Tidigare har vi studerat vad naturliga tal är och vilka egenskaper som finns för att kunna utföra subtraktion. Den här artikeln presenterar de grundläggande reglerna som hjälper oss att utföra subtraktion naturliga tal. För att säkerställa att informationen är tydlig och snabbt ihågkommen har vi försett det teoretiska materialet med detaljerade övningar och typiska exempel.
Hur hänger addition och subtraktion ihop?
Addition och subtraktion är nära besläktade. Subtraktion är motsatsen till addition. För att förstå denna information, överväg ett detaljerat exempel.
Låt oss föreställa oss det som ett resultat av att lägga till objekt c Och b, vi får artikel a . Baserat på grunderna för addition av naturliga tal kan vi dra slutsatsen att c + b = a. Om vi använder den kommutativa egenskapen addition kan vi transformera den resulterande likheten som b + c = a. Vi drar slutsatsen att om vi subtraherar från a b, då blir det kvar c. Denna jämlikhet a − b = c kommer att anses vara rättvis. I analogi finner vi att genom att subtrahera talet från a c, då blir det kvar b, det är, a − c = b.
Tack vare exemplet vi tittade på ovan kan vi dra slutsatsen att om summan av siffrorna c Och b lika med a, sedan numret cär skillnaden mellan naturliga tal b, och numret b– skillnad i antal a Och c. Det är, c = a − b Och b = a − c, Om c + b = a.
Låt oss omvandla detta uttalande och få en viktig regel.
Definition 1
Om summan av två tal c Och b lika med a, då skillnaden a−c lika med b, och skillnaden a − b lika med c.
Vi kan nu tydligt se att addition och subtraktion är oupplösligt kopplade. Baserat på detta faktum kan konceptet härledas.
Definition 2
Subtraktionär en åtgärd genom vilken en term hittas när summan och den andra termen är kända.
Denna definition används ofta i olika exempel och uppgifter.
En additionstabell kan ofta användas för att hitta summan av två tal och för att hitta en term om summan och den andra termen är kända.
Låt oss titta på detta uttalande med ett exempel. Överväg en övning där du behöver hitta en okänd term om du vet att den andra termen är lika med 5 , och summan är lika 8 .
Detta kan göras på två sätt. Låt oss använda en grafisk illustration där kända nummer är markerade i rött och hittade nummer i blått.
Låt oss överväga flera sätt.
Första sättet. Det är nödvändigt att hitta en rad i tabellen, den kända termen finns i cellen längst till vänster (ta känt nummer 5). Efter detta måste du hitta kolumnen som skär den hittade raden i cellen. Denna rad måste innehålla ett känt belopp (enligt exemplet numret 8 ). Siffran vi behöver hitta finns i den översta cellen i den hittade kolumnen. Vi drar slutsatsen att antalet 3 - eh då är detta den obligatoriska termen.
Andra sättet. Det är nödvändigt att hitta en kolumn i additionstabellen i den översta cellen där den kända termen finns. Vi hittar en linje som skär en känd kolumn i en cell som motsvarar en känd mängd. Vi drar slutsatsen att termen som behöver hittas finns i cellen längst till vänster i denna rad.
Eftersom vi vet att addition och subtraktion är nära besläktade, kan denna tabell också användas för att hitta skillnaden mellan naturliga tal. Låt oss titta på denna teori i detalj med hjälp av ett exempel.
Föreställ dig att du måste subtrahera talet 7 från talet 16 . Vi drar slutsatsen att subtraktion handlar om att hitta talet som summerar till talet 7 kommer att ge ett nummer 16 . Låt oss använda tabellen ovan.
Subtrahera från siffran 16 siffra 7 , får vi den nödvändiga skillnaden 9 .
För att kunna använda denna tabell rekommenderar vi att du memorerar informationen och tar processen att hitta siffror från tabellen till automatik.
Hur man subtraherar siffror i siffror
Med hjälp av additionstabellen som vi diskuterade ovan kan du subtrahera tiotals från tiotals, hundratals från hundratals, tusentals från tusentals. Precis som vi enkelt kan arbeta med primtal, så kan vi analogt subtrahera tiotal och hundra. Till exempel 6 hundra minus 2 hundratals lika 4 hundratals, det vill säga 600 − 200 = 400 . Vi kan även använda bordet i andra fall.
Om vi kommer ihåg att hundra är 10 tiotal, tusen är 10 hundra, då kan vi beräkna skillnaden mellan tiotal, hundratals, tusentals och andra tal.
Låt oss titta på ett exempel.
Exempel 2
100 − 70 .
Konvertera tal till tiotal. Vi får tio tior och sju tior. Från additionstabellen får vi 10 − 7 = 3 , då skillnaden 10 tiotals och 7 tiotal är lika 3 dussintals, det vill säga 100 − 70 = 30 .
Exempel 3
Det är nödvändigt att beräkna skillnaden 100 000 − 80 000 .
Därför att 100 000 - Det här 10 tiotusentals och 80 000 är 8 tiotusentals, och 10 − 8 = 2 . Det förstår vi 100 000 − 80 000 = 20 000 .
Subtrahera ett naturligt tal från summan av tal
För att hitta skillnaden mellan summan av två tal och ett tal måste du först beräkna summan från vilken talet subtraheras. För att förenkla subtraktionsprocessen kan du använda en viss subtraktionsegenskap. Låt oss titta på några exempel.
Exempel 4
Måste dras av från beloppet 50 + 8 naturligt nummer 20 .
Belopp 50 + 8 – det här är beloppet bittermer tal 58 . Vi letar efter lösningar. Vi använder ovanstående subtraktionsregel: sedan 20 < 50 , då är jämställdheten sann (50 + 8) − 20 = (50 − 20) + 8 . Vi kan dra slutsatsen att 50 − 20 = 30 ( 5 tiotal – 2 tiotal), sedan (50 − 20) + 8 = 30 + 8 . Antalet som krävs är 38.
Lösningen kan representeras som en kedja av jämlikheter: (50 + 8) − 20 = (50 − 20) + 8 = 30 + 8 = 38 .
Exempel 5
Måste dras av från beloppet 21 + 8 siffra 3 . Precis som 3 < 21 Och 3 < 8 , då är likheterna (21 + 8) − 3 = (21 − 3) + 8 och (21 + 8) − 3 = 21 + (8 − 3) giltiga.
Låt oss välja det lämpligaste beräkningsalternativet. Subtrahera från det mindre talet. I exemplet 8 < 21 . Så, (21 + 8) − 3 = 21 + (8 − 3) = 21 + 5 = 26 .
Låt oss komplicera exemplet. Det är nödvändigt att beräkna skillnaden mellan antalet 20 från beloppet 20 000 + 6 000 + 300 + 50 + 1 . Låt oss använda egenskapen subtraktion som vi lärde oss ovan.
Att beräkna skillnaden är ganska enkelt: (20 000 + 6 000 + 300 + 50 + 1) − 20 = 20 000 + 6 000 + 300 + (50 − 20) + 1 = = 20 000 + 6 000 + 0 + 3 = 3, 300 + 1.
Låt oss titta på lösningen till ett annat exempel: (107 + 42 + 9) − 3 = 107 + 42 + (9 − 3) = 107 + 42 + 6 = 155 .
Subtrahera summan av tal från ett naturligt tal
Definition 2För att dra av beloppet två tal från ett naturligt tal, måste du beräkna summan och sedan utföra subtraktionen.
Du kan använda subtraktionsegenskapen ovan. Låt oss titta på några exempel.
Exempel 6
Det är nödvändigt att subtrahera från numret 100 belopp 90 + 8 .
Enligt fastigheten får vi: 100 − (90 + 8) = (100 − 90) − 8 . Vi hittar 100 − 90 = 10 .
Låt oss föreställa oss beräkningen som: (100 − 90) − 8 = 10 − 8 = 2 .
Exempel 7
Det är nödvändigt att hitta skillnaden mellan antalet 17 och summor av siffror 8 Och 4 .
Vi får att: 17 − (8 + 4) = (17 − 8) − 4 . Vi använder tabellen och finner att 17 − 8 = 9, då (17 − 8) − 4 = 9 − 4 = 5 . Lösningen kan kortfattat skrivas som: 17 − (8 + 4) = (17 − 8) − 4 = 9 − 4 = 5 .
Höger sida av jämställdhet a − (b + c) = (a − b) - c ibland skrivet som a − (b + c) = a − b − c. I det här fallet är det underförstått att a − b − c = (a − b) − c. Skillnad 15 − (7 + 2) man kan föreställa sig hur 15 − 7 − 2 . Beräkna skillnaden - subtrahera talet från 15 7. Subtrahera 2 från det erhållna resultatet.
Således, 15 − (7 + 2) = 15 − 7 − 2 = 8 − 2 = 6 .
Med hjälp av egenskapen subtraktion och den kombinatoriska egenskapen addition kan du hitta skillnaden mellan summan av två, tre eller fler tal.
Exempel 8
Du måste subtrahera från ett tal 1 000 summan av formulärets tre tal 900 + 90 + 1 .
Belopp 900 + 90 + 1 låt oss föreställa oss hur 900 Och 90 + 1 , det vill säga 900 + 90 + 1 = 900 + (90 + 1) (se lämpligt avsnitt för bättre förståelse). Vi använder subtraktionsegenskapen som vi lärt oss ovan: 1 000 − (900 + (90 + 1)) = (1 000 − 900) − (90 + 1) . Eftersom 1 000 − 900 = 100, då (1 000 − 900) − (90 + 1) = 100 − (90 + 1). Subtrahera beloppet från numret: 100 − (90 + 1) = (100 − 90) − 1 = 10 − 1 = 9 .
En kort sammanfattning av lösningen är: 1 000 − (900 + 90 + 1) = (1 000 − 900) − (90 + 1) = 100 − (90 + 1) = (100 − 90) − 1 = 10 − 1 = 9
Skillnad 1 000 − (900 + 90 + 1) kan också se ut ((1 000 − 900) − 90) − 1 . Ett annat sätt att skriva detta är som 1 000 − 900 − 90 − 1 . I dessa fall hittas först skillnaden mellan de två första talen, sedan subtraheras det tredje talet från det erhållna resultatet och så vidare.
Exempel 9
Det är nödvändigt att subtrahera från numret 20 summan av talen 10, 4, 3 och 1 . Vi får att: 20 − (10 + 4 + 3 + 1) = 20 − 10 − 4 − 3 − 1 = 10 − 4 − 3 − 1 = 6 − 3 − 1 = 3 − 1 = 2 .
Subtrahera enheter från tiotals, hundratals, tusentals
Från numret 10 Valfritt nummer från 1 innan 9 . Vi använder tabellen ovan. Men vad ska man göra i andra fall? Det är nödvändigt att representera minuenden som summan av två termer, varav en är lika 10 , dra sedan av det från beloppet. Låt oss konsolidera vår kunskap om materialet med ett exempel:
Exempel 10
Måste subtraheras från 60 siffra 5 .
siffra 60 representera det som summan av två tal, varav ett är lika 10 . Vi hittar det andra talet genom att subtrahera från 60 siffra 10 . Därför att 60 − 10 = 50 , Den där 60 = 50 + 10 . Vi kommer att ersätta 60 belopp 50 + 10 , får 60 − 5 = (50 + 10) − 5 . Vi får att: (50 + 10) − 5 = 50 + (10 − 5) = 50 + 5 = 55 .
Efter att ha tittat på att subtrahera ettor från tiotal, låt oss gå vidare till att subtrahera ettor från hundratals.
Till från 100 subtrahera ett tal från 1 innan 10 behöver 100 föreställ dig hur 90+10 90 + 10 och använd regeln.
Exempel 11
Vi måste hitta skillnaden 100 − 7 .
Låt oss föreställa oss 100 Hur 90 + 10 och kör: 100 − 7 = (90 + 10) − 7 = 90 + (10 − 7) = 90 + 3 = 93 . Låt oss komplicera exemplet. Subtrahera från numret 500 siffra 3 . Låt oss föreställa oss 500 som en summa. Andra termen = 500 − 100, det vill säga 400 . Vi har 500 = 400 + 100 . 100 = 90 + 10 , 500 = 400 + 90 + 10 .
Således, 500 − 3 = (400 + 90 + 10) − 3 .
Låt oss avsluta beräkningen: (400 + 90 + 10) − 3 = 400 + 90 + (10 − 3) = 400 + 90 + 7 = 497.
Låt oss gå vidare till att subtrahera enheter från tusentals.
Exempel 12
Det är nödvändigt att beräkna skillnaden 1 000 − 8.
Därför att 1 000 = 900 + 100 , A 100 = 90 + 10 , Den där 1 000 = 900 + 90 + 10 .
Sedan 1 000 − 8 = (900 + 90 + 10) − 8 = 900 + 90 + (10 − 8) = 900 + 90 + 2 = 992 .
Exempel 13
Måste subtraheras från 7 000 enhet.
7 000 låt oss skriva det som 7 000 = 6 000 + 1 000 = 6 000 + 900 + 100 = 6 000 + 900 + 90 + 10 .
Vi sammanfattar:
7 000 − 1 = (6 000 + 900 + 90 + 10) − 1 = 6 000 + 900 + 90 + (10 − 1) = 6 000 + 900 + 90 + 9 = 6 999
.
Exempel 14
Det är nödvändigt att beräkna skillnaden 100 000 − 4 .
Därför att
100 000 = 90 000 + 10 000 = 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
Den där
100 000 − 4 = (90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) − 4 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 4) = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 6 = 99 996 .
Exempel 15
Måste subtraheras från 4 000 000 siffra 5 .
Därför att
4 000 000 = 3 000 000 + 1 000 000 = 3 000 000 + 900 000 + 100 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 10 000 = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
Den där
4 000 000 − 5 = (3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) − 5 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 5) = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 5 = 3 999 995
.
Subtrahera enheter från godtyckliga tal
Definition 3
För att subtrahera ett ensiffrigt tal från ett sådant nummer måste du dekomponera minuend i siffror och sedan subtrahera talet från summan.
Låt oss överväga typiska exempel som hjälper dig att förstå materialet.
Exempel 16
Det är nödvändigt att bestämma skillnaden mellan siffror 46 Och 2 .
siffra 46 presentera hur 40 + 6 , Då 46 − 2 = (40 + 6) − 2 = 40 + (6 − 2) = 40 + 4 = 44 . För att komplicera uppgiften, låt oss hitta skillnaden 46 Och 8 . Vi har 46 − 8 = (40 + 6) − 8. Därför att 8 mer än 6 , Den där: ( 40 + 6) − 8 = (40 − 8) + 6. Vi beräknar 40 − 8 med exemplet: 40 − 8 = (30 + 10) − 8 = 30 + (10 − 8) = 30 + 2 = 32 . Sedan (40 − 8) + 6 = 32 + 6 = 38 . Låt oss nu subtrahera från 6 047 siffra 5 . Layout 6 047 och subtrahera talet från summan: 6 047 − 5 = (6 000 + 40 + 7) − 5 = 6 000 + 40 + (7 − 5) = 6 000 + 40 + 2 = 6 042
Låt oss stärka vår kompetens med ytterligare ett exempel.
Exempel 17
Det är nödvändigt att subtrahera från numret 2 503 siffra 8 .
Vi utökar och får: 2 503 − 8 = (2 000 + 500 + 3) − 8
. Därför att 8
mer än 3
, men mindre än 500
, Den där (2 000 + 500 + 3) − 8 = 2 000 + (500 − 8) + 3
. Låt oss räkna ut skillnaden 500 − 8
, för detta representerar vi numret 500
som en summa 400 + 100 = 400 + 90 + 10
(om nödvändigt, gå tillbaka till föregående stycke i denna artikel) och utför de nödvändiga beräkningarna:
500 − 8 = (400 + 90 + 10) − 8 = 400 + 90 + (10 − 8) = 400 + 90 + 2 = 492 . 2 000 + (500 − 8) + 3 = 2 000 + 492 + 3 = 2 495 .
Subtraktion från godtyckliga naturliga tal
För att subtrahera tiotals och hundratal från ett tal måste du representera minuenden som en summa och utföra subtraktionen. Låt oss titta på denna process med hjälp av flera exempel.
Exempel 18
Låt oss hitta skillnaden 400 och 70 .
Låt oss utöka 400 som 300 + 100 . Sedan 400 − 70 = (300 + 100) − 70 . Enligt fastigheten får vi: (300 + 100) − 70 = 300 + (100 − 70) = 300 + 30 = 330 . Vi kan också subtrahera från talet 1 000 siffra 40 . Låt oss föreställa oss det 1 000 − 40 = (900 + 100) − 40 = 900 + (100 − 40) = 900 + 60 = 960 .
Enligt regeln (7 000 + 900 + 100) − 10 = 7 000 + 900 + (100 − 10) = 7 000 + 900 + 90 = 7 990 .
Vi använder denna regel i liknande fall.
Exempel 19
Vi hittar 400 000 − 70 .
400 000
låt oss utöka det som 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100
, Då
400 000 − 70 = (300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100) − 70 = 300 000 + 90 000 + 9 000 + + 900 + (100 − 70) = 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 30 = 399 993
Låt oss använda liknande principer för att beräkna hundratals, tusentals och andra.
Exempel 20
Vi hittar 5 000 − 800 .
Låt oss föreställa oss 5 000 Hur 4 000 + 1 000 . Sedan 5 000 − 800 = (4 000 + 1 000) − 800 . Vi använder fastigheten: (4 000 + 1 000) − 800 = 4 000 + (1 000 − 800) . Eftersom tusen är tiohundra alltså 1 000 − 800 = 200 . Alltså 4 000 + (1 000 − 800) = 4 000 + 200 = 4 200.
Denna regel kan användas för beräkningar. Kom ihåg det, det kommer att vara användbart för dig mer än en gång.
Exempel 21
Låt oss hitta skillnaden 140 och 40 .
Därför att 140 = 100 + 40 , Den där 140 − 40 = (100 + 40) − 40 . Vi får: (100 + 40) − 40 = 100 + (40 − 40) = 100 + 0 = 100 (40 − 40) = 0 på grund av egenskaper, och 100 + 0 = 100 .
Vi hittar 140 – 60 . Vi har 140 − 60 = (100 + 40) − 60 . Eftersom 60 är mer än 40 , Den där: (100 + 40) − 60 = (100 − 60) + 40 = 40 + 40 = 80 .
Subtrahera godtyckliga tal
Låt oss överväga regeln när subtrahenden delas upp i siffror. Efter att ha representerat ett tal som en summa av siffror, används den ovan beskrivna subtraktionsegenskapen. Subtraktion börjar med enheter, sedan tiotals, hundratal och så vidare.
Exempel 22
Låt oss räkna 45 − 32 .
Låt oss dela upp 32 i siffror: 32 = 30 + 2 . Vi har 45 − 32 = 45 − (30 + 2) . Låt oss föreställa oss hur 45 − (30 + 2) = 45 − (2 + 30) . Nu tillämpar vi egenskapen att subtrahera en summa från ett tal: 45 − (2 + 30) = (45 − 2) − 30 . Det återstår att räkna ut 45 − 2 , subtrahera sedan talet 30 .
När du har bemästrat de tidigare reglerna kommer du att kunna göra detta enkelt.
Så, 45 − 2 = (40 + 5) − 2 = 40 + (5 − 2) = 40 + 3 = 43 . Sedan (45 − 2) − 30 = 43 − 30 . Det återstår att representera minuend som en summa av bittermer och slutföra beräkningarna: 43 − 30 = (40 + 3) − 30 = (40 − 30) + 3 = 10 + 3 = 13
Det är bekvämt att skriva hela lösningen i form av en kedja av likheter:
45 − 32 = 45 − (2 + 30) = (45 − 2) − 30 = ((40 + 5) − 2) − 30 = = (40 + (5 − 2)) − 30 = (40 + 3) − 30 = (40 − 30) + 3 = 10 + 3 = 13
Låt oss komplicera exemplet lite.
Subtrahera talet från 85 18 .
Vi sorterar numret i siffror 18
, och vi får 18 = 10 + 8
. Byt termer: 10 + 8 = 8 + 10. Nu subtraherar vi den resulterande summan av bittermer från talet 85
och tillämpa egenskapen att subtrahera en summa från ett tal: 85 − 18 = 85 − (8 + 10) = (85 − 8) − 10
. Vi beräknar skillnaden inom parentes:
85 − 8 = (80 + 5) − 8 = (80 − 8) + 5 = ((70 + 10) − 8) + 5 = (70 + (10 − 8)) + 5 = (70 + 2) + 5 = 70 + 7 = 77
Sedan (85 − 8) − 10 = 77 − 10 = (70 + 7) − 10 = (70 − 10) + 7 = 60 + 7 = 67
För att konsolidera materialet kommer vi att analysera lösningen till ett annat exempel.
Exempel 23
Subtrahera från numret 23 555 siffra 715 .
Därför att 715 = 700 + 10 + 5 = 5 + 10 + 700 = 5 + (10 + 700) , sedan 23 555 − 715 = 23 555 − (5 + 10 + 700) . Subtrahera beloppet från numret enligt följande: 23 555 − (5 + (10 + 700)) = (23 555 − 5) − (10 + 700) .
Låt oss beräkna skillnaden inom parentes:
23 555 − 5 = (20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 5) − 5 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + (5 − 5) = = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 0 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 = 23 550 .
Sedan (23 555 − 5) − (10 + 700) = 23 550 − (10 + 700) .
Än en gång vänder vi oss till egenskapen att subtrahera ett naturligt tal från en summa: 23 550 − (10 + 700) = (23 550 − 10) − 700
.
(23 550 − 10) − 700 = 23 540 − 700 = (20 000 + 3 000 + 500 + 40) − 700 = = 20 000 + (3 000 − 700) + 500 + 40
Subtrahera 700 från 3 000 och: 3 000 − 700 = (2 000 + 1 000) − 700 = 2 000 + (1 000 − 700) = 2 000 + 300 = 2 300 , Då 20 000 + (3 000 − 700) + 500 + 40 = 20 000 + 2 300 + 500 + 40 = 22 840 .
Låt oss titta på vad geometrisk synvinkel subtraktion är. Vi använder en koordinatstråle. Subtrahera nummer b från a med koordinatstråle hittas så här: vi definierar en punkt, koordinaten är a. Ställ åt sidan i punktens riktning O enstaka segment i en mängd som bestäms av subtrahenden b. Så vi kommer att hitta en punkt på koordinatstrålen, koordinaten är lika med skillnaden a − b. Detta är med andra ord en rörelse åt vänster från en punkt med koordinat a på avstånd b, träffar punkten med koordinaten a − b.
Låt oss titta på subtraktion på en koordinatstråle med hjälp av en bild. Så vi kommer till punkten med koordinat 2 så att 6 − 4 = 2 .
Kontrollera resultatet av subtraktion genom addition
Att testa resultatet av att subtrahera två naturliga tal baseras på förhållandet mellan subtraktion och addition. Där fick vi reda på att om c + b = a, Den där a − b = c Och a − c = b. Om a − b = c, Den där c + b = a; Om a − c = b, Den där b + c = a. Låt oss bevisa giltigheten av dessa jämlikheter.
Låt från a läggas åt sidan b, varefter den återstår c. Denna åtgärd motsvarar likheten a − b = c. Vi återkommer uppskjutet b på plats, då betalar vi a. Då kan vi prata om jämlikhetens rättvisa c + b = a.
Nu kan vi formulera en regel som låter oss kontrollera resultatet av subtraktion genom addition: vi måste addera subtrahenden till den resulterande skillnaden, och resultatet ska vara ett tal lika med minuend. Om det resulterande talet inte är lika med det som reduceras, gjordes ett fel under subtraktionen.
Allt som återstår är att analysera lösningarna från flera exempel där resultatet av subtraktionen kontrolleras med hjälp av addition.
Exempel 24
50 subtraherades 42 och det togs emot 6 . Gjordes subtraktionen korrekt?
Låt oss kontrollera det resulterande subtraktionsresultatet. För att göra detta, lägg till subtrahend till den resulterande skillnaden: 6 + 42 = 48 (Om det behövs, studera andra stycken om detta ämne). Eftersom vi fick ett tal som inte är lika med minuend 50 , då kan man hävda att subtraktionen utfördes felaktigt. Det var ett misstag.
Exempel 25
Det är nödvändigt att bestämma skillnaden 1 024 − 11 och kontrollera resultatet.
Vi beräknar skillnaden: 1 024 − 11 = 1 024 − (1 + 10) = (1 024 − 1) − 10 = 1 023 − 10 = 1 013 .
Låt oss nu kolla:
1 013 + 11 = (1 000 + 10 + 3) + (10 + 1) = = 1 000 + 10 + 10 + 3 + 1 = 1 000 + 20 + 4 = 1 024
Vi fick ett nummer lika med det som reducerades, därför beräknades skillnaden korrekt. 1 024 − 11 = 1 023 .
Kontrollera resultatet av en subtraktion genom subtraktion
Korrektheten av resultatet av att subtrahera naturliga tal kan kontrolleras inte bara med addition, utan också med hjälp av subtraktion. För att göra detta måste du subtrahera den hittade skillnaden från minuend. Detta bör resultera i ett tal lika med det som subtraheras. Annars gjordes ett fel i beräkningarna.
Låt oss överväga denna regel fler detaljer. Detta gör att du kan kontrollera resultatet av att subtrahera tal genom subtraktion. Låt oss föreställa oss att vi har a frukter, inklusive b äpplen och c päron Lägger vi åt sidan äpplena har vi bara c päron, och det har vi a − b = c. Om vi lade alla päron åt sidan skulle vi bara ha det bäpplen, medan a − c = b.
Exempel 26
Ett tal subtraherades från talet 543 343 , resultatet blev siffran 200 .
Utför testet.
Låt oss komma ihåg sambandet mellan subtraktion och addition: 200 + 343 = 543 . Från minuend 543 subtraherar vi skillnaden 200 , vi får 543 − 200 = (500 + 43) − 200 = (500 − 200) + 43 = 30 + 43 = 343 .
Detta tal är lika med det som subtraheras, subtraktionen görs korrekt.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Om addition är associerat med att kombinera två uppsättningar till en, är subtraktion associerad med att separera en given mängd i två eller flera uppsättningar. Anta att vi har ett visst antal plastkorvar på en tallrik. Låt oss ta en eller flera plaster från denna uppsättning och lägga den åt sidan, eller ännu bättre, äta den. Vi tog bort, det vill säga vi tog bort flera plaster från den första uppsättningen av korvplast, och resultatet på plattan ändrades nedåt. Detta är innebörden av subtraktion.
Schematiskt ser subtrahering av två naturliga tal ut så här:
minuend − subtrahend = skillnad.
För att indikera subtraktion skriftligt, använd minustecknet "−".
Skriv först ned minuend, sedan minustecknet, sedan subtrahend. Att till exempel skriva 9 − 5 betyder att 5 subtraheras från 9.
Minuendär det tal som det subtraheras från. I vårt exempel är detta siffran "9"
Subtrahendär talet som subtraheras från minuend. I vårt exempel är detta siffran "5"
Skillnadär talet som är resultatet av subtraktion.
Fraser "hitta skillnaden", "beräkna skillnaden", "subtrahera talet 9 från det naturliga talet 86" förstås på följande sätt: du måste bestämma talet som är resultatet av att subtrahera dessa naturliga tal.
EGENSKAPER ATT SUBTRATRERA NATURLIGA TAL
Fastighet 1. Skillnaden mellan två lika naturliga tal är noll.
a − a = 0, där a är vilket naturligt tal som helst.
Fastighet 2. Att subtrahera naturliga tal har INTE den kommutativa egenskapen.
Om a och b är ojämna naturliga tal, då a − b ≠ b − a
45 − 20 ≠ 20 − 45.
Fastighet 3. Att subtrahera en given summa av två naturliga tal från ett givet naturligt tal är detsamma som att subtrahera den första termen av en given summa från ett givet naturligt tal, och sedan subtrahera den andra termen från den resulterande skillnaden.
a − (b + c) = (a − b) − c, där a, b och c är några naturliga tal, och villkoren a > b + c eller a = b+c är uppfyllda.
10 - (2+1) = (10 - 2) - 1 = 7
Fastighet 4. Att subtrahera ett givet naturligt tal från en given summa av två tal är detsamma som att subtrahera ett givet tal från en av termerna och sedan addera den resulterande skillnaden och den andra termen. Det bör noteras att talet som subtraheras INTE får vara större än termen från vilken talet subtraheras.
I den här lektionen kommer du att lära dig vad raka linjer och omvända åtgärder i matematik. Läraren kommer att prata om subtraktionens alla komponenter och även visa två sätt att subtrahera en summa från ett tal.
I livet ställs vi ständigt inför direkta och motsatta handlingar. Du kan hälla vatten i en mugg, du kan hälla ut vatten. Du kan gå in i huset och sedan lämna huset. Det finns många sådana exempel.
Inom matematiken kan vi också lätt hitta ett par sådana motsatta handlingar. Detta är addition och subtraktion.
Ris. 1. Illustration av tillägg
Subtraktion: det fanns 5 äpplen, 2 togs bort, 3 blev kvar. Resultatet blev subtraktion (Fig. 2).
Ris. 2. Subtraktion
Det är tydligt att addering och subtraktion är motsatta handlingar, således är addition och subtraktion ömsesidigt motsatta handlingar.
För att utföra addition eller subtraktion tar vi inga föremål för att hjälpa oss och lägger dem inte i en hög. Vi löser ett sådant problem abstrakt, med hjälp av siffror och motsatta operationer.
För att till exempel subtrahera 2 från 5 måste vi förstå vad som är kvar.
Och för att göra detta måste vi föreställa oss 5 som summan av två delar.
Och vi förstår att om vi subtraherar 2, så återstår 3.
Samma kvantitet kan representeras och skrivas olika sätt. Alla dessa metoder är likvärdiga: . Vi kan alltid använda den som passar oss I detta fall. Nu är det bekvämt för oss att föreställa oss att 5 är summan av 3 och 2. Därför, om vi tar bort, subtrahera en del (2), så kommer den andra (3) att finnas kvar.
Hur subtraherar man 7 från 15?
Det föreställer vi oss genast. Det betyder att efter att ha subtraherat 7 återstår 8.
Det blir tydligt att subtraktion är att hitta ett okänt expansionsnummer.
Låt oss titta på exemplet igen. För att subtrahera 2 från talet 5 måste du representera 5 som två termer och hitta den okända termen. Detta blir resultatet av subtraktionen.
Om du behöver subtrahera ett tal från ett tal:
Det betyder att talet måste representeras som två termer och .
En term är okänd för oss. Vi måste hitta honom. Detta är resultatet av subtraktion.
Det är tydligt vad man ska ta från vasen mer äpplen det som fanns där är omöjligt. Därför, när vi talar om att subtrahera naturliga tal, kan vi inte subtrahera ett större tal från ett mindre tal. Då kommer det att finnas andra tal, inte bara naturliga, och att subtrahera ett större tal från ett mindre tal blir möjligt.
Eller här är ett annat resonemang: att subtrahera betyder att presentera det i form av två termer, men termerna, delarna, kan inte vara större än helheten.
Men för närvarande är avtalet som följer: från talet subtraherar vi talet , bara om inte mindre än . Resultatet blir ett nytt nummer.
Ris. 3. Namn på komponenter vid subtrahering
Ordet "skillnad" är väldigt likt ordet "skillnad". Faktum är att vad är skillnaden, hur skiljer sig siffran 15 från siffran 7, 15 äpplen från 7 äpplen? För 8 äpplen. Det vill säga skillnaden mellan siffrorna 15 och 7 är skillnaden mellan dem.
Således, å ena sidan, är skillnaden resultatet av subtraktion från Mer mindre. Å andra sidan är det så här mycket ett nummer skiljer sig från ett annat, skillnaden mellan dem.
Pappa är 36 år och mamma är 2 år yngre. Hur gammal är mamma?
Subtrahera 2 från 36.
Detta är den första typen av problem som vi löser med hjälp av subtraktion: vi vet ett tal, vi måste hitta ett andra som är mindre med ett känt belopp. Det vill säga att vi omedelbart känner till minuend och subtrahend, siffror och .
Det är 25 personer i klassen, 14 av dem är tjejer. Hur många pojkar är det i klassen?
Det är tydligt att det bara är 25 tjejer och killar. Det är 14 flickor, ett okänt antal pojkar.
Vi måste hitta den okända termen. Och att söka efter en okänd term är redan en subtraktionsuppgift. Från 25 måste du subtrahera 14.
Det är 11 pojkar i klassen.
Detta är den andra typen av problem, när två nummer läggs till är det ena känt och det andra inte. Men resultatet, mängden, är känt.
Kända och är markerade i blått. Det är nödvändigt att hitta den okända termen. Men att söka efter en okänd term är subtraktion.
Systern är 12 år och brodern är 9. Hur många år är systern äldre än brodern?
Min syster är 3 år äldre än min bror.
Detta är den tredje typen av uppgift - jämförelseuppgift.
Det var 17 äpplen i vasen. Petya tog 4 äpplen, Masha tog 3. Hur många äpplen finns kvar i vasen?
Lösning
Petya tog 4, Masha - 3, de tog totalt äpplen. För att ta reda på hur mycket som är kvar, subtrahera:
Om du skriver det på en rad:
Låt oss räkna hur många äpplen som fanns kvar varje gång Petya och Masha tog äpplen. Petya tog 4, vänster. Masha tog 3 till, vänster.
Eller, på en rad, .
Det finns 10 äpplen kvar i vasen.
Båda metoderna är likvärdiga, svaret är detsamma. Det vill säga att subtrahera ett belopp är detsamma som att subtrahera varje term av detta belopp separat.
Operationen av subtraktion mellan alla naturliga tal har ett antal funktioner som kallas egenskaper. I den här artikeln kommer vi att titta på de grundläggande egenskaperna hos naturliga tal och ge förklarande exempel.
Egenskapen att subtrahera lika naturliga tal
Egenskapen att subtrahera två lika naturliga talFör två lika naturliga tal är skillnaden noll. Om a är ett naturligt tal så är a - a = 0.
Detta är den enklaste egenskapen. Siffran noll indikerar frånvaron av något. Om du subtraherar samma uppsättning objekt från en uppsättning av vissa objekt får du noll. Till exempel hade Petya 15 äpplen, han bestämde sig för att behandla Masha och gav henne alla 15 bitar. Nu har Petya noll äpplen.
Kommutativ lag (gäller ej för subtraktion)
Det är känt att när man lägger till siffror ändras inte summan av att ändra termernas platser. Precis som vid multiplikation ändras inte produkten när faktorerna omarrangeras. Denna egenskap kallas den kommutativa eller kommutativa lagen. Men vid subtrahering fungerar den kommutativa lagen bara i ett fall: när antalet som subtraheras är lika med antalet som reduceras.
I de fall talet som reduceras blir mindre än talet som subtraheras, går själva innebörden av att subtrahera naturliga tal förlorad. Till exempel:
38 - 21 är uppenbarligen inte lika med 21 - 38
I allmän syn du kan skriva det så här: a - b ≠ b - a.
Egenskaper för subtraktion av naturliga tal
För operationen att subtrahera naturliga tal gäller inte den kommutativa lagen!
Subtrahera summan av två tal från ett naturligt tal
Låt oss formulera egenskapen och sedan överväga ett exempel som kommer att ge en djup förståelse och hjälpa till att förstå vad som har sagts.
Egenskapen att subtrahera summan av två tal från ett naturligt tal
Att subtrahera summan av två naturliga tal från ett annat naturligt tal motsvarar att sekventiellt subtrahera från talet först en term av summan och sedan den andra.
Matematiskt kommer det att skrivas så här:
a - (b + c) = (a - b) - c
Låt oss titta på ett exempel. Petya och Vasya hade 8 mynt var. Petya köpte omedelbart en drink för två mynt och en godis för ett mynt. Vasya köpte först en drink och tänkte sedan på det och köpte även godis. Som ett resultat hade de båda fem mynt kvar. Operationer med Petya- och Vasya-mynt kan skrivas enligt följande:
8 - (2 + 1) = 5 (8 - 2) - 1 = 5
Det är viktigt att notera det denna operation för naturliga tal är det vettigt bara när talet som reduceras är större än eller lika med summan av talen som subtraheras från det.
I enlighet med den betraktade egenskapen och kombinationslagen är det möjligt att subtrahera summan av två, tre eller fler tal från ett naturligt tal.
Subtrahera ett tal från en summa
Låt oss föreställa oss att Rodion har 3 godisar i en ficka och 5 godisar i den andra. Han lovade att ge 2 godisar till Zukhra. På vilka sätt kan Rodion ge godis till Zuhra?
För det första kan du lägga alla godisarna i en ficka och ta ut 2 stycken därifrån. Godis kvar: 3 + 5 - 2.
För det andra kan du omedelbart ta ut två godisar från den första fickan. Godis kvar: 3 + 5 - 2.
Slutligen, för det tredje, kan du ta ut två godisar från den andra fickan. Som ett resultat har vi: 5 + (3 - 2).
Antalet godis förblir i slutändan oförändrat och jämlikheterna är giltiga:
3 + 5 - 2 = 5 + (3 - 2) = (3 + 5) - 2 .
Nu kan vi formulera en regel för att subtrahera ett tal från summan av andra naturliga tal.
Egenskapen att subtrahera ett naturligt tal från summan av två tal
Att subtrahera ett naturligt tal från summan av andra naturliga tal motsvarar att sekventiellt subtrahera ett givet tal från en term och addera den resulterande skillnaden till en annan term.
I bokstavlig form ser egenskapen ut så här:
(a + b) - c = (a - c) + b
Om villkoret b ≥ c är uppfyllt kan vi skriva (a + b) - c = a + (b - c) .
För a ≥ c och b ≥ c kan båda likheterna skrivas om som (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) .
Egenskapen att subtrahera ett naturligt tal från summan av tre eller fler tal formuleras på liknande sätt och följer av egenskapen att subtrahera ett tal från summan av två tal.
Låt oss titta på ett exempel.
Exempel. Subtrahera ett tal från en summa
a, b, c, d är några naturliga tal.
Om a ≥ d så är a + b + c - d = (a - d) + b + c.
Om b ≥ d så är a + b + c - d = a + (b - d) + c.
Om c ≥ d så är a + b + c - d = a + b + (c - d) .
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Så, V allmänt fall subtrahera naturliga tal har INTE den kommutativa egenskapen. Låt oss skriva detta uttalande med bokstäver. Om a och b är ojämna naturliga tal, då a−b≠b−a. Till exempel 45−21≠21−45.
Egenskapen att subtrahera summan av två tal från ett naturligt tal.
Nästa egenskap är relaterad till att subtrahera summan av två tal från ett naturligt tal. Låt oss titta på ett exempel som kommer att ge oss en förståelse för denna egenskap.
Låt oss föreställa oss att vi har 7 mynt i våra händer. Vi bestämmer oss först för att behålla 2 mynt, men med tanke på att detta inte kommer att räcka, bestämmer vi oss för att behålla ytterligare ett mynt. Baserat på innebörden av att lägga till naturliga tal, kan det hävdas att vi i det här fallet bestämde oss för att spara antalet mynt, vilket bestäms av summan 2+1. Så vi tar två mynt, lägger till ytterligare ett mynt till dem och lägger dem i spargrisen. I det här fallet bestäms antalet mynt som finns kvar i våra händer av skillnaden 7−(2+1) .
Föreställ dig nu att vi har 7 mynt, och vi lägger 2 mynt i spargrisen, och efter det ytterligare ett mynt. Matematiskt beskrivs denna process med följande numeriska uttryck: (7−2)−1.
Om vi räknar mynten som finns kvar i våra händer, så har vi i både det första och andra fallet 4 mynt. Det vill säga 7−(2+1)=4 och (7−2)−1=4, därför 7−(2+1)=(7−2)−1.
Det övervägda exemplet tillåter oss att formulera egenskapen att subtrahera summan av två tal från ett givet naturligt tal. Att subtrahera en given summa av två naturliga tal från ett givet naturligt tal är detsamma som att subtrahera den första termen av en given summa från ett givet naturligt tal, och sedan subtrahera den andra termen från den resulterande skillnaden.
Låt oss komma ihåg att vi gav mening åt subtraktionen av naturliga tal endast för det fall då minuenden är större än subtrahenden eller lika med den. Därför kan vi subtrahera en given summa från ett givet naturligt tal endast om denna summa inte är större än det naturliga talet som reduceras. Observera att om detta villkor är uppfyllt överstiger inte var och en av termerna det naturliga tal som summan subtraheras från.
Med hjälp av bokstäver skrivs egenskapen att subtrahera summan av två tal från ett givet naturligt tal som likhet a−(b+c)=(a−b)−c, där a, b och c är några naturliga tal, och villkoren a>b+c eller a=b+c är uppfyllda.
Den betraktade egenskapen, såväl som den kombinatoriska egenskapen för addition av naturliga tal, gör det möjligt att subtrahera summan av tre eller flera tal från ett givet naturligt tal.
Egenskapen att subtrahera ett naturligt tal från summan av två tal.
Låt oss gå vidare till nästa egenskap, som är associerad med att subtrahera ett givet naturligt tal från en given summa av två naturliga tal. Låt oss titta på exempel som hjälper oss att "se" denna egenskap att subtrahera ett naturligt tal från summan av två tal.
Låt oss ha 3 godisar i den första fickan och 5 godisar i den andra, och låt oss behöva ge bort 2 godisar. Vi kan göra det olika sätt. Låt oss titta på dem en efter en.
Först kan vi lägga alla godisarna i en ficka, sedan ta ut 2 godisar därifrån och ge bort dem. Låt oss beskriva dessa åtgärder matematiskt. Efter att vi lagt godisarna i en ficka kommer deras antal att bestämmas av summan 3+5. Nu, av det totala antalet godisar, kommer vi att ge bort 2 godisar, medan det återstående antalet godisar kommer att bestämmas av följande skillnad (3+5)−2.
För det andra kan vi ge bort 2 godisar genom att ta dem ur den första fickan. I det här fallet bestämmer skillnaden 3−2 det återstående antalet godisar i den första fickan, och det totala antalet godisar som finns kvar i vår ficka bestäms av summan (3−2)+5.
För det tredje kan vi ge bort 2 godisar från den andra fickan. Då kommer skillnaden 5−2 att motsvara antalet kvarvarande godis i den andra fickan, och det totala återstående antalet godis kommer att bestämmas av summan 3+(5−2) .
Det är klart att vi i alla fall kommer att ha samma nummer sötsaker Följaktligen är likheterna (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) giltiga.
Om vi var tvungna att ge bort inte 2, utan 4 godisar, så skulle vi kunna göra detta på två sätt. Ge först bort 4 godisar, efter att ha lagt dem alla i en ficka. I detta fall bestäms det återstående antalet godis av ett uttryck av formen (3+5)−4. För det andra kunde vi ge bort 4 godisar från den andra fickan. I detta fall ger det totala antalet godisar följande summa 3+(5−4) . Det är tydligt att i både det första och andra fallet kommer vi att ha samma antal godisar, därför är likheten (3+5)−4=3+(5−4) sann.
Efter att ha analyserat resultaten från att lösa de tidigare exemplen, kan vi formulera egenskapen att subtrahera ett givet naturligt tal från en given summa av två tal. Att subtrahera ett givet naturligt tal från en given summa av två tal är detsamma som att subtrahera ett givet tal från en av termerna och sedan addera den resulterande skillnaden och den andra termen. Det bör noteras att talet som subtraheras INTE får vara större än termen från vilken detta tal subtraheras.
Låt oss skriva ner egenskapen att subtrahera ett naturligt tal från en summa med hjälp av bokstäver. Låt a, b och c vara några naturliga tal. Sedan, förutsatt att a är större än eller lika med c, är likheten sann (a+b)-c=(a-c)+b, och om villkoret är uppfyllt att b är större än eller lika med c, är likheten sann (a+b)−c=a+(b−c). Om både a och b är större än eller lika med c, är båda de sista likheterna sanna, och de kan skrivas på följande sätt: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
I analogi kan vi formulera egenskapen att subtrahera ett naturligt tal från summan av tre och Mer tal. I det här fallet kan detta naturliga tal subtraheras från vilken term som helst (naturligtvis om det är större än eller lika med talet som subtraheras), och de återstående termerna kan läggas till den resulterande skillnaden.
För att visualisera den klingade egenskapen kan du tänka dig att vi har många fickor och det finns godis i dem. Anta att vi behöver ge bort 1 godis. Det är klart att vi kan ge bort 1 godis från valfri ficka. Samtidigt spelar det ingen roll från vilken ficka vi ger bort det, eftersom det inte påverkar mängden godis som vi kommer att ha kvar.
Låt oss ge ett exempel. Låt a, b, c och d vara några naturliga tal. Om a>d eller a=d är skillnaden (a+b+c)−d lika med summan (a−d)+b+c. Om b>d eller b=d, då (a+b+c)-d=a+(b-d)+c. Om c>d eller c=d, då är likheten (a+b+c)−d=a+b+(c−d) sann.
Det bör noteras att egenskapen att subtrahera ett naturligt tal från summan av tre eller fler tal inte är en ny egenskap, eftersom det följer av egenskaperna att addera naturliga tal och egenskapen att subtrahera ett tal från summan av två tal.
Bibliografi.
- Matematik. Eventuella läroböcker för 1:a, 2:a, 3:e, 4:e klasserna vid allmänna läroanstalter.
- Matematik. Eventuella läroböcker för 5:e klass vid allmänna läroanstalter.
