Sot do të mësojmë se si të katrorë shpejt shprehjet e mëdha pa një makinë llogaritëse. Në përgjithësi nënkuptoj numrat midis dhjetë dhe njëqind. Shprehjet e mëdha janë jashtëzakonisht të rralla në problemet reale, dhe ju tashmë e dini se si të numëroni vlerat më pak se dhjetë, sepse kjo është një tabelë e rregullt shumëzimi. Materiali i mësimit të sotëm do të jetë i dobishëm për studentët mjaft me përvojë, sepse studentët fillestarë thjesht nuk do ta vlerësojnë shpejtësinë dhe efektivitetin e kësaj teknike.
Për të filluar, le të kuptojmë në përgjithësi për çfarë po flasim. Për shembull, unë propozoj të bëjmë ndërtimin e një shprehjeje numerike arbitrare, siç bëjmë zakonisht. Le të themi 34. E ngremë duke e shumëzuar në vetvete me një kolonë:
\[((34)^(2))=\herë \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 është katrori 34.
Problemi i kësaj metode mund të përshkruhet në dy pika:
1) kërkon regjistrim me shkrim;
2) është shumë e lehtë të bësh një gabim në procesin e llogaritjes.
Sot do të mësojmë se si të shumëzojmë shpejt pa një kalkulator, verbalisht dhe praktikisht pa gabime.
Pra, le të fillojmë. Për të punuar, na duhet formula për katrorin e shumës dhe diferencës. Le t'i shkruajmë ato:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Çfarë na jep kjo? Fakti është se çdo vlerë ndërmjet 10 dhe 100 mund të përfaqësohet si një numër $a$, i cili pjesëtohet me 10, dhe një numër $b$, që është pjesa e mbetur e pjesëtimit me 10.
Për shembull, 28 mund të përfaqësohet si më poshtë:
\[\fillim(rreshtoj)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\fund (rreshtoj)\]
Në mënyrë të ngjashme, ne paraqesim shembujt e mbetur:
\[\fillim(rreshtoj)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\filloj(rreshtoj)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillo(rreshtoj)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillo(rreshtoj)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillo(rreshtoj)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\fund (rreshtoj)\]
Çfarë na jep një ide të tillë? Fakti është se me shumën ose ndryshimin, ne mund të zbatojmë llogaritjet e mësipërme. Natyrisht, për të shkurtuar llogaritjet, për secilin nga elementët duhet zgjedhur një shprehje me termin e dytë më të vogël. Për shembull, nga opsionet $20+8$ dhe $30-2$, duhet të zgjidhni opsionin $30-2$.
Në mënyrë të ngjashme, ne zgjedhim opsione për shembuj të tjerë:
\[\fillim(rreshtoj)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\fund (rreshtoj)\]
\[\fillim(rreshtoj)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\fund (rreshtoj)\]
Pse duhet të përpiqemi të zvogëlojmë termin e dytë në shumëzimin e shpejtë? Gjithçka ka të bëjë me llogaritjet fillestare të katrorit të shumës dhe diferencës. Fakti është se termi plus ose minus $2ab$ është më i vështiri për t'u llogaritur kur zgjidhen probleme reale. Dhe nëse faktori $a$, një shumëfish i 10-ës, shumëzohet gjithmonë lehtësisht, atëherë me faktorin $b$, i cili është një numër midis një dhe dhjetë, shumë studentë rregullisht kanë vështirësi.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Pra, në tre minuta bëmë shumëzimin e tetë shembujve. Kjo është më pak se 25 sekonda për shprehje. Në realitet, pas pak praktikë, do të numëroni edhe më shpejt. Do t'ju duhen jo më shumë se pesë ose gjashtë sekonda për të llogaritur çdo shprehje dyshifrore.
Por kjo nuk është e gjitha. Për ata të cilëve teknika e treguar nuk duket mjaft e shpejtë dhe jo mjaft e lezetshme, unë ofroj një metodë shumëzimi edhe më të shpejtë, e cila megjithatë nuk funksionon për të gjitha detyrat, por vetëm për ato që ndryshojnë me një nga shumëfishat e 10. Atje janë katër vlera të tilla në mësimin tonë: 51, 21, 81 dhe 39.
Do të dukej shumë më shpejt, ne tashmë i numërojmë ato fjalë për fjalë në disa rreshta. Por, në fakt, është e mundur të përshpejtohet, dhe kjo bëhet si më poshtë. Ne shkruajmë vlerën, një shumëfish i dhjetës, që është më afër vlerës së dëshiruar. Për shembull, le të marrim 51. Prandaj, për të filluar, do të ngremë pesëdhjetë:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Vlerat që janë shumëfisha të dhjetës janë shumë më të lehta për t'u katrorë. Dhe tani ne thjesht shtojmë pesëdhjetë dhe 51 në shprehjen origjinale. Përgjigja do të jetë e njëjtë:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Dhe kështu me të gjithë numrat që ndryshojnë nga një.
Nëse vlera që kërkojmë është më e madhe se ajo që mendojmë, atëherë i shtojmë numra katrorit që rezulton. Nëse numri i dëshiruar është më i vogël, si në rastin e 39, atëherë gjatë kryerjes së veprimit, vlera duhet të zbritet nga katrori. Le të praktikojmë pa përdorur një kalkulator:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Siç mund ta shihni, në të gjitha rastet përgjigjet janë të njëjta. Për më tepër, kjo teknikë është e zbatueshme për çdo vlerë ngjitur. Për shembull:
\[\fillim(rreshtoj)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\fund (rreshtoj)\]
Në të njëjtën kohë, nuk kemi nevojë të kujtojmë fare llogaritjet e katrorëve të shumës dhe ndryshimit dhe të përdorim një kalkulator. Shpejtësia e punës është përtej lavdërimit. Prandaj, mbani mend, praktikoni dhe përdorni në praktikë.
Pikat kryesore
Duke përdorur këtë teknikë, ju mund të shumëzoni lehtësisht çdo numër natyror që varion nga 10 në 100. Për më tepër, të gjitha llogaritjet kryhen me gojë, pa kalkulator dhe madje edhe pa letër!
Së pari, mbani mend katrorët e vlerave që janë shumëfish të 10:
\[\filloj(rreshtoj)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\fund (radhis)\]
\[\filloj(rreshtoj)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\fund (radhis)\]
\[\filloj(rreshtoj)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\fund (radhis)\]
Si të numëroni edhe më shpejt
Por kjo nuk është e gjitha! Duke përdorur këto shprehje, ju mund të bëni menjëherë katrorin e numrave që janë "në afërsi" me ato të referencës. Për shembull, ne e dimë 152 (vlerën e referencës), por duhet të gjejmë 142 (një numër ngjitur që është një më pak se referenca). Le të shkruajmë:
\[\fillo(rreshtoj)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\fund (radhis)\]
Ju lutemi vini re: jo misticizëm! Sheshat e numrave që ndryshojnë me 1 fitohen me të vërtetë duke shumëzuar numrat e referencës me veten e tyre duke zbritur ose shtuar dy vlera:
\[\filloj(rreshtoj)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\fund (radhis)\]
Pse ndodh? Le të shkruajmë formulën për katrorin e shumës (dhe diferencës). Le të jetë $n$ vlera jonë e referencës. Pastaj ata numërojnë kështu:
\[\filloj(rreshtoj)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\fund (rreshtoj)\]
- kjo është formula.
\[\filloj(rreshtoj)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\fund (rreshtoj)\]
- një formulë e ngjashme për numrat më të mëdhenj se 1.
Shpresoj se kjo teknikë do t'ju kursejë kohë në të gjitha testet dhe provimet e rëndësishme në matematikë. Dhe kjo është e gjitha për mua. Shihemi!
Katrori i një numri është rezultat i një veprimi matematikor që e ngre atë numër në fuqinë e dytë, domethënë e shumëzon atë numër me vete një herë. Është e zakonshme të caktohet një operacion i tillë si më poshtë: Z2, ku Z është numri ynë, 2 është shkalla e "katrorit". Artikulli ynë do t'ju tregojë se si të llogaritni katrorin e një numri.
Llogaritni katrorin
Nëse numri është i thjeshtë dhe i vogël, atëherë është e lehtë për ta bërë atë ose me mendje, ose duke përdorur tabelën e shumëzimit, e cila është e njohur për të gjithë ne. Për shembull:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Nëse numri është i madh ose "i madh", atëherë mund të përdorni ose tabelën e katrorëve që të gjithë kanë mësuar në shkollë, ose një kalkulator. Për shembull:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Gjithashtu, për të marrë rezultatin e dëshiruar për dy shembujt e mësipërm, mund t'i shumëzoni këta numra në një kolonë.
Për të marrë katrorin e çdo thyese, duhet:
- Shndërroni një thyesë (nëse thyesa ka një pjesë të plotë ose nëse është dhjetore) në një thyesë jo të duhur. Nëse thyesa është e saktë, atëherë asgjë nuk duhet të përkthehet.
- Shumëzojmë emëruesin me emëruesin dhe numëruesin me numëruesin e thyesës.
Për shembull:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
Në cilindo nga këto opsione, mënyra më e lehtë është të përdorni një kalkulator. Për këtë ju duhet:
- Shkruani një numër në tastierë
- Klikoni në butonin me shenjën e shumëzimit
- Shtypni butonin me shenjën "barabartë".
Ju gjithashtu mund të përdorni gjithmonë motorë kërkimi në internet, të tilla si, për shembull, Google. Për ta bërë këtë, thjesht duhet të futni pyetjen e duhur në fushën e motorit të kërkimit dhe të merrni një rezultat të gatshëm.
Për shembull: për të llogaritur katrorin e numrit 9.17, duhet të shkruani në motorin e kërkimit 9.17 * 9.17, ose 9.17 ^ 2, ose "9.17 në katror". Në cilindo nga këto opsione, motori i kërkimit do t'ju japë rezultatin e saktë - 84.0889.
Tani ju e dini se si të llogaritni katrorin e çdo numri që ju intereson, qoftë ai një numër i plotë apo një thyesë, i madh apo i vogël!
Formulat e shkurtuara të shumëzimit.
Studimi i formulave të shumëzimit të shkurtuar: katrori i shumës dhe katrori i ndryshimit të dy shprehjeve; dallimi i katrorëve të dy shprehjeve; kubi i shumës dhe kubi i ndryshimit të dy shprehjeve; shumat dhe dallimet e kubeve të dy shprehjeve.
Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.
Për të thjeshtuar shprehjet, për të faktorizuar polinomet dhe për të reduktuar polinomet në një formë standarde, përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit. Formulat e shkurtuara të shumëzimit që duhet të dini përmendësh.
Le të a, b R. Pastaj:
1. Katrori i shumës së dy shprehjeve është katrori i shprehjes së parë plus dyfishi i produktit të shprehjes së parë dhe i dyti plus katrori i shprehjes së dytë.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Katrori i diferencës së dy shprehjeve është katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Dallimi i katrorëve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre shprehjeve dhe shumën e tyre.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. kubi i shumës i dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e katrorit të shprehjes së parë, të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë, me katrorin e të dytës plus kubin e shprehjes së dytë.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. kubi i diferencës i dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehjes së dytë.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Shuma e kubeve dy shprehje është e barabartë me produktin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë me katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Dallimi i kubeve i dy shprehjeve është i barabartë me produktin e ndryshimit të shprehjes së parë dhe të dytë me katrorin jo të plotë të shumës së këtyre shprehjeve.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.
Shembulli 1
Llogaritni
a) Duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve, kemi
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Duke përdorur formulën për diferencën në katror të dy shprehjeve, marrim
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Shembulli 2
Llogaritni
Duke përdorur formulën për ndryshimin e katrorëve të dy shprehjeve, marrim
Shembulli 3
Thjeshtimi i shprehjes
(x - y) 2 + (x + y) 2
Ne përdorim formulat për katrorin e shumës dhe katrorin e ndryshimit të dy shprehjeve
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Formulat e shkurtuara të shumëzimit në një tabelë:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
