Metoda e ndarjes- kjo është mënyrë universale zgjidhje për pothuajse çdo pabarazi që ndodh në kursi shkollor algjebër. Ai bazohet në vetitë e mëposhtme të funksioneve:

1. Një funksion i vazhdueshëm g (x) mund të ndryshojë shenjë vetëm në pikën në të cilën është i barabartë me 0. Grafikisht, kjo do të thotë se grafiku i një funksioni të vazhdueshëm mund të shkojë nga një gjysmërrafsh në tjetrin vetëm nëse kalon abshisën. boshti (kujtojmë se ordinata e çdo pike që shtrihet në boshtin OX (boshti i abshisës) është zero, domethënë vlera e funksionit në këtë pikë është 0):

Shohim që funksioni y = g (x) i paraqitur në grafik pret boshtin OX në pikat x = -8, x = -2, x = 4, x = 8. Këto pika quhen zero të funksionit. Dhe në të njëjtat pika funksioni g (x) ndryshon shenjë.

2. Funksioni gjithashtu mund të ndryshojë shenjën në zero të emëruesit - shembulli më i thjeshtë Funksioni i njohur:

Shohim që funksioni ndryshon shenjën në rrënjë të emëruesit, në një pikë, por nuk zhduket në asnjë pikë. Kështu, nëse një funksion përmban një fraksion, ai mund të ndryshojë shenjën në rrënjët e emëruesit.

2. Megjithatë, funksioni nuk ndryshon gjithmonë shenjën në rrënjën e numëruesit ose në rrënjën e emëruesit. Për shembull, funksioni y = x 2 nuk ndryshon shenjë në pikën x = 0:

Sepse ekuacioni x 2 = 0 ka dy rrënjë të barabarta x = 0, në pikën x = 0 funksioni, si të thuash, kthehet dy herë në 0. Një rrënjë e tillë quhet rrënjë e shumëzimit të dytë.

Funksioni ndryshon shenjën në zero të numëruesit, por nuk ndryshon shenjën në zero të emëruesit:, pasi rrënja është rrënja e shumëfishimit të dytë, domethënë e shumëfishimit çift:

E rëndësishme! Në rrënjët e shumëfishimit, funksioni nuk ndryshon shenjë.

Shënim! Çdo jolineare pabarazia e kursit të algjebrës shkollore zakonisht zgjidhet duke përdorur metodën e intervaleve.

Unë ju ofroj një të detajuar, pas së cilës ju mund të shmangni gabimet kur zgjidhjen e pabarazive jolineare.

1. Së pari, ju duhet të sillni pabarazinë në formë

P (x) V0,

ku V është shenja e pabarazisë:<,>, ≤ ose ≥. Kjo kërkon:

a) transferoni të gjithë termat në anën e majtë të pabarazisë,

b) gjeni rrënjët e shprehjes që rezulton,

c) faktorizoni anën e majtë të pabarazisë

d) shkruani të njëjtët faktorë si fuqi.

Kujdes! Veprimi i fundit duhet bërë në mënyrë që të mos ngatërrohet me shumësinë e rrënjëve - nëse rezultati është një faktor i madje shkallë, që do të thotë se rrënja përkatëse ka shumëfishim madje.

2. Vendosni rrënjët e gjetura në boshtin e numrave.

3. Nëse mosbarazimi është i rreptë, atëherë rrathët që tregojnë rrënjët në boshtin numerik lihen "bosh", nëse mosbarazimi nuk është i rreptë, atëherë plotësojmë rrathët.

4. Zgjidhni rrënjët e shumëfishimit të barabartë - në to P (x) shenja nuk ndryshon.

5. Përcaktoni shenjën P (x) në intervalin më të djathtë. Për ta bërë këtë, marrim një vlerë arbitrare x 0, e cila është më e madhe se rrënja më e madhe dhe e zëvendësojmë atë në P (x).

Nëse P (x 0)> 0 (ose ≥0), atëherë në intervalin më të djathtë vendosim shenjën "+".

Nëse P (x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Kur kaloni nëpër pikën që tregon një rrënjë të shumëfishtë, shenja NUK NDRYSHOH.

7. Edhe një herë shikojmë shenjën e pabarazisë origjinale dhe zgjedhim intervalet e shenjës që na duhen.

8. Kujdes! Nëse pabarazia jonë NUK është e rreptë, atëherë verifikohet veçmas kushti i barazisë me zero.

9. Shkruajmë përgjigjen.

Nëse origjinali pabarazia përmban të panjohurën në emërues, atëherë ne gjithashtu transferojmë të gjithë termat në të majtë dhe zvogëlojmë anën e majtë të pabarazisë në formë

(ku V është shenja e pabarazisë:< или >)

Një pabarazi strikte e këtij lloji është e barabartë me pabarazinë

Jo strikte pabarazia e formës

baraz me sistemi:

Në praktikë, nëse funksioni ka formën, atëherë veprojmë si më poshtë:

1. Gjeni rrënjët e numëruesit dhe të emëruesit.
2. I vendosim në bosht. Lërini të gjithë rrathët bosh. Pastaj, nëse pabarazia nuk është e rreptë, atëherë lyejeni rrënjët e numëruesit dhe lini gjithmonë bosh rrënjët e emëruesit.
3. Më pas, ne ndjekim algoritmin e përgjithshëm:
4. Zgjidhni rrënjët e shumëfishimit çift (nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtat rrënjë, atëherë numërojmë sa herë ndodhin të njëjtat rrënjë). Në rrënjët e shumëfishimit, shenja nuk ndryshon.
5. Ne e gjejmë shenjën në intervalin më të drejtë.
6. Ne vendosim shenja.
7. Në rastin e një pabarazie jo të rreptë, verifikohet veçmas kushti i barazisë, kushti i barazisë me zero.
8. Zgjidhni boshllëqet e nevojshme dhe rrënjët e shkëputura.
9. Ne e shkruajmë përgjigjen.

Për të kuptuar më mirë algoritmi për zgjidhjen e pabarazive me metodën e intervaleve, shikoni VIDEO TUTORIAL, i cili shkon në detaje në shembull zgjidhja e pabarazisë me metodën e intervaleve.

Metoda e ndarjes Është një algoritëm i veçantë i krijuar për të zgjidhur pabarazitë komplekse të formës f (x)> 0. Algoritmi përbëhet nga 5 hapa:

1. Zgjidheni ekuacionin f (x) = 0. Kështu, në vend të pabarazisë, marrim një ekuacion që zgjidhet shumë më lehtë;
2. Shënoni të gjitha rrënjët e marra në vijën koordinative. Kështu, linja ndahet në disa intervale;
3. Gjeni shumësinë e rrënjëve. Nëse rrënjët janë të shumëfishta, atëherë vizatoni një lak mbi rrënjë. (Rrënja konsiderohet shumëfish nëse ka një numër çift zgjidhjesh identike)
4. Gjeni shenjën (plus ose minus) të funksionit f (x) në intervalin më të djathtë. Për ta bërë këtë, mjafton të zëvendësohet në f (x) çdo numër që do të jetë në të djathtë të të gjitha rrënjëve të shënuara;
5. Shënoni shenjat në intervalet e mbetura, duke i alternuar ato.

Pas kësaj, mbetet vetëm të shkruajmë intervalet që na interesojnë. Ato shënohen me shenjën "+" nëse pabarazia kishte formën f (x)> 0, ose një shenjë "-" nëse pabarazia ka formën f (x)< 0.

Në rastin e pabarazive jostrikt (≤, ≥), është e nevojshme të përfshihen në intervale pikat që janë zgjidhja e ekuacionit f (x) = 0;

Shembulli 1:

Zgjidh pabarazinë:

(x - 2) (x + 7)< 0

Ne punojmë sipas metodës së intervaleve.

Hapi 1: zëvendësoni pabarazinë me ekuacionin dhe zgjidheni atë:

(x - 2) (x + 7) = 0

Produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Kemi dy rrënjë.

Hapi 2: shënoni këto rrënjë në vijën koordinative. Ne kemi:

Hapi 3: e gjejmë shenjën e funksionit në intervalin më të djathtë (në të djathtë të pikës së shënuar x = 2). Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni çdo numër që më shumë numra x = 2. Për shembull, merrni x = 3 (por askush nuk e ndalon marrjen e x = 4, x = 10 dhe madje x = 10,000).

f (x) = (x - 2) (x + 7)

f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 * 10 = 10

Marrim se f (3) = 10> 0 (10 është një numër pozitiv), kështu që vendosim një shenjë plus në intervalin më të djathtë.

Hapi 4: duhet të shënohen shenjat në intervalet e mbetura. Mos harroni se kur kaloni nëpër secilën rrënjë, shenja duhet të ndryshojë. Për shembull, në të djathtë të rrënjës x = 2 ka një plus (ne u siguruam për këtë në hapin e mëparshëm), kështu që duhet të ketë një minus në të majtë. Ky minus shtrihet në të gjithë intervalin (−7; 2), pra ka një minus në të djathtë të rrënjës x = −7. Prandaj, ka një plus në të majtë të rrënjës x = -7. Mbetet për të shënuar këto shenja në boshtin koordinativ.

Le të kthehemi te pabarazia origjinale, e cila dukej kështu:

(x - 2) (x + 7)< 0

Pra funksioni duhet të jetë më pak se zero... Prandaj, ne jemi të interesuar për shenjën minus, e cila shfaqet vetëm në një interval: (−7; 2). Kjo do të jetë përgjigja.

Shembulli 2:

Zgjidh pabarazinë:

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) ≥ 0

Zgjidhja:

Së pari ju duhet të gjeni rrënjët e ekuacionit

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) = 0

Le të palosim kllapin e parë, marrim:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Pasi zgjidhim këto ekuacione, marrim:

Le të vizatojmë pika në një vijë numerike:

Sepse x 2 dhe x 3 janë rrënjë të shumta, atëherë do të ketë një pikë në vijën e drejtë dhe mbi të " një lak”.

Merrni çdo numër më të vogël se pika më e majtë dhe zëvendësojeni atë në pabarazinë origjinale. Le të marrim numrin -1.

Mos harroni të përfshini zgjidhjen e ekuacionit (të gjetur X), sepse pabarazia jonë nuk është e rreptë.

Përgjigje: () U ∪ (3) ∪ (në intervalin (−6, 4) shenja nuk përcaktohet, pasi nuk është pjesë e domenit të funksionit). Për ta bërë këtë, merrni një pikë nga çdo interval, për shembull, 16, 8, 6 dhe −8, dhe llogaritni vlerën e funksionit f në to:

Nëse keni ndonjë pyetje se si u zbulua se cilat janë vlerat e llogaritura të funksionit, pozitive apo negative, atëherë studioni artikullin krahasimi i numrave.

Ne vendosim shenjat e sapopërcaktuara dhe aplikojmë hijezim mbi boshllëqet me një shenjë minus:

Si përgjigje, ne shkruajmë bashkimin e dy intervaleve me një shenjë -, kemi (−∞, −6] ∪ (7, 12). Vini re se −6 është përfshirë në përgjigje (pika përkatëse është e fortë, jo e shpuar jo zeron e funksionit (të cilin, kur zgjidhim një pabarazi strikte, nuk do ta përfshinim në përgjigje), por pikën kufitare të fushës së përkufizimit (është me ngjyrë, jo e zezë), gjatë hyrjes në domen. vlera e funksionit në këtë pikë është negative (siç dëshmohet nga shenja minus mbi intervalin përkatës), domethënë, plotëson pabarazinë, por 4 nuk ka nevojë të përfshihet në përgjigje (si gjithë intervali ∪ (7, 12).

Bibliografi.

1. Algjebra: Klasa 9: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm. institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009 .-- 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. A. G. Mordkovich Algjebër. Klasa 9. Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 13-të, Fshirë. - M .: Mnemozina, 2011 .-- 222 f.: Ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Algjebër dhe fillimi i analizës: Teksti mësimor. për 10-11 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - Botimi i 14-të - M .: Arsimi, 2004. - 384 f.: i sëmurë - ISBN 5-09-013651-3.
4. L. D. Kudryavtsev Lënda e analizës matematikore (në dy vëllime): Një tekst shkollor për studentët e universiteteve dhe kolegjeve teknike. - M .: Më e lartë. shkolla, 1981, t. 1. - 687 f., ill.

Niveli i parë

Metoda e intervaleve. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Thjesht duhet ta kuptoni këtë metodë dhe ta dini si në fund të dorës! Qoftë vetëm sepse përdoret për të zgjidhur pabarazitë racionale dhe sepse, duke e njohur mirë këtë metodë, është çuditërisht e lehtë për të zgjidhur këto pabarazi. Pak më vonë, do t'ju zbuloj disa sekrete se si të kurseni kohë në zgjidhjen e këtyre pabarazive. Epo, intriguar? Le të shkojmë atëherë!

Thelbi i metodës është në zbërthimin e pabarazisë në faktorë (përsëritni temën) dhe përcaktimin e ODV dhe shenjës së faktorëve, tani do të shpjegoj gjithçka. Le të marrim shembullin më të thjeshtë:.

Nuk ka nevojë të shkruani gamën e vlerave të lejueshme () këtu, pasi nuk ka ndarje nga një ndryshore, dhe radikalët (rrënjët) nuk vërehen këtu. Gjithçka këtu është tashmë e zbërthyer në faktorë për ne. Por mos u relaksoni, kjo është e gjitha për të kujtuar bazat dhe për të kuptuar thelbin!

Le të themi se nuk e njihni metodën e intervaleve, si do ta zgjidhnit këtë pabarazi? Afrohuni në mënyrë logjike dhe mbështetuni në atë që tashmë dini. Së pari, ana e majtë do të jetë më e madhe se zero nëse të dyja shprehjet në kllapa janë ose më të mëdha se zero ose më pak se zero, pasi Plus në plus është e barabartë me plus dhe minus me minus është e barabartë me plus, apo jo? Dhe nëse shenjat në shprehjet në kllapa janë të ndryshme, atëherë si rezultat ana e majtë do të jetë më pak se zero. Por çfarë na duhet për të gjetur vlerat në të cilat shprehjet në kllapa do të jenë negative apo pozitive?

Ne duhet të zgjidhim ekuacionin, është saktësisht njësoj si pabarazia, vetëm në vend të një shenje do të ketë një shenjë, rrënjët e këtij ekuacioni do të na lejojnë të përcaktojmë ato vlera kufitare, kur devijojmë nga të cilat faktorët do të jenë më të mëdhenj ose më pak se zero.

Dhe tani vetë intervalet. Çfarë është distanca? Ky është një interval i caktuar i një rreshti numerik, domethënë, të gjithë numrat e mundshëm të mbyllur midis dy disa numrave - skajet e intervalit. Nuk është aq e lehtë të imagjinoni këto boshllëqe në kokën tuaj, kështu që është zakon të vizatoni intervale, tani do t'ju mësoj.

Ne vizatojmë një bosht, mbi të është vendosur e gjithë seria e numrave nga dhe në. Pikat vizatohen në bosht, të ashtuquajturat zero të funksionit, vlerat në të cilat shprehja është e barabartë me zero. Këto pika janë "hequr" që do të thotë se ato nuk janë ndër ato vlera në të cilat pabarazia është e vërtetë. Në këtë rast ato shpohen sepse shenja në pabarazi dhe jo, pra rreptësisht më e madhe se dhe jo më e madhe ose e barabartë.

Dua të them se nuk është e nevojshme të shënohet zero, është pa rrathë këtu, dhe kështu, për të kuptuar dhe orientuar përgjatë boshtit. Mirë, u vizatua boshti, u vendosën pikat (më saktë, rrathët), atëherë çfarë, si do të më ndihmojë kjo në zgjidhje? - ju pyesni. Tani thjesht merrni vlerën për x nga intervalet në rend dhe zëvendësojini ato në pabarazinë tuaj dhe shikoni se cila do të jetë shenja si rezultat i shumëzimit.

Shkurtimisht, ne thjesht marrim për shembull, zëvendësojeni këtu, do të rezultojë, që do të thotë se në të gjithë intervalin (në të gjithë intervalin) nga deri në, nga i cili morëm, pabarazia do të jetë e vërtetë. Me fjalë të tjera, nëse x është nga deri, atëherë pabarazia është e vërtetë.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me një interval nga te, marrim ose, për shembull, zëvendësojmë në, përcaktojmë shenjën, shenja do të jetë "minus". Dhe ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin e fundit, të tretë nga deri në, ku shenja do të jetë "plus". Doli një tufë e tillë tekstesh, por ka pak qartësi, apo jo?

Hidhini një sy tjetër pabarazisë.

Tani në të njëjtin aks aplikojmë edhe shenjat që do të përftohen si rezultat. Vija e thyer, në shembullin tim, tregon seksionet pozitive dhe negative të boshtit.

Shikoni pabarazinë - në një vizatim, përsëri në pabarazi - dhe përsëri në një vizatim, a ka ndonje gje te qarte? Tani përpiquni të thoni në cilat intervale të x-it, pabarazia do të jetë e vërtetë. Kjo është e drejtë, nga në, pabarazia do të jetë e vërtetë nga në, dhe në intervalin nga në, pabarazia e zeros nuk na intereson pak, sepse ne kemi një shenjë në pabarazi.

Epo, pasi e keni kuptuar, atëherë është e lehtë - shkruani përgjigjen! Si përgjigje, ne shkruajmë ato intervale në të cilat ana e majtë është më e madhe se zero, e cila lexohet si x i përket intervalit nga minus pafundësia në minus një dhe nga dy në plus pafundësi. Vlen të sqarohet se kllapat nënkuptojnë se vlerat që kufizojnë intervalin nuk janë zgjidhje për pabarazinë, domethënë ato nuk përfshihen në përgjigje, por thonë vetëm se më parë, për shembull, por nuk është zgjidhje.

Tani një shembull në të cilin do të duhet të vizatoni jo vetëm intervalin:

Çfarë mendoni se duhet bërë përpara se të vizatohen pikat në bosht? Po, faktorojeni atë në faktorë:

Vizatojmë intervale dhe vendosim shenja, vëmë re pikat që kemi shpuar, sepse shenja është rreptësisht më e vogël se zero:

Është koha t'ju zbuloj një sekret që ju premtova në fillim të kësaj teme! Po sikur t'ju them se nuk mund të zëvendësoni vlerat nga çdo interval për të përcaktuar shenjën, por mund të përcaktoni shenjën në një nga intervalet, dhe në pjesën tjetër thjesht alternoni shenjat!

Kështu, kemi kursyer pak kohë në vendosjen e shenjave - mendoj se kjo kohë e fituar në provim nuk do të dëmtojë!

Ne shkruajmë përgjigjen:

Tani merrni parasysh një shembull të pabarazisë thyesore-racionale - një pabarazi, të dyja anët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Çfarë mund të thoni për këtë pabarazi? Dhe ju e shikoni atë si një ekuacion racional thyesor, çfarë të bëjmë fillimisht? Menjëherë shohim se nuk ka rrënjë, do të thotë se është padyshim racionale, por pastaj ka një thyesë, madje edhe me një të panjohur në emërues!

Kjo është e drejtë, ODZ është e nevojshme!

Pra, le të shkojmë më tej, këtu të gjithë faktorët përveç njërit kanë një ndryshore të shkallës së parë, por ka një faktor ku x është i shkallës së dytë. Zakonisht, shenja jonë ndryshonte pasi kalonim në njërën nga pikat në të cilat ana e majtë e pabarazisë merr vlerën zero, për të cilën përcaktuam se çfarë duhet të jetë e barabartë me x në secilin faktor. Dhe këtu, kështu që është gjithmonë pozitive, tk. çdo numër në katror> zero dhe një term pozitiv.

Çfarë mendoni se do të ndikojë në vlerën e pabarazisë? Është e drejtë - nuk do! Ne mund ta ndajmë pabarazinë në të dy pjesët në mënyrë të sigurtë dhe në këtë mënyrë ta heqim këtë shumëzues në mënyrë që sytë të mos jenë të pashpirt.

është koha për të nxjerrë intervalet, për këtë ju duhet të përcaktoni ato vlera kufitare, kur devijoni nga të cilat faktorët dhe do të jenë më të mëdhenj dhe më të vegjël se zero. Por vini re se këtu shenja nënkupton pikën në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr vlerë zero, nuk do ta heqim atë, sepse është një nga zgjidhjet, ne kemi një pikë të tillë, kjo është pika ku x është e barabartë me një. Dhe plotësoni pikën ku emëruesi është negativ? - Sigurisht që jo!

Emëruesi nuk duhet të jetë zero, kështu që intervali do të duket kështu:

Sipas kësaj skeme, mund të shkruani lehtësisht një përgjigje, do të them vetëm se tani keni në dispozicion një lloj të ri kllapash - katror! Këtu është një parantezë [ thotë se vlera përfshihet në intervalin e vendimeve, d.m.th. është pjesë e përgjigjes, kjo kllapa korrespondon me një pikë të mbushur (jo të shpuar) në bosht.

Ja, - morët të njëjtën përgjigje?

Ne faktorizojmë dhe transferojmë gjithçka në një drejtim, në fund të fundit, vetëm duhet të lëmë zero në të djathtë për t'u krahasuar me të:

Unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se në transformimin e fundit, për të marrë si në numërues ashtu edhe në emërues, i shumëzoj me të dyja anët e pabarazisë. Mos harroni se kur të dy anët e pabarazisë shumëzohen me, shenja e pabarazisë kthehet !!!

Ne shkruajmë ODZ:

Përndryshe, emëruesi do të zhduket, dhe siç e mbani mend, nuk mund të ndani me zero!

Ju duhet të pranoni se në pabarazinë që rezulton tundon të zvogëlohet në numërues dhe emërues! Kjo nuk mund të bëhet, ju mund të humbni disa nga zgjidhjet ose ODU!

Tani përpiquni të vizatoni vetë pikat në bosht. Do të vërej vetëm se kur vizatoni pika, duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që një pikë me një vlerë, e cila, në bazë të shenjës, duhet të duket se është e vizatuar në bosht si e pikturuar, nuk do të pikturohet, do të të shpohen! Pse pyet? Dhe ju ODZ mbani mend, nuk do të pjesëtoni me zero kështu?

Mos harroni, ODZ është mbi të gjitha! Nëse të gjitha pabarazitë dhe shenjat e barabarta thonë një gjë, dhe ODZ - një tjetër, besojini ODZ-së, të madh dhe të fuqishëm! Epo, ju i keni skicuar intervalet, jam i sigurt që keni ndjekur këshillën time për alternimin dhe e keni marrë kështu (shih foton më poshtë) Tani kryqëzojeni dhe mos e përsërisni më këtë gabim! Cili është gabimi? - ju pyesni.

Fakti është se në këtë pabarazi faktori u përsërit dy herë (e mbani mend se si u përpoqët ta zvogëloni?). Pra, nëse një faktor përsëritet në pabarazi një numër çift herë, atëherë kur kaloni nëpër një pikë të boshtit që e kthen këtë faktor në zero (në këtë rast, një pikë), shenja nuk do të ndryshojë, nëse është tek , atëherë shenja ndryshon!

Boshti i mëposhtëm do të jetë i saktë me ndarje dhe shenja:

Dhe, kini parasysh se shenja që na intereson nuk është ajo që ishte në fillim (kur sapo pamë pabarazinë, shenja ishte), pas transformimeve, shenja ndryshoi në, që do të thotë se na interesojnë intervalet me një shenjë.

Përgjigje:

Unë gjithashtu do të them se ka situata kur ka rrënjë pabarazie që nuk përfshihen në asnjë interval, si përgjigje ato shkruhen në kllapa kaçurrelë, si kjo, për shembull:. Mund të lexoni më shumë rreth situatave të tilla në artikullin e nivelit të mesëm.

Le të përmbledhim se si të zgjidhim pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit:

1. Lëvizni gjithçka në të majtë, lini vetëm zero në të djathtë;
2. Ne gjejmë ODZ-në;
3. Ne vizatojmë në bosht të gjitha rrënjët e pabarazisë;
4. Marrim një arbitrar nga njëri prej intervaleve dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, shenja alternative, duke i kushtuar vëmendje rrënjëve të përsëritura disa herë në pabarazi, nëse shenja ndryshon kur kalon apo jo, varet nga barazia ose rastësia e numrit të herëve që ato përsëriten;
5. Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e shpuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Dhe së fundi, rubrika jonë e preferuar, "bëje vetë"!

Shembuj:

Përgjigjet:

METODA E INTERVALIT. NIVELI MESATAR

Funksioni linear

Një funksion i formës quhet linear. Le të shqyrtojmë një funksion si shembull. Është pozitive në dhe negative në. Pika është zero e funksionit (). Le të tregojmë shenjat e këtij funksioni në boshtin numerik:

Themi se "funksioni ndryshon shenjën kur kalon nëpër një pikë."

Mund të shihet se shenjat e funksionit korrespondojnë me pozicionin e grafikut të funksionit: nëse grafiku është mbi bosht, shenja është "", nëse është poshtë - "".

Nëse e përgjithësojmë rregullin që rezulton në një funksion linear arbitrar, marrim algoritmin e mëposhtëm:

• Gjeni zeron e funksionit;
• E shënojmë në boshtin e numrave;
• Përcaktoni shenjën e funksionit në anët e kundërta të zeros.

Funksioni kuadratik

Shpresoj të mbani mend se si zgjidhen pabarazitë katrore? Nëse jo, lexoni temën. Më lejoni t'ju kujtoj formën e përgjithshme të funksionit kuadratik:.

Tani le të kujtojmë se cilat shenja duhen funksion kuadratik... Grafiku i tij është një parabolë, dhe funksioni merr shenjën "" kur parabola është mbi boshtin, dhe "" - nëse parabola është nën boshtin:

Nëse funksioni ka zero (vlerat në të cilat), parabola kryqëzon boshtin në dy pika - rrënjët e ekuacionit kuadratik përkatës. Kështu, boshti ndahet në tre intervale, dhe shenjat e funksionit ndryshojnë në mënyrë alternative kur kalojnë nëpër secilën rrënjë.

A është e mundur të përcaktohen disi shenjat pa vizatuar një parabolë çdo herë?

Kujtojmë se trinomi katror mund të faktorizohet:

Për shembull: .

Le të shënojmë rrënjët në bosht:

Kujtojmë se shenja e një funksioni mund të ndryshojë vetëm kur kalon nëpër rrënjë. Ne përdorim këtë fakt: për secilin nga tre intervalet në të cilat boshti ndahet me rrënjë, mjafton të përcaktohet shenja e funksionit vetëm në një pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare: në pikat e tjera të intervalit, shenja do të jetë njëjtë.

Në shembullin tonë: për, të dyja shprehjet në kllapa janë pozitive (zëvendësoni, për shembull :). Ne vendosim shenjën "" në bosht:

Epo, për (zëvendësoni, për shembull,) të dy kllapat janë negative, që do të thotë se produkti është pozitiv:

Kjo është ajo që është metoda e intervalit: duke ditur shenjat e faktorëve në çdo interval, përcaktojmë shenjën e të gjithë produktit.

Le të shqyrtojmë edhe rastet kur funksioni nuk ka zero, ose ka vetëm një.

Nëse nuk janë aty, atëherë nuk ka rrënjë. Kjo do të thotë që nuk do të ketë as "kalim rrënjësor". Kjo do të thotë që funksioni merr vetëm një shenjë në të gjithë boshtin numerik. Është e lehtë për ta përcaktuar atë duke e zëvendësuar atë në një funksion.

Nëse ka vetëm një rrënjë, parabola prek boshtin, kështu që shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër rrënjë. Çfarë rregulli mund të nxjerrim për situata të tilla?

Nëse faktorizoni një funksion të tillë, merrni dy faktorë identikë:

Dhe çdo shprehje në katror është jonegative! Prandaj, shenja e funksionit nuk ndryshon. Në raste të tilla, ne do të zgjedhim një rrënjë, duke kaluar nëpër të cilën shenja nuk ndryshon, duke e rrethuar atë me një katror:

Një rrënjë e tillë do të quhet e shumëfishtë.

Metoda e intervaleve në pabarazi

Tani çdo pabarazi katrore mund të zgjidhet pa vizatuar një parabolë. Mjafton vetëm renditja e shenjave të funksionit kuadratik në bosht dhe zgjedhja e intervaleve në varësi të shenjës së pabarazisë. Për shembull:

Le të matim rrënjët në bosht dhe të vendosim shenjat:

Na duhet pjesa e boshtit me shenjën ""; meqenëse pabarazia nuk është e rreptë, vetë rrënjët përfshihen gjithashtu në zgjidhje:

Tani merrni parasysh një pabarazi racionale - një pabarazi, të dyja anët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Shembull:

Të gjithë faktorët përveç një - - këtu janë "linearë", domethënë, ata përmbajnë variablin vetëm në shkallën e parë. Na duhen faktorë të tillë linearë për të aplikuar metodën e intervaleve - shenja ndryshon kur kalon nëpër rrënjët e tyre. Por faktori nuk ka rrënjë fare. Kjo do të thotë që është gjithmonë pozitiv (kontrollojeni vetë), dhe për këtë arsye nuk ndikon në shenjën e të gjithë pabarazisë. Kjo do të thotë që ne mund të ndajmë anën e majtë dhe të djathtë të pabarazisë në të, dhe kështu të heqim qafe atë:

Tani gjithçka është njësoj siç ishte me pabarazitë katrore: ne përcaktojmë se në cilat pika zhduket secili prej faktorëve, shënoni këto pika në bosht dhe vendosim shenja. Dëshiroj të tërheq vëmendjen tuaj për një fakt shumë të rëndësishëm:

Përgjigje:. Shembull:.

Për të aplikuar metodën e intervaleve, është e nevojshme që në një nga pjesët e pabarazisë ishte. Prandaj, ne do të lëvizim anën e djathtë në të majtë:

Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin shumëzues, por ne nuk nxitojmë ta zvogëlojmë atë! Në fund të fundit, atëherë mund të harrojmë ta heqim këtë pikë. Është më mirë ta shënoni këtë rrënjë si një shumëfish, domethënë, kur kaloni nëpër të, shenja nuk do të ndryshojë:

Përgjigje:.

Dhe një shembull shumë ilustrues:

Përsëri, ne nuk anulojmë të njëjtët faktorë të numëruesit dhe emëruesit, sepse nëse anulojmë, do të duhet të kujtojmë në mënyrë specifike se duhet të theksojmë një pikë.

• : herë të përsëritura;
• : herë;
• : herë (në numërues dhe një në emërues).

Në rastin e një numri çift, veprojmë njësoj si më parë: rrethoni pikën me një katror dhe mos e ndryshoni shenjën kur kaloni nëpër rrënjë. Por në rastin e një numri tek, ky rregull nuk respektohet: shenja do të ndryshojë akoma kur kalon përmes rrënjës. Prandaj, ne nuk bëjmë asgjë shtesë me një rrënjë të tillë, sikur të mos jetë një shumëfish i saj. Rregullat e mësipërme zbatohen për të gjitha shkallët tek dhe çift.

Çfarë do të shkruajmë në përgjigje?

Nëse shkelet alternimi i shenjave, duhet të keni shumë kujdes, sepse nëse pabarazia nuk është e rreptë, përgjigja duhet të jetë të gjitha pikat e mbushura... Por disa nga përpjekjet shpesh qëndrojnë të vetme, domethënë, nuk hyjnë në zonën e hijes. Në këtë rast, ne i shtojmë ato në përgjigje si pika të izoluara (në kllapa kaçurrelë):

Shembuj (vendosni vetë):

Përgjigjet:

1. Nëse është e thjeshtë midis shumëzuesve, kjo është rrënja, sepse mund të përfaqësohet si.
   .

METODA E INTERVALIT. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Metoda e intervalit përdoret për zgjidhjen e pabarazive racionale. Ai konsiston në përcaktimin e shenjës së produktit nga shenjat e faktorëve në intervale të ndryshme.

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive racionale me metodën e intervaleve.

• Lëvizni gjithçka në të majtë, lini vetëm zero në të djathtë;
• Ne gjejmë ODZ-në;
• Ne vizatojmë në bosht të gjitha rrënjët e pabarazisë;
• Marrim një arbitrar nga njëri prej intervaleve dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, shenja alternative, duke i kushtuar vëmendje rrënjëve të përsëritura disa herë në pabarazi, nëse shenja ndryshon kur kalon apo jo, varet nga barazia ose rastësia e numrit të herëve që ato përsëriten;
• Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e shpuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, atëherë jeni shumë cool.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në atë 5%!

Tani vjen gjëja më e rëndësishme.

Ju kuptove teorinë për këtë temë. Dhe, përsëri, kjo është ... është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për të kaluar me sukses provimin, për të hyrë në institut me një buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Këto janë statistika.

Por as kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më tepër mundësi të hapura para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? Nuk e di...

Por mendoni vetë ...

Çfarë duhet për të qenë me siguri më i mirë se të tjerët në provim dhe në fund të fundit ... më i lumtur?

MERRNI NJË ZGJIDHJE TË PROBLEMEVE MBI KËTË TEMË.

Në provim, nuk do t'ju kërkohet teori.

Do t'ju duhet zgjidhni problemet për një kohë.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), Me siguri do të shkoni diku gabimisht marrëzi ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisësh vazhdimisht për të fituar me siguri.

Gjeni një koleksion ku dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të detajuara dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të mbushni dorën me ndihmën e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Ndani të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 r
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e tutorialit - 999 rubla

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja për të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapet menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për çdo temë, për të gjitha nivelet e vështirësisë." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë një dorezë për zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet gjatë gjithë jetës së sajtit.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë di të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni!