समीकरण
समीकरण कैसे हल करें?
इस खंड में, हम सबसे प्राथमिक समीकरणों को याद करेंगे (या अध्ययन करेंगे - जैसा कि कोई भी पसंद करता है)। तो समीकरण क्या है? मानवीय शब्दों में कहें तो यह किसी प्रकार की गणितीय अभिव्यक्ति है, जहाँ एक समान चिन्ह और एक अज्ञात होता है। जिसे आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है "एक्स". प्रश्न हल करेंऐसे x-मानों को खोजना है, जिन्हें प्रतिस्थापित करते समय मूलअभिव्यक्ति, हमें सही पहचान देगी। मैं आपको याद दिला दूं कि पहचान एक ऐसी अभिव्यक्ति है जो उस व्यक्ति के लिए भी संदेह पैदा नहीं करती है जो गणितीय ज्ञान से बिल्कुल भी बोझिल नहीं है। जैसे 2=2, 0=0, ab=ab आदि। तो आप समीकरण कैसे हल करते हैं?आइए इसका पता लगाते हैं।
सभी प्रकार के समीकरण हैं (मैं हैरान था, है ना?) लेकिन उनकी सभी अनंत विविधता को केवल चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है।
4. अन्य।)
बाकी सब, ज़ाहिर है, सबसे ज़्यादा, हाँ ...) इसमें क्यूबिक, और एक्सपोनेंशियल, और लॉगरिदमिक, और त्रिकोणमितीय, और अन्य सभी प्रकार शामिल हैं। हम संबंधित वर्गों में उनके साथ मिलकर काम करेंगे।
मुझे तुरंत कहना होगा कि कभी-कभी पहले तीन प्रकार के समीकरण इतने खराब हो जाते हैं कि आप उन्हें पहचान नहीं पाते हैं ... कुछ भी नहीं। हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे खोलना है।
और हमें इन चार प्रकारों की आवश्यकता क्यों है? और फिर क्या रेखीय समीकरणएक तरह से हल वर्गअन्य भिन्नात्मक परिमेय - तीसरा,एक विश्रामबिल्कुल हल नहीं! ठीक है, ऐसा नहीं है कि वे बिल्कुल भी निर्णय नहीं लेते हैं, मैंने व्यर्थ में गणित को नाराज कर दिया।) यह सिर्फ इतना है कि उनकी अपनी विशेष तकनीक और तरीके हैं।
लेकिन किसी के लिए (मैं दोहराता हूं - के लिए कोई!) समीकरण हल करने का एक विश्वसनीय और परेशानी मुक्त आधार है। हर जगह और हमेशा काम करता है। यह आधार - डरावना लगता है, लेकिन बात बहुत आसान है। और बहुत (बहुत!)महत्वपूर्ण।
दरअसल, समीकरण के समाधान में इन्हीं परिवर्तनों का समावेश होता है। 99% पर। सवाल का जवाब है: " समीकरण कैसे हल करें?" झूठ, बस इन परिवर्तनों में। क्या संकेत स्पष्ट है?)
समीकरणों की पहचान परिवर्तन।
पर कोई समीकरणअज्ञात को खोजने के लिए, मूल उदाहरण को बदलना और सरल बनाना आवश्यक है। इसके अलावा, ताकि उपस्थिति बदलते समय समीकरण का सार नहीं बदला है।ऐसे परिवर्तनों को कहा जाता है सदृशया उसके बराबर।
ध्यान दें कि ये परिवर्तन हैं सिर्फ समीकरणों के लिए।गणित में, अभी भी समान परिवर्तन हैं भाव।यह एक और विषय है।
अब हम सब-ऑल-ऑल बेसिक दोहराएंगे समीकरणों के समान परिवर्तन।
बुनियादी क्योंकि उन्हें लागू किया जा सकता है कोईसमीकरण - रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक, त्रिकोणमितीय, घातांक, लघुगणक, आदि। आदि।
पहला समान परिवर्तन: किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़ा (घटाया) जा सकता है कोई(लेकिन वही!) एक संख्या या एक अभिव्यक्ति (अज्ञात के साथ अभिव्यक्ति सहित!)। समीकरण का सार नहीं बदलता है।
वैसे, आपने लगातार इस परिवर्तन का उपयोग किया, आपने केवल यह सोचा था कि आप कुछ शर्तों को समीकरण के एक भाग से दूसरे में एक संकेत परिवर्तन के साथ स्थानांतरित कर रहे थे। टाइप:
मामला परिचित है, हम ड्यूस को दाईं ओर ले जाते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:
असल में आप दूर ले जाया गयासमीकरण ड्यूस के दोनों ओर से। नतीजा वही है:
एक्स+2 - 2 = 3 - 2
संकेत के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं शब्दों का स्थानांतरण पहले समान परिवर्तन का एक संक्षिप्त संस्करण है। और हमें इतने गहरे ज्ञान की आवश्यकता क्यों है? - आप पूछना। समीकरणों में कुछ भी नहीं। इसे स्थानांतरित करें, भगवान के लिए। बस साइन बदलना न भूलें। लेकिन असमानताओं में स्थानान्तरण की आदत एक मृत अंत की ओर ले जा सकती है....
दूसरा पहचान परिवर्तन: समीकरण के दोनों पक्षों को उसी से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है गैर-शून्यसंख्या या अभिव्यक्ति। एक समझने योग्य सीमा पहले से ही यहां दिखाई देती है: शून्य से गुणा करना बेवकूफी है, लेकिन इसे विभाजित करना बिल्कुल भी असंभव है। यह वह परिवर्तन है जिसका उपयोग आप तब करते हैं जब आप कुछ अच्छा निर्णय लेते हैं
समझा जा सकता है, एक्स= 2. लेकिन आपको यह कैसे मिला? चयन? या सिर्फ जलाया? अंतर्दृष्टि की प्रतीक्षा न करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि आप न्यायी हैं समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करें 5. बाईं ओर (5x) को विभाजित करते समय, शुद्ध X को छोड़कर, पांच को घटा दिया गया था। जिसकी हमें जरूरत थी। और जब दाईं ओर (10) को पांच से विभाजित किया गया, तो यह निश्चित रूप से एक ड्यूस निकला।
बस इतना ही।
यह मज़ेदार है, लेकिन ये दो (केवल दो!) समान परिवर्तन समाधान के अंतर्गत आते हैं गणित के सभी समीकरण।कैसे! क्या और कैसे के उदाहरणों को देखना समझ में आता है, है ना?)
समीकरणों के समान परिवर्तनों के उदाहरण। मुख्य समस्याएं।
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं पहलासमान परिवर्तन। बाएं-दाएं ले जाएं।
छोटों के लिए एक उदाहरण।)
मान लें कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:
3-2x=5-3x
आइए याद करते हैं मंत्र: "X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर!"यह वर्तनी पहले पहचान परिवर्तन को लागू करने के लिए एक निर्देश है।) दाईं ओर x के साथ अभिव्यक्ति क्या है? 3x? जवाब गलत है! हमारे दाहिनी ओर - 3x! ऋणतीन एक्स! इसलिए, जब बाईं ओर शिफ्ट किया जाता है, तो चिन्ह प्लस में बदल जाएगा। प्राप्त:
3-2x+3x=5
तो, एक्स को एक साथ रखा गया था। चलो नंबर करते हैं। बाईं ओर तीन। क्या संकेत? उत्तर "बिना किसी के" स्वीकार नहीं किया जाता है!) ट्रिपल के सामने, वास्तव में, कुछ भी नहीं खींचा जाता है। और इसका मतलब है कि ट्रिपल के सामने है एक से अधिक।तो गणितज्ञ सहमत हो गए। कुछ भी नहीं लिखा है, तो एक से अधिक।इसलिए, ट्रिपल को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाएगा एक माइनस के साथ।हम पाते हैं:
-2x+3x=5-3
खाली जगह बाकी हैं। बाईं ओर - समान दें, दाईं ओर - गिनें। जवाब तुरंत है:
इस उदाहरण में, एक समान परिवर्तन पर्याप्त था। दूसरे की जरूरत नहीं थी। अच्छी तरह से ठीक है।)
बड़ों के लिए एक उदाहरण।)
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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)
आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।
हम समीकरणों की दो प्रकार की हल करने वाली प्रणालियों का विश्लेषण करेंगे:
1. प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणाली का समाधान।
2. प्रणाली के समीकरणों के शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणाली का समाधान।
समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधिआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करने की आवश्यकता है:
1. हम व्यक्त करते हैं। किसी भी समीकरण से, हम एक चर को व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम व्यक्त चर, परिणामी मान के बजाय दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करते हैं।
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर से हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।
समाधान करना शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणालीजरुरत:
1. एक चर का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चर के साथ एक समीकरण मिलता है।
3. हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।
सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।
उदाहरण 1:
आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें
प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)
1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक के साथ एक चर x है, इसलिए यह पता चला है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
एक्स=3+10y
2. व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में चर x के स्थान पर 3 + 10y को प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर से हल करते हैं।
2(3+10y)+5y=1 (खुले कोष्ठक)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
वाई=-5:25
वाई=-0.2
समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसलिए हमें x और y को खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y होते हैं। आइए x खोजें, पहले पैराग्राफ में जहां हमने व्यक्त किया था, हम वहां y को प्रतिस्थापित करते हैं।
एक्स=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
यह पहली जगह में अंक लिखने के लिए प्रथागत है, हम चर x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर चर y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)
उदाहरण #2:
आइए शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा हल करें।
योग विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)
1. एक चर चुनें, मान लें कि हम x का चयन करते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांक समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल 6 का गुणांक प्राप्त करते हैं।
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. पहले समीकरण से, चर x से छुटकारा पाने के लिए दूसरे को घटाएं। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2
5y=32 | :5
वाई = 6.4
3. एक्स खोजें। हम किसी भी समीकरण में पाए गए y को प्रतिस्थापित करते हैं, मान लें कि पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8 = 1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स = 4.6
प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; वाई = 6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)
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लक्ष्य:
- विषय पर ज्ञान और कौशल को व्यवस्थित और सामान्य बनाना: तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों का समाधान।
- कार्यों की एक श्रृंखला को पूरा करके ज्ञान को गहरा करने के लिए, जिनमें से कुछ अपने प्रकार या हल करने की विधि में परिचित नहीं हैं।
- गणित के नए अध्यायों के अध्ययन के माध्यम से गणित में रुचि का निर्माण, समीकरणों के रेखांकन के निर्माण के माध्यम से ग्राफिक संस्कृति की शिक्षा।
पाठ प्रकार: संयुक्त।
उपकरण:ग्राफ प्रोजेक्टर।
दृश्यता:तालिका "विएटा का प्रमेय"।
कक्षाओं के दौरान
1. मानसिक खाता
a) द्विपद x-a द्वारा बहुपद p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 के विभाजन का शेषफल क्या है?
ख) एक घन समीकरण के कितने मूल हो सकते हैं?
ग) हम तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरण को किस सहायता से हल करते हैं?
d) यदि द्विघात समीकरण में b एक सम संख्या है, तो D और x 1 क्या है; x 2
2. स्वतंत्र कार्य (समूहों में)
यदि मूल ज्ञात हों तो समीकरण बनाएं (कार्यों के उत्तर कोडित हैं) "विएटा प्रमेय" का प्रयोग करें
1 समूह
जड़ें: x 1 = 1; एक्स 2 \u003d -2; एक्स 3 \u003d -3; एक्स 4 = 6
एक समीकरण लिखें:
बी=1 -2-3+6=2; ख = -2
ग=-2-3+6+6-12-18=-23; सी = -23
घ=6-12+36-18=12; घ = -12
ई=1(-2)(-3)6=36
एक्स 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(यह समीकरण तब बोर्ड पर समूह 2 द्वारा हल किया जाता है)
समाधान . हम संख्या 36 के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं।
पी = ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6 ...
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 संख्या 1 समीकरण को संतुष्ट करती है, इसलिए =1 समीकरण का मूल है। हॉर्नर की योजना
पी 3 (एक्स) = एक्स 3 -एक्स 2 -24x -36
पी 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6
उत्तर: 1; -2; -3; 6 जड़ों का योग 2 (पी)
2 समूह
जड़ें: x 1 \u003d -1; एक्स 2 = एक्स 3 =2; एक्स 4 \u003d 5
एक समीकरण लिखें:
बी=-1+2+2+5-8; बी = -8
सी=2(-1)+4+10-2-5+10=15; सी = 15
डी=-4-10+20-10=-4; घ = 4
ई=2(-1)2*5=-20;ई=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (समूह 3 बोर्ड पर इस समीकरण को हल करता है)
पी = ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 10; ± 20।
पी 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
पी 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
पी 3 (एक्स) \u003d एक्स 3 -9x 2 + 24x -20
पी 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 -7x + 10 \u003d 0 एक्स 1 \u003d 2; एक्स 2 \u003d 5
उत्तर: -1;2;2;5 मूलों का योग 8(P)
3 समूह
जड़ें: x 1 \u003d -1; एक्स 2 = 1; एक्स 3 \u003d -2; एक्स 4 \u003d 3
एक समीकरण लिखें:
बी=-1+1-2+3=1;बी=-1
एस=-1+2-3-2+3-6=-7; एस=-7
डी=2+6-3-6=-1; घ = 1
ई=-1*1*(-2)*3=6
एक्स 4 - एक्स 3- 7x 2 + x + 6 = 0(यह समीकरण बाद में समूह 4 द्वारा बोर्ड पर हल किया गया है)
समाधान। हम संख्या 6 के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं।
पी = ± 1; ± 2; ± 3; ± 6
पी 4 (1)=1-1-7+1+6=0
पी 3 (एक्स) = एक्स 3 - 7x -6
पी 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
पी 2 (एक्स) = एक्स 2 -एक्स -6 = 0; एक्स 1 \u003d -2; एक्स 2 \u003d 3
उत्तर: -1; 1; -2; 3 मूलों का योग 1 (O)
4 समूह
जड़ें: x 1 = -2; एक्स 2 \u003d -2; एक्स 3 \u003d -3; एक्स 4 = -3
एक समीकरण लिखें:
बी=-2-2-3+3=-4; ख = 4
सी=4+6-6+6-6-9=-5; सी=-5
डी=-12+12+18+18=36; घ = -36
ई=-2*(-2)*(-3)*3=-36; ई=-36
एक्स 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(यह समीकरण तब बोर्ड पर समूह 5 द्वारा हल किया जाता है)
समाधान। हम संख्या -36 . के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं
पी = ± 1; ± 2; ± 3 ...
पी(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
पी 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
पी 3 (एक्स) \u003d एक्स 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
पी 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
पी 2 (एक्स) = एक्स 2 -9 = 0; एक्स = ± 3
उत्तर: -2; -2; -3; 3 जड़ों का योग-4 (एफ)
5 समूह
जड़ें: x 1 \u003d -1; एक्स 2 \u003d -2; एक्स 3 \u003d -3; एक्स 4 = -4
एक समीकरण लिखें
एक्स 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(यह समीकरण तब बोर्ड पर छठे समूह द्वारा हल किया जाता है)
समाधान . हम संख्या 24 के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं।
पी = ± 1; ± 2; ± 3
पी 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
पी 3 (एक्स) \u003d एक्स- 3 + 9एक्स 2 + 26एक्स + 24 \u003d 0
पी 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d ओ
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 + 7x + 12 \u003d 0
उत्तर: -1; -2; -3; -4 योग -10 (आई)
6 समूह
जड़ें: x 1 = 1; एक्स 2 = 1; एक्स 3 \u003d -3; एक्स 4 = 8
एक समीकरण लिखें
बी=1+1-3+8=7;बी=-7
सी=1 -3+8-3+8-24= -13
डी=-3-24+8-24=-43; घ = 43
एक्स 4 - 7x 3- 13x 2 + 43एक्स - 24 = 0 (यह समीकरण तब बोर्ड पर 1 समूह द्वारा हल किया जाता है)
समाधान . हम संख्या -24 के भाजक के बीच पूर्णांक जड़ों की तलाश कर रहे हैं।
पी 4 (1)=1-7-13+43-24=0
पी 3 (1)=1-6-19+24=0
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8
उत्तर: 1; 1; -3; 8 योग 7 (एल)
3. एक पैरामीटर के साथ समीकरणों का समाधान
1. समीकरण x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; यदि जड़ों में से एक है (-1)
उत्तर आरोही क्रम में
आर=पी 3 (-1)=-1+3-एम-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
शर्त के अनुसार x 1 = - 1; डी=1+15=16
पी 2 (एक्स) \u003d एक्स 2 + 2x-15 \u003d 0
एक्स 2 \u003d -1-4 \u003d -5;
x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;
उत्तर:- 1;-5; 3
आरोही क्रम में: -5;-1;3। (बी एन एस)
2. बहुपद x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 के सभी मूल ज्ञात कीजिए, यदि द्विपद x-1 और x + 2 में इसके विभाजन के शेषफल बराबर हैं।
समाधान: आर \u003d आर 3 (1) \u003d आर 3 (-2)
पी 3 (1) \u003d 1-3 + ए- 2 ए + 6 \u003d 4-ए
पी 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
एक्स 2 (एक्स -3) -6 (एक्स -3) = 0
(x-3)(x 2-6) = 0
दो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि इनमें से कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है, जबकि दूसरा समझ में आता है।
2 समूह. जड़ें: -3; -2; एक; 2;3 समूह. जड़ें: -1; 2; 6; दस;
4 समूह. जड़ें: -3; 2; 2; 5;
5 समूह. जड़ें: -5; -2; 2; चार;
6 समूह. जड़ें: -8; -2; 6; 7.
हम आपको एक सुविधाजनक मुफ्त प्रदान करते हैं द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर।समझने योग्य उदाहरणों का उपयोग करके आप जल्दी से प्राप्त कर सकते हैं और समझ सकते हैं कि उन्हें कैसे हल किया जाता है।
उत्पन्न करना द्विघात समीकरण को ऑनलाइन हल करें, पहले समीकरण को सामान्य रूप में लाएं:
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0
तदनुसार फॉर्म फ़ील्ड भरें:
द्विघात समीकरण को कैसे हल करें
| द्विघात समीकरण को कैसे हल करें: | जड़ प्रकार: |
|
1.
द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लाएं: कुल्हाड़ी 2 का सामान्य दृश्य +बीएक्स+सी=0 उदाहरण: 3x - 2x 2 +1=-1 घटाकर -2x 2 +3x+2=0 2.
हम विभेदक डी पाते हैं। 3.
हम समीकरण की जड़ें पाते हैं। |
1.
असली जड़ें। और। x1 x2 के बराबर नहीं है स्थिति तब उत्पन्न होती है जब D>0 और A, 0 के बराबर नहीं होते हैं। 2.
असली जड़ें वही हैं। x1 बराबर x2 3.
दो जटिल जड़ें। x1=d+ei, x2=d-ei, जहां i=-(1) 1/2 5.
समीकरण में अनंत संख्या में समाधान हैं। 6.
समीकरण का कोई हल नहीं है। |
एल्गोरिदम को समेकित करने के लिए, यहां कुछ और हैं द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण उदाहरण.
उदाहरण 1. विभिन्न वास्तविक मूलों वाले एक साधारण द्विघात समीकरण का हल।
एक्स 2 + 3x -10 = 0
इस समीकरण में
ए = 1, बी = 3, सी = -10
डी=बी 2 -4*ए*सी = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
वर्गमूल को 1/2 संख्या के रूप में दर्शाया जाएगा!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5
जाँच करने के लिए, आइए स्थानापन्न करें:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
उदाहरण 2. समान वास्तविक मूल वाले द्विघात समीकरण को हल करना।
एक्स 2 - 8x + 16 = 0
ए = 1, बी = -8, सी = 16
डी \u003d के 2 - एसी \u003d 16 - 16 \u003d 0
एक्स=-के/ए=4
स्थानापन्न
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16
उदाहरण 3. सम्मिश्र मूलों वाले द्विघात समीकरण का हल।
13x 2 - 4x + 1 = 0
ए = 1, बी = -4, सी = 9
डी \u003d बी 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
विभेदक नकारात्मक है - जड़ें जटिल हैं।
X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, जहां मैं -1 . का वर्गमूल हूं
यहाँ वास्तव में द्विघात समीकरणों को हल करने के सभी संभावित मामले हैं।
हम आशा करते हैं कि हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटरआपके लिए बहुत उपयोगी होगा।
यदि सामग्री सहायक थी, तो आप कर सकते हैं
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
सबसे पहले आपको एक रूट खोजने के लिए चयन विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह आमतौर पर मुक्त अवधि का भाजक होता है। इस मामले में, संख्या के भाजक 12 हैं ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.आइए उन्हें बदले में प्रतिस्थापित करना शुरू करें:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 संख्या 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है
2: 2 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 संख्या 2 बहुपद का मूल है
हमने बहुपद की जड़ों में से 1 पाया है। बहुपद का मूल है 2, जिसका अर्थ है कि मूल बहुपद को से विभाज्य होना चाहिए एक्स - 2. बहुपदों का विभाजन करने के लिए, हम हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हैं:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
शीर्ष पंक्ति में मूल बहुपद के गुणांक होते हैं। दूसरी पंक्ति के पहले सेल में, हमने जो रूट पाया है उसे रखा है 2. दूसरी पंक्ति में बहुपद के गुणांक हैं, जो विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होंगे। वे इस तरह गिनते हैं:
|
दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में, संख्या लिखें 2, बस इसे पहली पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर। | ||||||||||||
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2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
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2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
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2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
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2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
अंतिम संख्या विभाजन का शेष भाग है। यदि यह 0 के बराबर है, तो हमने सब कुछ सही ढंग से गिना।
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
लेकिन यह अंत नहीं है। आप इसी तरह बहुपद का विस्तार करने का प्रयास कर सकते हैं 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6।
फिर से हम मुक्त पद के भाजक के बीच मूल की तलाश कर रहे हैं। संख्या भाजक -6 हैं ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 संख्या 1 बहुपद का मूल नहीं है
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है
2: 2 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 संख्या 2 बहुपद का मूल नहीं है
-2: 2 (-8) + 9 4 + 7 (-2) - 6 = 0 संख्या -2 बहुपद का मूल है
आइए हमारी हॉर्नर योजना में पाए गए रूट को लिखें और खाली कोशिकाओं को भरना शुरू करें:
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तीसरी पंक्ति के दूसरे सेल में संख्या लिखें 2, बस इसे दूसरी पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर। | ||||||||||||||||||
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-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
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-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
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-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
इस प्रकार, हमने मूल बहुपद का गुणनखंड किया:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
बहुपद 2x 2 + 5x - 3कारक भी किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आप विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं, या आप संख्या के भाजक के बीच मूल की तलाश कर सकते हैं -3. एक तरह से या किसी अन्य, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि इस बहुपद की जड़ संख्या है -3
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चौथी पंक्ति के दूसरे सेल में संख्या लिखें 2, बस इसे तीसरी पंक्ति के संबंधित सेल से स्थानांतरित करके। | ||||||||||||||||||||||||
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-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
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-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
इस प्रकार, हमने मूल बहुपद को रैखिक कारकों में विघटित कर दिया:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
और समीकरण की जड़ें हैं।
