Šiandien mes išmoksime, kaip greitai kvadratuoti dideles išraiškas be skaičiuoklės. Iš esmės aš turiu omenyje skaičius nuo dešimties iki šimto. Didelės išraiškos yra labai retos realiose problemose, ir jūs jau žinote, kaip skaičiuoti reikšmes, mažesnes nei dešimt, nes tai yra įprasta daugybos lentelė. Šios pamokos medžiaga bus naudinga gana patyrusiems mokiniams, nes pradedantieji tiesiog neįvertins šios technikos greičio ir efektyvumo.
Pirmiausia supraskime apskritai, apie ką mes kalbame. Pavyzdžiui, aš siūlau sukurti savavališką skaitinę išraišką, kaip mes paprastai darome. Sakykime, 34. Pakeliame jį padaugindami iš savęs su stulpeliu:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 yra kvadratas 34.
Šio metodo problemą galima apibūdinti dviem punktais:
1) tam reikalinga raštiška registracija;
2) labai lengva suklysti skaičiavimo procese.
Šiandien išmoksime greitai padauginti be skaičiuoklės, žodžiu ir praktiškai be klaidų.
Taigi pradėkime. Norėdami dirbti, mums reikia sumos ir skirtumo kvadrato formulės. Užsirašykime juos:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Ką tai mums duoda? Faktas yra tas, kad bet kuri reikšmė nuo 10 iki 100 gali būti pavaizduota kaip skaičius $a$, kuris dalijasi iš 10, ir skaičius $b$, kuris yra dalybos iš 10 likutis.
Pavyzdžiui, 28 gali būti pavaizduotas taip:
\[\begin(lygiuoti)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(lygiuoti)\]
Panašiai pateikiame likusius pavyzdžius:
\[\begin(lygiuoti)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(lygiuoti)\]
Kas mums duoda tokią idėją? Faktas yra tas, kad su suma arba skirtumu galime taikyti aukščiau pateiktus skaičiavimus. Žinoma, norint sutrumpinti skaičiavimus, kiekvienam iš elementų reikėtų pasirinkti išraišką su mažiausiu antruoju nariu. Pavyzdžiui, iš $20+8$ ir $30-2$ parinkčių turėtumėte pasirinkti $30-2$ parinktį.
Panašiai pasirenkame kitų pavyzdžių parinktis:
\[\begin(lygiuoti)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(lygiuoti)\]
Kodėl reikia stengtis sumažinti antrąjį greitojo dauginimo terminą? Tai viskas apie pradinius sumos ir skirtumo kvadrato skaičiavimus. Faktas yra tas, kad pliuso ar minuso terminą $2ab$ sunkiausia apskaičiuoti sprendžiant tikras problemas. Ir jei koeficientas $a$, 10 kartotinis, visada lengvai padauginamas, tai su koeficientu $b$, kuris yra skaičius nuo vieno iki dešimties, daugeliui studentų nuolat kyla sunkumų.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Taigi per tris minutes atlikome aštuonių pavyzdžių dauginimą. Tai yra mažiau nei 25 sekundės vienai išraiškai. Realiai, šiek tiek pasitreniruoję, suskaičiuosite dar greičiau. Bet kuriai dviženklei išraiškai apskaičiuoti prireiks ne daugiau kaip penkių ar šešių sekundžių.
Bet tai dar ne viskas. Tiems, kuriems parodyta technika atrodo nepakankamai greita ir nepakankamai šauni, siūlau dar greitesnį daugybos būdą, kuris, tiesa, tinka ne visoms užduotims, o tik toms, kurios skiriasi vienu nuo 10 kartotinių. mūsų pamokoje yra keturios tokios vertės: 51, 21, 81 ir 39.
Atrodytų daug greičiau, mes jau skaičiuojame juos tiesiogine prasme poroje eilučių. Bet iš tikrųjų galima pagreitinti, ir tai daroma taip. Užrašome reikšmę, dešimties kartotinį, kuri yra artimiausia norimam. Pavyzdžiui, paimkime 51. Todėl iš pradžių pakelsime penkiasdešimt:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Vertes, kurios yra dešimties kartotiniai, yra daug lengviau kvadratuoti. O dabar prie pradinės išraiškos tiesiog pridedame penkiasdešimt ir 51. Atsakymas bus tas pats:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Ir taip su visais skaičiais, kurie skiriasi vienu.
Jei mūsų ieškoma reikšmė yra didesnė nei ta, kurią manome, tada į gautą kvadratą pridedame skaičius. Jei norimas skaičius yra mažesnis, kaip 39 atveju, tada atliekant veiksmą reikia atimti reikšmę iš kvadrato. Praktikuokime nenaudodami skaičiuotuvo:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Kaip matote, visais atvejais atsakymai yra vienodi. Be to, šis metodas taikomas visoms gretimoms vertėms. Pavyzdžiui:
\[\begin(lygiuoti)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(lygiuoti)\]
Tuo pačiu metu mums visai nereikia atsiminti sumos ir skirtumo kvadratų skaičiavimų ir naudoti skaičiuotuvą. Darbo greitis negirtinas. Todėl atsiminkite, praktikuokite ir naudokite praktiškai.
Pagrindiniai klausimai
Naudodami šią techniką galite lengvai padauginti bet kokius natūraliuosius skaičius nuo 10 iki 100. Be to, visi skaičiavimai atliekami žodžiu, be skaičiuoklės ir net be popieriaus!
Pirmiausia atsiminkite verčių kvadratus, kurie yra 10 kartotiniai:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\pabaiga (lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\pabaiga (lygiuoti)\]
\[\begin(lygiuoti)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\pabaiga (lygiuoti)\]
Kaip suskaičiuoti dar greičiau
Bet tai dar ne viskas! Naudodami šias išraiškas galite akimirksniu padalyti skaičius, kurie yra „greta“ su atskaitos skaičiais. Pavyzdžiui, mes žinome 152 (atskaitos reikšmę), bet turime rasti 142 (greta esantį skaičių, kuris yra vienu mažesnis nei nuoroda). Parašykime:
\[\begin(lygiuoti)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\pabaiga (lygiuoti)\]
Atkreipkite dėmesį: jokios mistikos! Skaičių, kurie skiriasi 1, kvadratai iš tikrųjų gaunami padauginus atskaitos skaičius iš savęs, atimant arba sudedant dvi reikšmes:
\[\begin(lygiuoti)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\pabaiga (lygiuoti)\]
Kodėl tai vyksta? Užrašykime sumos (ir skirtumo) kvadrato formulę. Tegul $n$ yra mūsų pamatinė vertė. Tada jie skaičiuojami taip:
\[\begin(lygiuoti)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(lygiuoti)\]
– tokia formulė.
\[\begin(lygiuoti)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(lygiuoti)\]
- panaši formulė skaičiams, didesniems nei 1.
Tikiuosi, kad ši technika padės sutaupyti laiko atliekant visus svarbius matematikos testus ir egzaminus. Ir tai viskas man. Iki!
Skaičiaus kvadratas yra matematinės operacijos, kuri padidina tą skaičių iki antrojo laipsnio, rezultatas, tai yra, jis padaugina tą skaičių iš savęs vieną kartą. Įprasta tokią operaciją žymėti taip: Z2, kur Z yra mūsų skaičius, 2 yra „kvadrato“ laipsnis. Mūsų straipsnis jums pasakys, kaip apskaičiuoti skaičiaus kvadratą.
Apskaičiuokite kvadratą
Jei skaičius yra paprastas ir mažas, tai lengva padaryti arba mintyse, arba naudojant mums visiems gerai žinomą daugybos lentelę. Pavyzdžiui:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Jei skaičius yra didelis arba „didžiulis“, galite naudoti arba kvadratų lentelę, kurią visi išmoko mokykloje, arba skaičiuotuvą. Pavyzdžiui:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Be to, norėdami gauti norimą dviejų aukščiau pateiktų pavyzdžių rezultatą, galite padauginti šiuos skaičius stulpelyje.
Norėdami gauti bet kurios trupmenos kvadratą, turite:
- Paverskite trupmeną (jei trupmena turi sveikąjį skaičių arba jei ji yra dešimtainė) į netinkamą trupmeną. Jei trupmena teisinga, nieko versti nereikia.
- Vardiklį padauginkite iš vardiklio, o skaitiklį iš trupmenos skaitiklio.
Pavyzdžiui:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
Pasirinkus bet kurią iš šių parinkčių, lengviausias būdas yra naudoti skaičiuotuvą. Tam jums reikia:
- Įveskite skaičių klaviatūra
- Spustelėkite mygtuką su daugybos ženklu
- Paspauskite mygtuką su „lygybės“ ženklu
Taip pat visada galite naudotis paieškos sistemomis internete, tokiomis kaip, pavyzdžiui, Google. Norėdami tai padaryti, tereikia įvesti atitinkamą užklausą paieškos variklio lauke ir gauti paruoštą rezultatą.
Pavyzdžiui: norėdami apskaičiuoti skaičiaus 9,17 kvadratą, paieškos sistemoje turite įvesti 9,17 * 9,17 arba 9,17 ^ 2 arba "9,17 kvadratas". Bet kurioje iš šių parinkčių paieškos sistema pateiks teisingą rezultatą - 84.0889.
Dabar žinote, kaip apskaičiuoti bet kurio jus dominančio skaičiaus kvadratą, nesvarbu, ar tai būtų sveikasis skaičius, ar trupmena, didelis ar mažas!
Sutrumpintos daugybos formulės.
Sutrumpinto daugybos formulių studijavimas: sumos kvadratas ir dviejų išraiškų skirtumo kvadratas; dviejų išraiškų kvadratų skirtumas; sumos kubas ir dviejų išraiškų skirtumo kubas; dviejų išraiškų kubų sumos ir skirtumai.
Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.
Norint supaprastinti išraiškas, padalyti daugybinius polinomus ir sumažinti daugianario į standartinę formą, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės. Sutrumpintos daugybos formulės, kurias reikia žinoti mintinai.
Tegu a, b R. Tada:
1. Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra pirmosios išraiškos kvadratas plius du kartus pirmosios išraiškos sandauga ir antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra pirmosios išraiškos kvadratas atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą, o antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadratų skirtumas dvi išraiškos yra lygios šių išraiškų ir jų sumos skirtumo sandaugai.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. sumos kubas iš dviejų išraiškų yra lygus pirmosios išraiškos kubui, pridėjus tris kartus pirmosios išraiškos kvadratą, padaugintą iš antrosios, plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugai padauginus antrosios išraiškos kvadratą ir antrosios išraiškos kubą.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. skirtumo kubas iš dviejų išraiškų yra lygus pirmosios išraiškos kubui, atėmus tris kartus pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugą ir antrosios išraiškos kvadratą, atėmus antrosios išraiškos kubą.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kubų suma dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų sumos sandaugai iš šių išraiškų skirtumo nepilno kvadrato.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kubelių skirtumas dviejų išraiškų yra lygus pirmosios ir antrosios išraiškų skirtumo sandaugai iš šių išraiškų sumos nepilno kvadrato.
a 3 – b 3 \u003d (a – b) (a 2 + ab + b 2)
Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.
1 pavyzdys
Apskaičiuoti
a) Naudodami dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę, turime
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Naudodamiesi dviejų išraiškų skirtumo kvadratu formule, gauname
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
2 pavyzdys
Apskaičiuoti
Naudodami dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę, gauname
3 pavyzdys
Supaprastinkite išraišką
(x - y) 2 + (x + y) 2
Naudojame sumos kvadrato ir dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formules
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Sutrumpintos daugybos formulės vienoje lentelėje:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 – b 2 = (a – b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 – b 3 \u003d (a – b) (a 2 + ab + b 2)
