Videolektion 2: Sats om tre vinkelräta. Teori

Videolektion 3: Sats om tre vinkelräta. En uppgift

Föreläsning: Vinkelräthet för en rät linje och ett plan, tecken och egenskaper; vinkelrät och snett; tre vinkelräta satser

Vinkelvinkel mellan en linje och ett plan

Låt oss komma ihåg vad räta linjers vinkelräthet är i allmänhet. Vinkelräta linjer är de som skär i en vinkel på 90 grader. I detta fall kan vinkeln mellan dem vara, både vid korsning vid en viss punkt och vid korsning. Om några linjer skär varandra i rät vinkel kan de också kallas vinkelräta linjer om linjen på grund av parallell translation överförs till en punkt på den andra linjen.

Definition: Om en linje är vinkelrät mot någon linje som hör till ett plan, så kan den anses vara vinkelrät mot detta plan.

Funktion: Om det finns två vinkelräta linjer på något plan och någon tredje linje är vinkelrät mot var och en av dem, så är denna tredje linje vinkelrät mot planet.

Egenskaper:

• Om några linjer är vinkelräta mot ett plan, så är de ömsesidigt parallella med varandra.

• Om det finns två parallella plan, samt någon rät linje som är vinkelrät mot ett av planen, så är den också vinkelrät mot det andra.
• Det omvända uttalandet kan också göras: om en viss linje är vinkelrät mot två olika plan, så är sådana plan nödvändigtvis parallella.

sned

Om någon linje förbinder en godtycklig punkt som inte ligger på planet med någon punkt på planet, kommer en sådan linje att kallas sned.

Observera att den endast lutar om vinkeln mellan den och planet inte är 90 grader.

I figuren är AB α lutande mot planet. I det här fallet kallas punkt B för lutningens bas.

Om vi ​​ritar ett segment från punkt A till planet, vilket kommer att göra en vinkel på 90 grader med planet, kommer detta segment att kallas en vinkelrät. Vinkelrät kallas också det minsta avståndet till planet.

AC är en vinkelrät ritning från punkt A till plan α. Punkten C kallas basen av vinkelrät.

Om vi ​​i denna ritning ritar ett segment som kommer att ansluta basen av vinkelrät (C) till basen av det lutande (B), då kommer det resulterande segmentet att kallas utsprång.

Som ett resultat av enkla konstruktioner fick vi en rätvinklig triangel. I denna triangel kallas vinkeln ABC för vinkeln mellan snedställningen och projektionen.

Tre vinkelräta sats

Översikt över en lektion i geometri i årskurs 10 på ämnet "Perpendicularity of a line and a plan"

Lektionens mål:

pedagogisk

introduktion av ett tecken på vinkelräthet av en rak linje och ett plan;

att bilda elevers idéer om rät linjes och ett plans vinkelräthet, deras egenskaper;

att bilda elevernas förmåga att lösa typiska problem i ämnet, förmågan att bevisa påståenden;

utvecklande

utveckla självständighet, kognitiv aktivitet;

utveckla förmågan att analysera, dra slutsatser, systematisera mottagen information,

utveckla logiskt tänkande;

utveckla rumslig fantasi.

pedagogisk

utbildning av studenters talkultur, uthållighet;

väcka eleverna ett intresse för ämnet.

Lektionstyp: Lektion av studier och primär konsolidering av kunskap.

Former för elevarbete: främre omröstningen.

Utrustning: dator, projektor, duk.

Litteratur:"Geometri 10-11", Lärobok. Atanasyan L.S. och så vidare.

(2009, 255 s.)

Lektionsplanering:

Organisatoriskt ögonblick (1 minut);

Uppdatering av kunskap (5 minuter);

Att lära sig nytt material (15 minuter);

Primär konsolidering av det studerade materialet (20 minuter);

Sammanfattning (2 minuter);

Läxor (2 minuter).

Under lektionerna.

Organisatoriskt ögonblick (1 minut)

Hälsningar till studenter. Kontrollera elevernas beredskap för lektionen: kontrollera tillgängligheten av anteckningsböcker, läroböcker. Kontrollera frånvaro.

Kunskapsuppdatering (5 minuter)

Lärare. Vilken linje kallas vinkelrät mot planet?

Studerande. En linje vinkelrät mot någon linje som ligger i detta plan kallas en linje vinkelrät mot detta plan.

Lärare. Hur låter lemmat om två parallella linjer vinkelräta mot en tredje?

Studerande. Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot en tredje linje, är den andra linjen också vinkelrät mot denna linje.

Lärare. Sats om vinkelrätheten hos två parallella linjer till ett plan.

Studerande. Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot ett plan, är den andra linjen också vinkelrät mot det planet.

Lärare. Vad är inversen av denna sats?

Studerande. Om två linjer är vinkelräta mot samma plan så är de parallella.

Kollar läxor

Läxorna kontrolleras om eleverna har svårt att lösa dem.

Att lära sig nytt material (15 minuter)

Lärare. Du och jag vet att om en linje är vinkelrät mot ett plan, så kommer den att vara vinkelrät mot vilken linje som helst som ligger i detta plan, men i definitionen är vinkelrätheten hos en linje mot ett plan given som ett faktum. I praktiken är det ofta nödvändigt att avgöra om linjen kommer att vara vinkelrät mot planet eller inte. Sådana exempel kan ges från livet: under byggandet av byggnader drivs pålar vinkelrätt mot jordens yta, annars kan strukturen kollapsa. Definitionen av en rät linje vinkelrät mot planet kan inte användas i detta fall. Varför? Hur många linjer kan dras i ett plan?

Studerande. Det finns oändligt många raka linjer som kan ritas i ett plan.

Lärare. Korrekt. Och det är omöjligt att kontrollera vinkelrätheten hos en rak linje till varje enskilt plan, eftersom det kommer att ta oändligt lång tid. För att förstå om en linje är vinkelrät mot ett plan, introducerar vi tecknet på vinkelräthet för en linje och ett plan. Skriv ner det i din anteckningsbok. Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett plan, så är den vinkelrät mot det planet.

Notebook-post. Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett plan, så är den vinkelrät mot det planet.

Lärare. Således behöver vi inte kontrollera vinkelrätheten för en linje för varje rakt plan, det räcker med att kontrollera vinkelrätheten för endast två linjer i detta plan.

Lärare. Låt oss bevisa detta tecken.

Given: sid och q- hetero, sid ∩ q = O, a⊥ sid, a⊥ q, sid ϵ α, q ϵ α.

Bevisa: a⊥ α.

Lärare. Och ändå, för bevis, använder vi definitionen av en rät linje vinkelrät mot planet, hur låter det?

Studerande. Om en linje är vinkelrät mot ett plan, så är den vinkelrät mot vilken linje som helst som ligger i det planet.

Lärare. Korrekt. Rita valfri linje m i planet α. Dra en linje l ║m genom punkten O. På linjen markeras A och B så att punkten O är mittpunkten av segmentet AB. Låt oss rita linjen z på ett sådant sätt att den skär linjerna p, q, l, skärningspunkterna för dessa linjer kommer att betecknas med P, Q, L, respektive. Förbind ändarna av segmentet AB med punkterna P, Q och L.

Lärare. Vad kan vi säga om trianglarna ∆APQ och ∆BPQ?

Studerande. Dessa trianglar kommer att vara lika (enligt det 3:e kriteriet för trianglars likhet).

Lärare. Varför?

Studerande. Därför att linjerna p och q är vinkelräta halveringslinjer, då är AP = BP , AQ = BQ , och sidan PQ vanliga.

Lärare. Korrekt. Vad kan vi säga om trianglarna ∆APL och ∆BPL?

Studerande. Dessa trianglar kommer också att vara lika (enligt 1 tecken på likhet av trianglar).

Lärare. Varför?

Studerande. AP = BP, PL- gemensam sida APL =  BPL(från jämställdheten ∆ APQ och ∆ BPQ)

Lärare. Korrekt. Så AL = BL . Så vad blir ∆ALB?

Studerande. Så ∆ALB kommer att vara likbent.

Lärare. LO är medianen i ∆ALB, så vad blir det i denna triangel?

Studerande. Så LO blir också höjden.

Lärare. Därav den raka linjenlkommer att vara vinkelrät mot linjena. Och eftersom den raka linjenlär vilken linje som helst som hör till planet α, då per definition linjena⊥ a. Q.E.D.

Beprövad med presentation

Lärare. Men vad händer om linjen a inte skär punkten O, utan förblir vinkelrät mot linjerna p och q? Om linjen a skär någon annan punkt i det givna planet?

Studerande. Det är möjligt att konstruera en linje 1 , som kommer att vara parallell med linjen a, kommer att skära punkten O, och genom lemma på två parallella linjer vinkelräta mot den tredje kan vi bevisa atta 1 ⊥ sid, a 1 ⊥ q.

Lärare. Korrekt.

Primär konsolidering av det studerade materialet (20 minuter)

Lärare. För att konsolidera materialet vi har studerat kommer vi att lösa talet 126. Läs uppgiften.

Studerande. Linjen MB är vinkelrät mot sidorna AB och BC i triangeln ABC. Bestäm typen av triangel MBD, där D är en godtycklig punkt på den räta linjen AC.

Bild.

Givet: ∆ ABC, MB⊥ BA, MB⊥ före Kristus, D ϵ AC.

Hitta: ∆ MBD.

Lösning.

Lärare. Kan du rita ett plan genom toppen av en triangel?

Studerande. Jo det kan du. Planet kan ritas på tre punkter.

Lärare. Hur kommer linjerna BA och CB att placeras i förhållande till detta plan?

Studerande. Dessa linjer kommer att ligga i detta plan.

Lärare. Det visar sig att vi har ett plan, och det finns två korsande linjer i det. Hur förhåller sig linjen MW till dessa linjer?

Studerande. Direkt MV⊥ VA, MV ⊥ BC.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. Därför att MV⊥ VA, MV ⊥ VS

Lärare. Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett plan, kommer då linjen att tillhöra detta plan?

Studerande. Den räta linjen MB kommer att vara vinkelrät mot planet ABC.

⊥ ABC.

Lärare. Punkt D är en godtycklig punkt på segmentet AC, så hur kommer linjen BD att förhålla sig till planet ABC?

Studerande. Så BD tillhör planet ABC.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. Därför att BD ϵ ABC

Lärare. Vad blir linjerna MB och BD i förhållande till varandra?

Studerande. Dessa linjer kommer att vara vinkelräta genom definitionen av en linje vinkelrät mot planet.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. ↔ MV⊥ BD

Lärare. Om MB är vinkelrät mot BD, vad blir då triangeln MBD?

Studerande. Triangel MBD kommer att vara rätvinklig.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. ↔ ∆MBD – rektangulär.

Lärare. Korrekt. Låt oss lösa nummer 127. Läs uppgiften.

Studerande. I en triangelABC summan av vinklar A och Bär lika med 90°. HeteroBDvinkelrätt mot planetABC. Bevisa det CD⊥ AC.

Eleven går till svarta tavlan. Ritar en ritning.

Skriv på tavlan och i en anteckningsbok.

Givet: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

Bevisa: CD⊥ AC.

Bevis:

Lärare. Vad är summan av vinklarna i en triangel?

Studerande. Summan av vinklarna i en triangel är 180°.

Lärare. Vad är vinkel C i triangel ABC?

Studerande. Vinkel C i triangel ABC blir 90°.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. C = 180° - A- B= 90°

Lärare. Om vinkeln C är 90°, hur ligger linjerna AC och BC i förhållande till varandra?

Studerande. Betyder AC⊥ Sol.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. ↔ AC⊥ Sol

Lärare. Linjen BD är vinkelrät mot plan ABC. Vad följer av detta?

Studerande. Så BD är vinkelrät mot valfri linje från ABC.

BD⊥ ABC ↔ BDvinkelrätt mot valfri linjeABC(per definition)

Lärare. Hur kommer direkt BD och AC att hänga ihop i enlighet med detta?

Studerande. Så dessa linjer är vinkelräta.

BD⊥ AC

Lärare. AC är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i planet DBC, men AC passerar inte genom skärningspunkten. Hur fixar man det?

Studerande. Dra en linje genom punkt B och parallell AC. Eftersom AC är vinkelrät mot BC och BD, kommer a också att vara vinkelrät mot BC och BD med lemmat.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. Dra en linje genom punkt B a ║AC ↔ a⊥ före Kristus, och ⊥ BD

Lärare. Om linjen a är vinkelrät mot BC och BD, vad kan man då säga om den relativa positionen för linjen a och planet BDC?

Studerande. Detta betyder att linjen a kommer att vara vinkelrät mot planet BDC, och följaktligen kommer linjen AC att vara vinkelrät mot BDC.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. ↔ a⊥ bdc↔ AC ⊥ bdc.

Lärare. Om AC är vinkelrät mot BDC, hur kommer då linjerna AC och DC att placeras i förhållande till varandra?

Studerande. AC och DC kommer att vara vinkelräta enligt definitionen av en linje vinkelrät mot planet.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. Därför att AC⊥ bdc↔ AC ⊥ DC

Lärare. Bra gjort. Låt oss lösa nummer 129. Läs uppgiften.

Studerande. HeteroAMvinkelrätt mot kvadratens planABCD, vars diagonaler skär i punkt O. Bevisa att: a) linjenBDvinkelrätt mot planetEN MO; b)MO⊥ BD.

En elev kommer till styrelsen. Ritar en ritning.

Skriv på tavlan och i en anteckningsbok.

Given:ABCD- fyrkantig,AM⊥ ABCD, AC ∩ BD = O

Bevisa:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Bevis:

Lärare. Vi måste bevisa attBD⊥ EN MO. Vilka förutsättningar måste vara uppfyllda för att detta ska ske?

Studerande. Det är nödvändigt att den direkta BD är vinkelrät mot åtminstone två skärande linjer från planet EN MO.

Lärare. Villkoret säger det BD vinkelrätt mot två skärande linjer EN MO?

Studerande. Nej.

Lärare. Men det vet vi AM vinkelrät ABCD . Vilken slutsats kan dras av detta?

Studerande. Innebär vad AM vinkelrät mot vilken linje som helst från detta plan, dvs. AM vinkelrät B.D.

AM⊥ ABCD ↔ AM⊥ BD(per definition).

Lärare. En linje är vinkelrät BD det finns. Var uppmärksam på torget, hur linjerna kommer att placeras i förhållande till varandra AC och BD?

Studerande. AC kommer att vara vinkelrät BD av egenskapen hos en kvadrats diagonaler.

Skriv på tavlan och i en anteckningsbok. Därför attABCD- kvadrat alltsåAC⊥ BD(genom egenskapen av diagonalerna i en kvadrat)

Lärare. Vi har hittat två korsande linjer som ligger i ett plan EN MO vinkelrätt mot linjen BD . Vad följer av detta?

Studerande. Innebär vad BD vinkelrätt mot planet EN MO.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. Därför attAC⊥ BDochAM⊥ BD ↔ BD⊥ EN MO(med tecken)

Lärare. Vilken linje kallas linjen vinkelrät mot planet?

Studerande. En linje sägs vara vinkelrät mot ett plan om den är vinkelrät mot någon linje i det planet.

Lärare. Hur är raderna relaterade till varandra? BD och OM?

Studerande. Betyder BD vinkelrät OM . Q.E.D.

Skriva på tavlan och i anteckningsböcker. ↔BD⊥ MO(per definition). Q.E.D.

Debriefing (2 minuter)

Lärare. Idag studerade vi tecknet på vinkelräthet för en linje och ett plan. Hur låter det?

Studerande. Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett plan, så är denna linje vinkelrät mot det planet.

Lärare. Korrekt. Vi har lärt oss att tillämpa denna funktion för att lösa problem. Som svarade vid tavlan och hjälpte till från platsen, bra jobbat.

Läxor (2 minuter)

Lärare. Punkt 1, styckena 15-17, lär dig: lemma, definition och alla teorem. nr 130, 131.

Två raka linjer i rymden kallas vinkelräta om vinkeln mellan dem är 90 o .

ris. 37	Vinkelräta linjer kan skära varandra och kan vara sneda. Lemma. Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot en tredje linje, är den andra linjen också vinkelrät mot denna linje. Definition. En linje sägs vara vinkelrät mot ett plan om den är vinkelrät mot någon linje som ligger i planet. Vi säger också att planet är vinkelrät mot linjen a.
ris. 38	Om linjen a är vinkelrät mot planet, så skär den uppenbarligen detta plan. Faktum är att om linjen a inte skär planet, så skulle den ligga i detta plan eller vara parallell med det. Men i båda fallen skulle det finnas linjer i planet som inte är vinkelräta mot linjen, till exempel linjer parallella med det, vilket är omöjligt. Så linjen a skär planet.

Förhållandet mellan parallella linjer och deras vinkelräthet mot planet.

Ett tecken på vinkelräthet av en rak linje och ett plan.

Anmärkningar.

1. Genom vilken punkt som helst i rymden passerar ett plan vinkelrätt mot en given linje, och dessutom den enda.
2. Genom vilken punkt som helst i rymden går en rät linje vinkelrät mot ett givet plan, och dessutom bara en.
3. Om två plan är vinkelräta mot en linje, så är de parallella.

Uppgifter och tester på ämnet "Ämne 5. "Perpendicularity av en rak linje och ett plan."

• Vinkelvinkel mellan en linje och ett plan
• Dihedral vinkel. Plan vinkelräthet - Linjers och plans vinkelräthet klass 10

  Lektioner: 1 Uppgifter: 10 Frågesporter: 1

• Vinkelrät och snett. Vinkel mellan linje och plan - Linjers och plans vinkelräthet klass 10

  Lektioner: 2 uppgifter: 10 prov: 1

• Parallellism av linjer, linje och plan - Parallellism av raka linjer och plan grad 10

  Lektioner: 1 inlämningsuppgifter: 9 prov: 1

• Vinkelräta linjer - Grundläggande geometrisk information årskurs 7

  Lektioner: 1 Inlämningsuppgifter: 17 prov: 1

Materialet i ämnet sammanfattar och systematiserar informationen om vinkelrätheten hos linjer som du känner till från planimetri. Det är tillrådligt att kombinera studiet av satser om förhållandet mellan parallellitet och vinkelräthet hos räta linjer och plan i rymden, såväl som materialet på vinkelrät och snett, med en systematisk upprepning av det relevanta materialet från planimetri.

Lösningarna av nästan alla beräkningsproblem reduceras till tillämpningen av Pythagoras sats och dess konsekvenser. I många problem motiveras möjligheten att tillämpa Pythagoras sats eller dess konsekvenser av tre vinkelräta satsen eller av egenskaperna för parallellitet och vinkelräthet hos plan.

GEOMETRI
Lektionsplaner för årskurs 10

Ämne. Egenskaper för en linje och ett plan vinkelräta mot varandra

Syftet med lektionen: bildandet av elevernas kunskaper om egenskaperna hos vinkelräta linjer och plan.

Utrustning: stereometrisk uppsättning, diagram "Egenskaper för en rät linje och ett plan vinkelrätt mot varandra" (s. 116).

Under lektionerna

I. Kontrollera läxor

1. Samlad diskussion om lösningen av problem nr 10.

2. Matematisk diktering.

En bild av en kub ges: alternativ 1 - fig. 151, alternativ 2 - fig. 152.

Använd bilden och skriv ner:

1) ett plan som passerar genom punkten M på den räta linjen AM och är vinkelrät mot den; (2 poäng)

2) en rät linje som är vinkelrät mot planet ABC och passerar genom punkten D; (2 poäng)

3) en rät linje som är vinkelrät mot planet ABC och går genom punkten N; (2 poäng)

4) ett plan som är vinkelrätt mot linjen BD; (2 poäng)

5) raka linjer vinkelräta mot AMC-planet; (2 poäng)

6) plan som är vinkelräta mot linjen DC. (2 poäng)

Alternativ 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (ASM); 5) BD och KN; 6) (ADK) och (BCL).

Alternativ 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (ASM); 5) BD i KL; 6) (BCN) och (ADM).

II. Uppfattning och medvetenhet om nytt material

Egenskaper för en linje och ett plan vinkelräta mot varandra

Sats 1.

Om ett plan är vinkelrät mot en av två parallella linjer, så är det också vinkelrätt mot den andra.

Att ta med

Låt a1 || a2 och ala. Låt oss bevisa att αa2 (Fig. 153). Punkterna A1 och A2 är skärningspunkterna mellan a1 och a2 med planet α.

Dra en godtycklig linje x2 genom punkten A2 i planet α och dra en linje x1 genom punkten A1 så att x1 || x2. Sedan a1 || a2, x1 || x2 och a1x1, sedan av sats 3.1 a2x2. Eftersom x2 väljs godtyckligt i planet α, då a2α.

Sats 2.

Om två linjer är vinkelräta mot samma plan så är linjerna parallella.

Att ta med

Låt aα, bα . Låt oss bevisa att en || b (fig. 154). Låt oss anta att ab. Sedan genom punkten C på linjen b drar vi b 1 parallellt med a. Och eftersom α , då b1α genom den bevisade satsen, och av villkoret bα . Om punkterna A och B är skärningspunkterna för linjerna b 1 och b med planet α, så följer det av antagandet att i triangeln A \u003d B \u003d 90 °, vilket inte kan vara. Därför och || b.

Problemlösning

1. Bestäm typen av fyrhörning AA 1B 1B om:

a) AAla; AA1 || BB1; Aa, Ba; AAi ≠ BB1 (Fig. 155);

b) AAla; BBla; a, Вα (fig. 156);

c) a; a; AAla; BBla; AA1 = BB1 (Fig. 156).

2. Uppgift nummer 12 från läroboken (s. 35).

3. Uppgift nummer 13 från läroboken (s. 35).

4. Uppgift nummer 16 från läroboken (s. 35).

Sats 3.

Om en linje är vinkelrät mot ett av två parallella plan, så är den också vinkelrät mot det andra.

Att ta med

Låt α || β, aα. Låt oss bevisa att α β . (Fig. 157). Låt punkterna A och B vara skärningspunkterna för linjen a med planen α och β. I planet β drar vi en godtycklig rät linje b genom punkten B. Genom linjen b och punkten A ritar vi planet γ , som skär α längs linjen c, och med || b. Och eftersom α, då ac (per definition, en rät linje vinkelrät mot planet). Så ac, b || c och a, b, c ligger i γ, sedan ab. Med tanke på att b är en godtycklig linje i planet β, har vi aβ.

Sats 4.

Om två plan är vinkelräta mot samma linje, så är de parallella.

Att ta med

Låt α a β a, vi bevisar att α || p (fig. 158). Låt punkterna A och B vara skärningspunkterna för linjen a med planen α och β. Antag att α β . Ta en punkt C på skärningslinjen mellan planen α och β. Ca, för annars skulle två olika plan α och β passera genom punkten C, vinkelrätt mot linjen a, vilket är omöjligt. Låt oss rita planet γ genom punkten C och linjen a, detta plan skär α och β längs linjerna AC respektive BC. Och eftersom α , sedan aAC, på samma sätt som aBC. Därför, i planet α, genom punkten C, passerar två olika linjer AC och BC, vinkelrätt mot linjen a, vilket är omöjligt. Därför α || β .

Problemlösning

1. Låt ABCD vara en rektangel, BSAB, AMAB (Fig. 159). Hur är AMD- och BSC-planen placerade?

2. Bip; AA1a, AA1p; B B1 || AA1; AA1 = 12 cm, AIB = 13 cm (Fig. 160). Hitta AB.

Definition. En linje som skär ett plan sägs vara vinkelrät mot det planet om den är vinkelrät mot någon linje som ligger i det givna planet och passerar genom skärningspunkten.
tecken vinkelräthet av en linje och ett plan. Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer i ett plan, så är den vinkelrät mot det givna planet.
Bevis. Låta a- rät linje vinkelrät mot räta linjer b och Med som tillhör planet a. A är skärningspunkten för linjerna. I plan a Dra en linje genom punkt A d, som inte sammanfaller med de raka linjerna b och Med. Nu platt a låt oss dra en rak linje k, som skär linjerna d och Med och inte passera genom punkt A. Skärningspunkter, respektive D, B och C. Sätt på en rät linje a i olika riktningar från punkt A lika segment AA 1 och AA 2. Triangel A 1 CA 2 likbent, eftersom AC-höjden är också medianen (funktion 1), dvs. A 1 C \u003d CA 2. På liknande sätt, i en triangel A 1 BA 2, är sidorna A 1 B och BA 2 lika. Därför är trianglarna A 1 BC och A 2 BC lika i det tredje kriteriet. Därför är vinklarna A 1 BD och A 2 BD lika. Det betyder att trianglarna A 1 BD och A 2 BD också är lika enligt det första tecknet. Därför A 1 D och A 2 D. Därav triangeln A 1 DA 2 likbent per definition. I en likbent triangel A 1 D A 2 D A är medianen (genom konstruktion), och därav höjden, det vill säga vinkeln A 1 AD är en rät linje, vilket betyder en rät linje a vinkelrätt mot linjen d. Därmed kan det bevisas att linjen a vinkelrät mot varje linje som går genom punkt A och som hör till planet a. Av definitionen följer att linjen a vinkelrätt mot planet a.

Byggnad en linje vinkelrät mot ett givet plan från en punkt utanför detta plan.
Låta a- plan, A - punkt från vilken vinkelrät ska sänkas. Rita en rak linje i planet a. Genom punkt A och en linje a rita ett plan b(en linje och en punkt definierar ett plan, och endast en). I plan b sjunka från punkt A till en rät linje a vinkelrät AB. Från punkt B i planet aåterställ vinkelrät och beteckna linjen på vilken denna vinkelrät ligger bortom Med. Genom segment AB och rät linje Med rita ett plan g(två skärande linjer definierar ett plan, och endast en). I plan g sjunka från punkt A till en rät linje Med vinkelrät AC. Låt oss bevisa att segmentet AC är vinkelrät mot planet b. Bevis. Hetero a vinkelrät mot raka linjer Med och AB (genom konstruktion), vilket betyder att den är vinkelrät mot själva planet g, i vilka dessa två skärande linjer ligger (genom kriteriet för vinkelräthet hos linjen och planet). Och eftersom den är vinkelrät mot detta plan, så är den också vinkelrät mot vilken linje som helst i detta plan, vilket betyder en linje a vinkelrätt mot AC. Linjen AC är vinkelrät mot två linjer som ligger i planet α: Med(genom konstruktion) och a(enligt det bevisade) betyder det att det är vinkelrät mot planet α (genom kriteriet för vinkelräthet för linjen och planet)

Sats 1 . Om två skärande linjer är parallella respektive två vinkelräta linjer, så är de också vinkelräta.
Bevis. Låta a och b- vinkelräta linjer a 1 och b 1 - skärande raka linjer parallella med dem. Låt oss bevisa att linjerna a 1 och b 1 är vinkelräta.
Om rakt a, b, a 1 och b 1 ligger i samma plan, då har de den egenskap som anges i satsen, som är känt från planimetri.
Låt oss nu anta att våra linjer inte ligger i samma plan. Sedan linjerna a och b ligga i något plan α , och linjerna a 1 och b 1 - i något plan β . På basis av planens parallellitet är planen α och β parallella. Låt C vara skärningspunkten för linjerna a och b, och С 1 - skärningspunkter av linjer a 1 och b ett . Rita i planet med parallella linjer a och a a och a 1 vid punkterna A och Ai. I planet för parallella linjer b och b 1 rät linje parallell med rät linje SS 1 . Hon kommer att gå över gränserna b och b 1 vid punkterna B och B1.
Fyrhörningarna CAA 1 C 1 och CBB 1 C 1 är parallellogram, eftersom deras motsatta sidor är parallella. Fyrkant ABB 1 A 1 är också ett parallellogram. Dess sidor AA 1 och BB 1 är parallella, eftersom var och en av dem är parallella med linjen CC 1. Sålunda ligger fyrhörningen i ett plan som går genom de parallella linjerna AA 1 och BB 1. Och den skär parallella plan α och β längs parallella linjer AB och A 1 B 1.
Eftersom de motsatta sidorna av ett parallellogram är lika, så är AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Vid det tredje likhetstecknet är trianglarna ABC och A 1 B 1 C 1 lika. Så, vinkeln A 1 C 1 B 1, lika med vinkeln DIA, är rak, dvs. hetero a 1 och b 1 är vinkelräta. Ch.t.d.

Egenskaper vinkelrätt mot linjen och planet.
Sats 2 . Om ett plan är vinkelrät mot en av två parallella linjer, så är det också vinkelrätt mot den andra.
Bevis. Låta a 1 och a 2 - två parallella linjer och α - plan, vinkelrät mot linjen a ett . Låt oss bevisa att detta plan är vinkelrät mot linjen a 2 .
Rita genom punkt A 2 skärningspunkterna för linjen a 2 med planet a en godtycklig linje Med 2 i a-planet. Låt oss rita i planet α genom punkten A 1 linjens skärningspunkt a 1 med plan α rät linje Med 1 parallellt med linjen Med 2 . Sedan den raka linjen a 1 är vinkelrät mot planet α, sedan linjerna a 1 och Med 1 är vinkelräta. Och enligt sats 1, de skärande linjerna parallella med dem a 2 och Med 2 är också vinkelräta. Alltså en rak linje a 2 är vinkelrät mot vilken linje som helst Med 2 i a-planet. Och detta betyder att den direkta a 2 är vinkelrät mot planet α . Teoremet har bevisats.

Sats 3 . Två linjer vinkelräta mot samma plan är parallella med varandra.
Vi har ett plan α och två linjer vinkelräta mot det a och b. Låt oss bevisa det a || b.
Rita en rak linje genom skärningspunkterna mellan planets linjer Med. På grundvalen får vi a ^ c och b ^ c. Genom raka linjer a och b låt oss rita ett plan (två parallella linjer definierar ett plan och dessutom bara en). I detta plan har vi två parallella linjer a och b och sekant Med. Om summan av ensidiga inre vinklar är 180° så är linjerna parallella. Vi har just ett sådant fall - två räta vinklar. Det är därför a || b.