Formens ekvation

Uttryck D= b 2 - 4 ac kallas diskriminerande andragradsekvation. OmD = 0, då har ekvationen en reell rot; om D> 0, då har ekvationen två reella rötter.
I fallet när D = 0 , sägs det ibland att en andragradsekvation har två identiska rötter.
Använda notationen D= b 2 - 4 ac, kan vi skriva om formel (2) som

Om b= 2 k, sedan har formel (2) formen:

var k= b / 2 .
Den sista formeln är särskilt bekväm när b / 2 - ett heltal, dvs. koefficient b - jämnt nummer.
Exempel 1: Lös ekvationen 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 ... Här a = 2, b = -5, c = 2... Vi har D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 ... Eftersom D > 0 , då har ekvationen två rötter. Låt oss hitta dem med formeln (2)

så x 1 = (5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
det är x 1 = 2 och x 2 = 1 / 2 är rötterna till den givna ekvationen.
Exempel 2: Lös ekvationen 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 ... Här a = 2, b = -3, c = 5... Hitta diskriminanten D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 ... Eftersom D 0 , då har ekvationen inga riktiga rötter.

Ofullständiga andragradsekvationer. Om i en andragradsekvation yxa 2 + bx+ c =0 andra koefficienten b eller gratis medlem cär noll, då kallas andragradsekvationen Ofullständig... Ofullständiga ekvationer särskiljs eftersom man för att hitta deras rötter inte kan använda formeln för rötterna till en andragradsekvation - det är lättare att lösa ekvationen genom att faktorisera dess vänstra sida i faktorer.
Exempel 1: lösa ekvationen 2 x 2 - 5 x = 0 .
Vi har x(2 x - 5) = 0 ... Så heller x = 0 eller 2 x - 5 = 0 , det är x = 2.5 ... Så ekvationen har två rötter: 0 och 2.5
Exempel 2: lösa ekvationen 3 x 2 - 27 = 0 .
Vi har 3 x 2 = 27 ... Därför är rötterna till denna ekvation - 3 och -3 .

Vietas sats. Om den reducerade andragradsekvationen x 2 + px+ q =0 har verkliga rötter, så är deras summa - sid och produkten är q, det är

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(summan av rötterna i den givna andragradsekvationen är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen).

För att fortsätta med ämnet "Lösa ekvationer", kommer materialet i den här artikeln att introducera dig till andragradsekvationer.

Låt oss överväga allt i detalj: kärnan och skrivningen av den kvadratiska ekvationen, vi kommer att sätta relaterade termer, vi kommer att analysera schemat för att lösa ofullständiga och fullständiga ekvationer, vi kommer att bekanta oss med formeln för rötterna och diskriminanten, vi kommer att fastställa kopplingar mellan rötterna och koefficienterna, och givetvis ger vi en visuell lösning av praktiska exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Andragradsekvationen, dess typer

Definition 1

AndragradsekvationÄr en ekvation skriven som a x 2 + b x + c = 0, var x- variabel, a, b och c- några siffror, medan aär inte noll.

Ofta kallas andragradsekvationer även andragradsekvationer, eftersom en andragradsekvation i huvudsak är en algebraisk ekvation av andra graden.

Låt oss ge ett exempel för att illustrera den givna definitionen: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Är andragradsekvationer.

Definition 2

Siffrorna a, b och cÄr koefficienterna för andragradsekvationen a x 2 + b x + c = 0, medan koefficienten a kallas den första, eller senior, eller koefficienten vid x 2, b - den andra koefficienten, eller koefficienten vid x, a c kallas gratis medlem.

Till exempel i en andragradsekvation 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 seniorkoefficienten är 6, den andra koefficienten är − 2 och friperioden är − 11 ... Låt oss uppmärksamma det faktum att när koefficienterna b och/eller c är negativa, använd sedan kortform formulärets register 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, men inte 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Låt oss också klargöra denna aspekt: ​​om koefficienterna a och/eller bär jämlika 1 eller − 1 , då får de inte ta explicit deltagande i registreringen av andragradsekvationen, vilket förklaras av särdragen hos registreringen av de angivna numeriska koefficienterna. Till exempel i en andragradsekvation y 2 - y + 7 = 0 den högsta koefficienten är 1 och den andra koefficienten är − 1 .

Reducerade och oreducerade andragradsekvationer

Enligt värdet på den första koefficienten delas andragradsekvationer upp i reducerade och icke-reducerade.

Definition 3

Reducerad andragradsekvationÄr en andragradsekvation, där den ledande koefficienten är 1. För andra värden på den ledande koefficienten reduceras inte andragradsekvationen.

Låt oss ge exempel: andragradsekvationer x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 reduceras, i var och en av dem är den ledande koefficienten 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- oreducerad andragradsekvation, där den första koefficienten skiljer sig från 1 .

Varje oreducerad andragradsekvation kan omvandlas till en reducerad ekvation genom att dividera båda delarna med den första koefficienten (ekvivalent transformation). Den transformerade ekvationen kommer att ha samma rötter som den givna oreducerade ekvationen, eller så kommer den inte heller att ha några rötter alls.

Hänsyn konkret exempel kommer att tillåta oss att tydligt demonstrera implementeringen av övergången från en oreducerad andragradsekvation till en reducerad.

Exempel 1

Ekvationen är 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Det är nödvändigt att konvertera den ursprungliga ekvationen till den reducerade formen.

Lösning

Enligt schemat ovan delar vi båda sidorna av den ursprungliga ekvationen med den ledande koefficienten 6. Då får vi: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3 och detta är samma sak som: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 och vidare: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Därav: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Därmed erhålls en ekvation som är ekvivalent med den givna.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Kompletta och ofullständiga andragradsekvationer

Låt oss gå över till definitionen av en andragradsekvation. I den har vi förtydligat det a ≠ 0... Ett liknande villkor är nödvändigt för ekvationen a x 2 + b x + c = 0 var just fyrkantig, eftersom för a = 0 den är i huvudsak omvandlad till linjär ekvation b x + c = 0.

I fallet när koefficienterna b och c lika med noll (vilket är möjligt, både separat och gemensamt), kallas andragradsekvationen ofullständig.

Definition 4

Ofullständig kvadratisk ekvationÄr en sådan andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0, där minst en av koefficienterna b och c(eller båda) är noll.

Hela andragradsekvationen- en andragradsekvation där alla numeriska koefficienter inte är lika med noll.

Låt oss diskutera varför typerna av andragradsekvationer ges exakt sådana namn.

För b = 0 tar andragradsekvationen formen a x 2 + 0 x + c = 0 vilket är samma som a x 2 + c = 0... På c = 0 andragradsekvationen skrivs som a x 2 + b x + 0 = 0 vilket motsvarar a x 2 + b x = 0... På b = 0 och c = 0 ekvationen blir a x 2 = 0... Ekvationerna som vi fick skiljer sig från den fullständiga andragradsekvationen genom att deras vänstra sida inte innehåller vare sig en term med variabel x, eller en fri term, eller båda samtidigt. Egentligen gav detta faktum namnet till den här typen av ekvationer - ofullständiga.

Till exempel är x 2 + 3 x + 4 = 0 och - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 fullständiga andragradsekvationer; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - ofullständiga andragradsekvationer.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Ovanstående definition gör det möjligt att peka ut följande typer ofullständiga andragradsekvationer:

• a x 2 = 0, motsvarar en sådan ekvation koefficienterna b = 0 och c = 0;
• a x 2 + c = 0 för b = 0;
• a x 2 + b x = 0 vid c = 0.

Låt oss betrakta lösningen av varje typ av ofullständig andragradsekvation i följd.

Lösning av ekvationen a x 2 = 0

Som redan nämnts ovan motsvarar en sådan ekvation koefficienterna b och c lika med noll. Ekvationen a x 2 = 0 kan omvandlas till en ekvivalent ekvation x 2 = 0, vilket vi får genom att dividera båda sidor av den ursprungliga ekvationen med talet a inte lika med noll. Det är ett uppenbart faktum att roten till ekvationen x 2 = 0 det är noll eftersom 0 2 = 0 ... Denna ekvation har inga andra rötter, vilket kan förklaras av gradens egenskaper: för vilket tal som helst p, inte lika med noll, är ojämlikheten sann p 2> 0, varav följer att för p ≠ 0 jämlikhet p 2 = 0 kommer aldrig att uppnås.

Definition 5

Således, för en ofullständig andragradsekvation a x 2 = 0, finns det en unik rot x = 0.

Exempel 2

Låt oss till exempel lösa en ofullständig andragradsekvation - 3 x 2 = 0... Ekvationen motsvarar det x 2 = 0, dess enda rot är x = 0, då har den ursprungliga ekvationen också en enda rot - noll.

Kortfattat är lösningen formaliserad enligt följande:

- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Lösning av ekvationen a x 2 + c = 0

Nästa steg är lösningen av ofullständiga andragradsekvationer, där b = 0, c ≠ 0, det vill säga ekvationer av formen a x 2 + c = 0... Vi transformerar denna ekvation genom att överföra termen från en sida av ekvationen till en annan, ändra tecknet till det motsatta och dividera båda sidor av ekvationen med ett tal som inte är lika med noll:

• överföra c till höger, vilket ger ekvationen a x 2 = - c;
• vi dividerar båda sidor av ekvationen med a, får vi som ett resultat x = - c a.

Våra transformationer är likvärdiga respektive, den resulterande ekvationen är också likvärdig med den ursprungliga, och detta faktum gör det möjligt att dra en slutsats om ekvationens rötter. Ur vad betydelserna är a och c värdet av uttrycket - c a beror: det kan ha ett minustecken (till exempel if a = 1 och c = 2, sedan - c a = - 2 1 = - 2) eller ett plustecken (till exempel if a = - 2 och c = 6 sedan -ca = -6 - 2 = 3); det är inte noll eftersom c ≠ 0... Låt oss uppehålla oss mer i detalj vid situationer när - c a< 0 и - c a > 0 .

I fallet när - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа sid likheten p 2 = - c a kan inte vara sann.

Allt är annorlunda när - c a> 0: kom ihåg kvadratroten, och det blir uppenbart att roten till ekvationen x 2 = - c a kommer att vara talet - c a, eftersom - c a 2 = - c a. Det är lätt att förstå att talet - - c a också är roten till ekvationen x 2 = - c a: verkligen, - - c a 2 = - c a.

Ekvationen kommer inte att ha några andra rötter. Vi kan visa detta med en motsägelsefull metod. Till att börja med, låt oss definiera notationen för rötterna som finns ovan som x 1 och - x 1... Låt oss anta att ekvationen x 2 = - c a också har en rot x 2 som skiljer sig från rötterna x 1 och - x 1... Det vet vi genom att substituera i ekvationen istället för x dess rötter, förvandlar ekvationen till en rättvis numerisk likhet.

För x 1 och - x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a, och för x 2- x 2 2 = - c a. Baserat på egenskaperna hos numeriska likheter subtraherar vi en term för term sann jämlikhet från en annan, som kommer att ge oss: x 1 2 - x 2 2 = 0... Vi använder egenskaperna för åtgärder på siffror för att skriva om den sista likheten som (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Det är känt att produkten av två tal är noll om och endast om minst ett av talen är noll. Av det sagda följer att x 1 - x 2 = 0 och/eller x 1 + x 2 = 0 vilket är detsamma x 2 = x 1 och/eller x 2 = - x 1... En uppenbar motsägelse uppstod, eftersom man först var överens om att roten till ekvationen x 2 skiljer sig från x 1 och - x 1... Så vi bevisade att ekvationen inte har några andra rötter, förutom x = - c a och x = - - c a.

Vi sammanfattar alla resonemang ovan.

Definition 6

Ofullständig kvadratisk ekvation a x 2 + c = 0är ekvivalent med ekvationen x 2 = - c a, som:

• har inga rötter för - c a< 0 ;
• kommer att ha två rötter x = - c a och x = - - c a för - c a> 0.

Låt oss ge exempel på hur vi löser ekvationerna a x 2 + c = 0.

Exempel 3

Andragradsekvationen ges 9 x 2 + 7 = 0. Det är nödvändigt att hitta en lösning på det.

Lösning

Vi överför den fria termen till höger sida av ekvationen, sedan får ekvationen formen 9 x 2 = - 7.
Vi dividerar båda sidor av den resulterande ekvationen med 9 , kommer vi fram till x 2 = - 7 9. På höger sida ser vi ett tal med ett minustecken, vilket betyder: den givna ekvationen har inga rötter. Sedan den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen 9 x 2 + 7 = 0 kommer inte att ha några rötter.

Svar: ekvationen 9 x 2 + 7 = 0 har inga rötter.

Exempel 4

Det är nödvändigt att lösa ekvationen - x 2 + 36 = 0.

Lösning

Flytta 36 till höger sida: - x 2 = - 36.
Låt oss dela upp båda delarna i − 1 , vi får x 2 = 36... På höger sida finns ett positivt tal, från vilket vi kan dra slutsatsen att x = 36 eller x = -36.
Låt oss extrahera roten och skriva ner det slutliga resultatet: en ofullständig andragradsekvation - x 2 + 36 = 0 har två rötter x = 6 eller x = -6.

Svar: x = 6 eller x = -6.

Lösning till ekvationen a x 2 + b x = 0

Låt oss analysera den tredje typen av ofullständiga andragradsekvationer, när c = 0... Att hitta en lösning på en ofullständig andragradsekvation a x 2 + b x = 0, använd faktoriseringsmetoden. Vi räknar ut polynomet på vänster sida av ekvationen och tar ut den gemensamma faktorn utanför parentesen x... Detta steg gör det möjligt att konvertera den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen till dess motsvarighet x (a x + b) = 0... Och denna ekvation är i sin tur ekvivalent med en uppsättning ekvationer x = 0 och a x + b = 0... Ekvationen a x + b = 0 linjär, och dess rot är: x = - b a.

Definition 7

Alltså den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 + b x = 0 kommer att ha två rötter x = 0 och x = - b a.

Låt oss fixa materialet med ett exempel.

Exempel 5

Det är nödvändigt att hitta en lösning på ekvationen 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0.

Lösning

Ta ut x parentes och få ekvationen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. Denna ekvation motsvarar ekvationerna x = 0 och 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nu måste du lösa den resulterande linjära ekvationen: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Vi skriver kortfattat lösningen till ekvationen så här:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formeln för rötterna till en andragradsekvation

För att hitta en lösning på andragradsekvationer finns en rotformel:

Definition 8

x = - b ± D2a, där D = b 2 - 4 a c- den så kallade diskriminanten i andragradsekvationen.

Notationen x = - b ± D 2 · a betyder i huvudsak att x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det kommer inte att vara överflödigt att förstå hur den angivna formeln härleddes och hur man tillämpar den.

Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation

Låt oss stå inför uppgiften att lösa en andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0... Låt oss utföra ett antal motsvarande transformationer:

• dividera båda sidor av ekvationen med talet a icke noll får vi den reducerade andragradsekvationen: x 2 + b a · x + c a = 0;
• välj hela kvadraten på vänster sida av den resulterande ekvationen:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Efter detta kommer ekvationen att ha formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• nu är det möjligt att överföra de två sista termerna till höger sida genom att ändra tecknet till motsatt, varefter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
• slutligen transformerar vi uttrycket skrivet på höger sida av den sista jämlikheten:
  b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.

Vi har alltså kommit till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, vilket är ekvivalent med den ursprungliga ekvationen a x 2 + b x + c = 0.

Vi analyserade lösningen av sådana ekvationer i de föregående styckena (lösning av ofullständiga andragradsekvationer). De erfarenheter som redan vunnits gör det möjligt att dra en slutsats om rötterna till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• för b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• för b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 har ekvationen formen x + b 2 a 2 = 0, sedan x + b 2 a = 0.

Därför är den enda roten x = - b 2 · a uppenbar;

• för b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 kommer det att vara sant: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 eller x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, vilket är detsamma som x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 eller x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, dvs. ekvationen har två rötter.

Det är möjligt att dra slutsatsen att närvaron eller frånvaron av rötter i ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (och därmed den ursprungliga ekvationen) beror på tecknet för uttrycket b 2 - 4 a c 4 · A 2 skriven på höger sida. Och tecknet för detta uttryck sätts av täljarens tecken, (nämnare 4 a 2 kommer alltid att vara positivt), det vill säga av uttryckets tecken b 2 - 4 a c... Detta uttryck b 2 - 4 a c namnet ges - diskriminanten för andragradsekvationen och bokstaven D definieras som dess beteckning. Här kan du skriva ner essensen av diskriminanten - med dess värde och tecken dras slutsatsen om den andragradsekvationen kommer att ha reella rötter, och i så fall vad är antalet rötter - en eller två.

Låt oss återgå till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. Vi skriver om det med notationen för diskriminanten: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

Låt oss formulera slutsatserna igen:

Definition 9

• på D< 0 ekvationen har inga egentliga rötter;
• på D = 0 ekvationen har en enda rot x = - b 2 · a;
• på D> 0 ekvationen har två rötter: x = - b 2 a + D 4 a 2 eller x = - b 2 a - D 4 a 2. Baserat på egenskaperna hos radikaler kan dessa rötter skrivas som: x = - b 2 a + D 2 a eller - b 2 a - D 2 a. Och när vi öppnar modulerna och bringar bråken till en gemensam nämnare får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet av vårt resonemang var härledningen av formeln för rötterna till andragradsekvationen:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminanten D beräknas med formeln D = b 2 - 4 a c.

Dessa formler gör det möjligt, med en diskriminant större än noll, att bestämma båda reella rötter. När diskriminanten är noll, kommer tillämpning av båda formlerna att ge samma rotliknande enda beslut andragradsekvation. I det fall då diskriminanten är negativ, försöker vi använda formeln för roten av en andragradsekvation, kommer vi att ställas inför behovet av att extrahera Roten ur från negativt tal, vilket tar oss bortom de reella siffrorna. Med en negativ diskriminant kommer andragradsekvationen inte att ha reella rötter, men ett par komplexa konjugerade rötter är möjliga, bestämt av samma rotformler som vi fick.

Algoritm för att lösa andragradsekvationer med hjälp av rotformler

Det är möjligt att lösa andragradsekvationen genom att omedelbart använda rotformeln, men i princip görs detta när det är nödvändigt att hitta komplexa rötter.

I de flesta fall är det vanligtvis inte tänkt att söka efter komplexa, utan efter verkliga rötter till en andragradsekvation. Då är det optimalt, innan du använder formlerna för andragradsekvationens rötter, att först bestämma diskriminanten och se till att den inte är negativ (annars kommer vi att dra slutsatsen att ekvationen inte har några riktiga rötter), och sedan fortsätta med att beräkna rötternas värden.

Resonemanget ovan gör det möjligt att formulera en algoritm för att lösa en andragradsekvation.

Definition 10

Att lösa en andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0, nödvändigt:

• enligt formeln D = b 2 - 4 a c hitta värdet av diskriminanten;
• på D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• för D = 0, hitta den enda roten av ekvationen med formeln x = - b 2 · a;
• för D> 0, bestäm två reella rötter av andragradsekvationen med formeln x = - b ± D 2 · a.

Observera att när diskriminanten är noll kan du använda formeln x = - b ± D 2 · a, det kommer att ge samma resultat som formeln x = - b 2 · a.

Låt oss titta på några exempel.

Exempel på att lösa andragradsekvationer

Låt oss ge en lösning av exempel för olika betydelser diskriminerande.

Exempel 6

Det är nödvändigt att hitta rötterna till ekvationen x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lösning

Vi skriver ner de numeriska koefficienterna för andragradsekvationen: a = 1, b = 2 och c = -6... Därefter agerar vi enligt algoritmen, d.v.s. låt oss börja beräkna diskriminanten, för vilken vi ersätter koefficienterna a, b och c i diskriminantformeln: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

Så vi fick D> 0, vilket betyder att den ursprungliga ekvationen kommer att ha två reella rötter.
För att hitta dem använder vi rotformeln x = - b ± D 2 · a och, ersätter motsvarande värden, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. Låt oss förenkla det resulterande uttrycket genom att ta faktorn utanför rottecknet och sedan reducera bråket:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Exempel 7

Det är nödvändigt att lösa andragradsekvationen - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Lösning

Låt oss definiera diskriminanten: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Med detta värde på diskriminanten kommer den ursprungliga ekvationen bara att ha en rot, bestämd av formeln x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Svar: x = 3, 5.

Exempel 8

Det är nödvändigt att lösa ekvationen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Lösning

De numeriska koefficienterna för denna ekvation kommer att vara: a = 5, b = 6 och c = 2. Vi använder dessa värden för att hitta diskriminanten: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Den beräknade diskriminanten är negativ, så den ursprungliga andragradsekvationen har inga riktiga rötter.

I fallet när uppgiften är att indikera komplexa rötter, tillämpar vi formeln för rötterna och utför åtgärder med komplexa tal:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: inga giltiga rötter; de komplexa rötterna är som följer: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

V Läroplanen Som standard finns det inget krav på att söka efter komplexa rötter, därför, om diskriminanten under lösningen bestäms som negativ, registreras svaret omedelbart att det inte finns några riktiga rötter.

Rotformel för jämna andrakoefficienter

Rotformeln x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, till exempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Låt oss visa hur denna formel härleds.

Anta att vi står inför uppgiften att hitta en lösning på andragradsekvationen a x 2 + 2 n x + c = 0. Vi agerar enligt algoritmen: vi bestämmer diskriminanten D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), och använder sedan formeln för rötterna:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.

Låt uttrycket n 2 - a · c betecknas som D 1 (ibland betecknas det med D "). Då kommer formeln för rötterna till den betraktade andragradsekvationen med den andra koefficienten 2 n att ha formen:

x = - n ± Dla, där Di = n2 - a · c.

Det är lätt att se att D = 4 · D 1, eller D 1 = D 4. D 1 är med andra ord en fjärdedel av diskriminanten. Uppenbarligen är tecknet för D 1 detsamma som tecknet för D, vilket betyder att tecknet för D 1 också kan fungera som en indikator på närvaron eller frånvaron av rötter i en andragradsekvation.

Definition 11

För att hitta en lösning på andragradsekvationen med den andra koefficienten 2 n är det alltså nödvändigt:

• hitta Di = n2 - a · c;
• vid D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• när D 1 = 0, bestäm den enda roten av ekvationen med formeln x = - n a;
• för D 1> 0 bestäm två reella rötter med formeln x = - n ± D 1 a.

Exempel 9

Det är nödvändigt att lösa andragradsekvationen 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.

Lösning

Den andra koefficienten i den givna ekvationen kan representeras som 2 · (- 3). Sedan skriver vi om den givna andragradsekvationen till 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, där a = 5, n = - 3 och c = - 32.

Vi beräknar den fjärde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 - ac = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Det resulterande värdet är positivt, vilket betyder att ekvationen har två reella rötter. Låt oss definiera dem enligt motsvarande rotformel:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det skulle vara möjligt att utföra beräkningar med den vanliga formeln för rötterna till en andragradsekvation, men i det här fallet skulle lösningen vara mer besvärlig.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2.

Förenkla synen av kvadratiska ekvationer

Ibland är det möjligt att optimera formen på den ursprungliga ekvationen, vilket kommer att förenkla processen för att beräkna rötterna.

Till exempel är andragradsekvationen 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 klart mer praktisk att lösa än 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.

Oftare utförs förenklingen av formen av en kvadratisk ekvation genom att multiplicera eller dividera båda delarna av den med ett visst antal. Till exempel visade vi ovan en förenklad representation av ekvationen 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, erhållen genom att dividera båda delarna av den med 100.

En sådan transformation är möjlig när koefficienterna för andragradsekvationen inte är coprimtal. Då görs vanligtvis divisionen av båda sidor av ekvationen med den största gemensamma divisorn absoluta värden dess koefficienter.

Som ett exempel, använd andragradsekvationen 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Bestäm gcd för de absoluta värdena för dess koefficienter: gcd (12, 42, 48) = gcd (gcd (12, 42), 48) = gcd (6, 48) = 6. Vi dividerar båda sidor av den ursprungliga andragradsekvationen med 6 och får den ekvivalenta andragradsekvationen 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.

Genom att multiplicera båda sidor av andragradsekvationen blir man oftast av med bråkkoefficienterna. I det här fallet multiplicerar du med den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för dess koefficienter. Till exempel, om varje del av andragradsekvationen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliceras med LCM (6, 3, 1) = 6, så kommer det att skrivas i mer enkel form x 2 + 4 x - 18 = 0.

Slutligen noterar vi att de nästan alltid blir av med minus vid den första koefficienten i andragradsekvationen, och ändrar tecknen för varje term i ekvationen, vilket uppnås genom att multiplicera (eller dividera) båda delarna med - 1. Till exempel, från andragradsekvationen - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, kan du gå till en förenklad version av den 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Sambandet mellan rötter och koefficienter

Den redan kända formeln för rötterna till andragradsekvationer x = - b ± D 2 · a uttrycker ekvationens rötter i termer av dess numeriska koefficienter. Baserat på denna formel kan vi specificera andra beroenden mellan rötter och koefficienter.

De mest kända och tillämpliga är Vieta-satsformlerna:

x 1 + x 2 = - b a och x 2 = c a.

Speciellt för den givna andragradsekvationen är summan av rötterna den andra koefficienten med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen. Till exempel, med formen av andragradsekvationen 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, är ​​det möjligt att omedelbart bestämma att summan av dess rötter är 7 3 och produkten av rötterna är 22 3.

Du kan också hitta ett antal andra samband mellan andragradsekvationens rötter och koefficienter. Till exempel kan summan av kvadraterna av rötterna i en andragradsekvation uttryckas i termer av koefficienterna:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl + Enter

Förhoppningsvis efter att ha pluggat Denna artikel, kommer du att lära dig hur du hittar rötterna till en komplett andragradsekvation.

Med hjälp av diskriminanten löses endast kompletta andragradsekvationer, andra metoder används för att lösa ofullständiga andragradsekvationer, vilket du hittar i artikeln "Lösa ofullständiga andragradsekvationer".

Vilka andragradsekvationer kallas kompletta? den ekvationer av formen ax 2 + b x + c = 0, där koefficienterna a, b och c inte är lika med noll. Så för att lösa hela andragradsekvationen måste du beräkna diskriminanten D.

D = b 2 - 4ac.

Beroende på vilket värde diskriminanten har kommer vi att skriva ner svaret.

Om diskriminanten är negativ (D< 0),то корней нет.

Om diskriminanten är noll så är x = (-b) / 2a. När diskriminanten är ett positivt tal (D> 0),

sedan x 1 = (-b - √D) / 2a, och x 2 = (-b + √D) / 2a.

Till exempel. Lös ekvationen x 2- 4x + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Svar: 2.

Lös ekvation 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 2 3 = - 23

Svar: inga rötter.

Lös ekvation 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Svar: - 3,5; 1.

Så låt oss presentera lösningen av kompletta andragradsekvationer av kretsen i figur 1.

Dessa formler kan användas för att lösa vilken komplett kvadratisk ekvation som helst. Du behöver bara vara försiktig för att säkerställa det ekvationen skrevs som ett standardpolynom

a x 2 + bx + c, annars kan du göra ett misstag. Till exempel, när du skriver ekvationen x + 3 + 2x 2 = 0, kan du felaktigt bestämma att

a = 1, b = 3 och c = 2. Sedan

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 och då har ekvationen två rötter. Och detta är inte sant. (Se lösning till exempel 2 ovan).

Därför, om ekvationen inte skrivs som ett polynom av standardformen, måste först den fullständiga andragradsekvationen skrivas som ett polynom av standardformen (bör i första hand vara monomet med den största exponenten, dvs. a x 2 , sedan med mindre – bx och sedan en gratis medlem med.

När du löser en reducerad andragradsekvation och en andragradsekvation med en jämn koefficient vid andra termen kan du använda andra formler. Låt oss också lära känna dessa formler. Om koefficienten i den fullständiga andragradsekvationen för den andra termen är jämn (b = 2k), kan ekvationen lösas med formlerna som visas i diagrammet i figur 2.

En fullständig andragradsekvation kallas reducerad om koefficienten vid x 2 är lika med ett och ekvationen tar formen x 2 + px + q = 0... En sådan ekvation kan ges för lösningen, eller så erhålls den genom att dividera alla ekvationens koefficienter med koefficienten a står vid x 2 .

Figur 3 visar ett schema för att lösa den reducerade kvadraten
ekvationer. Låt oss titta på ett exempel på tillämpningen av formlerna som diskuteras i den här artikeln.

Exempel. Lös ekvationen

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Låt oss lösa denna ekvation med formlerna som visas i diagrammet i figur 1.

D = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √ (363) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = –1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3) / (2 3) = (6 (-1+ √ (3))) / 6 = –1 + √3

Svar: -1 - √3; –1 + √3

Det kan noteras att koefficienten vid x i denna ekvation är ett jämnt tal, det vill säga b = 6 eller b = 2k, varav k = 3. Sedan ska vi försöka lösa ekvationen med hjälp av formlerna som visas i diagrammet i figur D 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√ (D 1) = √27 = √ (9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3

Svar: -1 - √3; –1 + √3... När vi lägger märke till att alla koefficienter i denna andragradsekvation är dividerade med 3 och utför division, får vi den reducerade andragradsekvationen x 2 + 2x - 2 = 0 Lös denna ekvation med formlerna för den reducerade andragradsekvationen
Ekvationer Figur 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√ (D 2) = √12 = √ (4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3

x 2 = (-2 + 2√3) / 2 = (2 (-1+ √ (3))) / 2 = - 1 + √3

Svar: -1 - √3; –1 + √3.

Som du kan se fick vi samma svar när vi löste denna ekvation med olika formler. Därför, efter att ha behärskat formlerna som visas i diagrammet i figur 1 väl, kan du alltid lösa vilken komplett kvadratisk ekvation som helst.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Första nivån

Kvadratisk ekvation. Omfattande guide (2019)

I termen "kvadratisk" är nyckelordet "kvadratiskt". Det betyder att ekvationen nödvändigtvis måste innehålla en variabel (samma x) i kvadrat, och det får inte finnas något x i den tredje (eller högre) graden.

Lösningen av många ekvationer reduceras till lösningen av andragradsekvationer.

Låt oss lära oss att bestämma att vi har en andragradsekvation och inte någon annan.

Exempel 1.

Låt oss bli av med nämnaren och multiplicera varje term i ekvationen med

Flytta allt till vänster och ordna termerna i fallande ordning efter graderna av x

Nu kan vi med säkerhet säga att denna ekvation är kvadratisk!

Exempel 2.

Låt oss multiplicera vänster och höger sida med:

Denna ekvation, även om den ursprungligen fanns i den, är inte fyrkantig!

Exempel 3.

Låt oss multiplicera allt med:

Rädsla? Fjärde och andra graden ... Men om vi gör en substitution, kommer vi att se att vi har en enkel andragradsekvation:

Exempel 4.

Det verkar finnas där, men låt oss ta en närmare titt. Låt oss flytta allt till vänster sida:

Du förstår, den har krympt – och nu är det en enkel linjär ekvation!

Försök nu själv räkna ut vilka av följande ekvationer som är kvadratiska och vilka som inte är det:

Exempel:

Svar:

1. fyrkant;
2. fyrkant;
3. inte kvadratisk;
4. inte kvadratisk;
5. inte kvadratisk;
6. fyrkant;
7. inte kvadratisk;
8. fyrkant.

Matematiker delar villkorligt in alla andragradsekvationer i följande form:

• Komplettera andragradsekvationer- ekvationer där koefficienterna och, samt den fria termen c inte är lika med noll (som i exemplet). Dessutom, bland de kompletta andragradsekvationerna, finns det given- det här är ekvationer där koefficienten (ekvationen från exempel ett inte bara är komplett utan också reducerad!)

• Ofullständiga andragradsekvationer- ekvationer där koefficienten och eller den fria termen c är lika med noll:

  De är ofullständiga, eftersom de saknar något element. Men ekvationen måste alltid ha en x-kvadrat!!! Annars blir det inte längre en kvadrat, utan någon annan ekvation.

Varför kom du på en sådan uppdelning? Det verkar som att det finns ett X i kvadrat, och okej. Denna uppdelning beror på lösningsmetoderna. Låt oss överväga var och en av dem mer i detalj.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Låt oss först uppehålla oss vid att lösa ofullständiga andragradsekvationer - de är mycket enklare!

Ofullständiga andragradsekvationer är av följande typer:

1. , i denna ekvation är koefficienten.
2. , i denna ekvation är den fria termen.
3. , i denna ekvation är koefficienten och skärningspunkten lika.

1.och. Eftersom vi vet hur man tar kvadratroten, låt oss uttrycka från denna ekvation

Uttrycket kan vara antingen negativt eller positivt. Antalet i kvadrat kan inte vara negativt, för när man multiplicerar två negativa eller två positiva tal blir resultatet alltid ett positivt tal, så: om, då har ekvationen inga lösningar.

Och om, då får vi två rötter. Dessa formler behöver inte memoreras. Huvudsaken är att du måste veta och alltid komma ihåg att det inte kan bli mindre.

Låt oss försöka lösa några exempel.

Exempel 5:

Lös ekvationen

Nu återstår att extrahera roten från vänster och höger sida. Kommer du ihåg hur man extraherar rötter?

Svar:

Glöm aldrig negativa rötter!!!

Exempel 6:

Lös ekvationen

Svar:

Exempel 7:

Lös ekvationen

aj! Kvadraten på ett tal kan inte vara negativ, vilket betyder att ekvationen

inga rötter!

För ekvationer som inte har några rötter har matematiker kommit med en speciell ikon - (tom uppsättning). Och svaret kan skrivas så här:

Svar:

Således har denna andragradsekvation två rötter. Det finns inga begränsningar här, eftersom vi inte extraherade roten.
Exempel 8:

Lös ekvationen

Låt oss ta den gemensamma faktorn ur parentesen:

Således,

Denna ekvation har två rötter.

Svar:

Den enklaste typen av ofullständiga andragradsekvationer (även om de alla är enkla, eller hur?). Uppenbarligen har denna ekvation alltid bara en rot:

Vi klarar oss utan exempel här.

Lösa kompletta andragradsekvationer

Vi påminner dig om att en komplett andragradsekvation är en ekvation av formen ekvation där

Att lösa fullständiga andragradsekvationer är lite svårare (bara lite) än de givna.

Kom ihåg, vilken andragradsekvation som helst kan lösas med hjälp av diskriminanten! Till och med ofullständig.

Resten av metoderna hjälper dig att göra det snabbare, men om du har problem med andragradsekvationer, lär dig först lösningen med hjälp av diskriminanten.

1. Lösa andragradsekvationer med diskriminant.

Att lösa andragradsekvationer på detta sätt är väldigt enkelt, det viktigaste är att komma ihåg sekvensen av åtgärder och ett par formler.

Om, då har ekvationen en rot. Särskild uppmärksamhet ta ett steg. Diskriminanten () anger för oss antalet rötter i ekvationen.

• Om, då kommer formeln i steg att reduceras till. Således kommer ekvationen att ha hela roten.
• Om, då kommer vi inte att kunna extrahera roten från diskriminanten vid steget. Detta indikerar att ekvationen inte har några rötter.

Låt oss gå tillbaka till våra ekvationer och titta på några exempel.

Exempel 9:

Lös ekvationen

Steg 1 hoppa.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Så ekvationen har två rötter.

Steg 3.

Svar:

Exempel 10:

Lös ekvationen

Ekvationen presenteras därför i standardformuläret Steg 1 hoppa.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Så ekvationen har en rot.

Svar:

Exempel 11:

Lös ekvationen

Ekvationen presenteras därför i standardformuläret Steg 1 hoppa.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Därför kommer vi inte att kunna utvinna roten från diskriminanten. Det finns inga rötter till ekvationen.

Nu vet vi hur man skriver ner sådana svar korrekt.

Svar: Inga rötter

2. Lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas sats.

Om du kommer ihåg finns det en typ av ekvationer som kallas reducerade (när koefficienten a är lika):

Sådana ekvationer är mycket lätta att lösa med hjälp av Vietas sats:

Summan av rötter given andragradsekvationen är, och produkten av rötterna är.

Exempel 12:

Lös ekvationen

Denna ekvation är lämplig för att lösa med hjälp av Vietas sats, eftersom ...

Summan av ekvationens rötter är lika, d.v.s. vi får den första ekvationen:

Och produkten är lika med:

Låt oss komponera och lösa systemet:

• och. Beloppet är lika;
• och. Beloppet är lika;
• och. Beloppet är lika stort.

och är lösningen på systemet:

Svar: ; .

Exempel 13:

Lös ekvationen

Svar:

Exempel 14:

Lös ekvationen

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Svar:

KVADRATISK EKVATION. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Vad är en kvadratisk ekvation?

Med andra ord, en andragradsekvation är en ekvation av formen, där är det okända, är några tal, och.

Numret kallas den äldsta eller första oddset andragradsekvation, - andra koefficienten, en - gratis medlem.

Varför? För om, kommer ekvationen omedelbart att bli linjär, eftersom försvinna.

Dessutom, och kan vara lika med noll. I denna stol kallas ekvationen ofullständig. Om alla termer är på plats, det vill säga, är ekvationen komplett.

Lösningar på olika typer av andragradsekvationer

Metoder för att lösa ofullständiga andragradsekvationer:

Till att börja med, låt oss analysera metoderna för att lösa ofullständiga kvadratiska ekvationer - de är enklare.

Följande typer av ekvationer kan särskiljas:

I., i denna ekvation är koefficienten och skärningen lika.

II. , i denna ekvation är koefficienten.

III. , i denna ekvation är den fria termen.

Låt oss nu titta på en lösning för var och en av dessa undertyper.

Uppenbarligen har denna ekvation alltid bara en rot:

Ett kvadratiskt tal kan inte vara negativt, för när du multiplicerar två negativa eller två positiva tal blir resultatet alltid ett positivt tal. Det är därför:

om, då har ekvationen inga lösningar;

om vi har två rötter

Dessa formler behöver inte memoreras. Det viktigaste att komma ihåg är att det inte kan vara mindre.

Exempel:

Lösningar:

Svar:

Glöm aldrig negativa rötter!

Kvadraten på ett tal kan inte vara negativ, vilket betyder att ekvationen

inga rötter.

För att kortfattat registrera att problemet inte har några lösningar använder vi den tomma uppsättningsikonen.

Svar:

Så den här ekvationen har två rötter: och.

Svar:

Dra ut den gemensamma faktorn ur parentesen:

Produkten är lika med noll om minst en av faktorerna är lika med noll. Det betyder att ekvationen har en lösning när:

Så den här andragradsekvationen har två rötter: och.

Exempel:

Lös ekvationen.

Lösning:

Faktorera vänster sida av ekvationen och hitta rötterna:

Svar:

Metoder för att lösa fullständiga andragradsekvationer:

1. Diskriminerande

Att lösa andragradsekvationer på detta sätt är lätt, det viktigaste är att komma ihåg sekvensen av åtgärder och ett par formler. Kom ihåg att vilken andragradsekvation som helst kan lösas med diskriminant! Till och med ofullständig.

Har du lagt märke till roten till diskriminanten i rotformeln? Men diskriminanten kan vara negativ. Vad ska man göra? Det är nödvändigt att ägna särskild uppmärksamhet åt steg 2. Diskriminanten anger för oss antalet rötter i ekvationen.

• Om, så har ekvationen en rot:
• Om, då har ekvationen samma rot, men i själva verket en rot:

  Sådana rötter kallas dubbelrötter.

• Om, då är roten till diskriminanten inte extraherad. Detta indikerar att ekvationen inte har några rötter.

Varför är det möjligt olika mängd rötter? Låt oss vända oss till geometrisk betydelse andragradsekvation. Funktionsgrafen är en parabel:

I specialfallet, som är en andragradsekvation,. Och detta betyder att rötterna till andragradsekvationen är skärningspunkterna med abskissaxeln (axeln). Parabeln kanske inte skär axeln alls, eller så kan den skära den vid en (när parabelns spets ligger på axeln) eller två punkter.

Dessutom är koefficienten ansvarig för riktningen av parabelns grenar. Om, då är parabelns grenar riktade uppåt, och om - då nedåt.

Exempel:

Lösningar:

Svar:

Svar: .

Svar:

Så det finns inga lösningar.

Svar: .

2. Vietas sats

Det är mycket lätt att använda Vietas sats: du behöver bara välja ett par tal, vars produkt är lika med ekvationens fria term, och summan är den andra koefficienten, taget med motsatt tecken.

Det är viktigt att komma ihåg att Vietas teorem endast kan tillämpas i reducerade andragradsekvationer ().

Låt oss titta på några exempel:

Exempel # 1:

Lös ekvationen.

Lösning:

Denna ekvation är lämplig för att lösa med hjälp av Vietas sats, eftersom ... Andra koefficienter:; ...

Summan av rötterna till ekvationen är:

Och produkten är lika med:

Låt oss välja sådana par av tal, vars produkt är lika, och kontrollera om deras summa är lika:

• och. Beloppet är lika;
• och. Beloppet är lika;
• och. Beloppet är lika stort.

och är lösningen på systemet:

Alltså och är rötterna till vår ekvation.

Svar: ; ...

Exempel #2:

Lösning:

Låt oss välja sådana talpar som ger i produkten och kontrollera sedan om deras summa är lika:

och: lägga ihop.

och: lägga ihop. För att få, behöver du bara ändra tecknen på de påstådda rötterna: och trots allt produkten.

Svar:

Exempel #3:

Lösning:

Ekvationens fria term är negativ, vilket betyder att produkten av rötterna är ett negativt tal. Detta är bara möjligt om en av rötterna är negativ och den andra är positiv. Därför är summan av rötterna skillnaden mellan deras moduler.

Låt oss välja sådana siffror som ger i produkten, och skillnaden är lika med:

och: deras skillnad är lika - passar inte;

och: - passar inte;

och: - passar inte;

och: - passar. Det återstår bara att komma ihåg att en av rötterna är negativ. Eftersom deras summa måste vara lika, måste roten av det minsta i absoluta värde vara negativ:. Vi kontrollerar:

Svar:

Exempel #4:

Lös ekvationen.

Lösning:

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Den fria termen är negativ, vilket betyder att produkten av rötterna är negativ. Och detta är möjligt endast när en rot av ekvationen är negativ och den andra är positiv.

Låt oss välja sådana par av tal, vars produkt är lika, och sedan bestämma vilka rötter som ska ha ett negativt tecken:

Uppenbarligen är bara rötterna och lämpliga för det första tillståndet:

Svar:

Exempel # 5:

Lös ekvationen.

Lösning:

Ekvationen reduceras, vilket betyder:

Summan av rötterna är negativ, vilket betyder att, by åtminstone, en av rötterna är negativ. Men eftersom deras produkt är positiv, är båda rötterna med ett minustecken.

Låt oss välja sådana par av tal, vars produkt är lika med:

Uppenbarligen är rötterna siffrorna och.

Svar:

Erkänn det, det är väldigt bekvämt att komma på rötter muntligt, istället för att räkna denna otäcka diskriminant. Försök att använda Vietas sats så ofta som möjligt.

Men Vietas sats behövs för att underlätta och snabba på att hitta rötter. För att göra det lönsamt för dig att använda det måste du föra åtgärderna till automatism. Och för detta, besluta om ytterligare fem exempel. Men fuska inte: du kan inte använda diskriminanten! Endast Vietas sats:

Lösningar för uppgifter för självständigt arbete:

Uppgift 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Enligt Vietas teorem:

Som vanligt börjar vi urvalet med en bit:

Inte lämplig, eftersom mängden;

: mängden är vad du behöver.

Svar: ; ...

Uppgift 2.

Och återigen, vårt favorit-Vieta-teorem: summan borde fungera, men produkten är lika.

Men eftersom det inte borde vara det, men, vi ändrar tecken på rötterna: och (i summan).

Svar: ; ...

Uppgift 3.

Hmm ... Var är det?

Det är nödvändigt att överföra alla villkor till en del:

Summan av rötterna är lika med produkten.

Så sluta! Ekvationen är inte given. Men Vietas teorem är endast tillämplig i ovanstående ekvationer. Så först måste du ta med ekvationen. Om du inte kan ta upp det, släpp det här företaget och lös det på annat sätt (till exempel genom diskriminanten). Låt mig påminna dig om att att ta med en andragradsekvation betyder att göra den ledande koefficienten lika med:

Bra. Då är summan av rötterna lika, och produkten.

Det är lätt att plocka upp här: trots allt - ett primtal (förlåt för tautologin).

Svar: ; ...

Uppgift 4.

Fritiden är negativ. Vad är så speciellt med det? Och det faktum att rötterna kommer att vara av olika tecken. Och nu, under urvalet, kontrollerar vi inte summan av rötterna, utan skillnaden mellan deras moduler: denna skillnad är lika, men produkten.

Så, rötterna är lika och, men en av dem är med ett minus. Vietas sats säger att summan av rötterna är lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, det vill säga. Detta betyder att den mindre roten kommer att ha ett minus: och, sedan.

Svar: ; ...

Uppgift 5.

Vad är det första att göra? Det stämmer, ge ekvationen:

Återigen: vi väljer faktorerna för antalet, och deras skillnad ska vara lika med:

Rötterna är lika och, men en av dem är med ett minus. Som? Deras summa måste vara lika, vilket betyder att med ett minus blir det en större rot.

Svar: ; ...

För att sammanfatta:

1. Vietas sats används endast i de givna andragradsekvationerna.
2. Med hjälp av Vietas teorem kan du hitta rötterna genom urval, muntligt.
3. Om ekvationen inte är given eller om det inte finns någon lämpligt par intercept-faktorer, så det finns inga hela rötter, och du måste lösa det på annat sätt (till exempel genom diskriminanten).

3. Metod för val av en komplett kvadrat

Om alla termer som innehåller det okända representeras i form av termer från de förkortade multiplikationsformlerna - kvadraten på summan eller skillnaden - då, efter att ha ändrat variablerna, kan ekvationen representeras som en ofullständig kvadratisk ekvation av typen.

Till exempel:

Exempel 1:

Lös ekvationen:.

Lösning:

Svar:

Exempel 2:

Lös ekvationen:.

Lösning:

Svar:

V allmän syn förvandlingen kommer att se ut så här:

Detta innebär: .

Ser det inte ut som något? Detta är en diskriminant! Det stämmer, vi har den diskriminerande formeln.

KVADRATISK EKVATION. KORT OM HUVUDSAKTEN

Andragradsekvationär en ekvation av formen, där är det okända, är koefficienterna för andragradsekvationen, är den fria termen.

Hela andragradsekvationen- en ekvation där koefficienterna inte är lika med noll.

Reducerad andragradsekvation- en ekvation där koefficienten, det vill säga:.

Ofullständig kvadratisk ekvation- en ekvation där koefficienten och eller den fria termen c är lika med noll:

• om koefficienten har ekvationen formen:,
• om den fria termen har ekvationen formen:,
• om och, har ekvationen formen:.

1. Algoritm för att lösa ofullständiga andragradsekvationer

1.1. Ofullständig andragradsekvation av formen, där:

1) Låt oss uttrycka det okända:,

2) Kontrollera uttryckets tecken:

• om, då ekvationen inte har några lösningar,
• om, då har ekvationen två rötter.

1.2. Ofullständig andragradsekvation av formen, där:

1) Dra ut den gemensamma faktorn ur fästena:,

2) Produkten är lika med noll om minst en av faktorerna är lika med noll. Därför har ekvationen två rötter:

1.3. Ofullständig andragradsekvation av formen, där:

Denna ekvation har alltid bara en rot:.

2. Algoritm för att lösa fullständiga andragradsekvationer av formen var

2.1. Beslut med hjälp av diskriminanten

1) Låt oss reducera ekvationen till standardformen:,

2) Vi beräknar diskriminanten med formeln:, som anger antalet rötter i ekvationen:

3) Hitta rötterna till ekvationen:

• om, då har ekvationen rötter, som hittas av formeln:
• om, då har ekvationen en rot, som hittas av formeln:
• om, då har ekvationen inga rötter.

2.2. Lösning med hjälp av Vietas teorem

Summan av rötterna i den reducerade andragradsekvationen (formens ekvationer, där) är lika, och produkten av rötterna är lika, d.v.s. , a.

2.3. Hel fyrkantig lösning

Kvadratisk ekvation. Diskriminerande. Lösning, exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt ..."
Och för dem som är "mycket jämna ...")

Typer av andragradsekvationer

Vad är en kvadratisk ekvation? Vad ser det ut som? I sikt andragradsekvation nyckelordet är "fyrkant". Det betyder att i ekvationen nödvändigtvis det måste finnas ett x-kvadrat. Förutom honom kan ekvationen (eller kanske inte vara det!) Bara x (i första potens) och bara ett tal (gratis medlem). Och det bör inte vara x i en grad större än två.

Matematiskt sett är en andragradsekvation en ekvation av formen:

Här a, b och c- några siffror. b och c- absolut vilken som helst, men a- allt annat än noll. Till exempel:

Här a =1; b = 3; c = -4

Här a =2; b = -0,5; c = 2,2

Här a =-3; b = 6; c = -18

Tja, ni fattar...

I dessa andragradsekvationer till vänster finns det hela uppsättningen medlemmar. X i kvadrat med koefficient en, x till den första potensen med en koefficient b och fri sikt med.

Sådana andragradsekvationer kallas full.

Tänk om b= 0, vad får vi? Vi har X kommer att försvinna i första graden. Detta sker från multiplikation med noll.) Det visar sig till exempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 + 4x = 0

Etc. Och om båda koefficienterna, b och cär lika med noll, då är allt ännu enklare:

2x 2 = 0,

-0,3x2 = 0

Sådana ekvationer, där något saknas, kallas ofullständiga andragradsekvationer. Vilket är ganska logiskt.) Observera att x-kvadraten finns i alla ekvationer.

Förresten, varför a kan inte vara noll? Och du ersätter a noll.) X:et i kvadraten försvinner från oss! Ekvationen blir linjär. Och det avgörs på ett helt annat sätt...

Dessa är alla huvudtyperna av andragradsekvationer. Komplett och ofullständig.

Lösa andragradsekvationer.

Lösa kompletta andragradsekvationer.

Andragradsekvationer är lätta att lösa. Enligt formler och tydliga, enkla regler. I det första steget är det nödvändigt att föra den givna ekvationen till en standardform, d.v.s. att titta:

Om ekvationen redan ges till dig i det här formuläret, behöver du inte göra det första steget.) Det viktigaste är att korrekt bestämma alla koefficienter, a, b och c.

Formeln för att hitta rötterna till en andragradsekvation ser ut så här:

Ett uttryck under rottecknet kallas diskriminerande... Men om honom - nedan. Som du kan se använder vi för att hitta x endast a, b och c. De där. koefficienter från andragradsekvationen. Byt bara ut värdena försiktigt a, b och c i denna formel och räkna. Ersättning med dina tecken! Till exempel i ekvationen:

a =1; b = 3; c= -4. Så vi skriver ner:

Exemplet är praktiskt löst:

Detta är svaret.

Allt är väldigt enkelt. Och vad tror du är omöjligt att ta miste på? Ja, hur...

De vanligaste misstagen är förväxling med betydelsetecken. a, b och c... Snarare inte med deras tecken (var ska man bli förvirrad?), Men med substitutionen negativa värden i formeln för att beräkna rötterna. Här sparas en detaljerad notering av formeln med specifika siffror. Om det finns beräkningsproblem, göra det!

Anta att du behöver lösa detta exempel:

Här a = -6; b = -5; c = -1

Låt oss säga att du vet att du sällan får svar första gången.

Tja, var inte lat. Det tar 30 sekunder att skriva en extra rad och antalet fel kommer att minska kraftigt... Så vi skriver i detalj, med alla parenteser och tecken:

Det verkar otroligt svårt att måla så noggrant. Men det verkar bara vara det. Försök. Tja, eller välj. Vilket är bättre, snabbt eller rätt? Dessutom kommer jag att göra dig lycklig. Efter ett tag kommer det inte att finnas något behov av att måla allt så noggrant. Det kommer att lösa sig av sig självt. Speciellt om du använder praktiska tekniker, som beskrivs nedan. Detta onda exempel med en massa nackdelar kan lösas enkelt och utan fel!

Men ofta ser andragradsekvationer något annorlunda ut. Till exempel, så här:

Fick du reda på det?) Ja! den ofullständiga andragradsekvationer.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer.

De kan också lösas med en allmän formel. Du behöver bara ta reda på vad de är lika med a, b och c.

Har du kommit på det? I det första exemplet a = 1; b = -4; a c? Han är inte där alls! Jo, det stämmer. I matematik betyder det det c = 0 ! Det är allt. Ersätt noll i formeln istället för c, och vi kommer att lyckas. Detsamma är med det andra exemplet. Endast noll har vi här inte med, a b !

Men ofullständiga andragradsekvationer kan lösas mycket lättare. Utan några formler. Betrakta den första ofullständiga ekvationen. Vad kan du göra där på vänster sida? Du kan sätta x:et inom parentes! Låt oss ta ut den.

Och vad sägs om det? Och det faktum att produkten är lika med noll om och bara om någon av faktorerna är lika med noll! Tro mig inte? Tänk då på två icke-nolltal som, när de multipliceras, ger noll!
Fungerar inte? Det är allt ...
Därför kan vi med tillförsikt skriva: x 1 = 0, x 2 = 4.

Allt. Dessa kommer att vara rötterna till vår ekvation. Båda passar. När vi substituerar någon av dem i den ursprungliga ekvationen får vi den korrekta identiteten 0 = 0. Som du kan se är lösningen mycket enklare än att använda den allmänna formeln. Förresten, jag kommer att notera vilken X som kommer att vara den första och vilken som kommer att vara den andra - det är absolut likgiltigt. Det är bekvämt att skriva ner i ordning, x 1- vad är mindre, och x 2- vad är mer.

Den andra ekvationen kan också lösas enkelt. Flytta 9 till höger sida. Vi får:

Det återstår att extrahera roten från 9, och det är det. Det kommer att visa sig:

Även två rötter . x 1 = -3, x 2 = 3.

Så här löses alla ofullständiga andragradsekvationer. Antingen genom att sätta x:et inom parentes, eller genom att helt enkelt flytta talet åt höger och sedan extrahera roten.
Det är extremt svårt att blanda ihop dessa tekniker. Helt enkelt för att du i det första fallet måste extrahera roten från x, vilket på något sätt är obegripligt, och i det andra fallet finns det inget att lägga ut ur parentesen ...

Diskriminerande. Diskriminerande formel.

magiskt ord diskriminerande ! En sällsynt gymnasieelev har inte hört detta ord! Frasen "bestämma genom diskriminanten" är lugnande och lugnande. För det finns ingen anledning att vänta på smutsiga trick från diskriminanten! Det är enkelt och problemfritt att använda.) Jag minns den mest allmänna formeln för att lösa några Kvadratisk ekvation:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminant. Vanligtvis betecknas diskriminanten med bokstaven D... Diskriminerande formel:

D = b 2 - 4ac

Och vad är det som är så anmärkningsvärt med detta uttryck? Varför förtjänade den ett speciellt namn? Vad innebörden av diskriminanten? Trots allt -b, eller 2a i den här formeln namnger de inte specifikt ... Bokstäver och bokstäver.

Så här är det. När man löser en andragradsekvation med denna formel är det möjligt endast tre fall.

1. Diskriminanten är positiv. Det betyder att du kan extrahera roten från den. Bra rot extraheras, eller dålig - en annan fråga. Det är viktigt vad som tas ut i princip. Då har din andragradsekvation två rötter. Två olika lösningar.

2. Diskriminanten är noll. Då har du en lösning. Eftersom addition och subtraktion av noll i täljaren inte förändrar någonting. Strängt taget är detta inte en rot, men två identiska... Men i en förenklad version är det vanligt att tala om en lösning.

3. Diskriminanten är negativ. Ingen kvadratrot tas från ett negativt tal. Okej. Det betyder att det inte finns några lösningar.

Ärligt talat, med enkel lösning andragradsekvationer, är begreppet diskriminant inte särskilt nödvändigt. Vi ersätter koefficienternas värden i formeln, men vi räknar. Allt blir av sig självt, och det finns två rötter, och en och inte en. Dock när man löser mer svåra uppgifter, utan kunskap betydelse och diskriminerande formler inte tillräckligt. Speciellt - i ekvationer med parametrar. Sådana ekvationer är konstflyg vid State Exam och Unified State Exam!)

Så, hur man löser andragradsekvationer genom diskriminanten du kom ihåg. Eller har lärt sig, vilket också är bra.) Du vet hur man korrekt identifierar a, b och c... Du vet hur uppmärksamt ersätt dem i rotformeln och uppmärksamt läs resultatet. Du insåg det nyckelord här - uppmärksamt?

För nu, notera de bästa praxis som drastiskt kommer att minska fel. Just de som beror på ouppmärksamhet ... För vilka det gör ont och förolämpar ...

Första mottagningen ... Var inte lat för att ta det till standardformen innan du löser andragradsekvationen. Vad betyder det här?
Låt oss säga att efter några transformationer fick du följande ekvation:

Skynda dig inte att skriva rotformeln! Du kommer nästan säkert att blanda ihop oddsen. a, b och c. Bygg exemplet rätt. Först kvadrateras X:et, sedan utan kvadraten, sedan den fria termen. Så här:

Och återigen, skynda inte! Minuset framför x:et i kvadraten kan göra dig riktigt ledsen. Det är lätt att glömma det ... Bli av med minuset. Hur? Ja, som lärde ut i föregående ämne! Du måste multiplicera hela ekvationen med -1. Vi får:

Men nu kan du säkert skriva ner formeln för rötterna, räkna ut diskriminanten och komplettera exemplet. Gör det själv. Du bör ha rötter 2 och -1.

Mottagning tvåa. Kolla rötterna! Enligt Vietas sats. Var inte orolig, jag ska förklara allt! Kontroll sista sak ekvationen. De där. den med vilken vi skrev ner formeln för rötterna. Om (som i detta exempel) koefficienten a = 1, det är lätt att kontrollera rötterna. Det räcker med att multiplicera dem. Du bör skaffa en gratis medlem, d.v.s. i vårt fall -2. Var uppmärksam, inte 2, utan -2! Gratis medlem med min skylt ... Om det inte fungerade så är det redan trasigt någonstans. Leta efter felet.

Om det löser sig måste du vika rötterna. Den sista och sista kontrollen. Du bör få en koefficient b med motsatt bekant. I vårt fall är -1 + 2 = +1. Och koefficienten b vilket är före x är -1. Så allt stämmer!
Det är synd att detta är så enkelt bara för exempel där x-kvadraten är ren, med en koefficient a = 1. Men åtminstone i sådana ekvationer, kolla! Det blir färre misstag.

Mottagning tredje ... Om du har bråkkoefficienter i din ekvation, bli av med bråk! Multiplicera ekvationen med den gemensamma nämnaren som beskrivs i lektionen Hur man löser ekvationer? Identiska transformationer. När du arbetar med bråk, av någon anledning, tenderar fel att dyka upp ...

Förresten, jag lovade att förenkla det onda exemplet med en massa nackdelar. Snälla du! Här är det.

För att inte bli förvirrade i minusen multiplicerar vi ekvationen med -1. Vi får:

Det är allt! Det är ett nöje att bestämma!

Så, för att sammanfatta ämnet.

Praktiskt råd:

1. Innan vi löser tar vi andragradsekvationen till standardformen, bygger den höger.

2. Om det finns en negativ koefficient framför x-et i kvadraten, eliminerar vi den genom att multiplicera hela ekvationen med -1.

3. Om koefficienterna är bråktal, eliminerar vi bråken genom att multiplicera hela ekvationen med lämplig faktor.

4. Om x i kvadrat är ren är koefficienten vid den lika med ett, lösningen kan enkelt verifieras med Vietas sats. Gör det!

Nu kan du bestämma dig.)

Lös ekvationer:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Svar (i oordning):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - vilket nummer som helst

x 1 = -3
x 2 = 3

inga lösningar

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Passar allt ihop? Bra! Andragradsekvationer är inte dina huvudvärk... De tre första fungerade, men resten gjorde det inte? Då är problemet inte med andragradsekvationer. Problemet ligger i identiska transformationer av ekvationer. Ta en promenad på länken, det är till hjälp.

Tränar du inte riktigt? Eller fungerar det inte alls? Då hjälper dig Section 555. Där är alla dessa exempel sorterade i bitar. Visad den huvudsakliga fel i lösningen. Det berättas naturligtvis också om tillämpningen av identiska transformationer i lösningen olika ekvationer... Hjälper mycket!

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Omedelbar valideringstestning. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.