Pyramid. Stympad pyramid

Pyramid kallas en polyeder, vars ena ansikten är en polygon ( bas ), och alla andra ytor är trianglar med en gemensam vertex ( sidoytor ) (fig. 15). Pyramiden kallas korrekt , om dess bas är en vanlig polygon och toppen av pyramiden projiceras till mitten av basen (fig. 16). En triangulär pyramid där alla kanter är lika kallas tetraeder .

Sido revben pyramid är den sida av sidoytan som inte hör till basen Höjd pyramid kallas avståndet från dess topp till basens plan. Alla sido revben rätt pyramidär lika med varandra, alla sidoytor är lika likbenta trianglar... Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid ritad från toppen kallas apotem . Diagonal sektion sektionen av pyramiden kallas ett plan som går genom två laterala kanter som inte hör till en sida.

Sidoyta pyramid kallas summan av areorna av alla sidoytor. Full yta kallas summan av areorna av alla sidoytor och basen.

Satser

1. Om i en pyramid alla laterala kanter lutar lika mycket mot basens plan, projiceras toppen av pyramiden in i mitten av cirkeln som är omskriven kring basen.

2. Om alla sidokanter i pyramiden är lika långa, så projiceras toppen av pyramiden in i mitten av cirkeln omskriven kring basen.

3. Om alla ytor i pyramiden lutar lika mycket mot basens plan, så projiceras toppen av pyramiden in i mitten av cirkeln som är inskriven i basen.

För att beräkna volymen av en godtycklig pyramid är följande formel korrekt:

var V- volym;

S huvud- basarea;

H- höjden på pyramiden.

För rätt pyramid är formlerna korrekta:

var sid- basomkrets;

h a- apotem;

H- höjd;

S full

S sida

S huvud- basarea;

V- volymen av rätt pyramid.

Stympad pyramid kallas den del av pyramiden, innesluten mellan basen och sekantplanet parallellt med pyramidens bas (fig. 17). Vanlig stympad pyramid kallas delen av en vanlig pyramid, innesluten mellan basen och sekantplanet parallellt med pyramidens bas.

Grunder trunkerade pyramider - liknande polygoner. Sidoytor - trapets. Höjd en stympad pyramid är avståndet mellan dess baser. Diagonal en stympad pyramid kallas ett segment som förbinder dess hörn som inte ligger på samma yta. Diagonal sektion en sektion av en stympad pyramid kallas ett plan som går genom två sidokanter som inte hör till en sida.

För en trunkerad pyramid är följande formler giltiga:

(4)

var S 1 , S 2 - områden av de övre och nedre baserna;

S full- total yta;

S sida- lateral yta;

H- höjd;

V- volymen av den trunkerade pyramiden.

För en korrekt trunkerad pyramid är formeln korrekt:

var sid 1 , sid 2 - omkretsar av baserna;

h a- apotem för den regelbundna stympade pyramiden.

Exempel 1. I en vanlig triangulär pyramid är den dihedriska vinkeln vid basen 60º. Hitta tangenten för sidokantens lutningsvinkel mot basens plan.

Lösning. Låt oss göra en ritning (fig. 18).

Pyramiden är korrekt, så vid basen liksidig triangel och alla sidoytor är lika likbenta trianglar. Den dihedriska vinkeln vid basen är lutningsvinkeln för pyramidens sidoyta mot basens plan. Den linjära vinkeln är vinkeln a mellan två perpendikuler: och d.v.s. Toppen av pyramiden projiceras i triangelns mitt (mitten av den omslutna cirkeln och den inskrivna cirkeln i triangeln ABC). Lutningsvinkeln för sidoribban (till exempel SB) Är vinkeln mellan själva kanten och dess projektion på basens plan. För revben SB denna vinkel kommer att vara vinkeln SBD... För att hitta tangenten måste du känna till benen SÅ och OB... Låt längden på segmentet BDär lika med 3 a... Punkt O sektion BDär uppdelad i delar: och Från finner vi SÅ: Från vi finner:

Svar:

Exempel 2. Hitta volymen av en vanlig stympad fyrkantig pyramid om diagonalerna på dess baser är cm och cm och höjden är 4 cm.

Lösning. För att hitta volymen på den trunkerade pyramiden använder vi formel (4). För att hitta arean på baserna måste du hitta sidorna på basrutorna, känna till deras diagonaler. Sidorna på baserna är 2 cm respektive 8 cm. Så arean av baserna och Efter att ha ersatt alla data i formeln, beräknar vi volymen av den trunkerade pyramiden:

Svar: 112 cm 3.

Exempel 3. Hitta arean på sidoytan på en vanlig triangulär stympad pyramid, vars sidor är 10 cm och 4 cm och höjden på pyramiden är 2 cm.

Lösning. Låt oss göra en ritning (fig. 19).

Sidoytan på denna pyramid är en likbent trapets. För att beräkna arean av en trapets, måste du känna till basen och höjden. Baserna är givna efter villkor, bara höjden är fortfarande okänd. Vi hittar den varifrån A 1 E vinkelrät från punkten A 1 på planet för den nedre basen, A 1 D- vinkelrätt från A 1 på SOM. A 1 E= 2 cm, eftersom detta är höjden på pyramiden. Att hitta DE låt oss göra en ytterligare ritning, som visar en vy ovanifrån (fig. 20). Punkt O- projektion av mitten av de övre och nedre baserna. sedan (se fig. 20) och Å andra sidan OKÄr radien för den inskrivna cirkeln och OM- radien för den inskrivna cirkeln:

MK = DE.

Av Pythagoras sats från

Sidoyta:

Svar:

Exempel 4. Vid basen av pyramiden ligger en likbent trapets, vars baser a och b (a> b). Varje sidoyta bildar en vinkel med pyramidens basplan lika med j... Hitta den totala ytan av pyramiden.

Lösning. Låt oss göra en ritning (fig. 21). Total yta av pyramiden SABCD lika med summan av trapetsens area och area ABCD.

Låt oss använda påståendet att om alla ytor på pyramiden lutar lika mycket mot basens plan, så projiceras spetsen till mitten av cirkeln inskriven i basen. Punkt O- vertexprojektion S vid basen av pyramiden. Triangel SODär den ortogonala projektionen av triangeln CSD på basens plan. Genom satsen om arean av en ortogonal projektion av en plan figur får vi:

På samma sätt betyder det Således reducerades uppgiften till att hitta området för trapetsen ABCD... Rita en trapets ABCD separat (fig. 22). Punkt O- mitten av cirkeln inskriven i trapetsen.

Eftersom en cirkel kan inskrivas i en trapets, antingen From, med Pythagoras sats, har vi

I den här lektionen kommer vi att titta på den trunkerade pyramiden, bekanta oss med den korrekta trunkerade pyramiden och studera deras egenskaper.

Låt oss komma ihåg konceptet med en n-sidig pyramid genom att använda exemplet med en triangulär pyramid. Triangel ABC är inställd. Utanför triangelns plan tas punkt P, kopplad till triangelns hörn. Den resulterande polyedriska ytan kallas en pyramid (fig. 1).

Ris. 1. Triangulär pyramid

Låt oss dissekera pyramiden med ett plan parallellt med pyramidbasens plan. Figuren som erhålls mellan dessa plan kallas en stympad pyramid (Fig. 2).

Ris. 2. Stympad pyramid

Huvudelement:

Övre bas;

Nedre bas ABC;

Sidokant;

Om PH är höjden på den ursprungliga pyramiden, så är höjden på den trunkerade pyramiden.

Egenskaperna hos en stympad pyramid följer av metoden för dess konstruktion, nämligen från parallelliteten hos basplanen:

Alla sidoytor på den stympade pyramiden är trapetser. Tänk till exempel på en aspekt. Enligt egenskapen hos parallella plan (eftersom planen är parallella skär de sidoytan på den ursprungliga ABP-pyramiden längs parallella räta linjer), samtidigt är de inte parallella. Uppenbarligen är fyrhörningen en trapets, som alla sidoytor på den stympade pyramiden.

Basförhållandet är detsamma för alla trapetser:

Vi har flera par liknande trianglar med samma likhetskoefficient. Till exempel är trianglar och RAV lika på grund av planens parallellitet och likhetskoefficienten:

Samtidigt är trianglar och RBC likartade med likhetskoefficienten:

Uppenbarligen är likhetskoefficienterna för alla tre par av liknande trianglar lika, så förhållandet mellan baserna är detsamma för alla trapetser.

En vanlig stympad pyramid är en stympad pyramid som erhålls genom att skära en vanlig pyramid med ett plan parallellt med basen (fig. 3).

Ris. 3. Korrigera stympad pyramid

Definition.

En pyramid kallas korrekt, vid basen av vilken ligger vanlig n-gon, och vertexet projiceras till mitten av denna n-gon (centrum av de inskrivna och omskrivna cirklarna).

V I detta fall det finns en kvadrat vid basen av pyramiden, och toppen projiceras till skärningspunkten för dess diagonaler. Den erhållna regelbundna rektangulära stympade pyramiden ABCD har en nedre bas och en övre bas. Höjden på den ursprungliga pyramiden - RO, den stympade pyramiden - (Fig. 4).

Ris. 4. Regelbunden fyrkantig stympad pyramid

Definition.

Höjden av stympad är vinkelrät ritad från valfri punkt på en bas till planet för den andra basen.

Den ursprungliga pyramidens apotem är PM (M är mitten av AB), apotemet för den stympade pyramiden är (Fig. 4).

Definition.

Den stympade pyramidens apotem är höjden på vilken sida som helst.

Det är tydligt att alla laterala kanter av den trunkerade pyramiden är lika med varandra, det vill säga att laterala kanter är lika likbenta trapetser.

Den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid är lika med produkten av halvsumman av basens omkretsar och apotem.

Bevis (för en vanlig rektangulär stympad pyramid - Fig. 4):

Så det är nödvändigt att bevisa:

Arean av den laterala ytan här kommer att bestå av summan av ytorna på sidoytorna - trapetser. Eftersom trapetserna är desamma har vi:

Arean av en likbent trapets är produkten av halvsumman av baserna och höjden, apotem är trapetsens höjd. Vi har:

Q.E.D.

För en n-sidig pyramid:

Där n är antalet sidoytor på pyramiden, a och b är basen på trapetsen, är apotemet.

Sidor av basen av en vanlig stympad fyrkantig pyramid är lika med 3 cm och 9 cm, höjd - 4 cm Hitta den laterala ytan.

Ris. 5. Illustration för problem 1

Lösning. Låt oss illustrera tillståndet:

Given:,,

Genom punkt O ritar vi en rät linje MN parallellt med de två sidorna av den nedre basen, på samma sätt genom en punkt drar vi en rät linje (Fig. 6). Eftersom kvadraterna och konstruktionerna är parallella vid basen av den stympade pyramiden får vi en trapets som är lika med sidoytorna. Dessutom kommer dess laterala sida att passera genom mitten av de övre och nedre ribborna på sidoytorna och vara apotem för den stympade pyramiden.

Ris. 6. Ytterligare konstruktioner

Betrakta den resulterande trapetsen (Fig. 6). I denna trapets är den övre basen, den nedre basen och höjden kända. Det krävs för att hitta den laterala sidan, som är apotem för den givna trunkerade pyramiden. Låt oss rita vinkelrätt mot MN. Låt oss släppa den vinkelräta NQ från punkten. Vi får att den större basen är uppdelad i segment om tre centimeter (). Betrakta en rätvinklig triangel, benen i den är kända, detta är den egyptiska triangeln, enligt Pythagoras sats bestämmer vi hypotenusans längd: 5 cm.

Nu finns det alla element för att bestämma området för pyramidens laterala yta:

Pyramiden korsas av ett plan parallellt med basen. Bevisa, med hjälp av exemplet med en triangulär pyramid, att sidokanterna och höjden på pyramiden är uppdelade av detta plan i proportionella delar.

Bevis. Låt oss illustrera:

Ris. 7. Illustration för problem 2

RAVS-pyramiden är satt. RO är höjden på pyramiden. Pyramiden dissekeras av ett plan, en stympad pyramid erhålls dessutom. Punkt - skärningspunkten för RO-höjden med planet för basen av den trunkerade pyramiden. Det är nödvändigt att bevisa:

Nyckeln till lösningen är egenskapen parallellplan. Två parallella plan skär ett tredje plan så att skärningslinjerna är parallella. Därav:. Parallellen hos de motsvarande räta linjerna innebär närvaron av fyra par liknande trianglar:

De motsvarande sidornas proportionalitet följer av trianglarnas likhet. Viktig funktion ligger i det faktum att likhetskoefficienterna för dessa trianglar är desamma:

Q.E.D.

Korrekt triangulär pyramid RAVS med höjden och sidan av basen dissekeras av ett plan som går genom mitten av höjden av RN parallellt med basen ABC. Hitta den laterala ytan av den resulterande trunkerade pyramiden.

Lösning. Låt oss illustrera:

Ris. 8. Illustration för problem 3

ASB är en rätvinklig triangel, H är mitten av denna triangel (centrum för de inskrivna och omskrivna cirklarna). RM är apotem för den givna pyramiden. - apotem av den stympade pyramiden. Enligt egenskapen hos parallella plan (två parallella plan skär vilket tredje plan som helst så att skärningslinjerna är parallella) har vi flera par liknande trianglar med lika koefficient för likhet. Vi är särskilt intresserade av relationen:

Låt oss hitta NM. Detta är radien för cirkeln inskriven i basen, vi känner till motsvarande formel:

Nu, från den rätvinkliga triangeln РНМ, enligt Pythagoras sats, finner vi РМ - apotem för den ursprungliga pyramiden:

Från det initiala förhållandet:

Nu känner vi till alla element för att hitta området på den laterala ytan av den stympade pyramiden:

Så vi bekantade oss med begreppen en stympad pyramid och en vanlig stympad pyramid, gav grundläggande definitioner, betraktade egenskaper och bevisade satsen på den laterala ytan. Nästa lektion kommer att handla om problemlösning.

Bibliografi

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometri. Årskurs 10-11: lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner (grundläggande och profilnivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5:e upplagan, Rev. och lägg till. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 s.: Ill.
2. Sharygin I.F. Geometri. Årskurs 10-11: Lärobok för allmän bildning läroanstalter/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999 .-- 208 s.: Ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometri. Årskurs 10: Lärobok för läroanstalter med fördjupade och specialiserade studier i matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6:e upplagan, Stereotyp. - M .: Bustard, 2008 .-- 233 s .: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Läxa

- Det här är en polyeder, som bildas av pyramidens bas och en sektion parallell med den. Vi kan säga att en stympad pyramid är en pyramid med en stympad topp. Denna form har många unika egenskaper:

• Pyramidens sidoytor är trapezer;
• Laterala revben av en vanlig stympad pyramid lika lång och lutas till basen i samma vinkel;
• Baserna är som polygoner;
• I en vanlig stympad pyramid är ansiktena identiska likbenta trapetser, vars yta är lika med. De lutas också mot basen i samma vinkel.

Formeln för den laterala ytarean av en trunkerad pyramid är summan av ytorna på dess sidor:

Eftersom sidorna av den trunkerade pyramiden är trapetser, måste du använda formeln för att beräkna parametrarna område av trapetsen... För en korrekt trunkerad pyramid kan du använda en annan areaformel. Eftersom alla dess sidor, ytor och vinklar vid basen är lika, kan du tillämpa omkretsen av basen och apotem, och även härleda arean genom vinkeln vid basen.

Om, enligt förhållandena i en vanlig stympad pyramid, apotem (höjden på sidosidan) och längderna på sidorna av basen anges, kan arean beräknas genom halvprodukten av summan av omkretsen av baserna och apotem:

Låt oss titta på ett exempel på beräkning av den laterala ytan av en trunkerad pyramid.
En vanlig femkantig pyramid ges. Apotem l= 5 cm, längden på ansiktet i den stora basen är a= 6 cm, och kanten i den mindre basen b= 4 cm. Beräkna arean av den stympade pyramiden.

Låt oss först hitta omkretsen av baserna. Eftersom vi får en femkantig pyramid förstår vi att baserna är femhörningar. Det betyder att en figur med fem identiska sidor ligger vid baserna. Hitta omkretsen av den större basen:

På samma sätt hittar vi omkretsen av den mindre basen:

Nu kan vi beräkna arean av den korrekta trunkerade pyramiden. Vi ersätter data med formeln:

Således beräknade vi arean av en vanlig stympad pyramid genom omkretsen och apotem.

Ett annat sätt att beräkna den laterala ytan av en vanlig pyramid är formeln genom hörnen vid basen och området för just dessa baser.

Låt oss ta en titt på ett räkneexempel. Kom ihåg att denna formel endast gäller för en vanlig stympad pyramid.

Låt en vanlig fyrkantig pyramid ges. Kanten på den nedre basen är a = 6 cm, och kanten på den övre basen är b = 4 cm. Den diedriska vinkeln vid basen är β = 60 °. Hitta den laterala ytan på en vanlig stympad pyramid.

Först, låt oss beräkna arean av baserna. Eftersom pyramiden är korrekt är alla ytor på baserna lika med varandra. Med tanke på att det finns en fyrkant vid basen förstår vi att det kommer att vara nödvändigt att beräkna kvadratisk yta... Det är produkten av bredd och längd, men dessa värden är samma i kvadrat. Hitta arean för den större basen:


Nu använder vi de hittade värdena för att beräkna den laterala ytan.

Genom att känna till några enkla formler beräknade vi enkelt arean av den laterala trapetsen i den trunkerade pyramiden genom olika värden.

• 29.05.2016

  Oscillerande krets - elektrisk krets innehållande en induktor, en kondensator och en källa elektrisk energi... När elementen i kretsen är seriekopplade kallas oscillationskretsen sekventiell, med parallell - parallell. Oscillerande krets - enklaste systemet där gratis elektromagnetiska vibrationer... Kretsens resonansfrekvens bestäms av den så kallade Thomson-formeln: ƒ = 1 / (2π√ (LC)) För ...

• 20.09.2014

  Mottagaren är designad för att ta emot signaler i LW-området (150kHz… 300kHz). huvud funktion mottagare i en antenn som har högre induktans än en konventionell magnetantenn. Det gör att du kan använda kapacitansen för trimmerkondensatorn i intervallet 4 ... 20pF, och en sådan mottagare har en acceptabel känslighet och låg förstärkning av RF-vägen. Mottagaren fungerar för hörlurar (hörlurar), den drivs av ...

• 24.09.2014

  Denna enhet är utformad för att kontrollera vätskenivån i tankar, så snart vätskan stiger till den inställda nivån kommer enheten att börja ge en kontinuerlig ljudsignal, när vätskenivån når en kritisk nivå kommer enheten att börja ge en intermittent signal. Indikatorn består av 2 generatorer, de styrs av ett sensorelement E. Den placeras i tanken på en nivå upp till ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 är en digital flerprogramstimer designad för att fungera med ILTs3-5 \ 7-indikatorn. Den ger nedräkning och visning på indikatorn för aktuell tid i timmar och minuter, veckodag och numret på kontrollkanalen (9 larm). Väckarklockans diagram visas i figuren. Mikrokretsen är klockad. resonator Q1 vid 32768Hz. maten är negativ, ett vanligt plus går till ...