Funksioni y = dhe grafiku i tij.
GOLA:
1) prezantoni përkufizimin e funksionit y = ;
2) mësoni si të grafikoni funksionin y = duke përdorur programin Agrapher;
3) për të formuar aftësinë për të ndërtuar skica të grafikëve të funksionit y \u003d duke përdorur vetitë e transformimit të grafikëve të funksioneve;
I. Material i ri - bisedë e zgjeruar.
Y: Konsideroni funksionet e dhëna nga formulat y = ; y = ; y = .
Cilat janë shprehjet e shkruara në anën e djathtë të këtyre formulave?
D: Pjesët e drejta të këtyre formulave kanë formën e një thyese racionale, në të cilën numëruesi është një binom i shkallës së parë ose një numër i ndryshëm nga zero, dhe emëruesi është një binom i shkallës së parë.
U: Është e zakonshme të specifikohen funksione të tilla me një formulë të formës
Shqyrtoni rastet kur a) c = 0 ose c) = .
(Nëse në rastin e dytë nxënësit do të kenë vështirësi, atëherë duhet t'u kërkoni atyre të shprehen Me nga një proporcion i caktuar dhe më pas zëvendësoni shprehjen që rezulton në formulën (1)).
D1: Nëse c \u003d 0, atëherë y \u003d x + b është një funksion linear.
D2: Nëse = , atëherë c = . Zëvendësimi i vlerës Me në formulën (1) marrim:
Kjo do të thotë, y = është një funksion linear.
Y: Një funksion që mund të specifikohet me një formulë të formës y \u003d, ku shkronja x tregon një të pavarur
kjo ndryshore, dhe shkronjat a, b, c dhe d janë numra arbitrar, dhe c0 dhe ad janë të gjitha 0, quhet funksion linear-fraksional.
Le të tregojmë se grafiku i një funksioni linear-fraksional është një hiperbolë.
Shembulli 1 Le të vizatojmë funksionin y = . Le të nxjerrim pjesën e plotë nga thyesa.
Kemi: = = = 1 + .
Grafiku i funksionit y \u003d +1 mund të merret nga grafiku i funksionit y \u003d duke përdorur dy përkthime paralele: një zhvendosje prej 2 njësive në të djathtë përgjatë boshtit X dhe një zhvendosje prej 1 njësie lart në drejtim të boshti Y. Me këto zhvendosje, asimptotat e hiperbolës y \u003d do të lëvizin: drejtëza x \u003d 0 (d.m.th., boshti y) është 2 njësi në të djathtë, dhe drejtëza y = 0 (d.m.th. boshti x) është një njësi lart. Para se të vizatojmë vizatimin, le të vizatojmë asimptota në planin koordinativ me një vijë me pika: drejtëza x = 2 dhe y = 1 (Fig. 1a). Duke marrë parasysh se hiperbola përbëhet nga dy degë, për të ndërtuar secilën prej tyre, ne do të përpilojmë, duke përdorur programin Agrapher, dy tabela: njëra për x>2 dhe tjetra për x.<2.
| X | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
| në | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
| X | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| në | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Shënoni (duke përdorur programin Agrapher) në planin koordinativ pikat, koordinatat e të cilave janë regjistruar në tabelën e parë dhe lidhini ato me një vijë të qetë të vazhdueshme. Marrim një degë të hiperbolës. Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur tabelën e dytë, marrim degën e dytë të hiperbolës (Fig. 1b).
Shembulli 2. Le të vizatojmë funksionin y \u003d -. Ne zgjedhim pjesën e plotë nga thyesa duke e ndarë binomin 2x + 10 me binomin x + 3. Marrim = 2 +. Prandaj, y = -2.
Grafiku i funksionit y = -2 mund të merret nga grafiku i funksionit y = - duke përdorur dy përkthime paralele: një zhvendosje me 3 njësi majtas dhe një zhvendosje prej 2 njësi poshtë. Asimptotat e hiperbolës janë drejtëzat x = -3 dhe y = -2. Përpiloni (duke përdorur programin Agrapher) tabela për x<-3 и для х>-3.
| X | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| në | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| X | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| në | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
Pasi kemi ndërtuar (duke përdorur programin Agrapher) pika në planin koordinativ dhe duke vizatuar degët e hiperbolës përmes tyre, marrim një grafik të funksionit y = - (Fig. 2).
W: Cili është grafiku i një funksioni thyesor linear?
D: Grafiku i çdo funksioni linear-fraksional është një hiperbolë.
Pyetje: Si të vizatoni një funksion thyesor linear?
D: Grafiku i një funksioni linear-fraksional është marrë nga grafiku i funksionit y \u003d duke përdorur përkthime paralele përgjatë boshteve të koordinatave, degët e hiperbolës së funksionit linear-fraksional janë simetrike në lidhje me pikën (-. E drejta vija x \u003d - quhet asimptota vertikale e hiperbolës. Vija e drejtë y \u003d quhet asimptotë horizontale.
Pyetje: Cila është fusha e një funksioni linear-fraksional?
Pyetje: Sa është diapazoni i një funksioni thyesor linear?
D: E(y) = .
T: A ka funksioni zero?
D: Nëse x \u003d 0, atëherë f (0) \u003d, d. Kjo do të thotë, funksioni ka zero - pika A.
Pyetje: A ka grafiku i një funksioni thyesor linear pikat e prerjes me boshtin x?
D: Nëse y = 0, atëherë x = -. Pra, nëse a, atëherë pika e kryqëzimit me boshtin X ka koordinata. Nëse a \u003d 0, in, atëherë grafiku i një funksioni linear-fraksional nuk ka pika të kryqëzimit me boshtin e abshisës.
Y: Funksioni zvogëlohet në intervalet e të gjithë domenit të përkufizimit nëse bc-ad > 0 dhe rritet në intervalet e të gjithë domenit të përkufizimit nëse bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.
T: A është e mundur të specifikoni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit?
D: Funksioni nuk ka vlera maksimale dhe minimale.
T: Cilat drejtëza janë asimptotat e grafikut të një funksioni linear-thyesor?
D: Asimptota vertikale është drejtëza x = -; dhe asimptota horizontale është drejtëza y = .
(Nxënësit shkruajnë në një fletore të gjitha përfundimet përgjithësuese-përkufizimet dhe vetitë e një funksioni linear-fraksional)
II. Konsolidimi.
Kur ndërtoni dhe "lexoni" grafikët e funksioneve lineare-fraksionale, përdoren vetitë e programit Agrapher.
III. Mësimdhënia e punës së pavarur.
- Gjeni qendrën e hiperbolës, asimptotat dhe grafikoni funksionin:
a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; f) y = ;
g) y = h) y = -
Secili student punon me ritmin e vet. Nëse është e nevojshme, mësuesi ofron ndihmë duke bërë pyetje, përgjigjet e të cilave do ta ndihmojnë nxënësin të kryejë saktë detyrën.
Punë laboratorike dhe praktike për studimin e vetive të funksioneve y = dhe y = dhe veçorive të grafikëve të këtyre funksioneve.
OBJEKTIVAT: 1) të vazhdojë formimi i aftësive për të ndërtuar grafikët e funksioneve y = dhe y = duke përdorur programin Agrapher;
2) për të konsoliduar aftësitë e "leximit të grafikëve" të funksioneve dhe aftësinë për të "parashikuar" ndryshimet në grafikë nën transformime të ndryshme të funksioneve lineare të pjesshme.
I. Përsëritje e diferencuar e vetive të një funksioni linear-thyesor.
Secilit student i jepet një kartë - një printim me detyra. Të gjitha ndërtimet kryhen duke përdorur programin Agrapher. Rezultatet e secilës detyrë diskutohen menjëherë.
Çdo nxënës, me ndihmën e vetëkontrollit, mund të korrigjojë rezultatet e marra gjatë detyrës dhe të kërkojë ndihmë nga një mësues ose një konsulent studentor.
Gjeni vlerën e argumentit X për të cilin f(x) =6 ; f(x)=-2,5.
3. Ndërtoni një grafik të funksionit y \u003d Përcaktoni nëse pika i përket grafikut të këtij funksioni: a) A (20; 0.5); b) B(-30;-); c) C(-4;2.5); d) D(25;0.4)?
4. Vizatoni funksionin y \u003d Gjeni intervalet në të cilat y\u003e 0 dhe në të cilat y<0.
5. Paraqitni funksionin y = . Gjeni domenin dhe gamën e funksionit.
6. Tregoni asimptotat e hiperbolës - grafikun e funksionit y \u003d -. Kryeni komplot.
7. Paraqitni funksionin y = . Gjeni zerat e funksionit.
II.Punë laboratorike dhe praktike.
Secilit nxënës i jepen 2 karta: numri i kartës 1 "Udhëzim" me një plan që po punohet, dhe teksti me detyrën dhe kartën numër 2 " Rezultatet e studimit të funksionit ”.
- Vizatoni funksionin e specifikuar.
- Gjeni shtrirjen e funksionit.
- Gjeni gamën e funksionit.
- Jepni asimptotat e hiperbolës.
- Gjeni zerot e funksionit (f(x) = 0).
- Gjeni pikën e kryqëzimit të hiperbolës me boshtin x (y = 0).
7. Gjeni boshllëqet në të cilat: a) y<0; б) y>0.
8. Përcaktoni intervalet e rritjes (zvogëlimit) të funksionit.
Opsioni I.
Ndërtoni, duke përdorur programin Agrapher, një grafik funksioni dhe eksploroni vetitë e tij:
a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = e) y = . -5-
Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë një funksion linear-fraksional, do të zgjidhim probleme duke përdorur një funksion linear-fraksional, modul, parametër.
Tema: Përsëritje
Mësim: Funksioni linear thyesor
Përkufizimi:
Një funksion linear-fraksional quhet funksion i formës:
Për shembull:
Le të vërtetojmë se grafiku i këtij funksioni linear-fraksional është një hiperbolë.
Le të nxjerrim frazën në numërues, marrim:
Kemi x edhe në numërues edhe në emërues. Tani transformojmë në mënyrë që shprehja të shfaqet në numërues:
Tani le ta zvogëlojmë termin e thyesës sipas termit:
Natyrisht, grafiku i këtij funksioni është një hiperbolë.
Ne mund të ofrojmë një mënyrë të dytë të provës, domethënë, të ndajmë numëruesin me emëruesin në një kolonë:
Mora:
Është e rëndësishme të jeni në gjendje të ndërtoni me lehtësi një grafik të një funksioni linear-fraksional, në veçanti, për të gjetur qendrën e simetrisë së një hiperbole. Le ta zgjidhim problemin.
Shembulli 1 - skiconi një grafik funksioni:
Ne e kemi konvertuar tashmë këtë funksion dhe kemi:
Për të ndërtuar këtë grafik, ne nuk do të zhvendosim boshtet ose vetë hiperbolën. Ne përdorim metodën standarde të ndërtimit të grafikëve të funksionit, duke përdorur praninë e intervaleve të qëndrueshmërisë.
Ne veprojmë sipas algoritmit. Së pari, ne shqyrtojmë funksionin e dhënë.
Kështu, ne kemi tre intervale të qëndrueshmërisë: në të djathtë () funksioni ka një shenjë plus, pastaj shenjat alternojnë, pasi të gjitha rrënjët kanë shkallën e parë. Pra, në interval funksioni është negativ, në interval funksioni është pozitiv.
Ne ndërtojmë një skicë të grafikut në afërsi të rrënjëve dhe pikave të thyerjes së ODZ. Kemi: meqenëse në pikën shenja e funksionit ndryshon nga plus në minus, atëherë kurba është fillimisht mbi boshtin, pastaj kalon në zero dhe më pas ndodhet nën boshtin x. Kur emëruesi i një thyese është praktikisht zero, atëherë kur vlera e argumentit priret në tre, vlera e thyesës tenton në pafundësi. Në këtë rast, kur argumenti i afrohet treshes në të majtë, funksioni është negativ dhe tenton në minus pafundësi, në të djathtë, funksioni është pozitiv dhe del nga plus pafundësia.
Tani ndërtojmë një skicë të grafikut të funksionit në afërsi të pikave pafundësisht të largëta, d.m.th. kur argumenti tenton në pafundësi plus ose minus. Në këtë rast, termat konstante mund të neglizhohen. Ne kemi:
Kështu, kemi një asimptotë horizontale dhe një vertikale, qendra e hiperbolës është pika (3; 2). Le të ilustrojmë:
Oriz. 1. Grafiku i hiperbolës për shembull 1
Problemet me një funksion linear-fraksional mund të ndërlikohen nga prania e një moduli ose parametri. Për të ndërtuar, për shembull, një grafik funksioni, duhet të ndiqni algoritmin e mëposhtëm:
Oriz. 2. Ilustrim për algoritmin
Grafiku që rezulton ka degë që janë mbi boshtin x dhe nën boshtin x.
1. Aplikoni modulin e specifikuar. Në këtë rast, pjesët e grafikut që janë mbi boshtin x mbeten të pandryshuara, dhe ato që janë nën boshtin pasqyrohen në lidhje me boshtin x. Ne marrim:
Oriz. 3. Ilustrim për algoritmin
Shembulli 2 - vizatoni një grafik funksioni:
Oriz. 4. Grafiku i funksionit për shembull 2
Le të shqyrtojmë detyrën e mëposhtme - të vizatojmë një grafik funksioni. Për ta bërë këtë, duhet të ndiqni algoritmin e mëposhtëm:
1. Grafikoni funksionin nënmodular
Supozoni se kemi grafikun e mëposhtëm:
Oriz. 5. Ilustrim për algoritmin
1. Aplikoni modulin e specifikuar. Për të kuptuar se si ta bëjmë këtë, le të zgjerojmë modulin.
Kështu, për vlerat e funksionit me vlera jo negative të argumentit, nuk do të ketë ndryshime. Lidhur me ekuacionin e dytë, ne e dimë se ai fitohet nga një hartë simetrike rreth boshtit y. kemi një grafik të funksionit:
Oriz. 6. Ilustrim për algoritmin
Shembulli 3 - vizatoni një grafik funksioni:
Sipas algoritmit, së pari ju duhet të vizatoni një grafik funksioni nënmodular, ne e kemi ndërtuar tashmë atë (shih Figurën 1)
Oriz. 7. Grafiku i funksionit për shembull 3
Shembulli 4 - gjeni numrin e rrënjëve të një ekuacioni me një parametër:
Kujtoni që zgjidhja e një ekuacioni me një parametër do të thotë të përsërisni të gjitha vlerat e parametrit dhe të specifikoni përgjigjen për secilën prej tyre. Ne veprojmë sipas metodologjisë. Së pari, ne ndërtojmë një grafik të funksionit, këtë e kemi bërë tashmë në shembullin e mëparshëm (shih Figurën 7). Më pas, ju duhet të prisni grafikun me një familje vijash për a të ndryshme, të gjeni pikat e kryqëzimit dhe të shkruani përgjigjen.
Duke parë grafikun, shkruajmë përgjigjen: për dhe ekuacioni ka dy zgjidhje; për , ekuacioni ka një zgjidhje; për , ekuacioni nuk ka zgjidhje.
1. Funksioni thyesor linear dhe grafiku i tij
Një funksion i formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome, quhet funksion racional thyesor.
Ju ndoshta jeni njohur tashmë me konceptin e numrave racionalë. Në mënyrë të ngjashme funksionet racionale janë funksione që mund të paraqiten si herës i dy polinomeve.
Nëse një funksion racional thyesor është një herës i dy funksioneve lineare - polinomeve të shkallës së parë, d.m.th. funksionin e pamjes
y = (ax + b) / (cx + d), atëherë quhet lineare thyesore.
Vini re se në funksionin y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (përndryshe funksioni bëhet linear y = ax/d + b/d) dhe se a/c ≠ b/d (ndryshe funksioni është një konstante). Funksioni linear-thyes është përcaktuar për të gjithë numrat realë, me përjashtim të x = -d/c. Grafikët e funksioneve lineare-fraksionale nuk ndryshojnë në formë nga grafiku që njihni y = 1/x. Lakorja që është grafiku i funksionit y = 1/x quhet hiperbolë. Me një rritje të pakufizuar të x në vlerë absolute, funksioni y = 1/x zvogëlohet pafundësisht në vlerë absolute dhe të dy degët e grafikut i afrohen boshtit të abshisave: e djathta afrohet nga lart dhe e majta afrohet nga poshtë. Vijat që afrohen nga degët e një hiperbole quhen të saj asimptota.
Shembulli 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Zgjidhje.
Le të zgjedhim pjesën e plotë: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: zhvendosje me 3 segmente njësi në të djathtë, shtrirje përgjatë boshtit Oy me 7 herë dhe zhvendosje me 2 segmente njësi lart.
Çdo thyesë y = (ax + b) / (cx + d) mund të shkruhet në të njëjtën mënyrë, duke theksuar "pjesën e plotë". Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare-fraksionale janë hiperbola të zhvendosura përgjatë boshteve koordinative në mënyra të ndryshme dhe të shtrira përgjatë boshtit Oy.
Për të paraqitur një grafik të një funksioni arbitrar linear-fraksional, nuk është aspak e nevojshme të transformohet fraksioni që përcakton këtë funksion. Meqenëse e dimë se grafiku është një hiperbolë, do të mjaftojë të gjejmë linjat të cilave u afrohen degët e tij - asimptotat e hiperbolës x = -d/c dhe y = a/c.
Shembulli 2
Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit y = (3x + 5)/(2x + 2).
Zgjidhje.
Funksioni nuk është i përcaktuar kur x = -1. Prandaj, rreshti x = -1 shërben si një asimptotë vertikale. Për të gjetur asimptotën horizontale, le të zbulojmë se çfarë afrohen vlerat e funksionit y(x) kur argumenti x rritet në vlerë absolute.
Për ta bërë këtë, ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Ndërsa x → ∞ thyesa priret në 3/2. Prandaj, asimptota horizontale është drejtëza y = 3/2.
Shembulli 3
Paraqitni funksionin y = (2x + 1)/(x + 1).
Zgjidhje.
Ne zgjedhim "të gjithë pjesën" e thyesës:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: një zhvendosje prej 1 njësi në të majtë, një shfaqje simetrike në lidhje me Ox, dhe një zhvendosje prej 2 intervalesh njësi lart përgjatë boshtit Oy.
Domeni i përkufizimit D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Gama e vlerave E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Pikat e kryqëzimit me akset: c Oy: (0; 1); c Ka: (-1/2; 0). Funksioni rritet në secilin nga intervalet e domenit të përkufizimit.
Përgjigje: figura 1.
2. Funksioni thyesor-racional
Konsideroni një funksion racional thyesor të formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome me shkallë më të lartë se i pari.
Shembuj të funksioneve të tilla racionale:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ose y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Nëse funksioni y = P(x) / Q(x) është një herës i dy polinomeve të shkallës më të lartë se i pari, atëherë grafiku i tij, si rregull, do të jetë më i ndërlikuar dhe ndonjëherë mund të jetë i vështirë për ta ndërtuar atë saktësisht. , me te gjitha detajet. Megjithatë, shpesh është e mjaftueshme për të aplikuar teknika të ngjashme me ato me të cilat kemi takuar tashmë më lart.
Le të jetë thyesa e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Natyrisht, grafiku i një funksioni racional thyesor mund të merret si shuma e grafikëve të thyesave elementare.
Hartimi i funksioneve racionale thyesore
Shqyrtoni disa mënyra për të paraqitur një funksion thyesor-racional.
Shembulli 4
Paraqitni funksionin y = 1/x 2 .
Zgjidhje.
Ne përdorim grafikun e funksionit y \u003d x 2 për të paraqitur grafikun y \u003d 1 / x 2 dhe përdorim metodën e "pjestimit" të grafikëve.
Domeni D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Gama e vlerave E(y) = (0; +∞).
Nuk ka pika kryqëzimi me akset. Funksioni është i barabartë. Rritet për të gjitha x nga intervali (-∞; 0), zvogëlohet për x nga 0 në +∞.
Përgjigje: figura 2.
Shembulli 5
Paraqitni funksionin y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Zgjidhje.
Domeni D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Këtu kemi përdorur teknikën e faktorizimit, reduktimit dhe reduktimit në një funksion linear.
Përgjigje: figura 3.
Shembulli 6
Paraqitni funksionin y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Zgjidhje.
Fusha e përkufizimit është D(y) = R. Meqenëse funksioni është çift, grafiku është simetrik në lidhje me boshtin y. Para se të vizatojmë, ne përsëri transformojmë shprehjen duke theksuar pjesën e plotë:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Vini re se zgjedhja e pjesës së plotë në formulën e një funksioni thyesor-racional është një nga më kryesoret gjatë vizatimit të grafikëve.
Nëse x → ±∞, atëherë y → 1, d.m.th. drejtëza y = 1 është një asimptotë horizontale.
Përgjigje: figura 4.
Shembulli 7
Konsideroni funksionin y = x/(x 2 + 1) dhe përpiquni të gjeni saktësisht vlerën e tij më të madhe, d.m.th. pika më e lartë në gjysmën e djathtë të grafikut. Për të ndërtuar me saktësi këtë grafik nuk mjaftojnë njohuritë e sotme. Është e qartë se kurba jonë nuk mund të "ngjitet" shumë lart, pasi emëruesi shpejt fillon të "kapërcejë" numëruesin. Le të shohim nëse vlera e funksionit mund të jetë e barabartë me 1. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni ekuacionin x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë reale. Pra, supozimi ynë është i gabuar. Për të gjetur vlerën më të madhe të funksionit, duhet të zbuloni se për cilin A më të madh do të ketë një zgjidhje ekuacioni A \u003d x / (x 2 + 1). Le të zëvendësojmë ekuacionin origjinal me një kuadratik: Ax 2 - x + A \u003d 0. Ky ekuacion ka një zgjidhje kur 1 - 4A 2 ≥ 0. Nga këtu gjejmë vlerën më të madhe A \u003d 1/2. 
Përgjigje: Figura 5, max y(x) = ½.
A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të ndërtoni grafikët e funksioneve?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!
blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
sëpatë +b
Një funksion thyesor linear është një funksion i formës y = --- ,
cx +d
ku x- variabël, a,b,c,d janë disa numra, dhe c ≠ 0, ad-para Krishtit ≠ 0.
Vetitë e një funksioni linear-fraksional:
Grafiku i një funksioni linear-fraksional është një hiperbolë, e cila mund të merret nga hiperbola y = k/x duke përdorur përkthime paralele përgjatë boshteve të koordinatave. Për ta bërë këtë, formula e një funksioni linear-fraksional duhet të përfaqësohet në formën e mëposhtme:
k
y = n + ---
x-m
ku n- numri i njësive me të cilat hiperbola zhvendoset djathtas ose majtas, m- numri i njësive me të cilat hiperbola lëviz lart ose poshtë. Në këtë rast, asimptotat e hiperbolës zhvendosen në drejtëzat x = m, y = n.
Një asimptotë është një vijë e drejtë që afrohet nga pikat e kurbës ndërsa ato largohen në pafundësi (shih figurën më poshtë).
Sa i përket transfertave paralele, shihni seksionet e mëparshme.
Shembulli 1 Gjeni asimptotat e hiperbolës dhe vizatoni grafikun e funksionit:
x + 8
y = ---
x – 2
Zgjidhja:
k
Le ta paraqesim thyesën si n + ---
x-m
Për këtë x+ 8 shkruajmë në formën e mëposhtme: x - 2 + 10 (d.m.th. 8 u paraqit si -2 + 10).
x+ 8 x – 2 + 10 1 (x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2
Pse shprehja mori këtë formë? Përgjigja është e thjeshtë: bëni mbledhjen (duke i sjellë të dy termat në një emërues të përbashkët) dhe do të ktheheni në shprehjen e mëparshme. Domethënë është rezultat i transformimit të shprehjes së dhënë.
Pra, kemi marrë të gjitha vlerat e nevojshme:
k = 10, m = 2, n = 1.
Kështu, ne kemi gjetur asimptotat e hiperbolës sonë (bazuar në faktin se x = m, y = n):
Kjo do të thotë, një asimptotë e hiperbolës shkon paralelisht me boshtin y në një distancë prej 2 njësive në të djathtë të saj, dhe asimptota e dytë shkon paralelisht me boshtin x 1 njësi mbi të.
Le ta përshkruajmë këtë funksion. Për ta bërë këtë, ne do të bëjmë sa më poshtë:
1) vizatojmë në planin koordinativ me një vijë me pika asimptotat - drejtëza x = 2 dhe drejtëza y = 1.
2) meqenëse hiperbola përbëhet nga dy degë, atëherë për të ndërtuar këto degë do të përpilojmë dy tabela: një për x<2, другую для x>2.
Së pari, ne zgjedhim vlerat x për opsionin e parë (x<2). Если x = –3, то:
10
y = 1 + --- = 1 - 2 = -1
–3
– 2
Ne zgjedhim në mënyrë arbitrare vlera të tjera x(për shembull, -2, -1, 0 dhe 1). Llogaritni vlerat përkatëse y. Rezultatet e të gjitha llogaritjeve të marra futen në tabelë:
Tani le të bëjmë një tabelë për opsionin x>2:
Këtu janë koeficientët për X dhe termave të lirë në numërues dhe emërues jepen numra realë. Grafiku i një funksioni linear-fraksional në rastin e përgjithshëm është hiperbolë.
Funksioni më i thjeshtë thyesor linear y = - ti-
goditjet proporcionaliteti i anasjelltë; hiperbola që e përfaqëson është e njohur nga një kurs i shkollës së mesme (Fig. 5.5).
Oriz. 5.5
Shembull. 5.3
Vizatoni një grafik të funksionit linear-fraksional:
- 1. Meqenëse kjo thyesë nuk ka kuptim kur x = 3, pastaj domeni i funksionit X përbëhet nga dy intervale të pafundme:
- 3) dhe (3; +°°).
2. Për të studiuar sjelljen e një funksioni në kufirin e fushës së përkufizimit (d.m.th., kur X-»3 dhe në X-> ±°°), është e dobishme të konvertohet kjo shprehje në një shumë prej dy termash si më poshtë:
Meqenëse termi i parë është konstant, sjellja e funksionit në kufi përcaktohet në fakt nga termi i dytë, i ndryshueshëm. Duke shqyrtuar procesin e ndryshimit X-> 3 dhe X->±°°, bëj përfundimet e mëposhtme në lidhje me funksionin e dhënë:
- a) në x->3 në të djathtë(d.m.th. për *>3) vlera e funksionit rritet pafundësisht: në-> +°°: në x->3 majtas(d.m.th. për x y-Kështu, hiperbola e dëshiruar i afrohet vijës së drejtë për një kohë të pacaktuar me ekuacionin x \u003d 3 (poshtë majtas dhe lart djathtas) dhe kështu kjo linjë është asimptotë vertikale hiperbolë;
- b) kur x ->±°° termi i dytë zvogëlohet pafundësisht, prandaj vlera e funksionit i afrohet termit të parë, konstant për një kohë të pacaktuar, d.m.th. për të vlerësuar y= 2. Në këtë rast, grafiku i funksionit afrohet pafundësisht (poshtë majtas dhe lart djathtas) në drejtëzën e dhënë nga ekuacioni y= 2; kështu që kjo linjë është asimptotë horizontale hiperbolë.
Koment. Informacioni i marrë në këtë paragraf është më i rëndësishmi për karakterizimin e sjelljes së grafikut të një funksioni në një pjesë të largët të planit (në kuptimin figurativ, në pafundësi).
- 3. Duke supozuar n = 0, gjejmë y = ~. Prandaj, hi-
perbola kalon boshtin OU në pikën M x = (0;-^).
- 4. Funksioni zero ( në= 0) do të jetë në X= -2; prandaj kjo hiperbolë e pret boshtin Oh në pikën M 2 (-2; 0).
- 5. Një thyesë është pozitive nëse numëruesi dhe emëruesi janë të së njëjtës shenjë, dhe negative nëse janë me shenja të ndryshme. Duke zgjidhur sistemet përkatëse të pabarazive, gjejmë se funksioni ka dy intervale pozitive: (-°°; -2) dhe (3; +°°) dhe një interval negativ: (-2; 3).
- 6. Paraqitja e një funksioni si një shumë e dy termave (shih nr. 2) e bën mjaft të lehtë gjetjen e dy intervaleve të uljes: (-°°; 3) dhe (3; +°°).
- 7. Natyrisht, ky funksion nuk ka ekstreme.
- 8. Kompleti Y i vlerave të këtij funksioni: (-°°; 2) dhe (2; +°°).
- 9. Nuk ka gjithashtu barazi, çuditshmëri, periodicitet. Informacioni i mbledhur është i mjaftueshëm për në mënyrë skematike
vizatoni një hiperbolë grafikisht duke pasqyruar vetitë e këtij funksioni (Fig. 5.6).
Oriz. 5.6
Funksionet e diskutuara deri në këtë pikë quhen algjebrike. Le të shqyrtojmë tani transcendent funksione.
