Jei padėtume vieną skaičių ratas koordinačių plokštumoje, tada jos taškams galima rasti koordinates. Skaitinis apskritimas yra išdėstytas taip, kad jo centras sutaptų su plokštumos pradžia, ty tašku O (0; 0).
Paprastai vienetinio skaičiaus apskritime taškai pažymimi, atitinkantys apskritimo pradžią
- ketvirčiai – 0 arba 2π, π/2, π, (2π)/3,
- viduriniai ketvirčiai – π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- trečiieji ketvirčiai – π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
Koordinačių plokštumoje, ant kurios yra aukščiau nurodytas vienetinio apskritimo išdėstymas, galima rasti koordinates, atitinkančias šiuos apskritimo taškus.
Labai lengva rasti ketvirčių galų koordinates. Apskritimo taške 0 x koordinatė lygi 1, o y lygi 0. Galime užrašyti A (0) = A (1; 0).
Pirmojo ketvirčio pabaiga bus teigiama y ašyje. Todėl B (π/2) = B (0; 1).
Antrojo ketvirčio pabaiga yra ant neigiamos abscisės: C (π) = C (-1; 0).
Trečiojo kėlinio pabaiga: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Bet kaip rasti ketvirčių vidurio taškų koordinates? Norėdami tai padaryti, sukurkite stačiakampį trikampį. Jo hipotenuzė yra atkarpa nuo apskritimo centro (arba pradžios) iki ketvirčio apskritimo vidurio. Tai yra apskritimo spindulys. Kadangi apskritimas yra vienetas, hipotenuzė lygi 1. Toliau iš apskritimo taško į bet kurią ašį nubrėžiamas statmuo. Tegul tai yra prie x ašies. Pasirodo stačiakampis trikampis, kurio kojų ilgiai yra apskritimo taško x ir y koordinatės.
Ketvirtadalis apskritimo yra 90º. Ir pusė ketvirtadalio yra 45º. Kadangi hipotenuzė nubrėžta iki ketvirčio vidurio, kampas tarp hipotenuzės ir kojos, išeinančios iš pradžios, yra 45º. Bet bet kurio trikampio kampų suma yra 180º. Todėl kampas tarp hipotenuzės ir kitos kojos taip pat išlieka 45º. Pasirodo lygiašonis stačiakampis trikampis.
Iš Pitagoro teoremos gauname lygtį x 2 + y 2 = 1 2 . Kadangi x = y ir 1 2 = 1, lygtis supaprastėja iki x 2 + x 2 = 1. Ją išsprendę gauname x = √1 = 1/√2 = √2/2.
Taigi taško koordinatės M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
Kitų ketvirčių vidurio taškų koordinatėse pasikeis tik ženklai, o reikšmių moduliai išliks tie patys, nes stačiakampis trikampis tik apsivers. Mes gauname:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
Nustatant apskritimo ketvirčių trečiųjų dalių koordinates, statomas ir stačiakampis trikampis. Jei paimsime tašką π/6 ir nubrėžsime statmeną x ašiai, kampas tarp hipotenuzės ir kojos, esančios ant x ašies, bus 30º. Yra žinoma, kad koja, esanti priešais 30º kampą, yra lygi pusei hipotenuzės. Taigi mes radome y koordinatę, ji lygi ½.
Žinodami hipotenuzės ir vienos kojos ilgius, pagal Pitagoro teoremą randame kitą koją:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2
Taigi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Pirmojo ketvirčio antrojo trečdalio taškui (π / 3) geriau nubrėžti statmeną ašiai y ašiai. Tada kampas taške taip pat bus 30º. Čia x koordinatė jau bus lygi ½, o y atitinkamai √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Kitų trečiojo ketvirčio taškų koordinačių reikšmių ženklai ir tvarka pasikeis. Visų taškų, kurie yra arčiau x ašies, x koordinatės modulinė reikšmė bus lygi √3/2. Tie taškai, kurie yra arčiau y ašies, turės modulio y reikšmę, lygią √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Mėgautis peržiūra pristatymai sukurti paskyrą ( sąskaitą) Google ir prisijunkite: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje
Pakartokime: Vienetinis apskritimas yra skaitinis apskritimas, kurio spindulys lygus 1. R=1 C=2 π + - y x
Jeigu skaitinio apskritimo taškas M atitinka skaičių t, tai jis atitinka ir formos skaičių t+2 π k , kur k yra bet koks sveikasis skaičius (k ϵ Z) . M(t) = M(t+2 π k), kur k ϵ Z
Pagrindiniai maketai Pirmasis išdėstymas 0 π y x Antrasis išdėstymas y x
x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y
Raskite taško M koordinates, atitinkančias tašką. 1) 2) x y M P 45° O A
Pirmojo maketo pagrindinių taškų koordinatės 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x
M P x y O A Raskite taško M koordinates, atitinkančias tašką. 1) 2) 30°
M P Raskite taško M koordinates, atitinkančias tašką. 1) 2) 30° x y O A B
Naudodamiesi simetrijos savybe, randame taškų, kurie yra y x kartotiniai, koordinates
Antrojo maketo pagrindinių taškų koordinatės x y x y y x
Pavyzdys Raskite skaičių apskritimo taško koordinates. Sprendimas: P y x
Pavyzdys Skaičių apskritime raskite taškus su ordinatėmis Sprendimas: y x x y x y
Pratimai: Raskite skaitinio apskritimo taškų koordinates: a) , b) . Skaičių apskritime raskite taškus su abscisėmis.
Pagrindinių taškų koordinatės 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Pirmojo išdėstymo pagrindinių taškų koordinatės x y x y Antrojo išdėstymo pagrindinių taškų koordinatės
Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos
Didaktinė medžiaga apie algebrą ir analizės pradžią 10 klasėje (profilio lygis) „Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje“
Variantas 1.1. Suraskite skaičių apskritimo tašką: A) -2∏ / 3B) 72. Kuriam skaičių apskritimo ketvirčiui priklauso taškas 16.3. Raskite, kuriam ...
Skaičių ratas yra vienetinis apskritimas, kurio taškai atitinka tam tikrus realiuosius skaičius.
Vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio spindulys yra 1.
Bendras skaičių apskritimo vaizdas.
1) Jo spindulys imamas matavimo vienetu.
2) Horizontalūs ir vertikalūs skersmenys padalija skaičių apskritimą į keturis ketvirčius (žr. pav.). Jie atitinkamai vadinami pirmuoju, antruoju, trečiuoju ir ketvirtuoju ketvirčiu.
3) Horizontalus skersmuo žymimas AC, o A yra dešiniausias taškas.
Vertikalus skersmuo žymimas BD, o B yra aukščiausias taškas.
Atitinkamai:
pirmasis ketvirtis yra lankas AB
antrasis ketvirtis – lankas pr
trečiasis ketvirtis – lankinis kompaktinis diskas
ketvirtasis ketvirtis – lankas DA
4) Skaitinio apskritimo pradžios taškas yra taškas A.
Skaičių apskritimą galima skaičiuoti pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę.
Skaičiavimas nuo taško A prieš laikrodžio rodyklę vadinamas teigiama kryptimi.
Skaičiavimas nuo taško A pagal laikrodžio rodyklę vadinamas neigiama kryptis.
Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje.
Skaitinio apskritimo spindulio centras atitinka pradžią (skaičius 0).
Horizontalus skersmuo atitinka ašį x, vertikalios - ašys y.
Skaičių apskritimo pradžios taškas A yra ašyje x ir turi koordinates (1; 0).
Vertybėsx iry skaitinio apskritimo ketvirčiais:
Pagrindinės skaitinio apskritimo reikšmės:
Skaičių apskritimo pagrindinių taškų pavadinimai ir vietos:
Kaip atsiminti skaičių apskritimo pavadinimus.
Yra keletas paprastų modelių, kurie padės lengvai prisiminti pagrindinius skaičių apskritimo pavadinimus.
Prieš pradėdami, primename: atgalinis skaičiavimas yra teigiama kryptimi, ty nuo taško A (2π) prieš laikrodžio rodyklę.
1) Pradėkime nuo ekstremalūs taškai ant koordinačių ašių.
Pradinis taškas yra 2π (dešinėje esantis ašies taškas X lygus 1).
Kaip žinote, 2π yra apskritimo perimetras. Taigi pusė apskritimo yra 1π arba π. Ašis X padalija apskritimą pusiau. Atitinkamai, kairiausias ašies taškas X lygus -1 vadinamas π.
Aukščiausias ašies taškas adresu, lygus 1, padalina viršutinį puslankį į pusę. Taigi, jei puslankis yra π, tai pusė puslankio yra π/2.
Tuo pačiu metu π/2 taip pat yra ketvirtis apskritimo. Suskaičiuojame tris tokius ketvirčius nuo pirmo iki trečio – ir pateksime į žemiausią ašies tašką adresu lygus -1. Bet jei jis apima tris ketvirčius, tada jo pavadinimas yra 3π/2.
2) Dabar pereikime prie likusių punktų. Atkreipkite dėmesį: visi priešingi taškai turi tą patį skaitiklį - be to, tai yra priešingi taškai ir ašies atžvilgiu adresu, ir ašių centro atžvilgiu bei ašies atžvilgiu X. Tai padės mums sužinoti jų taškų reikšmes nesikišant.
Būtina atsiminti tik pirmojo ketvirčio taškų reikšmę: π / 6, π / 4 ir π / 3. Ir tada mes „pamatysime“ keletą modelių:
- Apie y ašį antrojo ketvirčio taškuose, priešingai nei pirmojo ketvirčio taškuose, skaičiai skaitikliuose yra 1 mažesni už vardiklius. Pavyzdžiui, paimkite tašką π/6. Priešingas taškas apie ašį adresu taip pat turi 6 vardiklyje ir 5 skaitiklyje (1 mažiau). Tai yra, šio taško pavadinimas: 5π/6. Taškas, priešingas π/4, taip pat turi 4 vardiklyje ir 3 skaitiklyje (1 mažesnis nei 4) – tai yra taškas 3π/4.
Taškas, priešingas π/3, taip pat turi 3 vardiklyje ir 1 mažiau skaitiklyje: 2π/3.
- Koordinačių ašių centro atžvilgiu yra priešingai: skaičiai priešingų taškų skaitikliuose (trečiajame ketvirtyje) 1 daugiau vertės vardikliai. Vėl paimkite tašką π/6. Taškas, esantis priešais jį, palyginti su centru, taip pat turi 6 vardiklyje, o skaitiklyje skaičius yra dar 1 - tai yra 7π / 6.
Taškas, esantis priešais tašką π/4, taip pat turi 4 vardiklyje, o skaičius skaitiklyje yra dar 1: 5π/4.
Taškas, esantis priešais tašką π/3, taip pat turi 3 vardiklyje, o skaičius skaitiklyje yra dar 1: 4π/3.
- Ašies santykinis X(ketvirtą ketvirtį) reikalas sunkesnis. Čia reikia prie vardiklio reikšmės pridėti skaičių, kuris yra mažesnis už 1 - ši suma bus lygi priešingo taško skaitiklio skaitinei daliai. Vėl pradėkime nuo π/6. Prie vardiklio reikšmės, lygios 6, pridėkime skaičių, kuris yra 1 mažesnis už šį skaičių – tai yra 5. Gauname: 6 + 5 = 11. Vadinasi, priešingai jam ašies atžvilgiu X taško vardiklyje bus 6, o skaitiklyje – 11, ty 11π/6.
Taškas π/4. Prie vardiklio reikšmės pridedame skaičių 1 mažesnį: 4 + 3 = 7. Vadinasi, priešinga jam ašies atžvilgiu X taško vardiklyje yra 4, o skaitiklyje - 7, tai yra 7π/4.
Taškas π/3. Vardiklis yra 3. Prie 3 pridedame vienu skaičiumi mažiau – tai yra 2. Gauname 5. Vadinasi, priešingo taško skaitiklyje yra 5 – ir tai yra taškas 5π / 3.
3) Kitas ketvirčių vidurio taškų dėsningumas. Aišku, kad jų vardiklis yra 4. Atkreipkime dėmesį į skaitiklius. Pirmojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 1π (bet 1 nėra įprasta rašyti). Antrojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 3π. Trečiojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 5π. Ketvirtojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 7π. Pasirodo, ketvirčių vidurio taškų skaitikliuose yra pirmieji keturi nelyginiai skaičiai didėjančia tvarka:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Tai taip pat labai paprasta. Kadangi visų ketvirčių vidurio taškai vardiklyje turi 4, mes juos jau žinome pilni vardai: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Skaičių apskritimo ypatybės. Palyginimas su skaičių eilute.
Kaip žinote, skaičių eilutėje kiekvienas taškas atitinka vienaskaita. Pavyzdžiui, jei tiesės taškas A yra lygus 3, tai jis negali būti lygus jokiam kitam skaičiui.
Skaičių apskritimas skiriasi, nes tai apskritimas. Pavyzdžiui, norėdami patekti iš apskritimo taško A į tašką M, galite tai padaryti kaip tiesiąja linija (tik pravažiavę lanką) arba galite apeiti visą apskritimą ir tada patekti į tašką M. Išvada:
Tegu taškas M lygus kokiam nors skaičiui t. Kaip žinome, apskritimo perimetras yra 2π. Taigi apskritimo tašką t galime užrašyti dviem būdais: t arba t + 2π. Tai lygiavertės vertės.
Tai yra, t = t + 2π. Skirtumas tik tas, kad pirmuoju atveju tu iš karto atėjai į tašką M, nesudarydamas apskritimo, o antruoju atveju apsukai, bet atsidūrei tame pačiame taške M. Tokių galite padaryti du, tris ir du šimtus. apskritimai.. Jei apskritimų skaičių pažymėsime raide k, gauname naują išraišką:
t = t + 2π k.
Taigi formulė:
Skaičių apskritimo lygtis
(antroji lygtis yra skyriuje „Sine, kosinusas, liestinė, kotangentas“):
x2 + y2 = 1 |
Skaičių ratas yra vienetinis apskritimas, kurio taškai atitinka tam tikrus realiuosius skaičius.
Vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio spindulys yra 1.
Bendras skaičių apskritimo vaizdas.
1) Jo spindulys imamas matavimo vienetu.
2) Horizontalūs ir vertikalūs skersmenys padalija skaičių apskritimą į keturis ketvirčius. Jie atitinkamai vadinami pirmuoju, antruoju, trečiuoju ir ketvirtuoju ketvirčiu.
3) Horizontalus skersmuo žymimas AC, o A yra kraštutinis teisingai taškas.
Vertikalus skersmuo žymimas BD, o B yra aukščiausias taškas.
Atitinkamai:
pirmasis ketvirtis yra lankas AB
antrasis ketvirtis – lankas pr
trečiasis ketvirtis – lankinis kompaktinis diskas
ketvirtasis ketvirtis – lankas DA
4) Skaitinio apskritimo pradžios taškas yra taškas A.
Skaičių apskritimą galima skaičiuoti pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę.
Skaičiuojant nuo taško A prieš pagal laikrodžio rodyklę vadinama teigiama kryptimi.
Skaičiuojant nuo taško A įjungta pagal laikrodžio rodyklę vadinama neigiama kryptis.
Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje.
Skaitinio apskritimo spindulio centras atitinka pradžią (skaičius 0).
Horizontalus skersmuo atitinka ašį x, vertikalios - ašys y.
Pradinis taškas Skaičių apskritimasti yra ant ašiesxir turi koordinates (1; 0).
Skaičių apskritimo pagrindinių taškų pavadinimai ir vietos:
Kaip atsiminti skaičių apskritimo pavadinimus.
Yra keletas paprastų modelių, kurie padės lengvai prisiminti pagrindinius skaičių apskritimo pavadinimus.
Prieš pradėdami, primename: atgalinis skaičiavimas yra teigiama kryptimi, ty nuo taško A (2π) prieš laikrodžio rodyklę.
1) Pradėkime nuo kraštinių taškų koordinačių ašyse.
Pradinis taškas yra 2π (dešinėje esantis ašies taškas X lygus 1).
Kaip žinote, 2π yra apskritimo perimetras. Taigi pusė apskritimo yra 1π arba π. Ašis X padalija apskritimą pusiau. Atitinkamai, kairiausias ašies taškas X lygus -1 vadinamas π.
Aukščiausias ašies taškas adresu, lygus 1, padalina viršutinį puslankį į pusę. Taigi, jei puslankis yra π, tai pusė puslankio yra π/2.
Tuo pačiu metu π/2 taip pat yra ketvirtis apskritimo. Suskaičiuojame tris tokius ketvirčius nuo pirmo iki trečio – ir pateksime į žemiausią ašies tašką adresu lygus -1. Bet jei jis apima tris ketvirčius, tada jo pavadinimas yra 3π/2.
2) Dabar pereikime prie likusių punktų. Atkreipkite dėmesį: visi priešingi taškai turi tą patį vardiklį - be to, tai yra priešingi taškai ir ašies atžvilgiu adresu, ir ašių centro atžvilgiu bei ašies atžvilgiu X. Tai padės mums sužinoti jų taškų reikšmes nesikišant.
Būtina atsiminti tik pirmojo ketvirčio taškų reikšmę: π / 6, π / 4 ir π / 3. Ir tada mes „pamatysime“ keletą modelių:
- Ašies santykinis adresu
antrojo ketvirčio taškuose, priešingai nei pirmojo ketvirčio taškuose, skaičiai skaitikliuose yra 1 mažesni už vardiklius. Pavyzdžiui, paimkite tašką π/6. Priešingas taškas apie ašį adresu taip pat turi 6 vardiklyje ir 5 skaitiklyje (1 mažiau). Tai yra, šio taško pavadinimas: 5π/6. Taškas, priešingas π/4, taip pat turi 4 vardiklyje ir 3 skaitiklyje (1 mažesnis nei 4) – tai yra taškas 3π/4.
Taškas, priešingas π/3, taip pat turi 3 vardiklyje ir 1 mažiau skaitiklyje: 2π/3.
- Koordinačių ašių centro atžvilgiu yra priešingai: skaičiai priešingų taškų skaitikliuose (trečiajame ketvirtyje) yra 1 daugiau nei vardiklių reikšmės. Vėl paimkite tašką π/6. Taškas, esantis priešais jį, palyginti su centru, taip pat turi 6 vardiklyje, o skaitiklyje skaičius yra dar 1 - tai yra 7π / 6.
Taškas, esantis priešais tašką π/4, taip pat turi 4 vardiklyje, o skaičius skaitiklyje yra dar 1: 5π/4.
Taškas, esantis priešais tašką π/3, taip pat turi 3 vardiklyje, o skaičius skaitiklyje yra dar 1: 4π/3.
- Ašies santykinis X(ketvirtą ketvirtį) reikalas sunkesnis. Čia reikia prie vardiklio reikšmės pridėti skaičių, kuris yra 1 mažesnis - ši suma bus lygi priešingo taško skaitiklio skaitinei daliai. Vėl pradėkime nuo π/6. Prie vardiklio reikšmės, lygios 6, pridėkime skaičių, kuris yra 1 mažesnis už šį skaičių – tai yra 5. Gauname: 6 + 5 = 11. Vadinasi, priešingai jam ašies atžvilgiu X taško vardiklyje bus 6, o skaitiklyje - 11 - tai yra 11π / 6.
Taškas π/4. Prie vardiklio reikšmės pridedame skaičių 1 mažesnį: 4 + 3 = 7. Vadinasi, priešinga jam ašies atžvilgiu X taško vardiklyje yra 4, o skaitiklyje - 7, ty 7π/4.
Taškas π/3. Vardiklis yra 3. Prie 3 pridedame vienu skaičiumi mažiau – tai yra 2. Gauname 5. Vadinasi, priešingo taško skaitiklyje yra 5 – ir tai yra taškas 5π / 3.
3) Kitas ketvirčių vidurio taškų dėsningumas. Aišku, kad jų vardiklis yra 4. Atkreipkime dėmesį į skaitiklius. Pirmojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 1π (bet 1 nėra įprasta rašyti). Antrojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 3π. Trečiojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 5π. Ketvirtojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 7π. Pasirodo, ketvirčių vidurio taškų skaitikliuose yra pirmieji keturi nelyginiai skaičiai didėjančia tvarka:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Tai taip pat labai paprasta. Kadangi visų ketvirčių vidurių vardiklyje yra 4, jau žinome jų pilnus pavadinimus: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Skaičių apskritimo ypatybės. Palyginimas su skaičių eilute.
Kaip žinote, skaičių eilutėje kiekvienas taškas atitinka vieną skaičių. Pavyzdžiui, jei tiesės taškas A yra lygus 3, tai jis negali būti lygus jokiam kitam skaičiui.
Skaičių apskritimas skiriasi, nes tai apskritimas. Pavyzdžiui, norėdami patekti iš apskritimo taško A į tašką M, galite tai padaryti kaip tiesiąja linija (tik pravažiavę lanką) arba galite apeiti visą apskritimą ir tada patekti į tašką M. Išvada:
Tegu taškas M lygus kokiam nors skaičiui t. Kaip žinome, apskritimo perimetras yra 2π. Taigi apskritimo tašką t galime užrašyti dviem būdais: t arba t + 2π. Tai lygiavertės vertės.
Tai yra, t = t + 2π. Skirtumas tik tas, kad pirmuoju atveju tu iš karto atėjai į tašką M, nesudarydamas apskritimo, o antruoju atveju apsukai, bet atsidūrei tame pačiame taške M. Tokių galite padaryti du, tris ir du šimtus. apskritimai.. Jei apskritimų skaičių pažymėsime raide n, gauname naują išraišką:
t = t + 2π n.
Taigi formulė:
Skaičių ratui 10 klasėje skiriama daug laiko. Taip yra dėl šio matematinio objekto reikšmės visam matematikos kursui.
Norint gerai įsisavinti medžiagą, didelę reikšmę turi teisingas mokymo priemonių pasirinkimas. Vaizdo įrašų vadovėliai yra vieni iš efektyviausių šių priemonių. AT paskutiniais laikais jie pasiekia populiarumo viršūnę. Todėl autorius neatsiliko nuo dabarties ir sukūrė tokį nuostabų vadovą, kuris padėtų matematikos mokytojams - vaizdo pamoką tema „Skaičių ratas koordinačių plokštumoje“.
Šios pamokos trukmė 15:22 min. Tai praktiškai maksimalus laikas, kurį mokytojas gali skirti savarankiškam medžiagos šia tema aiškinimui. Kadangi naujos medžiagos išaiškinimas užima tiek daug laiko, būtina parinkti efektyviausias užduotis ir užtvirtinimo pratimus, taip pat išskirti dar vieną pamoką, kurioje mokiniai spręs užduotis šia tema.
Pamoka pradedama skaitmeninio apskritimo atvaizdu koordinačių sistemoje. Autorius sukuria šį ratą ir paaiškina savo veiksmus. Tada autorius įvardija skaitinio apskritimo susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Toliau paaiškinama, kokias koordinates turės apskritimo taškai skirtinguose ketvirčiuose.
Po to autorius primena, kaip atrodo apskritimo lygtis. O klausytojų dėmesiui pateikiami du maketai su kai kurių apskritimo taškų atvaizdu. Dėl šios priežasties kitame žingsnyje autorius parodo, kaip nurodo apskritimo koordinatės, atitinkančios tam tikrus skaičius pažymėta šablonuose. Taip gaunama apskritimo lygties kintamųjų x ir y verčių lentelė.
Be to, siūloma apsvarstyti pavyzdį, kai reikia nustatyti apskritimo taškų koordinates. Prieš pradedant spręsti pavyzdį, pateikiama pastaba, kuri padeda spręsti. Ir tada ekrane pasirodo pilnas, aiškiai struktūrizuotas ir iliustruotas sprendimas. Taip pat yra lentelių, kurios padeda lengviau suprasti pavyzdžio esmę.
Tada svarstomi dar šeši pavyzdžiai, kurie užima mažiau laiko nei pirmasis, bet ne mažiau svarbūs ir atspindi Pagrindinė mintis pamoka. Čia pateikiami sprendimai pilnai, su išsamia istorija ir vaizdiniais elementais. Būtent sprendime yra brėžiniai, iliustruojantys sprendimo eigą, ir matematinis užrašas, formuojantis mokinių matematinį raštingumą.
Mokytojas gali apsiriboti tais pavyzdžiais, kurie nagrinėjami pamokoje, tačiau to gali nepakakti kokybiniam medžiagos įsisavinimui. Todėl konsoliduotinų užduočių pasirinkimas yra tiesiog nepaprastai svarbus.
Pamoka gali būti naudinga ne tik mokytojams, kurių laikas nuolat ribojamas, bet ir mokiniams. Ypač tiems, kurie gauna šeimos išsilavinimą arba užsiima savišvieta. Medžiaga gali naudotis tie mokiniai, kurie praleido pamoką šia tema.
TEKSTO AIŠKINIMAS:
Mūsų pamokos tema „SKAIČIUS RATUMAS KOORDINAČIŲ PLOKTUTUJE“
Mes jau žinome Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą xOy (x o y). Šioje koordinačių sistemoje skaičių apskritimą išdėstysime taip, kad apskritimo centras būtų sulygiuotas su pradžia, o jo spindulys bus laikomas mastelio segmentu.
Skaitinio apskritimo pradžios taškas A sulygiuotas su tašku, kurio koordinatės (1; 0) , B - su tašku (0; 1), C - su (-1; 0) (minus vienas, nulis) ir D - su (0; - 1) (nulis, minus vienas).
(žr. 1 pav.)
Kadangi kiekvienas skaitmeninio apskritimo taškas turi savo koordinates xOy sistemoje (x apie y), tai pirmojo ketvirčio taškams ikx yra didesnis už nulį, o y yra didesnis už nulį;
Antrasis ketvirtis ich mažiau nei nulis ir y yra didesnis už nulį,
trečiojo ketvirčio taškams uh yra mažesnis už nulį, o y yra mažesnis už nulį,
o ketvirtąjį ketvirtį uh yra didesnis už nulį, o y yra mažesnis už nulį
Bet kurio skaitinio apskritimo taško E (x; y) (su koordinatėmis x, y) nelygybės -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x yra didesnė arba lygi minus vienetui, bet mažesnė už arba lygus vienetui; y yra didesnis arba lygus minus vienetui, bet mažesnis arba lygus vienetui).
Prisiminkite, kad spindulio R apskritimo, kurio centras yra taške, lygtis yra x 2 + y 2 = R 2 (x kvadratas plius y kvadratas yra lygus er kvadratui). Ir vieneto apskritimui R \u003d 1, taigi gauname x 2 + y 2 \u003d 1
(x kvadratas plius y kvadratas lygus vienetui).
Raskime skaitinio apskritimo taškų koordinates, kurios pateiktos dviem maketais (žr. 2, 3 pav.)
Tegul taškas E, kuris atitinka
(pi iš keturių) - pirmojo ketvirčio vidurys, parodytas paveikslėlyje. Iš taško E nuleidžiame statmeną EK tiesei OA ir laikome trikampį OEK. Kampas AOE =45 0 , nes lankas AE yra pusė lanko AB. Todėl trikampis OEK yra lygiašonis stačiakampis, kuriame OK = EK. Vadinasi, taško E abscisės ir ordinatės yra lygios, t.y. x yra lygus y. Norėdami rasti taško E koordinates, išsprendžiame lygčių sistemą: (x lygus y – pirmoji sistemos lygtis ir x kvadratas plius y kvadratas lygus vienetui – antroji sistemos lygtis). Sistemos lygtis vietoj x pakeičiame y, gauname 2y 2 \u003d 1 (du y kvadratai lygūs vienetui), iš kur y \u003d (y = vienas, padalintas iš dviejų šaknies, yra lygus dviejų padalintų šaknims iš dviejų) (ordinatė yra teigiama).Tai reiškia, kad taškas E stačiakampėje koordinačių sistemoje turi koordinates (,) (dviejų šaknis, padalinta iš dviejų, šaknis iš dviejų, padalinta iš dviejų).
Argumentuodami panašiai, randame koordinates taškų, atitinkančių kitus pirmojo išdėstymo skaičius ir gauname: atitinka tašką, kurio koordinatės (- ,) (atėmus šaknį iš dviejų, padalytų iš dviejų, šaknį iš dviejų, padalytą iš dviejų); for - (-,-) (atėmus šaknį iš dviejų, padalytų iš dviejų, atėmus šaknį iš dviejų, padalytų iš dviejų); už (septyni pi ir keturi) (,) (šaknis iš dviejų, padalintų iš dviejų, atėmus kvadratinę šaknį iš dviejų, padalytų iš dviejų).
Tegul taškas D atitinka (5 pav.). Numeskime statmeną iš DP(de pe) į OA ir apsvarstykime trikampį ODP. Šio trikampio OD hipotenuzė yra lygi vienetinio apskritimo spinduliui, tai yra vienam, o kampas DOP lygus trisdešimčiai laipsnių, nes lankas AD \u003d digi AB (a de yra lygus trečdaliui ), o lankas AB yra devyniasdešimt laipsnių. Todėl DP \u003d (de pe lygus vienai sekundei O de yra lygi vienai sekundei) Kadangi koja, priešinga trisdešimties laipsnių kampui, yra lygi pusei hipotenuzės, tai yra, y \u003d (y lygi vienai sekundei ). Taikydami Pitagoro teoremą gauname OR 2 \u003d OD 2 - DP 2 (o pe kvadratas lygus o de kvadratui atėmus de pe kvadratą), bet OR \u003d x (o pe lygus x). Taigi x 2 \u003d OD 2 - DP 2 \u003d
taigi x 2 \u003d (x kvadratas lygus trims ketvirtadaliams) ir x \u003d (x lygus trijų iš dviejų šaknims).
X yra teigiamas, nes yra pirmame ketvirtyje. Gavome, kad taškas D stačiakampėje koordinačių sistemoje turi koordinates (,) trijų šaknį, padalytą iš dviejų, viena sekundė.
Ginčiuodami panašiai, surandame taškų koordinates, atitinkančias kitus antrojo išdėstymo skaičius, ir surašome visus gautus duomenis į lenteles:
Apsvarstykite pavyzdžius.
1 PAVYZDYS. Raskite skaitinio apskritimo taškų koordinates: a) C 1 ();
b) C2(); c) C3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse vienas atitinka trisdešimt penkis pi iš keturių, tse du atitinka minus keturiasdešimt devynis pi iki trijų, tse trys atitinka keturiasdešimt vieną pi, tse keturi atitinka minus dvidešimt šešis pi).
Sprendimas. Pasinaudokime anksčiau gautu teiginiu: jeigu skaitinio apskritimo taškas D atitinka skaičių t, tai jis atitinka ir bet kurį t + 2πk(te plius dvi smailės) formos skaičių, kur ka bet koks sveikasis skaičius, t.y. kϵZ (ka priklauso zet).
a) Gauname = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (trisdešimt penki pi iš keturių yra trisdešimt penki iš keturių, padaugintas iš pi yra lygus aštuonių ir trijų ketvirtadalių sumai, padaugintai iš pi yra lygus trims pi padauginus keturis plius dviejų pi ir keturių sandauga). Tai reiškia, kad skaičius trisdešimt penki pi ir keturi atitinka tą patį skaičių apskritime, kaip ir skaičius trys pi ir keturi. Naudodami 1 lentelę gauname С 1 () = С 1 (-;) .
b) Panašiai koordinatės С 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Taigi skaičius
atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius. Ir skaičius ant skaičiaus apskritimo atitinka tą patį tašką kaip ir skaičius
(rodykite antrąjį maketą ir 2 lentelę). Taškui turime x = , y =.
c) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20. Todėl skaičius 41π atitinka tą patį skaitinio apskritimo tašką kaip ir skaičius π – tai taškas su koordinatėmis (-1; 0).
d) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), tai yra, skaičius - 26π atitinka tą patį skaitinio apskritimo tašką kaip ir skaičius nulis, tai yra taškas su koordinatėmis (1; 0).
2 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo taškus, kurių ordinatė y \u003d
Sprendimas. Tiesė y = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Vienas taškas atitinka skaičių, antras taškas atitinka skaičių,
Todėl visi taškai gaunami pridedant visą posūkį 2πk, kur k parodo kiek pilnos revoliucijos deda tašką, t.y. mes gauname
o bet kuriam skaičiui visi + 2πk formos skaičiai. Dažnai tokiais atvejais jie sako, kad gavo dvi verčių eilutes: + 2πk, + 2πk.
PAVYZDYS 3. Suraskite skaičių apskritimo taškus, kurių abscisė x = ir užrašykite, kokius skaičius t jie atitinka.
Sprendimas. Tiesiai X= kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Vienas taškas atitinka skaičių (žr. antrąjį išdėstymą),
taigi bet koks skaičius formos + 2πk. O antrasis taškas atitinka skaičių, taigi ir bet kurį skaičių formos + 2πk. Šias dvi verčių serijas galima aprėpti viename įraše: ± + 2πk (plius minus du pi iš trijų plius du pi).
4 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo taškus su ordinatėmis adresu> ir užrašyti kokius skaičius t jie atitinka.
Tiesė y \u003d kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. O nelygybė y\u003e atitinka atvirojo lanko MP taškus, tai reiškia lankus be galų (ty be ir), judant aplink apskritimą prieš laikrodžio rodyklę, pradedant nuo taško M ir baigiant tašku P. Vadinasi, lanko MP analitinio vaizdavimo branduolys yra nelygybė< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
5 PAVYZDYS. Raskite skaičių apskritimo taškus su ordinatėmis adresu < и записать, каким числам t они соответствуют.
Tiesė y \u003d kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Ir nelygybė y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
6 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis X> ir užrašyti kokius skaičius t jie atitinka.
Tiesė x = kerta skaitinį apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Nelygybė x > atitinka atvirojo lanko taškus PM judant išilgai apskritimo prieš laikrodžio rodyklę su pradžia taške P, kuris atitinka, o pabaiga ties taškas M, kuris atitinka. Vadinasi, lanko PM analitinio žymėjimo branduolys yra nelygybė< t <
(te yra didesnis nei atėmus du pi iš trijų, bet mažesnis nei du pi iš trijų), o pats lanko analitinis žymėjimas yra + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
7 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis X < и записать, каким числам t они соответствуют.
Tiesė x = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Nelygybė x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te yra daugiau nei du pi iš trijų, bet mažiau nei keturi pi iš trijų), o pats lanko analitinis žymėjimas turi formą + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
