Pikërisht njëqind vjet më parë, në një seminar të Shoqërisë Matematikore të Göttingen-it, u prezantua një teoremë që përfundimisht u bë mjeti më i rëndësishëm në fizikën matematikore dhe teorike. Ai lidh çdo simetri të vazhdueshme të një sistemi fizik me një ligj të caktuar ruajtjeje (për shembull, nëse proceset në një sistem të izoluar grimcash janë të pandryshueshme në lidhje me zhvendosjen kohore, atëherë ligji i ruajtjes së energjisë plotësohet në këtë sistem). Emmy Noether e vërtetoi këtë teoremë - dhe ky rezultat, së bashku me veprat më të rëndësishme mbi algjebrën abstrakte që pasuan, meriton shumë njerëz që ta konsiderojnë Noether gruan më të madhe në historinë e matematikës.
Shoqatat historike
Për të filluar, një largim i vogël por udhëzues nga tema kryesore. Në vitet '60 të shekullit të njëzetë, në një takim me studentët e Universitetit Shtetëror të Moskës, matematikani i shquar i Moskës Dmitry Evgenievich Menshov foli për Shkollën e Matematikës në Moskë:
« Në vitin 1914 hyra në Universitetin e Moskës. Nikolai Nikolayevich Luzin ishte atëherë jashtë vendit. Por ai ra dakord me Dmitry Fedorovich Yegorov që ata të organizonin një seminar për studentët. Dhe në 1914 Dmitry Fedorovich organizoi një seminar të tillë. I kushtohej serisë së numrave. Një vit më pas, Nikolai Nikolaevich u kthye në Moskë dhe filloi të drejtonte vetë seminarin. Në vitin 1915 kemi punuar në seri funksionale, dhe në 1916 në seri ortogonale.
Dhe pastaj erdhi viti i nëntëmbëdhjetëqind e shtatëmbëdhjetë. Ishte një vit shumë i paharrueshëm në jetën tonë, atë vit pati një ngjarje të rëndësishme që ndikoi në të gjithë jetën tonë të ardhshme: filluam të angazhoheshim në seri trigonometrike... »
Pra, për Menshov, ngjarja kryesore e vitit 1917 ishte kalimi në studimin e serive trigonometrike! Nuk është çudi që ndonjëherë argumentohet se matematikanët kanë një perceptim disi të veçantë të botës përreth tyre.
Profesorët e fakultetit të famshëm matematikor të Universitetit të Göttingen-it mund ta kishin karakterizuar atë që ndodhi në fund të korrikut 1918 në një mënyrë të ngjashme. Bota rreth tyre po shkërmoqej, edhe pse ata mund të mos e kenë kuptuar ende. Në Frontin Perëndimor, Beteja e Dytë e Marnës përfundoi në mënyrë të palavdishme - ofensiva e fundit e madhe e ushtrive të Kaiser-it, e cila u bë preludi i humbjes së Gjermanisë në Luftën e Madhe. Më 16 korrik, në bodrumin e Shtëpisë Ipatiev, familja mbretërore dhe grupi i tyre i vogël u vra. Në ato ditë fatale, më saktë më 23 korrik, pjesëmarrësit e seminarit të Shoqërisë Matematikore të Göttingen dëgjuan një raport mbi një teoremë që përfundimisht u shndërrua në një mjet jashtëzakonisht efektiv të shkencës themelore. Në vjeshtë, një tekst i zgjeruar dhe i rishikuar i raportit u botua në revistë Nachrichten von der Könighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasike. Ky artikull, i titulluar Invariante Variationsprobleme, ka hyrë në fondin e artë të fizikës matematikore dhe teorike (origjinali në gjermanisht dhe përkthimi në anglisht janë në dispozicion).
Autori i saj atëherë nuk kishte status formal në botën akademike gjermane. Edhe pse 36-vjeçarja Emmy Noether arriti të mbronte disertacionin e doktoraturës dhe botoi 12 vepra origjinale, gjinia e saj bllokoi plotësisht mundësinë e hyrjes në qarqet universitare gjermane. Në veçanti, ajo nuk mundi (dhe as në të ardhmen nuk mund) të bëhej anëtare e Shoqërisë Mbretërore Shkencore të Göttingen, ku matematikani i madh Felix Klein prezantoi punën e saj tre ditë pas raportit (është mjaft e mundur që Emmy Noether të mos ishte edhe të pranishëm në këtë takim). Dhe më vonë, tashmë në të njëzetat, pasi u bë një matematikane me famë botërore, ajo u detyrua të kënaqej në Universitetin e Göttingen me paga jashtëzakonisht të ulëta dhe një pozicion shumë modest. Ndoshta kjo ishte për shkak të origjinës së saj hebreje dhe pikëpamjeve shumë të majta.
Rrugë e gjatë për në majë
Matematikanët e mëdhenj zakonisht tregojnë aftësitë e tyre unike që në moshë të re. Megjithatë, nuk ka rregulla pa përjashtime.
Emmy Noether (Amalie Emmy Noether) lindi më 23 mars 1882 në qytetin provincial bavarez të Erlangen. Që nga viti 1743, ekzistonte një "i lirë" (domethënë jo i lidhur me besimet fetare) Friedrich-Alexander University, një nga tre në atë që ishte Gjermania e atëhershme (dy të tjerët u krijuan më parë në Halle dhe Göttingen). Ata mësuan mirë atje, por profesori i tij nuk mund të mburrej me arritje të veçanta shkencore. Vërtetë, në 1872–75, i riu Felix Klein punoi në Erlangen. Me marrjen e detyrës, ai dha leksionin tashmë të famshëm "Një konsideratë krahasuese e hetimeve të reja gjeometrike", i cili përvijoi një plan për një rinovim rrënjësor të gjeometrisë bazuar në algjebrën abstrakte, duke përfshirë teorinë e grupit. Ky leksion, i cili hyri në historinë e shkencës si Programi Erlangen, doli të ishte një moment historik i rëndësishëm për zhvillimin e matematikës në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të. Sidoqoftë, Klein e ndryshoi Erlangen në Mynih tre vjet më vonë. Pas tij, stafi i Universitetit Friedrich-Alexander përbëhej nga matematikanë, megjithëse të mirë, por jo të rangut të parë. Njëri prej tyre ishte babai i Emmy-t, i cili mbajti postin e profesorit deri në vitin 1919. I angazhuar frytshëm në gjeometrinë algjebrike, në vitet 1870 ai provoi (i vetëm ose në bashkëautor) disa teorema shumë jo të parëndësishme, por më pas iu përkushtua vetëm mësimdhënies. Aty ligjëroi edhe algjebristi i shquar Paul Gordan, i cili përfundimisht luajti një rol të rëndësishëm në fatin e vajzës së kolegut të tij.
Emmy e vogël ishte fëmija më i zakonshëm - një vajzë e ëmbël dhe e zgjuar, por aspak një fëmijë mrekulli. Në moshën shtatë vjeçare hyri në gjimnazin komunal të grave, ku studioi mirë, por jo shkëlqyeshëm. Në prill të vitit 1900, ajo dha provimet shtetërore, duke i dhënë të drejtën e mësimit të anglishtes dhe frëngjishtes në shkollat e vajzave në Mbretërinë e Bavarisë. Sidoqoftë, në vend që të kërkonte një vend si mësuese, ajo hyri në Universitetin e Erlangen si vullnetare, pasi vajzat atëherë nuk pranoheshin në studentë të plotë. Gjatë dimrit 1903–04, ajo kaloi një semestër në Göttingen, ku dëgjoi leksione nga yje të tillë të shkencës gjermane si matematikanët Hermann Minkowski, Felix Klein dhe David Hilbert dhe astrofizikani Karl Schwarzschild. Pas kthimit të saj në Erlangen, në vjeshtën e vitit 1904, ajo mori diplomën e saj universitare në matematikë. Kjo e lejoi atë të vazhdonte shkollimin e saj në Fakultetin Filozofik, ku në dhjetor 1907, nën drejtimin e Gordanit, ajo mbrojti disertacionin e doktoraturës, dhe madje me nderime - summa cum laude. Një vit më pas, disertacioni i saj u shfaq në një shumë prestigjioze "Revista e Matematikës së Pastër dhe të Aplikuar" (Ditari lesh die reine und angewandte Matematik), e njohur më mirë me emrin e themeluesit të saj si Revista Crelle. Ishte botimi i saj i parë shkencor dhe një vëllim shumë solid - 68 faqe (pak më herët, një përmbledhje me tre faqe e kësaj vepre u shfaq në koleksionin e punimeve të Shoqëria Fiziko-Mjekësore e Erlangenit).
Pas mbrojtjes së saj, Emmy qëndroi në Erlangen për shtatë vjet e gjysmë në rolin shumë të paqartë të një punonjësi të papaguar dhe të papunë të Institutit Matematikor të universitetit. Ajo mbikëqyri disa studentë të doktoraturës, ndonjëherë zëvendësoi babanë e saj si pedagog dhe, natyrisht, bëri kërkimin e saj. Në vitin 1909 ajo mori njohjen e saj të parë institucionale duke u bërë anëtare e Shoqërisë Matematikore Gjermane.
Deri rreth vitit 1911, Emmy Noether përgjithësisht nuk u largua nga rrethi i problemeve që ajo trajtoi në përgatitjen e disertacionit të saj. Ato shtriheshin tërësisht në fushën e interesave shkencore të Paul Gordan. Këto probleme kërkonin përllogaritje që kërkonin kohë, por ideologjikisht nuk përfaqësonin ndonjë gjë të veçantë. Shumë vite më vonë, ajo foli për to pa më të voglin nderim dhe madje pranoi se e kishte harruar plotësisht aparatin formal që kishte përdorur dikur. Sidoqoftë, në retrospektivë, është e qartë se përvoja e fituar ndihmoi shumë për të vërtetuar teoremën e saj të madhe.
Vlen të ndalemi në këtë në më shumë detaje. Paul Gordan punoi në invariantet algjebrike nga fundi i viteve 1860, duke u bërë një nga ekspertët kryesorë në këtë fushë të matematikës. Historikisht, këto studime kthehen në punën e titanëve të tillë si Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange dhe, veçanërisht, Carl Friedrich Gauss, i cili erdhi në këto probleme brenda kornizës së teorisë së numrave. Në këtë teori, një rol të rëndësishëm luajnë të ashtuquajturat forma algjebrike - polinome homogjene të çdo shkalle në dy ose më shumë ndryshore. Më e thjeshta prej tyre në shënimin standard duket kështu:
ku x dhe y- variablat e pavarur, a, b dhe Me- koeficientët konstant.
Kjo është një formë kuadratike binare, me fjalë të tjera, një formë e shkallës së dytë në dy variabla. Treshe (domethënë nga tre variabla x, y dhe z) forma kuadratike duket e ngjashme, vetëm më e gjatë:
Për shembull, mund të shkruani edhe formën kubike binare:
Shembuj të mëtejshëm janë ndoshta të tepërt.
Variablat, sado të jenë (d.m.th., cilido qoftë dimensioni i hapësirës së këtyre variablave) mund t'i nënshtrohen një transformimi linear (kalimi në variablat e rinj që do të jenë kombinime lineare të atyre të vjetrave). Gjeometrikisht, një transformim i tillë nënkupton një rrotullim të boshteve të koordinatave me një ndryshim të njëkohshëm në shkallën e gjatësisë përgjatë secilit aks. Kur shkruani një formë në ndryshore të reja, koeficientët e saj, natyrisht, ndryshojnë. Megjithatë, dhe kjo është më e rëndësishmja, disa funksione të këtyre koeficientëve ose ruajnë vlerën e tyre numerike, ose shumëzohen me një faktor të përbashkët, i cili varet vetëm nga transformimi specifik i variablave. Këto funksione quhen invariante algjebrike. Nëse faktori në fjalë është i barabartë me një, invarianti quhet absolut. Është e lehtë të tregohet se invarianti (ndonëse jo absolut) i një forme kuadratike binare është diskriminuesi i saj \(b^2-ac\), i njohur mirë nga algjebra shkollore. Forma kubike binare tashmë ka një numër invariantesh. Edhe më e thjeshta prej tyre, e gjetur në 1844 nga matematikani gjerman Ferdinand Eisenstein, është shumë më e gjatë: \(3b^2c^2 + 6abcd-4b^3d-4ac^3-a^2d^2\).
Është e qartë se lloje të ndryshme të formave algjebrike kanë familje të ndryshme invariantesh, ndonjëherë shumë të shumta. Për shumë vite, Gordan, i cili u quajt mbreti i teorisë invariante, ishte i angazhuar në llogaritjen e tyre për shumë vite. Ishte pikërisht një detyrë e tillë - gjetja e një grupi të plotë invariantesh të një forme bikuadratike treshe - që ai i propozoi studentes së tij të vetme të doktoraturës, Emmy Noether. Ajo e zgjidhi shkëlqyeshëm, duke bërë një listë prej treqind e tridhjetë e një të pandryshueshme! Ndoshta, ajo ishte aq e lodhur nga kjo punë, saqë shumë vite më vonë e përshkroi atë si marrëzi - me kalimin e moshës, ajo u bë shumë e mprehtë në gjuhë.
Në vitin 1910, Gordan dha dorëheqjen. Një vit më vonë, Ernst Fischer, një shkencëtar me interesa shumë më moderne matematikore, mori përsipër karrigen e tij. Komunikimi me Fischer e bëri më të lehtë për Emmy Noether njohjen me shumë ide të reja, veçanërisht me punën në fushën e algjebrës abstrakte dhe teorinë e grupeve të vazhdueshme. Kështu, aspiratat e saj shkencore u afruan me interesat e David Hilbert dhe matematikanëve të tjerë të Goettingen, të cilët u interesuan seriozisht për punën e saj. Dhe kështu ndodhi që në pranverën e vitit 1915, Klein dhe Hilbert e ftuan Noether të transferohej në universitetin e tyre, duke shpresuar t'i siguronin asaj postin e Privatdozent. Megjithatë, asgjë nuk doli prej saj atëherë. Pavarësisht nga një raport i paraqitur nga aplikanti në nëntor 1915, Emmy Noether-it iu mohua miratimi nga Senati i Universitetit "për mospërputhje me rregullat formale". Kjo nënkuptonte dispozitën e miratuar në vitin 1908, sipas së cilës vetëm burrat mund të ishin Privatdozentë. Mbrojtësit e Emmy-t iu drejtuan ministrit të Kulturës, por ai nuk pranoi të ndërhynte. Sipas një legjende popullore, ishte në lidhje me këtë që Hilbert u tha kolegëve të tij se nuk e kuptonte pse gjinia e kandidatit mund të ishte pengesë për të marrë postin e privatdozentit, pasi universiteti nuk është ende një banjë.
Edhe sikur të thoshte kështu (nuk ka asnjë provë dokumentare për këtë), retorika e tij helmuese nuk pati asnjë efekt. Për tre vjet të tjera, Emmy në fakt punoi si asistente e Hilbertit dhe ndonjëherë jepte leksione në vend të tij, por, si në Erlangen, vetëm për të drejtat e zogjve. Vetëm në vitin 1919, tashmë në epokën e Republikës së Weimarit, ajo më në fund u bë Privatdozent, dhe katër vjet më vonë universiteti e nderoi me titullin mjaft të çuditshëm të një profesori të jashtëzakonshëm jozyrtar (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor). Vërtetë, ky titull, ashtu si Privatdozentura, nuk i jepte të drejtën e një rroge të rregullt. Megjithatë, Hilberti dhe një yll tjetër i matematikës në Göttingen, Richard Courant, arritën të merrnin orët e saj të algjebrës në universitet, të cilat paguheshin ende, megjithëse shumë modeste (200-400 marka në muaj), dhe kontrata e saj kërkonte konfirmim vjetor nga Ministria Prusiane. i Shkencës, Arteve dhe iluminizmit. Në këtë cilësi, Emmy Noether punoi në Göttingen deri në vitin 1933. Pasi Hitleri erdhi në pushtet, kur shkencëtarët hebrenj u përjashtuan nga universitetet gjermane, ajo u zhvendos në Shtetet e Bashkuara.
Teorema sipas rendit
Menjëherë pas mbërritjes së Emmy Noether në Göttingen, ndodhën ngjarje që u bënë preludi i veprës së saj të parë të madhe. Në verën e vitit 1915, në gjashtë leksione, Albert Ajnshtajni prezantoi kolegët e tij të Goettingen-it me idetë kryesore të teorisë së tij relativiste të gravitetit (atëherë ende e pa përfunduar, por tashmë afër përfundimit), e njohur më mirë si teoria e përgjithshme e relativitetit. Ndër dëgjuesit ishte Hilberti, i cili u interesua seriozisht për idetë e Ajnshtajnit. Në nëntor, Ajnshtajni shkroi versionin përfundimtar të ekuacioneve GR, për të cilat ai raportoi në katër takime të Akademisë së Shkencave Prusiane (shih Centenary of GR, ose Vjetorin e "Revolucionit të Parë të Nëntorit"). Pak më vonë, Hilberti i rishkroi këto ekuacione në bazë të parimit të veprimit më të vogël, të cilin ai e raportoi në një artikull të botuar në fund të marsit 1916. Ky përfundim është më elegant se përfundimi origjinal i Ajnshtajnit dhe shfaqet me meritë në shumë tekste shkollore, për shembull, në Landau dhe Lifshitz's Field Theory.
Gjatë kësaj pune, Hilberti hasi në një problem shumë serioz. Ai e kuptoi se teoria e re e gravitetit detyron një vështrim të ndryshëm në lopën e shenjtë të fizikës - ligjin e ruajtjes së energjisë. Teoria e gravitetit të Njutonit dhe elektrodinamika Maxwelliane e konsiderojnë energjinë si një sasi fizike të matshme që përcaktohet në çdo pikë të hapësirës dhe në çdo moment në kohë (ose në çdo pikë në hapësirë-kohë, për të përdorur gjuhën e relativitetit special). Në teorinë e Ajnshtajnit, një interpretim i tillë has në vështirësi, të cilat Hilberti i vuri re.
Si fillim, një sqarim. Graviteti Njutonian nuk ka dinamikën e vet, pasi ndryshimet në fushën gravitacionale lindin vetëm si rezultat i lëvizjeve të trupave që e krijojnë atë. Fusha elektromagnetike, përkundrazi, është dinamike në vetvete. Proceset valore që transferojnë energji janë të mundshme në të. Sidoqoftë, rrjedha totale e energjisë e fushës elektromagnetike përmes kufijve të çdo zone të mbyllur të hapësirës është e barabartë me shkallën e ndryshimit të energjisë totale që përmbahet në këtë vëllim. Ky është ligji i ruajtjes së energjisë elektromagnetike në një formë fizike kuptimplote.
Graviteti i Ajnshtajnit është një çështje tjetër. Ndryshe nga Njutoniani, ai është dinamik dhe në të, si në një fushë elektromagnetike, proceset valore janë të mundshme. Sidoqoftë, dinamika e tij është shumë më komplekse. Ekuacionet GR mund të shkruhen në sisteme arbitrare të koordinatave hapësinore-kohë, ndërmjet të cilave janë të mundshme transformime të lëmuara. Për shkak të transformimeve të tilla, është e mundur të anulohet madhësia e fushës gravitacionale në çdo pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare dhe lagjen e saj pafundësisht të vogël. Fizikisht, kjo do të thotë që ju mund të vendosni një vëzhgues imagjinar, i cili nuk do të jetë në gjendje të regjistrojë forcën e gravitetit (ky është parimi i ekuivalencës së Ajnshtajnit). Prandaj rrjedh se në relativitetin e përgjithshëm lokalizimi i paqartë i energjisë është në parim i pamundur. Pyetja se çfarë të bënte me ligjin e ruajtjes së tij e shqetësoi shumë Hilbertin dhe ai i kërkoi Emmy Noether të merrej me të. Ishte ky problem që e çoi Noether në teoremën e saj.
Sigurisht, Hilberti nuk bëri një zgjedhje nga e para. Ai e dinte se sa shkëlqyeshëm e demonstroi Noether dhuntinë e saj matematikore në llogaritjen e invarianteve algjebrike. Një analizë e kushteve në të cilat përmbushen ligjet e ruajtjes së sasive fizike (në veçanti, energjisë) kërkon gjithashtu punë me invariante, por të një lloji tjetër - ato diferenciale (shih: Invariant diferencial). Kështu Hilberti, si dhe Felix Klein, i cili ishte i interesuar për të njëjtin problem, kishin çdo arsye për të mbështetur ndihmën e ish-studentit të tij.
Ajo jo vetëm i përmbushi këto pritshmëri, por i tejkaloi ato. Me shumë mundësi, Emmy Noether filloi detyrën e Hilbertit në vjeshtën e vitit 1915. Në fund, ajo mori rezultate jashtëzakonisht të forta, shtrirja e të cilave doli të ishte shumë më e gjerë se shtrirja e problemit të paraqitur fillimisht nga Hilberti. Siç doli, kjo fushë përfshin jo vetëm relativitetin e përgjithshëm dhe teoritë e tjera të fushës së fizikës klasike, por edhe teoritë e fushave të kuantizuara të zhvilluara në gjysmën e dytë të shekullit të njëzetë. Sigurisht, në vitin 1918 thjesht nuk kishte asnjë arsye për të pritur një sukses të tillë.
Në formën e saj më të përgjithshme, thelbi i teoremës së Noether-it mund të shprehet fjalë për fjalë me pak fjalë. Duke studiuar natyrën në një nivel themelor, shkencëtarët kërkojnë të gjejnë ato karakteristika të sistemeve fizike që mbeten të pandryshuara gjatë proceseve në të cilat përfshihen këto sisteme. Për shembull, planeti ynë lëviz përgjatë orbitës së tij me një shpejtësi të ndryshueshme, por një segment imagjinar që e lidh atë me Diellin mbulon zona të barabarta në periudha të barabarta kohore (ligji i dytë i Keplerit). Ngarkesa totale elektrike e një sistemi makroskopik të izoluar nuk ndryshon, pavarësisht nga transformimet e brendshme që pëson; në të njëjtën mënyrë, ngarkesat e grimcave elementare ndryshojnë në qëndrueshmëri absolute. Nga teorema e Noether-it rezulton se vetë ekzistenca e vetive të tilla të ruajtura lidhet drejtpërdrejt me simetritë e një sasie fizike themelore që përcakton dinamikën e sistemit. Me fjalë të tjera, ligjet e ruajtjes rezultojnë të jenë pasojë e drejtpërdrejtë e pranisë së simetrive të caktuara. Ky përfundim është bërë mjeti më universal për zbulimin e ligjeve të tilla në shumë fusha të fizikës nga mekanika e Njutonit deri te Modeli standard modern i grimcave elementare. Përveç kësaj, mund të quhet një nga njohuritë më të bukura teorike në të gjithë historinë e shkencës.
Sasia e sapo diskutuar quhet veprim. Forma e tij specifike varet nga sistemi, sjellja e të cilit përshkruan. Në formë, është një integral njëdimensional ose shumëdimensional i një funksioni po aq themelor, Lagranzhit. Në proceset reale fizike, veprimi merr një vlerë ekstreme - më së shpeshti, ai arrin një minimum. Kjo deklaratë, e quajtur jo mjaft saktë parimi i veprimit më të vogël, lejon përdorimin e metodave të llogaritjes së variacioneve për të shkruar ekuacione që përshkruajnë dinamikën e sistemit.
Siç është përmendur tashmë, ishte me këtë metodë që Hilberti mori ekuacionet GR në një mënyrë të ndryshme nga ajo e Ajnshtajnit. Sigurisht, ai së pari duhej të përcaktonte se si duket veprimi në këtë rast dhe, në përputhje me rrethanat, Lagrangian, në të cilin ai pati sukses (pothuajse njëkohësisht, derivimi i ekuacioneve GR bazuar në parimin e veprimit më të vogël u krye nga Hendrik Anton Lorentz , dhe në vitin 1916 nga vetë Ajnshtajni). Pa hyrë në detaje, vërej se Hilbert Lagranzhiani (veprimi Ajnshtajn-Hilbert) varet nga përbërësit e tenzorit metrikë, të cilët përcaktojnë deformimin e vazhdimësisë hapësirë-kohë, e cila, sipas GR, manifestohet si një forcë gravitacionale.
Tani kthehemi te Emmy Noether. Artikulli i saj përfshin matematikë shumë të lartë, e cila nuk mund të përshkruhet me fjalë. Gjithçka që mund të bëni është të përshkruani idenë e përgjithshme. Ashtu si Hilberti, ajo punoi me parimin e veprimit më të vogël. Ajo ishte e interesuar për pasojat e operacioneve matematikore që transformojnë objektet matematikore të përfshira në llogaritjen e një veprimi, por e lënë vlerën e tij numerike të pandryshuar - ose, në përgjithësi, nuk e ndryshojnë atë shumë (sigurisht, ekziston një përkufizim i saktë matematikor për këtë "jo shumë"). Kjo do të thotë se operacione të tilla e lënë veprimin të pandryshuar. Pandryshueshmëria në lidhje me një transformim të veçantë, apo edhe një klasë të tërë transformimesh, quhet simetri. Emmy Noether, në punën e saj, i bëri vetes pyetjen se në çfarë pasojash çon prania e simetrive të caktuara në një veprim.
Ajo e zgjidhi këtë problem në një formë shumë të përgjithshme, por me një kufizim domethënës. Transformimet e simetrisë mund të jenë ose të vazhdueshme ose diskrete. Shembuj të parë janë zhvendosjet përgjatë boshteve të koordinatave ose rrotullimet nga kënde arbitrare. Transformimet diskrete, nga ana tjetër, lejojnë vetëm një numër të fundëm ose, më së shumti, një numër të numërueshëm ndryshimesh. Për shembull, një rreth mbetet i pandryshuar gjatë çdo rrotullimi rreth qendrës së tij gjeometrike, dhe një katror - vetëm gjatë rrotullimeve që janë shumëfish të 90 gradë. Në rastin e parë, kemi të bëjmë me simetri të vazhdueshme, në të dytën - me diskrete. Të dyja këto dhe simetritë e tjera përshkruhen duke përdorur teorinë e grupeve, por zbatohen degë të ndryshme të saj. Transformimet diskrete me interes për fizikën përdorin teorinë e grupeve me një numër të kufizuar elementësh. Për të përshkruar simetritë e vazhdueshme, përdoren grupe të pafundme të një lloji të caktuar, të cilat quhen grupe Lie për nder të matematikanit të madh norvegjez Sophus Lie. Emmy Noether eksploroi lidhjen midis ligjeve të ruajtjes dhe simetrive të vazhdueshme, kështu që në punën e saj ajo përdori teorinë e grupeve Lie. Vlen të përmendet se simetritë diskrete gjithashtu mund të çojnë në ligje të caktuara të ruajtjes, por në këtë rast teorema e Noether-it është e domosdoshme.
Nga fillimi i dekadës së dytë të shekullit të kaluar, teoria e grupeve të Gënjeshtrës u zhvillua mirë jo vetëm nga vetë Lie, por edhe nga matematikanë të tjerë, kryesisht gjermani Wilhelm Killing dhe francezi Elie Cartan. Fizikanët e atëhershëm praktikisht nuk ishin të njohur me të, por Emmy Noether kishte kohë dhe dëshirë ta studionte atë përsëri në Ergangen. Tani ajo e ka aplikuar - dhe me shumë sukses.
Emmy Noether konsideroi transformimet e simetrisë në të cilat funksionojnë dy lloje të grupeve Lie. Në një rast, çdo transformim (d.m.th., çdo element i grupit Lie) varet nga një numër i kufizuar (ndoshta edhe i numërueshëm) parametrash numerikë. Elementet e grupeve Lie të llojit të dytë, nga ana tjetër, varen nga një ose një numër tjetër funksionesh arbitrare. Për shembull, rrotullimet planare përcaktohen nga një parametër (këndi i rrotullimit), ndërsa rrotullimet hapësinore përcaktohen me tre (secila prej tyre mund të përfaqësohet si një sekuencë rrotullimesh rreth tre boshteve koordinative). Përkundrazi, relativiteti i përgjithshëm i Ajnshtajnit bazohet në parimin e kovariancës së plotë të ekuacioneve, domethënë mundësinë e shkrimit të tyre në çdo sistem koordinativ katërdimensional (që fizikisht nënkupton aftësinë për të zgjedhur në mënyrë arbitrare një sistem referimi lokal në çdo pikë të hapësirë-kohë). Edhe kjo është një lloj simetrie dhe është pikërisht ajo që Emmy Noether ia atribuoi tipit të dytë.
Si pasojë, teorema e Noether-it ka dy pjesë. Së pari, ajo konsideroi pandryshueshmërinë e veprimit në lidhje me simetritë, të cilat korrespondojnë me transformimet grupore të llojit të parë. Doli se një pandryshueshmëri e tillë lejon që dikush të shkruajë marrëdhënie matematikore që mund të interpretohen si ligje të ruajtjes për sasitë fizike që plotësojnë këto simetri. Dhe për ta thënë thjesht, këto ligje janë pasoja të drejtpërdrejta të simetrive të caktuara.
Ketu jane disa shembuj. Le të marrim një sistem të izoluar (d.m.th., të lirë nga ndikimet e jashtme) të grimcave që i binden mekanikës Njutoniane dhe teorisë Njutoniane të gravitetit (planetet që rrotullohen rreth një ylli të fiksuar me kusht mund të veprojnë si grimca). Për një sistem të tillë, veprimi është i pandryshueshëm sipas ndërrimeve kohore. Nga teorema e Noether-it rezulton se energjia totale (kinetike dhe potenciale) e grimcave nuk varet nga koha, domethënë është e ruajtur. Në mënyrë të ngjashme, pandryshueshmëria nën zhvendosje arbitrare në hapësirë do të thotë ruajtje e momentit total, dhe pandryshueshmëria nën rrotullime nënkupton ruajtjen e momentit.
Sigurisht, këto ligje ishin të njohura më parë, por natyra e tyre mbeti misterioze, nëse dëshironi, misterioze. Teorema e Noether-it e zbuloi këtë mister një herë e përgjithmonë, duke lidhur ligjet e ruajtjes me simetritë e hapësirës dhe kohës.
Situata është e ngjashme për sistemet që përshkruhen nga mekanika relativiste. Këtu nuk ka kohë dhe hapësirë të veçantë, ato janë zëvendësuar nga një vazhdimësi e vetme hapësinore-kohore katër-dimensionale e njohur si hapësira Minkowski. Simetria maksimale e një hapësire-kohe të tillë jepet nga grupi Lie me dhjetë parametra i njohur si grupi Poincaré. Ai ka një nëngrup me katër parametra, i cili korrespondon me zhvendosjet në hapësirën Minkowski. Pandryshueshmëria e veprimit në lidhje me këto zhvendosje çon në ruajtjen e një vektori katërdimensional, një nga komponentët e të cilit korrespondon me energjinë dhe tre me momentin. Kjo nënkupton që në çdo kornizë inerciale të referencës ruhen energjia dhe momenti (edhe pse vlerat e tyre numerike nuk janë të njëjta në korniza të ndryshme).
Të gjitha këto përfundime ishin të dukshme menjëherë pas publikimit të teoremës së Noether-it. Këtu është një shembull tjetër që u realizua kur u ndërtua elektrodinamika kuantike. Deri më tani, ne kemi folur për simetri të jashtme që lidhen jo me vetë sistemin fizik, por me, si të thuash, marrëdhëniet e tij me kohën dhe hapësirën. Sidoqoftë, teorema e Noether-it lejon që dikush të marrë parasysh simetritë e brendshme, me fjalë të tjera, simetritë e fushave fizike "të gdhendura" në Lagrangian (për adhuruesit e saktësisë, simetritë e ndërtimeve matematikore që përfaqësojnë këto fusha). Kjo mundësi çon edhe në zbulimin e ligjeve të ndryshme të ruajtjes.
Le të marrim Lagranzhin e një elektroni të lirë relativist, i cili na lejon të nxjerrim ekuacionin e famshëm të Dirakut. Ai nuk ndryshon nën një transformim të tillë të funksionit valor, i cili reduktohet në shumëzimin e tij me një numër kompleks me një modul njësi. Fizikisht, kjo do të thotë një ndryshim në fazën e funksionit të valës nga një vlerë konstante, e pavarur nga koordinatat hapësirë-kohë (një simetri e tillë quhet globale). Gjeometrikisht, ky transformim është i barabartë me një rrotullim të sheshtë përmes një këndi arbitrar, por fiks. Prandaj, ai përshkruhet nga një grup Lie me një parametra - i ashtuquajturi grup U(1). Në bazë të një tradite historike që daton nga matematikani dhe studenti i madh i Hilbert Hermann Weil, ai i përket një grupi të madh simetrish të quajtura matës. Nga teorema e Noether-it rezulton se ky lloj i simetrisë së matësit global përfshin ruajtjen e ngarkesës elektrike. Jo një rezultat i dobët, dhe aspak i parëndësishëm!
Teorema e dytë e Noether-it nuk është aq transparente. Ai përshkruan situata ku transformimet e simetrisë që e lënë veprimin të pandryshuar nuk varen nga parametrat numerikë, por nga disa funksione arbitrare. Doli se, në rastin e përgjithshëm, një pandryshueshmëri e tillë nuk bën të mundur formulimin e ligjeve të ruajtjes për sasitë fizikisht të matshme. Në veçanti, nga teorema e dytë e Noether-it rrjedh se në teorinë e përgjithshme të relativitetit nuk ka ligje universale të ruajtjes së energjisë, momentit dhe momentit këndor që do të kishin një kuptim të paqartë në rajonet fizikisht reale (d.m.th., jo pafundësisht të vogla) të hapësirë-kohë. Vërtetë, ka raste të veçanta kur, në kuadrin e relativitetit të përgjithshëm, mund të shtrohet saktë çështja e ruajtjes së energjisë. Sidoqoftë, në përgjithësi, zgjidhja e këtij problemi varet nga ajo se çfarë saktësisht konsiderohet energjia e fushës gravitacionale dhe në çfarë kuptimi flasim për ruajtjen e saj. Për më tepër, energjia totale e grimcave që lëvizin në një hapësirë me një fushë gravitacionale dinamike (me fjalë të tjera, në një hapësirë me një metrikë në ndryshim) nuk ruhet as. Pra, në Universin tonë në zgjerim, fotonet e rrezatimit relikt humbasin vazhdimisht energji - ky është një fenomen i njohur i zhvendosjes së kuqe kozmologjike.
Dy fate
Artikull në Nachrichten avancoi ndjeshëm karrierën shkencore të Emmy Noether. Në sfondin e dobësimit të pasluftës të shovinizmit mashkullor, më 21 maj 1919, departamenti i filozofisë i Universitetit të Göttingen-it pranoi ta pranonte këtë botim si një disertacion kualifikues (Habilitation) të nevojshëm për marrjen e postit të Privatdozent. Një javë më vonë, Noether kaloi provimin e përcaktuar me gojë, dhe më 4 qershor ajo dha një leksion testimi për anëtarët e departamentit matematikor të fakultetit. Nga semestri i vjeshtës, ajo filloi të lexonte kursin e saj të parë.
Pas kësaj, fatet e teoremës së Noether dhe autorit të saj ndryshuan përfundimisht. Emmy Noether nuk e mori më kurrë fizikën, duke kaluar tërësisht në algjebër abstrakte. Në këtë fushë të matematikës me zhvillim të shpejtë, ajo mori rezultate themelore, në kuptimin e plotë të fjalës, në gjeometrinë algjebrike dhe teorinë e unazave. Ju mund të flisni për to për një kohë shumë të gjatë, por kjo është një histori krejtësisht e ndryshme.
Jeta e qetë dhe profesionale e Emmy Noether në Göttingen u ndërpre me ardhjen e nazistëve. Në prill 1933, Ministria e Shkencës, Artit dhe Arsimit i anuloi lejen e saj për të dhënë mësim në Universitetin e Göttingen-it (i njëjti vendim privoi Courant-in dhe një nga krijuesit e mekanikës kuantike, Max Born, nga posti i profesorit). Disa muaj më vonë, Emmy Noether emigroi në Shtetet e Bashkuara, ku, me ndihmën e Fondacionit Rockefeller, mori një kontratë të ftuar për të dhënë mësim në Kolegjin elitar të Grave Bryn Mar në Pensilvani. Nga shkurti i vitit 1934, ajo gjithashtu filloi të jepte leksione javore në afërsi (por jo në Universitetin Princeton, ku gratë nuk pranoheshin fare në ato ditë). Në verë ajo shkoi për një kohë të shkurtër në Göttingen, duke përfituar nga statusi i saj i sapogjetur si shkencëtare e huaj dhe pas kësaj u largua përgjithmonë nga Gjermania. Por ajo nuk pati shumë kohë për të jetuar. Më 14 prill 1935, Emmy Noether vdiq për shkak të komplikimeve nga një operacion kirurgjik - me shumë mundësi për shkak të një infeksioni të rëndë. Në një letër të botuar më 5 maj në The New York Times, Albert Einstein vuri në dukje: "Sipas gjykimit të matematikanëve më kompetentë të gjallë, Fräulein Noether ishte gjeniu matematikor krijues më domethënës i prodhuar deri më tani që nga fillimi i arsimit të lartë të grave". ("Sipas matematikanëve më kompetentë modernë, Fraulein Noether tregoi në punën e saj matematikore një shkallë aq të lartë gjenialiteti që askush nuk ka mundur ta arrijë që kur gratë fituan të drejtën për arsim të lartë".). Dhe nëntë ditë më parë, Hermann Weyl, në një leksion kushtuar kujtimit të saj, tha: "Ajo ishte një matematikan i madh, më i madhi ... që ka prodhuar ndonjëherë seksi i saj dhe një grua e shkëlqyer" ("Ajo ishte një grua e madhe dhe në të njëjtën kohë gruaja më e madhe matematikane").
Gjatë jetës së saj dhe menjëherë pas vdekjes së saj, Emmy Noether i bëri haraç asaj pothuajse ekskluzivisht për shkak të studimeve të saj algjebrike. Sado e çuditshme të duket tani, pothuajse askush nuk e vuri re teoremën e saj të madhe. Sigurisht, si Hilberti ashtu edhe Klein, të cilët e paraqitën atë në Shoqërinë Mbretërore, e vlerësuan shumë këtë punë, por ata nuk shkuan më larg se kaq. Edhe Hermann Weyl, i cili bëri shumë fizikë teorike, dhe në veçanti, simetri, nuk e pa të nevojshme ta përmendte atë në monografinë themelore "Teoria e grupeve dhe mekanika kuantike" botuar në 1928. Duket se e vetmja ritregim i shkurtër i veprës së Emmy Noether në veprat klasike matematikore të të tretës së parë të shekullit të kaluar mund të gjendet në librin e famshëm të Courant dhe Hilbert "Metodat e fizikës matematikore", i cili u botua për herë të parë në 1924. .
Arsyet për këtë neglizhencë mund të diskutohen gjatë, por kjo është shumë larg nga tema kryesore. Sido që të jetë, deri në mesin e shekullit të 20-të, fizikanët pothuajse nuk iu referuan punimit të Noether, megjithëse rezultatet e tij jo vetëm që ishin mjaft të njohura, por edhe të përdorura shumë herë. Në vitet 1950, situata ndryshoi. Kjo është kryesisht për shkak të interesit të zgjuar për rolin e simetrive në teoritë kuantike të fushës, që pasoi një punim të botuar në 1954 nga Zhenning Yang dhe Robert Mills të Laboratorit Kombëtar Brookhaven për Ruajtjen e rrotullimit izotopik dhe pandryshueshmërisë së matësit izotopik. Bashkautorët "shpikën" fushat kuantike të emërtuara sipas tyre, bazuar në simetrinë e matësit të rrotullimit izotopik. Ndryshe nga simetria, e cila siguron ruajtjen e ngarkesës elektrike, ajo nuk ishte globale, por lokale - në kuptimin që parametrat e transformimeve grupore në punën e tyre ishin funksione të koordinatave hapësinore. Ky është lloji i simetrisë që Emmy Noether e konsideroi në teoremën e dytë.
Siç dihet, ishte zhvillimi i simetrive të matësve lokalë që bëri të mundur ndërtimin e Modelit Standard të grimcave elementare në vitet 1970, arritja më serioze në fizikën teorike të gjysmës së dytë të shekullit të 20-të. Por edhe nja dy dekada para krijimit të saj, teorema e Noether filloi të citohet në artikuj fizikë dhe monografi. Tani puna e saj njihet si një klasik i lartë i shkencës.
Së fundi, do të doja të lejoja lexuesin të marrë një shije të zbatimit të simetrive të shqyrtuara nga Emmy Noether në teoremën e saj të dytë duke përdorur një shembull më shumë. Le të kthehemi në grupin e matësve U(1), por tani le ta bëjmë rrotullimin e fazës një ndryshore, një funksion i koordinatave hapësirë-kohë. Në këtë rast nuk kemi të bëjmë me transformime matës globale, por lokale. Më lejoni t'ju kujtoj se ky është pikërisht lloji i transformimeve të grupit që përshkruan teorema e dytë e Noether-it.
Vetë Lagranzhi i Dirakut nuk është i pandryshueshëm nën grupin lokal U(1) - prandaj, as veprimi nuk është i pandryshueshëm. Sidoqoftë, pandryshueshmëria mund të rikthehet nëse Lagranzhit i shtohet një fushë force, e cila gjithashtu i bindet një simetrie lokale. Si rezultat i një operacioni të tillë, një term shtesë shfaqet automatikisht në Lagrangian, i cili përshkruan ndërveprimin e kësaj fushe me elektronet. Vetë fusha është një version kuantik i rrezatimit elektromagnetik. Pra, kërkesa e një simetrie lokale të matësit U(1) për fushën e Dirakut çon automatikisht në përfundimin se elektronet ndërveprojnë përmes shkëmbimit të kuanteve të fushës elektromagnetike, domethënë fotoneve! Dhe si një bonus shtesë, marrim një deklaratë tjetër - këto kuanta kanë masë zero!
Ky përfundim mund të formulohet ndryshe. Për ekzistencën e pandryshueshmërisë lokale në lidhje me grupin U(1), është e nevojshme që ngarkesa e konservuar të jetë burim i një fushe vektoriale pa masë (fotonet janë grimca vektoriale, grimca me spin 1). Aftësia e një ngarkese elektrike për të gjeneruar fotone është vetia e saj unike. Grimcat elementare gjithashtu kanë ngarkesa të tjera të konservuara (për shembull, barion dhe lepton). Sidoqoftë, siç vijon nga të dhënat eksperimentale, këto ngarkesa nuk gjenerojnë fusha vektoriale pa masë - domethënë, eksperimenti nuk konfirmon ekzistencën e analogëve barion dhe lepton të fotoneve. Vetëm simetritë globale dhe jo lokale U(1) korrespondojnë me këto ngarkesa.
Ky shembull nuk është aspak unik. Simetritë e teoremës së dytë të Noether-it bëjnë të mundur vendosjen e korrespondencës themelore midis vetive të grimcave dhe fushave me të cilat këto grimca mund të ndërveprojnë. Përsëri - ku jo i dobët! Nuk është rastësi që fizikani i mirënjohur teorik amerikan Profesor i Universitetit të Kalifornisë Anthony Zee (Anthony Zee) në monografinë Teoria e grupit me pak fjalë për fizikantët, botuar në vitin 2016, vuri në dukje se, sipas të gjitha gjasave, Emmy Noether është më e mira nga fizikantet femra që kanë jetuar ndonjëherë në këtë dritë ( "Me siguri gruaja më e thellë fizikante që ka jetuar ndonjëherë"). Një vlerësim kaq i lartë - dhe vetëm për shkak të një artikulli të vetëm!
Dhe një detaj tjetër kurioz. Ideja e simetrisë së matësve u propozua për herë të parë nga Weyl në artikullin Gravitation and Electricity, botuar në Berlin në 1918. Pra, ne kemi të drejtë të festojmë 100 vjetorin e dy përparimeve të mëdha në fizikën teorike njëherësh! Në të vërtetë, perënditë janë të mëshirshëm me shkencëtarët e mëdhenj.
Gjurmë ruse
Emmy Noether kishte shumë miq dhe admirues në komunitetin matematikor sovjetik. Në vitin 1923, topologët e rinj të shkëlqyer Pavel Alexandrov dhe Pavel Uryson erdhën në Göttingen nga Moska, nëpërmjet të cilëve Noether vendosi kontakte me kolegët rusë. Gjatë dimrit të viteve 1928-29, ajo dha një kurs në algjebër abstrakte në Universitetin Shtetëror të Moskës dhe drejtoi një seminar mbi gjeometrinë algjebrike në Akademinë Komuniste. Kur Noether u dëbua nga Göttingen, Alexandrov u përpoq t'i jepte asaj një karrige algjebër në Universitetin Shtetëror të Moskës, por nuk mori mbështetjen e Komisariatit Popullor të Arsimit. Po të kishte ndodhur ndryshe, ajo mund të kishte krijuar një shkollë të klasit botëror të algjebristëve në Moskë. Por fati mund të kishte vendosur ndryshe. Vëllai i saj më i vogël Fritz, një matematikan i mirë i aplikuar, u nis për në BRSS, ku u bë profesor në Universitetin Tomsk. Në fund të vitit 1937 arrestohet si spiun gjerman dhe më 10 shtator 1941 pushkatohet në Orel.
Megjithatë, në njëfarë kuptimi, lidhjet e Emmy Noether me Rusinë datojnë shumë më herët. Ajo ishte e ftuar në Bryn Mar nga dekania e Departamentit të Matematikës, Anna Johnson Pell Wheeler, e cila kishte studiuar më parë në Göttingen. Vlen të tregohet për këtë grua në më shumë detaje, dhe tipari kryesor do të jetë në fund.
E lindur Anna Johnson, vajza e emigrantëve suedezë, ajo i përkiste të njëjtit brez shkencëtarësh si Emmy Noether dhe praktikisht ishte në të njëjtën moshë me të. Ajo lindi në maj 1883 në Iowa. Në vitin 1899 ajo u pranua në Universitetin e Dakotës së Jugut, ku u bë një nga studentët më të mirë. Anna studioi shkëlqyeshëm në gjermanisht, frëngjisht, latinisht, kimi, fizikë dhe matematikë, të cilat u kthyen në hobi të saj kryesor. Profesori i matematikës Alexander Pell u interesua për vajzën, e cila mendoi në aftësitë e saj të jashtëzakonshme për të menduarit abstrakt dhe e bindi atë të vazhdonte arsimin e saj matematikor. Në vitin 1903, Anna u transferua në Universitetin e shtetit të saj të Iowa-s dhe një vit më vonë ajo mbrojti tezën e masterit atje në aplikimin e teorisë së grupit në ekuacionet diferenciale lineare. Për këtë punë, ajo mori një bursë në kolegjin e famshëm të grave Radcliffe (Kolegji Radcliffe), dhe në vitin 1905 fitoi një tjetër diplomë master. Edhe atëherë, ajo konsiderohej si një nga matematikanët femra më premtuese në Amerikë. Në vitin 1906 Anna fitoi bursën prestigjioze Alice Freeman Palmer për të diplomuarit e kolegjeve amerikane që dëshironin të vazhdonin shkollimin e tyre jashtë vendit. Kjo i lejoi asaj të kalonte një vit në Universitetin e Göttingen, ku studioi nën të njëjtat yje të shkencës gjermane si (dy vjet më parë) Emmy Noether. Mentori i saj kryesor ishte Hilberti, i cili më pas studioi ekuacionet integrale dhe infektoi studentin e tij amerikan me këtë pasion. Më pas, ajo punoi në këtë fushë dhe në fushën përkatëse të analizës funksionale.
Alexander Pell korrespondonte vazhdimisht me Anën, dhe përfundimisht i propozoi asaj. Në verën e vitit 1907 ai erdhi në Göttingen dhe ata u martuan. Atje, Pell u takua me personazhet e universitetit, në rrethin e të cilëve rrotullohej nusja e tij. Çifti u kthye në Universitetin e Dakotës së Jugut, ku Anna filloi të jepte kurse në ekuacionet diferenciale dhe teorinë e funksionit. Ajo kaloi pjesën më të madhe të vitit 1908 përsëri në Göttingen, pas së cilës ajo hyri në shkollën pasuniversitare në Universitetin e Çikagos. Në 1910 ajo mori doktoraturën e saj dhe në 1911 filloi të jepte matematikë në një nga kolegjet lokale.
Në këtë kohë, Pell gjithashtu përfundoi në Çikago, ku mori një vend në Institutin e Armëve (tani -). Në vitin 1911, pasi pësoi një goditje në tru, ai ndërpreu mësimet dhe ia dorëzoi leksionet Anës. Ajo e zëvendësoi burrin e saj deri në vitin 1913, kur ai zyrtarisht doli në pension. Sidoqoftë, Pell vazhdoi të shkruante letra dhe të merrte pjesë në mbledhjet e Shoqërisë Matematikore Amerikane (më së fundi në 1919), dhe madje dha mësim një kurs semestri në Universitetin Northwestern gjatë vitit akademik 1915-1916.
Në vitin 1918, Anna Pell u ftua në Bryn Mar, ku u bë profesoreshë dhe më vonë dekane e departamentit të matematikës. Në këtë kohë, ajo kishte hyrë me vendosmëri në plejadën e vogël të matematikaneve femra me një reputacion ndërkombëtar. Por Pell nuk jetoi për ta parë këtë: ai vdiq më 26 janar 1921. Në 1925 Anna u martua me kolegun e tij profesor latin Arthur Wheeler, por mbeti përsëri e ve në 1932. Ajo doli në pension në vitin 1948, por nuk pushoi së ndjekuri literaturën matematikore dhe duke ndjekur seminare. Ajo vdiq në mars 1966 në moshën 82 vjeçare. Ajo u varros në varrezat Baptiste pranë varrit të burrit të saj të parë. Gjatë jetës së saj, Anna krijoi Bursën Alexander Pell për studentë të talentuar matematikisht në Universitetin e Dakotës së Jugut nga fondet e saj. Ky fond ekziston edhe sot.
Yuri Davydov "Koha e shurdhër e rënies së gjetheve"). Njerëzit që mbetën të lirë lejuan Degaev të largohej për në Amerikë, ku u bë Pell. Në Shtetet e Bashkuara, pas shumë fatkeqësish, ai mori një arsim matematikor, përfundoi studimet pasuniversitare në Universitetin Johns Hopkins në Baltimore dhe përfundimisht mori një karrige në Dakotën e Jugut. Pra, për pajisjen e Emmy Noether në SHBA, demoni i historisë kishte nevojë për gjeniun e keq të Narodnaya Volya për t'u shndërruar në një profesor të respektuar amerikan që vuri re dhe promovoi një student të talentuar nga një provincë e thellë. Kështu ndodh!
Matematikan gjerman.
Ajo ishte e ftuar David Gilbert për ligjërimin dhe kryerjen e punës shkencore në Universitetin e Göttingen-it.
« Emmy Noether kishte pak të përbashkëta me "matematicientin" legjendar Sofia Kovalevskaya që magjepsi madje Weierstrass me inteligjencën dhe sharmin e tij rinor. Ajo ishte plotësisht e lirë nga feminiliteti, si në pamje ashtu edhe në sjellje. Edhe sot, gjëja e parë që e kujtojnë meshkujt që e kanë njohur është: “Ajo kishte një zë të lartë dhe të pakëndshëm”, “Dukej si një lavatriçe energjike dhe shumë dritëshkurtër”, “Rrobat e saj ishin gjithmonë të gjera”.
Të gjithë citojnë me kënaqësi vërejtjen delikate se “hiret nuk qëndruan te djepi i saj”.
Sidoqoftë, Emmy Noether ishte e destinuar të kishte një ndikim shumë më të rëndësishëm në matematikë sesa simpatikja. Sofia.
Edhe në atë kohë, ajo tashmë kishte një njohuri solide për disa nga lëndët e kërkuara nga Hilbert dhe Klein për punën e tyre në teorinë e relativitetit. Të dy vendosën që ajo të qëndronte në Göttingen. Megjithatë, përkundër faktit se Göttingen ishte universiteti i parë në Gjermani që dha një diplomë doktorature për një grua, për të marrë një habilitim. (Termi vjen nga latinishtja "habilis" - i aftë, i përshtatshëm dhe nënkupton marrjen e të drejtës për t'u bërë mësues universitar - Shënim nga I.L. Vikentiev) nuk ishte një detyrë e lehtë për të.
Në votimin për pranimin e habilitimit duhej të merrte pjesë i gjithë Fakulteti Filozofik, ku përveç përfaqësuesve të shkencave natyrore-matematikore, ishin edhe filozofë, filologë dhe historianë. Kundërshtim i veçantë erdhi nga pjesa jo matematikore e fakultetit.
Kundërshtimi i tyre formal zbriste në sa vijon: “Si mund të lejohet një grua të bëhet Privatdozent? Duke u bërë e tillë, ajo më pas mund të bëhet profesoreshë dhe anëtare e senatit të universitetit. A është e mundur të lejohet një grua të hyjë në Senat? Kundërshtimi joformal ishte: "Çfarë do të mendojnë ushtarët tanë kur të kthehen në universitet dhe të shohin se do të duhet të studiojnë në këmbët e një gruaje?"
Gilbert këto argumente të kujtonin ato që dëgjoi kur u përpoq të merrte disertacionin e Grommerit para të njëjtëve anëtarë të fakultetit. "Nëse studentët pa diplomë të shkollës së mesme shkruajnë gjithmonë të njëjtat disertacione si Grommer," tha ai atëherë, "atëherë do të jetë e nevojshme të miratohet një ligj që ndalon provimet përfundimtare." Tani, me të njëjtën sinqeritet, ai iu përgjigj kundërshtimeve të tyre formale ndaj profesores së asociuar Emmy Noether: “Meine Herren, nuk e kuptoj pse gjinia e një kandidati duhet të jetë një arsye kundër dhënies së titullit Privatdozent. Në fund të fundit, Senati nuk është një banjë.”
Kur, pavarësisht një kundërshtimi të tillë, ai ende jo ia doli të merrte një çmim habilitimi Emmy Noether, problemin e ruajtjes së tij në Göttingen e zgjidhi në mënyrën e tij.
Leksionet do të shpallen me emrin e profesor Hilbert dhe do të mbahen nga znj. Noether. Lufta vazhdoi”.
Constance Read, Gilbert, M., "Shkenca", 1977, f. 187-188.
Në vitin 1918, Emmy Noether provoi një teoremë themelore në fizikën teorike që lidhte ligjet e ruajtjes me simetrinë e një sistemi, të quajtur Teorema Noether.
"Teorema e E. Noether-it thotë se çdo transformim i vazhdueshëm i koordinatave në një kornizë inerciale referimi korrespondon me një sasi të caktuar të ruajtur ( e pandryshueshme). Meqenëse transformimi në shqyrtim është i lidhur ngushtë me simetrinë e tij të hapësirës dhe kohës (hapësirë homogjene, hapësira izotropike dhe homogjeniteti i kohës), atëherë çdo veti e hapësirës dhe kohës duhet të korrespondojë, në përputhje me mekanikën klasike, me ligjin e vet specifik të ruajtjes.
Me homogjenitetin e hapësirës, d.m.th. simetria e ligjeve të fizikës në lidhje me zhvendosjet hapësinore të origjinës, lidhet ligji i ruajtjes së momentit. Me izotropinë e hapësirës, d.m.th. me ekuivalencën e të gjitha drejtimeve hapësinore dhe, rrjedhimisht, me simetrinë në lidhje me rrotullimin e sistemit të koordinatave në hapësirë, lidhet ligji i ruajtjes së momentit këndor.
Koncepti i homogjenitetit të kohës (simetria në lidhje me ndërrimet kohore) çon në ligjin e ruajtjes së energjisë. Kjo do të thotë se vetë kalimi i kohës jo mund të shkaktojë një ndryshim në energjinë e ndonjë sistemi të mbyllur.
Rëndësia praktike e teoremës së E. Noether nuk kufizohet në faktin se ajo vendos një lidhje midis ligjeve klasike të ruajtjes dhe llojeve të simetrisë që kanë një natyrë gjeometrike.
Nëse ekziston një lloj tjetër simetrie në sistemin fizik, për shembull, dinamike (matematikore), këto simetri parashikojnë ligje të veçanta të ruajtjes, të cilat gjithashtu kanë funksionin e ndalimit të fenomeneve lokale të vetë-zhvillimit.
Balakshin O.B. , Harmonia e vetë-zhvillimit në natyrë dhe shoqëri: ngjashmëri dhe analogji, M., Shtëpia Botuese LKI, 2008, f. 112.
Emmy Noether ishte në gjendje të bëhej Privatdozent në vitin 1919 dhe profesor supernumerar në 1922.
Në vitin 1933, kur nazistët erdhën në pushtet në Gjermani, Emmy Noether u zhvendos në SHBA.
Pasi mësoi për vdekjen e saj, Albert Einstein shkroi: «Shumica e njerëzve shpenzojnë të gjithë forcën e tyre në luftën për bukën e përditshme. Edhe shumë prej atyre që fati ose ndonjë talent i veçantë “i ka shpëtuar nga nevoja për të bërë këtë luftë, pjesën më të madhe të forcës e japin për shumëfishimin e të mirave të kësaj bote dhe të pasurisë së tyre.
Pas përpjekjeve të tilla të drejtuara drejt grumbullimit të të gjitha llojeve të mallrave, shpesh ekziston një iluzion se ky është qëllimi më thelbësor dhe më i dëshirueshëm për të cilin duhet të përpiqet.
Për fat të mirë, ekziston një pakicë, e përbërë nga ata që e kuptuan herët se përvojat më të bukura dhe kënaqësia më e madhe e njerëzimit nuk vijnë nga jashtë, por se ato janë të lidhura me zhvillimin e ndjenjave, mendimeve dhe veprimeve të secilit individ.
Artistët, studiuesit dhe mendimtarët e mirëfilltë kanë qenë gjithmonë njerëz të këtij lloji. Sado që jeta e këtyre njerëzve kaloi në mënyrë të padukshme, frytet e përpjekjeve të tyre rezultuan kontributi më i çmuar në trashëgiminë që brezi u lë pasardhësve të tij.
Pak ditë më parë, në moshën pesëdhjetë e tre vjeçare, matematikani i shquar Prof. Emmy Noether, dikur i lidhur me Universitetin e Göttingen-it dhe për dy vitet e fundit në Kolegjin Bryn Mawr. Sipas mendimeve të matematikanëve më kompetentë të gjallë, Fraulein Emmy Noether ishte një nga gjenitë matematikore më domethënëse dhe më krijuese që u shfaq që kur gratë filluan të merrnin arsim të lartë.
Në fushën e algjebrës, e cila është praktikuar nga matematikanët më të talentuar për shekuj, ajo zbuloi metoda që kanë pasur një ndikim të madh në zhvillimin e brezit aktual të matematikanëve të rinj. Matematika e pastër është një lloj poezie e logjikës së ideve. Matematikanët po përpiqen të gjejnë idenë më të përgjithshme të operacionit, i cili do të lejonte thjesht, logjikisht dhe uniformisht të mbulonte gamën më të gjerë të mundshme të marrëdhënieve formale.
Albert Einstein, Në kujtim të Emmy Noether / Përmbledhje punimesh shkencore në 4 vëllime, Vëllimi 4, 1967, “Shkenca”, f.108.
Gjeneral vetitë e hapësirës dhe kohës:
1. Hapësira dhe koha janë objektive dhe reale, d.m.th. nuk varen nga vetëdija dhe vullneti i njerëzve.
2. Hapësira dhe koha janë forma universale, të përgjithshme të ekzistencës së materies. Nuk ka dukuri, ngjarje të objekteve që do të ekzistonin jashtë hapësirës ose jashtë kohës.
Karakteristikat themelore të hapësirës:
1. Homogjeniteti - të gjitha pikat e hapësirës kanë të njëjtat veti, nuk ka pika të zgjedhura të hapësirës, transferimi paralel nuk ndryshon formën e ligjeve të natyrës.
2. Izotropia - të gjitha drejtimet në hapësirë kanë të njëjtat veti, nuk ka drejtime të zgjedhura, dhe kthimi në çdo kënd i mban ligjet e natyrës të pandryshuara.
3. Vazhdimësia – ndërmjet dy pikave të ndryshme në hapësirë, sado afër janë, ka gjithmonë një të tretë.
4. Euklidianiteti përshkruhet nga gjeometria e Euklidit. Një shenjë e hapësirës Euklidiane është mundësia e ndërtimit të koordinatave drejtkëndore karteziane në të. Por sipas relativitetit të përgjithshëm të Ajnshtajnit, në prani të masave gravituese në hapësirë, hapësira bëhet e lakuar dhe bëhet jo-Euklidiane.
5. Tredimensionaliteti - çdo pikë e hapësirës përcaktohet në mënyrë unike nga një grup prej tre numrash realë të koordinatave. Ky pozicion rrjedh nga lidhja midis strukturës së hapësirës dhe ligjit të gravitetit. (P. Ehrenfest në vitin 1917 hetoi pyetjen se përse ne jemi në gjendje të perceptojmë vetëm hapësirën e tre dimensioneve. Ai vërtetoi se "ligji i kundërt katror", sipas të cilit pikë masat gravitacionale ose ngarkesat elektrike veprojnë mbi njëra-tjetrën, është për shkak të tredimensionaliteti i hapësirës. Në matjet e hapësirës n, grimcat pika do të ndërveprojnë sipas ligjit të shkallës së kundërt (n - 1). Prandaj, për n \u003d 3, ligji i kundërt katror është i vlefshëm, sepse 3 - 1 \ u003d 2. Ai tregoi se, në përputhje me ligjin e kubeve të anasjellta, planetët do të lëviznin në spirale dhe do të binin shpejt mbi Diellin Në atome me një numër dimensionesh më të mëdha se tre, gjithashtu nuk do të kishte orbita të qëndrueshme, d.m.th. të mos ketë procese kimike në jetë.
Karakteristikat themelore të kohës:
1. Homogjeniteti - çdo dukuri që ndodh në të njëjtat kushte, por në momente të ndryshme kohore, zhvillohet saktësisht në të njëjtën mënyrë, sipas të njëjtave ligje.
2. Vazhdimësia është kur ndërmjet dy pikave kohore, sado afër të jenë, mund të dallohet gjithmonë një e treta.
3. Njëdrejtimi ose pakthyeshmëria është veti e kohës, e cila mund të konsiderohet si pasojë e ligjit të dytë të termodinamikës ose ligjit të entropisë në rritje. Të gjitha ndryshimet në botë vijnë nga e kaluara në të ardhmen.
Këto veti të hapësirës dhe kohës janë të lidhura me ligjet kryesore të fizikës - ligjet e ruajtjes. Nëse vetitë e sistemit nuk ndryshojnë nga transformimi i variablave, atëherë ai korrespondon me një ligj të caktuar ruajtjeje. Kjo është një nga shprehjet thelbësore të simetrisë në botë. Sipas teoremës së E. Noether-it, çdo transformim i simetrisë i karakterizuar nga një parametër që ndryshon vazhdimisht korrespondon me një vlerë që ruhet për një sistem me këtë simetri.
Nga simetria e ligjeve fizike në lidhje me:
1) zhvendosja e një sistemi të mbyllur në hapësirë (homogjeniteti i hapësirës) ndjek ligjin e ruajtjes së momentit;
2) rrotullimi i një sistemi të mbyllur në hapësirë (izotropia e hapësirës) ndjek ligjin e ruajtjes së momentit këndor;
3) ndryshimet në origjinën e kohës (homogjeniteti i kohës) ndjek ligjin e ruajtjes së energjisë.
Pyetje për përsëritje dhe vetëkontroll
1. Cilat ishin idetë për hapësirën dhe kohën në periudhën paranjutoniane?
2. Si e interpretoi I. Njutoni hapësirën dhe kohën?
3. Cilat ide për hapësirën dhe kohën u bënë vendimtare në teorinë e relativitetit të A. Ajnshtajnit?
4. Cilat janë vetitë kryesore të hapësirës që njihni?
5. Cilat janë vetitë kryesore të kohës që njihni?
6. Formuloni teoremën e E. Noether-it?
Le të formulojmë dhe vërtetojmë me saktësi teoremën e Noether-it.
Konsideroni disa sisteme të përshkruara nga funksioni Lagrange
Forma e ekuacioneve Lagranzh-Euler e përftuar nga parimi i variacionit me një funksion të tillë Lagranzhi është e pandryshueshme në transformimet e formës, si dhe në transformime më të përgjithshme.
duke përfshirë një ndryshim të ndryshores së pavarur. Sidoqoftë, forma specifike për shprehjen e re për veprimin, si funksional i koordinatave të reja në varësi të kohës së re, mund të pësojë çdo ndryshim me një ndryshim të tillë.
Teorema e Noether-it është e interesuar vetëm në rastin kur nuk ndodhin ndryshime të tilla.
Duke përdorur (4), marrim:
Transformimet le të jenë të tilla që
ato. duke formuar një grup me një parametra. Konsideroni një transformim infinitimal që korrespondon me një parametër.
Në fakt, variacionet e koordinatave të përgjithësuara që ndodhin gjatë transformimit të konsideruar janë ndryshimi midis vlerave të koordinatave të reja në një moment të kohës së re dhe vlerave të koordinatave të vjetra në momentin përkatës të kohës së vjetër. , d.m.th.
Së bashku me ta, është e përshtatshme të prezantoni variacione të formës
koordinatat kundrejt kohës që nuk janë zero, edhe nëse transformimi ynë prek vetëm kohën, jo koordinatat.
Për çdo funksion, lidhja është e vërtetë:
Pastaj ekziston një lidhje midis dy llojeve të paraqitura të variacioneve, e cila mund të merret si më poshtë: zbresim ekuacionin (9) nga (8), marrim:
le ta kemi parasysh atë
atëherë kemi:
Variacionet pa yje që lidhen me të njëjtën vlerë të argumentit janë të pandryshueshme me diferencimin kohor
ndërsa për variacionet me yje kjo, në përgjithësi, nuk është e vërtetë.
Dy llojet përkatëse të variacioneve mund të futen gjithashtu për çdo ndryshore dinamike. Për shembull, për funksionin Lagranzh
ku përfshin diferencimin si në lidhje me kohën e hyrjes në mënyrë të qartë ashtu edhe në lidhje me kohën që hyn në mënyrë implicite, nëpërmjet koordinatave dhe shpejtësive.
Tani kërkojmë që integrali i veprimit të mos ndryshojë nën transformimin tonë - ky është rasti i jashtëzakonshëm që kërkohet nga kushti i teoremës, d.m.th. ajo ishte
ku T"është i njëjti domen integrimi si T në integralin e dytë, por i shprehur në terma të variablave të rinj. Pastaj duke zëvendësuar (11) në (13), marrim
Ne shprehemi në (15) deri në (11) dhe duke marrë parasysh raportin, duke kaluar në integrim mbi t në vend të t", marrim:
Duke pasur parasysh se
Ne marrim: (15)
Le të gjejmë diferencialin
Duke zëvendësuar (17) në (16), marrim:
Nën shenjën e shumës së parë është ekuacioni i Lagranzhit, d.m.th.
Në një mënyrë ose në një tjetër, të gjithë kanë një ide të simetrisë. Kjo pronë zotërohet nga një sërë objektesh që luajnë një rol të rëndësishëm në jetën e përditshme. Shumë krijimeve të duarve të njeriut u jepet një formë simetrike për arsye estetike dhe praktike. Ndoshta produkti më simetrik i njeriut është topi, i cili gjithmonë duket i njëjtë pavarësisht se si e ktheni. Simetria është e përhapur në natyrë - forma gjashtëkëndore e flokeve të borës, forma të ndryshme gjeometrike të kristaleve, simetria afërsisht pasqyrë e trupit të njeriut, etj.
Është mjaft e vështirë të jepet një përkufizim i përgjithshëm i konceptit të "simetrisë". Simetria shpesh lidhet me bukurinë. "Simetrike do të thotë diçka që ka një raport të mirë të përmasave, dhe simetria është ajo lloj konsistence e pjesëve individuale që i bashkon ato në një tërësi. Bukuria është e lidhur ngushtë me simetrinë”, ka shkruar G. Weil. Në Fjalorin Konciz të Oksfordit, simetria përkufizohet si "... bukuria për shkak të proporcionalitetit të pjesëve të trupit ose çdo tërësie, ekuilibri, ngjashmëria, harmonia, konsistenca".
| Figura 5 - Shembuj të simetrisë në natyrë |
Simetria zë një vend të rëndësishëm në shkencat natyrore, duke çuar në thjeshtësime të shumta të pamjes së botës dhe vendosjen e ngjashmërive midis zonave të ndryshme të saj.
Simetria(në fizikë) - vetia e madhësive fizike për të mbetur e pandryshuar (e pandryshueshme) nën transformime të caktuara. Këto transformime quhen operacionet e simetrisë .
Operacionet e simetrisë përfshijnë, për shembull, funksionimin e reflektimit në një pasqyrë, zhvendosjen, rrotullimin. Simetria e prerjes zotërohet nga kristalet, të cilat karakterizohen nga një rregullim i rregullt i grimcave me përsëritje periodike në tre dimensione. Format e rregullta gjeometrike kanë simetri boshtore. Kështu, kthimi i një katrori me 90° rreth një boshti që kalon përmes qendrës së tij dhe pingul me rrafshin e tij e përafron katrorin me vetveten.
Simetritë ndahen në hapësirë-kohë (të jashtme) dhe të brendshme, duke përshkruar vetitë e grimcave elementare.
Hapësira dhe koha janë homogjene, d.m.th. kanë simetri zhvendosjeje: transferimi paralel i sistemit të koordinatave dhe zhvendosja e origjinës së kohës nuk i ndryshojnë ligjet e natyrës. Izotropia e hapësirës do të thotë që ajo ka simetri boshtore: rrotullimi i boshteve të koordinatave me një kënd arbitrar nuk ndryshon ligjet e natyrës.
Në fizikën moderne, gjendet një hierarki e caktuar simetrish. Simetritë e mësipërme vlejnë për çdo ndërveprim. Ka simetri që vlejnë vetëm për ndërveprime të forta dhe elektromagnetike; për ndërveprime të dobëta, këto simetri shkelen. Simetri të tilla përfshijnë, për shembull, simetrinë e pasqyrës, konjugimin e ngarkesës, pandryshueshmërinë izotopike, etj. Këto simetri quhen të brendshme. Simetria e pasqyrës (përmbysja e hapësirës, e cila konsiston në zëvendësimin e koordinatave x, y, z në - x,-y,-z) do të thotë që reflektimi në pasqyrë nuk ndryshon ligjet fizike. Zëvendësimi i të gjitha grimcave me antigrimca quhet operacioni i konjugimit të ngarkesës; një operacion i tillë simetrie gjithashtu nuk ndryshon proceset e ndërveprimeve të forta dhe elektromagnetike që ndodhin në natyrë. Pandryshueshmëria izotopike shoqërohet me ngjashmërinë e protonit dhe neutronit (ato ndryshojnë vetëm në praninë e një ngarkese elektrike në proton, e cila nuk ndikon në proceset bërthamore).
Në vitin 1918 Amalie Emmy Noether vërtetoi teoremën themelore, sipas së cilës ekzistenca e ndonjë simetrie të veçantë - në hapësirë-kohë, shkallët e lirisë së grimcave elementare dhe fushave fizike - çon në ligjin përkatës të ruajtjes, dhe struktura specifike e sasisë së konservuar rrjedh nga kjo teoremë. Ligji i ruajtjes së energjisë rrjedh nga pandryshueshmëria në lidhje me zhvendosjen e kohës; simetria në lidhje me zhvendosjet hapësinore nënkupton ligjin e ruajtjes së momentit; nga pandryshueshmëria në lidhje me rrotullimin hapësinor ndjek ligjin e ruajtjes së momentit këndor. Ligjet fizike nuk ndryshojnë nën transformimet e Lorencit që lidhin vlerat e koordinatave dhe kohës në korniza të ndryshme inerciale të referencës (parimi i relativitetit). Nga parimi i relativitetit rrjedh ligji i ruajtjes së shpejtësisë së qendrës së masës së një sistemi të izoluar.
Ekzistenca e simetrive të brendshme shoqërohet gjithashtu me ligje të caktuara të ruajtjes. Simetria e pasqyrës çon në ruajtjen e një numri të veçantë kuantik - barazi, i cili duhet t'i caktohet secilës grimcë. Ruajtja e barazisë nënkupton pandryshueshmërinë e natyrës në lidhje me zëvendësimin e së djathtës me të majtën dhe anasjelltas; Siç u përmend tashmë, barazia hapësinore nuk ruhet në ndërveprime të dobëta. Një transformim kompleks që konsiston në përmbysjen e njëkohshme të hapësirës dhe zëvendësimin e grimcave me antigrimca quhet inversion i kombinuar. Ligji i kombinuar i ruajtjes së barazisë është i kënaqur për çdo ndërveprim. Pandryshueshmëria izotopike çon në ruajtjen e rrotullimit izotopik në ndërveprime të forta (ndërveprimet e dobëta ndodhin, si rregull, me një ndryshim në rrotullimin izotopik). Ekzistojnë ligje të ruajtjes për ngarkesat elektrike, barionet dhe leptonet që shprehin një simetri të veçantë të funksionit të valës, etj. Sipas ideve moderne, ngarkesa elektrike në të gjitha shndërrimet e grimcave elementare duhet të ruhet gjithmonë. Ngarkesat e barionit dhe leptonit mund të mos ruhen rreptësisht, megjithëse nuk janë zbuluar ende shkelje eksperimentale të ligjit të ruajtjes së këtyre ngarkesave. Mosrespektimi i njërit prej ligjeve të ruajtjes nënkupton shkelje në këtë ndërveprim të llojit përkatës të simetrisë.
Ligjet e ruajtjes janë një mjet i fuqishëm kërkimor. Shpesh ndodh që zgjidhja e saktë e ekuacioneve të lëvizjes është shumë e ndërlikuar ose forcat vepruese janë të panjohura. Meqenëse ligjet e ruajtjes nuk varen nga natyra e forcave që veprojnë, ato mund të përdoren për të marrë një sërë informacionesh të rëndësishme në lidhje me sjelljen e sistemeve mekanike edhe në rastet kur forcat janë të panjohura. Me ndihmën e ligjeve të ruajtjes, u zbuluan një sërë grimcash elementare. Pra, në mënyrë që ligjet e ruajtjes së energjisë dhe momentit këndor të përmbushen në procesin e zbërthimit β, W. Pauli sugjeroi (1932) ekzistencën e një grimce të panjohur në atë kohë.
