ប្រសិនបើយើងធ្វើតាមនិយមន័យនោះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yដល់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δ x:
អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែព្យាយាមគណនាដោយប្រើរូបមន្តនេះ និយាយថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) = x 2 + (2x+ 3) អ៊ី xអំពើបាប x... ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងដេកលក់។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា អ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម អាចត្រូវបានសម្គាល់ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល។ ទាំងនេះគឺជាកន្សោមសាមញ្ញៗ ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនា និងបញ្ចូលទៅក្នុងតារាងជាយូរមកហើយ។ មុខងារបែបនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ - រួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម
អនុគមន៍បឋមគឺជាអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលបានរាយខាងក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀត ការទន្ទេញវាមិនមែនជាការលំបាកទាល់តែសោះ - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។
ដូច្នេះនិស្សន្ទវត្ថុ មុខងារបឋម:
| ឈ្មោះ | មុខងារ | ដេរីវេ |
| ថេរ | f(x) = គ, គ ∈ រ | 0 (បាទ សូន្យ!) |
| ចំណាត់ថ្នាក់សមហេតុផល | f(x) = x ន | ន · x ន − 1 |
| ស៊ីនុស | f(x) = បាប x | ខូស x |
| កូស៊ីនុស | f(x) = ខូស x | - អំពើបាប x(ដកស៊ីនុស) |
| តង់សង់ | f(x) = tg x | ១/ សហ ២ x |
| កូតង់សង់ | f(x) = ctg x | - ១/ បាប ២ x |
| លោការីតធម្មជាតិ | f(x) = ln x | 1/x |
| លោការីតតាមអំពើចិត្ត | f(x) = កំណត់ហេតុ ក x | 1/(xល ក) |
| អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល | f(x) = អ៊ី x | អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ) |
ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖
(គ · f)’ = គ · f ’.
ជាទូទៅ ថេរអាចផ្លាស់ទីនៅខាងក្រៅសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍:
(2x 3) '= 2 · ( x៣) '= ២ ៣ x 2 = 6x 2 .
ជាក់ស្តែង មុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក - និងច្រើនទៀត។ ដូច្នេះ មុខងារថ្មីនឹងបង្ហាញឡើង ដែលលែងជាមុខងារសំខាន់ទៀតហើយ ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាផងដែរទាក់ទងនឹង ច្បាប់ជាក់លាក់... ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។
ដេរីវេនៃផលបូកនិងភាពខុសគ្នា
អនុញ្ញាតឱ្យមានមុខងារ f(x) និង g(x) និស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍, ( f + g + ម៉ោង)’ = f ’ + g ’ + ម៉ោង ’.
និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតនៃ "ធាតុអវិជ្ជមាន" ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
មុខងារ f(x) ជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖
f ’(x) = (x២ + បាប x)’ = (x២) '+ (អំពើបាប x)’ = 2x+ cos x;
យើងហេតុផលស្រដៀងគ្នាសម្រាប់មុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
ដេរីវេនៃការងារមួយ។
គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថា ប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ័រ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម"> គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេ។ ប៉ុន្តែឧទុម្ពរអ្នក!ដេរីវេនៃផលិតផលត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខុសគ្នាទាំងស្រុង។
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែច្រើនតែមើលរំលង។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x- ៧) អ៊ី x .
មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x៣) កូស x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 សហ x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)
មុខងារ g(x) កត្តាទីមួយគឺស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែ គ្រោងការណ៍ទូទៅមិនផ្លាស់ប្តូរពីនេះទេ។ ជាក់ស្តែងកត្តាដំបូងនៃមុខងារ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើងមាន:
g ’(x) = ((x 2 + 7x- ៧) អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x- ៧) ' អ៊ី x + (x 2 + 7x- ៧) ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) អ៊ី x + (x 2 + 7x- ៧) អ៊ី x = អ៊ី x· (២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ ៩) អ៊ី x .
ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ ៩) អ៊ី
x
.
ចំណាំថានៅក្នុងជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបែងចែកជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើដូចនេះទេ ដេរីវេភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីស៊ើបអង្កេតមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុបន្ថែមនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់លាស់។ល។ ចំពោះករណីបែបនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការបញ្ចេញមតិដោយកត្តា។
ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 លើសំណុំចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង យើងអាចកំណត់បាន។ មុខងារថ្មី។ ម៉ោង(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖
មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? នោះហើយជារបៀប! នេះគឺជារូបមន្តដ៏លំបាកបំផុតមួយ - អ្នកមិនអាចដោះស្រាយវាដោយគ្មានដបបានទេ។ ដូច្នេះគួរសិក្សាវាជាការប្រសើរ ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់.
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗមានអនុគមន៍បឋម ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖
តាមទំនៀមទម្លាប់ ការរាប់លេខយកជាកត្តានឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖
មុខងារស្មុគ្រស្មាញគឺមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រនោះទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xចូរនិយាយថានៅលើ x 2 + ln x... វានឹងប្រែចេញ f(x) = បាប ( x 2 + ln x) គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ វាក៏មានដេរីវេទីវដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនដំណើរការដើម្បីស្វែងរកវាយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើនោះទេ។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីឱ្យមាន? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជួយ៖
f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).
តាមក្បួនមួយជាមួយនឹងការយល់ដឹងនៃរូបមន្តនេះស្ថានភាពគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ជាមួយ ការពិពណ៌នាលម្អិតរាល់ជំហាន។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2 + ln x)
ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យកន្សោម 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x... ដូច្នេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t... យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយរូបមន្ត៖
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’
ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! យើងអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ ៣.យើងទទួលបាន៖
f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3
ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយជាមួយមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងអ្នកត្រូវជំនួស x 2 + ln x = t... យើងមាន:
g ’(x) = g ’(t) · t'=(បាប t)’ · t'= ខូស t · t ’
ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + ln x... បន្ទាប់មក៖
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '= ខូស ( x 2 + ln x) (២ x + 1/x).
អស់ហើយ! ដូចដែលបានឃើញពី កន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដេរីវេនៃផលបូក។
ចម្លើយ៖
f ’(x) = ២ អ៊ី
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) ខូស ( x 2 + ln x).
ជាញឹកញាប់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំ ខ្ញុំប្រើពាក្យ "stroke" ជំនួសឱ្យពាក្យ "derivative" ។ ឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។
ដូច្នេះការគណនានិស្សន្ទវត្ថុមកចុះដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលទាំងនេះដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជា ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយត្រលប់ទៅដេរីវេនៃនិទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល៖
(x ន)’ = ន · x ន − 1
មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថាតួនាទីអ្វី នប្រហែលជាលេខប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x០.៥. ប៉ុន្តែ ចុះបើមានអ្វីប្លែកនៅឫស? ជាថ្មីម្តងទៀត នេះនឹងក្លាយទៅជាមុខងារស្មុគស្មាញ - សំណង់បែបនេះចង់ផ្តល់ឱ្យ ត្រួតពិនិត្យការងារនិងការប្រឡង។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t... យើងរកឃើញដេរីវេដោយរូបមន្ត៖
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5) ' t'= 0.5 t−០.៥ t ’.
យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x- ៧.យើងមាន៖
f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x- 7) −0.5 x 2 + 8x- 7) '= 0.5 · (2 x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖
ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍គណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។ ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍គណិតវិទ្យាគឺជាបញ្ហាដែលជួបប្រទះញឹកញាប់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។ អ្នកអាចនិយាយតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖ ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ គណនានិស្សន្ទវត្ថុ បែងចែកមុខងារ យកនិស្សន្ទវត្ថុ ប៉ុន្តែទាំងនេះសុទ្ធតែជាគោលគំនិតដូចគ្នា។ ពិតណាស់មាន និង កិច្ចការលំបាកដែលក្នុងនោះការស្វែងរកដេរីវេគឺគ្រាន់តែជាធាតុផ្សំនៃបញ្ហាប៉ុណ្ណោះ។ នៅលើគេហទំព័រសេវាកម្មរបស់យើង អ្នកមានឱកាសដើម្បីគណនាដេរីវេតាមអ៊ីនធឺណិតពីមុខងារបឋម និងមុខងារស្មុគស្មាញដែលមិនមានដំណោះស្រាយវិភាគ។ ដេរីវេតាមអ៊ីនធឺណិតនៅលើសេវាកម្មរបស់យើងអាចរកបានពីមុខងារគណិតវិទ្យាស្ទើរតែទាំងអស់ សូម្បីតែភាពស្មុគស្មាញបំផុតដែលសេវាកម្មផ្សេងទៀតមិនអាចដោះស្រាយសម្រាប់អ្នកក៏ដោយ។ ហើយចម្លើយដែលទទួលបានគឺតែងតែត្រឹមត្រូវ 100% និងមិនរាប់បញ្ចូលកំហុស។ អ្នកអាចមើលឃើញពីរបៀបដែលដំណើរការនៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនៅលើគេហទំព័ររបស់យើងកើតឡើងដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។ ឧទាហរណ៍មានទីតាំងនៅខាងស្តាំប៊ូតុងដំណោះស្រាយ។ ជ្រើសរើសមុខងារណាមួយពីបញ្ជីឧទាហរណ៍ វានឹងត្រូវបានជំនួសដោយស្វ័យប្រវត្តិនៅក្នុងវាលមុខងារ ហើយបន្ទាប់មកចុចប៊ូតុង "ដំណោះស្រាយ" ។ អ្នកនឹងឃើញដំណោះស្រាយជាជំហានៗ ដេរីវេរបស់អ្នកនឹងត្រូវបានរកឃើញតាមរបៀបដូចគ្នា។ អត្ថប្រយោជន៍នៃដំណោះស្រាយដេរីវេតាមអ៊ីនធឺណិត។ ទោះបីជាអ្នកដឹងពីរបៀបស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុក៏ដោយ ដំណើរការនេះអាចចំណាយពេល និងការខិតខំប្រឹងប្រែងច្រើន។ គេហទំព័រសេវាកម្មត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីជួយសង្រ្គោះអ្នកពីការគណនាដែលធុញទ្រាន់ និងប្រើប្រាស់ពេលវេលា ដែលលើសពីនេះទៅទៀត អ្នកអាចធ្វើខុស។ ដេរីវេតាមអ៊ីនធឺណិតត្រូវបានគណនាដោយចុចតែម្តងនៃប៊ូតុង "ដំណោះស្រាយ" បន្ទាប់ពីបញ្ចូលមុខងារដែលបានបញ្ជាក់។ ដូចគ្នានេះផងដែរ គេហទំព័រនេះគឺល្អឥតខ្ចោះសម្រាប់អ្នកដែលចង់សាកល្បងជំនាញរបស់ពួកគេក្នុងការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍គណិតវិទ្យា ហើយត្រូវប្រាកដថាវាត្រឹមត្រូវ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យឬស្វែងរកកំហុសនៅក្នុងវា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់អ្នកជាមួយនឹងលទ្ធផលនៃការគណនានៃសេវាកម្មអនឡាញ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនចង់ប្រើតារាងដែលបានមកពីការស្វែងរក មុខងារដែលចង់បានចំណាយពេលគ្រប់គ្រាន់ បន្ទាប់មកប្រើប្រាស់សេវាកម្មរបស់យើងជំនួសឱ្យតារាងដែលបានទាញយក ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ។ អត្ថប្រយោជន៍ចម្បងនៃគេហទំព័ររបស់យើងក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងសេវាកម្មស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀតគឺថាការគណនាកើតឡើងយ៉ាងលឿន (ជាមធ្យម 5 វិនាទី) ហើយអ្នកមិនចាំបាច់ចំណាយអ្វីទាំងអស់សម្រាប់វា - សេវាកម្មគឺពិតជាឥតគិតថ្លៃ។ អ្នកនឹងមិនតម្រូវឱ្យចុះឈ្មោះ បញ្ចូលអ៊ីមែល ឬទិន្នន័យផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកឡើយ។ អ្វីទាំងអស់ដែលត្រូវការគឺត្រូវបញ្ចូលមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ហើយចុចប៊ូតុង "ដំណោះស្រាយ" ។ តើអ្វីទៅជាដេរីវេ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យា និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ដំណើរការបញ្ច្រាសនៃដំណើរការនេះគឺជាការរួមបញ្ចូល ពោលគឺការស្វែងរកមុខងារពីដេរីវេដែលគេស្គាល់។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ ភាពខុសគ្នាគឺជាសកម្មភាពលើមុខងារមួយ ហើយដេរីវេគឺជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពបែបនេះរួចហើយ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចជាក់លាក់មួយ អាគុយម៉ង់ x ត្រូវបានជំនួសដោយតម្លៃលេខ ហើយកន្សោមត្រូវបានវាយតម្លៃ។ និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅជ្រុងខាងស្តាំខាងលើមុខងារ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលអាចជាការកំណត់មុខងារជាក់លាក់មួយ។ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម អ្នកត្រូវដឹងពីតារាងដេរីវេ ឬមានវានៅនឹងដៃជានិច្ច ដែលប្រហែលជាមិនងាយស្រួលទេ ក៏ដូចជាដឹងពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា ដូច្នេះយើងសូមណែនាំឱ្យប្រើសេវាកម្មរបស់យើង ដែលដេរីវេគឺ គណនាតាមអ៊ីនធឺណិត អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបញ្ចូលមុខងារក្នុងវាលដែលមានបំណងសម្រាប់វា... អាគុយម៉ង់ត្រូវតែជាអថេរ x ចាប់តាំងពីភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្តនៅលើវា។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវគណនានិស្សន្ទវត្ថុទីពីរ នោះអ្នកអាចបែងចែកចម្លើយខុសគ្នា។ របៀបដែលដេរីវេត្រូវបានគណនាតាមអ៊ីនធឺណិត។ តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អនុគមន៍បឋមត្រូវបានបង្កើតឡើងយូរមកហើយ ហើយគេអាចស្វែងរកតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អនុគមន៍បឋមបានយ៉ាងងាយស្រួល ដូច្នេះហើយការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍គណិតវិទ្យាបឋម (សាមញ្ញ) គឺជាបញ្ហាសាមញ្ញជាង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍គណិតវិទ្យាដ៏ស្មុគស្មាញមួយ នោះវាមិនមែនជាកិច្ចការតូចតាចទៀតទេ ហើយវានឹងត្រូវការការខិតខំប្រឹងប្រែង និងពេលវេលាច្រើន។ អ្នកអាចកម្ចាត់ការគណនាគ្មានន័យ និងវែង ប្រសិនបើអ្នកប្រើរបស់យើង។ សេវាកម្មអនឡាញ... សូមអរគុណដល់គាត់ ដេរីវេនឹងត្រូវបានគណនាក្នុងរយៈពេលតែប៉ុន្មានវិនាទីប៉ុណ្ណោះ។
វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហារូបវន្ត ឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាដោយមិនមានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាវា។ ដេរីវេគឺជាគំនិតសំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ យើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះចំពោះប្រធានបទជាមូលដ្ឋាននេះ។ អ្វីទៅជានិស្សន្ទវត្ថុ អ្វីជារូបកាយ និងអ្វី អត្ថន័យធរណីមាត្រតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?
ធរណីមាត្រ និងអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ
សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f (x) ផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួន (a, ខ) ... ពិន្ទុ х និង х0 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃរបស់វា។ x-x0 ... ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នានៃតម្លៃនៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុចពីរ។ និយមន័យដេរីវេ៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់នៅពេលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។
បើមិនដូច្នោះទេ វាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
តើអ្វីជាចំណុចក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់បែបនេះ? ហើយនេះជាអ្វី៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។
អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃផ្លូវទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលាគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។
ជាការពិតណាស់ តាំងពីនៅរៀនមក មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវឯកជន។ x = f (t) និងពេលវេលា t ... ល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលមួយ៖
ដើម្បីដឹងពីល្បឿននៃចលនាក្នុងពេលតែមួយ t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖
ច្បាប់ទីមួយ៖ ដកចំនួនថេរ
ថេរអាចត្រូវបានផ្លាស់ទីនៅខាងក្រៅសញ្ញានៃដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាត្រូវតែធ្វើ។ នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកជាក្បួន ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលការបញ្ចេញមតិ ត្រូវប្រាកដថាធ្វើឱ្យសាមញ្ញ .
ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាដេរីវេ៖
វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍
ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។
យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ
ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ដំណោះស្រាយ៖ 
វាចាំបាច់ក្នុងការនិយាយនៅទីនេះអំពីការគណនានៃដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងជួបកន្សោម៖
វ ក្នុងករណីនេះអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ទៅថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ទីមួយយើងគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពតាមអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមភ្លាមៗដោយគោរពតាមអថេរឯករាជ្យ។
ច្បាប់ទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ
រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖
យើងបានព្យាយាមប្រាប់អ្នកអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាស្តាប់ទៅនោះទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រយ័ត្នពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។
សម្រាប់សំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាសិស្ស។ ក្នុងមួយ រយៈពេលខ្លីយើងអាចជួយអ្នកក្នុងការដោះស្រាយការសាកល្បង និងដោះស្រាយកិច្ចការដែលពិបាកបំផុត ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ធ្វើការគណនានិស្សន្ទវត្ថុពីមុនមកក៏ដោយ។
ភ័ស្តុតាង និងប្រភពនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូស៊ីនុស - cos (x) ត្រូវបានបង្ហាញ។ ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃ cos 2x, cos 3x, cos nx, cosine squared, cube and power n. រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសលំដាប់ n-th ។
x-ដេរីវេនៃកូស៊ីនុស x គឺស្មើនឹងស៊ីនុសដកនៃ x៖
(cos x) ′ = - sin x.
ភស្តុតាង
ដើម្បីទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូស៊ីនុស យើងប្រើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖
.
យើងបំប្លែងកន្សោមនេះ ដើម្បីកាត់បន្ថយវាទៅជាច្បាប់ និងច្បាប់គណិតវិទ្យាដ៏ល្បី។ ដើម្បីធ្វើបែបនេះ យើងត្រូវដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិបួនយ៉ាង។
1)
រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ។ យើងត្រូវការរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ
(1)
;
2)
ទ្រព្យសម្បត្តិបន្តនៃមុខងារស៊ីនុស៖
(2)
;
3)
អត្ថន័យនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង:
(3)
;
4)
កំណត់ទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ៖
ប្រសិនបើអ្នក, បន្ទាប់មក
(4)
.
យើងអនុវត្តច្បាប់ទាំងនេះតាមដែនកំណត់របស់យើង។ ទីមួយ យើងបំប្លែងកន្សោមពិជគណិត
.
ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តរូបមន្ត
(1)
;
ក្នុងករណីរបស់យើង។
; ... បន្ទាប់មក
;
;
;
.
ចូរធ្វើការជំនួស។ នៅ , ។ យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិបន្ត (២)៖
.
ចូរធ្វើការជំនួសដូចគ្នា ហើយអនុវត្តដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង (3)៖
.
ដោយសារដែនកំណត់ដែលបានគណនាខាងលើមាន យើងអនុវត្តអចលនទ្រព្យ (4)៖
.
ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។
ឧទាហរណ៍នៃ
ពិចារណា ឧទាហរណ៍សាមញ្ញការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលមានកូស៊ីនុស។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រោម៖
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = cos 3 xនិង y = cos n x.
ឧទាហរណ៍ ១
ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនៃ cos 2x, cos 3xនិង cos nx.
ដំណោះស្រាយ
មុខងារដើមគឺស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះយើងនឹងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = cos nx... បន្ទាប់មកនៅក្នុងដេរីវេពី cos nx, ជំនួស n = 2 និង n = 3 ។ ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃ cos 2xនិង cos 3x .
ដូច្នេះយើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារ
y = cos nx
.
យើងតំណាងឱ្យមុខងារនៃអថេរ x ជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដែលមានមុខងារពីរ៖
1)
2)
បន្ទាប់មកអនុគមន៍ដើមគឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (សមាសធាតុ) ដែលផ្សំឡើងដោយមុខងារ និង៖
.
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដោយគោរពតាមអថេរ x៖
.
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអថេរ៖
.
យើងដាក់ពាក្យ។
.
តោះជំនួស៖
(W1) .
ឥឡូវនេះក្នុងរូបមន្ត (A1) យើងជំនួស និង៖
;
.
ចម្លើយ
;
;
.
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដេរីវេនៃ cosine squared, cosine cubed, and cosine power n:
y = cos 2 x; y = cos 3 x; y = cos n x.
ដំណោះស្រាយ
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មុខងារក៏ដូចគ្នាដែរ។ ដូច្នេះយើងនឹងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារទូទៅបំផុត - កូស៊ីនុសទៅជាថាមពល n:
y = cos n x.
បន្ទាប់មកដោត n = 2 និង n = 3 ។ ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសការ៉េ និងកូស៊ីនុសគូប។
ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍
.
ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលអាចយល់បានកាន់តែច្រើន៖
.
ចូរយើងស្រមៃមើលមុខងារនេះជាមុខងារស្មុគស្មាញ ដែលមានមុខងារពីរ៖
1)
មុខងារអាស្រ័យអថេរ :;
2)
មុខងារអាស្រ័យអថេរ៖ ។
បន្ទាប់មក អនុគមន៍ដើម គឺជាអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ដែលផ្សំឡើងដោយមុខងារពីរ និង៖
.
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអថេរ x៖
.
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ ទាក់ទងនឹងអថេរ៖
.
យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។
.
តោះជំនួស៖
(P2) .
ឥឡូវសូមជំនួស និង៖
;
.
ចម្លើយ
;
;
.
និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង
ចំណាំថាដេរីវេនៃ cos xលំដាប់ទីមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូស៊ីនុសដូចខាងក្រោម:
.
ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ៖
.
នៅទីនេះ
ចំណាំភាពខុសគ្នានេះ។ cos xនាំឱ្យមានការកើនឡើងនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វាដោយ។ បន្ទាប់មក ដេរីវេនៃលំដាប់ទី ៩ មានទម្រង់៖
(5)
.
រូបមន្តនេះអាចបញ្ជាក់បានកាន់តែតឹងរ៉ឹងដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ភ័ស្តុតាងសម្រាប់ដេរីវេទី n នៃស៊ីនុសត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ "ដេរីវេនៃស៊ីនុស" ។ សម្រាប់ដេរីវេទី 9 នៃកូស៊ីនុស ភស្តុតាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ។ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីជំនួស sin ជាមួយ cos នៅក្នុងរូបមន្តទាំងអស់។
ភ័ស្តុតាង និងការបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត (e ទៅអំណាច x) និងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (a ទៅអំណាច x)។ ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃ e^2x, e^3x និង e^nx ។ រូបមន្តនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង។
ដេរីវេនៃនិទស្សន្តគឺស្មើនឹងនិទស្សន្តខ្លួនវា (ដេរីវេនៃ e ទៅអំណាចនៃ x គឺស្មើនឹង e ទៅអំណាចនៃ x):
(1)
(e x) ′ = e x.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋានដឺក្រេ a គឺស្មើនឹងអនុគមន៍ខ្លួនវាគុណនឹងលោការីតធម្មជាតិនៃ a:
(2)
.
ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត e ទៅអំណាចនៃ x
និទស្សន្តគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមូលដ្ឋាននៃអំណាចស្មើនឹងចំនួន e ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
.
នៅទីនេះវាអាចជាចំនួនធម្មជាតិ ឬជាចំនួនពិត។ បន្ទាប់យើងទទួលបានរូបមន្ត (1) សម្រាប់ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត។
ដេរីវេនៃរូបមន្តនិទស្សន្តនិទស្សន្ត
ពិចារណានិទស្សន្ត e ទៅ x អំណាច៖
y = អ៊ី x ។
មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វាដោយគោរពទៅអថេរ x ។ តាមនិយមន័យ ដេរីវេមានដែនកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
(3)
.
ចូរបំប្លែងកន្សោមនេះ ដើម្បីកាត់បន្ថយវាទៅជាលក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្បួនគណិតវិទ្យាដ៏ល្បី។ ចំពោះបញ្ហានេះយើងត្រូវការការពិតដូចខាងក្រោមៈ
ក)ទ្រព្យសម្បត្តិនិទស្សន្ត៖
(4)
;
ខ)ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត៖
(5)
;
វី)ភាពបន្តនៃលោការីត និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារបន្តមួយ៖
(6)
.
នេះគឺជាមុខងារមួយចំនួនដែលមានដែនកំណត់ ហើយដែនកំណត់នេះគឺវិជ្ជមាន។
ឆ)អត្ថន័យនៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ:
(7)
.
យើងអនុវត្តការពិតទាំងនេះទៅនឹងដែនកំណត់របស់យើង (3) ។ យើងប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិ (4):
;
.
ចូរធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់មក ; ...
ដោយសារតែការបន្តនៃនិទស្សន្ត។
.
ដូច្នេះសម្រាប់, ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
.
ចូរធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់មក។ នៅ , ។ ហើយយើងមាន៖
.
ចូរយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត (៥)៖
... បន្ទាប់មក
.
អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិ (6). ដោយសារមានដែនកំណត់វិជ្ជមាន ហើយលោការីតគឺបន្ត ដូច្នេះ៖
.
នៅទីនេះយើងក៏បានប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ (7) ។ បន្ទាប់មក
.
ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលរូបមន្ត (1) សម្រាប់ដេរីវេនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ឥឡូវនេះយើងទាញយករូបមន្ត (2) សម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋានដឺក្រេ a ។ យើងជឿថានិង។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
(8)
កំណត់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។
ចូរយើងបំប្លែងរូបមន្ត (៨) ។ សម្រាប់រឿងនេះយើងនឹងប្រើ លក្ខណៈសម្បត្តិអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនិងលោការីត។
;
.
ដូច្នេះ យើងបានបំប្លែងរូបមន្ត (៨) ទៅជាទម្រង់ខាងក្រោម៖
.
ដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់នៃ e ទៅអំណាចនៃ x
ឥឡូវនេះយើងនឹងរកឃើញដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាងនេះ។ សូមក្រឡេកមើលនិទស្សន្តជាមុនសិន៖
(14)
.
(1)
.
យើងឃើញថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ (14) គឺស្មើនឹងអនុគមន៍ (14) ខ្លួនវាផ្ទាល់។ ភាពខុសគ្នា (1) យើងទទួលបានដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរ និងទីបី៖
;
.
ដូចនេះ គេអាចឃើញថា ដេរីវេនៃលំដាប់ទី ៩ ក៏ស្មើនឹងមុខងារដើមដែរ៖
.
ដេរីវេលំដាប់ខ្ពស់នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ឥឡូវពិចារណាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានកាំនៃដឺក្រេ a:
.
យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយរបស់វា៖
(15)
.
ភាពខុសគ្នា (15) យើងទទួលបានដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរនិងទីបី:
;
.
យើងឃើញថាភាពខុសគ្នានីមួយៗនាំទៅរកការគុណនៃអនុគមន៍ដើមដោយ។ ដូច្នេះ និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទី ៩ មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖
.
