Pamokos tikslai:
Didaktika:
- 1 lygis - išmokyti spręsti paprasčiausias logaritmines nelygybes naudojant logaritmo apibrėžimą, logaritmų savybes;
- 2 lygis - išspręskite logaritmines nelygybes, savarankiškai pasirinkdami sprendimo būdą;
- 3 lygis – mokėti pritaikyti žinias ir įgūdžius nestandartinėse situacijose.
Kuriama: lavinti atmintį, dėmesį, loginį mąstymą, lyginimo įgūdžius, gebėti apibendrinti ir daryti išvadas
Švietimas: ugdyti tikslumą, atsakomybę už atliekamą užduotį, savitarpio pagalbą.
Mokymo metodai: žodinis , vaizdingas , praktiška , dalinė paieška , savivalda , kontrolė.
Mokinių pažintinės veiklos organizavimo formos: priekinis , individualus , dirbti porose.
Įranga: bandomųjų elementų rinkinys, fono užrašai, tušti sprendinių lapai.
Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.
Per užsiėmimus
1. Organizacinis momentas. Skelbiama pamokos tema ir tikslai, pamokos schema: kiekvienam mokiniui išduodamas vertinimo lapas, kurį mokinys užpildo pamokos metu; kiekvienai mokinių porai - spausdinta medžiaga su užduotimis, užduotys turi būti atliekamos poromis; Tušti lakštai sprendimams; pagalbiniai lapai: logaritmo apibrėžimas; logaritminės funkcijos grafikas, jos savybės; logaritmų savybės; logaritminių nelygybių sprendimo algoritmas.
Visi sprendimai po įsivertinimo pateikiami mokytojui.
Mokinio pažymių lapas
2. Žinių atnaujinimas.
Mokytojo nurodymai. Prisiminkite logaritmo apibrėžimą, logaritminės funkcijos grafiką ir jos savybes. Norėdami tai padaryti, perskaitykite tekstą vadovėlio „Algebra ir analizės pradžia 10–11“ 88–90, 98–101 puslapiuose, kuriuos redagavo Sh.A Alimov, Yu.M. Kolyagin ir kt.
Mokiniams išduodami lapai, ant kurių užrašoma: logaritmo apibrėžimas; rodo logaritminės funkcijos grafiką, jos savybes; logaritmų savybės; logaritminių nelygybių sprendimo algoritmas, logaritminės nelygybės, redukuojančios į kvadratą, sprendimo pavyzdys.
3. Naujos medžiagos mokymasis.
Logaritminių nelygybių sprendimas grindžiamas logaritminės funkcijos monotoniškumu.
Logaritminių nelygybių sprendimo algoritmas:
A) Raskite nelygybės sritį (sublogaritminė išraiška didesnė už nulį).
B) Pateikite (jei įmanoma) kairę ir dešinę nelygybės puses logaritmų pavidalu tame pačiame pagrinde.
C) Nustatykite, ar logaritminė funkcija didėja, ar mažėja: jei t> 1, tai ji didėja; jei 0
D) Eikite į paprastesnę nelygybę (sublogaritmines išraiškas), atsižvelgiant į tai, kad nelygybės ženklas išliks, jei funkcija padidės, ir keisis, jei ji mažės.
1 mokymosi elementas.
Tikslas: nustatyti paprasčiausių logaritminių nelygybių sprendinį
Mokinių pažintinės veiklos organizavimo forma: individualus darbas.
Savarankiško darbo užduotys 10 min. Kiekvienai nelygybei yra keli atsakymo variantai, reikia pasirinkti tinkamą ir patikrinti pagal raktą.
RAKTAS: 13321, maksimalus taškų skaičius - 6 tšk.
2 mokymosi elementas.
Tikslas: fiksuoti logaritminių nelygybių sprendimą, taikant logaritmų savybes.
Mokytojo nurodymai. Prisiminkite pagrindines logaritmų savybes. Norėdami tai padaryti, perskaitykite vadovėlio tekstą 92, 103-104 puslapiuose.
Savarankiško darbo užduotys 10 min.
RAKTAS: 2113, maksimalus taškų skaičius - 8 tšk.
3 mokymosi elementas.
Tikslas: ištirti logaritminių nelygybių sprendimą redukciniu į kvadratą metodu.
Mokytojo nurodymai: nelygybės mažinimo į kvadratą būdas yra toks, kad nelygybę reikia transformuoti į tokią formą, kad tam tikra logaritminė funkcija būtų paskirta nauju kintamuoju ir taip gautų kvadratinę nelygybę šio kintamojo atžvilgiu.
Taikykime tarpų metodą.
Jūs įveikėte pirmąjį medžiagos įsisavinimo lygį. Dabar turėsite savarankiškai pasirinkti logaritminių lygčių sprendimo metodą, naudodami visas savo žinias ir galimybes.
4 mokymosi elementas.
Tikslas: įtvirtinti logaritminių nelygybių sprendimą, savarankiškai pasirenkant racionalų sprendimą.
Savarankiško darbo užduotys 10 min
5 mokymosi elementas.
Mokytojo nurodymai. Šauniai padirbėta! Jūs įvaldote antrojo sudėtingumo lygčių sprendimą. Jūsų tolesnio darbo tikslas – pritaikyti savo žinias ir įgūdžius sudėtingesnėse ir nestandartinėse situacijose.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Mokytojo nurodymai. Puiku, jei susidorojote su visa užduotimi. Šauniai padirbėta!
Visos pamokos įvertinimas priklauso nuo taškų, surinktų už visus ugdymo elementus:
- jei N ≥ 20, tada gausite pažymį „5“,
- esant 16 ≤ N ≤ 19 – įvertinimas „4“,
- esant 8 ≤ N ≤ 15 – „3“ klasė,
- pas N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Vertinimo lapes perduokite mokytojui.
5. Namų darbas: jei surinkote ne daugiau 15 p - užbaikite darbą dėl klaidų (sprendimus galite paimti iš mokytojo), jei surinkote daugiau nei 15 p - atlikite kūrybinę užduotį tema „Logaritminės nelygybės“.
Jie yra logaritmų viduje.
Pavyzdžiai:
\ (\ log_3x≥ \ log_39 \)
\ (\ log_3 ((x ^ 2-3))< \log_3{(2x)}\)
\ (\ log_ (x + 1) ((x ^ 2 + 3x-7))> 2 \)
\ (\ lg ^ 2 ((x + 1)) + 10≤11 \ lg ((x + 1)) \)
Kaip išspręsti logaritmines nelygybes:
Bet kokia logaritminė nelygybė turėtų būti sumažinta iki formos \ (\ log_a (f (x)) ˅ \ log_a (g (x)) \) (simbolis \ (˅ \) reiškia bet kurį iš). Ši forma leidžia atsikratyti logaritmų ir jų bazių, pereinant prie logaritmų išraiškų nelygybės, tai yra, į formą \ (f (x) ˅ g (x) \).
Tačiau atliekant šį perėjimą yra vienas labai svarbus subtilumas:
\ (- \) jei yra skaičius ir jis yra didesnis nei 1, nelygybės ženklas perėjimo metu išlieka toks pat,
\ (- \) jei bazė yra skaičius didesnis už 0, bet mažesnis už 1 (yra tarp nulio ir vieneto), tai nelygybės ženklas turi būti apverstas, t.y.
|
\ (\ log_2 ((8-x))<1\) Sprendimas: |
\ (\ log \) \ (_ (0,5) \) \ ((2x-4) \) ≥ \ (\ log \) \ (_ (0,5) \) \ (((x + 1))\) Sprendimas: |
Labai svarbus! Esant bet kokiai nelygybei, perėjimas iš formos \ (\ log_a (f (x)) ˅ \ log_a (g (x)) \) prie reiškinių palyginimo pagal logaritmus gali būti atliktas tik tada, jei:
Pavyzdys ... Išspręskite nelygybę: \ (\ log \) \ (≤-1 \)
Sprendimas:
|
\ (\ žurnalas \) \ (_ (\ frac (1) (3)) (\ frac (3x-2) (2x-3)) \)\(≤-1\) |
Išrašykime ODZ. |
|
ODZ: \ (\ frac (3x-2) (2x-3) \) \ (> 0 \) |
|
|
\ ( \ Frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \)\(≥\) \(0\) |
Atsidarome skliausteliuose, duodame. |
|
\ ( \ Frac (-3x + 7) (2x-3) \) \ (≥ \) \ (0 \) |
Nelygybę padauginame iš \ (- 1 \), nepamiršdami apversti palyginimo ženklo. |
|
\ ( \ Frac (3x-7) (2x-3) \) \ (≤ \) \ (0 \) |
|
|
\ ( \ frac (3 (x- \ frac (7) (3)) (2 (x- \ frac (3) (2))) \)\(≤\) \(0\) |
Sukurkime skaičių ašį ir pažymėkime joje taškus \ (\ frac (7) (3) \) ir \ (\ frac (3) (2) \. Atkreipkite dėmesį, kad taškas iš vardiklio yra pradurtas, nepaisant to, kad nelygybė nėra griežta. Esmė ta, kad šis taškas nebus sprendimas, nes pakeitus jį nelygybe, mes dalysime iš nulio. |
|
|
Dabar toje pačioje skaitinėje ašyje nubraižome ODZ ir atsakydami įrašome intervalą, kuris patenka į ODZ. |
|
|
Užrašome galutinį atsakymą. |
Pavyzdys ... Išspręskite nelygybę: \ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \)
Sprendimas:
|
\ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) |
Išrašykime ODZ. |
|
ODZ: \ (x> 0 \) |
Pereikime prie sprendimo. |
|
Sprendimas: \ (\ log ^ 2_3x- \ log_3x-2> 0 \) |
Prieš mus yra tipiška kvadrato logaritminė nelygybė. Mes tai darome. |
|
\ (t = \ log_3x \) |
Išplėskite kairę nelygybės pusę į. |
|
\ (D = 1 + 8 = 9 \) |
|
|
Dabar reikia grįžti prie pradinio kintamojo - x. Norėdami tai padaryti, eikite į tą, kuris turi tą patį sprendimą, ir pakeiskite atvirkščiai. |
|
|
\ (\ paliko [\ pradėti (surinkta) t> 2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \ log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Konvertuoti \ (2 = \ log_39 \), \ (- 1 = \ log_3 \ frac (1) (3) \). |
|
\ (\ left [\ start (surinkta) \ log_3x> \ log_39 \\ \ log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Mes pereiname prie argumentų palyginimo. Logaritmų pagrindai yra didesni už \ (1 \), todėl nelygybių ženklas nekinta. |
|
\ (\ liko [\ pradėti (surinkta) x> 9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Sujungkime nelygybės sprendimą ir DHS į vieną paveikslą. |
|
|
Užsirašykime atsakymą. |
NAUDOJIMO LOGARITMINĖS NELYGYBĖS
Sečinas Michailas Aleksandrovičius
Mažoji Kazachstano Respublikos studentų jaunimo mokslų akademija „Ieškotojas“
MBOU "Sovetskaya vidurinė mokykla Nr. 1", 11 klasė, miestas. Sovetsky Sovetsky rajonas
Gunko Liudmila Dmitrievna, MBOU „Soviet school №1“ mokytoja
sovietinis rajonas
Darbo tikslas: logaritminių nelygybių C3 sprendimo mechanizmo tyrimas nestandartiniais metodais, atskleidžiant įdomius logaritmo faktus.
Studijų dalykas:
3) Išmokti spręsti specifines logaritmines nelygybes C3 nestandartiniais metodais.
Rezultatai:
Turinys
Įvadas ………………………………………………………………………… .4
1 skyrius. Pagrindiniai faktai ………………………………………………… 5
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys …………………………… 7
2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas …………… 7
2.2. Racionalizavimo metodas …………………………………………………… 15
2.3. Nestandartinis pakeitimas ……………… ................................................ ........ 22
2.4. Spąstų misijos …………………………………………………… 27
Išvada …………………………………………………………………… 30
Literatūra……………………………………………………………………. 31
Įvadas
Esu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kur matematika yra specializuotas dalykas. Todėl daug dirbu su C dalies uždaviniais. C3 užduotyje reikia išspręsti nestandartinę nelygybę arba nelygybių sistemą, dažniausiai siejamą su logaritmais. Ruošdamasis egzaminui susidūriau su C3 siūlomų egzamino logaritminių nelygybių sprendimo metodų ir technikų trūkumo problema. Metodai, kurie nagrinėjami mokyklos programoje šia tema, nesuteikia pagrindo spręsti užduotis C3. Matematikos mokytoja pakvietė mane jai vadovaujant pačiam dirbti su C3 užduotimis. Be to, mane domino klausimas: ar mūsų gyvenime pasitaiko logaritmų?
Atsižvelgiant į tai, buvo pasirinkta tema:
„Logaritminės nelygybės egzamine“
Darbo tikslas: C3 uždavinių sprendimo mechanizmo tyrimas nestandartiniais metodais, atskleidžiant įdomius logaritmo faktus.
Studijų dalykas:
1) Raskite reikiamą informaciją apie nestandartinius logaritminių nelygybių sprendimo būdus.
2) Raskite daugiau informacijos apie logaritmus.
3) Išmokti spręsti konkrečias C3 problemas nestandartiniais metodais.
Rezultatai:
Praktinė reikšmė yra C3 uždavinių sprendimo aparato išplėtimas. Šią medžiagą galima naudoti kai kuriose pamokose, būreliuose, užklasinėje matematikos veikloje.
Projekto produktas bus kolekcija „Logaritminės C3 nelygybės su sprendimais“.
1 skyrius. Fonas
XVI amžiuje apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai didėjo, visų pirma astronomijoje. Instrumentų tobulinimas, planetų judėjimo tyrimas ir kiti darbai pareikalavo kolosalinių, kartais daugelio metų, skaičiavimų. Astronomijai iškilo realus pavojus paskęsti neįgyvendintuose skaičiavimuose. Sunkumų kilo ir kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle, prireikė sudėtinių palūkanų lentelės įvairioms palūkanų vertėms. Pagrindinis sunkumas buvo daugiaženklių skaičių, ypač trigonometrinių dydžių, dauginimas, dalijimas.
Logaritmų atradimas buvo pagrįstas gerai žinomomis progresijų savybėmis iki XVI amžiaus pabaigos. Archimedas kalbėjo apie ryšį tarp geometrinės progresijos q, q2, q3, ... narių ir jų eksponentų 1, 2, 3, ... aritmetinės progresijos. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamus ir trupmeninius rodiklius. Daugelis autorių atkreipė dėmesį į tai, kad daugyba, dalyba, didinimas iki laipsnio ir šaknies ištraukimas eksponentiškai atitinka aritmetiką – ta pačia tvarka – sudėtį, atimtį, daugybą ir padalijimą.
Tai buvo logaritmo kaip eksponento idėja.
Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.
1 etapas
Logaritmus ne vėliau kaip 1594 m. savarankiškai išrado škotų baronas Napier (1550–1617), o po dešimties metų – šveicarų mechanikas Burghi (1552–1632). Abu norėjo duoti naują patogią aritmetinio skaičiavimo priemonę, nors šią problemą sprendė skirtingai. Neperis kinematikai išreiškė logaritminę funkciją ir taip pateko į naują funkcijų teorijos sritį. Burghi toliau rėmėsi atskirų progresų svarstymu. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas neprimena šiuolaikinio. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napier. Jis kilo iš graikiškų žodžių junginio: logos – „ryšys“ ir ariqmo – „skaičius“, o tai reiškė „santykių skaičius“. Iš pradžių Napier vartojo kitą terminą: numeri mākslīgi – „dirbtiniai skaičiai“, o ne numeri naturalts – „natūralūs skaičiai“.
1615 m., pokalbyje su Henry Briggsu (1561–1631), Grescho koledžo Londone matematikos profesoriumi, Napier pasiūlė vieneto logaritmui paimti nulį, o dešimties logaritmą – 100, arba, kuris sutampa su tas pats, tiesiog 1. Taip atsirado dešimtainiai logaritmai ir buvo išspausdintos pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau olandų knygnešys ir matematikas Andrianas Flakas (1600-1667) papildė Briggso lenteles. Napier ir Briggs, nors prie logaritmų priėjo anksčiau nei bet kas kitas, savo lenteles paskelbė vėliau nei kiti – 1620 m. Rąstą ir Rąsto ženklus 1624 m. pristatė I. Kepleris. Terminą „natūralus logaritmas“ 1659 metais įvedė Mengoli, 1668 metais – N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Speidelis paskelbė skaičių nuo 1 iki 1000 natūraliųjų logaritmų lenteles pavadinimu „Nauji logaritmai“.
Rusų kalba pirmosios logaritminės lentelės buvo išleistos 1703 m. Tačiau visose logaritminėse lentelėse skaičiuojant buvo padaryta klaidų. Pirmosios be klaidų lentelės buvo paskelbtos 1857 metais Berlyne, jas apdorojo vokiečių matematikas K. Bremikeris (1804-1877).
2 etapas
Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu analitinės geometrijos ir begalinio mažumo skaičiavimo taikymu. Ryšio tarp lygiakraštės hiperbolės kvadratūros ir natūralaus logaritmo nustatymas datuojamas tuo metu. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugelio matematikų vardais.
Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolaus Mercator kompozicijoje
„Logaritmologija“ (1668) pateikia seriją, kurioje pateikiamas ln (x + 1) išplėtimas
x laipsniai:
Ši išraiška tiksliai atitinka jo minties kryptį, nors jis, žinoma, vartojo ne ženklus d, ..., o gremėzdiškesnius simbolius. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: jie pradėti nustatyti naudojant begalines eilutes. F. Kleinas paskaitose „Elementarioji matematika iš aukščiausio taško“, skaitytose 1907–1908 m., pasiūlė formulę naudoti kaip logaritmų teorijos atspirties tašką.
3 etapas
Logaritminės funkcijos kaip atvirkštinės funkcijos apibrėžimas
eksponentinis, logaritmas kaip duotosios bazės laipsnio rodiklis
nebuvo iš karto suformuluotas. Raštas Leonardas Euleris (1707-1783)
Begalinio mažumo analizės įvadas (1748 m.) buvo papildomas
logaritminės funkcijos teorijos plėtra. Taigi,
Praėjo 134 metai nuo tada, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai
(skaičiuojama nuo 1614 m.), kol matematikai priėjo prie apibrėžimo
logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys
2.1. Ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas.
Lygiaverčiai perėjimai
jei a> 1
jei 0 <
а <
1
Apibendrintas intervalo metodas
Šis metodas yra universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybes. Sprendimo schema atrodo taip:
1. Sumažinkite nelygybę iki formos, kai funkcija yra kairėje 
, o dešinėje 0.
2. Raskite funkcijos sritį .
3. Raskite funkcijos nulius , tai yra, išspręsti lygtį 
(ir išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).
4. Skaičių eilutėje nubrėžkite funkcijos domeną ir nulius.
5. Nustatykite funkcijos požymius gautais intervalais.
6. Pasirinkite intervalus, kuriuose funkcija įgauna reikiamas reikšmes, ir užrašykite atsakymą.
1 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime tarpų metodą
kur
Šioms reikšmėms visos išraiškos po logaritmų ženklu yra teigiamos.
Atsakymas:
2 pavyzdys.
Sprendimas:
1-oji būdu . ODZ apibrėžiamas nelygybe x> 3. Paimant logaritmą tokiems x 10 bazę, gauname
Paskutinę nelygybę būtų galima išspręsti taikant išskaidymo taisykles, t.y. veiksnius lyginant su nuliu. Tačiau šiuo atveju nesunku nustatyti funkcijos pastovumo intervalus
todėl galima taikyti tarpų metodą.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra ištisinis ties x> 3 ir išnyksta taškuose x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Taigi apibrėžiame funkcijos pastovumo intervalus f(x):
Atsakymas:
2-as būdas . Intervalų metodo idėjas pritaikykime tiesiogiai pradinei nelygybei.
Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad išraiškos a b - a c ir ( a - 1)(b- 1) turėti vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė už x> 3 yra lygiavertis nelygybei
arba
Paskutinė nelygybė išsprendžiama intervalų metodu
Atsakymas:
3 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime tarpų metodą
Atsakymas:
4 pavyzdys.
Sprendimas:
Nuo 2 x 2 - 3x+ 3> 0 tikrai x, tada
Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą
Pirmoje nelygybėje atliekame pakeitimą
tada gauname nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y kurios tenkina nelygybę -0.5< y < 1.
Kur, nuo
gauname nelygybę
kuri atliekama su tais x kuriems 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Dabar, atsižvelgdami į sistemos antrosios nelygybės sprendimą, pagaliau gauname
Atsakymas:
5 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra lygi sistemų rinkiniui
arba
Taikykime intervalų metodą arba
Atsakymas:
6 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra lygiavertė sistemai
Leisti būti
tada y > 0,
ir pirmoji nelygybė
sistema įgauna formą
arba plečiant
kvadratinis trinaris pagal veiksnius,
Taikant intervalų metodą paskutinei nelygybei,
matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y> 0 bus viskas y > 4.
Taigi pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai:
Taigi, nelygybės sprendimai yra visi
2.2. Racionalizavimo metodas.
Anksčiau nelygybės racionalizavimo metodas nebuvo sprendžiamas, nebuvo žinomas. Tai „naujas modernus efektyvus eksponentinių ir logaritminių nelygybių sprendimo metodas“ (citata iš S. I. Kolesnikovos knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, kilo nuogąstavimas – ar egzaminuotojas jį pažįsta, o kodėl jo neduoda mokykloje? Būdavo situacijų, kai mokytoja mokiniui sakydavo: „Kur gavai? Sėskis – 2“.
Dabar šis metodas yra plačiai reklamuojamas. O ekspertams yra su šiuo metodu susijusios gairės, o „Išsamiausiuose standartinių parinkčių leidimuose...“ sprendime C3 šis metodas naudojamas.
NUOSTABUS METODAS!
"Stebuklingas stalas"
Kituose šaltiniuose
jeigu a> 1 ir b> 1, tada log a b> 0 ir (a -1) (b -1)> 0;
jeigu a> 1 ir 0 jei 0<a<1 и b
>1, tada įrašykite a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jei 0<a<1 и 00 ir (a -1) (b -1)> 0. Aukščiau pateiktas samprotavimas yra paprastas, tačiau jis pastebimai supaprastina logaritminių nelygybių sprendimą. 4 pavyzdys.
log x (x 2–3)<0
Sprendimas:
5 pavyzdys.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Sprendimas: 6 pavyzdys.
Norėdami išspręsti šią nelygybę, vietoj vardiklio rašysime (x-1-1) (x-1), o vietoj skaitiklio – sandaugą (x-1) (x-3-9 + x). ). 7 pavyzdys.
8 pavyzdys.
2.3. Nestandartinis pakeitimas. 1 pavyzdys.
2 pavyzdys.
3 pavyzdys.
4 pavyzdys.
5 pavyzdys.
6 pavyzdys.
7 pavyzdys.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Padarykime pakeitimą y = 3 x -1; tada ši nelygybė įgauna formą Log 4 log 0,25 Nes log 0,25 Atliekame pakeitimą t = log 4 y ir gauname nelygybę t 2 -2t + ≥0, kurios sprendimas yra intervalai - Taigi, norėdami rasti y reikšmes, turime dviejų paprasčiausių nelygybių rinkinį Todėl pradinė nelygybė yra lygi dviejų eksponentinių nelygybių rinkiniui, Šios aibės pirmosios nelygybės sprendimas yra intervalas 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra lygiavertė sistemai Antrosios nelygybės, kuri lemia DHS, sprendimas bus tų rinkinys x,
kuriam x > 0.
Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, atliekame pakeitimą Tada gauname nelygybę arba Metodu randama paskutinės nelygybės sprendinių aibė intervalai: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, mes gauname arba Daugelis tų x kurios tenkina paskutinę nelygybę priklauso ODZ ( x> 0), todėl yra sistemos sprendimas taigi ir pirminė nelygybė. Atsakymas: 2.4. Užduotys su spąstais. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Visos ODZ nelygybės x atitinka sąlygą 0 2 pavyzdys.
rąstas 2 (2 x + 1-x 2)> rąstas 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Atsakymas... (0; 0,5) U.
Atsakymas :
(3;6)
.
= -log 4 = - (log 4 y -log 4 16) = 2-log 4 y, tada paskutinę nelygybę perrašykite į 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Šios aibės sprendimas yra intervalai 0<у≤2 и 8≤у<+.
tai yra agregatai 
... Taigi pradinė nelygybė galioja visoms x reikšmėms iš intervalų 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Todėl visi x iš intervalo 0
Išvada
Iš daugybės įvairių mokymo šaltinių nebuvo lengva rasti specialių metodų C3 uždaviniams spręsti. Atliekant darbą galėjau išstudijuoti nestandartinius kompleksinių logaritminių nelygybių sprendimo metodus. Tai: ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas, racionalizacijos metodas , nestandartinis pakeitimas , užduotys su spąstais ODZ. Šių metodų nėra mokyklos mokymo programoje.
Naudodamas skirtingus metodus išsprendžiau 27 egzamino C dalyje pasiūlytas nelygybes, būtent C3. Šios nelygybės su sprendiniais metodais sudarė pagrindą rinkiniui „Logaritminės C3 nelygybės su sprendiniais“, kuris tapo mano darbo projektiniu produktu. Hipotezė, kurią iškėliau projekto pradžioje, pasitvirtino: žinant šiuos metodus galima efektyviai išspręsti C3 užduotis.
Be to, radau įdomių faktų apie logaritmus. Man buvo įdomu tai padaryti. Mano dizaino gaminiai bus naudingi tiek mokiniams, tiek mokytojams.
Išvados:
Taigi užsibrėžtas projekto tikslas pasiektas, problema išspręsta. O projektinėje veikloje įgijau pilniausią ir įvairiapusiškiausią patirtį visuose darbo etapuose. Vykdant projektą, pagrindinis mano lavinimo poveikis buvo protinė kompetencija, veikla, susijusi su loginėmis protinėmis operacijomis, kūrybinės kompetencijos ugdymas, asmeninė iniciatyva, atsakingumas, atkaklumas, aktyvumas.
Sėkmės garantas kuriant tyrimo projektą Tapau: reikšminga mokyklinė patirtis, gebėjimas išgauti informaciją iš įvairių šaltinių, patikrinti jos patikimumą, reitinguoti pagal svarbą.
Be tiesioginių dalykinių matematikos žinių, praplėtė praktinius įgūdžius informatikos srityje, įgijo naujų žinių ir patirties psichologijos srityje, užmezgė ryšius su bendramoksliais, išmoko bendradarbiauti su suaugusiaisiais. Vykdant projekto veiklas buvo ugdomi organizaciniai, intelektualiniai ir komunikaciniai bendrieji ugdymosi įgūdžiai ir gebėjimai.
Literatūra
1. Korjanovas A. G., Prokofjevas A. A. Nelygybių su vienu kintamuoju sistemos (tipinės užduotys C3).
2. Malkova A. G. Pasiruošimas matematikos egzaminui.
3. Samarova SS Logaritminių nelygybių sprendimas.
4. Matematika. Mokomųjų darbų rinkinys redagavo A.L. Semjonova ir I.V. Jaščenka. -M .: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Tarp visų logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai sakoma mokykloje:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0
Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi.
Taigi atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau numetus logaritmus gali atsirasti nereikalingų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti priimtinų verčių diapazoną. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žiūrėkite „Kas yra logaritmas“.
Viskas, kas susiję su leistinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai:
f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.
Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti vykdomos vienu metu. Kai randamas priimtinų verčių diapazonas, belieka jį kirsti su racionalios nelygybės sprendimu - ir atsakymas paruoštas.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Pirmiausia užrašykite logaritmo ODZ:
Pirmosios dvi nelygybės išsipildo automatiškai, o paskutinę reikės aprašyti. Kadangi skaičiaus kvadratas yra nulis tada ir tik tada, kai pats skaičius yra nulis, turime:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:
Atliekame perėjimą nuo logaritminės nelygybės prie racionaliosios. Pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau“, o tai reiškia, kad gaunama nelygybė taip pat turi būti su „mažiau“ ženklu. Mes turime:
(10 – (x 2 + 1)) (x 2 + 1 – 1)< 0;
(9 – 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.
Šios išraiškos nuliai: x = 3; x = –3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, o tai reiškia, kad einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Mes turime:
Gauname x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.
Logaritminių nelygybių transformavimas
Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Jį lengva pataisyti pagal standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:
- Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su duota baze;
- Logaritmų su vienodomis bazėmis sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.
Taip pat norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, kiekvienam iš jų reikia rasti ODV. Taigi bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia:
- Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo ODV;
- Sumažinti nelygybę iki standartinės pagal logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
- Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (ODZ):
Sprendžiame intervalų metodu. Raskite skaitiklio nulius:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Tada - vardiklio nuliai:
x - 1 = 0;
x = 1.
Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:
Gauname x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Antrasis ODV logaritmas bus toks pat. Jei netikite, galite patikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazėje būtų du:
Kaip matote, trynukai ties pagrindu ir prieš logaritmą susitraukė. Gauti du logaritmai su ta pačia baze. Pridedame juos:
2 žurnalas (x - 1) 2< 2;
2 žurnalas (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Gauta standartinė logaritminė nelygybė. Atsikratome logaritmų pagal formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra mažesnis už ženklą, gauta racionali išraiška taip pat turi būti mažesnė už nulį. Mes turime:
(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Gavome du komplektus:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
- Kandidatas į atsakymą: x ∈ (−1; 3).
Belieka kirsti šiuos rinkinius – gauname tikrą atsakymą:
Mus domina aibių sankirta, todėl pasirinkite intervalus, užpildytus ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) – visi taškai pradurti.
Spręsdami logaritmines nelygybes, naudojame logaritminės funkcijos monotoniškumo savybę. Taip pat naudojame logaritmo apibrėžimą ir pagrindines logaritmines formules.
Pakartokime, kas yra logaritmai:
Logaritmas teigiamas bazinis skaičius yra rodiklis, kiek jums reikia padidinti, kad gautumėte.
Kuriame
Pagrindinė logaritminė tapatybė:
Pagrindinės logaritmų formulės:
(produkto logaritmas lygus logaritmų sumai)
(dalinio logaritmas yra lygus logaritmų skirtumui)
(galios logaritmo formulė)
Perėjimo prie naujos bazės formulė:
Logaritminių nelygybių sprendimo algoritmas
Galima sakyti, kad logaritminės nelygybės sprendžiamos pagal tam tikrą algoritmą. Turime užrašyti priimtinų nelygybės verčių (ADV) diapazoną. Sumažinkite nelygybę iki formos Ženklas čia gali būti bet koks: Svarbu, kad kairėje ir dešinėje nelygybėje būtų logaritmai toje pačioje bazėje.
O po to logaritmus „išmetame“! Be to, jei pagrindas yra laipsnis, nelygybės ženklas išlieka toks pat. Jei pagrindas yra toks, kad nelygybės ženklas yra atvirkštinis.
Žinoma, mes ne tik „numetame“ logaritmų. Mes naudojame logaritminės funkcijos monotoniškumo savybę. Jei logaritmo bazė yra didesnė už vienetą, logaritminė funkcija didėja monotoniškai, o tada didesnė x reikšmė atitinka didesnę išraiškos reikšmę.
Jei bazė yra didesnė už nulį ir mažesnė už vienetą, logaritminė funkcija mažėja monotoniškai. Didesnė argumento x reikšmė atitiks mažesnę reikšmę
Svarbi pastaba: geriausia sprendimą rašyti kaip lygiaverčių perėjimų grandinę.
Pereikime prie praktikos. Kaip visada, pradėkime nuo paprasčiausių nelygybių.
1. Apsvarstykite nelygybę log 3 x> log 3 5.
Kadangi logaritmai apibrėžiami tik teigiamiems skaičiams, x turi būti teigiamas. Sąlyga x> 0 vadinama šios nelygybės leistinų verčių diapazonu (ADV). Tik tokiam x nelygybė turi prasmę.
Na, ši formuluotė skamba veržliai ir lengvai įsimenama. Bet kodėl mes vis tiek galime tai padaryti?
Mes esame žmonės, turime intelektą. Mūsų protas sukurtas taip, kad viskas, kas logiška, suprantama, turi vidinę struktūrą, įsimenama ir pritaikoma daug geriau nei atsitiktiniai ir nesusiję faktai. Todėl svarbu ne mechaniškai įsiminti taisykles, kaip dresuotam šuniui matematikui, o veikti sąmoningai.
Taigi kodėl mes vis tiek „nuleidžiame logaritmus“?
Atsakymas paprastas: jei bazė didesnė už vienetą (kaip mūsų atveju), logaritminė funkcija didėja monotoniškai, vadinasi, didesnė x reikšmė atitinka didesnę y reikšmę, o iš nelygybės log 3 x 1> log 3 x 2 reiškia, kad x 1> x 2. 
Atkreipkite dėmesį, kad perėjome prie algebrinės nelygybės, o nelygybės ženklas išlieka toks pat.
Taigi x> 5.
Kita logaritminė nelygybė taip pat paprasta.
2.log 5 (15 + 3x)> log 5 2x
Pradėkime nuo galiojančių verčių diapazono. Logaritmai apibrėžiami tik teigiamiems skaičiams, taigi
Išspręsdami šią sistemą, gauname: x> 0.
Dabar nuo logaritminės nelygybės pereisime prie algebrinės – logaritmus „atmesime“. Kadangi logaritmo bazė yra didesnė už vienetą, nelygybės ženklas išsaugomas.
15 + 3x> 2x.
Gauname: x> −15.
Atsakymas: x> 0.
Kas atsitiks, jei logaritmo bazė yra mažesnė už vieną? Nesunku atspėti, kad šiuo atveju pereinant prie algebrinės nelygybės, pasikeis nelygybės ženklas.
Pateikime pavyzdį.
Užsirašykime ODZ. Išraiškos, iš kurių paimami logaritmai, turi būti teigiamos, t.
Išsprendę šią sistemą, gauname: x> 4.5.
Kadangi logaritminė funkcija su baze mažėja monotoniškai. Tai reiškia, kad didesnė funkcijos reikšmė atitinka mažesnę argumento reikšmę: 
Ir jei, tada
2x - 9 ≤ x.
Gauname x ≤ 9.
Atsižvelgiant į tai, kad x> 4,5, rašome atsakymą:
Kitame uždavinyje eksponentinė nelygybė sumažinama iki kvadratinės. Tad rekomenduojame pakartoti temą „kvadratinės nelygybės“.
Dabar apie sudėtingesnes nelygybes:
4. Išspręskite nelygybę
5. Išspręskite nelygybę
Jei tada. Mums pasisekė! Žinome, kad logaritmo bazė yra didesnė už vieną visoms x reikšmėms, įtrauktoms į ODV.
Padarykime pakaitalą
Atkreipkite dėmesį, kad pirmiausia visiškai išsprendžiame nelygybę naujo kintamojo t atžvilgiu. Ir tik po to grįžtame prie kintamojo x. Prisiminkite tai ir nedarykite klaidų egzamine!
Prisiminkime taisyklę: jei lygtyje ar nelygybėje yra šaknų, trupmenų ar logaritmų, sprendinį reikia pradėti nuo leistinų reikšmių diapazono. Kadangi logaritmo bazė turi būti teigiama, o ne lygi vienetui, gauname sąlygų sistemą:
Supaprastinkime šią sistemą:
Tai yra galiojančių nelygybės verčių diapazonas.
Matome, kad kintamasis yra logaritmo bazėje. Pereikime prie nuolatinės bazės. Prisiminkite tai
Tokiu atveju patogu eiti į 4 bazę.
Padarykime pakaitalą
Supaprastinkime nelygybę ir išspręskime ją intervalų metodu:
Grįžkime prie kintamojo x:
Pridėjome sąlygą x> 0 (iš ODZ).
7. Kitas uždavinys taip pat sprendžiamas naudojant intervalų metodą
Kaip visada, logaritminę nelygybę pradedame spręsti nuo leistinų reikšmių diapazono. Tokiu atveju
Ši sąlyga turi būti įvykdyta, ir mes prie jos grįšime. Dabar apsvarstykite pačią nelygybę. Parašykime kairę pusę kaip logaritmą į 3 bazę:
Dešinę pusę taip pat galima parašyti kaip 3 bazinį logaritmą, o tada pereiti prie algebrinės nelygybės:
Matome, kad sąlyga (ty ODZ) dabar įvykdyta automatiškai. Na, tai leidžia lengviau išspręsti nelygybę.
Nelygybę išsprendžiame intervalo metodu:
Atsakymas:
Įvyko? Na, padidiname sudėtingumo lygį:
8. Išspręskite nelygybę:
Nelygybė yra lygiavertė sistemai:
9. Išspręskite nelygybę:
5 išraiška - x 2 įkyriai kartojamas problemos teiginyje. Tai reiškia, kad galite pakeisti:
Kadangi eksponentinė funkcija įgauna tik teigiamas reikšmes, t> 0. Tada
Nelygybė bus tokia:
Geriau dabar. Raskime leistinų nelygybės verčių diapazoną. Mes tai jau sakėme t> 0. Be to, ( t– 3) (5 9 t − 1) > 0
Jei ši sąlyga įvykdoma, koeficientas taip pat bus teigiamas.
Taip pat išraiška po logaritmu dešinėje nelygybės pusėje turi būti teigiama, tai yra (625 t − 2) 2 .
Tai reiškia, kad 625 t- 2 ≠ 0, tai yra
Atidžiai užrašysime ODZ
ir išspręskite gautą sistemą naudodami intervalų metodą.
Taigi,
Na, pusė mūšio baigta – susidorojome su ODZ. Pačios nelygybės sprendimas. Kairėje pusėje esančių logaritmų suma pavaizduota kaip sandaugos logaritmas.
