Nei lyginė, nei nelyginė funkcija. Lyginės ir nelyginės funkcijos. Funkcijos laikotarpis. Funkcijos kraštutinumas

Kurios buvo jums vienaip ar kitaip pažįstamos. Ten taip pat buvo pažymėta, kad funkcinių savybių atsargos bus palaipsniui pildomos. Šiame skyriuje bus aptariamos dvi naujos savybės.

1 apibrėžimas.

Funkcija y = f(x), x є X iškviečiama net jei bet kuriai x reikšmei iš aibės X galioja lygybė f (-x) = f (x).

2 apibrėžimas.

Funkcija y = f(x), x є X vadinama nelygine, jei bet kuriai x reikšmei iš aibės X galioja lygybė f (-x) = -f (x).

Įrodykite, kad y = x 4 yra lyginė funkcija.

Sprendimas. Turime: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Bet (-x) 4 = x 4. Tai reiškia, kad bet kuriai x galioja lygybė f(-x) = f(x), t.y. funkcija lygi.

Panašiai galima įrodyti, kad funkcijos y - x 2, y = x 6, y - x 8 yra lyginės.

Įrodykite, kad y = x 3 ~ nelyginė funkcija.

Sprendimas. Turime: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Bet (-x) 3 = -x 3. Tai reiškia, kad bet kuriai x galioja lygybė f (-x) = -f (x), t.y. funkcija nelyginė.

Panašiai galima įrodyti, kad funkcijos y = x, y = x 5, y = x 7 yra nelyginės.

Jūs ir aš jau ne kartą matėme, kad naujieji matematikos terminai dažniausiai turi „žemišką“ kilmę, t.y. juos galima kažkaip paaiškinti. Taip yra ir su lyginėmis, ir su nelyginėmis funkcijomis. Žr.: y - x 3, y = x 5, y = x 7 yra nelyginės funkcijos, o y = x 2, y = x 4, y = x 6 yra lyginės funkcijos. Ir apskritai, bet kuriai y = x formos funkcijai (toliau mes konkrečiai išnagrinėsime šias funkcijas), kur n yra natūralusis skaičius, galime daryti išvadą: jei n nėra lyginis skaičius, tada funkcija y = x" yra nelyginė; jei n yra lyginis skaičius, tada funkcija y = xn yra lyginė.

Taip pat yra funkcijų, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės. Pavyzdžiui, tokia yra funkcija y = 2x + 3. Iš tiesų, f(1) = 5 ir f (-1) = 1. Kaip matote, čia nėra nei tapatybės f(-x) = f (x), nei tapatybė f(-x) = -f(x).

Taigi funkcija gali būti lyginė, nelyginė arba nė viena.

Tyrimas, ar tam tikra funkcija yra lyginė ar nelyginė, paprastai vadinamas pariteto tyrimu.

1 ir 2 apibrėžimuose mes kalbame apie apie funkcijos reikšmes taškuose x ir -x. Tai daroma prielaida, kad funkcija apibrėžta taške x ir taške -x. Tai reiškia, kad taškas -x priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai kartu su tašku x. Jei skaitinėje aibėje X kartu su kiekvienu jos elementu x yra ir priešingas elementas -x, tai X vadinama simetriška aibe. Tarkime (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) yra simetriškos aibės, o: tegul x 1a;b, A x 2a;b .

Atgal į priekį

Dėmesio! Peržiūra Skaidrės yra tik informacinio pobūdžio ir gali neatspindėti visų pristatymo ypatybių. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai:

• formuoti funkcijos pariteto ir nelygumo sampratą, išmokyti šias savybes nustatyti ir naudoti kada funkcijų tyrimas, braižymas;
• ugdyti mokinių kūrybinę veiklą, loginis mąstymas, gebėjimas lyginti, apibendrinti;
• ugdyti sunkų darbą ir matematinę kultūrą; ugdyti bendravimo įgūdžius .

Įranga: multimedijos instaliacija, interaktyvi lenta, dalomoji medžiaga.

Darbo formos: frontalinis ir grupinis su paieškos ir tiriamosios veiklos elementais.

Informacijos šaltiniai:

1. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovičius. Vadovėlis.
2. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovich. Problemų knyga.
3. Algebra 9 kl. Užduotys mokinių mokymuisi ir tobulėjimui. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU

1. Organizacinis momentas

Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas.

2. Namų darbų tikrinimas

Nr.10.17 (9 klasės užduočių knygelė. A.G. Mordkovich).

A) adresu = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija didėja su X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ribojama iš apačios.
7. adresu naim = – 3, adresu naib neegzistuoja
8. Funkcija yra nuolatinė.

(Ar naudojote funkcijų tyrimo algoritmą?) Skaidrė.

2. Patikrinkime lentelę, kurios jūsų paprašė iš skaidrės.

Užpildykite lentelę
	Domenas	Funkcijos nuliai	Ženklų pastovumo intervalai		Grafo susikirtimo su Oy taškų koordinatės
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Žinių atnaujinimas

– Suteiktos funkcijos.
– Nurodykite kiekvienos funkcijos apibrėžimo apimtį.
– Palyginkite kiekvienos funkcijos reikšmę kiekvienai argumentų reikšmių porai: 1 ir – 1; 2 ir – 2.
– Kurioms iš šių funkcijų apibrėžimo srityje galioja lygybės f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (gautus duomenis įveskite į lentelę) Skaidrė

		f(1) ir f(– 1)	f(2) ir f(– 2)	grafika	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ir neapibrėžtas

4. Nauja medžiaga

– Vykdymas Šis darbas, vaikinai, mes nustatėme dar vieną funkcijos savybę, kuri jums nepažįstama, bet ne mažiau svarbi už kitas - tai funkcijos lygumas ir nelygumas. Užsirašykite pamokos temą: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“, mūsų užduotis – išmokti nustatyti funkcijos lygumą ir nelygumą, išsiaiškinti šios savybės reikšmę funkcijų studijoms ir brėžiant grafikus.
Taigi, susiraskime apibrėžimus vadovėlyje ir skaitykime (p. 110) . Skaidrė

Def. 1 Funkcija adresu = f (X), vadinamas aibėje X net, jei už kokią nors vertę XЄ X vykdomas lygybė f(–x)= f(x). Pateikite pavyzdžių.

Def. 2 Funkcija y = f(x), apibrėžiamas aibėje X vadinamas nelyginis, jei už kokią nors vertę XЄ X galioja lygybė f(–х)= –f(х). Pateikite pavyzdžių.

Kur mes sutikome terminus „lyginis“ ir „nelyginis“?
Kaip manote, kuri iš šių funkcijų bus lygi? Kodėl? Kurie yra nelyginiai? Kodėl?
Bet kuriai formos funkcijai adresu= x n, Kur n– sveikasis skaičius, galima teigti, kad funkcija nelyginė kai n– nelyginis, o funkcija lyginė, kai n– net.
– Peržiūrėti funkcijas adresu= ir adresu = 2X– 3 nėra nei lyginiai, nei nelyginiai, nes lygybės netenkinamos f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Tyrimas, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, vadinamas funkcijos pariteto tyrimu. Skaidrė

1 ir 2 apibrėžimuose mes kalbėjome apie funkcijos reikšmes x ir – x, todėl daroma prielaida, kad funkcija taip pat yra apibrėžta reikšme X, ir – X.

Def 3. Jei skaitinėje aibėje kartu su kiekvienu jos elementu x yra ir priešingas elementas –x, tai aibė X vadinama simetriška aibe.

Pavyzdžiai:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) yra simetriškos aibės, o , [–5;4] yra asimetrinės.

– U net funkcijos ar apibrėžimo sritis yra simetriška aibė? Keistas?
– jei D( f) yra asimetrinė aibė, tada kokia yra funkcija?
– Taigi, jei funkcija adresu = f(X) – lyginis arba nelyginis, tada jo apibrėžimo sritis yra D( f) yra simetriškas rinkinys. Ar teisingas atvirkštinis teiginys: jei funkcijos apibrėžimo sritis yra simetrinė aibė, tai lyginė ar nelyginė?
– Tai reiškia, kad apibrėžimo srities simetrinės aibės buvimas yra būtina sąlyga, bet nepakankama.
– Taigi kaip ištirti pariteto funkciją? Pabandykime sukurti algoritmą.

Skaidrė

Pariteto funkcijos tyrimo algoritmas

1. Nustatykite, ar funkcijos apibrėžimo sritis yra simetriška. Jei ne, tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jei taip, pereikite prie 2 algoritmo veiksmo.

2. Parašykite išraišką už f(–X).

3. Palyginkite f(–X).Ir f(X):

• Jeigu f(–X).= f(X), tada funkcija lygi;
• Jeigu f(–X).= – f(X), tada funkcija yra nelyginė;
• Jeigu f(–X) ≠ f(X) Ir f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Pavyzdžiai:

Išnagrinėkite lygybės funkciją a) adresu= x 5 +; b) adresu= ; V) adresu= .

Sprendimas.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrinė aibė.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + nelyginis.

b) y =,

adresu = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrinė aibė, o tai reiškia, kad funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2 variantas

1. Ar duotoji aibė yra simetriška: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Išnagrinėkite pariteto funkciją:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Pav. buvo sukurtas grafikas adresu = f(X), visiems X, atitinkančią sąlygą X? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra lygi funkcija.

3. Pav. buvo sukurtas grafikas adresu = f(X), visiems x, atitinkantiems sąlygą x? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra nelyginė funkcija.

Abipusis patikrinimas skaidrė.

6. Namų darbai: №11.11, 11.21,11.22;

Pariteto savybės geometrinės reikšmės įrodymas.

***(Vieningo valstybinio egzamino varianto priskyrimas).

1. Nelyginė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Bet kuriai neneigiamai kintamojo x vertei šios funkcijos reikšmė sutampa su funkcijos g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Raskite funkcijos h( X) = at X = 3.

7. Apibendrinimas