Në detyrën e dymbëdhjetë të OGE në matematikën e modulit Algjebër, ne testojmë njohuritë e transformimeve - rregullat për zgjerimin e kllapave, heqjen e variablave nga kllapat, reduktimin e thyesave në një emërues të përbashkët dhe njohuri për formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Thelbi i detyrës është të thjeshtoni shprehjen e specifikuar në kusht: mos i zëvendësoni menjëherë vlerat në shprehjen origjinale. Së pari duhet ta thjeshtoni atë dhe më pas të zëvendësoni vlerën - të gjitha detyrat janë të strukturuara në atë mënyrë që pas thjeshtimit, ju duhet të kryeni vetëm një ose dy veprime të thjeshta.

Është e nevojshme të merren parasysh vlerat e lejuara të ndryshoreve të përfshira në shprehjet algjebrike, të përdoren vetitë e një fuqie me një eksponent numër të plotë, rregullat për nxjerrjen e rrënjëve dhe formulat për shumëzim të shkurtuar.

Përgjigja në problem është një numër i plotë ose një thyesë dhjetore përfundimtare.

Teoria për detyrën numër 12

Para së gjithash, le të kujtojmë se çfarë është një diplomë dhe

Përveç kësaj, ne kemi nevojë formulat e shkurtuara të shumëzimit:

Shuma në katror

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Diferenca në katror

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Dallimi i katrorëve

a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)

Kubi i shumës

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Kubi i diferencës

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Shuma e kubeve

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Dallimi i kubeve

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

rregullat veprimet me thyesa :

Analiza e opsioneve tipike për detyrën nr. 12 të OGE në matematikë

Varianti i parë i detyrës

Gjeni vlerën e shprehjes: (x + 5) 2 - x (x- 10) në x = - 1/20

Zgjidhja:

Në këtë rast, si pothuajse në të gjitha detyrat nr. 7, fillimisht duhet të thjeshtoni shprehjen, për këtë hapim kllapat:

(x + 5) 2 - x (x - 10) = x 2 + 2 5 x + 25 - x 2 + 10x

Pastaj ne japim terma të ngjashëm:

x 2 + 2 5 x + 25 - x 2 + 10x = 20 x + 25

20 x + 25 = 20 (-1/20) + 25 = - 1 + 25 = 24

Varianti i dytë i detyrës

Gjeni kuptimin e shprehjes:

me a = 13, b = 6.8

Zgjidhja:

Në këtë rast, ndryshe nga e para, do ta thjeshtojmë shprehjen duke hequr kllapat dhe jo duke i zgjeruar ato.

Ju mund të vini re menjëherë se b është i pranishëm në thyesën e parë në numërues, dhe në të dytën në emërues, kështu që ne mund t'i zvogëlojmë ato. Shtatë dhe katërmbëdhjetë reduktohen gjithashtu me shtatë:

Zvogëloni (a-b):

Dhe ne marrim:

Zëvendësoni vlerën a = 13:

Varianti i tretë i detyrës

Gjeni kuptimin e shprehjes:

në x = √45, y = 0,5

Zgjidhja:

Pra, në këtë detyrë, kur zbresim thyesat, duhet t'i sjellim ato në një emërues të përbashkët.

Emëruesi i përbashkët është 15 x y, për këtë ju duhet të shumëzoni fraksionin e parë me 5 y - dhe numëruesi dhe emëruesi, natyrisht:

Le të llogarisim numëruesin:

5 y - (3 x + 5 y) = 5 vjec- 3 x - 5 vjec= - 3 x

Atëherë thyesa do të marrë formën:

Duke kryer shkurtesat e thjeshta të numëruesit dhe emëruesit me 3 dhe me x, marrim:

Zëvendësoni vlerën për y = 0,5:

1 / (5 0,5) = - 1 / 2,5 = - 0,4

Përgjigje: - 0.4

Versioni demonstrues i OGE 2019

Gjeni kuptimin e shprehjes

ku a = 9, b = 36

Zgjidhja:

Para së gjithash, në detyrat e këtij lloji, është e nevojshme të thjeshtoni shprehjen, dhe më pas të zëvendësoni numrat.

Le ta sjellim shprehjen në një emërues të përbashkët - kjo është b, për këtë shumëzojmë termin e parë me b, pas kësaj marrim numëruesin:

9b² + 5a - 9b²

Këtu janë terma të ngjashëm - këto janë 9b² dhe - 9b², numëruesi mbetet 5a.

Le të shkruajmë thyesën përfundimtare:

Le të llogarisim vlerën e tij duke zëvendësuar numrat nga kushti:

Përgjigje: 1.25

Varianti i katërt i detyrës

Gjeni kuptimin e shprehjes:

në x = 12.

Zgjidhja:

Le të bëjmë transformime identike të shprehjes për ta thjeshtuar atë.

Hapi i parë - kalimi nga ndarja e thyesave në shumëzimin e tyre:

tani e zvogëlojmë shprehjen (në numëruesin e thyesës së parë dhe në emëruesin e së dytës) dhe vijmë në një formë krejtësisht të thjeshtuar:

Zëvendësoni vlerën numerike për x në shprehjen që rezulton dhe gjeni rezultatin:

Në detyrën numër 12 të USE në matematikë të nivelit të profilit, duhet të gjejmë vlerën më të madhe ose më të vogël të funksionit. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të përdoret, padyshim, një derivat. Le të shohim një shembull tipik.

Analiza e opsioneve tipike për detyrat nr. 12 të USE në matematikë të nivelit të profilit

Varianti i parë i detyrës (versioni demo 2018)

Gjeni pikën maksimale të funksionit y = ln (x + 4) 2 + 2x + 7.

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Gjeni derivatin.
2. Ne e shkruajmë përgjigjen.

Zgjidhja:

1. Ne jemi duke kërkuar për vlerat e x në të cilat logaritmi ka kuptim. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim pabarazinë:

Sepse katrori i çdo numri është jonegativ. Zgjidhja e pabarazisë do të jetë vetëm vlera e x për të cilën x + 4 ≠ 0, d.m.th. për x ≠ -4.

2. Gjeni derivatin:

y '= (ln (x + 4) 2 + 2x + 7)'

Nga vetia e logaritmit, marrim:

y '= (ln (x + 4) 2)' + (2x) '+ (7)'.

Sipas formulës për derivatin e një funksioni kompleks:

(lnf) '= (1 / f) ∙ f'. Kemi f = (x + 4) 2

y, = (ln (x + 4) 2) '+ 2 + 0 = (1 / (x + 4) 2) ∙ ((x + 4) 2)' + 2 = (1 / (x + 4) 2 2) ∙ (x 2 + 8x + 16) '+ 2 = 2 (x + 4) / ((x + 4) 2) + 2

y '= 2 / (x + 4) + 2

3. Barazoni derivatin me zero:

y, = 0 → (2 + 2 ∙ (x + 4)) / (x + 4) = 0,

2 + 2x +8 = 0, 2x + 10 = 0,

Varianti i dytë i detyrës (nga Yashchenko, nr. 1)

Gjeni pikën minimale të funksionit y = x - ln (x + 6) + 3.

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Përcaktoni shtrirjen e funksionit.
2. Gjeni derivatin.
3. Përcaktoni në cilat pika derivati ​​është 0.
4. Ne përjashtojmë pikat që nuk i përkasin zonës së përkufizimit.
5. Ndër pikat e mbetura, ne jemi duke kërkuar për vlerat e x në të cilat funksioni ka një minimum.
6. Ne e shkruajmë përgjigjen.

Zgjidhja:

2. Gjeni derivatin e funksionit:

3. Barazoni shprehjen që rezulton me zero:

4. Mori një pikë x = -5, që i përket domenit të funksionit.

5. Në këtë pikë funksioni ka një ekstrem. Le të kontrollojmë nëse kjo është minimumi. Kur x = -4

Për x = -5.5, derivati ​​i funksionit është negativ, pasi

Prandaj, pika x = -5 është pika minimale.

Varianti i tretë i detyrës (nga Yashchenko, nr. 12)

Gjeni vlerën më të madhe të funksionit në segmentin [-3; 1].

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Gjeni derivatin.
2. Përcaktoni në cilat pika derivati ​​është 0.
3. Ne përjashtojmë pikat që nuk i përkasin segmentit të specifikuar.
4. Ndër pikat e mbetura, ne jemi duke kërkuar për vlerat e x në të cilat funksioni ka një maksimum.
5. Gjeni vlerat e funksionit në skajet e segmentit.
6. Ne jemi duke kërkuar për më të madhin ndër vlerat e marra.
7. Ne e shkruajmë përgjigjen.

Zgjidhja:

1. Llogaritim derivatin e funksionit, marrim

Provimi i Unifikuar i Shtetit në Matematikë të Nivelit Bazë përbëhet nga 20 detyra. Në detyrën 12, testohen aftësitë për të zgjedhur opsionin më të mirë nga ato të propozuara. Studenti duhet të jetë në gjendje të vlerësojë opsionet e mundshme dhe të zgjedhë atë më optimale. Këtu mund të mësoni se si të zgjidhni detyrën 12 USE në matematikën bazë, si dhe të studioni shembuj dhe zgjidhje bazuar në detyrat e detajuara.

Të gjitha detyrat USE bazojnë të gjitha detyrat (263) caktimin bazë USE 1 (5) caktimin bazë USE 2 (6) caktimin bazë USE 3 (45) caktimin bazë USE 4 (33) caktimin bazë USE 5 (2) caktimin bazë USE 6 (44 ) Caktimi i bazës USE 7 (1) Caktimi i bazës USE 8 (12) Caktimi i bazës USE 10 (22) caktimi i bazës USE 12 (5) caktimi i bazës USE 13 (20) caktimi i bazës USE 15 (13) caktimi i bazës USE 19 (23) Detyra bazë e Provimit të Unifikuar të Shtetit 20 (32)

Mesatarisht, shtetasi A. gjatë ditës konsumon energji elektrike në muaj

Qytetari A. mesatarisht gjatë ditës konsumon K kWh energji elektrike në muaj, ndërsa natën - L kWh energji elektrike. Më parë, A. kishte një matës me një tarifë të instaluar në banesën e tij dhe ai paguante për të gjithë energjinë elektrike me një tarifë prej M rubla. për kWh Një vit më parë A. instaloi njehsor me dy tarifa, ndërsa konsumi ditor i energjisë elektrike paguhet në masën N rubla. për kWh, dhe konsumi i natës paguhet në masën P rubla. për kWh Gjatë muajve R, regjimi i konsumit dhe tarifat për pagesën e energjisë elektrike nuk kanë ndryshuar. Sa më shumë do të kishte paguar A. për këtë periudhë nëse matësi nuk do të kishte ndryshuar? Jepni përgjigjen tuaj në rubla.

Kur ndërtoni një shtëpi rurale, mund të përdorni një nga dy llojet e themeleve.

Kur ndërtoni një shtëpi rurale, mund të përdorni një nga dy llojet e themeleve: guri ose betoni. Një themel guri kërkon një ton gur natyror dhe B thasë çimento. Një themel betoni kërkon C ton gur të grimcuar dhe thasë D çimento. Një ton gur kushton E rubla, guri i grimcuar kushton F rubla për ton dhe një qese çimento kushton G rubla. Sa rubla do të kushtojë materiali i themelit nëse zgjidhni opsionin më të lirë?

Problemi përfshihet në USE në matematikë të nivelit bazë për klasën 11 nën numrin 12.

Sa rubla do të duhet të paguani për udhëtimin më të lirë për tre

Një familje me tre anëtarë planifikon të udhëtojë nga Shën Petersburg në Vologda. Mund të shkoni me tren, ose mundeni - me makinën tuaj. Një biletë treni për një person kushton N rubla. Një makinë konsumon K litra benzinë ​​për L kilometra, distanca përgjatë autostradës është M km, dhe çmimi i benzinës është P rubla për litër. Sa rubla do të duhet të paguani për udhëtimin më të lirë për tre?

Problemi përfshihet në USE në matematikë të nivelit bazë për klasën 11 nën numrin 12.

Kur ndërton një shtëpi, kompania përdor një nga llojet e themeleve

Kur ndërton një shtëpi, kompania përdor një nga llojet e themeleve: bllok betoni ose shkumë. Për një themel të bërë nga blloqe shkumë, ju nevojiten K metër kub blloqe shkume dhe L qese çimentoje. Një themel betoni kërkon M ton gur të grimcuar dhe N thasë çimento. Një metër kub blloqe shkumë kushton A rubla, guri i grimcuar kushton B rubla për ton dhe një qese çimento kushton C rubla. Sa do të kushtojë materiali nëse zgjidhni opsionin më të lirë?

Arsimi i mesëm i përgjithshëm

Linja UMK G.K. Muravin. Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore (10-11) (të thelluara)

Linja UMK Merzlyak. Algjebra dhe fillimet e analizës (10-11) (U)

matematika

Përgatitja për provimin e matematikës (niveli i profilit): detyra, zgjidhje dhe shpjegime

Ne analizojmë detyrat dhe zgjidhim shembuj me një mësues

Puna e provimit në nivel profili zgjat 3 orë 55 minuta (235 minuta).

Pragu minimal- 27 pikë.

Punimi i provimit përbëhet nga dy pjesë, të cilat ndryshojnë në përmbajtje, kompleksitet dhe numër detyrash.

Tipari përcaktues i secilës pjesë të punës është forma e detyrave:

• Pjesa 1 përmban 8 detyra (detyrat 1-8) me një përgjigje të shkurtër në formën e një numri të plotë ose të një thyese dhjetore përfundimtare;
• Pjesa 2 përmban 4 detyra (detyrat 9-12) me një përgjigje të shkurtër në formën e një numri të plotë ose një thyese dhjetore përfundimtare dhe 7 detyra (detyrat 13-19) me një përgjigje të detajuar (një regjistrim i plotë i zgjidhjes me arsyetimin e veprimet e kryera).

Panova Svetlana Anatolievna, mësues i matematikës i kategorisë më të lartë të shkollës, përvojë pune 20 vjet:

“Për të marrë certifikatën e shkollës, maturanti duhet të kalojë dy provime të detyrueshme në formën e Provimit të Unifikuar të Shtetit, njëri prej të cilëve është matematika. Në përputhje me Konceptin për Zhvillimin e Edukimit Matematik në Federatën Ruse, Provimi i Unifikuar i Shtetit në Matematikë është i ndarë në dy nivele: bazë dhe të specializuar. Sot do të shqyrtojmë opsionet për nivelin e profilit.

Detyra numër 1- teston aftësitë e pjesëmarrësve në USE për të zbatuar aftësitë e fituara në kursin e klasave 5-9 në matematikën fillore në veprimtari praktike. Pjesëmarrësi duhet të ketë aftësi llogaritëse, të jetë i aftë të punojë me numra racional, të jetë në gjendje të rrumbullakos thyesat dhjetore, të jetë në gjendje të konvertojë një njësi matëse në një tjetër.

Shembulli 1. Në banesën ku jeton Pjetri, u vendos një matës uji i ftohtë. Me 1 maj matësi tregoi një konsum prej 172 metër kub. m ujë, dhe më 1 qershor - 177 metra kub. m. Çfarë shumë duhet të paguajë Pjetri për ujë të ftohtë për maj, nëse çmimi është 1 metër kub. m ujë të ftohtë është 34 rubla 17 kopecks? Jepni përgjigjen tuaj në rubla.

Zgjidhja:

1) Le të gjejmë sasinë e ujit të shpenzuar në muaj:

177 - 172 = 5 (metra kub)

2) Le të gjejmë sa para do të paguhen për ujin e shpenzuar:

34,17 5 = 170,85 (fshij)

Përgjigje: 170,85.

Detyra numër 2-është një nga detyrat më të thjeshta të provimit. Shumica e të diplomuarve e përballojnë me sukses atë, gjë që dëshmon për zotërimin e përkufizimit të konceptit të funksionit. Lloji i detyrës numër 2 sipas kodifikuesit të kërkesave është një detyrë për përdorimin e njohurive dhe aftësive të marra në aktivitetet praktike dhe jetën e përditshme. Detyra numër 2 konsiston në përshkrimin duke përdorur funksione të marrëdhënieve të ndryshme reale midis sasive dhe interpretimin e grafikëve të tyre. Detyra numër 2 teston aftësinë për të nxjerrë informacionin e paraqitur në tabela, diagrame, grafikë. Të diplomuarit duhet të jenë në gjendje të përcaktojnë vlerën e një funksioni me vlerën e argumentit në mënyra të ndryshme për të përcaktuar një funksion dhe të përshkruajnë sjelljen dhe vetitë e një funksioni sipas planit të tij. Është gjithashtu e nevojshme që të mund të gjejmë vlerën më të madhe ose më të vogël në grafikun e funksionit dhe të vizatojmë grafikët e funksioneve të studiuara. Gabimet e bëra janë të rastësishme në leximin e deklaratës së problemit, leximin e diagramit.

# ADVERTISING_INSERT #

Shembulli 2. Shifra tregon ndryshimin e vlerës së tregut të një aksioni të një kompanie minerare në gjysmën e parë të prillit 2017. Më 7 prill, biznesmeni bleu 1000 aksione të kësaj kompanie. Më 10 prill ai shiti tre të katërtat e aksioneve të blera dhe më 13 prill shiti të gjithë pjesën tjetër. Sa ka humbur biznesmeni si rezultat i këtyre operacioneve?

Zgjidhja:

2) 1000 3/4 = 750 (aksione) - përbëjnë 3/4 e të gjitha aksioneve të blera.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubla) - biznesmeni mori 1000 aksione pas shitjes.

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (rubla) - biznesmeni humbi si rezultat i të gjitha operacioneve.

Përgjigje: 15000.

Detyra numër 3- është detyrë e nivelit bazë të pjesës së parë, teston aftësinë për të kryer veprime me forma gjeometrike sipas përmbajtjes së lëndës “Planimetria”. Në detyrën 3, testohet aftësia për të llogaritur sipërfaqen e një figure në letër me kuadrate, aftësia për të llogaritur masat e shkallës së këndeve, për të llogaritur perimetrat, etj.

Shembulli 3. Gjeni zonën e një drejtkëndëshi të përshkruar në letër me kuadrate me një madhësi qelize 1 cm me 1 cm (shih figurën). Jepni përgjigjen tuaj në centimetra katrorë.

Zgjidhja: Për të llogaritur sipërfaqen e një figure të caktuar, mund të përdorni formulën Pick:

Për të llogaritur sipërfaqen e këtij drejtkëndëshi, ne do të përdorim formulën Pick:

S= B +	G
	2

ku B = 10, G = 6, pra

S = 18 +	6
	2

Përgjigje: 20.

Shihni gjithashtu: Provimi i unifikuar i shtetit në fizikë: Zgjidhja e problemeve të lëkundjeve

Detyra numër 4- detyra e lëndës “Teoria e probabilitetit dhe statistika”. Testohet aftësia për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje në situatën më të thjeshtë.

Shembulli 4. Në rreth janë shënuar 5 pika të kuqe dhe 1 blu. Përcaktoni cilët shumëkëndësha janë më shumë: ata me të gjitha kulmet janë të kuqe ose ata me një nga kulmet blu. Në përgjigjen tuaj, tregoni se sa nga disa janë më shumë se të tjerët.

Zgjidhja: 1) Ne përdorim formulën për numrin e kombinimeve nga n elementet nga k:

në të cilin të gjitha kulmet janë të kuqe.

3) Një pesëkëndësh me të gjitha kulmet të kuqe.

4) 10 + 5 + 1 = 16 shumëkëndësha me të gjitha kulmet të kuqe.

kulmet e të cilit janë të kuqe ose me një kulm blu.

kulmet e të cilit janë të kuqe ose me një kulm blu.

8) Një gjashtëkëndësh, me maja të kuqe me një majë blu.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 shumëkëndësha në të cilët të gjitha kulmet janë të kuqe ose me një kulm blu.

10) 42 - 16 = 26 poligone duke përdorur pikën blu.

11) 26 - 16 = 10 shumëkëndësha - sa shumëkëndësha me një nga kulmet - një pikë blu, më shumë se shumëkëndësha me të gjitha kulmet vetëm të kuqe.

Përgjigje: 10.

Detyra numër 5- niveli bazë i pjesës së parë teston aftësinë për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta (iracionale, eksponenciale, trigonometrike, logaritmike).

Shembulli 5. Zgjidheni ekuacionin 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Zgjidhje. Pjesëtoni të dyja anët e këtij ekuacioni me 5 3 + NS≠ 0, marrim

2 3 + x	= 0,4 ose		2		3 + NS	=	2	,
5 3 + NS			5				5

prej nga rezulton se 3 + x = 1, x = –2.

Përgjigje: –2.

Detyra numër 6 mbi planimetrinë për gjetjen e madhësive gjeometrike (gjatësitë, këndet, sipërfaqet), modelimin e situatave reale në gjuhën e gjeometrisë. Hulumtimi i modeleve të ndërtuara duke përdorur koncepte dhe teorema gjeometrike. Burimi i vështirësive është, si rregull, mosnjohja ose zbatimi i gabuar i teoremave të nevojshme të planimetrisë.

Sipërfaqja e një trekëndëshi ABCështë e barabartë me 129. DE- vija e mesme paralele me anën AB... Gjeni zonën e një trapezi NJË KREVAT.

Zgjidhje. Trekëndëshi CDE si një trekëndësh CAB në dy kënde, që nga këndi i majës C e përgjithshme, kënd CDE e barabartë me këndin CAB si këndet përkatëse në DE || AB sekant AC... Sepse DE- vija e mesme e trekëndëshit nga kushti, pastaj nga vetia e vijës së mesme | DE = (1/2)AB... Kjo do të thotë se koeficienti i ngjashmërisë është 0.5. Sipërfaqet e figurave të tilla lidhen si katrori i koeficientit të ngjashmërisë, pra

Prandaj, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Detyra numër 7- kontrollon zbatimin e derivatit në studimin e funksionit. Për zbatimin e suksesshëm, kërkohet një njohuri kuptimplote, joformale e konceptit të një derivati.

Shembulli 7. Shkoni te grafiku i funksionit y = f(x) në pikën me abshisën x 0 vizatohet një tangjente, e cila është pingul me drejtëzën që kalon nëpër pikat (4; 3) dhe (3; –1) të këtij grafiku. Gjej f′( x 0).

Zgjidhje. 1) Të përdorim ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna dhe të gjejmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat (4; 3) dhe (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, ku k 1 = 4.

2) Gjeni pjerrësinë e tangjentes k 2, e cila është pingul me vijën e drejtë y = 4x- 13, ku k 1 = 4, sipas formulës:

3) Pjerrësia e tangjentes është derivat i funksionit në pikën e tangjences. Do të thotë, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Përgjigje: –0,25.

Detyra numër 8- teston pjesëmarrësit e provimit njohuritë e stereometrisë elementare, aftësinë për të zbatuar formulat për gjetjen e sipërfaqeve të sipërfaqeve dhe vëllimeve të figurave, këndet diedrale, për të krahasuar vëllimet e figurave të ngjashme, për të kryer veprime me figura gjeometrike, koordinata. dhe vektorët etj.

Vëllimi i kubit të përshkruar rreth sferës është 216. Gjeni rrezen e sferës.

Zgjidhje. 1) V kubik = a 3 (ku aËshtë gjatësia e skajit të kubit), prandaj

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Meqenëse sfera është e gdhendur në një kub, kjo do të thotë se gjatësia e diametrit të sferës është e barabartë me gjatësinë e skajit të kubit, prandaj d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Detyra numër 9- Kërkon që maturanti të konvertojë dhe thjeshtojë shprehjet algjebrike. Detyra numër 9 e nivelit të rritur të vështirësisë me një përgjigje të shkurtër. Detyrat nga seksioni "Llogaritjet dhe transformimet" në provim ndahen në disa lloje:

konvertimi i shprehjeve racionale numerike;

shndërrimet e shprehjeve dhe thyesave algjebrike;

konvertimi i shprehjeve irracionale numerike/alfabetike;

veprimet me gradë;

transformimi i shprehjeve logaritmike;

1. konvertimin e shprehjeve numerike / alfabetike trigonometrike.

Shembulli 9. Llogaritni tgα nëse dihet se cos2α = 0,6 dhe

3π	< α < π.
4

Zgjidhje. 1) Le të përdorim formulën e argumentit të dyfishtë: cos2α = 2 cos 2 α - 1 dhe të gjejmë

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Prandaj, tg 2 α = ± 0,5.

3) Sipas kushtit

3π	< α < π,
4

pra, α është këndi i tremujorit II dhe tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Përgjigje: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Detyra numër 10- teston aftësinë e nxënësve për të përdorur njohuritë dhe aftësitë e fituara herët në praktikë dhe në jetën e përditshme. Mund të themi se këto janë probleme në fizikë, dhe jo në matematikë, por në kusht jepen të gjitha formulat dhe sasitë e nevojshme. Detyrat reduktohen në zgjidhjen e një ekuacioni linear ose kuadratik, ose një pabarazie lineare ose kuadratike. Prandaj, është e nevojshme të jeni në gjendje të zgjidhni ekuacione dhe pabarazi të tilla dhe të përcaktoni përgjigjen. Përgjigja duhet të jetë ose një numër i plotë ose një thyesë dhjetore përfundimtare.

Dy trupa që peshojnë m= 2 kg secila, duke lëvizur me të njëjtën shpejtësi v= 10 m / s në një kënd 2α me njëri-tjetrin. Energjia (në xhaul) e çliruar gjatë përplasjes së tyre absolutisht joelastike përcaktohet nga shprehja P = mv 2 mëkat 2 α. Cili është këndi më i vogël 2α (në gradë) nëse trupat duhet të lëvizin në mënyrë që të lirohen të paktën 50 joule si rezultat i përplasjes?
Zgjidhje. Për të zgjidhur problemin, duhet të zgjidhim pabarazinë Q ≥ 50, në intervalin 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 mëkat 2 α ≥ 50

2 10 2 mëkat 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Meqenëse α ∈ (0 °; 90 °), ne vetëm do të zgjidhim

Le të paraqesim zgjidhjen e pabarazisë grafikisht:

Meqenëse, me hipotezë, α ∈ (0 °; 90 °), do të thotë 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Detyra numër 11- është tipike, por rezulton e vështirë për studentët. Burimi kryesor i vështirësisë është ndërtimi i një modeli matematik (hartimi i një ekuacioni). Detyra numër 11 teston aftësinë për të zgjidhur probleme me fjalë.

Shembulli 11. Gjatë pushimit të pranverës, nxënësi i klasës 11 Vasya duhej të zgjidhte 560 probleme stërvitore për t'u përgatitur për Provimin e Bashkuar të Shtetit. Më 18 Mars, në ditën e fundit të shkollës, Vasya zgjidhi 5 probleme. Pastaj, çdo ditë, ai zgjidhte të njëjtin numër problemesh më shumë se një ditë më parë. Përcaktoni sa probleme zgjidhi Vasya më 2 prill në ditën e fundit të pushimeve.

Zgjidhja: shënojmë a 1 = 5 - numri i problemeve që Vasya zgjidhi më 18 Mars, d- numri ditor i detyrave të zgjidhura nga Vasya, n= 16 - numri i ditëve nga 18 Mars deri në 2 Prill përfshirë, S 16 = 560 - numri i përgjithshëm i detyrave, a 16 - numri i problemeve që Vasya zgjidhi më 2 Prill. Duke ditur që Vasya zgjidhte çdo ditë të njëjtin numër problemesh më shumë se një ditë më parë, atëherë mund të përdorni formulat për të gjetur shumën e një progresion aritmetik:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Përgjigje: 65.

Detyra numër 12- të testojë aftësinë e nxënësve për të kryer veprime me funksione, të jetë në gjendje të zbatojë një derivat në studimin e një funksioni.

Gjeni pikën maksimale të një funksioni y= 10 ln ( x + 9) – 10x + 1.

Zgjidhja: 1) Gjeni domenin e funksionit: x + 9 > 0, x> –9, pra x ∈ (–9; ∞).

2) Gjeni derivatin e funksionit:

4) Pika e gjetur i përket intervalit (–9; ∞). Le të përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit dhe të përshkruajmë sjelljen e funksionit në figurë:

Kërkoni pikë maksimale x = –8.

Shkarkoni falas një program pune në matematikë për linjën e metodave mësimore të G.K. Muravina, K.S. Muravina, O. V. Muravina 10-11 Shkarkoni falas mjete mësimore për algjebër

Detyra numër 13-Rritja e nivelit të vështirësisë me një përgjigje të detajuar, e cila teston aftësinë për të zgjidhur ekuacionet, detyrat më të suksesshme të zgjidhura me një përgjigje të detajuar të një niveli kompleksiteti të rritur.

a) Zgjidheni ekuacionin 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit.

Zgjidhja: a) Le të log 3 (2cos x) = t, pastaj 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	regjistri 3 (2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ që | cos x| ≤ 1,
	regjistri 3 (2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

pastaj cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Gjeni rrënjët që shtrihen në segment.

Nga figura shihet se rrënjët

11π	dhe	13π	.
6		6

Përgjigje: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Detyra numër 14- Niveli i avancuar i referohet detyrave të pjesës së dytë me një përgjigje të detajuar. Detyra teston aftësinë për të kryer veprime me forma gjeometrike. Detyra përmban dy artikuj. Në paragrafin e parë duhet vërtetuar detyra dhe në paragrafin e dytë duhet llogaritur.

Diametri i perimetrit të bazës së cilindrit është 20, gjenerata e cilindrit është 28. Rrafshi e kryqëzon bazën e tij përgjatë kordave me gjatësi 12 dhe 16. Distanca ndërmjet kordave është 2√197.

a) Vërtetoni se qendrat e bazave të cilindrit shtrihen në njërën anë të këtij rrafshi.

b) Gjeni këndin ndërmjet këtij rrafshi dhe rrafshit të bazës së cilindrit.

Zgjidhja: a) Një akord me gjatësi 12 ndodhet në një distancë = 8 nga qendra e rrethit bazë, dhe një kordë me gjatësi 16, në mënyrë të ngjashme, në një distancë prej 6. Prandaj, distanca midis projeksioneve të tyre në një rrafshi paralel me bazat e cilindrave është ose 8 + 6 = 14, ose 8 - 6 = 2.

Atëherë distanca midis kordave është ose

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Me kusht u realizua rasti i dytë, në të cilin projeksionet e kordave shtrihen në njërën anë të boshtit të cilindrit. Kjo do të thotë që boshti nuk e kryqëzon këtë plan brenda cilindrit, domethënë, bazat shtrihen në njërën anë të tij. Ajo që kërkohej për të provuar.

b) Le të caktojmë qendrat e bazave për O 1 dhe O 2. Le të nxjerrim nga qendra e bazës me një kordë me gjatësi 12 një mes pingul me këtë kordë (ajo ka një gjatësi prej 8, siç u përmend tashmë) dhe nga qendra e bazës tjetër në kordën tjetër. Ato shtrihen në të njëjtin rrafsh β, pingul me këto korda. Ne e quajmë mesin e kordës më të vogël B më të madhe se A dhe projeksionin e A në bazën e dytë H (H ∈ β). Atëherë AB, AH ∈ β dhe për rrjedhojë AB, AH janë pingul me kordën, pra vijën e prerjes së bazës me rrafshin e dhënë.

Prandaj, këndi i kërkuar është

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
	Bh		8 – 6

Detyra numër 15- një nivel i rritur i vështirësisë me një përgjigje të detajuar, teston aftësinë për të zgjidhur pabarazitë, më të suksesshmet e zgjidhura midis detyrave me një përgjigje të detajuar të një niveli të rritur kompleksiteti.

Shembulli 15. Zgjidhja e pabarazisë | x 2 – 3x| Regjistri 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Zgjidhja: Fusha e kësaj pabarazie është intervali (–1; + ∞). Konsideroni tre raste veç e veç:

1) Le x 2 – 3x= 0, d.m.th. NS= 0 ose NS= 3. Në këtë rast, kjo pabarazi bëhet e vërtetë, prandaj, këto vlera përfshihen në zgjidhje.

2) Tani le x 2 – 3x> 0, d.m.th. x∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Për më tepër, kjo pabarazi mund të rishkruhet si ( x 2 – 3x) Regjistri 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 dhe pjesëtojeni me pozitive x 2 – 3x... Ne marrim regjistrin 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 ose x≤ –0,5. Duke marrë parasysh fushën e përkufizimit, ne kemi x ∈ (–1; –0,5].

3) Më në fund, merrni parasysh x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Në këtë rast, pabarazia origjinale do të rishkruhet si (3 x – x 2) regjistri 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pas pjesëtimit me shprehje pozitive 3 x – x 2, marrim regjistrin 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Duke marrë parasysh rajonin, kemi x ∈ (0; 1].

Duke kombinuar zgjidhjet e marra, marrim x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Përgjigje: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Detyra numër 16- Niveli i avancuar i referohet detyrave të pjesës së dytë me një përgjigje të detajuar. Detyra teston aftësinë për të kryer veprime me forma gjeometrike, koordinata dhe vektorë. Detyra përmban dy artikuj. Në paragrafin e parë duhet vërtetuar detyra dhe në paragrafin e dytë duhet llogaritur.

Në një trekëndësh dykëndësh ABC me një kënd prej 120 ° në kulmin A, vizatohet një përgjysmues BD. Drejtkëndëshi DEFH është i gdhendur në trekëndëshin ABC në mënyrë që ana FH të shtrihet në segmentin BC, dhe kulmi E shtrihet në segmentin AB. a) Vërtetoni se FH = 2DH. b) Gjeni sipërfaqen e drejtkëndëshit DEFH nëse AB = 4.

Zgjidhja: a)

1) ΔBEF - drejtkëndëshe, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, pastaj EF = BE nga vetia e këmbës që shtrihet përballë këndit 30 °.

2) Le të jetë EF = DH = x, pastaj BE = 2 x, BF = x√3 nga teorema e Pitagorës.

3) Meqenëse ΔABC është dykëndësh, do të thotë se ∠B = ∠C = 30˚.

BD është përgjysmues i ∠B, pra ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Konsideroni ΔDBH - drejtkëndëshe, pasi DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Përgjigje: 24 – 12√3.

Detyra numër 17- një detyrë me një përgjigje të detajuar, kjo detyrë teston zbatimin e njohurive dhe aftësive në praktikë dhe në jetën e përditshme, aftësinë për të ndërtuar dhe eksploruar modele matematikore. Kjo detyrë është një problem teksti me përmbajtje ekonomike.

Shembulli 17. Depozita në shumën prej 20 milion rubla është planifikuar të hapet për katër vjet. Në fund të çdo viti, banka rrit depozitën e saj me 10% në krahasim me madhësinë e saj në fillim të vitit. Përveç kësaj, në fillim të vitit të tretë dhe të katërt, depozituesi plotëson çdo vit depozitën nga NS milion rubla, ku NS - e tërë numri. Gjeni vlerën më të madhe NS, në të cilën banka do të grumbullojë më pak se 17 milion rubla në depozitë në katër vjet.

Zgjidhja: Në fund të vitit të parë, kontributi do të jetë 20 + 20 · 0,1 = 22 milion rubla, dhe në fund të vitit të dytë - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milion rubla. Në fillim të vitit të tretë, kontributi (në milion rubla) do të jetë (24.2 + NS), dhe në fund - (24,2 + NS) + (24,2 + NS) 0,1 = (26,62 + 1,1 NS). Në fillim të vitit të katërt, kontributi do të jetë (26,62 + 2,1 NS), dhe në fund - (26.62 + 2.1 NS) + (26,62 + 2,1NS) 0,1 = (29,282 + 2,31 NS). Me hipotezë, ju duhet të gjeni numrin më të madh të plotë x për të cilin pabarazia

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Zgjidhja më e madhe e numrit të plotë për këtë pabarazi është 24.

Përgjigje: 24.

Detyra numër 18- një detyrë e një niveli të rritur kompleksiteti me një përgjigje të detajuar. Kjo detyrë ka për qëllim përzgjedhjen konkurruese për universitetet me kërkesa të shtuara për trajnimin matematikor të aplikantëve. Një detyrë e një niveli të lartë kompleksiteti nuk është një detyrë për të aplikuar një metodë zgjidhjeje, por për një kombinim të metodave të ndryshme. Për realizimin me sukses të detyrës 18, përveç njohurive solide matematikore, kërkohet edhe një nivel i lartë i kulturës matematikore.

Nën çfarë a sistemi i pabarazive

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

ka saktësisht dy zgjidhje?

Zgjidhja: Ky sistem mund të rishkruhet si

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Nëse vizatojmë në plan grupin e zgjidhjeve të pabarazisë së parë, marrim brendësinë e një rrethi (me një kufi) me rreze 1 me qendër në pikën (0, a). Bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë së dytë është pjesa e rrafshit që shtrihet nën grafikun e funksionit y = | x| – a, dhe ky i fundit është grafiku i funksionit
y = | x| zhvendosur poshtë nga a... Zgjidhja e këtij sistemi është kryqëzimi i grupeve të zgjidhjeve për secilën nga pabarazitë.

Rrjedhimisht, ky sistem do të ketë dy zgjidhje vetëm në rastin e treguar në Fig. 1.

Pikat e tangjencës së rrethit me drejtëza do të jenë dy zgjidhje të sistemit. Secila prej vijave të drejta është e prirur drejt boshteve në një kënd prej 45 °. Pra trekëndëshi PQR- dykëndëshe dykëndëshe. Pika P ka koordinata (0, a), dhe pika R- koordinatat (0, - a). Përveç kësaj, segmentet PR dhe PQ janë të barabarta me rrezen e rrethit të barabartë me 1. Prandaj,

Qr= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Përgjigje: a =	√2	.
	2

Detyra numër 19- një detyrë e një niveli të rritur kompleksiteti me një përgjigje të detajuar. Kjo detyrë ka për qëllim përzgjedhjen konkurruese për universitetet me kërkesa të shtuara për trajnimin matematikor të aplikantëve. Një detyrë e një niveli të lartë kompleksiteti nuk është një detyrë për të aplikuar një metodë zgjidhjeje, por për një kombinim të metodave të ndryshme. Për përfundimin me sukses të detyrës 19, është e nevojshme të jeni në gjendje të kërkoni një zgjidhje, duke zgjedhur qasje të ndryshme nga ato të njohura, duke modifikuar metodat e studiuara.

Le te jete Sn shuma NS anëtarët e progresionit aritmetik ( a n). Dihet se S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Tregoni formulën NS anëtari i këtij progresi.

b) Gjeni shumën më të vogël të modulit S n.

c) Gjeni më të voglin NS në të cilën S n do të jetë katrori i një numri të plotë.

Zgjidhje: a) Është e qartë se a n = S n – S n- 1 . Duke përdorur këtë formulë, marrim:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

do të thotë, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Meqenëse S n = 2n 2 – 25n, pastaj merrni parasysh funksionin S(x) = | 2x 2 – 25x |... Grafiku i tij mund të shihet në figurë.

Natyrisht, vlera më e vogël arrihet në pikat e plota që janë më afër zerot e funksionit. Është e qartë se këto janë pika NS= 1, NS= 12 dhe NS= 13. Meqenëse, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 169 - 25 13 | = 13, atëherë vlera më e vogël është 12.

c) Nga pika e mëparshme rezulton se Sn pozitivisht duke filluar nga n= 13. Meqenëse S n = 2n 2 – 25n = n(2n- 25), atëherë rasti i dukshëm kur kjo shprehje është katror i përsosur realizohet kur n = 2n- 25, domethënë në NS= 25.

Mbetet për të kontrolluar vlerat nga 13 në 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 2321, S 24 = 24 23.

Rezulton se për vlera më të vogla NS katrori i plotë nuk arrihet.

Përgjigje: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

* Që nga maji 2017, grupi i përbashkët botues "DROFA-VENTANA" është pjesë e korporatës "Russian textbook". Korporata përfshin gjithashtu shtëpinë botuese Astrel dhe platformën arsimore dixhitale LECTA. Alexander Brychkin, i diplomuar në Akademinë Financiare nën Qeverinë e Federatës Ruse, Ph.D. në Ekonomi, drejtues i projekteve inovative të shtëpisë botuese DROFA në fushën e edukimit dixhital (forma elektronike të teksteve shkollore, Shkolla Elektronike Ruse, dixhitale Platforma arsimore LECTA) është emëruar Drejtor i Përgjithshëm. Para se t'i bashkohej shtëpisë botuese DROFA, ai ka mbajtur postin e Zëvendës Presidentit për Zhvillimin Strategjik dhe Investimet e Holdingut Botues EKSMO-AST. Sot, korporata botuese "Russian Textbook" ka portofolin më të madh të teksteve shkollore të përfshira në Listën Federale - 485 tituj (afërsisht 40%, duke përjashtuar tekstet shkollore për një shkollë speciale). Shtëpitë botuese të korporatës zotërojnë grupet e teksteve më të kërkuara nga shkollat ​​ruse për fizikën, vizatimin, biologjinë, kiminë, teknologjinë, gjeografinë, astronominë - fusha të njohurive që nevojiten për të zhvilluar potencialin e prodhimit të vendit. Portofoli i korporatës përfshin tekste të shkollave fillore dhe mjete mësimore që kanë marrë Çmimin e Presidentit për Arsimin. Këto janë tekste shkollore dhe manuale për fushat lëndore që janë të nevojshme për zhvillimin e potencialit shkencor, teknik dhe prodhues të Rusisë.