Tipo lygtis

Išraiška D= b 2 - 4ac paskambino diskriminuojantis kvadratinė lygtis. JeiguD = 0, tada lygtis turi vieną tikrąją šaknį; jei D> 0, tada lygtis turi dvi realiąsias šaknis.
Tuo atveju, kai D = 0 , kartais sakoma, kad kvadratinė lygtis turi dvi identiškas šaknis.
Naudojant žymėjimą D= b 2 - 4ac, formulę (2) galima perrašyti kaip

Jeigu b= 2 k, tada (2) formulė įgauna tokią formą:

kur k= b / 2 .
Paskutinė formulė ypač patogi, kai b / 2 yra sveikasis skaičius, t.y. koeficientas b - lyginis skaičius.
1 pavyzdys: išspręskite lygtį 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Čia a = 2, b = -5, c = 2. Mes turime D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Kaip D > 0 , tada lygtis turi dvi šaknis. Raskime juos pagal formulę (2)

Taigi x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
tai yra x 1 = 2 ir x 2 = 1 / 2 yra pateiktos lygties šaknys.
2 pavyzdys: išspręskite lygtį 2 x 2 - 3x + 5 = 0 . Čia a = 2, b = -3, c = 5. Diskriminanto radimas D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Kaip D 0 , tada lygtis neturi realių šaknų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys. Jei kvadratinėje lygtyje kirvis 2 +bx+c =0 antrasis koeficientas b arba laisvas narys c lygus nuliui, tada vadinama kvadratinė lygtis Nebaigtas. Neišsamios lygtys išskiriamos todėl, kad norėdami rasti jų šaknis, negalite naudoti kvadratinės lygties šaknų formulės – lengviau išspręsti lygtį, jos kairę pusę į faktorius.
1 pavyzdys: išspręskite lygtį 2 x 2 - 5x = 0 .
Mes turime x(2x - 5) = 0 . Taigi arba x = 0 , arba 2 x - 5 = 0 , tai yra x = 2.5 . Taigi lygtis turi dvi šaknis: 0 ir 2.5
2 pavyzdys: išspręskite lygtį 3 x 2 - 27 = 0 .
Mes turime 3 x 2 = 27 . Todėl šios lygties šaknys yra 3 ir -3 .

Vietos teorema. Jei duotoji kvadratinė lygtis x 2 +px+ q =0 turi realias šaknis, tada jų suma lygi - p, o produktas yra q, tai yra

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(duotosios kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui).

Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.

Apsvarstykime viską išsamiai: kvadratinės lygties esmę ir žymėjimą, nustatykime susijusius terminus, išanalizuokime nepilnų ir pilnųjų lygčių sprendimo schemą, susipažinkime su šaknų formule ir diskriminantu, nustatysime ryšius tarp šaknų ir koeficientų ir, žinoma, pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos tipai

1 apibrėžimas

Kvadratinė lygtis lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, kur x– kintamasis, a , b ir c yra keletas skaičių, o a nėra nulis.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš tikrųjų kvadratinė lygtis yra antrojo laipsnio algebrinė lygtis.

Pateikiame pavyzdį, iliustruojantį pateiktą apibrėžimą: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas

Skaičiai a , b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b – antruoju koeficientu, arba koeficientu at x, a c vadinamas laisvuoju nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 – 2 x – 11 = 0 didžiausias koeficientas yra 6 , antrasis koeficientas yra − 2 , o laisvasis terminas lygus − 11 . Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami Trumpa forma formos įrašai 6 x 2 – 2 x – 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jei koeficientai a ir/arba b lygus 1 arba − 1 , tada jie gali nedalyvauti rašant kvadratinę lygtį, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų rašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 − y + 7 = 0 senjorų koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Pagal pirmojo koeficiento reikšmę kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.

3 apibrėžimas

Sumažinta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažinama.

Štai keli pavyzdžiai: kvadratinės lygtys x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sumažinamos, kiekvienoje iš jų pirmaujantis koeficientas yra 1 .

9 x 2 – x – 2 = 0- nesumažintą kvadratinę lygtį, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kurią nesumažintą kvadratinę lygtį galima paversti redukuota lygtimi, padalijus abi jos dalis iš pirmojo koeficiento (ekvivalentinė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis arba neturės šaknų.

Svarstymas atvejo analizė leis vaizdžiai parodyti perėjimą nuo neredukuotos kvadratinės lygties prie redukuotos.

1 pavyzdys

Duota lygtis 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Būtina paversti pradinę lygtį į sumažintą formą.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties dalis padaliname iš pirmaujančio koeficiento 6 . Tada gauname: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ir tai yra tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Iš čia: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Taigi gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai nurodėme a ≠ 0. Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo tiksliai kvadratinis, nes a = 0 ji iš esmės transformuojasi į tiesinė lygtis b x + c = 0.

Tuo atveju, kai koeficientai b ir c yra lygūs nuliui (tai įmanoma tiek atskirai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

4 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c \u003d 0, kur bent vienas iš koeficientų b ir c(arba abu) yra nulis.

Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje visi skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.

Aptarkime, kodėl kvadratinių lygčių tipams suteikiami būtent tokie pavadinimai.

Jei b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0, kuris yra toks pat kaip a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratinė lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0, kuris yra lygiavertis a x 2 + b x = 0. At b = 0 ir c = 0 lygtis įgaus formą a x 2 = 0. Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų iš karto. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsamios.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys:

• a x 2 = 0, koeficientai atitinka tokią lygtį b = 0 ir c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0, kai c = 0.

Paeiliui apsvarstykite kiekvieno tipo nepilnos kvadratinės lygties sprendimą.

Lygties a x 2 \u003d 0 sprendimas

Kaip jau minėta aukščiau, tokia lygtis atitinka koeficientus b ir c, lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 galima konvertuoti į lygiavertę lygtį x2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a, nelygu nuliui. Akivaizdus faktas yra tai, kad lygties šaknis x2 = 0 yra nulis, nes 0 2 = 0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p , nelygus nuliui, nelygybė yra tiesa p2 > 0, iš ko išplaukia, kad kada p ≠ 0 lygybė p2 = 0 niekada nepasieks.

5 apibrėžimas

Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra unikali šaknis x=0.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį − 3 x 2 = 0. Tai yra lygiavertė lygčiai x2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x=0, tada pradinė lygtis turi vieną šaknį – nulį.

Sprendimas apibendrinamas taip:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Lygties a x 2 + c \u003d 0 sprendimas

Toliau eilėje yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b \u003d 0, c ≠ 0, tai yra, formos lygtys a x 2 + c = 0. Transformuokime šią lygtį, perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeisdami ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:

• kentėti cį dešinę pusę, kuri suteikia lygtį a x 2 = − c;
• padalykite abi lygties puses iš a, gauname kaip rezultatas x = - c a .

Mūsų transformacijos yra lygiavertės, atitinkamai gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia padaryti išvadą apie lygties šaknis. Iš kokių vertybių a ir c priklauso nuo išraiškos reikšmės - c a: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = -2 ir c=6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); jis nelygus nuliui, nes c ≠ 0. Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.

Viskas skiriasi, kai - c a > 0: prisiminkite kvadratinę šaknį ir taps akivaizdu, kad lygties x 2 \u003d - c a šaknis bus skaičius - c a, nes - c a 2 \u003d - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a - taip pat yra lygties x 2 = - c a šaknis: iš tikrųjų - - c a 2 = - c a .

Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime parodyti naudodami priešingą metodą. Pirmiausia nustatykime aukščiau rastų šaknų žymėjimą kaip x 1 ir − x 1. Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x2, kuris skiriasi nuo šaknų x 1 ir − x 1. Mes tai žinome pakeisdami į lygtį, o ne x jos šaknis, lygtį paverčiame teisinga skaitine lygybe.

Dėl x 1 ir − x 1 parašykite: x 1 2 = - c a , ir už x2- x 2 2 \u003d - c a. Remdamiesi skaitinių lygybių savybėmis, atimame po vieną narį tikroji lygybė iš kito, kuris mums duos: x 1 2 − x 2 2 = 0. Naudokite skaičių operacijų savybes, kad perrašytumėte paskutinę lygybę kaip (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga yra nulis tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių yra lygus nuliui. Iš to, kas pasakyta, išplaukia x1 − x2 = 0 ir/arba x1 + x2 = 0, kuris yra tas pats x2 = x1 ir/arba x 2 = − x 1. Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x2 skiriasi nuo x 1 ir − x 1. Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a .

Mes apibendriname visus aukščiau pateiktus argumentus.

6 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a , kuri:

• neturės šaknų ties - c a< 0 ;
• turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a, kai - c a > 0 .

Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžių a x 2 + c = 0.

3 pavyzdys

Duota kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 . Būtina rasti jos sprendimą.

Sprendimas

Laisvąjį terminą perkeliame į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 \u003d - 7.
Abi gautos lygties puses padalijame iš 9 , gauname x 2 = - 7 9 . Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

4 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį − x2 + 36 = 0.

Sprendimas

Perkelkime 36 į dešinę pusę: − x 2 = − 36.
Padalinkime abi dalis į − 1 , mes gauname x2 = 36. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio galime tai padaryti x = 36 arba x = - 36 .
Ištraukiame šaknį ir užrašome galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį − x2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x=6 arba x = -6.

Atsakymas: x=6 arba x = -6.

Lygties a x 2 +b x=0 sprendimas

Panagrinėkime trečiosios rūšies nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0. Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudojame faktorizavimo metodą. Paskaičiuokime daugianarį, esantį kairėje lygties pusėje, iš skliaustų išimdami bendrą koeficientą x. Šis žingsnis leis originalią nepilną kvadratinę lygtį paversti jos ekvivalentu x (a x + b) = 0. Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x=0 ir a x + b = 0. Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis: x = − b a.

7 apibrėžimas

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x=0 ir x = − b a.

Sutvirtinkime medžiagą pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Reikia rasti lygties 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 sprendinį.

Sprendimas

Išimkime x už skliaustų ir gaukite lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x=0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Dabar turėtumėte išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Trumpai parašome lygties sprendimą taip:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba x = 3 3 7

Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimą, yra šaknies formulė:

8 apibrėžimas

x = - b ± D 2 a, kur D = b 2 − 4 a c yra vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.

Rašymas x \u003d - b ± D 2 a iš esmės reiškia, kad x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bus naudinga suprasti, kaip buvo gauta nurodyta formulė ir kaip ją pritaikyti.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a, skiriasi nuo nulio, gauname sumažintą kvadratinę lygtį: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• kairėje gautos lygties pusėje pasirinkite visą kvadratą:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Po to lygtis bus tokia: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, keičiant ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Taigi, mes priėjome prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuri yra lygiavertė pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Tokių lygčių sprendimą aptarėme ankstesnėse pastraipose (neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas). Jau įgyta patirtis leidžia padaryti išvadą apie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 šaknis:

• b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, lygtis yra x + b 2 · a 2 = 0, tada x + b 2 · a = 0.

Iš čia vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 teisingas yra: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuris yra toks pat kaip x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.y. lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (taigi ir pradinės lygties) šaknų buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos b 2 - 4 a c ženklo. 4 · 2 parašytas dešinėje pusėje. O šios išraiškos ženklą suteikia skaitiklio ženklas (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas b 2 − 4 a c. Ši išraiška b 2 − 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę - pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, tai kiek šaknų - vieną ar dvi.

Grįžkime prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Perrašykime jį diskriminantiniu žymėjimu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Pakartokime išvadas:

9 apibrėžimas

• adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
• adresu D=0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a ;
• adresu D > 0 lygtis turi dvi šaknis: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 arba x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti taip: x \u003d - b 2 a + D 2 a arba - b 2 a - D 2 a. O kai atidarome modulius ir sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, gauname: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 − 4 a c.

Šios formulės leidžia, kai diskriminantas yra didesnis už nulį, nustatyti abi tikrąsias šaknis. Kai diskriminantas yra nulis, taikant abi formules bus gauta tokia pati šaknis kaip vienintelis sprendimas kvadratinė lygtis. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, bandant naudoti kvadratinę šaknies formulę, susidursime su būtinybe išgauti Kvadratinė šaknis iš neigiamas skaičius, kuris nuves mus už realių skaičių. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, nustatoma pagal tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, tačiau iš esmės tai daroma, kai reikia rasti sudėtingas šaknis.

Daugeliu atvejų paieška paprastai skirta ne sudėtingoms, o realioms kvadratinės lygties šaknims. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti šaknų vertė.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

10 apibrėžimas

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtina:

• pagal formulę D = b 2 − 4 a c rasti diskriminanto vertę;
• pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - b 2 · a ;
• jei D > 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis pagal formulę x = - b ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a , ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a .

Apsvarstykite pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Pateiksime sprendimo pavyzdį skirtingos vertybės diskriminuojantis.

6 pavyzdys

Būtina rasti lygties šaknis x 2 + 2 x - 6 = 0.

Sprendimas

Rašome kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 ir c = – 6. Toliau veikiame pagal algoritmą, t.y. Pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kurį pakeisime koeficientais a , b ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Taigi, mes gavome D > 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x \u003d - b ± D 2 · a ir, pakeisdami atitinkamas reikšmes, gauname: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastiname gautą išraišką, išimdami koeficientą iš šaknies ženklo, o po to sumažindami trupmeną:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7

Atsakymas: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

7 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Sprendimas

Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, nustatytą pagal formulę x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Atsakymas: x = 3, 5.

8 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Sprendimas

Šios lygties skaitiniai koeficientai bus tokie: a = 5 , b = 6 ir c = 2 . Norėdami rasti diskriminantą, naudojame šias reikšmes: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknies formulę atlikdami operacijas su kompleksiniais skaičiais:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 arba x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i arba x = - 3 5 - 1 5 i .

Atsakymas: nėra tikrų šaknų; kompleksinės šaknys yra: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

AT mokyklos mokymo programa pagal nutylėjimą nereikalaujama ieškoti kompleksinių šaknų, todėl sprendžiant diskriminantą nustačius neigiamą, iškart įrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.

Net antrojo koeficiento šakninė formulė

Šakninė formulė x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškesnę, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendinius su lyginiu koeficientu x (arba su koeficientu 2 a n formos, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi rasti kvadratinės lygties a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 sprendimą. Veikiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , tada naudojame šaknies formulę:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Tegul išraiška n 2 − a c žymima kaip D 1 (kartais žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n šaknų formulė įgis tokią formą:

x \u003d - n ± D 1 a, kur D 1 \u003d n 2 - a c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4 . Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

11 apibrėžimas

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju 2 n koeficientu sprendimą, būtina:

• rasti D 1 = n 2 − a c ;
• ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• jei D 1 = 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - n a ;
• jei D 1 > 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis naudodami formulę x = - n ± D 1 a.

9 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Sprendimas

Antrasis duotosios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2 · (− 3) . Tada duotą kvadratinę lygtį perrašome į 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kur a = 5, n = −3 ir c = −32.

Apskaičiuokime ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Mes juos apibrėžiame pagal atitinkamą šaknų formulę:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 arba x = - 2

Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau tokiu atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2 .

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 yra aiškiai patogesnė sprendžiant nei 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas abi jos dalis dauginant arba dalijant iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi jos dalis iš 100.

Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra santykinai pirminiai skaičiai. Tada įprasta abi lygties puses dalyti iš didžiausio bendro daliklio absoliučios vertės jo koeficientai.

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Apibrėžkime jo koeficientų absoliučių verčių gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Abi pradinės kvadratinės lygties dalis padalinkime iš 6 ir gausime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Padauginus abi kvadratinės lygties puses, trupmeniniai koeficientai paprastai pašalinami. Šiuo atveju padauginkite iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada ji bus parašyta daugiau paprasta forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Galiausiai pastebime, kad beveik visada atsikratykite minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, keisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi dalis iš −1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, galite pereiti prie jos supaprastintos versijos 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Ryšys tarp šaknų ir koeficientų

Jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia jos skaitiniais koeficientais. Remdamiesi šia formule, turime galimybę nustatyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos yra Vietos teoremos formulės:

x 1 + x 2 \u003d - b a ir x 2 \u003d c a.

Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės lygties 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 formą galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų sandauga yra 22 3.

Taip pat galite rasti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tikiuosi studijuoti Šis straipsnis, sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Diskriminanto pagalba sprendžiamos tik pilnosios kvadratinės lygtys, nepilnoms kvadratinėms lygtims spręsti naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turite apskaičiuoti diskriminantą D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Atsižvelgdami į tai, kokią reikšmę turi diskriminantas, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas yra nulis, tada x \u003d (-b) / 2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Atsakymas: - 3,5; 1.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą pagal 1 paveiksle pateiktą schemą.

Šios formulės gali būti naudojamos sprendžiant bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario

a x 2 + bx + c, kitaip galite suklysti. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1, tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 sprendimo pavyzdį aukščiau).

Todėl, jei lygtis parašyta ne kaip standartinės formos daugianario, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (pirmiausia turi būti monomas su didžiausiu eksponentu, t. y. a x 2 , tada su mažiau – bx, o tada laisvas terminas Su.

Sprendžiant aukščiau minėtą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu antrojo nario koeficientu, galima naudoti ir kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje su antruoju nariu koeficientas yra lyginis (b = 2k), tai lygtį galima išspręsti naudojant 2 paveikslo diagramoje pateiktas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 lygi vienybei ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q = 0. Tokia lygtis gali būti pateikta išspręsti arba gaunama padalijus visus lygties koeficientus iš koeficiento a stovi prie x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Apsvarstykite šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. išspręskite lygtį

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveiksle parodytas formules.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3

Matote, kad koeficientas x šioje lygtyje yra lyginis skaičius, tai yra b \u003d 6 arba b \u003d 2k, iš kur k \u003d 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodami formules, parodytas paveikslo diagramoje D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir padalijame, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x - 2 = 0 Išsprendžiame šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3.

Kaip matote, sprendžiant šią lygtį naudojant skirtingas formules, gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įvaldę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Pirmas lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats X) kvadrate ir tuo pačiu metu neturėtų būti X trečiojo (ar didesnio) laipsnio.

Daugelio lygčių sprendimas redukuojamas į kvadratinių lygčių sprendinį.

Išmokime nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kokią nors kitą.

1 pavyzdys

Atsikratykite vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkite iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus x laipsnių mažėjimo tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratas!

3 pavyzdys

Padauginkime viską iš:

Išsigandęs? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys

Atrodo, kad taip, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Matote, ji susitraukė – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai sąlyginai padalija visas kvadratines lygtis į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota yra lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes juose trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas !!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Toks padalijimas yra dėl sprendimo būdų. Panagrinėkime kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Nebaigtos kvadratinės lygtys yra šių tipų:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia, kad visada turėtumėte žinoti ir atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės dalių. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Oi! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kuriose nėra šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Šiuo būdu,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos jos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia apsieisime be pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kurioje

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas yra šiek tiek sudėtingesnis (tik šiek tiek) nei pateiktosios.

Prisiminti, bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Likę metodai padės tai padaryti greičiau, tačiau jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įsisavinkite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis tokiu būdu yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį Ypatingas dėmesys nubrėžk žingsnį. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie mūsų lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Tai reiškia, kad mes negalėsime išgauti šaknies iš diskriminanto. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra tokio tipo lygtys, kurios vadinamos sumažintomis (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma yra, t.y. gauname pirmąją lygtį:

O produktas yra:

Sukurkime ir išspręskime sistemą:

• ir. Suma yra;
• ir. Suma yra;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDURIO LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomas, - kai kurie skaičiai, be to.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, a - nemokamas narys.

Kodėl? Nes jei, lygtis iš karto taps tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje išmatų lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia išanalizuosime nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus - jie yra paprastesni.

Galima išskirti šiuos lygčių tipus:

I. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Todėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai parašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Suskaičiuojame kairę lygties pusę ir randame šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminuojantis

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote diskriminanto šaknį šaknies formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknį:
• Jei, tada lygtis turi tą pačią šaknį, bet iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl tai įmanoma skirtingą sumąšaknys? Kreipkimės į geometrine prasme kvadratinė lygtis. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Konkrečiu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . O tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo taškai su x ašimi (ašiu). Parabolė gali išvis nekirsti ašies arba susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jei - tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik pateiktos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

O produktas yra:

Išsirinkime tokias skaičių poras, kurių sandauga lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• ir. Suma yra;
• ir. Suma yra;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje, ir patikriname, ar jų suma yra lygi:

ir: duoti iš viso.

ir: duoti iš viso. Norint jį gauti, tereikia pakeisti tariamų šaknų požymius: o galų gale ir darbą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, taigi šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Taigi šaknų suma yra jų modulių skirtumai.

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje ir kurių skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas yra - netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, tai šaknis, kuri yra mažesnė absoliučia verte, turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, taigi ir šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Mes pasirenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatome, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys ir tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, vadinasi bent jau, viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys yra minusinės.

Parenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu – sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vieta teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad jį naudoti būtų pelninga, turite automatizuoti veiksmus. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo prekės:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vietos teorema: suma turėtų pasirodyti, bet sandauga yra lygi.

Bet kadangi turėtų būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Būtina visas sąlygas perkelti į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Taip, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia reikia pateikti lygtį. Jei negalite to iškelti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad kvadratinė lygtis reiškia, kad pagrindinis koeficientas yra lygus:

Puikiai. Tada šaknų suma yra lygi, o sandauga.

Čia pasiimti lengviau: juk – pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas terminas yra neigiamas. Kuo jis ypatingas? Ir tai, kad šaknys bus skirtingų ženklų. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o skirtumą tarp jų modulių: šis skirtumas lygus, bet sandauga.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra su minusu. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką pirmiausia reikia padaryti? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turi būti lygi, o tai reiškia, kad su minusu bus didesnė šaknis.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik duotose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vieta teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba jos nerasta tinkama pora laisvojo termino faktoriai, o tai reiškia, kad sveikųjų skaičių šaknų nėra, o ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Pilno kvadrato pasirinkimo būdas

Jei visi terminai, kuriuose yra nežinomasis, yra pavaizduoti kaip terminai iš sutrumpintos daugybos formulių – sumos arba skirtumo kvadratu, tai pasikeitus kintamiesiems, lygtis gali būti pavaizduota kaip nepilna kvadratinė tokio tipo lygtis.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

AT bendras vaizdas transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tai tau nieko neprimena? Tai diskriminantas! Būtent taip buvo gauta diskriminanto formulė.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur yra nežinomasis, yra kvadratinės lygties koeficientai, yra laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis turi tokią formą: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškite nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokite diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos lygties, kur) šaknų suma yra lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , a.

2.3. Pilno kvadrato sprendimas

Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba gali nebūti!) Tik x (iki pirmojo laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti x laipsniu, didesniu nei du.

Matematine prasme kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

Čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet a- nieko, išskyrus nulį. Pavyzdžiui:

Čia a =1; b = 3; c = -4

Čia a =2; b = -0,5; c = 2,2

Čia a =-3; b = 6; c = -18

Na, supratai mintį...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija nariai. x kvadratu su koeficientu a, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b ir laisvas narys

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos užbaigti.

Kas, jeigu b= 0, ką mes gausime? Mes turime X išnyks pirmame laipsnyje. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

ir kt. Ir jei abu koeficientai b ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Tokios lygtys, kur kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl a negali būti nulis? Ir jūs vietoj to pakeičiate a nulis.) X kvadrate išnyks! Lygtis taps tiesinė. Ir daroma kitaip...

Tai visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Piltinių kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aiškias paprastas taisykles. Pirmajame etape reikia duotą lygtį perkelti į standartinę formą, t.y. į vaizdą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, a, b ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti x, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakaitalas su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

a =1; b = 3; c= -4. Čia rašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Viskas labai paprasta. O kaip tu manai, negali suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir c. Tiksliau, ne su jų ženklais (kur čia susipainioti?), Bet su pakeitimu neigiamos reikšmėsį šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugomas išsamus formulės įrašas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryk tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti prireiks 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai dažyti. Bet tik atrodo. Pabandyk tai. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai dažyti. Tai tiesiog pasirodys teisinga. Ypač jei naudojate praktines technikas kurios aprašytos toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų bus išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Ar žinojai?) Taip! tai nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Jas taip pat galima išspręsti pagal bendrą formulę. Jums tiesiog reikia teisingai išsiaiškinti, kas čia yra lygus a, b ir c.

Supratau? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; a c? Jo visai nėra! Na taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to, formulėje pakeiskite nulį c, ir viskas mums susitvarkys. Panašiai ir su antruoju pavyzdžiu. Tik nulio mes čia neturime Su, a b !

Tačiau neišsamias kvadratines lygtis galima išspręsti daug lengviau. Be jokių formulių. Apsvarstykite pirmąją nepilną lygtį. Ką galima padaryti kairėje pusėje? Galite išimti X iš skliaustų! Išimkime.

Ir kas iš šito? Ir tai, kad sandauga yra lygi nuliui, jei ir tik kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netiki? Na, tada sugalvokite du ne nulius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Kažkas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x 1 = 0, x 2 = 4.

Viskas. Tai bus mūsų lygties šaknys. Abu tinka. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei bendroji formulė. Beje, pažymiu, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – tai visiškai abejinga. Lengva rašyti eilės tvarka x 1- kuris yra mažesnis x 2- kas daugiau.

Antroji lygtis taip pat gali būti lengvai išspręsta. Perkeliame 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka iš 9 ištraukti šaknį, ir viskas. Gaukite:

taip pat dvi šaknys . x 1 = -3, x 2 = 3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba išimant X iš skliaustų, arba tiesiog perkeliant skaičių į dešinę, po to ištraukiant šaknį.
Šiuos metodus labai sunku supainioti. Tiesiog todėl, kad pirmuoju atveju turėsite ištraukti šaknį iš X, o tai kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ko išimti iš skliaustų ...

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.

Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „spręsk per diskriminantą“ ramina ir ramina. Nes nereikia laukti gudrybių iš diskriminanto! Juo naudotis paprasta ir be problemų.) Primenu bendriausią sprendimo formulę bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Diskriminantas paprastai žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška ypatinga? Kodėl jis vertas ypatingo pavadinimo? Ką diskriminanto prasmė? Po visko -b, arba 2ašioje formulėje jie konkrečiai neįvardija ... Raidės ir raidės.

Esmė tokia. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galite išgauti šaknį. Kitas klausimas, ar šaknis išgauta gerai, ar blogai. Svarbu, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, bet du vienodi. Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamas skaičius neįima kvadratinės šaknies. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Jei atvirai, pas paprastas sprendimas kvadratines lygtis, diskriminanto sąvoka nėra ypač reikalinga. Formulėje pakeičiame koeficientų reikšmes ir svarstome. Ten viskas pasirodo savaime, ir dvi šaknys, ir viena, ir ne viena. Tačiau sprendžiant daugiau sunkių užduočių, be žinios prasmė ir diskriminacinė formulė nepakankamai. Ypač – lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis GIA ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmoko, kas irgi nėra blogai.) Mokate teisingai identifikuoti a, b ir c. Ar žinai kaip dėmesingai pakeiskite juos į šaknies formulę ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar tu tai supratai raktažodįčia - dėmesingai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie atsiranda dėl neatidumo... Už ką tada skaudu ir įžeidžiau...

Pirmas priėmimas . Netingėkite prieš išspręsdami kvadratinę lygtį, kad ji būtų standartinė. Ką tai reiškia?
Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš x kvadratą gali jus labai nuliūdinti. Pamiršti lengva... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį. Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nesijaudink, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kuria užrašėme šaknų formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, lengvai patikrinkite šaknis. Užtenka juos padauginti. Turėtumėte gauti nemokamą terminą, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! nemokamas narys su savo ženklu . Jei nepavyko, vadinasi, jie jau kažkur susipainiojo. Ieškokite klaidos.

Jei pavyko, šaknis reikia sulankstyti. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Turėtų būti santykis b Su priešingas ženklas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš x, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Bus mažiau klaidų.

Trečias priėmimas . Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta pamokoje "Kaip išspręsti lygtis? Tapatybės transformacijos". Dirbdami su trupmenomis, klaidos dėl tam tikrų priežasčių kyla ...

Beje, žadėjau supaprastinti blogą pavyzdį su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

Kad nesusipainiotume minusuose, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

Tai viskas! Spręsti yra smagu!

Taigi, pakartokime temą.

Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jeigu koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendinį galima nesunkiai patikrinti Vietos teorema. Daryk!

Dabar galite nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atsakymai (netvarkingai):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x – bet koks skaičius

x 1 = -3
x 2 = 3

jokių sprendimų

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ar viskas tinka? Puiku! Kvadratinės lygtys nėra jūsų galvos skausmas. Pirmieji trys pasirodė, o kiti ne? Tada problema yra ne kvadratinėse lygtyse. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai veikia? O gal visai neveikia? Tada jums padės skyrius 555. Ten visi šie pavyzdžiai surūšiuoti pagal kaulus. Rodoma pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, kalbame ir apie identiškų transformacijų taikymą sprendime įvairios lygtys. Labai padeda!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.