Nëse organizoni një single rrethi i numrave në planin koordinativ, atëherë mund të gjenden koordinata për pikat e tij. Rrethi numerik është i pozicionuar në mënyrë që qendra e tij të përputhet me pikën e origjinës së aeroplanit, domethënë me pikën O (0; 0).
Zakonisht në rrethin e numrit të njësisë, pikat shënohen që korrespondojnë me origjinën në rreth
- të katërtat - 0 ose 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
- çereku i mesëm - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
- të tretat e tremujorëve - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.
Në rrafshin koordinativ me vendndodhjen e mësipërme të rrethit të njësisë mbi të, mund të gjeni koordinatat që korrespondojnë me këto pika të rrethit.
Koordinatat e skajeve të lagjeve janë shumë të lehta për t'u gjetur. Në pikën 0 të rrethit, koordinata x është 1, dhe y është 0. Mund të shënohet si A (0) = A (1; 0).
Fundi i tremujorit të parë do të vendoset në boshtin pozitiv y. Prandaj, B (π / 2) = B (0; 1).
Fundi i tremujorit të dytë është në gjysmëboshtin negativ: C (π) = C (-1; 0).
Fundi i tremujorit të tretë: D ((2π) / 3) = D (0; -1).
Por si i gjeni koordinatat e mesit të çerekut? Për ta bërë këtë, ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë. Hipotenuza e tij është një segment nga qendra e rrethit (ose origjina) deri në mesin e çerek rrethit. Kjo është rrezja e rrethit. Meqenëse rrethi është njësi, hipotenuza është 1. Më pas, një pingul është tërhequr nga pika e rrethit në çdo bosht. Le të jetë drejt boshtit x. Rezulton një trekëndësh kënddrejtë, gjatësitë e këmbëve të të cilit janë koordinatat x dhe y të pikës së rrethit.
çerekrrethi është 90º. Dhe gjysma e një çerek është 45 gradë. Meqenëse hipotenuza është tërhequr në pikën e mesit të tremujorit, këndi midis hipotenuzës dhe këmbës që shtrihet nga origjina është 45º. Por shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është 180º. Prandaj, këndi midis hipotenuzës dhe këmbës tjetër është gjithashtu 45º. Rezulton një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh.
Nga teorema e Pitagorës marrim ekuacionin x 2 + y 2 = 1 2. Meqenëse x = y dhe 1 2 = 1, ekuacioni thjeshtohet në x 2 + x 2 = 1. Duke e zgjidhur atë, marrim x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2.
Kështu, koordinatat e pikës janë M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).
Në koordinatat e pikave të mesit të tremujorëve të tjerë, vetëm shenjat do të ndryshojnë, dhe moduli i vlerave do të mbetet i njëjtë, pasi trekëndëshi kënddrejtë do të përmbyset vetëm. Ne marrim:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)
Gjatë përcaktimit të koordinatave të pjesëve të treta të katërtave të rrethit, ndërtohet edhe një trekëndësh kënddrejtë. Nëse marrim pikën π / 6 dhe vizatojmë një pingul me boshtin x, atëherë këndi midis hipotenuzës dhe këmbës që shtrihet në boshtin x do të jetë 30º. Dihet se një këmbë e shtrirë përballë një këndi prej 30 gradë është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës. Pra, gjetëm koordinatën y, është e barabartë me ½.
Duke ditur gjatësitë e hipotenuzës dhe njërës prej këmbëve, sipas teoremës së Pitagorës, gjejmë një këmbë tjetër:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2
Kështu, T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).
Për pikën e tretë të dytë të tremujorit të parë (π / 3), është më mirë të vizatoni pingul me boshtin në boshtin y. Atëherë këndi në origjinën e koordinatave do të jetë gjithashtu 30º. Këtu, koordinata x do të jetë e barabartë me ½, dhe y, përkatësisht, √3 / 2: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).
Për pikat e tjera në tremujorin e tretë, shenjat dhe renditja e vlerave të koordinatave do të ndryshojnë. Të gjitha pikat që janë më afër boshtit x do të kenë një modul të koordinatave x √3/2. Ato pika që janë më afër boshtit y do të kenë një vlerë y prej √3 / 2 në vlerë absolute.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)
Per te perdorur parapamje prezantimet krijoni vetes një llogari ( llogari) Google dhe hyni në të: https://accounts.google.com
Titrat e rrëshqitjes:
Rrethi i numrave në planin koordinativ
Le të përsërisim: Rrethi njësi është një rreth numerik, rrezja e të cilit është 1. R = 1 C = 2 π + - y x
Nëse pika M e rrethit numerik i korrespondon numrit t, atëherë i përgjigjet edhe numrit të formës t + 2 π k, ku k është çdo numër i plotë (k ϵ Z). M (t) = M (t + 2 π k), ku k ε Z
Paraqitjet bazë Paraqitja e parë 0 π y x Paraqitja e dytë y x
x y 1 A (1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x> 0 y> 0 x 0 x 0 y
Le të gjejmë koordinatat e pikës M që i përgjigjet pikës. 1) 2) x y M P 45 ° O A
Koordinatat e pikave kryesore të paraqitjes së parë 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x
М P х у O A Gjeni koordinatat e pikës М që i përgjigjet pikës. 1) 2) 30 °
М P Le të gjejmë koordinatat e pikës М që i përgjigjet pikës. 1) 2) 30 ° x y O A B
Duke përdorur vetinë e simetrisë, gjejmë koordinatat e pikave që janë shumëfisha të y x
Koordinatat e pikave kryesore të paraqitjes së dytë x y x y y x
Shembull Gjeni koordinatat e një pike në një rreth numerik. Zgjidhje: P y x
Shembull Gjeni pikat me ordinatën në rrethin numerik Zgjidhje: y x ⋯ x y x y
Ushtrime: Gjeni koordinatat e pikave të rrethit numerik: a), b). Gjeni pikat me abshisën në rrethin numerik.
Koordinatat e pikave kryesore 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Koordinatat e pikave kryesore të paraqitjes së parë xyxy Koordinatat e kryesore pikat e paraqitjes së dytë
Mbi temën: zhvillime metodologjike, prezantime dhe shënime
Materiali didaktik mbi algjebrën dhe parimet e analizës në klasën 10 (niveli i profilit) "Rrethi numerik në planin koordinativ"
Opsioni 1.1. Gjeni një pikë në rrethin numerik: A) -2∏ / 3B) 72. Cilit çerekun e rrethit numerik i përket pika 16.3 Gjeni cilës ...
Rrethi i numraveËshtë një rreth njësi, pikat e të cilit korrespondojnë me disa numra realë.
Rrethi njësi është një rreth me rreze 1.
Pamje e përgjithshme e rrethit të numrave.
1) Rrezja e saj merret si njësi matëse.
2) Diametrat horizontale dhe vertikale e ndajnë rrethin e numrave në katër të katërtat (shih figurën). Ata quhen përkatësisht tremujori i parë, i dytë, i tretë dhe i katërt.
3) Diametri horizontal është caktuar AC me A është pika më e djathtë.
Diametri vertikal është caktuar BD, ku B është pika më e lartë.
Përkatësisht:
tremujori i parë është harku AB
tremujori i dytë - hark para Krishtit
tremujori i tretë - hark CD
tremujori i katërt - harku DA
4) Pika fillestare e rrethit numerik është pika A.
Numërimi përgjatë rrethit numerik mund të kryhet si në drejtim të akrepave të orës ashtu edhe në të kundërt.
Numërimi mbrapsht nga pika A quhet në drejtim të kundërt të akrepave të orës drejtim pozitiv.
Leximi nga pika A quhet në drejtim të akrepave të orës drejtim negativ.
Rrethi i numrave në planin koordinativ.
Qendra e rrezes së rrethit të numrave korrespondon me origjinën (numri 0).
Diametri horizontal korrespondon me boshtin x, akset vertikale y.
Pika fillestare A e rrethit të numrave është në bosht x dhe ka koordinata (1; 0).
vleratx dhey në të katërtat e rrethit numerik:
Vlerat bazë të rrethit të numrave:
Emrat dhe vendndodhjet e pikave kryesore të rrethit të numrave:
Si të mbani mend emrat e një rrethi numrash.
Ka disa modele të thjeshta që do t'ju ndihmojnë të mbani mend me lehtësi emrat bazë të rrethit të numrave.
Para se të fillojmë, kujtojmë: numërimi kryhet në drejtim pozitiv, domethënë nga pika A (2π) në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
1) Le të fillojmë me pika ekstreme në boshtet koordinative.
Pika e fillimit është 2π (pika më e djathtë në bosht NS e barabartë me 1).
Siç e dini, 2π është gjatësia e një rrethi. Kjo do të thotë se gjysma e rrethit është 1π ose π. Boshti NS ndan rrethin në gjysmë. Prandaj, pika më e majtë në bosht NS e barabartë me -1 quhet π.
Pika më e lartë në bosht në e barabartë me 1 përgjysmon gjysmërrethin e sipërm. Pra, nëse gjysmërrethi është π, atëherë gjysma e gjysmërrethit është π / 2.
Në të njëjtën kohë, π / 2 është gjithashtu një e katërta e një rrethi. Ne numërojmë tre tremujorë të tillë nga i pari në të tretën - dhe do të arrijmë në pikën më të ulët të boshtit në e barabartë me -1. Por nëse përfshin tre të katërtat, atëherë emri i tij është 3π / 2.
2) Tani le të kalojmë te pjesa tjetër e pikave. Ju lutemi vini re: të gjitha pikat e kundërta kanë të njëjtin numërues - dhe këto janë pika të kundërta dhe në lidhje me boshtin në, dhe në lidhje me qendrën e boshteve, dhe në lidhje me boshtin NS... Kjo do të na ndihmojë të dimë vlerat e tyre të pikës pa u ngjeshur.
Thjesht duhet të mbani mend kuptimin e pikave të tremujorit të parë: π / 6, π / 4 dhe π / 3. Dhe pastaj do të "shohim" disa modele:
- Rreth boshtit y në pikat e tremujorit të dytë, përballë pikave të tremujorit të parë, numrat në numërues janë 1 më pak se vlerat e emëruesve. Për shembull, le të marrim pikën π / 6. Pika e tij e kundërt në lidhje me boshtin në gjithashtu ka 6 në emërues, dhe 5 në numërues (1 më pak). Kjo është, emri i kësaj pike: 5π / 6. Pika e kundërt me π / 4 gjithashtu ka 4 në emërues, dhe 3 në numërues (1 më pak se 4) - domethënë, kjo është pika 3π / 4.
Pika e kundërt me π / 3 gjithashtu ka 3 në emërues, dhe 1 më pak në numërues: 2π / 3.
- Rreth qendrës së boshteve të koordinatave anasjelltas: numrat në numëruesit e pikave të kundërta (në tremujorin e tretë) me 1 më shumë vlerë emërues. Merrni përsëri pikën π / 6. Pika e kundërt me të në lidhje me qendrën gjithashtu ka 6 në emërues, dhe numri në numërues është 1 më shumë - domethënë është 7π / 6.
Pika përballë pikës π / 4 gjithashtu ka 4 në emërues, dhe numri në numërues është 1 më shumë: 5π / 4.
Pika përballë pikës π / 3 gjithashtu ka 3 në emërues, dhe numri në numërues është 1 më shumë: 4π / 3.
- Rreth boshtit NS(çereku i katërt)çështja është më e ndërlikuar. Këtu është e nevojshme të shtoni në vlerën e emëruesit një numër që është 1 më pak - kjo shumë do të jetë e barabartë me pjesën numerike të numëruesit të pikës së kundërt. Le të fillojmë përsëri me π / 6. Shtoni në emëruesin 6, një numër që është 1 më pak se ky numër - domethënë 5. Marrim: 6 + 5 = 11. Kjo do të thotë se e kundërta me të në lidhje me boshtin NS pika do të ketë 6 në emërues, dhe 11 në numërues - domethënë 11π / 6.
Pika π / 4. I shtojmë vlerës së emëruesit numrin me 1 më pak: 4 + 3 = 7. Kjo do të thotë se e kundërta me të në lidhje me boshtin NS pika ka në emëruesin 4, dhe në numëruesin 7 - domethënë 7π / 4.
Pika π / 3. Emëruesi është 3. Shtoni një numër më pak në 3 - domethënë 2. Marrim 5. Kjo do të thotë që pika e kundërt ka 5 në numërues - dhe kjo është pika 5π / 3.
3) Një model më shumë për pikat e mesit të tremujorit. Është e qartë se emëruesi i tyre është 4. Le t'u kushtojmë vëmendje numëruesve. Numëruesi për mesin e tremujorit të parë është 1π (por nuk është zakon të shkruhet 1). Numëruesi për mesin e tremujorit të dytë është 3π. Numëruesi për mesin e tremujorit të tretë është 5π. Numëruesi për mesin e tremujorit të katërt është 7π. Rezulton se në numëruesit e mesit të tremujorëve janë katër numrat e parë tek në rend rritës:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Është gjithashtu shumë e thjeshtë. Meqenëse mesi i të gjithë tremujorëve ka 4 në emërues, ne tashmë i dimë ato emrat e plotë: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.
Karakteristikat e rrethit të numrave. Krahasimi me boshtin numerik.
Siç e dini, në vijën numerike, çdo pikë korrespondon me njëjës... Për shembull, nëse pika A në një vijë të drejtë është e barabartë me 3, atëherë ajo nuk mund të jetë më e barabartë me asnjë numër tjetër.
Në rrethin e numrave, gjithçka është ndryshe, pasi është një rreth. Për shembull, për të ardhur nga pika A e rrethit në pikën M, mund ta bëni atë si në një vijë të drejtë (vetëm pasi të kaloni një hark), ose mund të shkoni rreth të gjithë rrethit dhe pastaj të vini në pikën M. konkluzioni:
Le të jetë pika M e barabartë me një numër t. Siç e dimë, perimetri është 2π. Kjo do të thotë se pikën e rrethit t mund ta shkruajmë në dy mënyra: t ose t + 2π. Këto janë vlera ekuivalente.
Kjo është, t = t + 2π. I vetmi ndryshim është se në rastin e parë, erdhët në pikën M menjëherë, pa bërë një rreth, dhe në rastin e dytë, keni bërë një rreth, por në fund përfunduat në të njëjtën pikë M. Janë dy, tre e dyqind rrathë të tillë. ... Nëse shënoni numrin e rrathëve me shkronjën k, atëherë marrim një shprehje të re:
t = t + 2π k.
Prandaj formula:
Ekuacioni i rrethit të numrave
(ekuacioni i dytë është në seksionin "Sinus, kosinus, tangent, kotangjent"):
x 2 + y 2 = 1 |
Rrethi i numraveështë një rreth njësi, pikat e të cilit korrespondojnë me numra realë të caktuar.
Rrethi njësi është një rreth me rreze 1.
Pamje e përgjithshme e rrethit të numrave.
1) Rrezja e saj merret si njësi matëse.
2) Diametri horizontal dhe vertikal e ndajnë rrethin e numrave në katër të katërtat. Ata quhen përkatësisht tremujori i parë, i dytë, i tretë dhe i katërt.
3) Diametri horizontal është caktuar AC, ku A është ekstremi drejtë pikë.
Diametri vertikal është caktuar BD, ku B është pika më e lartë.
Përkatësisht:
tremujori i parë është harku AB
tremujori i dytë - hark para Krishtit
tremujori i tretë - hark CD
tremujori i katërt - harku DA
4) Pika fillestare e rrethit numerik është pika A.
Numërimi përgjatë rrethit numerik mund të kryhet si në drejtim të akrepave të orës ashtu edhe në të kundërt.
Leximi nga pika A kundër në drejtim të akrepave të orës quhet drejtim pozitiv.
Leximi nga pika A në në drejtim të akrepave të orës quhet drejtim negativ.
Rrethi i numrave në planin koordinativ.
Qendra e rrezes së rrethit të numrave korrespondon me origjinën (numri 0).
Diametri horizontal korrespondon me boshtin x, akset vertikale y.
Pika fillestare A e rrethit numerikty është në boshtxdhe ka koordinata (1; 0).
Emrat dhe vendndodhjet e pikave kryesore të rrethit të numrave:
Si të mbani mend emrat e një rrethi numrash.
Ka disa modele të thjeshta që do t'ju ndihmojnë të mbani mend me lehtësi emrat bazë të rrethit të numrave.
Para se të fillojmë, kujtojmë: numërimi kryhet në drejtim pozitiv, domethënë nga pika A (2π) në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
1) Le të fillojmë me pikat ekstreme në boshtet koordinative.
Pika e fillimit është 2π (pika më e djathtë në bosht NS e barabartë me 1).
Siç e dini, 2π është gjatësia e një rrethi. Kjo do të thotë se gjysma e rrethit është 1π ose π. Boshti NS ndan rrethin në gjysmë. Prandaj, pika më e majtë në bosht NS e barabartë me -1 quhet π.
Pika më e lartë në bosht në e barabartë me 1 përgjysmon gjysmërrethin e sipërm. Pra, nëse gjysmërrethi është π, atëherë gjysma e gjysmërrethit është π / 2.
Në të njëjtën kohë, π / 2 është gjithashtu një e katërta e një rrethi. Ne numërojmë tre tremujorë të tillë nga i pari në të tretën - dhe do të arrijmë në pikën më të ulët të boshtit në e barabartë me -1. Por nëse përfshin tre të katërtat, atëherë emri i tij është 3π / 2.
2) Tani le të kalojmë te pjesa tjetër e pikave. Ju lutemi vini re: të gjitha pikat e kundërta kanë të njëjtin emërues - dhe këto janë pika të kundërta dhe në lidhje me boshtin në, dhe në lidhje me qendrën e boshteve, dhe në lidhje me boshtin NS... Kjo do të na ndihmojë të dimë vlerat e tyre të pikës pa u ngjeshur.
Thjesht duhet të mbani mend kuptimin e pikave të tremujorit të parë: π / 6, π / 4 dhe π / 3. Dhe pastaj do të "shohim" disa modele:
- Rreth boshtit në
në pikat e tremujorit të dytë, përballë pikave të tremujorit të parë, numrat në numërues janë 1 më pak se vlerat e emëruesve. Për shembull, le të marrim pikën π / 6. Pika e tij e kundërt në lidhje me boshtin në gjithashtu ka 6 në emërues, dhe 5 në numërues (1 më pak). Kjo është, emri i kësaj pike: 5π / 6. Pika e kundërt me π / 4 gjithashtu ka 4 në emërues, dhe 3 në numërues (1 më pak se 4) - domethënë, kjo është pika 3π / 4.
Pika e kundërt me π / 3 gjithashtu ka 3 në emërues, dhe 1 më pak në numërues: 2π / 3.
- Rreth qendrës së boshteve të koordinatave e kundërta është e vërtetë: numrat në numëruesit e pikave të kundërta (në tremujorin e tretë) janë 1 më shumë se vlera e emëruesve. Merrni përsëri pikën π / 6. Pika e kundërt me të në lidhje me qendrën gjithashtu ka 6 në emërues, dhe numri në numërues është 1 më shumë - domethënë është 7π / 6.
Pika përballë pikës π / 4 gjithashtu ka 4 në emërues, dhe numri në numërues është 1 më shumë: 5π / 4.
Pika përballë pikës π / 3 gjithashtu ka 3 në emërues, dhe numri në numërues është 1 më shumë: 4π / 3.
- Rreth boshtit NS(çereku i katërt)çështja është më e ndërlikuar. Këtu është e nevojshme të shtoni në vlerën e emëruesit një numër që është 1 më pak - kjo shumë do të jetë e barabartë me pjesën numerike të numëruesit të pikës së kundërt. Le të fillojmë përsëri me π / 6. Shtoni në emëruesin 6, një numër që është 1 më pak se ky numër - domethënë 5. Marrim: 6 + 5 = 11. Kjo do të thotë se e kundërta me të në lidhje me boshtin NS pika do të ketë 6 në emërues, dhe 11 në numërues - domethënë 11π / 6.
Pika π / 4. I shtojmë vlerës së emëruesit numrin me 1 më pak: 4 + 3 = 7. Kjo do të thotë se e kundërta me të në lidhje me boshtin NS pika ka në emëruesin 4, dhe në numëruesin 7 - domethënë 7π / 4.
Pika π / 3. Emëruesi është 3. Shtoni një numër më të vogël në 3 - domethënë 2. Marrim 5. Kjo do të thotë që pika e kundërt ka 5 në numërues - dhe kjo është pika 5π / 3.
3) Një model më shumë për pikat e mesit të tremujorit. Është e qartë se emëruesi i tyre është 4. Le t'u kushtojmë vëmendje numëruesve. Numëruesi për mesin e tremujorit të parë është 1π (por nuk është zakon të shkruhet 1). Numëruesi për mesin e tremujorit të dytë është 3π. Numëruesi për mesin e tremujorit të tretë është 5π. Numëruesi për mesin e tremujorit të katërt është 7π. Rezulton se në numëruesit e mesit të tremujorëve janë katër numrat e parë tek në rend rritës:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Është gjithashtu shumë e thjeshtë. Meqenëse pikat e mesit të të gjithë tremujorëve kanë 4 në emërues, ne tashmë i dimë emrat e tyre të plotë: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.
Karakteristikat e rrethit të numrave. Krahasimi me boshtin numerik.
Siç e dini, në vijën numerike, çdo pikë korrespondon me një numër të vetëm. Për shembull, nëse pika A në një vijë të drejtë është e barabartë me 3, atëherë ajo nuk mund të jetë më e barabartë me asnjë numër tjetër.
Në rrethin e numrave, gjithçka është ndryshe, pasi është një rreth. Për shembull, për të ardhur nga pika A e rrethit në pikën M, mund ta bëni atë si në një vijë të drejtë (vetëm pasi të kaloni një hark), ose mund të shkoni rreth të gjithë rrethit dhe pastaj të vini në pikën M. konkluzioni:
Le të jetë pika M e barabartë me një numër t. Siç e dimë, perimetri është 2π. Kjo do të thotë se pikën e rrethit t mund ta shkruajmë në dy mënyra: t ose t + 2π. Këto janë vlera ekuivalente.
Kjo është, t = t + 2π. I vetmi ndryshim është se në rastin e parë, erdhët në pikën M menjëherë, pa bërë një rreth, dhe në rastin e dytë, keni bërë një rreth, por në fund përfunduat në të njëjtën pikë M. Janë dy, tre e dyqind rrathë të tillë. ... Nëse shënoni numrin e rrathëve me shkronjën n, atëherë marrim një shprehje të re:
t = t + 2π n.
Prandaj formula:
Shumë kohë i kushtohet rrethit të numrave në klasën 10. Kjo është për shkak të rëndësisë së këtij objekti matematikor për të gjithë kursin e matematikës.
Zgjedhja e saktë e mjeteve mësimore ka një rëndësi të madhe për një asimilim të mirë të materialit. Mjetet më efektive të tilla përfshijnë mësime video. V kohët e fundit janë në kulmin e tyre. Prandaj, autori nuk mbeti prapa kohës dhe zhvilloi një manual kaq të mrekullueshëm për të ndihmuar mësuesit e matematikës - një video tutorial me temën "Rrethi i numrave në planin koordinativ".
Ky mësim zgjat 15:22 minuta në kohëzgjatje. Kjo është praktikisht koha maksimale që një mësues mund të shpenzojë për materiale vetëshpjeguese për një temë. Duke qenë se kërkon kaq shumë kohë për të shpjeguar materialin e ri, është e nevojshme të zgjidhen detyrat dhe ushtrimet më efektive për konsolidim, si dhe të theksohet një mësim tjetër ku nxënësit do të zgjidhin detyra për këtë temë.
Mësimi fillon duke vizatuar një rreth numerik në një sistem koordinativ. Autori ndërton këtë rreth dhe shpjegon veprimet e tij. Më pas autori emërton pikat e prerjes së rrethit numerik me boshtet koordinative. Më poshtë shpjegohet se çfarë koordinatash do të kenë pikat e rrethit në tremujorë të ndryshëm.
Pas kësaj, autori kujton se si duket ekuacioni i një rrethi. Dhe vëmendja e audiencës prezantohet me dy modele me imazhin e disa pikave në një rreth. Për shkak të kësaj, në hapin tjetër, autori tregon se si koordinatat e pikave të rrethit korrespondojnë numra të caktuar shënuar në shabllone. Kjo jep një tabelë të vlerave të ndryshoreve x dhe y në ekuacionin e rrethit.
Më tej, propozohet të merret parasysh një shembull ku është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e pikave të një rrethi. Para fillimit të zgjidhjes së shembullit, jepet një vërejtje që ndihmon në zgjidhje. Dhe më pas në ekran shfaqet një zgjidhje e plotë, e mirëstrukturuar dhe e ilustruar. Këtu ka edhe tabela që e bëjnë më të lehtë për të kuptuar thelbin e shembullit.
Më pas shqyrtohen edhe gjashtë shembuj të tjerë, të cilët janë më pak të mundimshëm se i pari, por jo më pak të rëndësishëm dhe reflektues. ideja kryesore mësim. Këtu janë paraqitur zgjidhjet në në mënyrë të plotë, me një histori të detajuar dhe me elemente vizuale. Gjegjësisht, zgjidhja përmban fotografi që ilustrojnë rrjedhën e zgjidhjes dhe një regjistrim matematikor që formon shkrim-leximin matematikor të nxënësve.
Mësuesi mund të kufizohet në ato shembuj që merren parasysh në mësim, por kjo mund të mos mjaftojë për një asimilim cilësor të materialit. Prandaj, është jashtëzakonisht e rëndësishme të zgjidhni detyrat për konsolidim.
Mësimi mund të jetë i dobishëm jo vetëm për mësuesit, koha e të cilëve është vazhdimisht e kufizuar, por edhe për studentët. Sidomos ata që marrin arsim familjar ose janë të angazhuar në vetë-edukim. Materialet mund të përdoren nga ata nxënës që kanë humbur mësimin për këtë temë.
KODI I TEKSTIT:
Tema e mësimit tonë është "RRETI NUMERIK NË RAFSHIN KOORDINATË"
Ne tashmë jemi njohur me sistemin e koordinatave drejtkëndore karteziane xOy. Në këtë sistem koordinativ, ne vendosim rrethin numerik në mënyrë që qendra e rrethit të jetë në një linjë me origjinën, dhe rrezja e tij merret si një segment në shkallë.
Pika e fillimit A e rrethit numerik është një linjë me pikën me koordinatat (1; 0), B - me pikën (0; 1), C - me (-1; 0) (minus një, zero) dhe D - me (0; - 1) (zero, minus një).
(shih foton 1)
Meqenëse çdo pikë e rrethit numerik ka koordinatat e saj në sistemin xOy (x rreth lojës), atëherë për pikat e tremujorit të parë ikx është më e madhe se zero dhe loja është më e madhe se zero;
Tremujori i dytë i ikh më pak se zero dhe loja është më e madhe se zero,
për pikat e tremujorit të tretë ikx është më i vogël se zero dhe y është më i vogël se zero,
dhe për tremujorin e katërt, ik është më i madh se zero dhe ig është më i vogël se zero
Për çdo pikë E (x; y) (me koordinatat x, y) të rrethit të numrave, vlejnë pabarazitë e mëposhtme: -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x është më i madh ose i barabartë me minus një, por më e vogël ose e barabartë me një; loja është më e madhe se secila është e barabartë me minus një, por më e vogël ose e barabartë me një).
Kujtojmë se ekuacioni për një rreth me rreze R me qendër në origjinë ka formën x 2 + y 2 = R 2 (x katror plus y katror është i barabartë me er katror). Dhe për rrethin e njësisë R = 1, kështu që marrim x 2 + y 2 = 1
(x katror plus katror ig është i barabartë me një).
Le të gjejmë koordinatat e pikave të rrethit numerik, të cilat janë paraqitur në dy paraqitje (shih Fig. 2, 3)
Le të jetë pika E, e cila korrespondon me
(pi në katër) - mesi i tremujorit të parë të paraqitur në figurë. Nga pika E hedhim pingulën EK në drejtëzën OA dhe marrim parasysh trekëndëshin OEK. Këndi AOE = 45 0, pasi harku AE është gjysma e harkut AB. Rrjedhimisht, trekëndëshi OEK është një trekëndësh drejtkëndor dykëndësh me OK = EK. Kjo do të thotë se abshisa dhe ordinata e pikës E janë të barabarta, d.m.th. x është e barabartë me y. Për të gjetur koordinatat e pikës E, zgjidhim sistemin e ekuacioneve: (x është e barabartë me lojën - ekuacioni i parë i sistemit dhe x është katrori plus katrori i lojës është një - ekuacioni i dytë i sistemit). ekuacioni i dytë i sistemit, në vend të x, zëvendësojmë y, marrim 2y 2 = 1 (dy lojëra janë katror është i barabartë me një), prej nga y = = (loja është e barabartë me një pjesëtuar me rrënjën e dy është e barabartë me rrënjën e dy pjesëtuar me dy) (ordinata është pozitive) Kjo do të thotë se pika E në një sistem koordinativ drejtkëndor ka koordinata (,) (rrënja e dy e ndarë me dy, rrënja e dy e ndarë me dy).
Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, ne do të gjejmë koordinatat për pikat që korrespondojnë me numrat e tjerë të paraqitjes së parë dhe do të marrim: pika me koordinata (-,) korrespondon (minus rrënja e dy pjesëtuar me dy, rrënja e dy pjesëtuar me dy); për - (-, -) (minus rrënjën e dy pjesëtuar me dy, minus rrënjën e dy pjesëtuar me dy); për (shtatë pi me katër) (,) (rrënja e dy pjesëtuar me dy, minus rrënja e dy pjesëtuar me dy).
Le të korrespondojë pika D me (Fig. 5). Le të hedhim pingulën nga DP (de ne) në OA dhe të marrim parasysh trekëndëshin ODP. Hipotenuza e këtij trekëndëshi OD është e barabartë me rrezen e rrethit të njësisë, domethënë një, dhe këndi DOP është i barabartë me tridhjetë gradë, pasi harku AD = digi AB (a de është e barabartë me një të tretën e një be) , dhe harku AB është i barabartë me nëntëdhjetë gradë. Prandaj, DP = (de pe është e barabartë me një sekondë O de është e barabartë me një sekondë) Meqenëse këmba, e cila shtrihet në një kënd prej tridhjetë gradë, është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës, domethënë y = (loja është e barabartë me një sekondë). Duke zbatuar teoremën e Pitagorës, marrim OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe katror është i barabartë me o de katror minus de pe katror), por OR = x (o pe është i barabartë me x). Prandaj, x 2 = OD 2 - DP 2 =
prandaj, x 2 = (x katrori është i barabartë me tre të katërtat) dhe x = (x është i barabartë me rrënjën e tre nga dy).
X është pozitiv, sepse është në tremujorin e parë. Ne morëm se pika D në një sistem koordinativ drejtkëndor ka koordinata (,) rrënja e treve e ndarë me dy, një sekondë.
Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, ne do të gjejmë koordinatat për pikat që korrespondojnë me numrat e tjerë të paraqitjes së dytë dhe do të shkruajmë të gjitha të dhënat e marra në tabela:
Le të shohim disa shembuj.
SHEMBULL 1. Gjeni koordinatat e pikave të rrethit numerik: a) С 1 ();
b) C2 (); c) C3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse një që korrespondon me tridhjetë e pesë pi me katër, tse dy që korrespondojnë me minus dyzet e nëntë pi me tre, tse tre që korrespondojnë me dyzet e një pi, tse katër që korrespondojnë me minus njëzet e gjashtë pi).
Zgjidhje. Do të përdorim pohimin e marrë më herët: nëse pika D e rrethit numerik i përgjigjet numrit t, atëherë i përgjigjet edhe çdo numri të formës t + 2πk (te plus dy maja), ku ka është çdo numër i plotë, d.m.th. kϵZ (ka i përket zet).
a) Marrim = ∙ π = (8 +) ∙ π = + 2π ∙ 4. (tridhjetë e pesë pi me katër është tridhjetë e pesë me katër, e shumëzuar me pi është e barabartë me shumën e tetë dhe tre të katërtat, e shumëzuar nga pi është tre pi me katër plus prodhimi i dy pi me katër) Kjo do të thotë se numri tridhjetë e pesë pi me katër korrespondon me të njëjtën pikë të rrethit të numrave si numri tre pi me katër. Duke përdorur tabelën 1, marrim С 1 () = С 1 (-;).
b) Në mënyrë të ngjashme, koordinatat С 2: = ∙ π = - (16 + ∙ π = + 2π ∙ (- 8). Prandaj, numri
korrespondon me të njëjtën pikë të rrethit numerik si numri. Dhe numri në rrethin e numrave korrespondon me të njëjtën pikë me numrin
(tregoni paraqitjen e dytë dhe tabelën 2). Për një pikë, kemi x =, y =.
c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Prandaj, numri 41π korrespondon me të njëjtën pikë të rrethit numerik si numri π - kjo është një pikë me koordinata (-1; 0).
d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), domethënë, numri - 26π korrespondon me të njëjtën pikë të rrethit të numrave si numri zero - kjo është një pikë me koordinata (1; 0).
SHEMBULL 2. Gjeni në rrethin numër pikat me ordinatë y =
Zgjidhje. Drejtëza y = pret rrethin numerik në dy pika. Një pikë i korrespondon një numri, pika e dytë korrespondon me një numër,
Prandaj, ne marrim të gjitha pikat duke shtuar një rrotullim të plotë 2πk ku k tregon se sa revolucione të plota bën një pikë d.m.th. marrim,
dhe për çdo numër, të gjithë numrat e formës + 2πk. Shpesh në raste të tilla thuhet se kemi marrë dy seri vlerash: + 2πk, + 2πk.
SHEMBULL 3. Gjeni në rrethin e numrave pikat me abshisë x = dhe shkruani cilët numra t u përgjigjen.
Zgjidhje. Drejt NS= pret rrethin numerik në dy pika. Një pikë korrespondon me një numër (shih paraqitjen e dytë),
dhe kështu çdo numër i formës + 2πk. Dhe pika e dytë korrespondon me një numër, dhe për rrjedhojë me çdo numër të formës + 2πk. Këto dy seri vlerash mund të mbulohen nga një rekord: ± + 2πk (plus minus dy pi me tre plus dy maja).
SHEMBULL 4. Gjeni në numër rrethoni pikat me ordinatë në> dhe shkruani cilët numra t korrespondojnë.
Drejtëza y = pret rrethin numerik në dy pika M dhe P. Dhe pabarazia y> korrespondon me pikat e harkut të hapur MP, kjo do të thotë harqe pa skaje (domethënë pa u), kur lëviz rreth rrethit në drejtim të kundërt të akrepave të orës. , duke filluar nga pika M dhe duke përfunduar në pikën P. Prandaj, bërthama e paraqitjes analitike të harkut МР është pabarazia< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
SHEMBULL 5. Gjeni pika me një ordinate në një rreth numerik në < и записать, каким числам t они соответствуют.
Drejtëza y = pret rrethin numerik në dy pika M dhe P. Dhe pabarazia y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
SHEMBULL 6. Gjeni pika me abshisë në një rreth numerik NS> dhe shkruani cilët numra t korrespondojnë.
Drejtëza x = pret rrethin numerik në dy pika M dhe P. Pabarazia x> korrespondon me pikat e harkut të hapur PM kur lëviz rreth rrethit në drejtim të kundërt me fillimin në pikën P, e cila korrespondon dhe përfundon në pikën M. , që korrespondon. Prandaj, thelbi i shënimit analitik të harkut PM është pabarazia< t <
(te është më shumë se minus dy pi me tre, por më pak se dy pi me tre), dhe regjistrimi analitik i vetë harkut ka formën + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
SHEMBULL 7. Gjeni pika me abshisë në rrethin numerik NS < и записать, каким числам t они соответствуют.
Drejtëza x = pret rrethin numerik në dy pika M dhe P. Pabarazi x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te është më shumë se dy pi me tre, por më pak se katër pi me tre), dhe regjistrimi analitik i vetë harkut ka formën + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
