Grafiku i funksionit Y sin sinx. Mësimi "Funksioni y = sinx, vetitë dhe grafiku i tij"

Kthehu përpara

Kujdes! Parapamje sllajdet përdoren vetëm për qëllime informative dhe mund të mos japin një ide për të gjitha mundësitë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për kjo pune ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Hekuri ndryshket, duke mos gjetur dobi për vete,
Uji në këmbë kalbet ose ngrin në të ftohtë,
dhe mendja e njeriut, duke mos gjetur dobi për vete, thahet.
Leonardo da Vinci

Teknologjitë e përdorura: të nxënit me probleme, të menduarit kritik, komunikimin komunikues.

Qëllimet:

• Zhvillimi interesi njohës për të mësuar.
• Studimi i vetive të funksionit y = sin x.
• Formimi i aftësive praktike për ndërtimin e grafikut të funksionit y = sin x bazuar në materialin teorik të studiuar.

Detyrat:

1. Përdorni potencialin ekzistues të njohurive për vetitë e funksionit y = sin x në situata specifike.

2. Zbatoni vendosjen e ndërgjegjshme të lidhjeve ndërmjet modeleve analitike dhe gjeometrike të funksionit y = sin x.

Zhvilloni iniciativën, një vullnet dhe interes të caktuar për të gjetur një zgjidhje; aftësia për të marrë vendime, mos u ndalni këtu, mbrojeni këndvështrimin tuaj.

Të nxisë te nxënësit aktivitetin njohës, ndjenjën e përgjegjësisë, respektin për njëri-tjetrin, mirëkuptimin reciprok, mbështetjen e ndërsjellë, vetëbesimin; kultura e komunikimit.

Gjatë orëve të mësimit

Faza 1. Aktualizimi i njohurive bazë, motivimi për të studiuar material të ri

“Hyrja në mësim”.

Janë 3 deklarata të shkruara në tabelë:

1. Ekuacioni trigonometrik sin t = a ka gjithmonë një zgjidhje.
2. Një funksion tek mund të vizatohet duke transformuar simetrinë rreth boshtit y.
3. Një funksion trigonometrik mund të vizatohet duke përdorur një gjysmëvalë kryesore.

Nxënësit diskutojnë në dyshe: A janë të sakta pohimet? (1 minutë). Rezultatet e diskutimit fillestar (po, jo) futen më pas në tabelën në kolonën "Përpara".

Mësuesi/ja vendos qëllimet dhe objektivat e orës së mësimit.

2. Përditësimi i njohurive (frontalisht në modelin e rrethit trigonometrik).

Tashmë kemi takuar funksionin s = sin t.

1) Çfarë vlerash mund të marrë ndryshorja t. Cili është qëllimi i këtij funksioni?

2) Në çfarë intervali janë vlerat e shprehjes sin t. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit s = sin t.

3) Zgjidheni ekuacionin sin t = 0.

4) Çfarë ndodh me ordinatën e një pike kur ajo lëviz përgjatë tremujorit të parë? (ordinata rritet). Çfarë ndodh me ordinatën e një pike kur ajo lëviz përgjatë tremujorit të dytë? (ordinata po zvogëlohet gradualisht). Si lidhet kjo me monotoninë e funksionit? (funksioni s = sin t rritet në segment dhe zvogëlohet në segment).

5) Le të shkruajmë funksionin s = sin t në formën e zakonshme për ne y = sin x (do të ndërtojmë në sistemin e zakonshëm të koordinatave xOy) dhe të përpilojmë një tabelë të vlerave të këtij funksioni.

NS	0
në	0			1			0

Faza 2. Perceptimi, të kuptuarit, konsolidimi parësor, memorizimi i pavullnetshëm

Faza 4. Sistematizimi parësor i njohurive dhe metodave të veprimtarisë, transferimi dhe zbatimi i tyre në situata të reja

6.Nr.10.18 (b, c)

Faza 5. Kontrolli përfundimtar, korrigjimi, vlerësimi dhe vetëvlerësimi

7. Duke iu rikthyer pohimeve (fillimi i mësimit), diskutoni duke përdorur veçoritë e funksionit trigonometrik y = sin x dhe plotësoni kolonën "Pas" në tabelë.

8. D / z: f.10, nr. 10.7 (a), 10.8 (b), 10.11 (b), 10.16 (a)

Funksioniy = mëkatx

Grafiku i funksionit është sinusoid.

Pjesa e plotë që nuk përsëritet i një sinusoidi quhet valë sinusoidale.

Një gjysmë valë e një vale sinus quhet një gjysmë valë e një vale sinus (ose një hark).

Karakteristikat e funksionity = mëkatx:

3) Kjo funksion tek. 4) Ky është një funksion i vazhdueshëm. - me boshtin e abshisave: (πn; 0), - me boshtin e ordinatave: (0; 0). 6) Në segmentin [-π / 2; π / 2] funksioni rritet në intervalin [π / 2; 3π / 2] - zvogëlohet. 7) Në intervale, funksioni merr vlerat pozitive. Në intervalet [-π + 2πn; Funksioni 2πn] merr vlera negative. 8) Intervalet e funksionit në rritje: [-π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn]. Zvogëlimi i intervaleve të funksionit: [π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn]. 9) Pikat minimale të funksionit: -π / 2 + 2πn. Pikat maksimale të funksionit: π / 2 + 2πn vlerën më të madhe 1.

Për të vizatuar funksionin y= mëkat xështë i përshtatshëm për të përdorur shkallët e mëposhtme:

Në një fletë në një kafaz, marrim gjatësinë e dy qelizave si njësi segmenti.

Në bosht x mat gjatësinë π. Në këtë rast, për lehtësi, ne përfaqësojmë 3.14 si 3 - domethënë pa një fraksion. Pastaj, në një fletë në një qelizë, π do të jetë 6 qeliza (tre herë 2 qeliza). Dhe secila qelizë do të marrë emrin e saj logjik (nga e para në të gjashtën): π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π. Këto janë vlerat x.

Në boshtin y, shënoni 1, i cili përfshin dy qeliza.

Le të krijojmë një tabelë të vlerave të funksionit duke përdorur vlerat tona x:

			√3 - 2		√3 - 2

Më pas, le të hartojmë një grafik. Do të rezultojë të jetë një gjysmë valë Piket me te larta e cila (π / 2; 1). Ky është grafiku i funksionit y= mëkat x në segment. Le të shtojmë një gjysmëvalë simetrike në grafikun e vizatuar (simetrike në lidhje me origjinën, domethënë në segmentin -π). Kreshta e kësaj gjysmëvale është nën boshtin x me koordinata (-1; -1). Rezultati është një valë. Ky është grafiku i funksionit y= mëkat x në segmentin [-π; π].

Mund ta vazhdoni valën duke e ndërtuar në segmentin [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], etj. Në të gjitha këto segmente, grafiku i funksionit do të duket i njëjtë si në segmentin [-π; π]. Do të merrni një vijë të vazhdueshme të valëzuar me të njëjtat valë.

Funksioniy = cosx.

Grafiku i një funksioni është një sinusoid (nganjëherë quhet kosinus).

Karakteristikat e funksionity = cosx:

1) Fusha e një funksioni është një grup numrash realë. 2) Gama e vlerave të funksionit - segmenti [–1; 1] 3) Ky është një funksion i barabartë. 4) Ky është një funksion i vazhdueshëm. 5) Koordinatat e pikave të kryqëzimit të grafikut: - me boshtin e abshisave: (π / 2 + πn; 0), - me boshtin e ordinatave: (0; 1). 6) Në segment funksioni zvogëlohet, në segmentin [π; 2π] - rritet. 7) Në intervalet [-π / 2 + 2πn; Funksioni π / 2 + 2πn] merr vlera pozitive. Në intervale [π / 2 + 2πn; Funksioni 3π / 2 + 2πn] merr vlera negative. 8) Intervalet në rritje: [-π + 2πn; 2πn]. Intervale zbritëse:; 9) Pikat minimale të funksionit: π + 2πn. Pikat maksimale të funksionit: 2πn. 10) Funksioni është i kufizuar në krye dhe në fund. Vlera më e vogël e funksionit është -1, vlera më e lartë është 1. 11) Ky është një funksion periodik me një periudhë 2π (T = 2π)

Funksioniy = mf(x).

Le të marrim funksionin e mëparshëm y= cos x... Siç e dini tashmë, grafiku i tij është një valë sinus. Nëse e shumëzojmë kosinusin e këtij funksioni me një numër të caktuar m, atëherë vala do të shtrihet nga boshti x(ose do të tkurret, në varësi të vlerës së m).
Kjo valë e re dhe do të jetë grafiku i funksionit y = mf (x), ku m është çdo numër real.

Kështu, funksioni y = mf (x) është funksioni i zakonshëm y = f (x) i shumëzuar me m.

Nësem< 1, то синусоида сжимается к оси x sipas faktoritm. Nësem> 1, atëherë sinusoidi shtrihet nga boshtix sipas faktoritm.

Kur kryeni shtrirje ose ngjeshje, fillimisht mund të ndërtoni vetëm një gjysmë valë të një sinusoidi dhe më pas të plotësoni të gjithë grafikun.

Funksioniy = f(kx).

Nëse funksioni y =mf(x) çon në një shtrirje të sinusoidit nga boshti x ose ngjeshja në bosht x, atëherë funksioni y = f (kx) çon në shtrirje nga boshti y ose ngjeshja në bosht y.

Për më tepër, k është çdo numër real.

Në 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y sipas faktoritk. Nësek> 1, atëherë sinusoidi është i ngjeshur drejt boshtity sipas faktoritk.

Kur vizatoni këtë funksion, fillimisht mund të vizatoni një gjysmëvalë të një sinusoidi dhe më pas ta përdorni për të përfunduar të gjithë grafikun.

Funksioniy = tgx.

Grafiku i funksionit y= tg xështë një tangentoid.

Mjafton të vizatoni një pjesë të grafikut në intervalin nga 0 në π / 2, dhe më pas mund ta vazhdoni në mënyrë simetrike në intervalin nga 0 në 3π / 2.

Karakteristikat e funksionity = tgx:

Funksioniy = ctgx

Grafiku i funksionit y= ctg xështë gjithashtu një tangentoid (nganjëherë quhet një kotangentoid).

Karakteristikat e funksionity = ctgx:

Mësimi dhe prezantimi me temën: "Funksioni y = sin (x). Përkufizime dhe veti"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyra ndërvepruese ndërtimore për klasat 7-10
Mjedisi i softuerit "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Çfarë do të studiojmë:

• Vetitë e funksionit Y = sin (X).
• Grafiku i funksionit.
• Si të ndërtoni një grafik dhe shkallën e tij.
• Shembuj.

Vetitë e sinusit. Y = mëkat (X)

Djema, ne jemi takuar tashmë funksionet trigonometrike një argument numerik. I mbani mend ato?

Le të hedhim një vështrim më të afërt në funksionin Y = sin (X)

Le të shkruajmë disa veti të këtij funksioni:
1) Domeni i përkufizimit - një grup numrash realë.
2) Funksioni është tek. Le të kujtojmë përkufizimin e një funksioni tek. Një funksion quhet tek nëse barazia vlen: y (-x) = - y (x). Siç kujtojmë nga formulat e fantazmave: sin (-x) = - mëkat (x). Përkufizimi është përmbushur, kështu që Y = sin (X) është një funksion tek.
3) Funksioni Y = sin (X) rritet në segment dhe zvogëlohet në segmentin [π / 2; π]. Kur lëvizim përgjatë tremujorit të parë (në drejtim të kundërt), ordinata rritet, dhe kur lëvizim përgjatë tremujorit të dytë, zvogëlohet.

4) Funksioni Y = sin (X) është i kufizuar nga poshtë dhe nga lart. Kjo pronë rrjedh nga fakti se
-1 ≤ mëkat (X) ≤ 1
5) Vlera më e vogël e funksionit është -1 (në x = - π / 2 + πk). Vlera më e madhe e funksionit është 1 (në x = π / 2 + πk).

Le të përdorim vetitë 1-5 për të grafikuar funksionin Y = sin (X). Ne do të ndërtojmë grafikun tonë në mënyrë sekuenciale duke përdorur vetitë tona. Le të fillojmë të ndërtojmë një grafik në një segment.

Vëmendje e veçantë ia vlen t'i kushtohet vëmendje shkallës. Në ordinatë është më i përshtatshëm të marrësh një segment njësi të barabartë me 2 qeliza, dhe në boshtin e abshisës - të marrësh një segment njësi (dy qeliza) të barabartë me π / 3 (shiko figurën).

Paraqit funksionin sine x, y = sin (x)

Le të llogarisim vlerat e funksionit në segmentin tonë:

Le të ndërtojmë një grafik bazuar në pikat tona, duke marrë parasysh vetinë e tretë.

Tabela e konvertimit për formulat fantazmë

Le të përdorim veçorinë e dytë, e cila thotë se funksioni ynë është tek, që do të thotë se mund të pasqyrohet në mënyrë simetrike për origjinën:

Ne e dimë mëkatin (x + 2π) = mëkatin (x). Kjo do të thotë se në segmentin [- π; π] grafiku duket i njëjtë si në segmentin [π; 3π] ose [-3π; - π] dhe kështu me radhë. Na mbetet të rivizatojmë me kujdes grafikun në figurën e mëparshme në të gjithë boshtin e abshisave.

Grafiku i funksionit Y = sin (X) quhet sinusoid.

Le të shkruajmë disa veti të tjera sipas grafikut të ndërtuar:
6) Funksioni Y = sin (X) rritet në çdo segment të formës: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k është një numër i plotë dhe zvogëlohet në çdo segment të formës: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k është një numër i plotë.
7) Funksioni Y = sin (X) është një funksion i vazhdueshëm. Le të shohim grafikun e funksionit dhe të sigurohemi që funksioni ynë të mos ketë ndërprerje, që do të thotë vazhdimësi.
8) Gama e vlerave: segmenti [- 1; 1]. Kjo shihet qartë edhe nga grafiku i funksionit.
9) Funksioni Y = sin (X) është një funksion periodik. Le të shohim përsëri grafikun dhe të shohim që funksioni merr të njëjtat vlera në disa intervale.

Shembuj të problemeve të sinusit

1. Zgjidhet ekuacioni sin (x) = x-π

Zgjidhje: Të ndërtojmë 2 grafikë të funksionit: y = sin (x) dhe y = x-π (shih figurën).
Grafikët tanë kryqëzohen në një pikë A (π; 0), kjo është përgjigja: x = π

2. Paraqitni funksionin y = sin (π / 6 + x) -1

Zgjidhje: Grafiku i dëshiruar fitohet duke lëvizur grafikun e funksionit y = sin (x) me π / 6 njësi majtas dhe 1 njësi poshtë.

Zgjidhje: Le të ndërtojmë një grafik të funksionit dhe të shqyrtojmë segmentin tonë [π / 2; 5π / 4].
Grafiku i funksionit tregon se vlerat më të mëdha dhe më të vogla arrihen në skajet e segmentit, përkatësisht në pikat π / 2 dhe 5π / 4.
Përgjigje: mëkati (π / 2) = 1 është vlera më e madhe, mëkati (5π / 4) = vlera më e vogël.

Problemet sine për zgjidhje të pavarur

• Zgjidheni ekuacionin: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
• Grafikoni funksionin y = sin (π / 3 + x) -2
• Paraqitni funksionin y = sin (-2π / 3 + x) +1
• Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = sin (x) në një interval
• Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = sin (x) në segmentin [- π / 3; 5π / 6]

Mësimi me video "Funksioni y = sinx, vetitë ee dhe grafiku" paraqet material pamor mbi këtë temë, si dhe komente për të. Gjatë demonstrimit merren parasysh lloji i funksionit, vetitë e tij, sjellja në segmente të ndryshme përshkruhet në detaje. rrafshi koordinativ, veçoritë e grafikut, përshkruan një shembull të zgjidhjes grafike të ekuacioneve trigonometrike që përmbajnë një sinus. Me ndihmën e një video mësimi, është më e lehtë për një mësues të formojë konceptin e një studenti për këtë funksion, të mësojë se si të zgjidhen problemet në mënyrë grafike.

Mësimi me video përdor mjete që lehtësojnë memorizimin dhe të kuptuarit. informacion arsimor... Në paraqitjen e grafikëve dhe gjatë përshkrimit të zgjidhjes së problemeve, përdoren efekte animacioni që ndihmojnë për të kuptuar sjelljen e një funksioni, për të paraqitur rrjedhën e zgjidhjes në sekuencë. Gjithashtu, pikëzimi i materialit e plotëson atë me komente të rëndësishme që zëvendësojnë shpjegimin e mësuesit. Kështu, këtë material mund të aplikohet si material vizual... Dhe si pjesë e pavarur e mësimit në vend që të shpjegojë mësuesin për një temë të re.

Demonstrimi fillon me prezantimin e temës së mësimit. Është paraqitur funksioni sinus, përshkrimi i të cilit është i theksuar në kutinë e memories - s = sint, në të cilin argumenti t mund të jetë çdo numër real. Përshkrimi i vetive të këtij funksioni fillon me shtrirjen. Vihet re se domeni i funksionit është i gjithë boshti numerik i numrave realë, pra D (f) = (- ∞; + ∞). Çudia e funksionit të sinusit është theksuar si veti e dytë. Nxënësve u kujtohet se këtë pronë studiohej në klasën e 9-të, kur u vu re se për një funksion tek vlen barazia f (-x) = - f (x). Për sinus, konfirmimi i funksionit tek demonstrohet në rrethin e njësisë të ndarë në tremujorë. Duke ditur se çfarë shenje merr funksioni në tremujorë të ndryshëm të planit koordinativ, vihet re se për argumentet me shenja të kundërta, duke përdorur shembullin e pikave L (t) dhe N (-t) për sinusin, plotësohet kushti tek. Prandaj, s = sint është një funksion tek. Kjo do të thotë që grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën.

Vetia e tretë e sinusit tregon intervalet e rritjes dhe zvogëlimit të funksionit. Ai vëren se në segment këtë funksion rritet, zvogëlohet në intervalin [π / 2; π]. Vetia tregohet në figurë, e cila tregon rrethin e njësisë dhe kur lëvizni nga pika A në drejtim të akrepave të orës, ordinata rritet, domethënë vlera e funksionit rritet në π / 2. Kur lëvizni nga pika B në C, domethënë kur këndi ndryshon nga π / 2 në π, vlera e ordinatës zvogëlohet. Në çerekun e tretë të rrethit, kur lëvizni nga pika C në pikën D, koordinata zvogëlohet nga 0 në -1, domethënë, vlera e sinusit zvogëlohet. Në tremujorin e fundit, kur lëvizim nga pika D në pikën A, vlera e ordinatës rritet nga -1 në 0. Kështu, mund të nxjerrim një përfundim të përgjithshëm për sjelljen e funksionit. Ekrani shfaq përfundimin se sint po rritet në segmentin [- (π / 2) + 2πk; (π / 2) + 2πk], zvogëlohet në segmentin [(π / 2) + 2πk; (3π / 2) + 2πk] për çdo numër të plotë k.

Vetia e katërt e sinusit merr parasysh kufirin e funksionit. Vihet re se funksioni sint është i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë. Nxënësve u kujtohet informacioni nga algjebra e klasës së 9-të kur u njohën me konceptin e funksionit të kufizuar. Ekrani shfaq gjendjen e një funksioni të kufizuar më sipër, për të cilin ka një numër të caktuar për të cilin jobarazimi f (x)> = M është i kënaqur në çdo pikë të funksionit. Gjithashtu, kujtohet gjendja e një funksioni të kufizuar nga poshtë për të cilin ka një numër m më të vogël se çdo pikë e funksionit. Për sint, kushti është -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Vetia e pestë merr në konsideratë vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit. Vërehet arritja e vlerës më të vogël -1 në secilën pikë t = - (π / 2) + 2πk, dhe më e madhja - në pikat t = (π / 2) + 2πk.

Në bazë të vetive të marra në konsideratë, grafiku i funksionit sint paraqitet në segment. Për të ndërtuar funksionin, përdoren vlerat tabelare të sinusit të pikave përkatëse. Koordinatat e pikave π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π janë shënuar në planin koordinativ. Pasi kemi shënuar vlerat tabelare të funksionit në këto pika dhe duke i lidhur ato me një vijë të lëmuar, ndërtojmë një grafik.

Për të paraqitur grafikun e funksionit sint në intervalin [-π; π], përdoret vetia e simetrisë së funksionit në lidhje me origjinën. Figura tregon se si vija që rezulton transferohet pa probleme në mënyrë simetrike rreth origjinës në segmentin [-π; 0].

Duke përdorur vetinë e funksionit sint, të shprehur në formulën e reduktimit sin (x + 2π) = sin x, vihet re se çdo 2π përsëritet grafiku sinus. Kështu, në segmentin [π; 3π] grafiku do të jetë i njëjtë si për [-π; π]. Kështu, grafiku i këtij funksioni paraqet fragmente të përsëritura [-π; π] në të gjithë domenin. Më vete, vihet re se një grafik i tillë i një funksioni quhet sinusoid. Koncepti i një valë sinusoidale është prezantuar gjithashtu - një fragment i një grafi të vizatuar në një segment [-π; π], dhe një hark i një sinusoidi të vizatuar në një segment. Këto fragmente demonstrohen edhe një herë për memorizimin.

Vihet re se funksioni sint është një funksion i vazhdueshëm në të gjithë domenin e përkufizimit, dhe gjithashtu se diapazoni i vlerave të funksionit përmbahet në grupin e vlerave të intervalit [-1; 1].

Në fund të mësimit video, merret parasysh një zgjidhje grafike e ekuacionit sin x = x + π. Natyrisht, zgjidhja grafike e ekuacionit do të jetë kryqëzimi i grafikut të funksionit të dhënë nga shprehja në anën e majtë dhe funksioni i dhënë nga shprehja në anën e djathtë. Për zgjidhjen e problemit ndërtohet një plan koordinativ mbi të cilin konturohet sinusoidi përkatës y = sin x, si dhe ndërtohet një drejtëz që i përgjigjet grafikut të funksionit y = x + π. Grafikët e vizatuar kryqëzohen në një pikë të vetme B (-π; 0). Prandaj, x = -π dhe do të jetë një zgjidhje e ekuacionit.

Mësimi video "Funksioni y = sinx, vetitë ee dhe grafiku" do të ndihmojë në rritjen e efektivitetit të një mësimi në një mësim tradicional të matematikës në shkollë. Ju gjithashtu mund të përdorni materiale vizuale kur bëni mësim në distancë. Manuali mund të ndihmojë në zotërimin e temës për studentët që kanë nevojë për mësime shtesë për një kuptim më të thellë të materialit.

KODI I TEKSTIT:

Tema e mësimit tonë është "Funksioni y = sin x, vetitë dhe grafiku i tij".

Më herët tashmë jemi njohur me funksionin s = sin t, ku tϵR (es është e barabartë me sine te, ku te i përket grupit të numrave realë). Le të shqyrtojmë vetitë e këtij funksioni:

VETITË 1. Fusha e përkufizimit është bashkësia e numrave realë R (er), pra D (f) = (-; +) (de nga eff paraqet intervalin nga minus pafundësia në plus pafundësi).

VETITË 2. Funksioni s = sin t është tek.

Në klasën e 9-të, mësuam se funksioni y = f (x), x ϵX (loja është e barabartë me eff nga x, ku x i përket grupit x është i madh) quhet tek nëse për çdo vlerë të x nga vendosni X barazinë

f (- x) = - f (x) (eff nga minus x është e barabartë me minus eff nga x).

Dhe meqenëse ordinatat e pikave L dhe N simetrike rreth boshtit të abshisës janë të kundërta, atëherë sin (- t) = -sint.

Kjo do të thotë, s = sin t është një funksion tek dhe grafiku i funksionit s = sin t është simetrik në lidhje me origjinën në një sistem koordinativ drejtkëndor tos(te rreth es).

Konsideroni VETINA 3. Në segmentin [0; ] (nga zero në pi me dy) funksioni s = sin t rritet dhe zvogëlohet në segmentin [; ] (nga pi në dy në pi).

Kjo shihet qartë në figura: kur një pikë lëviz përgjatë një rrethi numerik nga zero në pi me dy (nga pika A në B), ordinata rritet gradualisht nga 0 në 1, dhe kur lëviz nga pi me dy në pi (nga pika B në C), ordinata zvogëlohet gradualisht nga 1 në 0.

Kur një pikë lëviz përgjatë tremujorit të tretë (nga pika C në pikën D), ordinata e pikës lëvizëse zvogëlohet nga zero në minus një, dhe kur lëviz përgjatë tremujorit të katërt, ordinata rritet nga minus një në zero. Prandaj, mund të nxjerrim një përfundim të përgjithshëm: funksioni s = sin t rritet në interval

(nga minus pi me dy plus dy maja në pi me dy plus dy maja), dhe zvogëlohet në segmentin [; (nga pi me dy plus dy maja në tre pi nga dy plus dy maja), ku

(ka i përket grupit të numrave të plotë).

VETITË 4. Funksioni s = sin t është i kufizuar sipër dhe poshtë.

Nga kursi i klasës së 9-të, kujtoni përkufizimin e kufirit: një funksion y = f (x) quhet i kufizuar nga poshtë nëse të gjitha vlerat e funksionit nuk janë më pak se një numër. m m të tillë që për çdo vlerë të x nga fusha e funksionit, mosbarazimi f (x) ≥ m(ff nga x është më i madh ose i barabartë me em). Funksioni y = f (x) quhet i kufizuar nga lart nëse të gjitha vlerat e funksionit nuk janë më shumë se një numër. M, kjo do të thotë se ka një numër M të tillë që për çdo vlerë të x nga fusha e funksionit, mosbarazimi f (x) ≤ M(ff nga x është më i vogël ose i barabartë me em) Një funksion quhet i kufizuar nëse është i kufizuar nga poshtë dhe nga lart.

Le të kthehemi te funksioni ynë: kufizueshmëria rrjedh nga fakti se për çdo te pabarazia - 1 ≤ sint≤ 1. është e vërtetë (sinusi te është më i madh ose i barabartë me minus një, por më i vogël ose i barabartë me një).

VETITË 5. Vlera më e vogël e funksionit është e barabartë me minus një dhe funksioni e arrin këtë vlerë në çdo pikë të formës t = (te është e barabartë me minus pi me dy plus dy maja, dhe vlera më e madhe e funksionit është e barabartë në një dhe arrihet me funksionin në çdo pikë të formës t = (te është pi me dy plus dy pi ka).

Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit s = sin t tregojnë s naim. dhe s naib. ...

Duke përdorur vetitë e marra ndërtojmë grafikun e funksionit y = sin x (y është i barabartë me sinus x), sepse jemi mësuar më shumë të shkruajmë y = f (x), dhe jo s = f (t).

Për të filluar, le të zgjedhim një shkallë: në ordinatë, marrim një segment njësi me dy qeliza, dhe në abshisë, dy qeliza janë pi me tre (pasi ≈ 1). Së pari, le të ndërtojmë një grafik të funksionit y = sin x në segment. Ne kemi nevojë për një tabelë vlerash të funksionit në këtë segment; për ta ndërtuar atë, ne do të përdorim tabelën e vlerave për këndet përkatëse të kosinusit dhe sinusit:

Kështu, për të ndërtuar një tabelë vlerash të një argumenti dhe një funksioni, duhet ta mbani mend atë NS(x) ky numër është përkatësisht i barabartë me këndin në intervalin nga zero në pi, dhe në(lojë) vlera e sinusit të këtij këndi.

Le t'i shënojmë këto pika në planin koordinativ. Sipas PRONËSISË 3 në segment

[0; ] (nga zero në pi me dy) funksioni y = sin x rritet dhe zvogëlohet në segmentin [; ] (nga pi me dy në pi) dhe duke i lidhur pikat e fituara me një vijë të lëmuar, marrim një pjesë të grafikut. (Fig. 1)

Duke përdorur simetrinë e grafikut të funksionit tek në raport me origjinën, marrim grafikun e funksionit y = sin x tashmë në segment.

[-π; π] (nga minus pi në pi). (Fig. 2)

Kujtoni se sinx (x + 2π) = sinx

(sinusi i x plus dy pi është i barabartë me sinusin e x). Kjo do të thotë se në pikën x + 2π funksioni y = sin x merr të njëjtën vlerë si në pikën x. Dhe meqenëse (x + 2π) ϵ [π; 3π] (x plus dy pi i përket segmentit nga pi në tre pi), nëse xϵ [-π; π], pastaj në segmentin [π; 3π] grafiku i funksionit duket saktësisht i njëjtë si në segmentin [-π; π]. Në mënyrë të ngjashme, në segmentet,, [-3π; -π] e kështu me radhë, grafiku i funksionit y = sin x duket i njëjtë si në segment

[-π; π] (fig. 3)

Drejtëza, e cila është grafiku i funksionit y = sin x, quhet sinusoid. Pjesa e sinusoidit e paraqitur në figurën 2 quhet valë sinusoidale dhe në figurën 1 quhet hark sinusoidal ose gjysmëvalë.

Duke përdorur grafikun e ndërtuar, le të shkruajmë disa veçori të tjera të këtij funksioni.

VETITË 6. Funksioni y = sin x është funksion i vazhdueshëm. Kjo do të thotë që grafiku i funksionit është solid, domethënë nuk ka kërcime dhe shpime.

VETITË 7. Gama e vlerave të funksionit y = sin x është segmenti [-1; 1] (nga minus një në një) ose mund të shkruhet kështu: (e nga eff është e barabartë me segmentin nga minus një në një).

Le të shqyrtojmë një SHEMBULL. Të zgjidhet grafikisht ekuacioni sin x = x + π (sinus x është x plus pi).

Zgjidhje. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve y = mëkat NS dhe y = x + π.

Grafiku i funksionit y = sin x është sinusoid.

y = x + π është një funksion linear, grafiku i të cilit është një drejtëz që kalon nëpër pika me koordinata (0; π) dhe (- π; 0).

Grafikët e vizatuar kanë një pikë kryqëzimi - pika B (- π; 0) (të jetë me koordinata minus pi, zero). Kjo do të thotë se ky ekuacion ka vetëm një rrënjë - abshisën e pikës B - -π. Përgjigje: NS = - π.

Në këtë mësim, ne do t'i hedhim një vështrim më të afërt funksionit y = sin x, vetitë e tij themelore dhe grafikun. Në fillim të mësimit do të japim përkufizimin e funksionit trigonometrik y = sin t në rrethin koordinativ dhe do të shqyrtojmë grafikun e funksionit në një rreth dhe një drejtëz. Le të tregojmë periodicitetin e këtij funksioni në grafik dhe të shqyrtojmë vetitë kryesore të funksionit. Në fund të mësimit, ne do të zgjidhim disa detyra të thjeshta duke përdorur grafikun e një funksioni dhe vetitë e tij.

Tema: Funksionet trigonometrike

Mësimi: Funksioni y = sinx, vetitë themelore dhe grafiku i tij

Kur shqyrtohet një funksion, është e rëndësishme që çdo vlerë argumenti të caktohet në një vlerë të vetme funksioni. Kjo ligji i konformitetit dhe quhet funksion.

Le të përcaktojmë ligjin e korrespondencës për.

Çdo numër real i përgjigjet një pike të vetme në rrethin njësi.Pika ka një ordinatë të vetme, e cila quhet sinus i numrit (Fig. 1).

Çdo vlerë argumenti shoqërohet me një vlerë të vetme funksioni.

Vetitë e dukshme rrjedhin nga përkufizimi i sinusit.

Figura tregon se që nga viti kjo është ordinata e një pike në rrethin njësi.

Konsideroni grafikun e një funksioni. Le të kujtojmë interpretimin gjeometrik të argumentit. Argumenti është këndi qendror, i matur në radianë. Në bosht, ne do të vizatojmë numrat ose këndet reale në radiane, në bosht, vlerat përkatëse të funksionit.

Për shembull, këndi në rrethin e njësisë korrespondon me një pikë në grafik (Fig. 2)

Ne morëm grafikun e funksionit në sajtin Por duke ditur periudhën e sinusit, mund të përshkruajmë grafikun e funksionit në të gjithë domenin e përkufizimit (Fig. 3).

Periudha kryesore e funksionit është Kjo do të thotë që grafiku mund të merret në një segment dhe pastaj të vazhdojë në të gjithë domenin e përkufizimit.

Konsideroni vetitë e funksionit:

1) Fushëveprimi:

2) Gama e vlerave:

3) Funksioni është tek:

4) Periudha më e vogël pozitive:

5) Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut me boshtin e abshisave:

6) Koordinatat e pikës së prerjes së grafikut me boshtin y:

7) Intervalet në të cilat funksioni merr vlera pozitive:

8) Intervalet në të cilat funksioni merr vlera negative:

9) Intervalet në rritje:

10) Intervalet zbritëse:

11) Pikët minimale:

12) Funksioni minimal:

13) Pikët maksimale:

14) Funksioni maksimal:

Shqyrtuam vetitë e funksionit dhe grafikun e tij. Vetitë do të përdoren në mënyrë të përsëritur gjatë zgjidhjes së problemeve.

Bibliografi

1. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër mësuesi për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009.

2. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algjebra dhe analiza matematikore për klasën e 10-të (Libër mësuesi për nxënësit e shkollave dhe klasave me studim të avancuar të matematikës) .- M .: Edukimi, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studim i thelluar i algjebrës dhe analizës matematikore.-M .: Edukimi, 1997.

5. Përmbledhje problemash në matematikë për aplikantët në institucionet e arsimit të lartë (nën redaksinë e MI Skanavi) .- M.: Shkolla e lartë, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Simulator algjebrik.-K .: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Detyrat në algjebër dhe parimet e analizës (manual për studentët në klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm) .- M .: Edukimi, 2003.

8. Karp A.P. Përmbledhja e problemave në algjebër dhe parimet e analizës: tekst shkollor. shtesa për klasat 10-11 me thellim studim matematikë.-M .: Arsimi, 2006.

Detyre shtepie

Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot.

A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Burime shtesë të internetit

3. Portali arsimor për përgatitjen e provimeve ().