Funkcijos y sin sinx grafikas. Pamoka „Funkcija y=sinx, jos savybės ir grafikas“

Atgal į priekį

Dėmesio! Peržiūra Skaidrės yra tik informacinio pobūdžio ir gali neatspindėti visų pristatymo ypatybių. Jeigu tu susidomėjai Šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Geležis rūdija nerasdama jokios naudos,
stovintis vanduo pūva arba užšąla šaltyje,
o žmogaus protas, nerasdamas sau jokios naudos, merdėja.
Leonardas da Vinčis

Naudojamos technologijos: probleminis mokymasis, kritinis mąstymas, komunikabilus bendravimas.

Tikslai:

• Plėtra pažintinis susidomėjimas mokytis.
• Funkcijos y = sin x savybių tyrimas.
• Praktinių įgūdžių formavimas konstruojant funkcijos y = sin x grafiką remiantis išnagrinėta teorine medžiaga.

Užduotys:

1. Pasinaudokite esamu žinių potencialu apie funkcijos y = sin x savybes konkrečiose situacijose.

2. Taikyti sąmoningą sąsajų nustatymą tarp funkcijos y = sin x analitinio ir geometrinio modelio.

Ugdyti iniciatyvą, tam tikrą norą ir susidomėjimą ieškant sprendimo; gebėjimas priimti sprendimus, nesustoti ties tuo ir apginti savo požiūrį.

Ugdyti mokinių pažintinį aktyvumą, atsakomybės jausmą, pagarbą vienas kitam, tarpusavio supratimą, tarpusavio palaikymą, pasitikėjimą savimi; bendravimo kultūra.

Per užsiėmimus

1 etapas. Bazinių žinių atnaujinimas, motyvavimas mokytis naujos medžiagos

„Įeinant į pamoką“.

Lentoje parašyti 3 teiginiai:

1. Trigonometrinė lygtis sin t = a visada turi sprendinius.
2. Nelyginės funkcijos grafiką galima sudaryti naudojant simetrijos transformaciją apie Oy ašį.
3. Trigonometrinę funkciją galima pavaizduoti naudojant vieną pagrindinę pusbangę.

Mokiniai diskutuoja poromis: ar teiginiai teisingi? (1 minutę). Pradinės diskusijos rezultatai (taip, ne) įrašomi į lentelę stulpelyje „Prieš“.

Mokytojas nustato pamokos tikslus ir uždavinius.

2. Žinių atnaujinimas (priekyje ant trigonometrinio apskritimo modelio).

Jau susipažinome su funkcija s = sin t.

1) Kokias reikšmes gali įgauti kintamasis t. Kokia šios funkcijos apimtis?

2) Kokiame intervale yra išraiškos sin t reikšmės? Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos s = sin t reikšmes.

3) Išspręskite lygtį sin t = 0.

4) Kas nutinka taško ordinatėms, kai jis juda pirmąjį ketvirtį? (ordinatės didėja). Kas nutinka taško ordinatei, kai ji juda per antrąjį ketvirtį? (ordinatės palaipsniui mažėja). Kaip tai susiję su funkcijos monotoniškumu? (funkcija s = sin t atkarpoje didėja, o atkarpoje mažėja).

5) Parašykime funkciją s = sin t mums pažįstama forma y = sin x (sukursime įprastoje xOy koordinačių sistemoje) ir sudarysime šios funkcijos reikšmių lentelę.

X	0
adresu	0			1			0

2 etapas. Suvokimas, supratimas, pirminis konsolidavimas, nevalingas įsiminimas

4 etapas. Pirminis žinių ir veiklos metodų sisteminimas, jų perdavimas ir taikymas naujose situacijose

6. Nr. 10.18 (b, c)

5 etapas. Galutinė kontrolė, taisymas, vertinimas ir įsivertinimas

7. Grįžtame prie teiginių (pamokos pradžia), aptariame naudodamiesi trigonometrinės funkcijos y = sin x savybėmis ir užpildome lentelės stulpelį „Po“.

8. D/z: 10 punktas, Nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Funkcijay = nuodėmėx

Funkcijos grafikas yra sinusoidė.

Visa nesikartojanti sinusinės bangos dalis vadinama sinusine banga.

Pusė sinuso banga vadinama pusiau sinusine banga (arba lanku).

Funkcijos savybėsy = nuodėmėx:

3) tai nelyginė funkcija. 4) Tai yra nuolatinė funkcija. - su abscisių ašimi: (πn; 0), - su ordinačių ašimi: (0; 0). 6) Atkarpoje [-π/2; π/2] funkcija didėja intervale [π/2; 3π/2] – mažėja. 7) Funkcija veikia intervalais teigiamas vertes. Ant intervalų [-π + 2πn; 2πn] funkcija įgauna neigiamas reikšmes. 8) Didėjančios funkcijos intervalai: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. Funkcijos mažėjimo intervalai: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. 9) Mažiausi funkcijos taškai: -π/2 + 2πn. Maksimalūs funkcijos taškai: π/2 + 2πn didžiausia vertė 1.

Funkcijos grafikas y= nuodėmė x Patogu naudoti šias svarstykles:

Popieriaus lape su kvadratu segmento vienetu laikome dviejų kvadratų ilgį.

Ant ašies x Išmatuokime ilgį π. Tuo pačiu metu, kad būtų patogiau, 3.14 pateikiame 3 pavidalu, tai yra, be trupmenos. Tada popieriaus lape langelyje π bus 6 langeliai (tris kartus po 2 langelius). Ir kiekviena ląstelė gaus savo natūralų pavadinimą (nuo pirmos iki šeštos): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Tai yra reikšmės x.

Y ašyje pažymime 1, kurį sudaro dvi ląstelės.

Sukurkime funkcijų reikšmių lentelę naudodami savo reikšmes x:

			√3 - 2		√3 - 2

Toliau sudarysime tvarkaraštį. Tai bus pusė bangos, aukščiausias taškas kuris (π/2; 1). Tai yra funkcijos grafikas y= nuodėmė x segmente. Sukonstruotą grafą pridėkime simetrišką pusbangę (simetrišką prado atžvilgiu, tai yra atkarpoje -π). Šios pusbangos ketera yra po x ašimi su koordinatėmis (-1; -1). Rezultatas bus banga. Tai yra funkcijos grafikas y= nuodėmė x atkarpoje [-π; π].

Galite tęsti bangą sukonstruodami ją atkarpoje [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] ir kt. Visuose šiuose segmentuose funkcijos grafikas atrodys taip pat kaip segmente [-π; π]. Gausite ištisinę banguotą liniją su identiškomis bangomis.

Funkcijay = cosx.

Funkcijos grafikas yra sinusinė banga (kartais vadinama kosinuso banga).

Funkcijos savybėsy = cosx:

1) Funkcijos apibrėžimo sritis yra realiųjų skaičių aibė. 2) Funkcijų reikšmių diapazonas yra atkarpa [–1; 1] 3) Tai lygi funkcija. 4) Tai yra nuolatinė funkcija. 5) Grafiko susikirtimo taškų koordinatės: - su abscisių ašimi: (π/2 + πn; 0), - su ordinačių ašimi: (0;1). 6) Atkarpoje funkcija mažėja, atkarpoje [π; 2π] – didėja. 7) intervalais [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funkcija įgauna teigiamas reikšmes. Ant intervalų [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] funkcija įgauna neigiamas reikšmes. 8) Didėjantys intervalai: [-π + 2πn; 2πn]. Mažėjimo intervalai: ; 9) Mažiausi funkcijos taškai: π + 2πn. Maksimalūs funkcijos taškai: 2πn. 10) Funkcija apribota iš viršaus ir apačios. Mažiausia funkcijos reikšmė –1, didžiausia vertė yra 1. 11) Tai yra periodinė funkcija, kurios periodas yra 2π (T = 2π)

Funkcijay = mf(x).

Paimkime ankstesnę funkciją y= cos x. Kaip jau žinote, jo grafikas yra sinusinė banga. Jei šios funkcijos kosinusą padauginsime iš tam tikras skaičius m, tada banga nusidrieks nuo ašies x(arba susitrauks, priklausomai nuo m reikšmės).
Tai nauja banga ir bus funkcijos y = mf(x) grafikas, kur m yra bet koks realusis skaičius.

Taigi funkcija y = mf(x) yra pažįstama funkcija y = f(x), padauginta iš m.

Jeigum< 1, то синусоида сжимается к оси x pagal koeficientąm. Jeigum > 1, tada sinusoidas ištemptas nuo ašiesx pagal koeficientąm.

Atlikdami tempimą ar suspaudimą, pirmiausia galite nubraižyti tik vieną sinusinės bangos pusę, o tada užbaigti visą grafiką.

Funkcijay = f(kx).

Jei funkcija y =mf(x) veda prie sinusoidės ištempimo nuo ašies x arba suspaudimas link ašies x, tada funkcija y = f(kx) veda į tempimą nuo ašies y arba suspaudimas link ašies y.

Be to, k yra bet koks realusis skaičius.

0 val< k< 1 синусоида растягивается от оси y pagal koeficientąk. Jeiguk > 1, tada sinusoidas suspaudžiamas link ašiesy pagal koeficientąk.

Grafikuodami šią funkciją, pirmiausia galite sukurti vieną sinusinės bangos pusę, o tada panaudoti ją visam grafikui užbaigti.

Funkcijay = tgx.

Funkcijų grafikas y= tg x yra liestinė.

Užtenka dalį grafiko sukonstruoti intervale nuo 0 iki π/2, o tada galima simetriškai tęsti intervale nuo 0 iki 3π/2.

Funkcijos savybėsy = tgx:

Funkcijay = ctgx

Funkcijų grafikas y=ctg x taip pat yra tangentoidas (kartais jis vadinamas kotangentoidu).

Funkcijos savybėsy = ctgx:

Pamoka ir pristatymas tema: "Funkcija y=sin(x). Apibrėžimai ir savybės"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios konstravimo užduotys 7-10 kl
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ką mes studijuosime:

• Funkcijos Y=sin(X) savybės.
• Funkcijų grafikas.
• Kaip sudaryti grafiką ir jo mastelį.
• Pavyzdžiai.

Sinuso savybės. Y = nuodėmė (X)

Vaikinai, mes jau susitikome trigonometrinės funkcijos skaitinis argumentas. Ar prisimeni juos?

Pažvelkime atidžiau į funkciją Y=sin(X)

Užrašykime kai kurias šios funkcijos savybes:
1) Apibrėžimo sritis yra realiųjų skaičių aibė.
2) Funkcija yra nelyginė. Prisiminkime nelyginės funkcijos apibrėžimą. Funkcija vadinama nelygine, jei galioja lygybė: y(-x)=-y(x). Kaip prisimename iš vaiduoklių formulių: sin(-x)=-sin(x). Apibrėžimas įvykdytas, o tai reiškia, kad Y=sin(X) yra nelyginė funkcija.
3) Funkcija Y=sin(X) atkarpoje didėja, o atkarpoje mažėja [π/2; π]. Kai judame išilgai pirmojo ketvirčio (prieš laikrodžio rodyklę), ordinatės didėja, o kai judame per antrąjį ketvirtį – mažėja.

4) Funkcija Y=sin(X) ribojama iš apačios ir iš viršaus. Ši savybė išplaukia iš to, kad
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Mažiausia funkcijos reikšmė yra -1 (esant x = - π/2+ πk). Didžiausia funkcijos reikšmė yra 1 (esant x = π/2+ πk).

Funkcijos Y=sin(X) braižymui panaudokime savybes 1-5. Mes sudarysime savo grafiką nuosekliai, taikydami savo savybes. Pradėkime kurti segmento grafiką.

Ypatingas dėmesys Verta atkreipti dėmesį į mastą. Ordinačių ašyje patogiau imti vienetinį segmentą, lygų 2 langeliams, o abscisių ašyje patogiau imti vienetinį segmentą (dvi langelius), lygų π/3 (žr. pav.).

Sinuso funkcijos x braižymas, y=sin(x)

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes mūsų segmente:

Sukurkime grafiką naudodami savo taškus, atsižvelgdami į trečiąją savybę.

Vaiduoklių formulių konvertavimo lentelė

Naudokime antrąją savybę, kuri sako, kad mūsų funkcija yra nelyginė, o tai reiškia, kad ji gali būti atspindėta simetriškai kilmės atžvilgiu:

Žinome, kad sin(x+ 2π) = sin(x). Tai reiškia, kad intervale [- π; π] grafikas atrodo taip pat kaip atkarpoje [π; 3π] arba arba [-3π; - π] ir pan. Tereikia atidžiai perbraižyti ankstesniame paveikslėlyje esantį grafiką išilgai visos x ašies.

Funkcijos Y=sin(X) grafikas vadinamas sinusoidu.

Parašykime dar keletą savybių pagal sukonstruotą grafiką:
6) Funkcija Y=sin(X) didėja bet kuriame formos segmente: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k yra sveikas skaičius ir mažėja bet kuriame formos segmente: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – sveikasis skaičius.
7) Funkcija Y=sin(X) yra ištisinė funkcija. Pažiūrėkime į funkcijos grafiką ir įsitikinkime, kad mūsų funkcija neturi pertraukų, tai reiškia tęstinumą.
8) Reikšmių diapazonas: segmentas [- 1; 1]. Tai taip pat aiškiai matyti iš funkcijos grafiko.
9) Funkcija Y=sin(X) – periodinė funkcija. Dar kartą pažiūrėkime į grafiką ir pamatysime, kad funkcija tam tikrais intervalais įgauna tas pačias reikšmes.

Sinuso problemų pavyzdžiai

1. Išspręskite lygtį sin(x)= x-π

Sprendimas: Sukurkime 2 funkcijos grafikus: y=sin(x) ir y=x-π (žr. pav.).
Mūsų grafikai susikerta viename taške A(π;0), atsakymas yra toks: x = π

2. Grafike nubraižykite funkciją y=sin(π/6+x)-1

Sprendimas: pageidaujamas grafikas bus gautas perkeliant funkcijos y=sin(x) π/6 vnt grafiką į kairę ir 1 vienetu žemyn.

Sprendimas: Nubraižykime funkciją ir apsvarstykime mūsų atkarpą [π/2; 5π/4].
Funkcijos grafikas rodo, kad didžiausios ir mažiausios reikšmės pasiekiamos atkarpos galuose, atitinkamai taškuose π/2 ir 5π/4.
Atsakymas: sin(π/2) = 1 – didžiausia reikšmė, sin(5π/4) = mažiausia vertė.

Sinuso problemos savarankiškam sprendimui

• Išspręskite lygtį: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Nubraižykite funkciją y=sin(π/3+x)-2
• Nubraižykite funkciją y=sin(-2π/3+x)+1
• Raskite atkarpoje didžiausią ir mažiausią funkcijos y=sin(x) reikšmę
• Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y=sin(x) reikšmę intervale [- π/3; 5π/6]

Vaizdo pamokoje „Funkcija y = sinx, ee savybės ir grafikas“ pateikiama vaizdinė medžiaga šia tema, taip pat komentarai. Demonstravimo metu išnagrinėjamas funkcijos tipas, jos savybės, detaliai aprašoma elgsena įvairiuose segmentuose. koordinačių plokštuma, grafiko ypatybės, aprašomas trigonometrinių lygčių, kuriose yra sinusas, grafinio sprendimo pavyzdys. Vaizdo pamokos pagalba mokytojui lengviau suformuluoti mokinio supratimą apie šią funkciją ir išmokyti grafiškai spręsti uždavinius.

Vaizdo pamokoje naudojami įrankiai, palengvinantys įsiminimą ir supratimą mokomoji informacija. Pateikiant grafikus ir aprašant uždavinių sprendimą, naudojami animaciniai efektai, padedantys suprasti funkcijos elgseną ir nuosekliai pateikti sprendimo eigą. Be to, medžiagos išsakymas ją papildo svarbiais komentarais, kurie pakeičia mokytojo paaiškinimą. Taigi, ši medžiaga galima naudoti ir kaip vaizdinė medžiaga. Ir kaip savarankiška pamokos dalis vietoj mokytojo paaiškinimo nauja tema.

Demonstracija pradedama pristatant pamokos temą. Pateikiama sinuso funkcija, kurios aprašymas yra paryškintas įsiminimo laukelyje - s=sint, kuriame argumentu t gali būti bet koks realusis skaičius. Šios funkcijos savybių aprašymas prasideda nuo apibrėžimo srities. Pažymima, kad funkcijos apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių skaitinė ašis, tai yra D(f)=(- ∞;+∞). Antroji savybė yra sinuso funkcijos nelygumas. Mokiniams tai primenama šis turtas buvo tiriamas 9 klasėje, kai buvo pastebėta, kad nelyginei funkcijai galioja lygybė f(-x)=-f(x). Sinuso atveju funkcijos keistumo patvirtinimas rodomas vieneto apskritime, padalintame į ketvirčius. Žinant, kokį ženklą funkcija įgauna skirtinguose koordinačių plokštumos ketvirčiuose, pažymima, kad priešingų ženklų argumentams, naudojant taškų L(t) ir N(-t) pavyzdį, sinuso keistumo sąlyga tenkinama. Todėl s=sint yra nelyginė funkcija. Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu.

Trečioji sinuso savybė parodo intervalus tarp didėjančių ir mažėjančių funkcijų. Ji pažymi, kad segmente šią funkciją didėja ir mažėja intervale [π/2;π]. Savybė parodyta paveiksle, kuriame pavaizduotas vienetinis apskritimas ir judant iš taško A prieš laikrodžio rodyklę, ordinatės didėja, tai yra, funkcijos reikšmė padidėja iki π/2. Judant iš taško B į C, tai yra, kai kampas pasikeičia iš π/2 į π, ordinačių reikšmė mažėja. Trečiajame apskritimo ketvirtyje, judant iš taško C į tašką D, ordinatė sumažėja nuo 0 iki -1, tai yra sinuso reikšmė mažėja. Paskutiniame ketvirtyje, judant iš taško D į tašką A, ordinačių reikšmė padidėja nuo -1 iki 0. Taigi galime padaryti bendrą išvadą apie funkcijos elgesį. Ekrane rodoma išvestis, kuri sint didėja segmente [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], mažėja intervale [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] bet kuriam sveikajam skaičiui k.

Ketvirtoji sinuso savybė atsižvelgia į funkcijos ribotumą. Pažymėtina, kad sint funkcija yra apribota ir viršuje, ir apačioje. Mokiniams primenama informacija iš 9 klasės algebros, kai jie buvo supažindinti su funkcijos ribotumo samprata. Ekrane rodoma iš viršaus apribotos funkcijos sąlyga, kuriai yra tam tikras skaičius, kuriam bet kuriame funkcijos taške galioja nelygybė f(x)>=M. Taip pat primename žemiau apribotos funkcijos sąlygą, kuriai yra skaičius m, mažesnis už kiekvieną funkcijos tašką. Sintui sąlyga -1 tenkinama<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Penktoje savybėje atsižvelgiama į mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes. Mažiausios reikšmės -1 pasiekimas kiekviename taške t=-(π/2)+2πk, o didžiausias taškuose t=(π/2)+2πk.

Remiantis nagrinėjamomis savybėmis, atkarpoje sudaromas sint funkcijos grafikas. Funkcijai sukurti naudojamos lentelinės sinuso reikšmės atitinkamuose taškuose. Koordinačių plokštumoje pažymėtos taškų π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π koordinatės. Šiuose taškuose pažymėdami funkcijos lentelės reikšmes ir sujungę jas lygia linija, sudarome grafiką.

Funkcijos sint grafikui nubraižyti atkarpoje [-π;π], naudojama funkcijos simetrijos savybė nuo pradžios. Paveikslėlyje parodyta, kaip tiesė, gauta konstravimo metu, sklandžiai simetriškai perkeliama į atkarpą [-π;0] koordinačių pradžios atžvilgiu.

Naudojant sint funkcijos savybę, išreikštą redukcijos formule sin(x+2π) = sin x, pažymima, kad kas 2π sinuso grafikas kartojasi. Taigi intervale [π; 3π] grafikas bus toks pat kaip ir [-π;π]. Taigi šios funkcijos grafikas vaizduoja pasikartojančius fragmentus [-π;π] visoje apibrėžimo srityje. Atskirai pažymima, kad toks funkcijos grafikas vadinamas sinusoidu. Taip pat pristatoma sinusinės bangos sąvoka - atkarpoje [-π;π] pastatytas grafiko fragmentas, o atkarpoje pastatytas sinusoidinis lankas . Šie fragmentai vėl rodomi įsiminti.

Pažymėtina, kad sint funkcija yra nuolatinė funkcija visoje apibrėžimo srityje, taip pat, kad funkcijos reikšmių diapazonas yra segmento [-1;1] reikšmių rinkinyje.

Vaizdo pamokos pabaigoje nagrinėjamas grafinis lygties sin x=x+π sprendimas. Akivaizdu, kad grafinis lygties sprendimas bus funkcijos, pateiktos kairėje pusėje esančia išraiška, ir funkcijos, kurią pateikia išraiška dešinėje, grafiko sankirta. Uždaviniui išspręsti sukonstruojama koordinačių plokštuma, kurioje nubrėžta atitinkama sinusoidė y=sin x, ir nubrėžiama tiesė, atitinkanti funkcijos y=x+π grafiką. Sudaryti grafikai susikerta viename taške B(-π;0). Todėl x=-π bus lygties sprendimas.

Vaizdo pamoka „Funkcija y = sinx, ee savybės ir grafikas“ padės padidinti tradicinės matematikos pamokos efektyvumą mokykloje. Vykdydami nuotolinį mokymąsi galite naudoti ir vaizdinę medžiagą. Vadovas gali padėti įsisavinti temą mokiniams, kuriems reikia papildomų pamokų, kad geriau suprastų medžiagą.

TEKSTO IŠKODAVIMAS:

Mūsų pamokos tema yra „Funkcija y = sin x, jos savybės ir grafikas“.

Anksčiau jau buvome susipažinę su funkcija s = sin t, kur tϵR (es lygus sinusui te, kur te priklauso realiųjų skaičių aibei). Panagrinėkime šios funkcijos savybes:

SAVYBĖS 1. Apibrėžimo sritis yra realiųjų skaičių aibė R (er), tai yra, D(f) = (- ; +) (de iš ef reiškia intervalą nuo minus begalybės iki plius begalybės).

SAVYBĖ 2. Funkcija s = sin t yra nelyginė.

9 klasės pamokose sužinojome, kad funkcija y = f (x), x ϵX (y lygi ef iš x, kur x priklauso aibei x yra didelis) vadinama nelygine, jei bet kuriai reikšmei x iš aibės X lygybė

f (- x) = - f (x) (eff iš minus x yra lygus minus ef iš x).

O kadangi abscisių ašiai simetriškos taškų L ir N ordinatės yra priešingos, tai sin(- t) = -sint.

Tai yra, s = sin t yra nelyginė funkcija, o funkcijos s = sin t grafikas yra simetriškas stačiakampės koordinačių sistemos pradžios atžvilgiu tOs(te o es).

Panagrinėkime SAVYBĘ 3. Intervale [ 0; ] (nuo nulio iki pi dviem) funkcija s = sin t didėja ir mažėja atkarpoje [; ](nuo pi po du iki pi).

Tai aiškiai matyti paveiksluose: taškui judant skaičių apskritimu nuo nulio iki pi po du (iš taško A į B), ordinatė palaipsniui didėja nuo 0 iki 1, o judant iš pi dviem į pi (nuo taškas B iki C), ordinatės palaipsniui mažėja nuo 1 iki 0.

Kai taškas juda išilgai trečiojo ketvirčio (iš taško C į tašką D), judančio taško ordinatės sumažėja nuo nulio iki minus vieneto, o judant išilgai ketvirtojo ketvirčio, ​​ordinatės padidėja nuo minus vieno iki nulio. Todėl galime padaryti bendrą išvadą: funkcija s = sin t didėja intervale

(nuo minus pi du plius du pi ka iki pi du plius du pi ka), ir mažėja atkarpoje [; (nuo pi po du plius du pi ka iki trijų pi po du plius du pi ka), kur

(ka priklauso sveikųjų skaičių aibei).

SAVYBĖ 4. Funkcija s = sint yra apribota aukščiau ir žemiau.

Iš 9 klasės kurso prisiminkite ribotumo apibrėžimą: funkcija y = f (x) vadinama apribota iš apačios, jei visos funkcijos reikšmės yra ne mažesnės už tam tikrą skaičių m m taip, kad bet kuriai reikšmei x iš funkcijos apibrėžimo srities nelygybė f (x) ≥ m(ef iš x yra didesnis arba lygus em). Laikoma, kad funkcija y = f (x) yra apribota aukščiau, jei visos funkcijos reikšmės nėra didesnės už tam tikrą skaičių M, tai reiškia, kad yra skaičius M taip, kad bet kuriai reikšmei x iš funkcijos apibrėžimo srities nelygybė f (x) ≤ M(eff iš x yra mažesnė arba lygi em Funkcija vadinama ribota, jei ji yra apribota ir žemiau, ir aukščiau).

Grįžkime prie mūsų funkcijos: ribojimas išplaukia iš to, kad bet kuriai te nelygybė yra teisinga - 1 ≤ sint≤ 1. (te sinusas yra didesnis arba lygus minus vienetui, bet mažesnis arba lygus vienetui).

Savybė 5. Mažiausia funkcijos reikšmė lygi minus vienetui ir funkcija pasiekia šią reikšmę bet kuriame formos t = taške (te lygi minus pi iš dviejų plius dvi smailės, o didžiausia funkcijos reikšmė lygi į vieną ir pasiekiama funkcija bet kuriame formos t = taške (te lygus pi padauginus du plius du pi ka).

Didžiausia ir mažiausia funkcijos s = sin t reikšmės žymi s daugiausia. ir maks. .

Naudodamiesi gautomis savybėmis, sudarysime funkcijos y = sin x grafiką (y lygi sinusui x), nes esame labiau įpratę rašyti y = f (x), o ne s = f (t).

Norėdami pradėti, pasirinkite skalę: išilgai ordinačių ašies paimkime du langelius kaip vienetinį segmentą, o išilgai abscisių ašies du langeliai yra pi iš trijų (nes ≈ 1). Pirmiausia atkarpoje sukurkime funkcijos y = sin x grafiką. Norėdami jį sudaryti, mums reikia funkcijų verčių lentelės, mes naudosime atitinkamų kosinuso ir sinuso kampų verčių lentelę:

Taigi, norėdami sudaryti argumentų ir funkcijų reikšmių lentelę, turite tai atsiminti X(x) šis skaičius yra atitinkamai lygus kampui intervale nuo nulio iki pi, ir adresu(graikų kalba) šio kampo sinuso reikšmė.

Pažymėkime šiuos taškus koordinačių plokštumoje. Pagal segmento TURTAS 3

[ 0; ] (nuo nulio iki pi dviem) funkcija y = sin x didėja ir mažėja atkarpoje [; ](nuo pi po du iki pi) ir sujungus gautus taškus lygia linija, gauname grafiko dalį (1 pav.).

Naudodami nelyginės funkcijos grafiko simetriją nuo pradžios, gauname funkcijos y = sin x grafiką jau atkarpoje

[-π; π ] (nuo minus pi iki pi (2 pav.)

Prisiminkite, kad sin(x + 2π)= sinx

(x sinusas plius du pi yra lygus x sinusui). Tai reiškia, kad taške x + 2π funkcija y = sin x įgauna tokią pat reikšmę kaip ir taške x. Ir kadangi (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plius du pi priklauso atkarpai nuo pi iki trijų pi), jei xϵ[-π; π ], tada atkarpoje [π; 3π ] funkcijos grafikas atrodo lygiai taip pat kaip ir atkarpoje [-π; π]. Panašiai atkarpose , , [-3π; -π ] ir pan., funkcijos y = sin x grafikas atrodo taip pat, kaip ir atkarpoje

[-π; π].(3 pav.)

Tiesė, kuri yra funkcijos y = sin x grafikas, vadinama sinusine banga. 2 paveiksle parodyta sinusinės bangos dalis vadinama sinusine banga, o 1 paveiksle ji vadinama sinusine arba puse banga.

Naudodamiesi sudarytu grafiku, užrašome dar keletą šios funkcijos savybių.

SAVYBĖ 6. Funkcija y = sin x yra ištisinė funkcija. Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra ištisinis, tai yra, joje nėra šuolių ar pradūrimų.

SAVYBĖ 7. Funkcijos y = sin x reikšmių diapazonas yra atkarpa [-1; 1] (nuo minus vieno iki vieno) arba galima parašyti taip: (e iš ef lygus atkarpai nuo minus vieno iki vieno).

Pažiūrėkime į PAVYZDĮ. Grafiškai išspręskite lygtį sin x = x + π (sinus x lygus x plius pi).

Sprendimas. Sukurkime funkcijų grafikus y = nuodėmė X Ir y = x + π.

Funkcijos y = sin x grafikas yra sinusoidė.

y = x + π – tiesinė funkcija, kurios grafikas yra tiesė, einanti per taškus, kurių koordinatės (0; π) ir (- π ; 0).

Sukonstruoti grafikai turi vieną susikirtimo tašką - tašką B(- π;0) (būti su koordinatėmis minus pi, nulis). Tai reiškia, kad ši lygtis turi tik vieną šaknį – taško B abscisę – -π. Atsakymas: X = - π.

Šioje pamokoje išsamiai apžvelgsime funkciją y = sin x, jos pagrindines savybes ir grafiką. Pamokos pradžioje pateiksime trigonometrinės funkcijos y = sin t apibrėžimą koordinačių apskritime ir apsvarstysime funkcijos grafiką apskritime ir tiesėje. Parodykime šios funkcijos periodiškumą grafike ir apsvarstykime pagrindines funkcijos savybes. Pamokos pabaigoje išspręsime keletą nesudėtingų uždavinių, naudodami funkcijos grafiką ir jos savybes.

Tema: Trigonometrinės funkcijos

Pamoka: Funkcija y=sinx, jos pagrindinės savybės ir grafikas

Svarstant apie funkciją, svarbu kiekvieną argumento reikšmę susieti su viena funkcijos reikšme. Tai korespondencijos įstatymas ir vadinama funkcija.

Apibrėžkime korespondencijos dėsnį .

Bet kuris realusis skaičius atitinka vieną vienetinio apskritimo tašką. Taškas turi vieną ordinatę, kuri vadinama skaičiaus sinusu (1 pav.).

Kiekviena argumento reikšmė yra susieta su viena funkcijos reikšme.

Akivaizdžios savybės išplaukia iš sinuso apibrėžimo.

Paveikslas tai rodo nes yra vienetinio apskritimo taško ordinatės.

Apsvarstykite funkcijos grafiką. Prisiminkime geometrinę argumento interpretaciją. Argumentas yra centrinis kampas, matuojamas radianais. Išilgai ašies nubraižysime realius skaičius arba kampus radianais, išilgai ašies – atitinkamas funkcijos reikšmes.

Pavyzdžiui, vienetinio apskritimo kampas atitinka grafiko tašką (2 pav.)

Gavome funkcijos grafiką srityje, bet žinodami sinuso periodą, galime pavaizduoti funkcijos grafiką visoje apibrėžimo srityje (3 pav.).

Pagrindinis funkcijos laikotarpis yra Tai reiškia, kad grafiką galima gauti segmente ir tada tęsti visoje apibrėžimo srityje.

Apsvarstykite funkcijos savybes:

1) Apibrėžimo sritis:

2) reikšmių diapazonas:

3) Nelyginė funkcija:

4) Mažiausias teigiamas laikotarpis:

5) Grafo susikirtimo su abscisių ašimi taškų koordinatės:

6) Grafiko susikirtimo su ordinačių ašimi taško koordinatės:

7) Intervalai, kuriais funkcija įgauna teigiamas reikšmes:

8) Intervalai, kuriais funkcija įgauna neigiamas reikšmes:

9) Didėjantys intervalai:

10) Mažėjantys intervalai:

11) Minimalus taškų skaičius:

12) Minimalios funkcijos:

13) Maksimalus taškų skaičius:

14) Maksimalios funkcijos:

Mes pažvelgėme į funkcijos ir jos grafiko savybes. Savybės bus pakartotinai naudojamos sprendžiant problemas.

Bibliografija

1. Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ir analizės pradžia, 10 balas (dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ir matematinė analizė 10 klasei (mokyklų ir klasių mokiniams su nuodugniais matematikos mokiniais - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Išsamus algebros ir matematinės analizės tyrimas.-M.: Edukacija, 1997 m.

5. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į aukštąsias mokyklas (redagavo M.I. Skanavi - M.: Aukštoji mokykla, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrinis simuliatorius.-K.: A.S.K., 1997 m.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebros uždaviniai ir analizės principai (vadovas bendrojo ugdymo įstaigų 10-11 klasių mokiniams - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karpas A.P. Algebros ir analizės principų uždavinių rinkinys: vadovėlis. priedą už 10-11 klases. su gyliu studijavo Matematika.-M.: Švietimas, 2006 m.

Namų darbai

Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red.

A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildomi žiniatinklio ištekliai

3. Mokomasis pasiruošimo egzaminams portalas ().