Diskriminantas, taip pat kvadratinės lygtys pradedamos studijuoti algebros kurse 8 klasėje. Kvadratinę lygtį galite išspręsti naudodami diskriminantą ir naudodami Vieta teoremą. Studijų metodika kvadratines lygtis, kaip ir diskriminacinės formulės, gana nesėkmingai įskiepijamos moksleiviams, kaip ir daugelis dalykų realiame ugdyme. Todėl praeikite mokslo metų, mokymas 9-11 klasėse pakeičia " Aukštasis išsilavinimas"Ir visi vėl ieško - "Kaip išspręsti kvadratinę lygtį?", "Kaip rasti lygties šaknis?", "Kaip rasti diskriminantą?" Ir...

Diskriminacinė formulė

Kvadratinės lygties a*x^2+bx+c=0 diskriminantas D yra D=b^2–4*a*c.
Kvadratinės lygties šaknys (sprendiniai) priklauso nuo diskriminanto (D) ženklo:
D>0 – lygtis turi 2 skirtingas realiąsias šaknis;
D=0 – lygtis turi 1 šaknį (2 sutampančios šaknys):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminanto skaičiavimo formulė yra gana paprasta, todėl daugelis svetainių siūlo internetinę diskriminanto skaičiuoklę. Mes dar nesugalvojome tokio pobūdžio scenarijų, todėl kas žino, kaip tai įgyvendinti, rašykite el. Šis el. pašto adresas yra apsaugotas nuo šiukšlių. Jei norite peržiūrėti, turite įjungti „JavaScript“. .

Bendroji kvadratinės lygties šaknų radimo formulė:

Lygties šaknys randamos pagal formulę
Jei kintamojo kvadrato koeficientas yra suporuotas, patartina skaičiuoti ne diskriminantą, o ketvirtąją jo dalį
Tokiais atvejais lygties šaknys randamos pagal formulę

Antrasis būdas rasti šaknis yra Vietos teorema.

Teorema formuluojama ne tik kvadratinėms lygtims, bet ir daugianariams. Tai galite perskaityti Vikipedijoje ar kituose elektroniniuose šaltiniuose. Tačiau, siekiant supaprastinti, apsvarstykite tą jos dalį, kuri yra susijusi su redukuotomis kvadratinėmis lygtimis, ty su (a=1) formos lygtimis.
Vietos formulių esmė ta, kad lygties šaknų suma yra lygi kintamojo koeficientui, paimtam su priešingu ženklu. Lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui. Vietos teoremos formulės turi žymėjimą.
Vietos formulės išvedimas yra gana paprastas. Parašykime kvadratinę lygtį pirminiais koeficientais
Kaip matote, viskas, kas išradinga, yra paprasta tuo pačiu metu. Vietos formulę efektyvu naudoti, kai šaknų modulių skirtumas arba šaknų modulių skirtumas yra 1, 2. Pavyzdžiui, šios lygtys pagal Vietos teoremą turi šaknis




Iki 4 lygčių analizė turėtų atrodyti taip. Lygties šaknų sandauga yra 6, todėl šaknys gali būti reikšmės (1, 6) ir (2, 3) arba poros su priešingu ženklu. Šaknų suma lygi 7 (kintamojo su priešingu ženklu koeficientas). Iš čia darome išvadą, kad kvadratinės lygties sprendiniai yra lygūs x=2; x=3.
Lengviau parinkti lygties šaknis tarp laisvojo nario daliklių, taisant jų ženklą, kad būtų įvykdytos Vietos formulės. Iš pradžių tai atrodo sunku padaryti, tačiau praktikuojant daugybę kvadratinių lygčių, ši technika bus veiksmingesnė nei diskriminanto apskaičiavimas ir kvadratinės lygties šaknų radimas klasikiniu būdu.
Kaip matote, mokyklinė diskriminanto tyrimo teorija ir būdai, kaip rasti lygties sprendimus, neturi praktinės prasmės - „Kodėl moksleiviams reikalinga kvadratinė lygtis?“, „Kokia fizinė diskriminanto reikšmė?“.

Pabandykime tai išsiaiškinti ką apibūdina diskriminantas?

Algebros metu jie tiria funkcijas, funkcijų tyrimo schemas ir funkcijų braižymą. Iš visų funkcijų svarbią vietą užima parabolė, kurios lygtis gali būti įrašyta forma
Taigi kvadratinės lygties fizinė reikšmė yra parabolės nuliai, tai yra funkcijos grafiko susikirtimo taškai su abscisių ašimi Ox
Prašau prisiminti toliau aprašytas parabolių savybes. Ateis laikas laikyti egzaminus, testus ar stojamuosius ir būsite dėkingi už informacinę medžiagą. Kintamojo ženklas kvadrate atitinka tai, ar parabolės šakos grafike kils aukštyn (a>0),

arba parabolė su šakomis žemyn (a<0) .

Parabolės viršūnė yra viduryje tarp šaknų

Fizinė diskriminanto reikšmė:

Jei diskriminantas yra didesnis už nulį (D>0), parabolė turi du susikirtimo taškus su Ox ašimi.
Jei diskriminantas lygus nuliui (D=0), tada viršuje esanti parabolė liečia x ašį.
Ir paskutinis atvejis, kai diskriminantas mažiau nei nulis(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Tarp viso mokyklinio algebros programos kurso viena iš didžiausių temų yra kvadratinių lygčių tema. Šiuo atveju kvadratinė lygtis suprantama kaip lygtis, kurios formos ax 2 + bx + c \u003d 0, kur a ≠ 0 (skaitoma: a padauginti iš x kvadrato plius be x plius ce yra lygi nuliui, kur a nėra lygus nuliui). Šiuo atveju pagrindinę vietą užima formulės, skirtos rasti nurodyto tipo kvadratinės lygties diskriminantą, kuris suprantamas kaip išraiška, leidžianti nustatyti šaknų buvimą ar nebuvimą kvadratinėje lygtyje, taip pat jų numeris (jei yra).

Kvadratinės lygties diskriminanto formulė (lygtis).

Visuotinai priimta kvadratinės lygties diskriminanto formulė yra tokia: D \u003d b 2 - 4ac. Apskaičiuojant diskriminantą pagal nurodytą formulę, galima ne tik nustatyti kvadratinės lygties šaknų buvimą ir skaičių, bet ir pasirinkti šių šaknų, kurių yra keletas, suradimo būdą, priklausomai nuo kvadratinės lygties tipo.

Ką reiškia, jei diskriminantas yra nulis \ Kvadratinės lygties šaknų formulė, jei diskriminantas yra nulis

Diskriminantas, kaip matyti iš formulės, žymimas lotyniška raide D. Tuo atveju, kai diskriminantas lygus nuliui, darytina išvada, kad kvadratinė lygtis formos ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0 , turi tik vieną šaknį, kuri apskaičiuojama pagal supaprastintą formulę. Ši formulė galioja tik tada, kai diskriminantas yra lygus nuliui ir atrodo taip: x = –b/2a, kur x yra kvadratinės lygties šaknis, b ir a yra atitinkami kvadratinės lygties kintamieji. Norint rasti kvadratinės lygties šaknį, reikia neigiamą kintamojo b reikšmę padalyti iš dvigubo kintamojo a reikšmės. Gauta išraiška bus kvadratinės lygties sprendimas.

Kvadratinės lygties sprendimas per diskriminantą

Jei apskaičiuojant diskriminantą pagal aukščiau pateiktą formulę, gaunama teigiama reikšmė (D yra didesnė už nulį), tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurios apskaičiuojamos naudojant šias formules: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Dažniausiai diskriminantas neskaičiuojamas atskirai, o šaknies išraiška diskriminanto formulės forma tiesiog pakeičiama į D reikšmę, iš kurios išgaunama šaknis. Jei kintamasis b turi lyginę reikšmę, tada kvadratinės lygties, kurios formos ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, šaknis apskaičiuoti taip pat galite naudoti šias formules: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, kur k = b/2.

Kai kuriais atvejais praktiniam kvadratinių lygčių sprendimui galite naudoti Vieta teoremą, kuri sako, kad x 2 + px + q \u003d 0 kvadratinės lygties šaknų sumai reikšmė x 1 + x 2 \u003d -p bus teisinga, o nurodytos lygties šaknų sandaugai - išraiška x 1 xx 2 = q.

Ar diskriminantas gali būti mažesnis už nulį?

Skaičiuojant diskriminanto reikšmę galima susidurti su situacija, kuri nepatenka į nė vieną iš aprašytų atvejų – kai diskriminanto reikšmė yra neigiama (ty mažesnė už nulį). Šiuo atveju laikoma, kad kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, neturi realių šaknų, todėl jos sprendimas apsiribos diskriminanto apskaičiavimu, o aukščiau pateiktos formulės kvadratinės lygties šaknys Ši byla nebus taikomas. Tuo pačiu atsakyme į kvadratinę lygtį rašoma, kad „lygtis neturi realių šaknų“.

Paaiškinamas vaizdo įrašas:

Pirmas lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019 m.)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats X) kvadrate ir tuo pačiu metu neturėtų būti X trečiojo (ar didesnio) laipsnio.

Daugelio lygčių sprendimas redukuojamas į kvadratinių lygčių sprendinį.

Išmokime nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kokią nors kitą.

1 pavyzdys

Atsikratykite vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkite iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus x laipsnių mažėjimo tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratas!

3 pavyzdys

Padauginkime viską iš:

Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys

Atrodo, kad taip, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Matote, ji susitraukė – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai sąlyginai padalija visas kvadratines lygtis į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota yra lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes juose trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas !!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Toks padalijimas yra dėl sprendimo būdų. Panagrinėkime kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Neišsamios kvadratinės lygtys yra šių tipų:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia, kad visada turėtumėte žinoti ir atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės dalių. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Ach! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kuriose nėra šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Šiuo būdu,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia apsieisime be pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sudėtingesnis (tik šiek tiek) nei pateiktas.

Prisiminti, bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Likę metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis tokiu būdu yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tai lygtis turi šaknį.Ypatingą dėmesį reikia skirti žingsniui. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnyje esanti formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Tai reiškia, kad mes negalėsime išgauti šaknies iš diskriminanto. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra tokio tipo lygtys, kurios vadinamos sumažintomis (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma yra, t.y. gauname pirmąją lygtį:

O produktas yra:

Sukurkime ir išspręskime sistemą:

• Ir. Suma yra;
• Ir. Suma yra;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomas, - kai kurie skaičiai, be to.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, bet - nemokamas narys.

Kodėl? Nes jei, lygtis iš karto taps tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje išmatų lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia išanalizuosime nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus - jie yra paprastesni.

Galima išskirti šiuos lygčių tipus:

I. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai parašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Suskaičiuojame kairę lygties pusę ir randame šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminantas

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti nesunku, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote diskriminanto šaknį šaknies formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknį:
• Jei, tada lygtis turi tą pačią šaknį, bet iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl yra skirtingas šaknų skaičius? Pereikime prie kvadratinės lygties geometrinės reikšmės. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Konkrečiu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . O tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su x ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nekirsti ašies arba susikirsti viename (kai parabolės viršus guli ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jei - tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik pateiktos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

O produktas yra:

Išsirinkime tokias skaičių poras, kurių sandauga lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• Ir. Suma yra;
• Ir. Suma yra;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje, ir patikriname, ar jų suma yra lygi:

ir: duoti iš viso.

ir: duoti iš viso. Norint jį gauti, tereikia pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, taigi šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Taigi šaknų suma yra jų modulių skirtumai.

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje ir kurių skirtumas lygus:

ir: jų skirtumas yra - netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, tai šaknis, kuri yra mažesnė absoliučia verte, turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, taigi ir šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Mes pasirenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatome, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys ir tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys yra minusinės.

Parenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu – sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vieta teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad jį naudoti būtų pelninga, turite automatizuoti veiksmus. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo prekės:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vietos teorema: suma turėtų pasirodyti, bet sandauga lygi.

Bet kadangi turėtų būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Būtina visas sąlygas perkelti į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Taip, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite to iškelti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia pirminį koeficientą padaryti lygų:

gerai. Tada šaknų suma lygi, o sandauga.

Čia pasiimti lengviau: juk – pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas terminas yra neigiamas. Kuo jis ypatingas? Ir tai, kad šaknys bus skirtingų ženklų. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o skirtumą tarp jų modulių: šis skirtumas lygus, bet sandauga.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra su minusu. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką pirmiausia reikia padaryti? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turi būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turi būti lygi, o tai reiškia, kad su minusu bus didesnė šaknis.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik duotose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vieta teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerasta tinkamos laisvojo termino faktorių poros, tai sveikųjų skaičių šaknų nėra ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Pilno kvadrato pasirinkimo būdas

Jei visi terminai, turintys nežinomąjį, yra vaizduojami kaip terminai iš sutrumpintos daugybos formulių – sumos arba skirtumo kvadratu, tai pasikeitus kintamiesiems, lygtis gali būti vaizduojama kaip nepilna kvadratinė tokio tipo lygtis.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

Apskritai transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tai nieko neprimena? Tai diskriminantas! Būtent taip buvo gauta diskriminanto formulė.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur yra nežinomasis, yra kvadratinės lygties koeficientai, yra laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis turi tokią formą: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškite nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokite diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos lygties, kur) šaknų suma yra lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , bet.

2.3. Pilno kvadrato sprendimas

Pavyzdžiui, trinario \(3x^2+2x-7\) diskriminantas bus \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). O trinario \(x^2-5x+11\) jis bus lygus \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminantas žymimas raide \(D\) ir dažnai naudojamas sprendžiant. Be to, pagal diskriminanto reikšmę galite suprasti, kaip atrodo grafikas (žr. toliau).

Diskriminantų ir lygčių šaknys

Diskriminanto reikšmė parodo kvadratinės lygties dydį:
- jei \(D\) yra teigiamas, lygtis turės dvi šaknis;
- jei \(D\) lygus nuliui - tik viena šaknis;
- jei \(D\) yra neigiamas, šaknų nėra.

To mokytis nebūtina, nesunku prieiti prie tokios išvados, tiesiog žinant, kad iš diskriminanto (ty \(\sqrt(D)\) yra įtraukta į lygties šaknų skaičiavimo formulę: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) Panagrinėkime kiekvieną atvejį išsamiau .

Jei diskriminantas teigiamas

Šiuo atveju jo šaknis yra teigiamas skaičius, o tai reiškia, kad \(x_(1)\) ir \(x_(2)\) bus skirtingos reikšmės, nes pirmoje formulėje \(\sqrt(D) \) pridedamas , o antroje - atimamas. Ir mes turime dvi skirtingas šaknis.

Pavyzdys : Raskite lygties \(x^2+2x-3=0\) šaknis
Sprendimas :

Atsakymas : \(x_(1)=1\); \(x_(2) = -3\)

Jei diskriminantas lygus nuliui

O kiek bus šaknų, jei diskriminantas lygus nuliui? Pamąstykime.

Šakninės formulės atrodo taip: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Ir jei diskriminantas yra nulis, tada jo šaknis taip pat yra nulis. Tada paaiškėja:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Tai yra, lygties šaknų reikšmės bus vienodos, nes nulio pridėjimas ar atėmimas nieko nekeičia.

Pavyzdys : Raskite lygties šaknis \(x^2-4x+4=0\)
Sprendimas :

\(x^2-4x+4=0\)		Išrašome koeficientus:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Apskaičiuokite diskriminantą naudodami formulę \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Lygties šaknų radimas
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Gavome dvi vienodas šaknis, todėl nėra prasmės jas rašyti atskirai – užrašome kaip vieną.

Atsakymas : \(x=2\)

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau tekste „KU“. Draugai, atrodytų, kad matematikoje tai gali būti lengviau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų „Yandex“ suteikia užklausai per mėnesį. Štai kas atsitiko, pažiūrėkite:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį šios informacijos ieško apie 70 000 žmonių, o štai vasara, o kas bus per mokslo metus – prašymų bus dvigubai daugiau. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško seniai mokyklą baigę ir egzaminui besiruošiantys vaikinai ir merginos, atgaivinti atmintį stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daug svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai apsilankytų mano svetainėje pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai pasirodys kalba „KU“, duosiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai rašoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališkais skaičiais su a≠0.

IN mokyklos kursas medžiaga pateikiama tokia forma - lygtys suskirstytos į tris klases sąlygiškai:

1. Turėkite dvi šaknis.

2. * Turėti tik vieną šaknį.

3. Neturi šaknų. Čia verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir nuspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Šia proga, kai diskriminantas yra nulis, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia ji lygi devynioms. Teisingai, taip, bet...

Šis vaizdas yra šiek tiek neteisingas. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nesistebėkite, pasirodo, dvi lygios šaknys, o kad būtų matematiškai tikslūs, tada atsakyme reikia parašyti dvi šaknis:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra tik viena šaknis.

Dabar toks pavyzdys:

Kaip žinome, šaknis neigiamas skaičius nėra išgaunamas, todėl šiuo atveju sprendimo nėra.

Tai yra visas sprendimų priėmimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Štai kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c yra pateikti skaičiai, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad išsprendę kvadratinę lygtį, kurioje "y" lygi nuliui, randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) arba nė vieno (diskriminantas yra neigiamas). Išsami informacija apie kvadratinė funkcija Galite peržiūrėti Innos Feldman straipsnis.

Apsvarstykite pavyzdžius:

1 pavyzdys: nuspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = -12

* Galite iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra, supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Išspręsti x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Gavome x 1 \u003d 11 ir x 2 \u003d 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Išspręsti x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 -4ac = (-8) 2 -4, 1, 72 = 64 - 288 = -224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai gaunamas neigiamas diskriminantas. Ar žinote ką nors apie kompleksinius skaičius? Čia nenagrinėsiu, kodėl ir kur jie atsirado ir koks jų konkretus vaidmuo ir būtinybė matematikoje, tai yra didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur a ir b yra realieji skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi yra VIENAS SKAIČIUS, o ne priedas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gaukite dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Apsvarstykite specialius atvejus, kai koeficientas "b" arba "c" yra lygus nuliui (arba abu yra lygūs nuliui). Jie lengvai išsprendžiami be jokių diskriminavimo priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuoti, koeficientuoti:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

betx 2 + bx+ c=0 lygybė

a + b+ c = 0, tada

— jei lygties koeficientams betx 2 + bx+ c=0 lygybė

a+ su =b, tada

Šios savybės padeda išspręsti tam tikros rūšies lygtį.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, taigi

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė a+ su =b, reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje ax 2 + bx - c = 0 koeficientas "b" lygus (a 2 – 1), o koeficientas „c“ skaičiais lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 - bx - c \u003d 0, koeficientas "b" yra lygus (a 2 - 1), o koeficientas c yra skaitiniu būdu lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsiojo vardu prancūzų matematikas Fransua Vieta. Naudojant Vietos teoremą, galima išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Apibendrinant, skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. patogu, nes įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visą laiką.

PERDAVIMO METODAS

Šiuo metodu koeficientas "a" dauginamas iš laisvojo termino, tarsi "perkeliamas" į jį, todėl jis vadinamas perdavimo būdas.Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu bet± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pagal Vieta teoremą (2) lygtyje nesunku nustatyti, kad x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi du buvo „išmesti“ iš x 2), gauname

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėkite, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra šie:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gaunami tik skirtingi vardikliai, o rezultatas tiksliai priklauso nuo koeficiento x 2:

Antrosios (modifikuotos) šaknys yra 2 kartus didesnės.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei ridename tris vienodus, tai rezultatą dalijame iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir egzaminas.

Apie jo svarbą pasakysiu trumpai - TURĖKITE MESTI greitai ir negalvodami, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminanto formules. Daugelis užduočių, kurios yra USE užduočių dalis, yra susijusios su kvadratinės lygties (įskaitant geometrines) sprendimu.

Į ką verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinoma reikšmė ir ji gali būti žymima bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.