Ekuacionet

Si të zgjidhen ekuacionet?

Në këtë pjesë, ne do të kujtojmë (ose studiojmë - siç i pëlqen kujtdo) ekuacionet më elementare. Pra, çfarë është një ekuacion? Duke folur në terma njerëzorë, kjo është një lloj shprehje matematikore, ku ka një shenjë të barabartë dhe një të panjohur. E cila zakonisht shënohet me shkronjën "X". zgjidhin ekuacioninështë gjetja e vlerave të tilla x që, kur zëvendësohen në origjinale shprehja, do të na japë identitetin e saktë. Më lejoni t'ju kujtoj se identiteti është një shprehje që nuk ngjall dyshime as për një person që absolutisht nuk është i ngarkuar me njohuri matematikore. Si 2=2, 0=0, ab=ab etj. Pra, si i zgjidhni ekuacionet? Le ta kuptojmë.

Ka lloj-lloj ekuacionesh (u habita, apo jo?). Por e gjithë shumëllojshmëria e tyre e pafund mund të ndahet vetëm në katër lloje.

4. Të tjera.)

E gjithë pjesa tjetër, natyrisht, mbi të gjitha, po ...) Kjo përfshin kubike, dhe eksponenciale, dhe logaritmike, dhe trigonometrike, dhe të gjitha llojet e të tjerave. Ne do të punojmë ngushtë me ta në seksionet përkatëse.

Duhet të them menjëherë se ndonjëherë ekuacionet e tre llojeve të para përfundojnë aq shumë sa nuk i njeh ato ... Asgjë. Ne do të mësojmë se si t'i çlirojmë ato.

Dhe pse na duhen këto katër lloje? Dhe pastaj cfare ekuacionet lineare zgjidhur në një mënyrë katrore të tjerët racional i pjesshëm - i treti, a pushoni nuk zgjidhet fare! Epo, nuk është se ata nuk vendosin fare, kot e ofendova matematikën.) Vetëm se ata kanë teknikat dhe metodat e tyre të veçanta.

Por për çdo (e përsëris - për ndonjë!) ekuacionet janë një bazë e besueshme dhe pa probleme për zgjidhje. Punon kudo dhe gjithmonë. Kjo bazë - Tingëllon e frikshme, por gjëja është shumë e thjeshtë. Dhe shumë (shumë!) e rëndësishme.

Në fakt, zgjidhja e ekuacionit përbëhet nga të njëjtat transformime. Në 99%. Përgjigja në pyetjen: " Si të zgjidhen ekuacionet?"Gënjeshtra, vetëm në këto transformime. A është aludimi i qartë?)

Transformimet e identitetit të ekuacioneve.

AT ndonjë ekuacion për të gjetur të panjohurën, është e nevojshme të transformohet dhe thjeshtohet shembulli origjinal. Për më tepër, në mënyrë që kur ndryshoni pamjen thelbi i ekuacionit nuk ka ndryshuar. Shndërrime të tilla quhen identike ose ekuivalente.

Vini re se këto transformime janë vetëm për ekuacionet. Në matematikë, ka ende transformime identike shprehjet. Kjo është një temë tjetër.

Tani do të përsërisim të gjitha-të gjitha-të gjitha themelore transformimet identike të ekuacioneve.

Themelore sepse ato mund të aplikohen në ndonjë ekuacionet - lineare, kuadratike, thyesore, trigonometrike, eksponenciale, logaritmike etj. etj.

Transformimi i parë identik: të dyja anët e çdo ekuacioni mund të shtohen (zbriten) ndonjë(por e njëjta gjë!) një numër ose një shprehje (duke përfshirë një shprehje me një të panjohur!). Thelbi i ekuacionit nuk ndryshon.

Meqë ra fjala, ju e përdornit vazhdimisht këtë transformim, vetëm menduat se po transferonit disa terma nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin me një ndryshim shenje. Lloji:

Çështja është e njohur, ne e lëvizim deuce në të djathtë dhe marrim:

Në fakt ju e zënë nga të dyja anët e ekuacionit deuce. Rezultati është i njëjtë:

x+2 - 2 = 3 - 2

Transferimi i termave majtas-djathtas me një ndryshim të shenjës është thjesht një version i shkurtuar i transformimit të parë identik. Dhe pse na duhet njohuri kaq e thellë? - ju pyesni. Asgjë në ekuacione. Lëvize, për hir të Zotit. Vetëm mos harroni të ndryshoni shenjën. Por në pabarazi, zakoni i transferimit mund të çojë në një rrugë pa krye….

Transformimi i dytë i identitetit: të dyja anët e ekuacionit mund të shumëzohen (pjestohen) me të njëjtën jo zero numri ose shprehja. Një kufizim i kuptueshëm tashmë shfaqet këtu: është marrëzi të shumëzosh me zero, por është e pamundur të ndash fare. Ky është transformimi që përdorni kur vendosni diçka të këndshme si

Kuptohet, X= 2. Por si e gjetët? Përzgjedhja? Apo thjesht u ndez? Në mënyrë që të mos merrni dhe të prisni për njohuri, duhet të kuptoni se jeni të drejtë ndani të dyja anët e ekuacionit me 5. Kur ndahet ana e majtë (5x), pesëshja u zvogëlua, duke lënë një X të pastër. E cila është ajo që na duhej. Dhe kur ndani anën e djathtë të (10) me pesë, doli, natyrisht, një deuç.

Kjo eshte e gjitha.

Është qesharake, por këto dy (vetëm dy!) transformime identike qëndrojnë në themel të zgjidhjes të gjitha ekuacionet e matematikës. Si! Ka kuptim të shikojmë shembuj se çfarë dhe si, apo jo?)

Shembuj të transformimeve identike të ekuacioneve. Problemet kryesore.

Le të fillojmë me së pari transformim identik. Lëviz majtas-djathtas.

Një shembull për të vegjlit.)

Le të themi se duhet të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm:

3-2x=5-3x

Le të kujtojmë magjinë: "Me X - në të majtë, pa X - në të djathtë!" Kjo magji është një udhëzim për zbatimin e transformimit të parë të identitetit.) Cila është shprehja me x në të djathtë? 3x? Përgjigja është e gabuar! Në të djathtën tonë - 3x! Minus tre x! Prandaj, kur zhvendoset në të majtë, shenja do të ndryshojë në një plus. Marr:

3-2x+3x=5

Pra, X-të u bashkuan. Le të bëjmë numrat. Tre në të majtë. Çfarë shenje? Përgjigjja "me asnjë" nuk pranohet!) Përballë treshes, vërtet, asgjë nuk vizatohet. Dhe kjo do të thotë se përballë treshes është nje plus. Kështu që matematikanët ranë dakord. Asgjë nuk është shkruar, pra nje plus. Prandaj, trefishi do të transferohet në anën e djathtë me një minus. Ne marrim:

-2x+3x=5-3

Kanë mbetur hapësira boshe. Në të majtë - jepni të ngjashme, në të djathtë - numëroni. Përgjigja është menjëherë:

Në këtë shembull, mjaftonte një transformim identik. E dyta nuk ishte e nevojshme. Epo, në rregull.)

Një shembull për të moshuarit.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Ne do të analizojmë dy lloje të sistemeve të zgjidhjes së ekuacioneve:

1. Zgjidhja e sistemit me metodën e zëvendësimit.
2. Zgjidhja e sistemit me mbledhje (zbritje) term pas termi të ekuacioneve të sistemit.

Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve metoda e zëvendësimit ju duhet të ndiqni një algoritëm të thjeshtë:
1. Ne shprehim. Nga çdo ekuacion, ne shprehim një ndryshore.
2. Zëvendësues. Ne zëvendësojmë në një ekuacion tjetër në vend të ndryshores së shprehur, vlerën që rezulton.
3. Ekuacionin që rezulton e zgjidhim me një ndryshore. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Te zgjidhesh sistem me mbledhje (zbritje) term pas termi nevojiten:
1. Zgjidhni një variabël për të cilën do të bëjmë të njëjtat koeficientë.
2. Shtojmë ose zbresim ekuacionet, si rezultat fitojmë një ekuacion me një ndryshore.
3. Ne zgjidhim ekuacionin linear që rezulton. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Zgjidhja e sistemit janë pikat e kryqëzimit të grafikëve të funksionit.

Le të shqyrtojmë në detaje zgjidhjen e sistemeve duke përdorur shembuj.

Shembulli #1:

Le të zgjidhim me metodën e zëvendësimit

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve me metodën e zëvendësimit

2x+5y=1 (1 ekuacion)
x-10y=3 (ekuacioni i dytë)

1. Shprehni
Mund të shihet se në ekuacionin e dytë ekziston një ndryshore x me koeficient 1, prandaj rezulton se është më e lehtë të shprehet ndryshorja x nga ekuacioni i dytë.
x=3+10y

2. Pas shprehjes, në ekuacionin e parë zëvendësojmë 3 + 10y në vend të ndryshores x.
2(3+10y)+5y=1

3. Ekuacionin që rezulton e zgjidhim me një ndryshore.
2(3+10y)+5y=1 (kllapa të hapura)
6+20v+5y=1
25v=1-6
25v=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve janë pikat e prerjes së grafikëve, prandaj duhet të gjejmë x dhe y, sepse pika e kryqëzimit përbëhet nga x dhe y. Le të gjejmë x, në paragrafin e parë ku u shprehëm e zëvendësojmë y-në aty.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Është zakon të shkruajmë pikë në radhë të parë, shkruajmë variablin x, dhe në radhë të dytë ndryshoren y.
Përgjigje: (1; -0.2)

Shembulli #2:

Le të zgjidhim me mbledhje (zbritje) term pas termi.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me metodën e mbledhjes

3x-2y=1 (1 ekuacion)
2x-3y=-10 (ekuacioni i 2-të)

1. Zgjidhni një variabël, le të themi se zgjedhim x. Në ekuacionin e parë, ndryshorja x ka një koeficient 3, në të dytin - 2. Ne duhet t'i bëjmë koeficientët të njëjtë, për këtë kemi të drejtë të shumëzojmë ekuacionet ose të pjesëtojmë me çdo numër. Ekuacionin e parë e shumëzojmë me 2, dhe të dytin me 3 dhe marrim një koeficient total prej 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Nga ekuacioni i parë, zbrit të dytin për të hequr qafe ndryshoren x. Zgjidhe ekuacionin linear.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Gjeni x. Zëvendësojmë y-në e gjetur në cilindo nga ekuacionet, le të themi në ekuacionin e parë.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Pika e kryqëzimit do të jetë x=4.6; y=6.4
Përgjigje: (4.6; 6.4)

Dëshironi të përgatiteni për provime falas? Tutor në internet eshte falas. Pa shaka.

Qëllimet:

1. Të sistemojë dhe përgjithësojë njohuritë dhe aftësitë me temën: Zgjidhje ekuacionesh të shkallës së tretë dhe të katërt.
2. Të thellojë njohuritë duke kryer një sërë detyrash, disa prej të cilave nuk janë të njohura as në llojin e tyre dhe as në mënyrën e zgjidhjes.
3. Formimi i interesit për matematikën nëpërmjet studimit të kapitujve të rinj të matematikës, edukimi i kulturës grafike përmes ndërtimit të grafikëve të ekuacioneve.

Lloji i mësimit: e kombinuar.

Pajisjet: projektor grafik.

Dukshmëria: tabela "Teorema e Vietës".

Gjatë orëve të mësimit

1. Llogari mendore

a) Sa është pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 me binomin x-a?

b) Sa rrënjë mund të ketë një ekuacion kub?

c) Me çfarë ndihme e zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë dhe të katërt?

d) Nëse b është një numër çift në ekuacionin kuadratik, atëherë çfarë është D dhe x 1; x 2

2. Punë e pavarur (në grupe)

Bëni një ekuacion nëse rrënjët janë të njohura (përgjigjet e detyrave janë të koduara) Përdorni "Teoremën Vieta"

1 grup

Rrënjët: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6

Shkruani një ekuacion:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d=-12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(ky ekuacion më pas zgjidhet nga grupi 2 në tabelë)

Zgjidhje . Ne po kërkojmë rrënjë të plota midis pjesëtuesve të numrit 36.

p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Numri 1 e plotëson ekuacionin, prandaj =1 është rrënja e ekuacionit. Skema e Hornerit

p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36

p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2

p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6

Përgjigje: 1; -2; -3; 6 shuma e rrënjëve 2 (P)

2 grup

Rrënjët: x 1 \u003d -1; x 2 = x 3 =2; x 4 \u003d 5

Shkruani një ekuacion:

B=-1+2+2+5-8; b=-8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10=-4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (grupi 3 zgjidh këtë ekuacion në tabelë)

p = ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20

p 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0

p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5

Përgjigje: -1;2;2;5 shuma e rrënjëve 8(P)

3 grup

Rrënjët: x 1 \u003d -1; x 2 =1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3

Shkruani një ekuacion:

B=-1+1-2+3=1;b=-1

s=-1+2-3-2+3-6=-7; s=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(ky ekuacion zgjidhet më vonë në tabelë nga grupi 4)

Zgjidhje. Ne po kërkojmë rrënjë të plota midis pjesëtuesve të numrit 6.

p = ±1; ±2; ±3; ±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0

p 2 (x) = x 2 -x -6=0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3

Përgjigje: -1; 1; -2; 3 Shuma e rrënjëve 1 (O)

4 grup

Rrënjët: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3

Shkruani një ekuacion:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36; e=-36

x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(ky ekuacion më pas zgjidhet nga grupi 5 në tabelë)

Zgjidhje. Ne po kërkojmë rrënjë të plota midis pjesëtuesve të numrit -36

p = ±1; ±2; ±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0

p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Përgjigje: -2; -2; -3; 3 Shuma e rrënjëve-4 (F)

5 grup

Rrënjët: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4

Shkruani një ekuacion

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ky ekuacion zgjidhet më pas nga grupi i 6-të në tabelë)

Zgjidhje . Ne po kërkojmë rrënjë të plota midis pjesëtuesve të numrit 24.

p = ±1; ±2; ±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0

p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O

p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0

Përgjigje: -1; -2; -3; -4 shuma-10 (I)

6 grup

Rrënjët: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8

Shkruani një ekuacion

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24=-43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (ky ekuacion më pas zgjidhet nga 1 grup në tabelë)

Zgjidhje . Ne po kërkojmë rrënjë të plota midis pjesëtuesve të numrit -24.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0

x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8

Përgjigje: 1; 1; -3; 8 shuma 7 (L)

3. Zgjidhja e ekuacioneve me një parametër

1. Zgjidhet ekuacioni x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; nëse njëra prej rrënjëve është (-1)

Përgjigjuni në rend rritës

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Sipas kushtit x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0

x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;

x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;

Përgjigje: - 1; -5; 3

Në rend rritës: -5;-1;3. (b n s)

2. Gjeni të gjitha rrënjët e polinomit x 3 - 3x 2 + sëpatë - 2a + 6, nëse mbetjet e ndarjes së tij në binomi x-1 dhe x + 2 janë të barabarta.

Zgjidhja: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)

P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a

P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a

x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6 (x-3) = 0

(x-3) (x 2 -6) = 0

Prodhimi i dy faktorëve është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga këta faktorë është i barabartë me zero, ndërsa tjetri ka kuptim.

2 grup. Rrënjët: -3; -2; një; 2;

3 grup. Rrënjët: -1; 2; 6; dhjetë;

4 grup. Rrënjët: -3; 2; 2; 5;

5 grup. Rrënjët: -5; -2; 2; katër;

6 grup. Rrënjët: -8; -2; 6; 7.

Ne ju ofrojmë një të përshtatshme falas kalkulator online për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Ju mund të merrni dhe kuptoni shpejt se si zgjidhen ato, duke përdorur shembuj të kuptueshëm.
Të prodhosh zgjidhni ekuacionin kuadratik në internet, fillimisht sillni ekuacionin në një formë të përgjithshme:
ax2 + bx + c = 0
Plotësoni fushat e formularit në përputhje me rrethanat:

Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik

Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik:	Llojet e rrënjëve:
1. Sillni ekuacionin kuadratik në një formë të përgjithshme: Pamje e përgjithshme e Ax 2 +Bx+C=0 Shembull: 3x - 2x 2 +1=-1 Redukto në -2x 2 +3x+2=0 2. Gjejmë diskriminuesin D. D=B 2 -4*A*C. Për shembullin tonë, D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Gjejmë rrënjët e ekuacionit. x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A. Për rastin tonë x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-B-D 1/2)/2A. Për shembullin tonë x2=(-3-5)/(-4)=2 Nëse B është një numër çift, atëherë është më i përshtatshëm për të llogaritur diskriminuesin dhe rrënjët duke përdorur formulat: D \u003d K 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2 \u003d (-K-D 1/2) / A, Ku K=B/2	1. Rrënjët e vërteta. Dhe. x1 nuk është e barabartë me x2 Situata lind kur D>0 dhe A nuk është e barabartë me 0. 2. Rrënjët e vërteta janë të njëjta. x1 është e barabartë me x2 Situata lind kur D=0. Sidoqoftë, as A, as B, as C nuk duhet të jenë të barabarta me 0. 3. Dy rrënjë komplekse. x1=d+ei, x2=d-ei, ku i=-(1) 1/2 Situata lind kur D 4. Ekuacioni ka një zgjidhje. A=0, B dhe C nuk janë të barabarta me zero. Ekuacioni bëhet linear. 5. Ekuacioni ka një numër të pafund zgjidhjesh. A=0, B=0, C=0. 6. Ekuacioni nuk ka zgjidhje. A=0, B=0, C nuk është e barabartë me 0.

Për të konsoliduar algoritmin, këtu janë disa të tjera shembuj ilustrues të zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike.

Shembulli 1. Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik të zakonshëm me rrënjë reale të ndryshme.
x 2 + 3x -10 = 0
Në këtë ekuacion
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
rrënja katrore do të shënohet si numri 1/2!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5

Për të kontrolluar, le të zëvendësojmë:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10

Shembulli 2. Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik me të njëjtat rrënjë reale.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1, B=-8, C=16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4

Zëvendësues
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16

Shembulli 3. Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik me rrënjë komplekse.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
Diskriminuesi është negativ - rrënjët janë komplekse.

X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, ku I është rrënja katrore e -1

Këtu janë në fakt të gjitha rastet e mundshme të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike.
Shpresojmë që tonë kalkulator në internet do të jetë shumë e dobishme për ju.
Nëse materiali ishte i dobishëm, mundeni

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Së pari ju duhet të përdorni metodën e përzgjedhjes për të gjetur një rrënjë. Zakonisht është pjesëtuesi i termit të lirë. Në këtë rast, pjesëtuesit e numrit 12 janë ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Le të fillojmë t'i zëvendësojmë ato me radhë:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ numri 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ numri -1 nuk është rrënjë e një polinomi

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ numri 2 është rrënja e polinomit

Kemi gjetur 1 nga rrënjët e polinomit. Rrënja e polinomit është 2, që do të thotë se polinomi origjinal duhet të jetë i pjesëtueshëm me x - 2. Për të kryer ndarjen e polinomeve, ne përdorim skemën e Hornerit:

	2	5	-11	-20	12
2

Vija e sipërme përmban koeficientët e polinomit origjinal. Në qelizën e parë të rreshtit të dytë vendosim rrënjën që gjetëm 2. Rreshti i dytë përmban koeficientët e polinomit, të cilët do të fitohen si rezultat i pjesëtimit. Ata numërohen kështu:

2 5 -11 -20 12 2 2	Në qelizën e dytë të rreshtit të dytë, shkruani numrin 2, thjesht duke e zhvendosur atë nga qeliza përkatëse e rreshtit të parë.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Numri i fundit është pjesa e mbetur e pjesëtimit. Nëse është e barabartë me 0, atëherë ne kemi numëruar gjithçka saktë.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Por ky nuk është fundi. Mund të përpiqeni të zgjeroni polinomin në të njëjtën mënyrë 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Përsëri po kërkojmë rrënjën midis pjesëtuesve të termit të lirë. Pjesëtuesit e numrave -6 janë ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ numri 1 nuk është rrënjë e një polinomi

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ numër -1 nuk është rrënjë e një polinomi

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ numri 2 nuk është rrënjë e një polinomi

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ numri -2 është rrënja e polinomit

Le të shkruajmë rrënjën e gjetur në skemën tonë Horner dhe të fillojmë të plotësojmë qelizat boshe:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Në qelizën e dytë të rreshtit të tretë, shkruani numrin 2, thjesht duke e zhvendosur nga qeliza përkatëse e rreshtit të dytë.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Kështu, ne faktorizuam polinomin origjinal:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Polinom 2x 2 + 5x - 3 mund të faktorizohet edhe. Për ta bërë këtë, ju mund të zgjidhni ekuacionin kuadratik përmes diskriminuesit, ose mund të kërkoni rrënjën midis pjesëtuesve të numrit -3. Në një mënyrë apo tjetër, do të arrijmë në përfundimin se rrënja e këtij polinomi është numri -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Në qelizën e dytë të rreshtit të katërt, shkruani numrin 2, thjesht duke e transferuar atë nga qeliza përkatëse e rreshtit të tretë.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Kështu, ne e zbërthejmë polinomin origjinal në faktorë linearë:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)

Dhe rrënjët e ekuacionit janë.