាដោយ L.S. Atanasyan បញ្ហាលេខ 642, 643, 644, 645, 646 អាចត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃបាល់ជាមួយនឹងតួរាងមូល។

សម្រាប់ការសិក្សាដែលទទួលបានជោគជ័យបន្ថែមទៀតលើសម្ភារៈនៃប្រធានបទនេះ ចាំបាច់ត្រូវបញ្ចូលកិច្ចការផ្ទាល់មាត់នៅក្នុងមេរៀន៖

1. គែមនៃគូបគឺស្មើនឹង a ។ ស្វែងរកកាំនៃបាល់៖ ចារឹកក្នុងគូប ហើយគូសរង្វង់នៅជិតវា។ (r = a/2, R = a3) ។

2. តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការពិពណ៌នាអំពីលំហ (បាល់) ជុំវិញ៖ ក) គូបមួយ; ខ) រាងចតុកោណ parallelepiped; គ) parallelepiped inclined, នៅមូលដ្ឋានដែលស្ថិតនៅចតុកោណកែងមួយ; ឃ) parallelepiped ត្រង់; e) ទំនោរ parallelepiped? (ក) បាទ; ខ) បាទ; គ) ទេ; ឃ) ទេ; អ៊ី) ទេ)

3. តើវាពិតទេដែលថាស្វ៊ែរអាចត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីតត្រីកោណណាមួយ? (បាទ)

4. តើវាអាចទៅរួចក្នុងការពិពណ៌នាអំពីលំហជុំវិញពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងទេ? (ទេ មិននៅជិតសាជីជ្រុងបួនជ្រុងទេ)

5. តើសាជីជ្រុងត្រូវតែមានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះ ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលំហជុំវិញវា? (នៅមូលដ្ឋានរបស់វាត្រូវតែមានពហុកោណ ដែលនៅជុំវិញរង្វង់អាចត្រូវបានពិពណ៌នា)

6. ពីរ៉ាមីតមួយត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងស្វ៊ែរ គែមក្រោយដែលកាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរ? (ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរគឺជាចំណុចប្រសព្វនៃទីតាំងធរណីមាត្រពីរនៃចំនុចក្នុងលំហ។ ទីមួយគឺកាត់កែងដែលគូសទៅប្លង់នៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីត កាត់តាមចំនុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលបានពិពណ៌នាជុំវិញវា។ ទីពីរគឺ ប្លង់កាត់កែងទៅនឹងគែមចំហៀងដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយគូសកាត់កណ្តាលរបស់វា)

7. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វីដែលអាចពិពណ៌នាថាស្វ៊ែរនៅជិត prism នៅឯមូលដ្ឋាននៃ trapezoid មួយ? (ជាដំបូង ព្រីសត្រូវតែត្រង់ ហើយទីពីរ រាងចតុកោណត្រូវតែជា isosceles ដូច្នេះរង្វង់អាចត្រូវបានពិពណ៌នាជុំវិញវា)

8. តើព្រីសត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌអ្វីខ្លះដើម្បីពិពណ៌នាអំពីរង្វង់ជុំវិញវា? (ព្រីសត្រូវតែត្រង់ ហើយមូលដ្ឋានរបស់វាត្រូវតែជាពហុកោណជុំវិញដែលរង្វង់អាចគូសរង្វង់បាន)

9. ស្វ៊ែរមួយត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតព្រីសរាងត្រីកោណ ដែលចំណុចកណ្តាលដែលស្ថិតនៅខាងក្រៅព្រីស។ តើត្រីកោណមួយណាជាមូលដ្ឋាននៃព្រីស? (ត្រីកោណ obtuse)

10. តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការពិពណ៌នាអំពីស្វ៊ែរនៅជិតព្រីសដែលមានទំនោរ? (ទេ)

11. តើស្ថិតក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វី ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរដែលបានគូសរង្វង់អំពីព្រីសរាងត្រីកោណខាងស្តាំ ស្ថិតនៅលើផ្នែកម្ខាងនៃព្រីសនោះ? (មូលដ្ឋានគឺជាត្រីកោណកែង)

12. មូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីតគឺជា isosceles trapezoid ការព្យាករ orthogonal នៃកំពូលនៃពីរ៉ាមីតទៅលើយន្តហោះនៃមូលដ្ឋានគឺជាចំណុចមួយដែលមានទីតាំងស្ថិតនៅខាងក្រៅ trapezoid ។ តើវាអាចពិពណ៌នាអំពីលំហជុំវិញរាងចតុកោណបែបនេះដែរឬទេ? (បាទ អ្នកអាចធ្វើបាន។ ការពិតដែលថាការព្យាកររាងពងក្រពើនៃកំពូលនៃពីរ៉ាមីតស្ថិតនៅខាងក្រៅមូលដ្ឋានរបស់វាមិនមានបញ្ហាទេ។ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលថានៅមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងស្ថិតនៅលើ isosceles trapezoid - ពហុកោណជុំវិញដែលរង្វង់អាចជា បានពិពណ៌នា)

13. ស្វ៊ែរមួយត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីតធម្មតា។ តើមជ្ឈមណ្ឌលរបស់វាមានទីតាំងទាក់ទងទៅនឹងធាតុនៃសាជីជ្រុងយ៉ាងដូចម្តេច? (ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរស្ថិតនៅលើកាត់កែងដែលគូរទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋានតាមរយៈកណ្តាលរបស់វា)

14. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វី ដែលចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរដែលគូសរង្វង់អំពីព្រីសរាងត្រីកោណខាងស្តាំកុហក៖ ក) នៅខាងក្នុងព្រីស; ខ) នៅខាងក្រៅព្រីស? (នៅមូលដ្ឋាននៃព្រីសៈ ក) ត្រីកោណស្រួច; ខ) ត្រីកោណ obtuse)

15. ស្វ៊ែរមួយត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិត parallelepiped ចតុកោណដែលគែមមាន 1 dm, 2 dm និង 2 dm ។ គណនាកាំនៃស្វ៊ែរ។ (1.5 dm)

16. តើកោណកាត់មួយណាអាចចារឹកបាន? (នៅក្នុងកោណដែលកាត់ឱ្យខ្លី នៅក្នុងផ្នែកអ័ក្សដែលរង្វង់អាចចារបាន។ ផ្នែកអ័ក្សនៃកោណគឺជា isosceles trapezoid ផលបូកនៃមូលដ្ឋានរបស់វាត្រូវតែស្មើនឹងផលបូកនៃផ្នែកក្រោយរបស់វា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត សម្រាប់ កោណ ផលបូកនៃកាំនៃមូលដ្ឋានត្រូវតែស្មើនឹង generatrix)

17. ស្វ៊ែរមួយត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងកោណដែលកាត់។ តើ generatrix នៃកោណអាចមើលឃើញពីចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរនៅមុំមួយណា? (90 ដឺក្រេ)

18. តើព្រីសត្រង់ត្រូវមានទ្រព្យសម្បត្តិអ្វីខ្លះ ដើម្បីអាចចារឹកស្វ៊ែរក្នុងនោះ? (ជាដំបូង នៅមូលដ្ឋាននៃព្រីសត្រង់ត្រូវតែមានពហុកោណមួយ ដែលរង្វង់អាចចារឹកបាន ហើយទីពីរ កម្ពស់របស់ព្រីសត្រូវតែស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលចារឹកក្នុងមូលដ្ឋាន)

19. សូមលើកឧទាហរណ៍ពីរ៉ាមីតមួយ ដែលស្វ៊ែរមិនអាចចារឹកបានទេ? (ឧទាហរណ៍ ពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុង នៅមូលដ្ឋានដែលមានរាងចតុកោណកែង ឬប្រលេឡូក្រាម)

20. rhombus ស្ថិតនៅលើមូលដ្ឋាននៃ prism ត្រង់។ តើរង្វង់អាចចារឹកក្នុងព្រីសនេះបានទេ? (ទេ អ្នកមិនអាចទេ ព្រោះក្នុងករណីទូទៅ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការពិពណ៌នាអំពីរង្វង់នៅជិត rhombus មួយ)

21. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វី រង្វង់អាចចារឹកក្នុងព្រីសរាងត្រីកោណខាងស្តាំ? (ប្រសិនបើកម្ពស់នៃព្រីសគឺពីរដងនៃកាំនៃរង្វង់ដែលចារឹកក្នុងមូលដ្ឋាន)

22. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វីដែលអាចចារឹករាងជារាងពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងធម្មតា? (ប្រសិនបើផ្នែកនៃពីរ៉ាមីតនេះដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់ពាក់កណ្តាលចំហៀងនៃមូលដ្ឋានកាត់កែងទៅវាគឺជា isosceles trapezoid ដែលរង្វង់អាចត្រូវបានចារឹក)

23. ស្វ៊ែរមួយត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងសាជីជ្រុងរាងត្រីកោណ។ តើចំណុចណានៃពីរ៉ាមីតជាចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរ? (ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរដែលចារឹកក្នុងពីរ៉ាមីតនេះគឺនៅចំនុចប្រសព្វនៃប្លង់ពីរនៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយផ្នែកចំហៀងនៃសាជីជ្រុងជាមួយនឹងមូលដ្ឋាន)

24. តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការពិពណ៌នាអំពីលំហជុំវិញស៊ីឡាំង (រង្វង់ខាងស្តាំ)? (បាទអ្នកអាចធ្វើបាន)

25. តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការពិពណ៌នាអំពីលំហនៅជិតកោណ កោណដែលកាត់ខ្លី (រង្វង់ខាងស្តាំ)? (បាទ អ្នកអាចធ្វើបាន ក្នុងករណីទាំងពីរ)

26. តើរង្វង់អាចចារឹកនៅក្នុងស៊ីឡាំងណាមួយបានទេ? តើស៊ីឡាំងត្រូវមានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះ ដើម្បីឱ្យស្វ៊ែរត្រូវបានចារឹកក្នុងវា? (ទេ មិនមែនគ្រប់គ្នាទេ៖ ផ្នែកអ័ក្សនៃស៊ីឡាំងត្រូវតែជាការ៉េ)

27. តើរង្វង់អាចចារឹកក្នុងកោណបានទេ? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរដែលមានចារឹកនៅក្នុងកោណមួយ? (បាទ/ចាស នៅក្នុងណាមួយ។ កណ្តាលនៃលំហដែលចារឹកគឺនៅចំនុចប្រសព្វនៃកម្ពស់នៃកោណ និង bisector នៃមុំទំនោរនៃ generatrix ទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន)

អ្នកនិពន្ធជឿថាក្នុងចំណោមមេរៀនទាំងបីដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការធ្វើផែនការលើប្រធានបទ "បញ្ហាផ្សេងគ្នាសម្រាប់ polyhedra, ស៊ីឡាំង, កោណនិងបាល់មួយ" វាត្រូវបានណែនាំឱ្យយកមេរៀនពីរសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការផ្សំបាល់ជាមួយរាងកាយផ្សេងទៀត។ . វាមិនត្រូវបានផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យបង្ហាញទ្រឹស្តីបទដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើដោយសារតែចំនួនពេលវេលាមិនគ្រប់គ្រាន់នៅក្នុងមេរៀន។ អ្នកអាចផ្តល់ជូនសិស្សដែលមានជំនាញគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ពួកគេដោយបង្ហាញ (តាមការសម្រេចចិត្តរបស់គ្រូ) វគ្គសិក្សា ឬផែនការនៃភស្តុតាង។

បាល់អាចត្រូវបានគូសរង្វង់នៅជិតពីរ៉ាមីត ប្រសិនបើរង្វង់មួយអាចត្រូវបានគូសរង្វង់នៅជិតមូលដ្ឋានរបស់វា។

ដើម្បីបង្កើតចំណុចកណ្តាល O នៃបាល់នេះ អ្នកត្រូវការ៖

1. រកចំណុចកណ្តាល O រង្វង់ដែលគូសនៅជិតមូលដ្ឋាន។

2. តាមរយៈចំណុច O គូរបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងប្លង់នៃមូលដ្ឋាន។

3. តាមរយៈពាក់កណ្តាលគែមចំហៀងណាមួយនៃសាជីជ្រុង សូមគូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងគែមនេះ។

4. រកចំនុច O នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងប្លង់ដែលបានសាងសង់។

ករណីពិសេស៖ គែមចំហៀងនៃពីរ៉ាមីតគឺស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មក៖

បាល់អាចត្រូវបានពិពណ៌នា;

កណ្តាល O នៃបាល់ស្ថិតនៅកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីត;

តើកាំនៃរង្វង់មូលស្ថិតនៅត្រង់ណា; - ឆ្អឹងជំនីរចំហៀង; H គឺជាកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីត។

៥.២. បាល់និងព្រីស

ស្វ៊ែរមួយអាចត្រូវបានគូសរង្វង់នៅជិតព្រីសបានប្រសិនបើព្រីសត្រង់ ហើយរង្វង់អាចត្រូវបានកាត់នៅជិតមូលដ្ឋានរបស់វា។

កណ្តាលនៃបាល់គឺជាផ្នែកកណ្តាលនៃផ្នែកតភ្ជាប់កណ្តាលនៃរង្វង់ដែលបានពិពណ៌នានៅជិតមូលដ្ឋាន។

តើកាំនៃរង្វង់មូលនៅឯណា? គឺជាកាំនៃរង្វង់មូលនៅជិតមូលដ្ឋាន; H គឺជាកម្ពស់នៃព្រីស។

៥.៣. បាល់និងស៊ីឡាំង

ស្វ៊ែរតែងតែអាចត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតស៊ីឡាំង។ ចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីនៃផ្នែកអ័ក្សនៃស៊ីឡាំង។

៥.៤. បាល់និងកោណ

ស្វ៊ែរតែងតែអាចត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតកោណ។ កណ្តាលនៃបាល់; បម្រើជាកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលគូសអំពីផ្នែកអ័ក្សនៃកោណ។

ព្រីសរាងបួនជ្រុងធម្មតាដែលមានទំហំ 65 dm 3 ត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតបាល់។ គណនាសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃផ្ទៃសរុបនៃព្រីស និងបរិមាណនៃស្វ៊ែរ
ព្រីសត្រូវបានគេហៅថាទៀងទាត់ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានរបស់វាគឺពហុកោណធម្មតា ហើយគែមក្រោយរបស់វាកាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន។ បួនជ្រុងធម្មតាគឺជាការ៉េ។ ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េគឺជាចំណុចកណ្តាលរបស់វា ក៏ដូចជាកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលមានចារឹកនៅក្នុងវា។ ចូរយើងបញ្ជាក់ការពិតនេះ។ ទោះបីជាភស្តុតាងនេះទំនងជាមិនត្រូវបានសួរ និងអាចត្រូវបានលុបចោលក៏ដោយ។
ជាប្រភេទពិសេសនៃប្រលេឡូក្រាម ចតុកោណកែង និងរាងមូល ការ៉េមានលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា៖ អង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនិងបំបែកចំណុចប្រសព្វ ហើយជាផ្នែកនៃជ្រុងនៃការ៉េ។ គូរបន្ទាត់កាត់ចំនុច E ស្របទៅនឹង AB ។ AB គឺកាត់កែងទៅ BC ដែលមានន័យថា TC ក៏កាត់កែងទៅ BC (ប្រសិនបើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយក្នុងចំនោមបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលទាំងពីរកាត់កែងទៅទីបីនៃបន្ទាត់ នោះបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលទីពីរក៏កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់នេះ (ទីបី))។ តាមរបៀបដូចគ្នាយើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ MR ។ ត្រីកោណចតុកោណ BET និង AEK គឺស្មើគ្នាក្នុងអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច (BE=AE - ពាក់កណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូង ∠ EBT=∠ EAK - ពាក់កណ្តាលនៃមុំខាងស្តាំ) ដូច្នេះ ET=EK ។ ដូចគ្នាដែរ យើងបង្ហាញថា EM=EP។ ហើយពីសមភាពនៃត្រីកោណ CEP និង SET (សញ្ញាដូចគ្នា) យើងនឹងឃើញថា ET = EP, i.e. ET=EP=EK=EM ឬនិយាយយ៉ាងសាមញ្ញថាចំនុច M គឺស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃការ៉េ ហើយនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការទទួលស្គាល់វាជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលមានចារឹកក្នុងការ៉េនេះ។
ពិចារណាពីចតុកោណកែង ABTK (ចតុកោណកែងនេះគឺជាចតុកោណកែង ព្រោះមុំទាំងអស់នៅក្នុងវាត្រឹមត្រូវដោយការសាងសង់)។ នៅក្នុងចតុកោណកែងម្ខាងគឺស្មើគ្នា - AB \u003d KT (គួរកត់សំគាល់ថា KT គឺជាអង្កត់ផ្ចិតនៃមូលដ្ឋាន) - នេះមានន័យថាផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹក។
ចូរគូរប្លង់តាមប៉ារ៉ាឡែល (បន្ទាត់ពីរកាត់កាត់គ្នាទៅនឹងយន្តហោះដូចគ្នាគឺប៉ារ៉ាឡែល) AA 1, CC 1 និង BB 1 និង DD 1 រៀងគ្នា (បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលកំណត់យន្តហោះ លើសពីនេះទៅទៀតមានតែមួយ)។ យន្តហោះ AA 1 C 1 C និង BB 1 D 1 D កាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន ABCD ពីព្រោះ ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់ (ឆ្អឹងជំនីរចំហៀង) កាត់កែងទៅវា។
ពីចំណុច H (ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង) ក្នុងយន្តហោះ AA 1 C 1 C កាត់កែងទៅមូលដ្ឋាន ABCD ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងធ្វើដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះ BB 1 D 1 D. ពីទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រសិនបើពីចំនុចមួយនៃប្លង់កាត់កែងទាំងពីរ យើងគូរកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះផ្សេងទៀត នោះកាត់កែងនេះទាំងស្រុងនៅក្នុងយន្តហោះទីមួយ។ យើងទទួលបានថាការកាត់កែងនេះត្រូវតែកុហក ហើយនៅក្នុងយន្តហោះ AA 1 C 1 C និងនៅក្នុងយន្តហោះ BB 1 D 1 D. វាអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែកាត់កែងនេះស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងនេះ - ទេ។ ទាំងនោះ។ ផ្នែកមិនមែនជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលកណ្តាលនៃរង្វង់ចារឹកស្ថិតនៅ (ព្រោះវាមិនស្មើគ្នាពីប្លង់នៃមុខចំហៀង ហើយនេះបន្តពីចំនុច E និង H ពីចំនុចកំពូលនៃ មូលដ្ឋានដែលត្រូវគ្នា (យោងទៅតាមការបញ្ជាក់៖ ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃការ៉េ) ហើយពីការពិតដែលថា NOT កាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន យើងអាចសន្និដ្ឋានថា មិនមែនជាអង្កត់ផ្ចិតនៃបាល់នោះទេ។ ៖ បាល់អាចត្រូវបានចារឹកក្នុងព្រីសធម្មតាប្រសិនបើកម្ពស់របស់វាស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលបានចារឹកក្នុងគោល។ បាល់ដូច្នេះកម្ពស់របស់វាគឺស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលបានចារឹកក្នុងគោល។ ប្រសិនបើយើងកំណត់ ផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាន កនិងកម្ពស់នៃព្រីសសម្រាប់ h បន្ទាប់មកដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនេះ យើងសន្និដ្ឋាន ក=h ហើយបន្ទាប់មកបរិមាណនៃព្រីសអាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:

លើសពីនេះទៀតដោយប្រើការពិតដែលថាកម្ពស់ស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលបានចារឹកនិងផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃព្រីសយើងរកឃើញកាំនៃស្វ៊ែរហើយបន្ទាប់មកបរិមាណរបស់វា:

វាត្រូវតែនិយាយថាគែមចំហៀងគឺស្មើនឹងកម្ពស់ (ផ្នែកនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដែលរុំព័ទ្ធរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលគឺស្មើគ្នា) ហើយចាប់តាំងពីកម្ពស់ស្មើនឹងផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋានបន្ទាប់មកជាទូទៅគែមទាំងអស់នៃព្រីសគឺស្មើគ្នា។ គ្នាទៅវិញទៅមក ហើយមុខទាំងអស់គឺជាការ៉េដែលមានផ្ទៃ ក២. តាមពិតតួលេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាគូប - ករណីពិសេសនៃ parallelepiped ។ វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃសរុបនៃគូប ហើយភ្ជាប់វាជាមួយនឹងបរិមាណបាល់៖

2. ចំហៀងមូលដ្ឋាន

ភារកិច្ច

1. ស្វែងរកផ្ទៃនៃព្រីសត្រង់មួយ នៅមូលដ្ឋានដែលស្ថិតនៅរាងមូលដែលមានអង្កត់ទ្រូងស្មើនឹង 3 និង 4 និងគែមចំហៀងស្មើនឹង 5 ។

ចម្លើយ៖ ៦២.

2. នៅមូលដ្ឋាននៃព្រីសត្រង់មួយមាន rhombus ដែលមានអង្កត់ទ្រូងស្មើនឹង 6 និង 8 ។ ផ្ទៃរបស់វាមាន 248 ។ ស្វែងរកគែមចំហៀងនៃព្រីសនេះ។

ចម្លើយ៖ ១០.

3. ស្វែងរកគែមចំហៀងនៃព្រីសរាងបួនជ្រុងធម្មតា ប្រសិនបើជ្រុងនៃមូលដ្ឋានរបស់វាគឺ 3 ហើយផ្ទៃគឺ 66 ។

ចម្លើយ៖ ៤.

4. ព្រីសរាងបួនជ្រុងធម្មតាត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតស៊ីឡាំងដែលកាំមូលដ្ឋាន និងកម្ពស់ស្មើនឹង 2. ស្វែងរកផ្ទៃក្រោយនៃព្រីស។

ចម្លើយ៖ ៣២.

5. ព្រីសរាងបួនជ្រុងធម្មតាត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតស៊ីឡាំងដែលកាំមូលដ្ឋានគឺ 2. ផ្ទៃក្រោយនៃព្រីសគឺ 48. ស្វែងរកកម្ពស់របស់ស៊ីឡាំង។

ព្រីសត្រង់ (ឆកោនធម្មតា)

ព្រីសដែលគែមចំហៀងកាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន ហើយមូលដ្ឋានមានការ៉េស្មើគ្នា។

1. មុខចំហៀង - ចតុកោណកែងស្មើគ្នា

2. ចំហៀងមូលដ្ឋាន

ភារកិច្ច

1. រកបរិមាណនៃព្រីសរាងប្រាំមួយធម្មតាដែលជ្រុងមូលដ្ឋានស្មើ 1 ហើយគែមចំហៀងគឺស្មើគ្នា។

ចម្លើយ៖ ៤.៥ ។

2. ស្វែងរកផ្ទៃក្រោយនៃព្រីសឆកោនធម្មតាដែលជ្រុងគោលមាន 3 និងកំពស់ 6 ។

ចម្លើយ៖ ១០៨.

3. រកបរិមាណនៃព្រីសរាងប្រាំមួយធម្មតាដែលមានគែមទាំងអស់ស្មើ √3 ។

ចម្លើយ៖ ១៣.៥

4. ស្វែងរកបរិមាណនៃពហុហ៊្វូដដែលមានចំនុចកំពូលគឺ A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 នៃព្រីមរាងប្រាំជ្រុងធម្មតា ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ដែលតំបន់មូលដ្ឋានគឺ 6 ហើយគែមចំហៀងរបស់វាគឺ 2 ។

ព្រីសដោយផ្ទាល់ (បំពាន ន- ធ្យូងថ្ម

ព្រីមដែលគែមចំហៀងកាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន ហើយមូលដ្ឋានរបស់វាស្មើ n-gons ។

1. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានគឺជាពហុកោណធម្មតា នោះមុខចំហៀងគឺចតុកោណកែងស្មើគ្នា។

2. ចំហៀងមូលដ្ឋាន .

ពីរ៉ាមីត

ពីរ៉ាមីតគឺជាពហុកោណដែលផ្សំឡើងដោយ n-gon A1A2...AnA1 និង n ត្រីកោណ (A1A2P, A1A3P ។ល។)

1. ផ្នែកមួយស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីតគឺជាពហុកោណស្រដៀងនឹងមូលដ្ឋាន។ តំបន់នៃផ្នែក និងមូលដ្ឋានគឺទាក់ទងគ្នាជាការ៉េនៃចម្ងាយរបស់ពួកគេទៅកំពូលនៃពីរ៉ាមីត។

2. ពីរ៉ាមីតត្រូវបានគេហៅថាទៀងទាត់ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានរបស់វាគឺពហុកោណធម្មតា ហើយចំនុចកំពូលត្រូវបានព្យាករទៅកណ្តាលនៃមូលដ្ឋាន។

3. គែមចំហៀងទាំងអស់នៃពីរ៉ាមីតធម្មតាគឺស្មើគ្នា ហើយមុខចំហៀងគឺស្មើត្រីកោណ isosceles ។

4. កម្ពស់នៃមុខចំហៀងនៃសាជីជ្រុងធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា apothem ។

5. តំបន់នៃផ្ទៃក្រោយនៃសាជីជ្រុងធម្មតាគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃបរិវេណនៃមូលដ្ឋាននិង apothem ។

ភារកិច្ច

1. តើបរិមាណនៃ tetrahedron ធម្មតានឹងកើនឡើងប៉ុន្មានដង ប្រសិនបើគែមទាំងអស់របស់វាកើនឡើងទ្វេដង?

ចម្លើយ៖ ៨.

2. ជ្រុងនៃមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងធម្មតាគឺ 10, គែមចំហៀងគឺ 13. ស្វែងរកតំបន់នៃផ្ទៃក្រោយនៃពីរ៉ាមីត។

ចម្លើយ៖ ៣៦០ ។

5. ស្វែងរកបរិមាណនៃពីរ៉ាមីតដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ មូលដ្ឋានរបស់វាគឺជាពហុកោណដែលភាគីនៅជាប់គ្នាកាត់កែង ហើយគែមចំហៀងម្ខាងគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន ហើយស្មើនឹង 3 ។

ចម្លើយ៖ ២៧.

6. រកបរិមាណនៃពីរ៉ាមីតរាងត្រីកោណធម្មតាដែលជ្រុងមូលដ្ឋានគឺ 1 និងកម្ពស់របស់វា។

ចម្លើយ៖ ០.២៥ ។

7. គែមចំហៀងនៃពីរ៉ាមីតរាងត្រីកោណ កាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក ពួកវានីមួយៗស្មើនឹង 3. រកបរិមាណនៃពីរ៉ាមីត។

ចម្លើយ៖ ៤.៥ ។

8. អង្កត់ទ្រូងនៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងធម្មតាគឺ 8. គែមចំហៀងគឺ 5. ស្វែងរកបរិមាណនៃពីរ៉ាមីត។

ចម្លើយ៖ ៣២.

9. នៅក្នុងសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុងធម្មតា កម្ពស់គឺ 12 បរិមាណគឺ 200។ ស្វែងរកគែមចំហៀងនៃពីរ៉ាមីត។

ចម្លើយ៖ ១៣.

10. ជ្រុងនៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងធម្មតាមាន 6 គែមចំហៀងគឺ 5. ស្វែងរកផ្ទៃនៃសាជីជ្រុង។

ចម្លើយ៖ ៨៤។

11. បរិមាណនៃសាជីជ្រុងធម្មតា 6. ផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋានគឺ 1. ស្វែងរកគែមចំហៀង។

12. តើផ្ទៃនៃ tetrahedron ធម្មតានឹងកើនឡើងប៉ុន្មានដង ប្រសិនបើគែមទាំងអស់របស់វាត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង?

ចម្លើយ៖ ៤.

13. បរិមាណនៃពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងធម្មតាគឺ 12. រកបរិមាណនៃពីរ៉ាមីតដែលកាត់ចេញពីវាដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់អង្កត់ទ្រូងនៃមូលដ្ឋាន និងពាក់កណ្តាលនៃគែមចំហៀងទល់មុខ។

ចម្លើយ៖ ៣.

14. តើបរិមាណ octahedron នឹងថយចុះប៉ុន្មានដង ប្រសិនបើគែមទាំងអស់របស់វាត្រូវបានកាត់ពាក់កណ្តាល?

ចម្លើយ៖ ៨.

15. បរិមាណនៃពីរ៉ាមីតរាងត្រីកោណគឺ 15. យន្តហោះឆ្លងកាត់ផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងនេះ ហើយកាត់គែមចំហៀងទល់មុខត្រង់ចំនុចមួយដែលបែងចែកវាក្នុងសមាមាត្រ 1: 2 ដោយរាប់ពីកំពូលនៃពីរ៉ាមីត។ ស្វែងរកទំហំធំបំផុតនៃពីរ៉ាមីតដែលយន្តហោះបែងចែកពីរ៉ាមីតដើម។

ចម្លើយ៖ ១០.

16. ស្វែងរកកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីតរាងត្រីកោណធម្មតាដែលជ្រុងគោលមាន 2 ហើយទំហំរបស់វាមាន .

ចម្លើយ៖ ៣.

17. នៅក្នុងសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុងធម្មតា កម្ពស់គឺ 6 គែមចំហៀងគឺ 10. ស្វែងរកបរិមាណរបស់វា។

ចម្លើយ៖ ២៥៦ ។

18. ពីសាជីជ្រុងរាងត្រីកោណ បរិមាណដែលស្មើនឹង 12 ពីរ៉ាមីតរាងត្រីកោណត្រូវបានកាត់ផ្តាច់ដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់កំពូលនៃពីរ៉ាមីត និងខ្សែកណ្តាលនៃមូលដ្ឋាន។ ស្វែងរកបរិមាណនៃសាជីជ្រុងកាត់ចេញ។

ចម្លើយ៖ ៣.

ស៊ីឡាំង

ស៊ីឡាំង - រាងកាយដែលព័ទ្ធជុំវិញដោយផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងនិងរង្វង់ពីរដែលមានព្រំប្រទល់។

ហ

រ

បរិមាណរាងកាយ	ផ្ទៃចំហៀង	តំបន់មូលដ្ឋាន	ផ្ទៃដីសរុប

1. ម៉ាស៊ីនភ្លើងនៃស៊ីឡាំង - ផ្នែកនៃម៉ាស៊ីនភ្លើងដែលរុំព័ទ្ធរវាងមូលដ្ឋាន។

2. កម្ពស់នៃស៊ីឡាំងគឺជាប្រវែងនៃ generatrix ។

3. ផ្នែកអ័ក្ស - ចតុកោណកែងដែលភាគីទាំងពីរជាម៉ាស៊ីនភ្លើង ហើយពីរទៀតគឺជាអង្កត់ផ្ចិតនៃមូលដ្ឋានរបស់ស៊ីឡាំង។

4. ផ្នែករាងជារង្វង់ - ផ្នែកមួយ យន្តហោះ secant ដែលកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សរបស់ស៊ីឡាំង។

5. ការអភិវឌ្ឍនៃផ្ទៃក្រោយនៃស៊ីឡាំង - ចតុកោណដែលតំណាងឱ្យគែមពីរនៃការកាត់នៃផ្ទៃក្រោយនៃស៊ីឡាំងតាមបណ្តោយ generatrix ។

6. តំបន់នៃផ្ទៃក្រោយនៃស៊ីឡាំងគឺជាតំបន់នៃការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា។

7. តំបន់នៃផ្ទៃពេញលេញនៃស៊ីឡាំងត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃតំបន់នៃផ្ទៃក្រោយនិងមូលដ្ឋានពីរ។

8. វាតែងតែអាចពិពណ៌នាអំពីស្វ៊ែរនៅជិតស៊ីឡាំងមួយ។ កណ្តាលរបស់វាស្ថិតនៅចំកណ្តាលកម្ពស់។ ដែល R ជាកាំនៃបាល់ r ជាកាំនៃមូលដ្ឋានស៊ីឡាំង H ជាកំពស់របស់ស៊ីឡាំង។

9. បាល់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងស៊ីឡាំងប្រសិនបើអង្កត់ផ្ចិតនៃមូលដ្ឋាននៃស៊ីឡាំងគឺស្មើនឹងកម្ពស់របស់វា។ .

ភារកិច្ច

1. ផ្នែកមួយត្រូវបានបន្ទាបចូលទៅក្នុងធុងស៊ីឡាំងមួយដែលមានទឹក 6 លីត្រ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះកម្រិតរាវនៅក្នុងនាវាបានកើនឡើង 1,5 ដង។ តើបរិមាណនៃផ្នែកគឺជាអ្វី?

ចម្លើយ៖ ៣.

2. ស្វែងរកបរិមាណនៃស៊ីឡាំងដែលតំបន់គោលគឺ 1 ហើយ generatrix គឺ 6 ហើយមានទំនោរទៅប្លង់គោលនៅមុំ 30o ។

ចម្លើយ៖ ៣.

3. ស៊ីឡាំងនិងកោណមានមូលដ្ឋានរួមនិងកម្ពស់។ ស្វែងរកបរិមាណនៃស៊ីឡាំងប្រសិនបើបរិមាណនៃកោណគឺ 50 ។

ចម្លើយ៖ ១៥០ ។

4. ទឹកដែលស្ថិតនៅក្នុងធុងរាងស៊ីឡាំងនៅកម្រិត 12 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានចាក់ចូលទៅក្នុងធុងស៊ីឡាំងដែលមានអង្កត់ផ្ចិតធំជាងពីរដង។ តើកម្ពស់ទឹកនៅកប៉ាល់ទីពីរនឹងមានកម្ពស់ប៉ុន្មាន?

5. តំបន់នៃផ្នែកអ័ក្សនៃស៊ីឡាំងគឺ . ស្វែងរកផ្ទៃក្រោយនៃស៊ីឡាំង។

ចម្លើយ៖ ២.

6. ព្រីសរាងបួនជ្រុងធម្មតាត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតស៊ីឡាំងដែលកាំគោល និងកម្ពស់ស្មើនឹង 2. ស្វែងរកតំបន់នៃផ្ទៃក្រោយនៃព្រីស។

ចម្លើយ៖ ៣២.

7. បរិមាត្រនៃមូលដ្ឋានរបស់ស៊ីឡាំងគឺ 3. ផ្ទៃក្រោយគឺ 6. ស្វែងរកកម្ពស់របស់ស៊ីឡាំង។

8. ពែងរាងស៊ីឡាំងមួយគឺខ្ពស់ជាងពីរដង ប៉ុន្តែទីពីរគឺធំជាងមួយដងកន្លះ។ រកសមាមាត្រនៃបរិមាណនៃពែងទីពីរទៅនឹងបរិមាណនៃទីមួយ។

ចម្លើយ៖ ១.១២៥ ។

9. នៅក្នុងធុងរាងស៊ីឡាំង កម្រិតអង្គធាតុរាវឡើងដល់ 18 សង់ទីម៉ែត្រ តើកម្រិតអង្គធាតុរាវនឹងមានកម្ពស់កម្រិតណា ប្រសិនបើវាត្រូវបានចាក់ចូលទៅក្នុងនាវាទីពីរ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិតធំជាងធុងទីមួយ 3 ដង?

ចម្លើយ៖ ២.

កោណ

កោណគឺជារាងកាយមួយដែលចងដោយផ្ទៃរាងសាជីនិងរង្វង់មួយ។

អ័ក្សកោណ

រ

កំពូល

ម៉ាស៊ីនភ្លើង

ផ្ទៃចំហៀង

បរិមាណរាងកាយ	ផ្ទៃចំហៀង	តំបន់មូលដ្ឋាន	ផ្ទៃដីសរុប

1. តំបន់នៃផ្ទៃក្រោយនៃកោណគឺជាតំបន់នៃការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា។

2. ទំនាក់ទំនងរវាងមុំអភិវឌ្ឍន៍និងមុំនៅចំណុចកំពូលនៃផ្នែកអ័ក្ស .

1. ស៊ីឡាំង និងកោណមានមូលដ្ឋានរួម និងកម្ពស់។ ស្វែងរកបរិមាណនៃស៊ីឡាំងប្រសិនបើបរិមាណនៃកោណគឺ 50 ។

ចម្លើយ៖ ១៥០ ។

2. ស្វែងរកបរិមាណនៃកោណដែលតំបន់គោលគឺ 2 ហើយ generatrix គឺ 6 ហើយមានទំនោរទៅប្លង់គោលនៅមុំ 30o ។

ចម្លើយ៖ ២.

3. បរិមាណនៃកោណគឺ 12. ផ្នែកមួយត្រូវបានគូរស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃកោណដោយបែងចែកកម្ពស់ជាពាក់កណ្តាល។ ស្វែងរកបរិមាណនៃកោណកាត់។

ចម្លើយ៖ ១.៥ ។

4. តើបរិមាណកោណដែលបានគូសរង្វង់នៅជិតពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងធម្មតា ធំជាងបរិមាណកោណដែលបានចារក្នុងពីរ៉ាមីតនេះប៉ុន្មានដង?

ចម្លើយ៖ ២.

5. កម្ពស់នៃកោណគឺ 6, generatrix គឺ 10. រកបរិមាណរបស់វាចែកដោយ។

ចម្លើយ៖ ១២៨។

6. ស៊ីឡាំងនិងកោណមានមូលដ្ឋានរួមនិងកម្ពស់។ ស្វែងរកបរិមាណនៃកោណប្រសិនបើបរិមាណនៃស៊ីឡាំងគឺ 48 ។

ចម្លើយ៖ ១៦.

7. អង្កត់ផ្ចិតនៃមូលដ្ឋាននៃកោណគឺ 6 ហើយមុំនៅផ្នែកខាងលើនៃផ្នែកអ័ក្សគឺ 90 °។ គណនាបរិមាណនៃកោណចែកដោយ .

8. កោណត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងធម្មតាដែលមានចំហៀងមូលដ្ឋាន 4 និងកម្ពស់ 6. រកបរិមាណរបស់វាចែកនឹង .

9. កោណមួយត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលត្រីកោណកែង isosceles ជុំវិញជើងស្មើនឹង 6. រកបរិមាណរបស់វាចែកនឹង។

ស្វ៊ែរនិងបាល់

ស្វ៊ែរ គឺជាផ្ទៃដែលមានចំណុចទាំងអស់ក្នុងលំហ ដែលមានទីតាំងនៅចម្ងាយដែលបានផ្តល់ឱ្យពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វ៊ែរគឺជាតួដែលត្រូវបានកំណត់ដោយស្វ៊ែរ។

1. ផ្នែកមួយនៃស្វ៊ែរដោយយន្តហោះគឺជារង្វង់ប្រសិនបើចម្ងាយពីកណ្តាលនៃស្វ៊ែរទៅយន្តហោះគឺតិចជាងកាំនៃស្វ៊ែរ។

2. ផ្នែកនៃស្វ៊ែរដោយយន្តហោះគឺជារង្វង់មួយ។

3. យន្តហោះតង់សង់ទៅស្វ៊ែរ គឺជាយន្តហោះដែលមានចំណុចរួមតែមួយជាមួយស្វ៊ែរ។

4. កាំនៃស្វ៊ែរ ដែលគូរនៅចំណុចទំនាក់ទំនងរវាងស្វ៊ែរ និងយន្តហោះ កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះតង់សង់។

5. ប្រសិនបើកាំនៃស្វ៊ែរកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចុងរបស់វាដែលស្ថិតនៅលើស្វ៊ែរ នោះយន្តហោះនេះគឺតង់សង់ទៅស្វ៊ែរ។

6. ពហុហេដរ៉ុនត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានចារឹកនៅជិតស្វ៊ែរ ប្រសិនបើស្វ៊ែរប៉ះមុខទាំងអស់។

7. ផ្នែកនៃតង់សង់ទៅស្វ៊ែរ ដែលដកចេញពីចំណុចមួយគឺស្មើគ្នា និងធ្វើឱ្យមុំស្មើគ្នាជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ និងចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរ។

8. ស្វ៊ែរមួយត្រូវបានចារឹកលើផ្ទៃរាងស៊ីឡាំង ប្រសិនបើវាប៉ះនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងទាំងអស់របស់វា។

9. ស្វ៊ែរមួយត្រូវបានចារឹកលើផ្ទៃរាងសាជី ប្រសិនបើវាប៉ះម៉ាស៊ីនភ្លើងទាំងអស់របស់វា។

ភារកិច្ច

1. កាំនៃបាល់ពីរគឺ 6 និង 8។ រកកាំនៃបាល់ដែលផ្ទៃរបស់វាស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃរបស់វា។

ចម្លើយ៖ ១០.

2. ផ្ទៃនៃរង្វង់ដ៏អស្ចារ្យនៃបាល់គឺ 1. ស្វែងរកផ្ទៃនៃបាល់។

3. តើផ្ទៃនៃបាល់នឹងកើនឡើងប៉ុន្មានដង ប្រសិនបើកាំរបស់វាកើនឡើងទ្វេដង?

4. កាំនៃបាល់បីគឺ 3, 4 និង 5។ រកកាំនៃបាល់ដែលទំហំរបស់វាស្មើនឹងផលបូកនៃបរិមាណរបស់វា។

ចម្លើយ៖ ៦.

5. ប្រអប់រាងចតុកោណត្រូវបានគូសរង្វង់ជុំវិញរង្វង់នៃកាំ 2. ស្វែងរកផ្ទៃរបស់វា។

ចម្លើយ៖ ៩៦។

6. គូបមួយត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងបាល់នៃកាំមួយ។ ស្វែងរកផ្ទៃនៃគូប។

ចម្លើយ៖ ២៤.

7. ប្រអប់រាងចតុកោណត្រូវបានគូសរង្វង់ជុំវិញរង្វង់នៃកាំ 2. ស្វែងរកបរិមាណរបស់វា។

8. បរិមាណនៃគូបដែលគូសរង្វង់ជុំវិញស្វ៊ែរគឺ 216. ស្វែងរកកាំនៃស្វ៊ែរ។

ចម្លើយ៖ ៣.

9. ផ្ទៃនៃគូបដែលគូសរង្វង់អំពីស្វ៊ែរគឺ 96. ស្វែងរកកាំនៃស្វ៊ែរ។

ចម្លើយ៖ ២.

10. ស៊ីឡាំងមួយត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតស្វ៊ែរ ផ្ទៃក្រោយដែលស្មើនឹង 9. ស្វែងរកផ្ទៃនៃស្វ៊ែរ។

ចម្លើយ៖ ៩.

11. តើផ្ទៃនៃស្វ៊ែរមួយត្រូវបានគូសរង្វង់ប៉ុន្មានដងអំពីគូបធំជាងផ្ទៃនៃស្វ៊ែរដែលចារឹកក្នុងគូបដូចគ្នា?

ចម្លើយ៖ ៣.

12. គូបមួយត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងបាល់នៃកាំមួយ។ ស្វែងរកបរិមាណគូប។

ចម្លើយ៖ ៨.

សមាសធាតុ polyhedra

ភារកិច្ច

1. តួរលេខបង្ហាញពីពហុហេដរ៉ុន មុំ dihedral ទាំងអស់នៃ polyhedron គឺត្រឹមត្រូវ។ រកចំងាយរវាងចំនុចកំពូល A និង C2 ។

ចម្លើយ៖ ៣.

2. រកមុំ CAD2 នៃ polyhedron ដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ មុំ dihedral ទាំងអស់នៃ polyhedron គឺត្រឹមត្រូវ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។

ចម្លើយ៖ ៦០ ។

3. ស្វែងរកផ្ទៃក្រឡាដែលបង្ហាញក្នុងរូប (មុំ dihedral ទាំងអស់ត្រូវ)។

ចម្លើយ៖ ១៨.

4. ស្វែងរកផ្ទៃក្រឡាដែលបង្ហាញក្នុងរូប (មុំ dihedral ទាំងអស់ត្រូវ)។

ចម្លើយ៖ ១៣២

5. ស្វែងរកផ្ទៃនៃឈើឆ្កាង spatial ដែលបង្ហាញក្នុងរូប និងបង្កើតជាគូបឯកតា។

ចម្លើយ៖ ៣០

6. ស្វែងរកបរិមាណនៃពហុកោណដែលបង្ហាញក្នុងរូប (មុំ dihedral ទាំងអស់គឺត្រឹមត្រូវ) ។

ចម្លើយ៖ ៨

7. ស្វែងរកបរិមាណនៃពហុកោណដែលបង្ហាញក្នុងរូប (មុំ dihedral ទាំងអស់គឺត្រឹមត្រូវ) ។

ចម្លើយ៖ ៧៨

8. តួរលេខបង្ហាញពហុហេដរុន មុំ dihedral ទាំងអស់នៃ polyhedron គឺត្រឹមត្រូវ។ រកតង់សង់នៃមុំ ABB3.

ចម្លើយ៖ ២

10. តួរលេខបង្ហាញពហុហេដរុន មុំ dihedral ទាំងអស់នៃ polyhedron គឺត្រឹមត្រូវ។ រកតង់សង់នៃមុំ C3D3B3 ។

ចម្លើយ៖ ៣

11. តាមរយៈបន្ទាត់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាននៃព្រីសរាងត្រីកោណ យន្តហោះមួយត្រូវបានគូរស្របទៅនឹងគែមចំហៀង។ ស្វែងរកតំបន់នៃផ្ទៃក្រោយនៃព្រីស ប្រសិនបើផ្ទៃនៃផ្ទៃក្រោយនៃព្រីសរាងត្រីកោណកាត់ចេញគឺ 37 ។

ចម្លើយ៖ ៧៤។