Mėnulio kampinis atstumas nuo saulės. Kodėl pasaulis nepriėmė heliocentrinės sistemos? Kaip buvo išmatuotas Žemės rutulys

Tarpasmeninis atstumas Kuo labiau domisi pokalbiu ir linkęs susitarti, sėdi arčiau pašnekovo, tuo labiau konfrontuojasi – toliau. Tačiau buvimas per arti (iki 0,5 m) suvokiamas kaip intymus; atstumas nuo 0,5 iki 1,2 m

Atstumas ir laikas

Atstumas ir laikas Poreikis šaudyti tiesiogiai priklauso nuo to, kaip greitai priešas gali jums pakenkti. Kuo arčiau jūsų priešas, tuo greičiau jis gali tai padaryti, o jums reikia greičiau nušauti. Atitinkamai, kuo toliau

Dangus virš galvos yra seniausias geometrijos vadovėlis. Pirmosios sąvokos, tokios kaip taškas ir apskritimas, yra iš ten. Greičiau net ne vadovėlis, o probleminė knyga. Kuriame nėra puslapio su atsakymais. Du vienodo dydžio apskritimai – saulė ir mėnulis – juda dangumi, kiekvienas savo greičiu. Likę objektai – šviečiantys taškai – juda visi kartu, tarsi būtų pritvirtinti prie sferos, besisukančios 1 apsisukimo greičiu per 24 valandas. Tiesa, tarp jų yra išimčių – 5 taškai juda kaip nori. Jiems buvo parinktas ypatingas žodis – „planeta“, graikiškai – „valkata“. Kol žmonija egzistavo, ji bandė išsiaiškinti šio amžinojo judėjimo dėsnius. Pirmasis lūžis įvyko III amžiuje prieš Kristų, kai graikų mokslininkai, perėmę jauną geometrijos mokslą, sugebėjo gauti pirmuosius rezultatus apie Visatos sandarą. Tai bus aptarta.

Norėdami suprasti problemos sudėtingumą, apsvarstykite pavyzdį. Įsivaizduokime 10 cm skersmens šviečiančią sferą, nejudingai kabančią erdvėje. Pavadinkime S. Aplink jį kiek didesniu nei 10 metrų atstumu nupieštas mažas rutulys Z kurių skersmuo 1 milimetras, ir aplink Z 6 cm atstumu nupieštas labai mažas rutulys L, jo skersmuo yra ketvirtis milimetro. Vidurinio rutulio paviršiuje Z gyvena mikroskopiniai padarai. Jie turi tam tikrą intelektą, bet negali palikti savo kamuolio ribų. Viskas, ką jie gali padaryti, tai pažvelgti į kitus du kamuoliukus - S ir L. Kyla klausimas, ar jie gali sužinoti šių kamuoliukų skersmenis ir išmatuoti atstumus iki jų? Kad ir kaip manytum, tai atrodytų beviltiškas verslas. Mes nubraižėme labai sumažintą Saulės sistemos modelį ( S - Saulė, Z -Žemė, L - Mėnulis).

Tai užduotis, su kuria susiduria senovės astronomai. Ir jie tai išsprendė! Daugiau nei prieš 22 šimtmečius, naudojant tik elementariausią geometriją - 8 klasės lygiu (tiesės ir apskritimo savybės, panašūs trikampiai ir Pitagoro teorema). Ir, žinoma, žiūrėti į mėnulį ir saulę.

Keli mokslininkai dirbo ties sprendimu. Išskirsime du. Tai matematikas Eratostenas, išmatavęs Žemės rutulio spindulį, ir astronomas Aristarchas, apskaičiavęs Mėnulio, Saulės dydžius ir atstumą iki jų. Kaip jiems tai pavyko?

Kaip buvo išmatuotas Žemės rutulys

Žmonės jau seniai žinojo, kad Žemė nėra plokščia. Senovės navigatoriai stebėjo, kaip žvaigždėto dangaus vaizdas pamažu kinta: išryškėjo nauji žvaigždynai, o kiti, priešingai, išėjo už horizonto. Į tolį plaukiantys laivai „eina po vandeniu“, paskutiniai iš akių dingsta jų stiebų viršūnės. Kas pirmasis išreiškė Žemės sferiškumo idėją, nežinoma. Greičiausiai – pitagoriečiai, kurie kamuolį laikė tobuliausia iš figūrų. Po pusantro amžiaus Aristotelis pateikia keletą įrodymų, kad Žemė yra rutulys. Pagrindinis: Mėnulio užtemimo metu Mėnulio paviršiuje aiškiai matomas šešėlis nuo Žemės, o šis šešėlis yra apvalus! Nuo tada buvo nuolat bandoma išmatuoti Žemės rutulio spindulį. 1 ir 2 pratybose aprašyti du paprasti metodai. Tačiau matavimai buvo gauti netikslūs. Pavyzdžiui, Aristotelis klydo daugiau nei pusantro karto. Manoma, kad pirmasis, kuriam tai pavyko padaryti labai tiksliai, buvo graikų matematikas Eratostenas iš Kirėniečių (276–194 m. pr. Kr.). Jo vardas dabar visiems žinomas dėka Eratosteno sietas - būdas rasti pirminius skaičius (1 pav.).

Jei ištrinate vieną iš natūraliosios serijos, tada ištrinkite visus lyginius skaičius, išskyrus pirmąjį (pats skaičius 2), tada visus skaičius, kurie yra trijų kartotiniai, išskyrus pirmąjį iš jų (skaičius 3) ir pan. dėl to liks tik pirminiai skaičiai... Tarp savo amžininkų Eratostenas garsėjo kaip stambus enciklopedijos mokslininkas, užsiėmęs ne tik matematika, bet ir geografija, kartografija bei astronomija. Ilgą laiką jis vadovavo Aleksandrijos bibliotekai – to meto pasaulio mokslo centrui. Dirbdamas su pirmojo Žemės atlaso sudarymu (žinoma, kalbėjome apie iki tol žinomą jo dalį), jis nusprendė tiksliai išmatuoti Žemės rutulį. Idėja buvo tokia. Aleksandrijoje visi žinojo, kad pietuose, Sienos mieste (dabartinis Asuanas), vieną dieną per metus, vidurdienį, Saulė pasiekia savo zenitą. Vertikalaus stulpo šešėlis išnyksta, šulinio dugnas apšviečiamas keletą minučių. Tai vyksta vasaros saulėgrįžos dieną, birželio 22-ąją – aukščiausios Saulės padėties danguje dieną. Eratostenas siunčia savo padėjėjus į Sieną, ir jie nustato, kad tiksliai vidurdienį (saulės laikrodis) Saulė yra tiksliai savo zenite. Tuo pačiu metu (kaip parašyta pirminiame šaltinyje: „tą pačią valandą“), tai yra, vidurdienį pagal saulės laikrodį, Eratostenas matuoja šešėlio ilgį nuo vertikalaus ašigalio Aleksandrijoje. Pasirodė trikampis ABC (AS- stulpas, AB- šešėlis, pav. 2).

Taigi, saulės spindulys Sienoje ( N) yra statmenas Žemės paviršiui, vadinasi, eina per savo centrą – tašką Z... Jam lygiagretus spindulys Aleksandrijoje ( A) sudaro kampą γ = ACB su vertikalia. Naudodami lygiagrečių kampų susikertančių kampų lygybę, darome išvadą, kad AZN= γ. Jei žymėsime pagal l perimetras ir po NS jo lanko ilgis AN, tada gauname proporciją. Kampas γ trikampyje ABC Eratostenas išmatavo, pasirodė 7,2 °. Didumas NS - nieko daugiau, tik kelio nuo Aleksandrijos iki Sienos ilgis, apie 800 km. Eratostenas jį tiksliai apskaičiuoja remdamasis vidutiniu kupranugarių karavanų, kurie reguliariai važinėjo tarp dviejų miestų, kelionės laiku, taip pat naudodamasis duomenimis. bematistovas - specialios profesijos žmonių, kurie atstumus matavo žingsniais. Dabar belieka išspręsti proporciją, gavus apskritimą (t. y. žemės dienovidinio ilgį) l= 40 000 km. Tada Žemės spindulys R yra lygus l/ (2π), tai apie 6400 km. Tai, kad žemės dienovidinio ilgis išreiškiamas tokiu apvaliu 40 000 km skaičiumi, nenuostabu, jei prisiminsime, kad 1 metro ilgio vienetas buvo įvestas (Prancūzijoje XVIII a. pabaigoje) kaip vienas keturiasdešimt. milijonoji Žemės apskritimo dalis (pagal apibrėžimą!). Eratostenas, žinoma, naudojo kitą matavimo vienetą - etapai(apie 200 m). Buvo keli etapai: egiptiečių, graikų, babiloniečių, o kurį iš jų naudojo Eratostenas, nežinoma. Todėl sunku tiksliai spręsti apie jo matavimo tikslumą. Be to, neišvengiama klaida įvyko dėl dviejų miestų geografinės padėties. Eratostenas samprotavo taip: jei miestai yra tame pačiame dienovidiniame (tai yra, Aleksandrija yra tiksliai į šiaurę nuo Sienos), tada vidurdienis juose būna tuo pačiu metu. Todėl kiekviename mieste atlikę matavimus aukščiausioje Saulės padėtyje, turime gauti teisingą rezultatą. Tačiau iš tikrųjų Aleksandrija ir Siena nėra tame pačiame dienovidiniame. Dabar tuo nesunku įsitikinti pažiūrėjus į žemėlapį, tačiau Eratostenas tokios galimybės neturėjo, jis tiesiog dirbo kurdamas pirmuosius žemėlapius. Todėl jo metodas (visiškai teisingas!) lėmė klaidą nustatant Žemės spindulį. Nepaisant to, daugelis tyrinėtojų yra įsitikinę, kad Eratosteno matavimų tikslumas buvo didelis ir kad jis klydo mažiau nei 2%. Šį rezultatą žmonija sugebėjo pagerinti tik po 2 tūkstančių metų, XIX amžiaus viduryje. Prie to dirbo grupė mokslininkų Prancūzijoje ir V. Ya. Struvės ekspedicija Rusijoje. Net ir didelių geografinių atradimų eroje, XVI amžiuje, žmonės negalėjo pasiekti Eratosteno rezultato ir naudojo neteisingą 37 000 km žemės apskritimo vertę. Nei Kolumbas, nei Magelanas nežinojo, kokie yra tikrieji Žemės matmenys ir kokius atstumus jie turės nukeliauti. Jie manė, kad pusiaujo ilgis yra 3 tūkstančiais km mažesnis nei iš tikrųjų. Jei būtų žinoję, gal nebūtų plaukę.

Kokia yra tokio didelio Eratosteno metodo tikslumo priežastis (žinoma, jei jis naudojo reikiamą etapas)? Prieš jį išmatavimai buvo vietinis,įjungta žmogaus akimi matomi atstumai, t.y. ne didesni kaip 100 km. Tai yra, pavyzdžiui, 1 ir 2 pratybų metodai. Tokiu atveju neišvengiamos klaidos dėl reljefo, atmosferos reiškinių ir pan. Norint pasiekti didesnį tikslumą, reikia atlikti matavimus visame pasaulyje, atstumais, panašiais į Žemės spindulį. 800 km atstumas tarp Aleksandrijos ir Sienos buvo visiškai pakankamas.

Pratimai
1. Kaip apskaičiuoti Žemės spindulį iš šių duomenų: nuo kalno, kurio aukštis 500 m, apylinkes matosi 80 km atstumu?
2. Kaip apskaičiuoti Žemės spindulį iš šių duomenų: 20 m aukščio laivas, nuplaukęs 16 km nuo kranto, visiškai dingsta iš akių?
3. Du draugai, vienas Maskvoje, kitas Tuloje, paima po metro stulpą ir stato juos vertikaliai. Šiuo metu, dienos metu, kai šešėlis nuo ašigalio pasiekia mažiausią ilgį, kiekvienas iš jų matuoja šešėlio ilgį. Maskvoje paaiškėjo a cm, o Tuloje - bžr. Išreikškite Žemės spindulį a ir b. Miestai išsidėstę tame pačiame dienovidiniame 185 km atstumu.

Kaip matyti iš 3 pratimo, Eratosteno eksperimentą galima atlikti mūsų platumose, kur Saulė niekada nėra savo zenite. Tiesa, tam reikia dviejų taškų tame pačiame dienovidiniame. Jei pakartosime Eratosteno patirtį Aleksandrijai ir Sienai ir tuo pačiu metu šiuose miestuose atliksime matavimus (dabar tam yra techninės galimybės), tada gausime teisingą atsakymą ir tai nebus svarbu. kuris dienovidinis yra Siena (kodėl?).

Kaip buvo išmatuotas Mėnulis ir Saulė. Trys Aristarcho žingsniai

Graikijos Samos sala Egėjo jūroje dabar yra dykumos provincija. Keturiasdešimties kilometrų ilgio, aštuonių pločio. Šioje mažutėje saloje skirtingu metu gimė trys didžiausi genijai – matematikas Pitagoras, filosofas Epikūras ir astronomas Aristarchas. Mažai žinoma apie Aristarcho iš Samos gyvenimą. Gyvenimo datos apytikslės: gimė apie 310 m. pr. Kr., mirė apie 230 m Nežinome, kaip tai atrodė, neišliko nei vieno atvaizdo (modernus paminklas Aristarchui Graikijos mieste Salonikuose – tik skulptoriaus fantazija). Daug metų praleido Aleksandrijoje, kur dirbo bibliotekoje ir observatorijoje. Pagrindinis jo pasiekimas – knyga „Apie Saulės ir Mėnulio dydžius ir atstumus“ – vieninga istorikų nuomone, tikras mokslinis žygdarbis. Jame jis apskaičiuoja Saulės spindulį, Mėnulio spindulį ir atstumą nuo Žemės iki Mėnulio ir iki Saulės. Jis tai padarė vienas, naudodamas labai paprastą geometriją ir gerai žinomus Saulės ir Mėnulio stebėjimų rezultatus. Aristarchas tuo nesustoja, jis daro keletą svarbių išvadų apie Visatos sandarą, kurios buvo daug pranašesnės už savo laiką. Neatsitiktinai vėliau jis buvo pavadintas „Antikos Koperniku“.

Aristarcho skaičiavimą galima apytiksliai suskirstyti į tris etapus. Kiekvienas žingsnis yra paprastas geometrinis uždavinys. Pirmieji du žingsniai yra gana elementarūs, trečiasis yra šiek tiek sunkesnis. Geometrinėse konstrukcijose žymėsime Z, S ir L atitinkamai Žemės, Saulės ir Mėnulio centrai ir per R, R s ir R l yra jų spinduliai. Visi dangaus kūnai bus laikomi rutuliais, o jų orbitos – apskritimais, kaip tikėjo pats Aristarchas (nors, kaip dabar žinome, tai nėra visiškai tiesa). Pradedame nuo pirmojo žingsnio ir tam šiek tiek stebėsime Mėnulį.

1 veiksmas. Kiek kartų Saulė yra toliau už Mėnulį?

Kaip žinote, mėnulis šviečia atsispindėjusia saulės šviesa. Jei paimsite kamuolį ir iš šono į jį šviečiate didelį prožektorių, tada bet kurioje padėtyje bus apšviesta lygiai pusė rutulio paviršiaus. Apšviesto pusrutulio riba yra apskritimas, esantis plokštumoje, statmenoje šviesos spinduliams. Taigi Saulė visada apšviečia lygiai pusę Mėnulio paviršiaus. Mėnulio forma, kurią matome, priklauso nuo to, kur yra ši apšviesta pusė. At jaunatis kai mėnulio danguje visai nesimato, saulė apšviečia jo užpakalinę pusę. Tada apšviestas pusrutulis pamažu pasisuka į Žemę. Mes pradedame matyti ploną pusmėnulį, tada mėnesį („augantis mėnulis“), tada puslankis (ši mėnulio fazė vadinama „kvadratūra“). Tada nuo dienos iki dienos (tiksliau, nakties nuo nakties) puslankis auga iki pilnaties. Tada prasideda atvirkštinis procesas: apšviestas pusrutulis nusisuka nuo mūsų. Mėnulis „sensta“, pamažu virsdamas mėnesiu, pasisuko į mus savo kairiuoju šonu, kaip raidė „C“, ir, galiausiai, jaunaties naktį išnyksta. Laikotarpis nuo vieno jaunaties iki kito trunka maždaug keturias savaites. Per tą laiką Mėnulis atlieka visišką revoliuciją aplink Žemę. Ketvirtadalis laikotarpio praeina nuo jaunaties iki mėnulio pusės, iš čia ir kilo pavadinimas „kvadratas“.

Nuostabus Aristarcho spėjimas buvo tas, kad kvadratuojant saulės spinduliai, apšviečiantys pusę mėnulio, yra statmeni linijai, jungiančiai mėnulį su žeme. Taigi trikampyje ZLS viršūnės kampas L - tiesi linija (3 pav.). Jei dabar išmatuokite kampą LZS, pažymime jį α, tada gauname, kad = cos α. Paprastumo dėlei darome prielaidą, kad stebėtojas yra Žemės centre. Tai neturės didelės įtakos rezultatui, nes atstumai nuo Žemės iki Mėnulio ir Saulės gerokai viršija Žemės spindulį. Taigi, išmatavus kampą α tarp spindulių ZL ir ZS Kvadratuodamas Aristarchas apskaičiuoja atstumų santykį iki mėnulio ir saulės. Kaip vienu metu danguje pagauti Saulę ir Mėnulį? Tai galima padaryti anksti ryte. Sunkumai kyla dėl kitos, netikėtos priežasties. Aristarcho laikais kosinusų nebuvo. Pirmosios trigonometrijos sąvokos pasirodys vėliau, Apolonijaus ir Archimedo darbuose. Bet Aristarchas žinojo, kas yra tokie trikampiai, ir to pakako. Nubraižydami nedidelį stačiakampį trikampį Z "L" S " su tuo pačiu smailiuoju kampu α = L "Z" S " ir išmatavę jo kraštines, tai randame, ir šis santykis yra maždaug lygus 1/400.

2 veiksmas. Kiek kartų Saulė yra didesnė už Mėnulį?

Norėdamas rasti Saulės ir Mėnulio spindulių santykį, Aristarchas naudoja saulės užtemimus (4 pav.). Jie atsiranda, kai Mėnulis užstoja Saulę. Su daliniu arba, kaip sako astronomai, privatus, užtemimo metu Mėnulis tik prasilenkia per Saulės diską, jo visiškai neuždengdamas. Kartais tokio užtemimo net negalima pamatyti plika akimi, saulė šviečia kaip įprastą dieną. Tik per stiprų patamsėjimą, pavyzdžiui, rūkytą stiklą, galima pamatyti, kaip dalį saulės disko dengia juodas apskritimas. Daug rečiau įvyksta visiškas užtemimas, kai Mėnulis kelioms minutėms visiškai uždengia Saulės diską.

Šiuo metu tamsu, danguje pasirodo žvaigždės. Užtemimai gąsdino senovės žmones, buvo laikomi tragedijų pranašais. Saulės užtemimas įvairiose Žemės vietose stebimas įvairiais būdais. Visiško užtemimo metu Žemės paviršiuje atsiranda šešėlis iš Mėnulio – apskritimas, kurio skersmuo neviršija 270 km. Tik tuose Žemės rutulio regionuose, per kuriuos praeina šis šešėlis, galima stebėti visišką užtemimą. Todėl toje pačioje vietoje visiškas užtemimas įvyksta itin retai – vidutiniškai kartą per 200–300 metų. Aristarchui pasisekė – jis sugebėjo savo akimis stebėti visišką Saulės užtemimą. Be debesų danguje Saulė pamažu ėmė blėsti ir mažėti, įsivyravo prieblanda. Keletą akimirkų Saulė dingo. Tada prasiskverbė pirmasis šviesos spindulys, saulės diskas pradėjo augti ir netrukus Saulė nušvito visa jėga. Kodėl užtemimas trunka taip trumpai? Aristarchas atsako: priežastis ta, kad Mėnulis turi tokius pat matomus matmenis danguje kaip ir Saulė. Ką tai reiškia? Nubrėžkime plokštumą per Žemės, Saulės ir Mėnulio centrus. Gautas skyrius parodytas 5 paveiksle. a... Kampas tarp liestinių, nubrėžtų iš taško Zį mėnulio perimetrą vadinamas kampinis matmuo Mėnulis arba ji kampinis skersmuo. Taip pat nustatomas kampinis Saulės dydis. Jei Saulės ir Mėnulio kampiniai skersmenys sutampa, vadinasi, jie danguje turi vienodus regimuosius matmenis, o užtemimo metu Mėnulis tikrai visiškai užstoja Saulę (5 pav. b), bet tik akimirką, kai spinduliai sutampa ZL ir ZS... Visiško saulės užtemimo nuotraukoje (žr. 4 pav.) aiškiai matyti dydžių lygybė.

Aristarcho išvada pasirodė nuostabiai tiksli! Iš tikrųjų vidutiniai Saulės ir Mėnulio kampiniai skersmenys skiriasi tik 1,5%. Esame priversti kalbėti apie vidutinius skersmenis, nes jie keičiasi per metus, nes planetos juda ne apskritimais, o elipsėmis.

Žemės centro sujungimas Z su saulės centrais S ir mėnulis L taip pat su prisilietimo taškais R ir K, gauname du stačiuosius trikampius ZSP ir ZLQ(žr. 5 pav a). Jie yra panašūs tuo, kad turi porą lygių smailių kampų β / 2. Vadinasi, ... Taigi, saulės ir mėnulio spindulių santykis yra lygus atstumų nuo jų centrų iki Žemės centro santykiui... Taigi, R s/R l= κ = 400. Nepaisant to, kad jų tariami matmenys yra vienodi, Saulė pasirodė esanti 400 kartų didesnė už Mėnulį!

Mėnulio ir Saulės kampinių dydžių lygybė yra laimingas sutapimas. Tai neišplaukia iš mechanikos dėsnių. Daugelis Saulės sistemos planetų turi palydovus: Marsas – du, Jupiteris – keturis (ir kelios dešimtys mažesnių), ir visos jos turi skirtingus kampinius dydžius, kurie nesutampa su Saulės.

Dabar pereiname prie svarbiausio ir sunkiausio žingsnio.

3 žingsnis. Saulės ir Mėnulio dydžių ir atstumų apskaičiavimas

Taigi, mes žinome Saulės ir Mėnulio dydžių santykį bei atstumų nuo Žemės santykį. Ši informacija giminaitis: atkuria supančio pasaulio vaizdą tik iki panašumo. Galite pašalinti Mėnulį ir Saulę nuo Žemės 10 kartų, padidindami jų dydžius tiek pat, ir vaizdas, matomas iš Žemės, išliks toks pat. Norėdami sužinoti tikruosius dangaus kūnų dydžius, turite juos susieti su žinomu dydžiu. Tačiau iš visų astronominių vertybių Aristarchas kol kas žino tik Žemės rutulio spindulį. R = 6400 km Ar tai padės? Ar Žemės spindulys atsiranda kokiame nors iš matomų danguje vykstančių reiškinių? Neatsitiktinai sakoma „dangus ir žemė“, o tai reiškia du nesuderinamus dalykus. Ir vis dėlto yra toks reiškinys. Tai Mėnulio užtemimas. Jo pagalba, taikydamas gana protingą geometrinę konstrukciją, Aristarchas apskaičiuoja Saulės spindulio ir Žemės spindulio santykį ir grandinė užsidaro: dabar vienu metu randame Mėnulio spindulį, Saulės spindulį ir tuo pačiu atstumas nuo Mėnulio ir nuo Saulės iki Žemės.

Mėnulio užtemimo metu Mėnulis patenka į Žemės šešėlį. Pasislėpęs už Žemės, Mėnulis netenka saulės šviesos, todėl nustoja šviesti. Jis visiškai neišnyksta iš akiračio, nes nedidelė saulės šviesos dalis yra išsklaidyta žemės atmosferoje ir pasiekia Mėnulį aplenkdama žemę. Mėnulis tamsėja, įgaudamas rausvą atspalvį (per atmosferą geriausiai prasiskverbia raudoni ir oranžiniai spinduliai). Tuo pačiu metu Mėnulio diske aiškiai matomas šešėlis iš Žemės (6 pav.). Apvali šešėlio forma dar kartą patvirtina Žemės sferiškumą. Aristarchas domėjosi šio šešėlio dydžiu. Norint nustatyti žemės šešėlio apskritimo spindulį (tai padarysime iš nuotraukos 6 pav.), pakanka išspręsti paprastą pratimą.

4 pratimas. Plokštumoje pateikiamas apskritimo lankas. Kompasu ir tiesia briauna nubrėžkite linijos atkarpą, lygią jos spinduliui.

Baigę statyti, nustatome, kad žemės šešėlio spindulys yra maždaug du kartus didesnis už mėnulio spindulį. Dabar pereikime prie 7 paveikslo. Žemės šešėlio sritis, į kurią užtemimo metu patenka Mėnulis, nudažyta pilka spalva. Tarkime, kad apskritimų centrai S, Z ir L gulėti ant vienos tiesios linijos. Nubrėžkime mėnulio skersmenį M 1 M 2 statmenai tiesei LS.Šio skersmens tęsinys taškuose kerta bendras Saulės ir Žemės apskritimų liestines D 1 ir D 2. Tada segmentas D 1 D 2 yra maždaug lygus Žemės šešėlio skersmeniui. Mes priėjome prie kitos problemos.

1 tikslas. Duoti trys apskritimai su centrais S, Z ir L guli ant vienos tiesios linijos. Skyrius D 1 D 2 praeina L, statmena tiesei SL, o jo galai guli ant bendrų išorinių pirmojo ir antrojo apskritimų liestinių. Yra žinoma, kad segmento santykis D 1 D 2 iki trečiojo apskritimo skersmens yra t, o pirmojo ir trečiojo apskritimų skersmenų santykis yra ZS/ZL= κ. Raskite pirmojo ir antrojo apskritimų skersmenų santykį.

Jei ši problema bus išspręsta, tada bus rastas Saulės ir Žemės spindulių santykis. Tai reiškia, kad bus rastas Saulės spindulys, o su juo ir Mėnulis. Tačiau to išspręsti nepavyks. Galite pabandyti – užduotyje trūksta vienų duomenų. Pavyzdžiui, kampas tarp bendrųjų išorinių pirmųjų dviejų apskritimų liestinių. Bet net jei šis kampas būtų žinomas, sprendime būtų naudojama trigonometrija, kurios Aristarchas nežinojo (atitinkamą uždavinį suformuluojame 6 užduotyje). Jis randa lengvesnę išeitį. Nubrėžkime skersmenį A 1 A 2 pirmasis apskritimas ir skersmuo B 1 B 2 antrasis – abu lygiagrečiai tiesei D 1 D 2 . Leisti būti C 1 ir SU 2 - atkarpos susikirtimo taškai D 1 D 2 su tiesiais A 1 B 1 ir A 2 V 2 atitinkamai (8 pav.). Tada kaip žemės šešėlio skersmenį imame segmentą C 1 C 2 vietoj segmento D 1 D 2. Sustok, sustok! Ką reiškia „paimkite vieną segmentą vietoj kito“? Jie nėra lygūs! Skyrius C 1 C 2 yra segmento viduje D 1 D 2 reiškia C 1 C 2 <D 1 D 2. Taip, segmentai yra skirtingi, bet jie beveik lygus. Faktas yra tas, kad atstumas nuo Žemės iki Saulės yra daug kartų didesnis už Saulės skersmenį (apie 215 kartų). Todėl atstumas ZS tarp pirmojo ir antrojo apskritimų centrų gerokai viršija jų skersmenis. Tai reiškia, kad kampas tarp bendrų išorinių šių apskritimų liestinių yra artimas nuliui (realiai jis yra apie 0,5 °), tai yra, liestinės yra „beveik lygiagrečios“. Jei jie buvo lygiagrečiai, tada taškai A 1 ir B 1 sutaptų su lietimo taškais, todėl taškas C 1 atitiktų D 1, a C 2 sek D 2, todėl C 1 C 2 =D 1 D 2. Taigi, segmentai C 1 C 2 ir D 1 D 2 yra beveik vienodi. Intuicija Aristarcho čia irgi nenuvylė: iš tikrųjų atkarpų ilgių skirtumas nesiekia nė šimtosios procento! Tai niekis, palyginti su galimomis matavimo paklaidomis. Pašalinę papildomas eilutes, įskaitant apskritimus ir jų bendras liestes, pasiekiame tokią problemą.

1 užduotis". Trapecijos šonuose A 1 A 2 SU 2 SU Paimtas 1 taškas B 1 ir V 2 taip, kad segmentas V 1 V 2 yra lygiagreti pagrindams. Leisti būti S, Z u L- segmentų vidurys A 1 A 2 , B 1 B 2 ir C 1 C 2 atitinkamai. Pagrįstas C 1 C 2 yra segmentas M 1 M 2 su viduriu L... Yra žinoma, kad ir . Rasti A 1 A 2 /B 1 B 2 .

Sprendimas. Nuo tada, taigi ir trikampiai A 2 SZ ir M 1 LZ yra panašūs su koeficientu SZ/LZ= κ. Vadinasi, A 2 SZ= M 1 LZ, taigi ir esmė Z guli ant segmento M 1 A 2 . Taip pat, Z guli ant segmento M 2 A 1 (9 pav.). Nes C 1 C 2 = t M 1 M 2 ir , tada.

Vadinasi,

Kitoje pusėje,

Reiškia, ... Iš šios lygybės iš karto gauname tai.

Taigi, Saulės ir Žemės skersmenų santykis yra lygus, o Mėnulio ir Žemės – lygūs.

Pakeičiant žinomas reikšmes κ = 400 ir t= 8/3, gauname, kad Mėnulis yra apie 3,66 karto mažesnis už Žemę, o Saulė - 109 kartus už Žemę. Kadangi Žemės spindulys Ržinome, randame mėnulio spindulį R l= R/ 3,66 ir Saulės spindulys R s= 109R.

Dabar atstumai nuo Žemės iki Mėnulio ir iki Saulės skaičiuojami vienu žingsniu, tai galima padaryti naudojant kampinį skersmenį. Saulės ir Mėnulio kampinis skersmuo β yra maždaug pusė laipsnio (tiksliau 0,53 °). Kaip jį išmatavo senovės astronomai, aptarsime vėliau. Tangento praleidimas ZQ ant mėnulio apskritimo gauname stačiakampį trikampį ZLQ su smailiu kampu β / 2 (10 pav.).

Iš jo randame , kuris yra maždaug lygus 215 R l arba 62 R... Panašiai atstumas iki Saulės yra 215 R s = 23 455R.

Viskas. Surandami Saulės ir Mėnulio dydžiai bei atstumai iki jų.

Pratimai
5. Įrodykite, kad tiesios linijos A 1 B 1 , A 2 B 2 ir dvi bendros išorinės pirmojo ir antrojo apskritimų liestinės (žr. 8 pav.) susikerta viename taške.
6. Išspręskite 1 uždavinį, jei taip pat žinomas kampas tarp liestinių tarp pirmojo ir antrojo apskritimų.
7. Saulės užtemimas gali būti stebimas kai kuriose Žemės rutulio dalyse, o kitose - ne. O Mėnulio užtemimas?
8. Įrodykite, kad Saulės užtemimą galima stebėti tik per jaunatį, o Mėnulio užtemimą tik per pilnatį.
9. Kas nutinka Mėnulyje, kai Žemėje įvyksta Mėnulio užtemimas?

Klaidų nauda

Tiesą sakant, viskas buvo šiek tiek sudėtingiau. Geometrija dar tik formavosi, o daugelis dalykų, mums pažįstamų nuo aštuntos klasės, tuo metu nebuvo visiškai akivaizdūs. Aristarchui prireikė parašyti visą knygą, kad pateiktų tai, ką mes išdėstėme trijuose puslapiuose. Ir atliekant eksperimentinius matavimus, viskas nebuvo lengva. Pirma, Aristarchas padarė klaidą matuodamas žemės šešėlio skersmenį per mėnulio užtemimą, gavęs santykį t= 2 vietoj. Be to, atrodo, kad jis rėmėsi neteisinga kampo β - Saulės kampinio skersmens - vertės, laikydamas ją 2 °. Tačiau ši versija yra prieštaringa: Archimedas savo traktate „Psammit“ rašo, kad, priešingai, Aristarchas naudojo beveik teisingą 0,5 ° vertę. Tačiau baisiausia klaida įvyko pirmame žingsnyje, skaičiuojant parametrą κ – atstumų nuo Žemės iki Saulės ir Mėnulio santykį. Vietoj κ = 400 Aristarchas gavo κ = 19. Kaip galėjote suklysti daugiau nei 20 kartų? Dar kartą pereikime prie 1 žingsnio, 3 paveikslo. Norėdami rasti santykį κ = ZS/ZL, Aristarchas išmatavo kampą α = SZL, o tada κ = 1 / cos α. Pavyzdžiui, jei kampas α būtų lygus 60 °, tada gautume κ = 2, o Saulė būtų dvigubai toliau nuo Žemės nei Mėnulis. Tačiau matavimo rezultatas pasirodė netikėtas: kampas α pasirodė beveik teisingas. Tai reiškė, kad katetas ZS daug kartų pranašesnis ZL... Aristarchas gavo α = 87 °, o tada cos α = 1/19 (atminkite, kad visi mūsų skaičiavimai yra apytiksliai). Tikroji kampo vertė, o cos α = 1/400. Taigi matavimo paklaida, mažesnė nei 3 °, lėmė 20 kartų paklaidą! Atlikęs skaičiavimus, Aristarchas daro išvadą, kad Saulės spindulys yra 6,5 ​​karto didesnis už Žemės spindulį (vietoj 109).

Atsižvelgiant į netobulus to meto matavimo prietaisus, klaidų buvo neišvengiama. Dar svarbiau, kad metodas pasirodė teisingas. Netrukus (istoriniais standartais, t. y. po maždaug 100 metų) iškilus antikos astronomas Hiparchas (190 – apie 120 m. pr. Kr.) pašalins visus netikslumus ir, vadovaudamasis Aristarcho metodu, apskaičiuos teisingus Saulės ir Saulės dydžius. Mėnulis. Galbūt Aristarcho klaida galiausiai pasirodė naudinga. Prieš jį vyravo nuomonė, kad Saulės ir Mėnulio matmenys arba vienodi (kaip atrodo žemiškajam stebėtojui), arba šiek tiek skiriasi. Net 19 kartų skirtumas nustebino amžininkus. Todėl gali būti, kad jei Aristarchas būtų radęs teisingą santykį κ = 400, niekas tuo nebūtų patikėjęs, o galbūt pats mokslininkas būtų apleidęs savo metodą, laikydamas rezultatą absurdišku. Gerai žinomas principas sako, kad geometrija yra menas gerai samprotauti dėl prastai atliktų brėžinių. Perfrazuojant, galime pasakyti, kad mokslas apskritai yra menas daryti teisingas išvadas iš netikslių ar net klaidingų stebėjimų. Ir Aristarchas padarė tokią išvadą. 17 amžių iki Koperniko jis suprato, kad pasaulio centre yra ne Žemė, o Saulė. Taip pirmą kartą atsirado heliocentrinis modelis ir Saulės sistemos koncepcija.

Kas yra centre?

Senovės pasaulyje vyraujanti idėja apie Visatos sandarą, mums pažįstama iš istorijos pamokų, buvo ta, kad pasaulio centre yra stacionari Žemė, aplink ją apskritimo orbitomis sukasi 7 planetos, įskaitant Mėnulį ir Saulė (kuri taip pat buvo laikoma planeta). Viskas baigiasi dangaus sfera, prie kurios pritvirtintos žvaigždės. Sfera sukasi aplink Žemę, padarydama visą apsisukimą per 24 valandas. Laikui bėgant šis modelis buvo daug kartų peržiūrėtas. Taigi jie pradėjo manyti, kad dangaus sfera nejuda, o Žemė sukasi aplink savo ašį. Tada jie pradėjo taisyti planetų trajektorijas: apskritimus pakeitė cikloidai, tai yra linijos, apibūdinančios apskritimo taškus, kai jis juda kitu apskritimu (apie šias nuostabias linijas galite perskaityti GN Bermano knygose " Cikloidas“, AI Markuševičius „Nuostabiosios kreivės“, taip pat „Kvante“: S. Verovo straipsnis „Cikloido paslaptys“ Nr. 8, 1975, ir SG Gindikino straipsnis „Cikloidų žvaigždžių amžius“, Nr. 6, 1985). Cikloidai geriau sutiko su stebėjimų rezultatais, ypač jie paaiškino „atgal“ planetų judėjimą. Tai - geocentrinis pasaulio sistema, kurios centre yra Žemė („gėjus“). II amžiuje jis įgavo galutinę formą Klaudijaus Ptolemėjaus (87–165), žymaus graikų astronomo, Egipto karalių bendravardio, knygoje „Almagestas“. Laikui bėgant kai kurie cikloidai tapo sudėtingesni, buvo pridėta vis daugiau tarpinių apskritimų. Tačiau apskritai Ptolemėjaus sistema vyravo maždaug pusantro tūkstantmečio, iki XVI a., iki Koperniko ir Keplerio atradimų. Iš pradžių Aristarchas taip pat laikėsi geocentrinio modelio. Tačiau paskaičiavęs, kad Saulės spindulys yra 6,5 ​​karto didesnis už Žemės spindulį, jis uždavė paprastą klausimą: kodėl tokia didelė Saulė turėtų suktis apie tokią mažą Žemę? Juk jei Saulės spindulys yra 6,5 ​​karto didesnis, tai jos tūris yra beveik 275 kartus didesnis! Tai reiškia, kad saulė turėtų būti pasaulio centre. Aplink jį sukasi 6 planetos, įskaitant Žemę. O septintoji planeta – Mėnulis – sukasi aplink Žemę. Taip pasirodė heliocentrinis pasaulio sistema („helios“ – saulė). Jau pats Aristarchas pastebėjo, kad toks modelis geriau paaiškina tariamą planetų judėjimą žiedinėmis orbitomis, geriau dera su stebėjimų rezultatais. Tačiau jo nepriėmė nei mokslininkai, nei oficiali valdžia. Aristarchas buvo apkaltintas ateizmu ir buvo persekiojamas. Iš visų antikos astronomų tik Seleukas tapo naujojo modelio šalininku. Niekas kitas to nepriėmė, bent jau istorikai neturi tvirtos informacijos apie šį balą. Net Archimedas ir Hiparchas, kurie gerbė Aristarchą ir plėtojo daugelį jo idėjų, nedrįso Saulės pastatyti į pasaulio centrą. Kodėl?

Kodėl pasaulis nepriėmė heliocentrinės sistemos?

Kaip atsitiko, kad 17 amžių mokslininkai nepriėmė paprastos ir logiškos Aristarcho pasiūlytos pasaulio sistemos? Taip yra nepaisant to, kad oficialiai pripažinta Ptolemėjaus geocentrinė sistema dažnai žlugo, nesutikdama su planetų ir žvaigždžių stebėjimų rezultatais. Turėjau pridėti vis daugiau apskritimų (vadinamųjų įdėtos kilpos) už „teisingą“ planetų judėjimo aprašymą. Pats Ptolemėjus nebijojo sunkumų, rašė: „Kam stebėtis sudėtingu dangaus kūnų judėjimu, jei jų esmė mums nežinoma? Tačiau iki XIII amžiaus tokių būrelių buvo susikaupę 75! Modelis tapo toks sudėtingas, kad ėmė kilti atsargūs prieštaravimai: ar tikrai pasaulis toks sudėtingas? Gerai žinomas Alfonso X (1226–1284), Kastilijos ir Leono, valstybės, užėmusios dalį šiuolaikinės Ispanijos, karaliaus atvejis. Jis, mokslo ir meno globėjas, į savo kiemą susirinkęs penkiasdešimt geriausių pasaulio astronomų, viename iš mokslinių pokalbių pasakė: „Jeigu Viešpats būtų mane pagerbęs ir paklausęs mano patarimo kuriant pasaulį, būtų buvę daug lengviau“. Toks įžūlumas nebuvo atleistas net karaliams: Alfonsas buvo nuverstas ir išsiųstas į vienuolyną. Tačiau abejonių liko. Kai kuriuos iš jų būtų galima išspręsti pastatant Saulę į Visatos centrą ir pritaikant Aristarcho sistemą. Jo raštai buvo gerai žinomi. Tačiau daugelį amžių nė vienas mokslininkas nedrįso žengti tokio žingsnio. Priežastys buvo ne tik valdžios ir oficialiosios bažnyčios baimė, kuri Ptolemėjo teoriją laikė vienintele teisinga. Ir ne tik žmogaus mąstymo inercija: pripažinti, kad mūsų Žemė – ne pasaulio centras, o tik eilinė planeta, nėra taip paprasta. Visgi tikram mokslininkui nei baimė, nei stereotipai nėra kliūtis kelyje į tiesą. Heliocentrinė sistema buvo atmesta dėl gana mokslinių, netgi galima sakyti, geometrinių priežasčių. Jei darysime prielaidą, kad Žemė sukasi aplink Saulę, tai jos trajektorija yra apskritimas, kurio spindulys lygus atstumui nuo Žemės iki Saulės. Kaip žinome, šis atstumas yra lygus 23 455 Žemės spinduliams, tai yra daugiau nei 150 milijonų kilometrų. Tai reiškia, kad Žemė per šešis mėnesius nukeliauja 300 milijonų kilometrų. Milžiniškas dydis! Tačiau žvaigždėto dangaus vaizdas antžeminiam stebėtojui išlieka toks pat. Žemė dabar artėja, dabar nutolsta nuo žvaigždžių 300 milijonų kilometrų, tačiau nesikeičia nei matomi atstumai tarp žvaigždžių (pavyzdžiui, žvaigždynų forma), nei jų ryškumas. Tai reiškia, kad atstumai iki žvaigždžių turi būti kelis tūkstančius kartų didesni, t.y. dangaus sfera turi turėti visiškai neįsivaizduojamus matmenis! Tai, beje, suprato ir pats Aristarchas, savo knygoje rašęs: „Nejudančių žvaigždžių sferos tūris yra tiek kartų didesnis už Žemės-Saulės spindulio sferos tūrį, kiek kartų. pastarojo tūris yra didesnis už Žemės rutulio tūrį“, tai yra, pagal Aristarchą paaiškėjo, kad atstumas iki žvaigždžių yra (23 455) 2 R, jis yra daugiau nei 3,5 trilijono kilometrų. Iš tikrųjų atstumas nuo Saulės iki artimiausios žvaigždės vis dar yra apie 11 kartų didesnis. (Modelyje, kurį pristatėme pačioje pradžioje, kai atstumas nuo Žemės iki Saulės yra 10 m, atstumas iki artimiausios žvaigždės yra... 2700 kilometrų!) Vietoj kompaktiško ir jaukaus pasaulio centre iš kurių yra Žemė ir kuri yra santykinai mažoje dangaus sferoje, Aristarchas nupiešė bedugnę. Ir ši bedugnė visus išgąsdino.

Venera, Merkurijus ir geocentrinės sistemos neįmanoma

Tuo tarpu geocentrinės pasaulio sistemos, kurioje visos planetos aplink Žemę sukamaisiais judesiais, neįmanoma nustatyti naudojant paprastą geometrinę problemą.

2 tikslas. Plokštumoje pateikti du apskritimai su bendru centru. O, išilgai jų tolygiai juda du taškai: taškas M išilgai vieno apskritimo ir taško V ant kito. Įrodykite, kad arba jie juda ta pačia kryptimi tuo pačiu kampiniu greičiu, arba tam tikru momentu kampu MOV kvailas.

Sprendimas. Jei taškai juda ta pačia kryptimi skirtingu greičiu, tai po kurio laiko spinduliai OM ir OV pasirodys bendros krypties. Tolesnis kampas MOV pradeda monotoniškai didėti iki kito sutapimo, tai yra iki 360 °. Todėl tam tikru momentu jis yra lygus 180 °. Atvejis, kai taškai juda skirtingomis kryptimis, vertinamas vienodai.

Teorema. Situacija, kai visos Saulės sistemos planetos tolygiai sukasi aplink Žemę žiedinėmis orbitomis, yra neįmanoma.

Įrodymas. Leisti būti O- Žemės centras, M- Merkurijaus centras ir V - Veneros centras. Remiantis ilgalaikiais stebėjimais, Merkurijus ir Venera turi skirtingus apsisukimų periodus ir kampą MOV niekada neviršija 76 °. Remiantis 2 uždavinio rezultatu, teorema įrodyta.

Žinoma, senovės graikai ne kartą susidūrė su tokiais paradoksais. Štai kodėl, norėdami išsaugoti geocentrinį pasaulio modelį, jie privertė planetas judėti ne ratu, o cikloidais.

Teoremos įrodymas nėra visiškai teisingas, nes Merkurijus ir Venera sukasi ne toje pačioje plokštumoje, kaip 2 uždavinyje, o skirtingose. Nors jų orbitų plokštumos beveik sutampa: kampas tarp jų – vos keli laipsniai. 10 užduotyje siūlome pašalinti šį trūkumą ir išspręsti skirtingose ​​plokštumose besisukančių taškų 2 uždavinio analogą. Kitas prieštaravimas: gal kampas MOV kartais yra nuobodu, bet mes to nematome, nes šiuo metu Žemėje diena? Mes irgi tai priimame. Atlikdami 11 pratimą, turite tai įrodyti trys sukimosi spindulių, visada ateis laikas, kai jie sudarys bukus kampus vienas su kitu. Jei spindulių galuose yra Merkurijus, Venera ir Saulė, tai šiuo metu Merkurijus ir Venera bus matomi danguje, bet Saulė – ne, tai yra, žemėje bus naktis. Tačiau privalome jus įspėti: 10 ir 11 pratimai yra daug sunkesni nei 2 užduotis. Galiausiai 12 pratime siūlome ne mažiau apskaičiuoti atstumą nuo Veneros iki Saulės ir nuo Merkurijaus iki Saulės (žinoma, , sukasi aplink Saulę, o ne aplink Žemę). Pažiūrėkite, kaip tai lengva, kai išmokome Aristarcho metodą.

Pratimai
10. Erdvėje pateikti du apskritimai su bendru centru O, du taškai juda išilgai jų vienodai skirtingais kampiniais greičiais: taškas M išilgai vieno apskritimo ir taško V ant kito. Įrodykite, kad tam tikru momentu kampas MOV kvailas.
11. Plokštumoje pateikti trys apskritimai su bendru centru. O, trys taškai juda išilgai jų vienodai skirtingais kampiniais greičiais. Įrodykite, kad tam tikru momentu visi trys kampai tarp spindulių su viršūne O nukreipti į duotus taškus yra buki.
12. Yra žinoma, kad didžiausias kampinis atstumas tarp Veneros ir Saulės, tai yra didžiausias kampas tarp spindulių, nukreiptų iš Žemės į Veneros ir Saulės centrus, yra 48 °. Raskite Veneros orbitos spindulį. Tas pats pasakytina ir apie Merkurijus, jei žinoma, kad didžiausias kampinis atstumas tarp Merkurijaus ir Saulės yra 28 °.

Paskutinis prisilietimas: išmatuoti saulės ir mėnulio kampinius matmenis

Žingsnis po žingsnio sekdami Aristarcho samprotavimus, praleidome tik vieną aspektą: kaip buvo išmatuotas kampinis Saulės skersmuo? Pats Aristarchas to nepadarė, naudodamasis kitų astronomų matavimais (matyt, ne visai teisingai). Prisiminkite, kad jis sugebėjo apskaičiuoti Saulės ir Mėnulio spindulius neįtraukdamas jų kampinio skersmens. Dar kartą pažiūrėkite į 1, 2 ir 3 veiksmus: kampo skersmuo niekur nenaudojamas! Jis reikalingas tik atstumams iki Saulės ir Mėnulio apskaičiuoti. Bandymas nustatyti kampinį dydį „iš akies“ neatneša sėkmės. Jei paprašysite kelių žmonių įvertinti kampinį mėnulio skersmenį, dauguma sakys, kad kampas yra nuo 3 iki 5 laipsnių, o tai daug kartų didesnis už tikrąją vertę. Optinė apgaulė paveikia: šviesiai baltas mėnulis tamsaus dangaus fone atrodo masyvus. Pirmasis matematiškai griežtą Saulės ir Mėnulio kampinio skersmens matavimą atliko Archimedas (287–212 m. pr. Kr.), savo metodą jis išdėstė knygoje „Psammit“ („Smėlio grūdelių skaičiavimas“). Jis suvokė užduoties sudėtingumą: „Tikslią šio kampo reikšmę gauti nėra lengva, nes nei akys, nei rankos, nei instrumentai, kuriais skaičiuojama, neužtikrina pakankamo tikslumo“. Todėl Archimedas nesiima skaičiuoti tikslios Saulės kampinio skersmens reikšmės, tik įvertina iš viršaus ir apačios. Jis įdeda apvalų cilindrą ilgos liniuotės gale, priešais stebėtojo akį. Liniuotė nukreipta į Saulę, o cilindras juda link akies, kol visiškai užstoja Saulę. Tada stebėtojas išeina, o liniuotės gale pažymimas atkarpa MN lygus žmogaus vyzdžio dydžiui (11 pav.).

Tada kampas α 1 tarp tiesių PONAS ir NQ mažesnis už kampinį Saulės skersmenį, o kampas α 2 = POQ- daugiau. Mes pažymėjome PQ cilindro pagrindo skersmuo, o per O - segmento vidurį MN... Taigi, α 1< β < α 2 (докажите это в упражнении 13). Так Архимед находит, что угловой диаметр Солнца заключен в пределах от 0,45° до 0,55°.

Lieka neaišku, kodėl Archimedas matuoja Saulę, o ne Mėnulį. Jis buvo gerai susipažinęs su Aristarcho knyga ir žinojo, kad Saulės ir Mėnulio kampiniai skersmenys yra vienodi. Mėnulį matuoti kur kas patogiau: jis neakina akių, aiškiau matomos jo ribos.

Kai kurie senovės astronomai matavo Saulės kampinį skersmenį pagal Saulės arba Mėnulio užtemimo trukmę. (Pabandykite atkurti šį metodą 14 pratime.) Arba tą patį galite padaryti nelaukdami užtemimų, o tiesiog stebėdami saulėlydį. Parinkkime tam pavasario lygiadienio dieną kovo 22 d., kai Saulė teka tiksliai rytuose ir leidžiasi tiksliai vakaruose. Tai reiškia, kad kylančių taškų E ir saulėlydis W diametraliai priešingai. Antžeminiam stebėtojui Saulė juda apskritimu, kurio skersmuo EW... Šio apskritimo plokštuma sudaro 90 ° kampą - γ su horizontalia plokštuma, kur γ yra taško geografinė platuma M, kuriame yra stebėtojas (pavyzdžiui, Maskvos γ = 55,5 °, Aleksandrijos γ = 31 °). Įrodymas parodytas 12 pav. Tiesi linija ZP- Žemės sukimosi ašis, statmena pusiaujo plokštumai. Taško platuma M- kampas tarp segmento ZP ir pusiaujo plokštuma. Paimkime jį per saulės centrą S plokštuma α statmena ašiai ZP.

Horizonto plokštuma paliečia Žemės rutulį taške M... Stebėtojui taške M, Saulė dieną juda ratu plokštuma α su centru R ir spindulys PS... Kampas tarp plokštumos α ir horizonto plokštumos lygus kampui MZP, kuris yra lygus 90 ° - γ, nes plokštuma α yra statmena ZP, o horizonto plokštuma yra statmena ZM... Taigi, lygiadienio dieną Saulė nusileidžia už horizonto 90 ° - γ kampu. Todėl saulėlydžio metu jis kerta apskritimo lanką, lygų β / cos γ, kur β – kampinis Saulės skersmuo (13 pav.). Kita vertus, per 24 valandas jis šiuo apskritimu nukeliauja visą apsisukimą, tai yra 360 °.

Mes gauname proporciją, kur tiksliai šeši, o ne devyni, nes Uranas, Neptūnas ir Plutonas buvo atrasti daug vėliau. Visai neseniai, 2006 m. rugsėjo 13 d., Tarptautinės astronomijos sąjungos (IAU) sprendimu Plutonas prarado planetos statusą. Taigi dabar Saulės sistemoje yra aštuonios planetos.
Tikroji karaliaus Alfonso gėdos priežastis, matyt, buvo įprasta kova dėl valdžios, tačiau jo ironiška pastaba apie pasaulio sandarą buvo gera priežastis jo priešams.

Antikos pasaulio Kopernikas... Pirmasis, kuris jums iškėlė tikslą išmatuoti atstumą iki dangaus kūnų, buvo graikų mokslininkas Aristarchas iš Samoso (apie 310 m. – apie 250 m. pr. Kr.). Jis gimė Samos saloje ir kurį laiką gyveno Aleksandrijoje, kuri tuomet buvo Egipto sostinė ir svarbus mokslo centras. Reikėtų tik priminti, kad Aleksandrijos biblioteką sudarė apie 700 000 ranka rašytų knygų! Būtent čia gamtos mokslų plėtra vyko remiantis griežtais matematiniais metodais ir stebėjimais.

Yra pagrindo manyti, kad Aristarchas buvo susipažinęs su Babilono astronomijos sėkme. Tai buvo tuo metu, apie 982 m. pr. Kr. Kr., Babilono kunigas Berosas persikėlė į Graikijos Koso salą, kuris ten įkūrė astronomijos observatoriją ir parašė trijų tomų knygą, kurioje išdėstė Babilono istoriją ir astronomiją. Žinoma, reikia turėti omenyje, kad nors senovės Babilono astronomai jau mokėjo nuspėti planetų padėtį danguje, jų visiškai nedomino nei jų judėjimo mechanizmas, nei klausimai apie atstumus ir dydžius. žvaigždžių.

Jei kalbėtume apie senovės graikų filosofus, tai visi kiekybiniai pasaulio masto duomenys, nurodyti jų krūvose, žinoma, buvo tiesiog sugalvoti ir nepagrįsti, nors labai sėkmingi spėjimai paslydo jų teiginiuose. Pavyzdžiui, minėtasis Filolajus teigė, kad dangaus kūnų atstumai nuo centrinės ugnies didėja eksponentiškai, todėl kiekviena sekanti žvaigždė yra tris kartus toliau nuo jos nei ankstesnė. Jei jis būtų pasakęs „du kartus“, o po dviejų tūkstančių metų būtų numatęs Ticijaus – Bodės valdžią (p. 203) ...

Be abejonės, daugelis graikų filosofų prieš Aristarchą žavėjosi Mėnuliu, stebėjo jo judėjimą tarp žvaigždžių. Tačiau tik Aristarchas spėjo, kad atlikus kai kuriuos matavimus ir skaičiavimus galima nustatyti atstumus Saulės – Žemės – Mėnulio sistemoje. Tai jis padarė darbe „Apie Saulės ir Mėnulio dydžius ir atstumus“ (vienintelis, kuris atėjo pas mus).

Pirmiausia Aristarchas suformuluoja tokias pradines pozicijas: „1) Mėnulis pasiskolina šviesą iš Saulės, 2) Žemė yra taškas ir centras Mėnulio sferos atžvilgiu, 3) Mėnulis mums perpjaunamas per pusę. tada pro mūsų akį einančioje plokštumoje guli didelis apskritimas, skiriantis tamsiąją ir šviesiąją Mėnulio dalis, 4) kai Mėnulis mums perpjautas per pusę, tai jo atstumas nuo Saulės yra mažesnis nei ketvirtis apskritimo be trisdešimtoji šio ketvirčio dalis, 5) žemės šešėlio plotis talpina du Mėnulius ir 6) Mėnulis sutraukia penkioliktą zodiako ženklo dalį “...

Pirmieji trys teiginiai yra savaime aiškūs. Kalbant apie ketvirtą, tai reiškia: trisdešimtoji apskritimo ketvirčio dalis yra 3 ° (= 90 °: 30). Akivaizdu, kad, remdamasis savo stebėjimais, Aristarchas padarė išvadą, kad kampinis atstumas nuo Saulės iki Mėnulio, kai ji yra pirmame ketvirtyje, yra 87 ° (8 pav.). Šiuo metu sistemoje Žemė – Mėnulis – Saulė kampas SLT bus teisus, ir kampas Lst yra lygus 3 ° (= 90 ° -87 °).

Aristarchas tęsia: „Iš to galime daryti išvadą, kad atstumas nuo Žemės iki Saulės yra didesnis nei atstumas iki Mėnulio daugiau nei aštuoniolika, bet mažiau nei dvidešimt kartų – remiantis prielaida, kad Mėnulis perpjautas per pusę. ; kad tas pats santykis turi Saulės skersmenį ir Mėnulio skersmenį; kad Saulės skersmens ir Žemės skersmens santykis yra didesnis nei 19:3, bet mažesnis nei 43:6 - remiantis atstumų santykiu, prielaida dėl šešėlio, taip pat prielaida kad Mėnulis atima penkioliktąją zodiako ženklo dalį.

Remdamasis aukščiau pateiktais duomenimis, šiandien studentas gali nesunkiai nustatyti, kiek kartų Mėnulis yra arčiau Žemės nei Saulė. Tam iš trikampio TLS jam reikia surasti šalių santykius TL ir TS... Akivaizdu,

TL/TS= sin 3 ° = 0,0523 = 1 / 19,1,

Kitaip tariant, jei iš tikrųjų pirmajame ketvirtyje Mėnulis yra 87 ° kampiniu atstumu nuo Saulės, tada atstumas iki jo yra 1/19 atstumo iki Saulės.

Aristarcho laikais trigonometrija, kaip sakoma, buvo tik pradinėje stadijoje. Todėl jis gavo minėtą rezultatą pasitelkdamas geometrines konstrukcijas.

Panašiai Aristarchas taip pat daro išvadą, kad „Saulės skersmuo yra daugiau nei 18 ir mažiau nei 20 kartų didesnis už Mėnulio skersmenį“, kad „Mėnulio skersmuo yra mažesnis nei du keturiasdešimt penktadaliai, bet daugiau nei viena trisdešimtoji atstumo, kuriuo Mėnulio centras yra atitrauktas nuo mūsų akies "ir kad" Saulės skersmens ir Žemės skersmens santykis yra didesnis nei 19:3, bet mažesnis nei 43–6 ”.

Galima užjausti antikos ir viduramžių mokslininkus, nes iki 1585 metų (!) jie nežinojo, kad vietoj tokio sveikųjų skaičių palyginimo (o juos rasti nebuvo lengva), galima tiesiog užrašyti skaičių su dešimtainė trupmena...

Apskritai, jei žymime pagal R⊕ Žemės spindulys, tada iš Aristarcho skaičiavimų išplaukia, kad

1) saulės spindulys R ☉ ≈ 7R ⊕ ,

2) mėnulio spindulys R☾ ≈ 7/19 R ⊕ ,

3) atstumas nuo Žemės iki Mėnulio r☾ ≈ 19 R ⊕ ,

4) atstumas nuo Žemės iki Saulės r ☉ ≈ 19r☾ ≈ 361 R ⊕ .

Tai buvo pirmasis darbas astronomijos istorijoje, kuriame atstumai tarp dangaus kūnų buvo nustatyti remiantis stebėjimais. Tiesa, pats matavimo rezultatas buvo labai netikslus. Galų gale, Mėnulio kampinis atstumas nuo Saulės pirmojo ketvirčio metu yra mažesnis nei 90 ° ne 3 °, o tik 9 ′ (be to, Aristarcho laikais dar nebuvo priimta dalyti apskritimas į laipsnius). Todėl Saulė yra ne 19, o 400 kartų toliau nuo Žemės nei Mėnulis. Faktas yra tas, kad net ir dabar, naudojant šiuolaikinius teleskopus, labai sunku nustatyti momentą, kada mes matome tiksliai pusę Mėnulio apšviestą ...

Bet čia svarbiau kažkas kita. Remdamasis savo skaičiavimais, Aristarchas nustatė, kad „saulės santykis su žeme yra didesnis nei 6859:27, bet mažesnis nei 79 507:216“. Čia kalbame apie Saulės ir Žemės tūrių palyginimą: Saulės tūris pagal Aristarchą yra 343 daugiau. Ir, matyt, būtent šie skaičiavimai vėliau privedė prie išvados, kad Saulė, kaip didesnis kūnas, yra pasaulio centre, o Žemė kartu su kitomis planetomis sukasi aplink ją.

Štai ką apie šią pirmąją heliocentrinę pasaulio sistemą savo veikale „Psammit“ („Smėlio grūdų skaičiavimas“) rašė iškilus mokslininkas Archimedas (apie 287–212 m. pr. Kr.): „... pagal kai kurių idėjas. astronomų, pasaulis turi rutulio formą, kurio centras sutampa su Žemės centru, o spindulys lygus tiesės, jungiančios Žemės ir Saulės centrus, ilgiui. Tačiau Aristarchas iš Samoso savo „Prielaidose“, kurias jis parašė prieš astronomus, atmesdamas šią mintį, daro išvadą, kad pasaulis yra daug didesnis, nei ką tik nurodyta. Jis mano, kad nejudančios žvaigždės ir Saulė nekeičia savo vietos erdvėje, kad Žemė sukasi ratu aplink Saulę, esančią jos centre, o nejudančių žvaigždžių sferos centras sutampa su Saulės centru ir šios sferos dydis yra toks, kad aprašytas apskritimas, remiantis jo prielaida, Žemė yra atstumu nuo nejudančių žvaigždžių tame pačiame santykyje, kuriame sferos centras yra su jos paviršiumi ... “.

Deja, minėtos Aristarcho „prielaidos“ mūsų nepasiekė. Todėl mes praktiškai nieko daugiau nežinome apie įrodymus, kurių pagalba Aristarchas, šis senovės pasaulio Kopernikas, pagrindė heliocentrinio pasaulio modelio teisingumą ...

Jei kalbėsime apie atstumą nuo Žemės iki Saulės, tai, kaip jau matėme, Aristarchas nustatė, kad jis yra 19 kartų didesnis už atstumą nuo Žemės iki Mėnulio. Šiuo skaičiumi astronomai nekvestionavo maždaug 1800 metų!

Ir galiausiai, Aristarchas nustatė atstumą nuo Žemės iki Mėnulio, darydamas prielaidą, kad Mėnulio (kaip ir Saulės) kampinis skersmuo yra 2 ° (tai yra lygiai 1/15 zodiako ženklo, nes 12 zodiako žvaigždynų kartu apibūdina juosta aplink Žemę 360°). Tiesą sakant, mėnulio kampinis skersmuo yra keturis kartus mažesnis.

Sunku pasakyti, kodėl Aristarchas įgavo tokią prasmę šiame, regis, ankstyvame darbe. Juk tuo metu astronomai jau mokėjo nustatyti tariamąjį saulės skersmenį. Visų pirma, Babilono kunigai tai darė labai paprastai. Vandens laikrodžio naudojimas ( klepsydras) jie nustatė laiko intervalą nuo to momento, kai horizontas paliečia apatinį Saulės kraštą iki momento, kai jos viršutinis kraštas pasislėps už horizonto. Akivaizdu, kad kampinis Saulės skersmuo bus 360 °, tai yra išmatuotas laikas nuo 24 valandų, per kurį dangaus skersmuo visiškai apsisuka. Babilono astronomai nustatė, kad Saulės nusileidimas trunka 2 minutes, tai yra 1/720 paros. Todėl regimasis kampinis Saulės skersmuo yra 360 ° / 720 = ½ °.

„Psammite“ Archimedas nurodo Aristarchą, pagal kurį, tariamai, „tariamieji Saulės matmenys sudaro 1/720 jos orbitos“. Be jokios abejonės, Aristarchas žinojo ir tikrąją mėnulio kampinio skersmens vertę. Tačiau nėra žinoma, ar jis šiuo pagrindu atliko naujus atstumo iki Mėnulio ir Saulės skaičiavimus ...

Kaip matyti iš aukščiau pateikto, natūralus atstumų iki Mėnulio ir Saulės matavimo vienetas yra Žemės spindulys. Dabar pažiūrėkime, kas buvo žinoma apie jo dydį Aristarcho laikais ...

Pirmieji matininkai... Tai, kad Žemė yra rutulys, įtikinamai pagrindė Aristotelis, nes, kaip jis sakė, „priešingu atveju, per Mėnulio užtemimus, Mėnulyje pamatytume tokį aiškų apvalų atkarpą... O kadangi Mėnulio užtemimas yra kurią sudaro žemės šešėlis, tada Žemė turi būti rutulio formos. Tai taip pat išplaukia iš reiškinių, vaizduojančių žvaigždes virš horizonto ir iš kurių, be to, matyti, kad gaublys negali būti labai didelis. Taigi, pakanka tik šiek tiek pajudėti šiaurės ar pietų kryptimi, kad horizonto ratas gerokai pasikeistų, o žvaigždės, anksčiau buvusios virš galvos, pasitrauktų iš savo ankstesnės vietos ...

Todėl galime manyti, kad teritorija aplink Heraklio stulpus (Gibraltaras) I.K.) jungiasi su Indijos šalimi, todėl yra tik viena jūra.

Todėl matematikai, apskaičiavę Žemės perimetrą, mano, kad jis lygus maždaug 400 tūkstančių pakopų, ir iš to darome išvadą, kad Žemė yra ne tik sferinė, bet ir jos tūris yra nereikšmingas, palyginti su Žemės dydžiu. žvaigždės“.

Taigi jau Aristotelis žinojo mūsų planetą supančio didžiojo apskritimo ilgį, S= 400 000 etapų. Ir nuo tada S= 2π R⊕, tada iš čia galima nustatyti Žemės spindulį R⊕. Paėmę scenai mažiausią jos vertę 157,5 m, randame S= 63 000 km ir R⊕ = 10 032 km. Kaip matote, net ir šiuo atveju Žemės spindulys yra perdėtas beveik 1,6 karto. Tačiau tai, palyginti su ankstesniais spėjimais, vis tiek yra geras rezultatas!

Mes nežinome matematikų, kurie pirmieji nustatė (nors apytiksliai) Žemės spindulio dydį, vardų. Galbūt tarp jų buvo Pitagoras ar jo mokiniai, nes ši problema iš esmės yra paprasta geometrinė problema. Iš tiesų, stebėtojas tegul būna taško pradžioje A ir nustatė, kad čia per zenitą eina tam tikra žvaigždė. Tegul stebėtojas juda toliau griežtai į šiaurę (palei dienovidinį). Eidamas atstumą d, jis pastebės, kad ta pati žvaigždė jau eina per dienovidinį kampiniu atstumu z nuo zenito (9 pav.). Išvada rodo, kad jei stebėtojas keliautų aplink Žemės rutulį, praleisdamas kelią S= 2π R⊕, tai yra, jis aprašė 360 ° lanką Žemės centro atžvilgiu ir vėl grįžo į tašką A, tuomet būtų atkurtas pasirinktos žvaigždės praėjimo per zenitą vaizdas. Remiantis tuo, nesunku sudaryti tokią proporciją: žemės perimetro ilgį S bus daug kartų didesnis už lanko ilgį d, kiek kartų visas kampas 360° yra didesnis už kampą z... Taigi,

S= (360 ° / z)d.

Nieko nestebina tai, kad Aristotelis pateikia skaičių, pagal kurį Žemės spindulys yra pusantro karto didesnis už tikrąją vertę. Iš tiesų tuo metu nebuvo patikimų prietaisų, leidžiančių tiksliai išmatuoti žvaigždžių kampinius atstumus nuo zenito. Be to, pats atstumas d tarp taškų A ir B gali būti nustatytas netiksliai. Iš tiesų, kad zenito atstumas padidėtų tik G, stebėtojas turi pasislinkti dienovidiniu 111 km.

Senovės graikų matematikui ir astronomui Eratostenui (apie 276 m. – apie 194 m. pr. Kr.) pavyko gauti tikslesnius mūsų planetos matmenis. Eratostenas atrado, kad vidurdienį ilgiausią vasaros dieną, kai Saulė yra aukščiausiai danguje, o jos spinduliai Sienoje (dabar Asuanas) krenta vertikaliai, apšviesdami gilių šulinių dugną, Aleksandrijoje tuo pačiu metu Saulės zenitas. atstumas yra 1/50 viso apskritimo (ty 7 ° 12 ′). Apskaičiuota, kad atstumas tarp Sienos ir Aleksandrijos yra 5000 Egipto stadionų. Remdamasis aukščiau pateiktais samprotavimais, Eratostenas nustatė, kad dienovidinio perimetras yra 250 000 stadionų. Jei etapas atitiko 157,5 m, tai buvo 39 500 km, o Žemės spindulys turėjo būti lygus 6290 km. Taigi matavimo paklaida šiuo atveju būtų tik 1,3%.

Norėdami išmatuoti Saulės zenito atstumą, Eratostenas įrengė goniometrą (saulės laikrodį) miesto aikštėje Aleksandrijoje. scaphis, kurio veikimo principas buvo labai paprastas. Pusrutulio formos dubenėlio centre vertikaliai buvo įdėtas pagaląstas strypas. Ant dubens vidinio paviršiaus, kur nuo jo krito šešėlis, buvo nubrėžti horizontalūs apskritimai, atitinkantys tam tikrus Saulės aukščius virš horizonto. Šešėlio nukrypimai nuo šiaurės-pietų krypties leido išmatuoti laiką.

Matyt, tų pačių pastolių pagalba Eratostenas taip pat nustatė, kad ekliptikos plokštumos pasvirimo kampas į pusiaujo plokštumą yra ε = 23 ° 51 ′. Ši išvada buvo padaryta remiantis tuo, kad skirtumas tarp Saulės aukščių dienovidiniame vasaros ir žiemos saulėgrįžų metu yra 11/83 viso apskritimo, ty 47 ° 42 ′. Ir tai yra padvigubinta kampo ε reikšmė.

Archimedo pasaulinė sistema... Archimedas, kurį romėnų istorikas Titas Livijus (59 m. pr. Kr. – 17 m. po Kr.) pavadino „vieninteliu dangaus ir žvaigždžių kontempliatoriumi“, gimė Sirakūzuose, Sicilijos saloje, mokėsi Aleksandrijoje, kur susipažino su astronomais Kononu ir Eratostenu. . Šią informaciją galima rasti jau minėtame „Psammit“. Archimedas apskaičiavo smėlio grūdelių skaičių Visatoje ir gavo rezultatą 10 63. Archimedas sukūrė pasaulio sistemą, nurodančią konkrečius atstumus iki planetų. Informacija apie šią Archimedo pasaulio sistemą (tiksliau, apie atstumus iki planetų orbitų, iš kurių išplaukia tam tikros išvados apie ją) yra Romos vyskupo Hipolito esė (III a. mūsų eros pirmoji pusė) , o kiek mažesniu mastu – romėnų rašytojo komentaruose V a Makrobija. Hipolitas ir „Visų erezijų paneigimas“ rašo:

„Atstumas nuo Žemės paviršiaus iki paties Mėnulio orbitos... Aristarchas savo darbe įvertina... pakopomis, o Archimedas – 554 miriadais iš 4130 pakopų vienetų; nuo Mėnulio iki Saulės orbitos pakopų 5026 myriadai 2065 vienetai, nuo jo iki Veneros orbitos 2027 miriadai 2065 vienetai, nuo jo iki Merkurijaus orbitos 5081 miriadai 7165 vienetai, nuo šuns stadijos iki Mar4054 orbitos myriadai 1108 vienetai, nuo jo iki Jupiterio pakopų orbitos 2027 myriadai 5065 vienetai, nuo jo iki Saturno pakopų orbitos 4037 miriadai 2065 vienetai, nuo jo iki zodiako ir paties paskutinio pakopų rato 2008 myriadai 4005 vienetai. Tai yra Archimedo perduodamų orbitų atstumai vienas nuo kito ir sferų gyliai; zodiako perimetrą, jis įveikė antrojo skaičiaus 4731 begalę 4 etapus, todėl išeina, kad atstumas nuo Žemės centro iki atokiausio paviršiaus bus šeštadalis minėto skaičiaus, atstumas nuo Žemės paviršiaus. Žemė, kurioje mes gyvename, pasireikš zodiako ženkle, jei šeštoji dalis sumažins minėtą skaičių 4 pakopomis, kurios atspindi atstumą nuo Žemės centro iki jos paviršiaus. Nuo Saturno orbitos iki Žemės, kaip jis sako, bus antrieji numeriai, vienas vienetas 2160 milijonai 8259 vienetų, nuo Merkurijaus iki Žemės - 5268 milijonai 8259 vienetų, nuo Veneros iki Žemės - 5081 daugybė 5160 vienetų... taigi atstumai ir sferų gelmės Archimedas suteikia tokią "...

Čia begalė – 10 000, Archimedas dešimtis tūkstančių miriadų pavadino „antrais skaičiais“.

Čia Hipolitas sako, kad Archimedo pateikti skaičiai nėra priebalsių santykyje, „tai yra vadinamajame platoniškame dvigubame ir trigubyje“, todėl, anot jų, „jie negali išsaugoti harmoningos visatos struktūros. “

Makrobijas rašo apie tą patį santūriau: „Taip pat Archimedas tikėjo, kad jis nustatė etapų, per kuriuos Mėnulis buvo pašalintas nuo Žemės paviršiaus, o Merkurijus nuo Mėnulio, Venera nuo Merkurijaus, Saulė iš Veneros, ... nuo Saturno, skaičių. į patį žvaigždžių dangų, pagalvojo jis, matuojamas tik samprotavimu. Tačiau šį Archimedo dimensiją platonistai atmetė kaip neišsaugančią dvigubų ir trigubų intervalų.

Remiantis veiksmų priešprieša – „nulemta“ ir „išmatuota samprotavimu“ – galima manyti, kad Archimedas atstumus iki planetų apskaičiavo iš stebėjimų. Beje, Hipolito tekste nurodyta „šeštosios skaičiaus dalies“ gavimo operacija reiškia apskritimo dalijimą iš 2π, norint gauti žvaigždžių sferos spindulį (tikslesnės reikšmės jie nežinojo). skaičius π nei π = 3 tuo metu).

Visų senovės tekstų bėda ta, kad laikui bėgant jie patys patiria žalą (o juk nuo Archimedo iki Hipolito praėjo daugiau nei 400 metų!). Be to, dažnai iš jų skaičių atrenka žmonės, kurie mažai išmano pateiktą medžiagą. Rašto žinovai taip pat klysta...

Remdamasis paprasčiausiais loginiais samprotavimais, neseniai S.V. Žitomirskis atliko skaitinių Archimedo duomenų rekonstrukciją. Ir - skaitytojo akims pateikiamas harmoningas geo-heliocentrinis pasaulio modelis, kuriame Merkurijus, Venera ir Marsas sukasi aplink Saulę, kuri kartu su jais, taip pat Jupiteris ir Saturnas, juda aplink Žemę (pav. 10). Be to, santykiniai Merkurijaus, Veneros ir Marso orbitų spinduliai gana gerai sutampa su tikrosiomis jų vertėmis!

Rekonstrukcijos būtinybė matyti iš toliau pateiktų dalykų. Pirma, Hipolitas nurodo skaičius „iki, tarkime, Veneros orbitos“, šiek tiek žemiau atstumų „nuo Merkurijaus iki Žemės“ ir „nuo Veneros iki Žemės“ pateikiami atskirai, ir, kaip galite lengvai patikrinti, jie nėra sutampa su ankstesniais.

Tačiau geocentrinėje sistemoje atstumas iki Merkurijaus (taip pat iki Veneros ir Marso) yra tiesiog lygus planetos orbitos spinduliui ...

Rekonstruoti atstumai atrodo taip: nuo Žemės paviršiaus iki Mėnulio a= 554 mr (santrumpai „mr“ raidės žymi daugybę pakopų, pakopų skaičius suapvalinamas), nuo mėnulio iki saulės orbitų d= 5082 mr, taigi atstumas nuo Žemės centro iki Saulės A = a + d + n= 5640 mr ( n= 4 mr – Žemės spindulys), toliau nuo Saulės iki Merkurijaus orbitos c= 2027 mr, iš jo taip pat į Veneros orbitą c, iš Veneros orbitos į Marso 2 orbitą c, toliau Jupiterio orbitos spindulys (manoma) 5 c ir Saturnas 6 c 12 162 mr – Hipolito nurodytas numeris. Nuo Saturno orbitos iki zodiako h= 2008 mr ir norint sutikti su Hipolito nurodytu „zodiako perimetro“ skaičiumi, reikėtų skaityti „pusperimetrą“. Tai vienas iš galimų rekonstrukcijos teisingumo įrodymų.

Be to, nesunku patikrinti, ar apskaičiuotas atstumas nuo Žemės centro iki Saulės (L), atstumas „nuo Merkurijaus iki Žemės“ (skaičius l= 5269 mr) ir skaičių c- atstumas nuo Saulės iki Merkurijaus labai tiksliai paklūsta Pitagoro teoremai: √ (5640² - 2027²) = 5264! Bet požiūris l/A= 5268/5640 = 0,934 yra kampo a kosinusas, atitinkantis didžiausio vidurkį pailgėjimas Gyvsidabris: arckos 0,934 = 21 ° 02 ′ (11 pav.). Pasidaro aišku, kodėl šis skaičius netgi atsiranda tekste: jis rodo vidutinę planetos pailgėjimo reikšmę.

Panašiai, matyt, buvo nustatytas ir Veneros orbitos spindulys. Tuo atveju, kai Marsas skrieja aplink Saulę, problema taip pat gana nesunkiai išsprendžiama (12 pav.). Norėdami tai padaryti, turite nustatyti dienų skaičių N, pasibaigė Marso priešprieša kvadratūrai. Žinant sinodinį planetos revoliucijos laikotarpį S= 780 dienų ir darant prielaidą, kad planeta tolygiai juda apskrita orbita, randame kampą β = (360 ° / S)N, po kurio turime R = A/ cos β.

Pastebėtina, kad santykiniai atstumai nuo Saulės iki Merkurijaus, Veneros ir Marso yra c/A, 2c/A, 4c/A, lygūs atitinkamai 0,36, 0,72 ir 1,44, yra gana artimi jų tikrosioms reikšmėms (0,39, 0,72 ir 1,52). Absoliučiais vienetais, kurių scenos ilgis Archimedo pasaulyje yra 177,5 m, turime: atstumas nuo Žemės centro iki Mėnulio yra lygus 990 450 km - beveik 2,6 karto daugiau, o nuo Žemės iki Saulės. - 10 011 000 km, 15 kartų mažiau tiesa. Žvaigždžių sferos spindulys yra tik 2,5 karto didesnis už atstumą nuo Žemės iki Saulės.

Psammite Archimedas praneša, kad išmatavo tariamą Saulės kampinį skersmenį, kuris yra tarp 1/164 ir 1/200 stačiojo kampo. Paėmus vidutinę reikšmę 1/180 stačiojo kampo arba 30 ′, nesunku su jau žinomais atstumais iki Saulės ir Mėnulio (kurių kampinis skersmuo vienodas) rasti jų linijinius matmenis: skersmenį. Saulės ilgis yra 49,2 mr, Mėnulis yra 4,8 mr, ty e. Manoma, kad Mėnulis yra 10,2 karto mažesnis už Saulę.

Iš viso to, kas čia pasakyta, aišku, kad Archimedas buvo ne tik „dangaus ir žvaigždžių stebėtojas“, bet ir sumanus stebėtojas ir gilus mąstytojas. Ir turime apgailestauti, kad jo astronominiai darbai mūsų praktiškai nepasiekė ...

Archimedo „dangaus rutulyje“.... Archimedas kelis šimtmečius po mirties išliko garsus kaip nuostabaus „savaeigio įrenginio“ – mechaninio „dangaus gaublio“, kurio pagalba nustatomos žvaigždžių matomumo sąlygos, Saulės ir Mėnulio užtemimai, kūrėjas. buvo demonstruojami. Taip Ciceronas rašė apie tai savo traktate „Apie valstybę“: „... ištisinė sfera be tuštumų buvo išrasta jau seniai ir tokią sferą iš pradžių išraižė Talis iš Mileto, o paskui Eudoksas iš Knido, pasak mokinio Platonas, užrašęs ant jo danguje esančių žvaigždynų ir žvaigždžių padėtį..., po daugelio metų Aratas, vedamas ne astronomijos žinių, o, galima sakyti, poetinio talento, eilėraštyje apdainavo visą. sferos struktūra ir šviesų padėtis joje, paimta iš Eudoxus. Bet... tokia sfera, ant kurios būtų pavaizduoti saulės, didinamojo stiklo ir penkių žvaigždžių judesiai, vadinami klajojimu ir klajojimu, negalėjo būti sukurta kieto kūno pavidalu; Archimedo išradimas nuostabus būtent tuo, kad jis sugalvojo, kaip skirtingų judesių metu, per vieną revoliuciją, išsaugoti nevienodus ir skirtingus kelius. Kai Galas pajudino šią sferą, atsitiko taip, kad ant šio bronzinio rutulio mėnulis pakeitė saulę tiek apsisukimų, kiek dienų pakeitė ją pačiame danguje, dėl ko įvyko toks pat saulės užtemimas. sferos danguje, o mėnulis įžengė į tą pačią ribą, kur buvo žemės šešėlis, kai saulė išėjo iš regiono ... “.

Ir tada, deja, dalis traktato teksto buvo prarasta... Kaip minėta aukščiau, Archimedo pasaulio sistemoje planetos (bent jau Merkurijus, Venera ir Marsas) sukasi aplink Saulę. Todėl apatinių planetų (Merkurijaus ir Veneros) į kilpą panašių matomų judesių modeliavimas atliekamas „savaime“. Apie tai, kaip Archimedas sugebėjo pavaizduoti (jei pavyko) į kilpą panašius viršutinių planetų (Marso, Jupiterio ir Saturno) judesius, reikia atspėti ...

Ciceronas dar kartą pamini Archimedo modelį traktate „Apie dievų prigimtį“ ir „Tuskulano pokalbiuose“. Iš teksto išplaukia, kad po Archimedo tą patį dangaus gaublį sukonstravo Posidonijus: „Jei kas nors atnešė į Skitiją ar Britaniją tą rutulį (Sphaera), mūsų draugas Posidonijus neseniai padarė dangų su Saule, Mėnuliu ir penkiomis planetomis skirtingomis dienomis ir naktų, tada kas šiose barbariškose šalyse suabejotų, kad šis kamuolys yra tobulo proto produktas? . Zhitomirsky S.V. Archimedo astronominiai darbai // IAI. - 1977. - Laida. XIII - S. 319-337; Senovės idėjos apie pasaulio dydį // IAI. - 1983. - Laida. Xvi. - S. 291-326.

. Ciceronas... Dialogai. - M .: Nauka, 1966 .-- P. 14.

. Ciceronas... Filosofiniai traktatai. - M .: Nauka, 1985 .-- P. 129.

. Sextus Empiricus... Kompozicijos: T. 1. - M .: Mysl ', 1976. - P. 264.

Turbūt pirmasis iš astronominių reiškinių, į kurį atkreipė pirmykštis žmogus, buvo mėnulio fazių kaita. Būtent ji leido jam išmokti sekti dieną. Ir neatsitiktinai, matyt, daugelyje kalbų žodis „mėnuo“ turi bendrą šaknį, sutampančią su žodžių „matuoti“ ir „mėnulis“ šaknimis, pavyzdžiui, lotyniškai mensis – mėnuo ir mensuga – matas, Graikiškai „mene“ – Mėnulis ir „ Maine“ – mėnuo, angliškai moon – mėnulis ir mėnuo – mėnuo. O rusiškas nacionalinis Mėnulio pavadinimas yra mėnuo! Ukrainiečių kalboje šie pavadinimai yra identiški: „mkyats“.

Siderinis mėnuo. Kelis vakarus stebint mėnulio padėtį danguje, nesunku įsitikinti, kad jis tarp žvaigždžių juda iš vakarų į rytus vidutiniu 13° greičiu, 2 per dieną. Mėnulio (kaip ir saulės) kampinis skersmuo yra maždaug 0 °, 5. Todėl galime sakyti, kad kiekvieną dieną Mėnulis pasislenka į rytus 26 savo skersmenimis, o per valandą – daugiau nei jo skersmens vertė. Apskridęs pilną ratą dangaus sferoje, Mėnulis grįžta į tą pačią žvaigždę po 27,321661 dienos. Šis laikotarpis vadinamas sideriniu (t. y. žvaigždiniu: sidus – lotyniškai žvaigždė) mėnesiu.

Mėnulio konfigūracijos ir fazės. Kaip žinia, Mėnulis, kurio skersmuo yra beveik 4, o masė 81 kartą mažesnė už Žemės, aplink mūsų planetą sukasi vidutiniškai 384 000 km atstumu. Mėnulio paviršius yra šaltas ir švyti atsispindėjusia saulės šviesa. Kai Mėnulis sukasi aplink Žemę arba, kaip sakoma, keičiant Mėnulio konfigūraciją (iš lot. configuro - duodu teisingą formą) - jo padėtis Žemės ir Saulės atžvilgiu, ta jo paviršiaus dalis, kuri yra matomą iš mūsų planetos Saulė apšviečia skirtingai. To pasekmė – periodiškas mėnulio fazių pasikeitimas (pav.).

Ryžiai. Konfigūracija (1 – konjunkcija, 3 ir 7 – kvadratūra, 5 – opozicija) ir mėnulio fazės (1 – jaunatis, 3 pirmas ketvirtis, 5 – pilnatis, 7 paskutinis arba trečias ketvirtis; 2, 4, 6 , 8 – tarpinė fazė)

Kai Mėnulis, judėdamas, yra tarp Saulės ir Žemės (ši padėtis vadinama konjunkcija – konjunkcija), jis atsigręžia į Žemę neapšviesta puse, o tada jo visai nesimato. Tai jaunatis.

Pasirodęs vakaro danguje, pirmiausia siauro pusmėnulio pavidalu, Mėnulis po maždaug 7 dienų jau matomas puslankiu. Šis etapas vadinamas pirmuoju ketvirčiu. Po dar 8 dienų Mėnulis užima tiesiai priešais Saulę ir jo pusė, nukreipta į Žemę, yra visiškai apšviesta. Ateina pilnatis, tuo metu mėnulis teka saulėlydžio metu ir danguje matomas visą naktį. Praėjus 7 dienoms po pilnaties, ateina paskutinis ketvirtis, kai mėnulis vėl matomas puslankiu, pasisukęs į kitą pusę, ir teka po vidurnakčio. Prisiminkime, jei jaunaties akimirką ant Žemės krenta Mėnulio šešėlis (dažniau nuslysta „aukščiau“ arba „žemiau“ mūsų planetos), įvyksta Saulės užtemimas. Jei Mėnulis pilnaties metu pasineria į Žemės šešėlį, stebimas Mėnulio užtemimas.

Sinodinis mėnuo. Laikotarpis, po kurio mėnulio fazės vėl kartojasi ta pačia tvarka, vadinamas sinodiniu mėnesiu. Tai lygi 29,53058812 dienų. Dvylika sinodinių mėnesių yra 354,36706 dienos. Taigi sinodinis mėnuo yra nesuderinamas nei su dienomis, nei su atogrąžų metais: jis nesusideda iš sveiko dienų skaičiaus ir netelpa be likučio atogrąžų metais.

Nurodyta sinodinio mėnesio trukmė yra jo vidutinė reikšmė, kuri gaunama taip: apskaičiuojama, kiek laiko praėjo tarp dviejų toli vienas nuo kito nutolusių užtemimų, kiek kartų per tą laiką Mėnulis keitė savo fazes ir dalijasi pirmąją. reikšmę sekunde (be to, pasirinkite kelias poras ir suraskite vidurkį). Kadangi Mėnulis aplink Žemę juda elipsine orbita, jo judėjimo linijiniai ir stebimi kampiniai greičiai skirtinguose orbitos taškuose yra skirtingi. Visų pirma, pastarasis svyruoja nuo maždaug 11 ° iki 15 ° per dieną. Mėnulio judėjimas ir jį veikianti saulės traukos jėga yra labai sudėtinga, nes šios jėgos dydis nuolat kinta tiek savo skaitine reikšme, tiek kryptimi ji turi didžiausią vertę jauname mėnulyje ir mažiausiai per pilnatį.

Ryžiai. Sinodinių mėnesių trukmės nuokrypis 1967-1986 m. nuo vidurkio

Neomenija. Vidutiniškai laiko intervalas nuo Mėnulio išnykimo kylančios saulės spinduliuose ir jo pasirodymo vakare po saulėlydžio yra 2-3 dienos. Per šias dienas Mėnulis pereina (atsižvelgiant į Saulę) iš vakarinės dangaus pusės į rytus, taip iš ryto šviesos virsdamas vakarine. Pirmąjį mėnulio pasirodymą vakaro danguje („jaunaties gimimas“) senovės graikų astronomai pavadino neomeny („jaunatis“). Nuo neoness ir buvo patogu pradėti skaičiuoti laiką per mėnesį.

Tačiau, kaip ką tik sakiau, sinodinio mėnesio trukmė gali būti daugiau nei šešiomis valandomis trumpesnė arba ilgesnė nei jo vidurkis. Todėl neomanija gali atsirasti ir diena anksčiau, ir diena vėliau, palyginti su vidutine numatoma jaunaties pasirodymo data (pav.). Jaunų mėnulio datų nuokrypis nuo tų, kurie skaičiuojami pagal sinodinio mėnesio vidutinę trukmę, parodytas fig.

Ryžiai. Jaunaties momentų nukrypimas 1967-1986 m. nuo skaičiuojant pagal sinodinio mėnesio vidutinę trukmę

Mėnulis yra „aukštai“ ir „žemai“. Siaurojo „jaunojo“ Mėnulio pusmėnulio matomumo sąlygas vakaro danguje didele dalimi lemia jo judėjimo aplink Žemę ypatumai. Mėnulio orbitos plokštuma yra pasvirusi į ekliptikos plokštumą kampu i = 5 ° 9. Vadinasi, Mėnulis arba „pakyla“ virš ekliptikos („priartėja“ prie pasaulio šiaurės ašigalio) dešimčia savo tariamo kampinio skersmens, tada tiek pat „nusileidžia“ po ekliptika. Du kartus per 27,2122 dienų laikotarpį (šis laikotarpis vadinamas drakonišku mėnesiu) mėnulio kelias danguje susikerta su ekliptika taškuose, vadinamuose Mėnulio orbitos mazgais.

Mazgas, per kurį Mėnulis artėja prie šiaurinio pasaulio ašigalio, vadinamas kylančiu, o priešingas – besileidžiančiu. Linija, einanti per Žemės centrą ir jungianti Mėnulio orbitos mazgus, vadinama mazgų linija. Stebint Mėnulį ir lyginant jo padėtis tarp žvaigždžių žvaigždėto dangaus žemėlapyje nesunku tuo įsitikinti, Mėnulio mazgai nuolat juda Mėnulio link, t.y. į vakarus, padarydami visišką revoliuciją per 18,61 metų. Kasmet kylančio mazgo atstumas nuo. pavasario lygiadienis sumažėja maždaug 20 °, o per vieną drakonišką mėnesį - 1 °, 5.

Dabar pažiūrėkime, kaip Mėnulio orbitos plokštumos polinkio įtaka mėnulio aukščiui viršutinėje kulminacijoje. Jei kylantis mazgas sutampa („beveik sutampa“) su pavasario lygiadieniu (ir tai kartojasi kas 18,61 metų), tai Mėnulio orbitos plokštumos polinkio kampas į dangaus pusiaują yra ε + i (28 °, 5). Per šį laikotarpį Mėnulio deklinacija keičiasi nuo + 28 °, 5 iki -28 °, 5 27,2 dienos (pav.).

Ryžiai. Mėnulio deklinacijos kitimo ribos per 18,61 metų

Po 14 dienų Mėnulio deklinacija jau yra lygi mažiausiajai jo vertei -28 °, 5, o jo aukštis viršutinėje kulminacijoje toje pačioje 50 ° platumoje yra tik 11 °, 5. Tai bus „žemo“ Mėnulio padėtis: net aukščiausioje kulminacijoje jis vos matomas virš horizonto ...

Nesunku suprasti, kad pavasarį šią aukščiausią vietą danguje Mėnulis pasiekia pirmojo ketvirčio akimirką vakare, o žemiausią – paskutiniame ketvirtyje – ryte. Ir atvirkščiai, rudenį, Saulei artėjant rudens lygiadieniui, ekliptikos lankas vakaro danguje yra žemiau dangaus pusiaujo, o Mėnulio orbita dar žemiau. Todėl pirmajame ketvirtyje Mėnulis pasiekia nurodytą žemiausią padėtį, o paskutinį ketvirtį ryte stovi aukščiausiai.

Dėl nuolatinio Mėnulio orbitos mazgų judėjimo per 9,3 metų, besileidžiantis mazgas jau bus šalia pavasario lygiadienio. Mėnulio orbitos plokštumos pasvirimo kampas į dangaus pusiaują jau bus ε - i (18 °, 5). 50 ° platumos Mėnulio aukštis viršutinėje kulminacijoje aukščiausioje 18 °, 5 jau yra 58 °, 5 (pavasarį - pirmame ketvirtyje, rudenį - paskutiniame), žemiausias, 14 po dienų - 21 °, 5 (pavasarį - paskutinį ketvirtį, rudenį - pirmąjį). Tarpiniais metais Mėnulio orbitos mazgai kerta ekliptikos lankus, ant kurių yra saulėgrįžos taškai. Šiuo atveju Mėnulio deklinacija per mėnesį svyruoja nuo maždaug + 23 °, 5 iki -23 °, 5, kaip parodyta Fig. Atitinkamai kinta ir Mėnulio aukščiai viršutinėje kulminacijoje.

Apskritai Mėnulio matomumo sąlygas vakaro danguje pirmiausiai lemia ekliptikos padėtis horizonto atžvilgiu: pavasarį mėnulis visada būna daug aukščiau nei rudenį (pav.).

Ryžiai. Jauno Mėnulio padėtis vakaro danguje: a) pavasarį, b) rudenį tokiu pat kampiniu atstumu nuo Saulės, 1 - "viršutinio" Mėnulio padėtis, 2 - "apačios" padėtis. "Mėnulis

Tačiau šį efektą žymiai sustiprina palanki Mėnulio orbitos plokštumos orientacija: Mėnulio aukštis viršutinės kulminacijos momentu pavasario vakaro danguje ties φ = 50 ° yra nuo 58 °, 5 iki 68 °, 5, o rudenį yra nuo 11 °, 5 iki 21 °, 5.

Kylančio Mėnulio orbitos mazgo kampinis atstumas nuo pavasario lygiadienio 1900 m. sausio 1 d. buvo lygus 259 °, 18. Naudojant formulę W = 259 °, 18-19 °, 34t, kur t yra laikas metais, nesunku apskaičiuoti šių taškų sutapimo momentus; 1913,4, 1932,0, 1950,6, 1969,2 ir 1987,8. Taigi paskutinis „aukštas mėnulis“ buvo pastebėtas 1969 m. pradžioje. Paprastai, kaip matyti iš pav. netoli šių akimirkų mėnulio deklinacija kas mėnesį keičiasi labai lėtai. Todėl Mėnulis „aukštai“ yra apie trejus metus, šiuo atveju – 1968-1970 m. Šis įvykis vėl pasikartos 1986–1988 m. „Žemas“ Mėnulis buvo stebimas netoli 1904,1, 1922,7, 1941,3, 1959,9, 1978,5, 1997,1 ir kt.

Iš viso to, kas pasakyta, išplaukia, kad pavasarį stebėtojas siaurą pusmėnulį po jaunaties gali pastebėti diena anksčiau nei rudenį. Šis efektas taip pat priklauso nuo stebėtojo geografinių koordinačių. Visų pirma, 32 °, 5 platumos (tai yra Senovės Babilono platuma) laiko intervalas tarp konjunkcijos ir neo-meia svyruoja nuo 16 valandų 30 minučių kovo mėnesį iki 42 valandų rugsėjį. 38 ° platumoje (Atėnų platumos), nuo 23 iki 69 valandų.Patyręs lenkų astronomas, pirmojo matomos Mėnulio pusės žemėlapio sudarytojas Janas Hevelius (1611-1687), stebėjęs Mėnulį Gdanske, niekada matė vėliau nei 27 valandas prieš konjunkciją, ne anksčiau kaip 40 valandų po jo.

Taigi, naudojant tokį, atrodytų, lengvai pastebimą reiškinį kaip mėnulio fazių pasikeitimą kalendoriaus kūrimui, vis dar gana sunku ...

Neabejotinai daugelis patenka į stuporą, kai išgirsta tokias frazes kaip „mėnulio skersmuo yra pusė laipsnio“ arba „ kampinis atstumas tarp dvigubos žvaigždės komponentų yra lygus 5 lanko sekundėms. Kokios sekundės, minutės ir laipsnių gali būti danguje? Pabandykime tai išsiaiškinti, taip pat išmoksime savo rankomis išmatuoti atstumą tarp dangaus objektų.

Visi žino, kad dangus paprastai gali būti pavaizduotas kaip sfera, ant kurios projektuojami erdvės objektų vaizdai. Ir stebėtojas visada yra jo centre. Šiuo atžvilgiu gana pagrįsta matavimus danguje išreikšti laipsniais. Taigi, jei danguje turime du taškus, atstumas tarp jų bus kampas, sudarytas tiesių linijų, nubrėžtų iš šių taškų į stebėtojo akį. Sunku? Tada patikrinkite paveikslėlį.

Viskas iš karto tapo aišku, ar ne? tarp dviejų vaizde esančių objektų yra kampas α.

Iš viso 360 laipsnių apskritime ir 180 laipsnių jo pusėje. Taigi, tarp dviejų priešingų taškų horizonte 180 °. tarp horizonto ir zenito taško – 90°.

Straipsnio pradžioje esančiame paveikslėlyje pavaizduoti atstumai tarp kai kurių žvaigždžių žvaigždynuose. Didelis ir Mažoji Ursa... Jais galima „kalibruoti“ pirštus dangaus matavimams. Vidutiniai rezultatai yra maždaug tokie:

Kaip tai veikia? Tiesiog iki galo ištieskite ranką ir išmatuokite pirštus taip, kaip parodyta kampinis atstumas tarp dominančių objektų.

Laipsniai dangaus kūnams yra gana didelė reikšmė. Kalbant apie jų dydį ir atstumą tarp jų, dažnai naudojamos lanko minutės (′) ir sekundės (″). Čia viskas be galo paprasta: viename laipsnyje yra 60 minučių, o per minutę... atspėk, kiek sekundžių? Antroji lanko reikšmė yra labai maža. Kažkas panašaus į tai kampinis skersmuo turi penkių rublių monetą iš 4 kilometrų atstumo. Plika akimi, kad ir koks jis bebūtų, jos niekada nepamatys.