Diskriminanten, såväl som andragradsekvationer, börjar studeras i algebrakursen i årskurs 8. Du kan lösa en andragradsekvation genom diskriminanten och med hjälp av Vieta-satsen. Studiemetodik Kvadratisk ekvation, liksom de diskriminerande formlerna, är ganska misslyckade ingjutna i skolbarn, som många saker i verklig utbildning. Passa därför skolår, utbildning i årskurs 9-11 ersätter " högre utbildning"och alla tittar igen - "Hur löser man en andragradsekvation?", "Hur hittar man rötterna till en ekvation?", "Hur hittar man diskriminanten?" Och...

Diskriminerande formel

Diskriminanten D i andragradsekvationen a*x^2+bx+c=0 är D=b^2–4*a*c.
Rötterna (lösningarna) till andragradsekvationen beror på tecknet för diskriminanten (D):
D>0 - ekvationen har 2 olika reella rötter;
D=0 - ekvationen har 1 rot (2 sammanfallande rötter):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formeln för att beräkna diskriminant är ganska enkel, så många webbplatser erbjuder en diskriminerande miniräknare online. Vi har inte kommit på den här typen av skript än, så vem vet hur man implementerar detta, vänligen skriv till mejlet Den här e-postadressen skyddas från spambots. Du måste ha JavaScript aktiverat för att kunna se. .

Allmän formel för att hitta rötterna till en andragradsekvation:

Rötterna till ekvationen hittas av formeln
Om koefficienten för variabeln i kvadraten är parad, är det tillrådligt att inte beräkna diskriminanten, utan dess fjärde del
I sådana fall hittas ekvationens rötter av formeln

Det andra sättet att hitta rötter är Vietas sats.

Satsen är formulerad inte bara för andragradsekvationer, utan även för polynom. Du kan läsa detta på Wikipedia eller andra elektroniska resurser. Men för att förenkla, tänk på den del av den som rör de reducerade andragradsekvationerna, det vill säga ekvationer av formen (a=1)
Kärnan i Vieta-formlerna är att summan av rötterna i ekvationen är lika med koefficienten för variabeln, taget med motsatt tecken. Produkten av ekvationens rötter är lika med den fria termen. Formlerna i Vietas sats har en notation.
Härledningen av Vieta-formeln är ganska enkel. Låt oss skriva andragradsekvationen i termer av primtalsfaktorer
Som du kan se är allt genialt enkelt på samma gång. Det är effektivt att använda Vieta-formeln när skillnaden i rötternas modul eller skillnaden i rötternas modul är 1, 2. Till exempel har följande ekvationer, enligt Vieta-satsen, rötter




Upp till 4 ekvationsanalyser bör se ut så här. Produkten av ekvationens rötter är 6, så rötterna kan vara värdena (1, 6) och (2, 3) eller par med motsatt tecken. Summan av rötterna är 7 (koefficienten för variabeln med motsatt tecken). Härifrån drar vi slutsatsen att lösningarna av andragradsekvationen är lika med x=2; x=3.
Det är lättare att välja rötterna till ekvationen bland den fria termens divisorer, korrigera deras tecken för att uppfylla Vieta-formlerna. I början verkar detta vara svårt att göra, men med övning på ett antal andragradsekvationer kommer denna teknik att vara mer effektiv än att beräkna diskriminanten och hitta rötter till andragradsekvationen på klassiskt sätt.
Som du kan se saknar skolans teori om att studera diskriminanten och sätt att hitta lösningar på ekvationen praktisk betydelse - "Varför behöver skolbarn en andragradsekvation?", "Vad är den fysiska innebörden av diskriminanten?".

Låt oss försöka lista ut det vad beskriver diskriminanten?

Under algebra studerar de funktioner, scheman för att studera funktioner och plotta funktioner. Av alla funktioner upptar parabeln en viktig plats, vars ekvation kan skrivas i formen
Så den fysiska betydelsen av andragradsekvationen är nollorna i parabeln, det vill säga skärningspunkterna för grafen för funktionen med abskissaxeln Ox
Jag ber dig komma ihåg egenskaperna hos paraboler som beskrivs nedan. Det är dags att göra prov, prov eller antagningsprov och du kommer att vara tacksam för referensmaterialet. Tecknet för variabeln i kvadraten motsvarar om grenarna av parabeln på grafen kommer att gå upp (a>0),

eller en parabel med grenar nedåt (a<0) .

Spetsen på parabeln ligger mitt emellan rötterna

Den fysiska betydelsen av diskriminanten:

Om diskriminanten är större än noll (D>0) har parabeln två skärningspunkter med Ox-axeln.
Om diskriminanten är lika med noll (D=0) så rör parabeln överst vid x-axeln.
Och det sista fallet när den diskriminerande mindre än noll(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ofullständiga andragradsekvationer

Bland hela kursen i skolans läroplan för algebra är ett av de mest omfattande ämnena ämnet kvadratiska ekvationer. I detta fall förstås en andragradsekvation som en ekvation av formen ax 2 + bx + c \u003d 0, där a ≠ 0 (det lyder: en multiplicera med x i kvadrat plus vara x plus ce är lika med noll, där a är inte lika med noll). I det här fallet är huvudplatsen upptagen av formlerna för att hitta diskriminanten för en andragradsekvation av den angivna typen, vilket förstås som ett uttryck som låter dig bestämma närvaron eller frånvaron av rötter i en andragradsekvation, såväl som deras nummer (om något).

Formel (ekvation) för diskriminanten för en andragradsekvation

Den allmänt accepterade formeln för diskriminanten för en kvadratisk ekvation är följande: D \u003d b 2 - 4ac. Genom att beräkna diskriminanten med hjälp av den angivna formeln kan man inte bara bestämma närvaron och antalet rötter i en andragradsekvation, utan också välja en metod för att hitta dessa rötter, av vilka det finns flera, beroende på typen av andragradsekvation.

Vad betyder det om diskriminanten är noll \ Formel för rötterna till en andragradsekvation om diskriminanten är noll

Diskriminanten, som följer av formeln, betecknas med den latinska bokstaven D. I det fall då diskriminanten är noll, bör man dra slutsatsen att den andragradsekvationen av formen ax 2 + bx + c = 0, där a ≠ 0 , har bara en rot, som beräknas från en förenklad formel. Denna formel gäller endast när diskriminanten är noll och ser ut så här: x = –b/2a, där x är roten till andragradsekvationen, b och a är motsvarande variabler i andragradsekvationen. För att hitta roten till en andragradsekvation är det nödvändigt att dividera det negativa värdet av variabeln b med två gånger värdet av variabeln a. Det resulterande uttrycket kommer att vara lösningen av en andragradsekvation.

Lösa en andragradsekvation genom diskriminanten

Om ett positivt värde erhålls vid beräkning av diskriminanten med formeln ovan (D är större än noll), har andragradsekvationen två rötter, som beräknas med följande formler: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Oftast beräknas inte diskriminanten separat, utan rotuttrycket i form av en diskriminantformel ersätts helt enkelt i D-värdet, från vilket roten extraheras. Om variabeln b har ett jämnt värde kan du också använda följande formler för att beräkna rötterna till en andragradsekvation av formen ax 2 + bx + c = 0, där a ≠ 0: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, där k = b/2.

I vissa fall, för den praktiska lösningen av andragradsekvationer, kan du använda Vieta-satsen, som säger att för summan av rötterna till en andragradsekvation av formen x 2 + px + q \u003d 0, värdet x 1 + x 2 \u003d -p kommer att vara sant, och för produkten av rötterna till den angivna ekvationen - uttryck x 1 xx 2 = q.

Kan diskriminanten vara mindre än noll?

Vid beräkning av diskriminantens värde kan man stöta på en situation som inte faller under något av de beskrivna fallen - när diskriminanten har ett negativt värde (det vill säga mindre än noll). I det här fallet anses andragradsekvationen av formen ax 2 + bx + c = 0, där a ≠ 0, inte har några reella rötter, därför kommer dess lösning att begränsas till att beräkna diskriminanten, och formlerna ovan för andragradsekvationens rötter i det här fallet kommer inte att gälla. Samtidigt står det i svaret på andragradsekvationen att "ekvationen har inga riktiga rötter".

Förklaringsvideo:

Första nivån

Kvadratisk ekvation. Omfattande guide (2019)

I termen "kvadratisk ekvation" är nyckelordet "kvadratiskt". Det betyder att ekvationen nödvändigtvis måste innehålla en variabel (samma X) i kvadraten, och samtidigt ska det inte finnas X i tredje (eller högre) graden.

Lösningen av många ekvationer reduceras till lösningen av andragradsekvationer.

Låt oss lära oss att bestämma att vi har en andragradsekvation och inte någon annan.

Exempel 1

Bli av med nämnaren och multiplicera varje led i ekvationen med

Låt oss flytta allt till vänster och ordna termerna i fallande ordning av potenser av x

Nu kan vi med tillförsikt säga att denna ekvation är kvadratisk!

Exempel 2

Multiplicera vänster och höger sida med:

Denna ekvation, även om den ursprungligen fanns i den, är inte en kvadrat!

Exempel 3

Låt oss multiplicera allt med:

Skrämmande? Den fjärde och andra graden ... Men om vi gör en ersättning kommer vi att se att vi har en enkel andragradsekvation:

Exempel 4

Det verkar vara så, men låt oss ta en närmare titt. Låt oss flytta allt till vänster sida:

Du förstår, den har krympt – och nu är det en enkel linjär ekvation!

Försök nu själv bestämma vilka av följande ekvationer som är kvadratiska och vilka som inte är det:

Exempel:

Svar:

1. fyrkant;
2. fyrkant;
3. inte kvadratisk;
4. inte kvadratisk;
5. inte kvadratisk;
6. fyrkant;
7. inte kvadratisk;
8. fyrkant.

Matematiker delar villkorligt in alla andragradsekvationer i följande typer:

• Komplettera andragradsekvationer- ekvationer där koefficienterna och, samt den fria termen c, inte är lika med noll (som i exemplet). Dessutom, bland de kompletta andragradsekvationerna, finns det givenär ekvationer där koefficienten (ekvationen från exempel ett inte bara är komplett utan också reducerad!)

• Ofullständiga andragradsekvationer- ekvationer där koefficienten och eller den fria termen c är lika med noll:

  De är ofullständiga eftersom något element saknas i dem. Men ekvationen måste alltid innehålla x i kvadrat !!! Annars blir det inte längre en kvadratisk, utan någon annan ekvation.

Varför kom de på en sådan uppdelning? Det verkar som att det finns ett X i kvadrat, och okej. En sådan uppdelning beror på lösningsmetoderna. Låt oss överväga var och en av dem mer i detalj.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Låt oss först fokusera på att lösa ofullständiga andragradsekvationer - de är mycket enklare!

Ofullständiga andragradsekvationer är av typer:

1. , i denna ekvation är koefficienten lika.
2. , i denna ekvation är den fria termen lika med.
3. , i denna ekvation är koefficienten och den fria termen lika.

1. i. Eftersom vi vet hur man tar kvadratroten, låt oss uttrycka från denna ekvation

Uttrycket kan vara antingen negativt eller positivt. Ett kvadratiskt tal kan inte vara negativt, för när man multiplicerar två negativa eller två positiva tal blir resultatet alltid ett positivt tal, så: om, då har ekvationen inga lösningar.

Och om, då får vi två rötter. Dessa formler behöver inte memoreras. Huvudsaken är att du alltid ska veta och komma ihåg att det inte kan bli mindre.

Låt oss försöka lösa några exempel.

Exempel 5:

Lös ekvationen

Nu återstår det att extrahera roten från vänster och höger del. Kommer du trots allt ihåg hur man extraherar rötterna?

Svar:

Glöm aldrig rötter med negativt tecken!!!

Exempel 6:

Lös ekvationen

Svar:

Exempel 7:

Lös ekvationen

aj! Kvadraten på ett tal kan inte vara negativ, vilket betyder att ekvationen

inga rötter!

För sådana ekvationer där det inte finns några rötter kom matematiker på en speciell ikon - (tom uppsättning). Och svaret kan skrivas så här:

Svar:

Således har denna andragradsekvation två rötter. Det finns inga begränsningar här, eftersom vi inte extraherade roten.
Exempel 8:

Lös ekvationen

Låt oss ta den gemensamma faktorn utanför parentes:

På det här sättet,

Denna ekvation har två rötter.

Svar:

Den enklaste typen av ofullständiga andragradsekvationer (även om de alla är enkla, eller hur?). Uppenbarligen har denna ekvation alltid bara en rot:

Här kommer vi att klara oss utan exempel.

Lösa kompletta andragradsekvationer

Vi påminner dig om att den fullständiga andragradsekvationen är en ekvation av formen ekvation där

Att lösa hela andragradsekvationer är lite mer komplicerat (bara lite) än de givna.

Kom ihåg, vilken andragradsekvation som helst kan lösas med hjälp av diskriminanten! Till och med ofullständig.

Resten av metoderna hjälper dig att göra det snabbare, men om du har problem med andragradsekvationer, behärska först lösningen med hjälp av diskriminanten.

1. Lösa andragradsekvationer med diskriminant.

Att lösa andragradsekvationer på detta sätt är väldigt enkelt, det viktigaste är att komma ihåg sekvensen av åtgärder och ett par formler.

Om, så har ekvationen en rot. Särskild uppmärksamhet bör ägnas åt steget. Diskriminanten () talar om för oss antalet rötter i ekvationen.

• Om, då kommer formeln i steget att reduceras till. Således kommer ekvationen bara att ha en rot.
• Om, då kommer vi inte att kunna extrahera roten till diskriminanten vid steget. Detta indikerar att ekvationen inte har några rötter.

Låt oss gå tillbaka till våra ekvationer och titta på några exempel.

Exempel 9:

Lös ekvationen

Steg 1 hoppa.

Steg 2

Hitta diskriminanten:

Så ekvationen har två rötter.

Steg 3

Svar:

Exempel 10:

Lös ekvationen

Ekvationen är i standardform, så Steg 1 hoppa.

Steg 2

Hitta diskriminanten:

Så ekvationen har en rot.

Svar:

Exempel 11:

Lös ekvationen

Ekvationen är i standardform, så Steg 1 hoppa.

Steg 2

Hitta diskriminanten:

Det betyder att vi inte kommer att kunna utvinna roten från diskriminanten. Det finns inga rötter till ekvationen.

Nu vet vi hur man skriver ner sådana svar korrekt.

Svar: inga rötter

2. Lösning av andragradsekvationer med hjälp av Vieta-satsen.

Om du kommer ihåg, så finns det en sådan typ av ekvationer som kallas reducerade (när koefficienten a är lika med):

Sådana ekvationer är mycket lätta att lösa med hjälp av Vietas sats:

Summan av rötterna given andragradsekvationen är lika, och produkten av rötterna är lika.

Exempel 12:

Lös ekvationen

Denna ekvation är lämplig för lösning med hjälp av Vietas sats, eftersom .

Summan av ekvationens rötter är, d.v.s. vi får den första ekvationen:

Och produkten är:

Låt oss skapa och lösa systemet:

• Och. Summan är;
• Och. Summan är;
• Och. Beloppet är lika stort.

och är lösningen på systemet:

Svar: ; .

Exempel 13:

Lös ekvationen

Svar:

Exempel 14:

Lös ekvationen

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Svar:

KVADRATISK EKVATION. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Vad är en andragradsekvation?

Med andra ord, en andragradsekvation är en ekvation av formen, där - okänt, - dessutom några tal.

Numret kallas det högsta eller första koefficienten andragradsekvation, - andra koefficienten, men - gratis medlem.

Varför? För om, kommer ekvationen omedelbart att bli linjär, eftersom kommer försvinna.

I detta fall kan och vara lika med noll. I denna avföring kallas ekvationen ofullständig. Om alla termer är på plats, det vill säga, är ekvationen komplett.

Lösningar på olika typer av andragradsekvationer

Metoder för att lösa ofullständiga andragradsekvationer:

Till att börja med kommer vi att analysera metoderna för att lösa ofullständiga andragradsekvationer - de är enklare.

Följande typer av ekvationer kan särskiljas:

I. , i denna ekvation är koefficienten och den fria termen lika.

II. , i denna ekvation är koefficienten lika.

III. , i denna ekvation är den fria termen lika med.

Överväg nu lösningen för var och en av dessa undertyper.

Uppenbarligen har denna ekvation alltid bara en rot:

Ett tal i kvadrat kan inte vara negativt, för när man multiplicerar två negativa eller två positiva tal blir resultatet alltid ett positivt tal. Det är därför:

om, då har ekvationen inga lösningar;

om vi har två rötter

Dessa formler behöver inte memoreras. Det viktigaste att komma ihåg är att det inte kan vara mindre.

Exempel:

Lösningar:

Svar:

Glöm aldrig rötter med negativt tecken!

Kvadraten på ett tal kan inte vara negativ, vilket betyder att ekvationen

inga rötter.

För att kort skriva att problemet inte har några lösningar använder vi den tomma uppsättningsikonen.

Svar:

Så den här ekvationen har två rötter: och.

Svar:

Låt oss ta den gemensamma faktorn utanför parentes:

Produkten är lika med noll om minst en av faktorerna är lika med noll. Det betyder att ekvationen har en lösning när:

Så den här andragradsekvationen har två rötter: och.

Exempel:

Lös ekvationen.

Lösning:

Vi faktoriserar vänster sida av ekvationen och hittar rötterna:

Svar:

Metoder för att lösa fullständiga andragradsekvationer:

1. Diskriminerande

Att lösa andragradsekvationer på detta sätt är lätt, det viktigaste är att komma ihåg sekvensen av åtgärder och ett par formler. Kom ihåg att vilken andragradsekvation som helst kan lösas med diskriminant! Till och med ofullständig.

Lade du märke till roten till diskriminanten i rotformeln? Men diskriminanten kan vara negativ. Vad ska man göra? Vi måste ägna särskild uppmärksamhet åt steg 2. Diskriminanten talar om för oss antalet rötter i ekvationen.

• Om, så har ekvationen en rot:
• Om, då har ekvationen samma rot, men i själva verket en rot:

  Sådana rötter kallas dubbelrötter.

• Om, då är roten till diskriminanten inte extraherad. Detta indikerar att ekvationen inte har några rötter.

Varför finns det olika antal rötter? Låt oss gå över till den geometriska betydelsen av den andragradsekvationen. Grafen för funktionen är en parabel:

I ett särskilt fall, som är en andragradsekvation, . Och detta betyder att rötterna till andragradsekvationen är skärningspunkterna med x-axeln (axeln). Parabeln kanske inte korsar axeln alls, eller så kan den skära den vid en (när parabelns topp ligger på axeln) eller två punkter.

Dessutom är koefficienten ansvarig för riktningen av parabelns grenar. Om, då är parabelns grenar riktade uppåt, och om - då nedåt.

Exempel:

Lösningar:

Svar:

Svar: .

Svar:

Det betyder att det inte finns några lösningar.

Svar: .

2. Vietas sats

Att använda Vieta-satsen är mycket lätt: du behöver bara välja ett par tal vars produkt är lika med ekvationens fria term, och summan är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken.

Det är viktigt att komma ihåg att Vietas teorem endast kan tillämpas på givna andragradsekvationer ().

Låt oss titta på några exempel:

Exempel #1:

Lös ekvationen.

Lösning:

Denna ekvation är lämplig för lösning med hjälp av Vietas sats, eftersom . Andra koefficienter: ; .

Summan av rötterna till ekvationen är:

Och produkten är:

Låt oss välja sådana par av tal, vars produkt är lika, och kontrollera om deras summa är lika:

• Och. Summan är;
• Och. Summan är;
• Och. Beloppet är lika stort.

och är lösningen på systemet:

Alltså och är rötterna till vår ekvation.

Svar: ; .

Exempel #2:

Lösning:

Vi väljer sådana nummerpar som ger i produkten och kontrollerar sedan om deras summa är lika:

och: ge totalt.

och: ge totalt. För att få det behöver du bara ändra tecknen på de påstådda rötterna: och trots allt produkten.

Svar:

Exempel #3:

Lösning:

Ekvationens fria term är negativ, och därför är produkten av rötterna ett negativt tal. Detta är möjligt endast om en av rötterna är negativ och den andra är positiv. Så summan av rötterna är skillnader i sina moduler.

Vi väljer sådana siffror som ger produkten, och skillnaden är lika med:

och: deras skillnad är - inte lämplig;

och: - inte lämplig;

och: - inte lämplig;

och: - lämplig. Det återstår bara att komma ihåg att en av rötterna är negativ. Eftersom deras summa måste vara lika, måste roten, som är mindre i absolut värde, vara negativ: . Vi kontrollerar:

Svar:

Exempel #4:

Lös ekvationen.

Lösning:

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Den fria termen är negativ, och därför är produkten av rötterna negativ. Och detta är möjligt endast när en rot av ekvationen är negativ och den andra är positiv.

Vi väljer sådana siffror vars produkt är lika, och bestämmer sedan vilka rötter som ska ha ett negativt tecken:

Uppenbarligen bara rötter och är lämpliga för det första tillståndet:

Svar:

Exempel #5:

Lös ekvationen.

Lösning:

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Summan av rötterna är negativ, vilket betyder att minst en av rötterna är negativ. Men eftersom deras produkt är positiv betyder det att båda rötterna är minus.

Vi väljer sådana par av nummer, vars produkt är lika med:

Uppenbarligen är rötterna siffrorna och.

Svar:

Håller med, det är väldigt bekvämt - att uppfinna rötter oralt, istället för att räkna denna otäcka diskriminant. Försök att använda Vietas sats så ofta som möjligt.

Men Vieta-satsen behövs för att underlätta och påskynda att hitta rötterna. För att göra det lönsamt för dig att använda det måste du föra åtgärderna till automatism. Och för detta, lös ytterligare fem exempel. Men fuska inte: du kan inte använda diskriminanten! Endast Vietas teorem:

Lösningar för uppgifter för självständigt arbete:

Uppgift 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Enligt Vietas teorem:

Som vanligt börjar vi urvalet med produkten:

Inte lämplig eftersom mängden;

: mängden är vad du behöver.

Svar: ; .

Uppgift 2.

Och återigen, vårt favorit-Vieta-teorem: summan borde fungera, men produkten är lika.

Men eftersom det inte borde vara det, men, vi ändrar tecken på rötterna: och (totalt).

Svar: ; .

Uppgift 3.

Hmm... Var är det?

Det är nödvändigt att överföra alla villkor till en del:

Summan av rötterna är lika med produkten.

Ja, sluta! Ekvationen är inte given. Men Vietas teorem är endast tillämplig i de givna ekvationerna. Så först måste du ta med ekvationen. Om du inte kan ta upp det, släpp den här idén och lös den på ett annat sätt (till exempel genom diskriminanten). Låt mig påminna dig om att att ta med en andragradsekvation betyder att göra den ledande koefficienten lika med:

Bra. Då är summan av rötterna lika, och produkten.

Det är lättare att plocka upp här: trots allt - ett primtal (förlåt för tautologin).

Svar: ; .

Uppgift 4.

Fritiden är negativ. Vad är så speciellt med det? Och det faktum att rötterna kommer att vara av olika tecken. Och nu, under urvalet, kontrollerar vi inte summan av rötterna, utan skillnaden mellan deras moduler: denna skillnad är lika, men produkten.

Så, rötterna är lika och, men en av dem är med ett minus. Vietas sats säger att summan av rötterna är lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, det vill säga. Detta betyder att den mindre roten kommer att ha ett minus: och, sedan.

Svar: ; .

Uppgift 5.

Vad behöver göras först? Det stämmer, ge ekvationen:

Återigen: vi väljer faktorerna för antalet, och deras skillnad ska vara lika med:

Rötterna är lika och, men en av dem är minus. Som? Deras summa måste vara lika, vilket betyder att med ett minus blir det en större rot.

Svar: ; .

Låt mig sammanfatta:

1. Vietas sats används endast i de givna andragradsekvationerna.
2. Med hjälp av Vieta-satsen kan du hitta rötterna genom urval, muntligt.
3. Om ekvationen inte ges eller inget lämpligt par av faktorer för den fria termen hittades, så finns det inga heltalsrötter, och du måste lösa det på annat sätt (till exempel genom diskriminanten).

3. Hel kvadratisk urvalsmetod

Om alla termer som innehåller det okända representeras som termer från formlerna för förkortad multiplikation - kvadraten på summan eller skillnaden - så efter förändringen av variabler kan ekvationen representeras som en ofullständig andragradsekvation av typen.

Till exempel:

Exempel 1:

Lös ekvationen: .

Lösning:

Svar:

Exempel 2:

Lös ekvationen: .

Lösning:

Svar:

Generellt sett kommer transformationen att se ut så här:

Detta innebär: .

Påminner det dig inte om något? Det är diskriminanten! Det var precis så diskriminantformeln erhölls.

KVADRATISK EKVATION. KORT OM HUVUDSAKTEN

Andragradsekvationär en ekvation av formen, där är det okända, är koefficienterna för andragradsekvationen, är den fria termen.

Komplett andragradsekvation- en ekvation där koefficienterna inte är lika med noll.

Reducerad andragradsekvation- en ekvation där koefficienten, det vill säga: .

Ofullständig andragradsekvation- en ekvation där koefficienten och eller den fria termen c är lika med noll:

• om koefficienten har ekvationen formen: ,
• om en fri term har ekvationen formen: ,
• om och, har ekvationen formen: .

1. Algoritm för att lösa ofullständiga andragradsekvationer

1.1. En ofullständig andragradsekvation av formen, där:

1) Uttryck det okända: ,

2) Kontrollera uttryckets tecken:

• om, då ekvationen inte har några lösningar,
• om, då har ekvationen två rötter.

1.2. En ofullständig andragradsekvation av formen, där:

1) Låt oss ta den gemensamma faktorn ur parentes: ,

2) Produkten är lika med noll om minst en av faktorerna är lika med noll. Därför har ekvationen två rötter:

1.3. En ofullständig andragradsekvation av formen, där:

Denna ekvation har alltid bara en rot: .

2. Algoritm för att lösa fullständiga andragradsekvationer av formen var

2.1. Lösning med diskriminant

1) Låt oss ta ekvationen till standardformen: ,

2) Beräkna diskriminanten med formeln: , som anger antalet rötter i ekvationen:

3) Hitta rötterna till ekvationen:

• om, då har ekvationen en rot, som hittas av formeln:
• om, då har ekvationen en rot, som hittas av formeln:
• om, då har ekvationen inga rötter.

2.2. Lösning med hjälp av Vietas teorem

Summan av rötterna till den reducerade andragradsekvationen (en ekvation av formen, där) är lika, och produkten av rötterna är lika, d.v.s. , men.

2.3. Hel fyrkantig lösning

Till exempel, för trinomialet \(3x^2+2x-7\), blir diskriminanten \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Och för trinomialet \(x^2-5x+11\), kommer det att vara lika med \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminanten betecknas med bokstaven \(D\) och används ofta vid lösning. Genom värdet på diskriminanten kan du också förstå hur grafen ser ut (se nedan).

Diskriminerande och ekvationsrötter

Värdet på diskriminanten visar mängden av andragradsekvationen:
- om \(D\) är positiv kommer ekvationen att ha två rötter;
- om \(D\) är lika med noll - endast en rot;
- om \(D\) är negativ, finns det inga rötter.

Det är inte nödvändigt att lära sig detta, det är lätt att komma till en sådan slutsats, helt enkelt att veta att från diskriminanten (det vill säga \(\sqrt(D)\) ingår i formeln för att beräkna rötterna till ekvationen: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) och \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) Låt oss titta på varje fall mer i detalj .

Om diskriminanten är positiv

I det här fallet är roten av det ett positivt tal, vilket betyder att \(x_(1)\) och \(x_(2)\) kommer att vara olika i värde, för i den första formeln \(\sqrt(D) \) läggs till och i den andra subtraheras -. Och vi har två olika rötter.

Exempel : Hitta rötterna till ekvationen \(x^2+2x-3=0\)
Lösning :

Svar : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Om diskriminanten är noll

Och hur många rötter blir det om diskriminanten är noll? Låt oss resonera.

Rotformlerna ser ut så här: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) och \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Och om diskriminanten är noll, så är roten till den också noll. Då visar det sig:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Det vill säga värdena på rötterna till ekvationen kommer att vara desamma, eftersom att addera eller subtrahera noll inte förändrar någonting.

Exempel : Hitta rötterna till ekvationen \(x^2-4x+4=0\)
Lösning :

\(x^2-4x+4=0\)		Vi skriver ut koefficienterna:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Beräkna diskriminanten med formeln \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Att hitta rötterna till ekvationen
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Vi har två identiska rötter, så det är ingen mening att skriva dem separat - vi skriver ner dem som en.

Svar : \(x=2\)

Andragradsekvation - lätt att lösa! *Vidare i texten "KU". Vänner, det verkar som om det i matematik kan vara lättare än att lösa en sådan ekvation. Men något sa mig att många har problem med honom. Jag bestämde mig för att se hur många visningar Yandex ger per begäran per månad. Här är vad som hände, ta en titt:

Vad betyder det? Det betyder att cirka 70 000 personer i månaden söker den här informationen, och det här är sommar, och vad som kommer att hända under läsåret – det kommer att finnas dubbelt så många förfrågningar. Detta är inte förvånande, eftersom de killar och tjejer som länge har tagit examen från skolan och förbereder sig för provet letar efter denna information, och skolbarn försöker också fräscha upp minnet.

Trots att det finns en hel del sajter som berättar hur man löser denna ekvation så bestämde jag mig för att även bidra och publicera materialet. För det första vill jag att besökare ska komma till min sida på denna begäran; för det andra, i andra artiklar, när talet "KU" kommer upp, kommer jag att ge en länk till denna artikel; för det tredje kommer jag att berätta lite mer om hans lösning än vad som brukar anges på andra sajter. Låt oss börja! Innehållet i artikeln:

En andragradsekvation är en ekvation av formen:

där koefficienterna a,boch med godtyckliga tal, med a≠0.

I skolkurs materialet ges i följande form - uppdelningen av ekvationer i tre klasser görs villkorligt:

1. Har två rötter.

2. * Har bara en rot.

3. Har inga rötter. Det är värt att notera här att de inte har riktiga rötter

Hur beräknas rötter? Bara!

Vi beräknar diskriminanten. Under detta "hemska" ord ligger en mycket enkel formel:

Rotformlerna är följande:

*Dessa formler måste vara kända utantill.

Du kan omedelbart skriva ner och bestämma:

Exempel:

1. Om D > 0 har ekvationen två rötter.

2. Om D = 0, så har ekvationen en rot.

3. Om D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Låt oss titta på ekvationen:

Vid detta tillfälle, när diskriminanten är noll, säger skolkursen att en rot erhålls, här är den lika med nio. Det stämmer, det är det, men...

Denna framställning är något felaktig. I själva verket finns det två rötter. Ja, ja, bli inte förvånad, det visar sig två lika stora rötter, och för att vara matematiskt korrekt bör två rötter skrivas i svaret:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men det är så - en liten utvikning. I skolan kan man skriva ner och säga att det bara finns en rot.

Nu följande exempel:

Som vi vet, roten till negativt tal extraheras inte, så det finns ingen lösning i det här fallet.

Det är hela beslutsprocessen.

Kvadratisk funktion.

Så här ser lösningen ut geometriskt. Detta är extremt viktigt att förstå (i framtiden, i en av artiklarna, kommer vi att analysera i detalj lösningen av en kvadratisk ojämlikhet).

Detta är en funktion av formuläret:

där x och y är variabler

a, b, c ges tal, där a ≠ 0

Grafen är en parabel:

Det vill säga, det visar sig att genom att lösa en andragradsekvation med "y" lika med noll, hittar vi parabelns skärningspunkter med x-axeln. Det kan finnas två av dessa punkter (diskriminanten är positiv), en (diskriminanten är noll) eller ingen (diskriminanten är negativ). Detaljer om kvadratisk funktion Du kan se artikel av Inna Feldman.

Tänk på exempel:

Exempel 1: Bestäm dig 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = -12

* Du kan direkt dividera vänster och höger sida av ekvationen med 2, det vill säga förenkla den. Beräkningarna blir lättare.

Exempel 2: Lösa x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Vi fick det x 1 \u003d 11 och x 2 \u003d 11

I svaret är det tillåtet att skriva x = 11.

Svar: x = 11

Exempel 3: Lösa x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanten är negativ, det finns ingen lösning i reella tal.

Svar: ingen lösning

Diskriminanten är negativ. Det finns en lösning!

Här kommer vi att prata om att lösa ekvationen i fallet när en negativ diskriminant erhålls. Kan du något om komplexa tal? Jag kommer inte att gå in i detalj här om varför och var de uppstod och vad deras specifika roll och nödvändighet i matematik är, detta är ett ämne för en stor separat artikel.

Begreppet ett komplext tal.

Lite teori.

Ett komplext tal z är ett tal av formen

z = a + bi

där a och b är reella tal, i är den så kallade imaginära enheten.

a+bi är ett ENKELTAL, inte ett tillägg.

Den imaginära enheten är lika med roten av minus ett:

Tänk nu på ekvationen:

Få två konjugerade rötter.

Ofullständig andragradsekvation.

Tänk på speciella fall, det är när koefficienten "b" eller "c" är lika med noll (eller båda är lika med noll). De löses enkelt utan diskriminering.

Fall 1. Koefficient b = 0.

Ekvationen tar formen:

Låt oss omvandla:

Exempel:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Fall 2. Koefficient c = 0.

Ekvationen tar formen:

Förvandla, faktorisera:

*Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.

Exempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 eller x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Fall 3. Koefficienter b = 0 och c = 0.

Här är det tydligt att lösningen till ekvationen alltid kommer att vara x = 0.

Användbara egenskaper och mönster av koefficienter.

Det finns egenskaper som tillåter att lösa ekvationer med stora koefficienter.

menx 2 + bx+ c=0 jämlikhet

a + b+ c = 0, sedan

— om för ekvationens koefficienter menx 2 + bx+ c=0 jämlikhet

a+ med =b, sedan

Dessa egenskaper hjälper till att lösa en viss typ av ekvation.

Exempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summan av koefficienterna är 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, alltså

Exempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jämlikhet a+ med =b, innebär att

Regelbundenheter av koefficienter.

1. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0 är (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 - bx + c \u003d 0 är (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Om i ekvationen ax 2 + bx - c = 0 koefficient "b" är lika med (en 2 – 1), och koefficienten "c" numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter lika

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Om koefficienten "b" i ekvationen ax 2 - bx - c \u003d 0 är lika med (a 2 - 1), och koefficienten c är numeriskt lika med koefficienten "a", så är dess rötter

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas sats.

Vietas sats är uppkallad efter den berömda fransk matematiker François Vieta. Med hjälp av Vietas teorem kan man uttrycka summan och produkten av rötterna till en godtycklig KU i termer av dess koefficienter.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sammanfattningsvis ger talet 14 bara 5 och 9. Dessa är rötterna. Med en viss skicklighet, med hjälp av den presenterade satsen, kan du lösa många andragradsekvationer omedelbart muntligt.

Vietas sats dessutom. bekvämt eftersom efter att ha löst andragradsekvationen på vanligt sätt (genom diskriminanten) kan de resulterande rötterna kontrolleras. Jag rekommenderar att du gör detta hela tiden.

ÖVERFÖRINGSMETOD

Med denna metod multipliceras koefficienten "a" med den fria termen, som om den "överförs" till den, varför den kallas överföringsmetod. Denna metod används när det är lätt att hitta rötterna till en ekvation med hjälp av Vietas sats och, viktigast av allt, när diskriminanten är en exakt kvadrat.

Om men± b+c≠ 0, då används överföringstekniken, till exempel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Enligt Vieta-satsen i ekvation (2) är det lätt att bestämma att x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

De erhållna rötterna av ekvationen måste delas med 2 (eftersom de två "kastades" från x 2), får vi

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Vad är motiveringen? Se vad som händer.

Diskriminanterna i ekvationerna (1) och (2) är:

Om du tittar på rötterna till ekvationerna erhålls bara olika nämnare, och resultatet beror exakt på koefficienten vid x 2:

De andra (modifierade) rötterna är 2 gånger större.

Därför delar vi resultatet med 2.

*Om vi ​​slår tre lika delar vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kvm ur-ie och tentamen.

Jag kommer att säga kort om dess betydelse - DU BÖR KUNNA BESLUTA snabbt och utan att tänka, du måste kunna formlerna för rötterna och diskriminanten utantill. Många av uppgifterna som ingår i USE-uppgifterna handlar om att lösa en andragradsekvation (inklusive geometriska).

Vad är värt att notera!

1. Formen på ekvationen kan vara "implicit". Till exempel är följande post möjlig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x+42+9x 2 - 45x=0 eller 15 -5x+10x 2 = 0.

Du måste ta det till en standardform (för att inte bli förvirrad när du löser).

2. Kom ihåg att x är ett okänt värde och det kan betecknas med vilken bokstav som helst - t, q, p, h och andra.