1) Funkcijų apimtis ir funkcijų diapazonas.
Funkcijos apimtis yra visų galiojančių argumento reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) apibrėžta. Funkcijos diapazonas yra visų realių reikšmių rinkinys y kad funkcija priima.
Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.
2) Funkcijos nuliai.
Funkcijos nulis yra argumento, kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui, reikšmė.
3) Funkcijos ženklų pastovumo intervalai.
Funkcijos pastovaus ženklo intervalai yra tokie argumentų reikšmių rinkiniai, kuriuose funkcijos reikšmės yra tik teigiamos arba tik neigiamos.
4) Funkcijos monotoniškumas.
Didėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
Mažėjanti funkcija (tam tikrame intervale) – funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
5) Lyginės (nelyginės) funkcijos.
Lyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = f(x). Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas y ašiai.
Nelyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = - f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.
6) Ribotos ir neribotos funkcijos.
Funkcija vadinama ribota, jei yra teigiamas skaičius M, kad |f(x)| ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija neapribota.
7) Funkcijos periodiškumas.
Funkcija f(x) yra periodinė, jei yra nulinis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos srities f(x+T) = f(x). Šis mažiausias skaičius vadinamas funkcijos periodu. Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės. (Trigonometrinės formulės).
19. Pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai. Funkcijų taikymas ekonomikoje.
Pagrindinės elementarios funkcijos. Jų savybės ir grafikai
1. Tiesinė funkcija.
Linijinė funkcija vadinama formos funkcija, kur x yra kintamasis, o b yra realieji skaičiai.
Skaičius a vadinamas tiesės nuolydžiu, jis yra lygus šios tiesės polinkio kampo į teigiamą x ašies kryptį liestinei. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Jis apibrėžiamas dviem taškais.
Tiesinės funkcijos ypatybės
1. Apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė: D (y) \u003d R
2. Reikšmių aibė yra visų realiųjų skaičių aibė: E(y)=R
3. Funkcija įgyja nulinę arba reikšmę.
4. Funkcija didėja (mažėja) visoje apibrėžimo srityje.
5. Tiesinė funkcija yra ištisinė visoje apibrėžimo srityje, diferencijuojama ir .
2. Kvadratinė funkcija.
Formos funkcija, kur x yra kintamasis, koeficientai a, b, c yra realieji skaičiai, vadinama kvadratinis.
1. Tiesinė trupmeninė funkcija ir jos grafikas
Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.
Tikriausiai jau esate susipažinę su racionaliųjų skaičių sąvoka. Panašiai racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.
Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. peržiūros funkcija
y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija yra konstanta). Tiesinės trupmeninės dalies funkcija apibrėžiama visiems realiesiems skaičiams, išskyrus x = -d/c. Tiesinių trupmeninių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo grafiko, kurį žinote y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Neribotai padidėjus x absoliučiai reikšmei, funkcija y = 1/x absoliučia verte mažėja neribotai ir abi grafiko atšakos artėja prie abscisių ašies: dešinė artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių artėja hiperbolės šakos, vadinamos jos asimptotų.
1 pavyzdys
y = (2x + 1) / (x - 3).
Sprendimas.
Pažymime sveikąją dalį: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: paslinkti 3 vienetais į dešinę, ištempti išilgai Oy ašies 7 kartus ir paslinkti 2 vienetų segmentais aukštyn.
Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti taip pat, paryškinant „visą dalį“. Vadinasi, visų tiesinių trupmeninių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos išilgai koordinačių ašių ir ištemptos išilgai Oy ašies.
Norint nubraižyti kokios nors savavališkos tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką, visai nebūtina transformuoti šią funkciją apibrėžiančios trupmenos. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks surasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės asimptotes x = -d/c ir y = a/c.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.
Sprendimas.
Funkcija neapibrėžta, kai x = -1. Taigi linija x = -1 yra vertikali asimptotė. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkime, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumentas x padidėja absoliučia verte.
Norėdami tai padaryti, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Kaip x → ∞ trupmena linkusi į 3/2. Vadinasi, horizontalioji asimptotė yra tiesi linija y = 3/2.
3 pavyzdys
Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).
Sprendimas.
Mes pasirenkame „visą trupmenos dalį“:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko atlikus šias transformacijas: 1 vieneto poslinkį į kairę, simetrišką rodymą Ox atžvilgiu ir poslinkį. 2 vienetų intervalais aukštyn išilgai Oy ašies.
Apibrėžimo sritis D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.
Atsakymas: 1 pav.
2. Trupmeninė-racionali funkcija
Apsvarstykite trupmeninę racionaliąją funkciją, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, didesni už pirmąjį.
Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) arba y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Jei funkcija y = P(x) / Q(x) yra dviejų aukštesnių už pirmąjį daugianario laipsnio koeficientas, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti. , su visomis smulkmenomis. Tačiau dažnai pakanka taikyti metodus, panašius į tuos, su kuriais jau susipažinome aukščiau.
Tegul trupmena yra tinkama (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.
Trupmeninių racionaliųjų funkcijų braižymas
Apsvarstykite keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninę-racionaliąją funkciją.
4 pavyzdys
Nubraižykite funkciją y = 1/x 2 .
Sprendimas.
Mes naudojame funkcijos y \u003d x 2 grafiką, kad nubraižytume grafiką y \u003d 1 / x 2 ir naudojame grafikų „padalijimo“ metodą.
Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).
Susikirtimo su ašimis taškų nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.
Atsakymas: 2 pav.
5 pavyzdys
Nubraižykite funkciją y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Sprendimas.
Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Čia mes panaudojome faktoringo, redukavimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos techniką.
Atsakymas: 3 pav.
6 pavyzdys
Nubraižykite funkciją y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Sprendimas.
Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lygi, grafikas yra simetriškas y ašies atžvilgiu. Prieš braižydami dar kartą transformuojame išraišką, paryškindami sveikąją dalį:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies pasirinkimas trupmeninės-racionalios funkcijos formulėje yra vienas pagrindinių braižant grafikus.
Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. linija y = 1 yra horizontali asimptotė.
Atsakymas: 4 pav.
7 pavyzdys
Apsvarstykite funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykite tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. aukščiausias taškas dešinėje grafiko pusėje. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių nepakanka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „užlipti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti lygtį x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Taigi mūsų prielaida yra klaidinga. Norėdami rasti didžiausią funkcijos reikšmę, turite išsiaiškinti, kurio didžiausio A lygtis A \u003d x / (x 2 + 1) turės sprendimą. Pakeiskime pradinę lygtį kvadratine: Ax 2 - x + A \u003d 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 - 4A 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausią reikšmę A \u003d 1/2. 
Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.
Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafikus?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešojo intereso tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Apibrėžimas: skaitinė funkcija yra atitikmuo, susiejantis vieną skaičių y su kiekvienu skaičiumi x iš tam tikros aibės.
Pavadinimas:
kur x yra nepriklausomas kintamasis (argumentas), y yra priklausomas kintamasis (funkcija). Reikšmių rinkinys x vadinamas funkcijos domenu (žymimas D(f)). Vertybių y rinkinys vadinamas funkcijos diapazonu (žymimas E(f)). Funkcijos grafikas yra taškų rinkinys plokštumoje su koordinatėmis (x, f(x))
Funkcijos nustatymo būdai.
- analizės metodas (naudojant matematinę formulę);
- lentelės metodas (naudojant lentelę);
- aprašomasis metodas (naudojamas žodinis aprašymas);
- grafinis metodas (naudojant grafiką).
Pagrindinės funkcijos savybės.
1. Lyginiai ir nelyginiai
Funkcija vadinama net jei
– funkcijos apibrėžimo sritis yra simetriška nulio atžvilgiu
f(-x) = f(x)
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu 0 m
Funkcija vadinama nelygine, jei
– funkcijos apibrėžimo sritis yra simetriška nulio atžvilgiu
– bet kuriam x iš apibrėžimo srities f(-x) = -f(x)
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.
2. Periodiškumas
Funkcija f(x) vadinama periodine su tašku, jei bet kuriam x iš apibrėžimo srities f(x) = f(x+T) = f(x-T) .
Periodinės funkcijos grafikas susideda iš be galo pasikartojančių identiškų fragmentų.
3. Monotonija (padidėjimas, sumažėjimas)
Funkcija f(x) didėja aibėje P, jei bet kuriai x 1 ir x 2 iš šios aibės, taip, kad x 1
Funkcija f(x) mažėja aibėje P, jei bet kuriam x 1 ir x 2 iš šios aibės, taip, kad x 1 f(x 2) .
4. Kraštutinumai
Taškas X max vadinamas maksimaliu funkcijos f (x) tašku, jei visiems x iš kokios nors apylinkės X max tenkinama nelygybė f (x) f (X max).
Reikšmė Y max =f(X max) vadinama šios funkcijos maksimumu.
X max – maksimalus taškas
Max turi maksimumą
Taškas X min vadinamas funkcijos f (x) minimaliu tašku, jei visiems x iš kokios nors apylinkės X min tenkinama nelygybė f (x) f (X min).
Y min =f(X min) reikšmė vadinama šios funkcijos minimumu.
X min – minimalus taškas
Y min – minimumas
X min , X max - ekstremumo taškai
Y min , Y max - ekstremumai.
5. Funkcijos nuliai
Funkcijos y = f(x) nulis yra argumento x reikšmė, kuriai esant funkcija išnyksta: f(x) = 0.
X 1, X 2, X 3 yra funkcijos y = f(x) nuliai.
Užduotys ir testai tema „Pagrindinės funkcijos savybės“
- Funkcijos savybės - Skaitmeninės funkcijos 9 klasė
Pamokos: 2 Užduotys: 11 Testų: 1
- Logaritmų savybės
Pamokos: 2 Užduotys: 14 Testų: 1
- Kvadratinės šaknies funkcija, jos savybės ir grafikas - Kvadratinės šaknies funkcija. Kvadratinės šaknies savybės 8 klasė
Pamokos: 1 Užduotys: 9 Testai: 1
- Galios funkcijos, jų savybės ir grafikai - Laipsniai ir šaknys. Maitinimo funkcijos 11 klasė
Pamokos: 4 Užduotys: 14 Testai: 1
- Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikas - Eksponentinės ir logaritminės funkcijos 11 klasė
Pamokos: 1 Užduotys: 15 Testai: 1
Išstudijavę šią temą, turėtumėte mokėti rasti įvairių funkcijų apibrėžimo sritį, naudodamiesi grafikais nustatyti funkcijos monotoniškumo intervalus, išnagrinėti lygines ir nelygines funkcijas. Apsvarstykite tokių problemų sprendimą toliau pateiktuose pavyzdžiuose.
Pavyzdžiai.
1. Raskite funkcijos sritį.
Sprendimas: funkcijos apimtis randama iš sąlygos
vadinasi, funkcija f(x) yra lyginė.
Atsakymas: net.
D(f) = [-1; 1] yra simetriškas nulio atžvilgiu.
| 2) |
taigi funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
Atsakymas: nei net, nei net.
