Att tycka om förhandsvisning presentationer skapa ett konto ( konto) Google och logga in: https://accounts.google.com
Bildtexter:
Sfärer beskrivna nära polyedrar.
Definition. En polyeder sägs vara inskriven i en sfär (och en sfär omskriven nära en polyeder) om alla hörn på polyedern tillhör denna sfär. Följd. Mitten av den omskrivna sfären är en punkt på samma avstånd från alla hörn i polyedern. O o o . . .
Sats 1. Mängden punkter som är lika långt från två givna punkter är ett plan vinkelrätt mot ett segment med ändar vid dessa punkter, som går genom dess mitt (planet med vinkelräta bisektrar till detta segment). AB ┴ α AO=OB α A B O
Sats 2. Uppsättningen av punkter på samma avstånd från n givna poäng liggande på samma cirkel är en linje vinkelrät mot planet för dessa punkter, som går genom mitten av cirkeln omgiven om dem. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .
Prisma inskrivet i en sfär. OA=OB=…=OX=R sf. O 1 . O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . O. O 1
Konsekvenser. 1) Nära ett rätvinkligt triangulärt prisma kan en sfär beskrivas, eftersom en cirkel kan alltid omskrivas runt en triangel. 2) En sfär kan beskrivas nära vilket vanligt prisma som helst, eftersom ett vanligt prisma är en rät linje och en cirkel kan alltid omskrivas nära en vanlig polyeder. O. O. .
Uppgift nummer 1. Bollen beskrivs nära ett prisma, vid vars bas ligger en rätvinklig triangel med ben 6 och 8. Sidokanten på prismat är 24. Hitta kulans radie. Givet: ∆ ABC – rektangulär; AC=6, BC=8, AA 1=24. Hitta: R w = ? Lösning: 1)OOi ┴ABi; OOi =AAi =24. 2) ABC: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 Svar: 13. O 1 O. . . R w O w C 1 B 1 A 1 A C B
Uppgift nummer 3. Måtten på en kuboid är 2,3 och 5. Hitta radien för den omskrivna sfären. Givet: AB=a=2; BC=b=3; CC1=c=5. Hitta: R w = ? Lösning: 1) AC2 =a2 +b2 +c2. 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Egenskapen för diagonaler hos en rektangulär parallellepiped) 3) A 1 C=√38; R w \u003d O w C \u003d √38 / 2 Svar: √38 / 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3. . . O w
Uppgift nummer 3. Sidan på basen av ett vanligt triangulärt prisma är a, och sidokanten är 2 a. Hitta radien för den omskrivna sfären. Givet: AB=BC=AC=a, AA1 ┴ABC; AA 1 = 2a. Hitta: R w = ? Lösning: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2) R w \u003d √ a 2 + a 2 / 3 \u003d 2a / √ 3 Svar: 2a / √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1
Konsekvenser. 1) En sfär kan alltid beskrivas nära en triangulär pyramid, eftersom en cirkel alltid kan beskrivas nära en triangel. 2) Om rätt pyramid man kan alltid beskriva en sfär. 3) Om pyramidens laterala kanter är lika (liknande lutande mot basen), så kan en sfär alltid beskrivas nära en sådan pyramid. *I de två sista fallen ligger sfärens centrum på linjen som innehåller höjden på pyramiden. O. O.
Uppgifter (sfären som beskrivs nära pyramiden). Nära pyramiden PABC, vars bas är - rät triangel ABC med sida 4√3, en sfär beskrivs. Den laterala kanten PA är vinkelrät mot pyramidens basplan och är lika med 6. Hitta kulans radie. Givet: AB=BC=AC=4 √3 ; PA┴(ABC); PA=6. Hitta: R w = ? Lösning: 1) OO SF ┴(ABC); O är centrum för den omskrivna om ∆ABC-cirkeln; K O SF ┴ PA; KP=AK (KO SF En av de vinkelräta halveringslinjerna till sidokanten PA); O SF är centrum för den omskrivna sfären. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF tillhör (AKO) ; PA┴(ABC); AK tillhör (AKO) ; betyder KA|| OO SF; . O SF. O K.P.A.B.C
Uppgifter (sfären som beskrivs nära pyramiden). 3) KOcf┴AP; KO c f tillhör (AOK); AO ┴AP; AO tillhör (AOK) ; betyder KO c f || AO; 4) Från (2) och (3): AOO cf K-rektangel, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c f: AO c f \u003d R w \u003d 5 Svar: 5
Uppgifter (sfären som beskrivs nära pyramiden). I en vanlig fyrkantig pyramid är den laterala kanten lutad mot basen i en vinkel på 45 ˚. Pyramidens höjd är h. Hitta radien för den omskrivna sfären. Givet: PABCD är en vanlig pyramid; (AP^(ABC))=45 ˚; PO=h. Hitta: R w = ? Lösning: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP1 – rektangulär; PP 1 - kuldiameter; PP 1 \u003d 2 R w; AP2 = PP1*OP; (h √ 2) 2=2 Rw*h; R w \u003d 2h 2 / 2h \u003d h. Svar: h. C. B A. .D .P .P 1 . O
Uppgifter (sfären som beskrivs nära pyramiden). På egen hand. Radien för en sfär omskriven om en vanlig tetraeder är R. Hitta den totala ytan av tetraedern.
Uppgifter (sfären som beskrivs nära pyramiden). På egen hand. Givet: DABC är en vanlig tetraeder; R är sfärens radie. Hitta: S full tetra. =? Lösning: 1) Eftersom tetraedern är regelbunden, hör mitten av den omskrivna sfären till den raka linjen som innehåller höjden på pyramiden; 2) S full tetra. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) Punkterna D, A, D 1 tillhör samma cirkel - sfärens sektion vid planet DAD 1, så vinkeln DAD 1 är en inskriven vinkel baserad på diametern, DD 1; vinkel DAD 1 =90 ˚; 4) AO - höjd ∆ ADD 1 ritad från toppen rätt vinkel. AD2 = DO*DD1; 5) AO=a/√ 3; DO= √ a 2 -a 2 / 3=a √ 2 / √ 3; a2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a 2 \u003d 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a
Uppgifter (sfären som beskrivs nära pyramiden). På egen hand. 6) S full tetra. = 8R 2 √ 3/3 Svar: 8R 2 √ 3/3
Ämnet "Olika problem på polyedrar, en cylinder, en kon och en boll" är ett av de svåraste i geometrikursen i 11:e klass. Innan de löser geometriska problem, studerar de vanligtvis de relevanta avsnitten av teorin som hänvisas till vid problemlösning. I läroboken av S. Atanasyan et al om detta ämne (s. 138) kan man bara hitta definitioner av en polyeder omskriven kring en sfär, en polyeder inskriven i en sfär, en sfär inskriven i en polyeder och en sfär omskriven nära en polyeder. I riktlinjer denna lärobok (se boken "Studying geometry in grades 10–11" av S.M. Saakyan och V.F. Butuzov, s. 159) säger vilka kombinationer av kroppar som beaktas när man löser problem nr 629–646, och uppmärksamhet på det faktum att "när För att lösa ett visst problem är det först och främst nödvändigt att se till att eleverna har en god uppfattning om den relativa positionen för de kroppar som anges i tillståndet." Följande är lösningen på problem nr 638 (a) och nr 640.
Med tanke på allt ovan, och det faktum att de svåraste uppgifterna för eleverna är uppgifterna att kombinera en boll med andra kroppar, är det nödvändigt att systematisera de relevanta teoretiska bestämmelserna och kommunicera dem till eleverna.
Definitioner.
1. En kula kallas inskriven i en polyeder, och en polyeder sägs vara omskriven nära bollen, om bollens yta vidrör polyederns alla ytor.
2. En kula kallas omskriven nära en polyeder, och en polyeder kallas inskriven i en kula om kulans yta passerar genom polyederns alla hörn.
3. En boll kallas inskriven i en cylinder, en stympad kon (kon), och en cylinder, en stympad kon (kon) kallas omskriven nära bollen, om bollens yta nuddar baserna (basen) och alla generatorer av cylindern, stympad kon (kon).
(Det följer av denna definition att en cirkel kan inskrivas i vilken axiell sektion som helst av dessa kroppar stor cirkel boll).
4. En kula kallas omskriven nära en cylinder, en stympad kon (kon) om basernas cirklar (basens och toppens cirkel) hör till kulans yta.
(Av denna definition följer att omkretsen av kulans större cirkel kan beskrivas om vilken axiell sektion som helst av dessa kroppar).
Allmänna anmärkningar om placeringen av bollens mitt.
1. Mitten av en kula som är inskriven i en polyeder ligger vid skärningspunkten mellan halvledarplanen för alla dihedriska vinklar på polyedern. Den ligger bara inuti polyedern.
2. Mitten av en sfär omskriven kring en polyeder ligger vid skärningspunkten för plan som är vinkelräta mot alla kanter av polyederen och som går genom deras mittpunkter. Den kan placeras inuti, på ytan och utanför polyedern.
En kombination av en sfär och ett prisma.
1. En sfär inskriven i ett rakt prisma.
Sats 1. En sfär kan inskrivas i ett höger prisma om och bara om en cirkel kan inskrivas i prismats bas, och prismats höjd är lika med diametern på denna cirkel.
Konsekvens 1. Mitten av en sfär inskriven i ett höger prisma ligger i mitten av prismats höjd som passerar genom mitten av en cirkel inskriven i basen.
Konsekvens 2. En boll, i synnerhet, kan inskrivas i raka linjer: triangulär, regelbunden, fyrkantig (där summan av motstående sidor av basen är lika med varandra) under villkoret H = 2r, där H är prismats höjd , r är radien för cirkeln inskriven i basen.
2. En sfär som beskrivs nära ett prisma.
Sats 2. En sfär kan omskrivas om ett prisma om och endast om prismat är rakt och en cirkel kan omskrivas nära dess bas.
Följd 1. Mitten av en sfär omskriven nära ett rakt prisma ligger i mitten av prismats höjd ritat genom mitten av en cirkel omskriven nära basen.
Konsekvens 2. En sfär, i synnerhet, kan beskrivas: nära ett rätvinkligt prisma, nära ett regelbundet prisma, nära en rektangulär parallellepiped, nära ett rät fyrkantigt prisma, där summan av basens motsatta vinklar är 180 grader.
Från läroboken av L.S. Atanasyan kan problem nr 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b) föreslås för kombinationen av en boll med ett prisma.
Kombination av en sfär med en pyramid.
1. Bollen som beskrivs nära pyramiden.
Sats 3. En sfär kan omskrivas nära en pyramid om och bara om en cirkel kan omskrivas nära dess bas.
Konsekvens 1. Mitten av en sfär omskriven nära en pyramid ligger vid skärningspunkten för en linje vinkelrät mot pyramidens bas, som passerar genom mitten av en cirkel omskriven nära denna bas, och ett plan vinkelrätt mot någon sidokant ritad genom mitten av denna kant.
Konsekvens 2. Om pyramidens sidokanter är lika med varandra (eller lika lutande mot basens plan), så kan en boll beskrivas nära en sådan pyramid. Mitten av denna boll ligger i detta fall i skärningspunkten mellan höjden på pyramiden (eller dess fortsättning) med sidokantens symmetriaxel som ligger i den plana sidokanten och höjden.
Konsekvens 3. En boll, i synnerhet, kan beskrivas: nära en triangulär pyramid, nära en vanlig pyramid, nära en fyrkantig pyramid, där summan av motsatta vinklar är 180 grader.
2. En boll inskriven i en pyramid.
Sats 4. Om pyramidens sidoytor är lika lutande mot basen, kan en sfär inskrivas i en sådan pyramid.
Konsekvens 1. Mitten av en kula inskriven i en pyramid, vars sidoytor lutar lika mycket mot basen, ligger i skärningspunkten mellan höjden av pyramiden med bisektrisen av den linjära vinkeln för valfri dihedrisk vinkel vid basen av pyramiden, vars sida är höjden på sidoytan ritad från toppen av pyramiden.
Konsekvens 2. En boll kan vara inskriven i en vanlig pyramid.
Från läroboken av L.S. Atanasyan kan problem nr 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641 föreslås för kombinationen av en boll med en pyramid.
Kombination av en sfär med en stympad pyramid.
1. En boll omskriven nära en vanlig stympad pyramid.
Sats 5. Nära vilken vanlig stympad pyramid som helst kan en sfär beskrivas. (Detta villkor är tillräckligt men inte nödvändigt)
2. En boll inskriven i en vanlig stympad pyramid.
Sats 6. En boll kan inskrivas i en vanlig stympad pyramid om och bara om pyramidens apotem är lika med summan av apotemerna för baserna.
Det finns bara ett problem för att kombinera en boll med en stympad pyramid i L.S. Atanasyans lärobok (nr 636).
En kombination av en boll med runda kroppar.
Sats 7. Nära en cylinder kan en stympad kon (höger cirkulär), en kon, en sfär beskrivas.
Sats 8. En sfär kan inskrivas i en cylinder (höger cirkulär) om och endast om cylindern är liksidig.
Sats 9. En sfär kan inskrivas i vilken kon som helst (cirkulär till höger).
Sats 10. En boll kan inskrivas i en stympad kon (cirkulär till höger) om och endast om dess generatris är lika med summan av basernas radier.
Från läroboken av L.S. Atanasyan kan problem nr 642, 643, 644, 645, 646 föreslås för kombinationen av en boll med runda kroppar.
För en mer framgångsrik studie av materialet i detta ämne är det nödvändigt att inkludera muntliga uppgifter under lektionerna:
1. Kubens kant är lika med a. Hitta kulornas radier: inskrivna i en kub och omskrivna nära den. (r = a/2, R = a3).
2. Är det möjligt att beskriva en sfär (boll) runt: a) en kub; b) en rektangulär parallellepiped; c) en lutande parallellepiped, vid vars bas ligger en rektangel; d) en rak parallellepiped; e) en lutande parallellepiped? (a) ja; b) ja; c) nej; d) nej; e) nej)
3. Är det sant att en sfär kan beskrivas nära vilken triangulär pyramid som helst? (Ja)
4. Är det möjligt att beskriva en sfär runt vilken fyrkantig pyramid som helst? (Nej, inte nära någon fyrkantig pyramid)
5. Vilka egenskaper måste en pyramid ha för att beskriva en sfär runt den? (Vid dess bas måste det finnas en polygon, runt vilken en cirkel kan beskrivas)
6. En pyramid är inskriven i sfären, vars laterala kant är vinkelrät mot basen. Hur hittar man mitten av en sfär? (Sfärens centrum är skärningspunkten mellan två geometriska platser med punkter i rymden. Den första är en vinkelrät ritad mot planet för pyramidens bas, genom mitten av cirkeln som beskrivs runt den. Den andra är en plan vinkelrätt mot denna sidokant och ritat genom dess mitt)
7. Under vilka förhållanden kan en sfär beskrivas nära ett prisma, vid vars bas finns en trapets? (För det första måste prismat vara rakt, och för det andra måste trapetsen vara likbent så att en cirkel kan beskrivas runt den)
8. Vilka villkor måste ett prisma uppfylla för att beskriva en sfär runt den? (Prismat måste vara rakt och dess bas måste vara en polygon runt vilken en cirkel kan omskrivas)
9. En sfär beskrivs nära ett triangulärt prisma, vars centrum ligger utanför prismat. Vilken triangel är basen för prismat? (trubbad triangel)
10. Är det möjligt att beskriva en sfär nära ett lutande prisma? (Nej det kan du inte)
11. Under vilka förutsättningar kommer mitten av en sfär omskriven kring ett rätvinkligt triangulärt prisma att vara belägen på en av prismats sidoytor? (Basen är en rätvinklig triangel)
12. Pyramidens bas är en likbent trapets. Den ortogonala projektionen av toppen av pyramiden på basens plan är en punkt utanför trapetsen. Är det möjligt att beskriva en sfär runt en sådan trapets? (Ja, det kan du. Det faktum att den ortogonala projektionen av toppen av pyramiden är placerad utanför dess bas spelar ingen roll. Det är viktigt att vid basen av pyramiden ligger en likbent trapets - en polygon runt vilken en cirkel kan vara beskrivs)
13. En sfär beskrivs nära den vanliga pyramiden. Hur ligger dess centrum i förhållande till elementen i pyramiden? (Mittpunkten av sfären är på en vinkelrät ritad mot basens plan genom dess mitt)
14. Under vilka förutsättningar ligger mitten av en sfär omskriven kring ett rätvinkligt triangulärt prisma: a) inuti prismat; b) utanför prismat? (Vid basen av prismat: a) en spetsig triangel; b) trubbig triangel)
15. En sfär beskrivs nära en rektangulär parallellepiped vars kanter är 1 dm, 2 dm och 2 dm. Beräkna sfärens radie. (1,5 dm)
16. I vilken stympad kon kan en sfär inskrivas? (I en stympad kon, i vars axiella sektion en cirkel kan inskrivas. Konens axiella sektion är en likbent trapets, måste summan av dess baser vara lika med summan av dess laterala sidor. Med andra ord, för en kon, summan av basernas radier måste vara lika med generatrisen)
17. En sfär är inskriven i en stympad kon. I vilken vinkel är konens generatris synlig från sfärens mitt? (90 grader)
18. Vilken egenskap måste ett rakt prisma ha för att kunna skriva in en sfär i det? (För det första, vid basen av ett rakt prisma måste det finnas en polygon i vilken en cirkel kan skrivas in, och för det andra måste prismats höjd vara lika med diametern på cirkeln inskriven i basen)
19. Ge ett exempel på en pyramid där en sfär inte kan skrivas in? (Till exempel en fyrkantig pyramid, vid vars bas ligger en rektangel eller parallellogram)
20. En romb ligger vid basen av ett rakt prisma. Kan en sfär inskrivas i detta prisma? (Nej, du kan inte, eftersom nära rhombus in allmänt fall kan inte beskriva en cirkel
21. Under vilka förutsättningar kan en sfär skrivas in i ett rätvinkligt triangulärt prisma? (Om prismats höjd är två gånger radien för cirkeln inskriven i basen)
22. Under vilka förutsättningar kan en sfär inskrivas i en vanlig fyrkantig stympad pyramid? (Om sektionen av denna pyramid av ett plan som går genom mitten av sidan av basen vinkelrät mot den är en likbent trapets i vilken en cirkel kan skrivas in)
23. En sfär är inskriven i en triangulär stympad pyramid. Vilken punkt i pyramiden är sfärens centrum? (Mittpunkten på sfären inskriven i denna pyramid är i skärningspunkten mellan tre bisektorala vinklar som bildas av pyramidens sidoytor med basen)
24. Är det möjligt att beskriva en sfär runt en cylinder (höger cirkulär)? (Jo det kan du)
25. Är det möjligt att beskriva en sfär nära en kon, en stympad kon (rätt cirkulära sådana)? (Ja, det kan du i båda fallen)
26. Kan en sfär skrivas in i vilken cylinder som helst? Vilka egenskaper måste en cylinder ha för att en sfär ska vara inskriven i den? (Nej, inte hos alla: cylinderns axiella sektion måste vara en kvadrat)
27. Kan en sfär inskrivas i vilken kon som helst? Hur bestämmer man läget för mitten av en sfär inskriven i en kon? (Ja, i vilket fall som helst. Mitten av den inskrivna sfären är i skärningspunkten mellan höjden av könen och bisektrisen av generatrisens lutningsvinkel mot basens plan)
Författaren anser att av de tre lektioner som ges för planering i ämnet "Olika problem för polyedrar, en cylinder, en kon och en boll", är det tillrådligt att ta två lektioner för att lösa problem för att kombinera en boll med andra kroppar . Det rekommenderas inte att bevisa satserna ovan på grund av den otillräckliga tiden på lektionerna. Du kan erbjuda elever som har tillräckliga färdigheter för att bevisa dem genom att ange (efter lärarens bedömning) kursen eller planen för beviset.
En boll kan omskrivas nära en pyramid om och bara om en cirkel kan omskrivas nära dess bas.
För att bygga mitten O på denna boll behöver du:
1. Hitta mitten O, cirkeln omskriven nära basen.
2. Dra genom punkt O en rät linje vinkelrätt mot basens plan.
3. Rita ett plan vinkelrätt mot denna kant genom mitten av valfri sidokant av pyramiden.
4. Hitta punkten O för skärningspunkten mellan den konstruerade linjen och planet.
Specialfall: pyramidens sidokanter är lika. Sedan:
bollen kan beskrivas;
bollens centrum O ligger i höjd med pyramiden;
Var är radien för den omskrivna sfären; - sido revben; H är höjden på pyramiden.
5.2. kula och prisma
En sfär kan omskrivas nära ett prisma om och endast om prismat är rakt och en cirkel kan omskrivas nära dess bas.
Kulans centrum är mitten av segmentet som förbinder mitten av cirklarna som beskrivs nära baserna.
var är radien för den omskrivna sfären; är radien för den omskrivna cirkeln nära basen; H är prismats höjd.
5.3. kula och cylinder
En sfär kan alltid beskrivas nära en cylinder. Sfärens centrum är symmetricentrum för cylinderns axiella sektion.
5.4. boll och kon
En sfär kan alltid beskrivas nära en kon. mitten av bollen; fungerar som mitten av en cirkel omskriven kring konens axiella sektion.
Ett vanligt fyrkantigt prisma, vars volym är 65 dm 3, beskrivs nära kulan. Beräkna förhållandet mellan arean av prismats totala yta och sfärens volym
Ett prisma kallas regelbundet om dess baser är regelbundna polygoner och dess laterala kanter är vinkelräta mot basen. En vanlig fyrhörning är en kvadrat. Skärningspunkten för en kvadrats diagonaler är dess centrum, såväl som mitten av en cirkel inskriven i den. Låt oss bevisa detta faktum. även om detta bevis sannolikt inte kommer att efterfrågas och kan utelämnas
Som en speciell sorts parallellogram, rektangel och romb har kvadraten sina egenskaper: diagonalerna är lika stora och delar skärningspunkten, och är bisektorerna av kvadratens hörn. Dra en linje genom punkt E parallellt med AB. AB är vinkelrät mot BC, vilket betyder att TC också är vinkelrät mot BC (om en av de två parallella linjerna är vinkelrät mot någon tredjedel av linjen, så är den andra parallella linjen också vinkelrät mot denna (tredje) linje). På samma sätt ritar vi en rät linje MR. Rektangulära trianglar BET och AEK är lika i hypotenusa och spetsig vinkel (BE=AE - hälften av diagonalerna, ∠ EBT=∠ EAK - hälften av den räta vinkeln), så ET=EK. På samma sätt bevisar vi att EM=EP. Och från likheten mellan trianglarna CEP och SET (samma tecken) kommer vi att se att ET = EP, d.v.s. ET = EP = EK = EM eller helt enkelt säga att punkten M är lika långt från kvadratens sidor, och detta är nödvändigt tillstånd för att känna igen det som mitten av en cirkel inskriven i denna kvadrat.
Betrakta rektangeln ABTK (denna fyrhörning är en rektangel, eftersom alla vinklar i den är räta av konstruktionen). I en rektangel är motsatta sidor lika - AB \u003d KT (det bör noteras att KT är diametern på basen) - detta betyder att sidan av basen är lika med diametern på den inskrivna cirkeln.
Låt oss rita ett plan genom parallell (två linjer vinkelräta mot samma plan är parallella) AA 1, CC 1 och BB 1 respektive DD 1 (parallella linjer definierar ett plan, dessutom bara ett). Planen AA 1 C 1 C och BB 1 D 1 D är vinkelräta mot basen ABCD, eftersom passera genom raka linjer (laterala revben) vinkelräta mot den.
Från punkten H (diagonalernas skärningspunkt) i planet AA 1 C 1 C vinkelrätt mot basen ABCD. Sedan kommer vi att göra samma sak i planet ВВ 1 D 1 D. Från satsen: om från en punkt som hör till en av de två vinkelräta plan, rita en vinkelrät mot ett annat plan, då ligger denna vinkelrät helt i det första planet, - vi får att denna vinkelrät måste ligga både i planet AA 1 C 1 C och i planet BB 1 D 1 D. Detta är möjligt endast om detta sammanfaller vinkelrät med skärningslinjen för dessa plan - INTE. De där. segmentet är INTE en rät linje på vilken centrum av den inskrivna cirkeln ligger (eftersom det INTE är på samma avstånd från planen på sidoytorna, och detta följer i sin tur av ekvidistansen för punkterna E och H från hörnen på motsvarande baser (enligt det bevisade: skärningspunkten för diagonalerna är lika långt från sidorna av kvadraten ), och från det faktum att NOT är vinkelrät mot baserna, kan vi dra slutsatsen att NOT är kulans diameter. Teorem : En boll kan inskrivas i ett vanligt prisma om och endast om dess höjd är lika med diametern på cirkeln inskriven i basen.kulan, så dess höjd är lika med diametern på cirkeln inskriven i basen.Om vi anger sidan av basen som A, och prismats höjd för h, och sedan använder vi denna sats, avslutar vi A=h och då kan prismats volym hittas enligt följande: 
Vidare, genom att använda det faktum att höjden är lika med diametern på den inskrivna sfären och sidan av prismats bas, hittar vi sfärens radie och sedan dess volym: 
Det måste sägas att sidokanterna är lika med höjden (segment av parallella linjer inneslutna mellan parallella planär lika), och eftersom höjden är lika med sidan av basen, är i allmänhet alla kanterna på prismat lika med varandra, och alla ytorna är i huvudsak kvadrater med en area A 2. Faktum är att en sådan figur kallas en kub - ett specialfall av en parallellepiped. Det återstår att hitta den totala ytan på kuben och korrelera den med bollens volym: 
2. Bassida 
Uppgifter
1. Hitta ytan på ett rakt prisma, vid vars bas ligger en romb med diagonaler lika med 3 och 4, och en sidokant lika med 5.
Svar: 62.
2. Vid basen av ett rakt prisma ligger en romb med diagonaler lika med 6 och 8. Dess yta är 248. Hitta sidokanten på detta prisma.
Svar: 10.
3. Hitta sidokanten på ett vanligt fyrkantigt prisma om sidorna på dess bas är 3 och ytarean är 66.
Svar: 4.
4. Ett vanligt fyrkantigt prisma beskrivs nära en cylinder vars basradie och höjd är lika med 2. Hitta prismats laterala ytarea.
Svar: 32.
5. Ett vanligt fyrkantigt prisma beskrivs nära en cylinder vars basradie är 2. Prismats sidoyta är 48. Hitta cylinderns höjd.
Rak prisma (hexagonal regelbunden)
Ett prisma där sidokanterna är vinkelräta mot baserna och baserna är lika kvadratiska.
1. Sidoytor - lika rektanglar
2. Bassida 
Uppgifter
1. Hitta volymen av ett vanligt sexkantigt prisma vars bassidor är lika med 1 och sidokanterna är lika.
Svar: 4.5.
2. Hitta den laterala ytarean av ett regelbundet sexkantigt prisma vars bassidor är 3 och vars höjd är 6.
Svar: 108.
3. Hitta volymen av ett regelbundet hexagonalt prisma med alla kanter lika med √3.
Svar: 13.5
4. Hitta volymen av en polyeder vars hörn är punkterna A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 i ett regelbundet sexkantigt prisma ABCDEFA1B1C1D1E1F1, vars basarea är 6, och vars sidokant är 2.
Direkt prisma (godtyckligt n-kol)
Ett prisma vars sidokanter är vinkelräta mot baserna och vars baser är lika n-goner.
1. Om basen är en vanlig polygon, är sidoytorna lika rektanglar.
2. Bassida 
.
Pyramid
En pyramid är en polyeder som består av en n-gon A1A2...AnA1 och n trianglar (A1A2P, A1A3P, etc.).
1. En sektion parallell med pyramidens bas är en polygon som liknar basen. Områdena för sektionen och basen är relaterade som kvadraterna på deras avstånd till toppen av pyramiden.
2. En pyramid kallas regelbunden om dess bas är en vanlig polygon, och vertexet projiceras in i basens mitt.
3. Alla sidokanter på en vanlig pyramid är lika, och sidoytorna är lika likbenta trianglar.
4. Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid kallas apotem.
5. Arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid är lika med hälften av produkten av omkretsen av basen och apotem.
Uppgifter
1. Hur många gånger kommer volymen av en vanlig tetraeder att öka om alla dess kanter fördubblas?
Svar: 8.
2. Sidorna på basen av en vanlig hexagonal pyramid är 10, sidokanterna är 13. Hitta arean på pyramidens laterala yta.
Svar: 360.
5. Hitta volymen på pyramiden som visas i figuren. Dess bas är en polygon vars intilliggande sidor är vinkelräta, och en av sidokanterna är vinkelrät mot basens plan och är lika med 3.
Svar: 27.
6. Hitta volymen av en vanlig triangulär pyramid vars bassidor är 1 och vars höjd är .
Svar: 0,25.
7. Sidokanterna på en triangulär pyramid är inbördes vinkelräta, var och en av dem är lika med 3. Hitta pyramidens volym.
Svar: 4.5.
8. Diagonalen på basen av en vanlig fyrkantig pyramid är 8. Sidokanten är 5. Hitta volymen på pyramiden.
Svar: 32.
9. I en vanlig fyrkantig pyramid är höjden 12, volymen är 200. Hitta sidokanten på pyramiden.
Svar: 13.
10. Sidorna på basen av en vanlig fyrkantig pyramid är 6, sidokanterna är 5. Hitta ytan på pyramiden.
Svar: 84.
11. Volymen av en vanlig sexkantig pyramid 6. Sidan på basen är 1. Hitta sidokanten.
12. Hur många gånger kommer ytan på en vanlig tetraeder att öka om alla dess kanter fördubblas?
Svar: 4.
13. Volymen av en vanlig fyrkantig pyramid är 12. Hitta volymen av pyramiden avskuren från den av ett plan som går genom basens diagonal och mitten av den motsatta sidokanten.
Svar: 3.
14. Hur många gånger kommer volymen på en oktaeder att minska om alla dess kanter halveras?
Svar: 8.
15. Volymen av en triangulär pyramid är 15. Planet passerar genom sidan av basen av denna pyramid och skär den motsatta sidokanten vid en punkt som delar den i förhållandet 1: 2, räknat från toppen av pyramiden. Hitta den största av volymerna av pyramiderna som planet delar den ursprungliga pyramiden i.
Svar: 10.
16. Hitta höjden på en vanlig triangulär pyramid vars bassidor är 2 och vars volym är .
Svar: 3.
17. I en vanlig fyrkantig pyramid är höjden 6, sidokanten är 10. Hitta dess volym.
Svar: 256.
18. Från en triangulär pyramid, vars volym är 12, avskuren triangulär pyramid ett plan som går genom toppen av pyramiden och mittlinjen av basen. Hitta volymen på den avskurna triangulära pyramiden.
Svar: 3.
Cylinder
Cylinder - en kropp avgränsad av en cylindrisk yta och två cirklar med gränser.
| H |
| R |
| kroppsvolym | Sidoyta | Basyta | Total yta |
 |  |  |  |
 |  |  |
1. Generatorer av en cylinder - segment av generatorer inneslutna mellan baserna.
2. Cylinderns höjd är längden på generatrisen.
3. Axiell sektion - en rektangel, vars två sidor är generatorer, och de andra två är diametrarna på cylinderns baser.
4. Cirkulär sektion - en sektion, vars sekantplan är vinkelrät mot cylinderns axel.
5. Utveckling av cylinderns sidoyta - en rektangel som representerar två kanter av skärningen av cylinderns sidoyta längs generatrisen.
6. Arean av cylinderns laterala yta är området för dess utveckling.
7. Arean av cylinderns hela yta kallas summan av ytorna på sidoytan och de två baserna.
8. Det är alltid möjligt att beskriva en sfär nära en cylinder. Dess centrum ligger i mitten av höjden. 
, där R är kulans radie, r är radien för cylinderns bas, H är cylinderns höjd.
9. En kula kan inskrivas i en cylinder om diametern på cylinderns bas är lika med dess höjd, 
.
Uppgifter
1. En del sänks ner i ett cylindriskt kärl innehållande 6 liter vatten. Samtidigt steg vätskenivån i kärlet 1,5 gånger. Vad är volymen på delen?
Svar: 3.
2. Hitta volymen av en cylinder vars basarea är 1, och generatrisen är 6 och lutar mot basplanet i en vinkel på 30o.
Svar: 3.
3. Cylindern och konen har en gemensam bas och höjd. Hitta volymen på cylindern om konens volym är 50.
Svar: 150.
4. Vatten, som var i ett cylindriskt kärl på en nivå av 12 cm, hälldes i ett cylindriskt kärl, dubbelt så stort i diameter. På vilken höjd kommer vattennivån att vara i det andra kärlet?
5. Arean av cylinderns axiella sektion är . Hitta cylinderns laterala yta.
Svar: 2.
6. Ett vanligt fyrkantigt prisma beskrivs nära en cylinder vars basradie och höjd är lika med 2. Hitta arean av prismats sidoyta.
Svar: 32.
7. Omkretsen på cylinderns bas är 3. Den laterala ytan är 6. Hitta cylinderns höjd.
8. En cylindrisk mugg är dubbelt så hög som den andra, men den andra är en och en halv gång bredare. Hitta förhållandet mellan volymen av den andra muggen och volymen av den första.
Svar: 1,125.
9. I ett cylindriskt kärl når vätskenivån 18 cm På vilken höjd blir vätskenivån om den hälls i ett andra kärl vars diameter är 3 gånger mer än den första?
Svar: 2.
Kon
En kon är en kropp som begränsas av en konisk yta och en cirkel.
  |
| kon axel |
| R |
| vertex |
| generatorer |
| sidoyta |
| r |
| kroppsvolym | Sidoyta | Basyta | Total yta |
 |  | |  |
 |  |
1. Arean av konens laterala yta är området för dess utveckling.
2. Samband mellan utvecklingsvinkeln och vinkeln vid spetsen av den axiella sektionen 
.
1. En cylinder och en kon har en gemensam bas och höjd. Hitta volymen på cylindern om konens volym är 50.
Svar: 150.
2. Hitta volymen av en kon vars basarea är 2, och generatrisen är 6 och lutar mot basplanet i en vinkel på 30o.
Svar: 2.
3. Konens volym är 12. En sektion dras parallellt med konens bas och delar höjden på mitten. Hitta volymen på den avskurna konen.
Svar: 1.5.
4. Hur många gånger är volymen av en kon omskriven nära en vanlig fyrkantig pyramid större än volymen av en kon inskriven i denna pyramid?
Svar: 2.
5. Konens höjd är 6, generatrisen är 10. Hitta dess volym dividerat med.
Svar: 128.
6. Cylindern och konen har en gemensam bas och höjd. Hitta konens volym om cylinderns volym är 48.
Svar: 16.
7. Diametern på konens bas är 6, och vinkeln på toppen av den axiella sektionen är 90°. Beräkna konens volym dividerat med .
8. Konen beskrivs nära en vanlig fyrkantig pyramid med bassida 4 och höjd 6. Hitta dess volym dividerat med .
9. En kon erhålls genom att rotera en likbent rätvinklig triangel runt ett ben lika med 6. Hitta dess volym dividerat med.
Kula och boll
En sfär är en yta som består av alla punkter i rymden som ligger på ett givet avstånd från en given punkt. En sfär är en kropp som begränsas av en sfär.
1. En sektion av en sfär med ett plan är en cirkel om avståndet från sfärens centrum till planet är mindre än sfärens radie.
2. Sektionen av en sfär genom ett plan är en cirkel.
3. Tangentplanet till sfären är ett plan som bara har en gemensam punkt med sfären.
4. Sfärens radie, ritad vid kontaktpunkten mellan sfären och planet, är vinkelrät mot tangentplanet.
5. Om en sfärs radie är vinkelrät mot planet som går genom dess ände som ligger på sfären, då är detta plan tangent till sfären.
6. En polyeder sägs vara inskriven nära en sfär om sfären vidrör alla dess ytor.
7. Segmenten av tangenterna till sfären, ritade från en punkt, är lika och utgör lika vinklar med en rät linje som går genom denna punkt och sfärens centrum.
8. En sfär är inskriven i en cylindrisk yta om den vidrör alla dess generatorer.
9. En sfär är inskriven i en konisk yta om den vidrör alla dess generatorer.
Uppgifter
1. Radierna för två bollar är 6 och 8. Hitta radien för en boll vars yta är lika med summan av deras ytarea.
Svar: 10.
2. Arean av bollens storcirkel är 1. Hitta bollens yta.
3. Hur många gånger kommer bollens yta att öka om dess radie fördubblas?
4. Radierna för tre bollar är 3, 4 och 5. Hitta radien för en boll vars volym är lika med summan av deras volymer.
Svar: 6.
5. En rektangulär ruta är omskriven runt en sfär med radie 2. Hitta dess yta.
Svar: 96.
6. En kub är inskriven i en boll med radie . Hitta kubens yta.
Svar: 24.
7. En rektangulär ruta är omskriven runt en sfär med radie 2. Hitta dess volym.
8. Volymen på kuben omskriven runt sfären är 216. Hitta sfärens radie.
Svar: 3.
9. Ytan på en kuboid omskriven kring en sfär är 96. Hitta sfärens radie.
Svar: 2.
10. En cylinder beskrivs nära sfären, vars laterala yta är 9. Hitta sfärens yta.
Svar: 9.
11. Hur många gånger en sfärs yta omgärdad kring en kub mer område ytan på en sfär inskriven i samma kub?
Svar: 3.
12. En kub är inskriven i en boll med radie . Hitta volymen på kuben.
Svar: 8.
Komposit polyedrar
Uppgifter
1. Figuren visar en polyeder, alla dihedriska vinklar på polyederen är räta. Hitta avståndet mellan hörn A och C2.
Svar: 3.
2. Hitta vinkeln CAD2 för polyedern som visas i figuren. Alla dihedriska vinklar på en polyeder är rätta. Ge ditt svar i grader.
Svar: 60.
3. Hitta ytarean på polyedern som visas i figuren (alla dihedriska vinklar är räta).
Svar: 18.
4. Hitta ytarean på polyedern som visas i figuren (alla dihedriska vinklar är räta).
Svar: 132
5. Hitta ytan på det rumsliga korset som visas i figuren och består av enhetskuber.
Svar: 30
6. Hitta volymen för polyedern som visas i figuren (alla dihedriska vinklar är räta).
Svar: 8
7.Hitta volymen av polyedern som visas i figuren (alla dihedriska vinklar är räta).
Svar: 78
8. Figuren visar en polyeder, alla dihedriska vinklar på polyederen är räta. Hitta tangenten för vinkeln ABB3.
Svar: 2
10. Figuren visar en polyeder, alla dihedriska vinklar på polyederen är räta. Hitta tangenten för vinkeln C3D3B3.
Svar: 3
11. Genom mittlinjen av basen av ett triangulärt prisma dras ett plan parallellt med sidokanten. Hitta arean på prismats sidoyta om arean av sidoytan på det avskurna triangulära prismat är 37.
Svar: 74.
12. Figuren visar en polyeder, alla dihedriska vinklar på polyederen är räta. Hitta det kvadratiska avståndet mellan hörn B2 och D3.
Svar: 11.
