Hypotes: vi tror att perfektionen av pyramidens form beror på de matematiska lagarna som är inbäddade i dess form.
Mål: efter att ha studerat pyramiden som en geometrisk kropp, ge en förklaring till perfektionen av dess form.
Uppgifter:
1. Ge en matematisk definition av pyramiden.
2. Studera pyramiden som en geometrisk kropp.
3. Förstå vilken matematisk kunskap egyptierna lade i sina pyramider.
Privata frågor:
1. Vad är en pyramid som en geometrisk kropp?
2. Hur kan du förklara det unika med pyramidens form ur en matematisk synvinkel?
3. Vad förklarar pyramidens geometriska under?
4. Vad förklarar pyramidformens perfektion?
Definition av pyramiden.
PYRAMID (från den grekiska pyramis, släktet pyramidos) - en polyeder, vars bas är en polygon, och de andra ytorna är trianglar med en gemensam vertex (figur). Beroende på antalet vinklar på basen särskiljs pyramiderna triangulära, fyrkantiga, etc.
PYRAMID - en monumental struktur med en geometrisk pyramidform (ibland också stegvis eller tornliknande). Pyramiderna kallas jättegravarna för de forntida egyptiska faraonerna under det 3:e - 2:a årtusendet f.Kr. e., såväl som forntida amerikanska piedestaler av tempel (i Mexiko, Guatemala, Honduras, Peru) förknippade med kosmologiska kulter.
Det är möjligt att det grekiska ordet "pyramid" kommer från det egyptiska uttrycket per-em-us, det vill säga från en term som betyder höjden på pyramiden. Den framstående ryska egyptologen V. Struve trodde att det grekiska "puram... j" kommer från det forntida egyptiska "p" -mr ".
Från historien. Efter att ha studerat materialet i läroboken "Geometry" av författarna till Atanasyan. Butuzov och andra, vi lärde oss att: En polyeder som består av n - gon A1A2A3 ... An och n trianglar PA1A2, PA2A3, ..., PnA1 kallas en pyramid. Polygon A1A2A3 ... An är pyramidens bas, och trianglarna PA1A2, PA2A3, ..., PANA1 är pyramidens sidoytor, P är toppen av pyramiden, segmenten PA1, PA2,..., PAN är sidokanterna.
Denna definition av en pyramid fanns dock inte alltid. Till exempel, den antika grekiske matematikern, författaren till teoretiska avhandlingar om matematik som har kommit ner till oss, Euklid, definierar en pyramid som en kroppslig figur avgränsad av plan som konvergerar från ett plan till en punkt.
Men denna definition kritiserades redan under antiken. Så Heron föreslog följande definition av en pyramid: "Det är en figur som begränsas av trianglar som konvergerar vid en punkt och vars bas är en polygon."
Vår grupp, som jämförde dessa definitioner, kom till slutsatsen att de inte har en tydlig formulering av begreppet "grund".
Vi undersökte dessa definitioner och fann definitionen av Adrien Marie Legendre, som 1794 i sitt arbete "Elements of Geometry" definierar pyramiden på följande sätt: "Pyramiden är en kroppslig figur, bildas av trianglar konvergerande vid en punkt och slutar på olika sidor av den platta basen ”.
Det verkar för oss att den sista definitionen ger en tydlig uppfattning om pyramiden, eftersom den är i den i fråga att basen är platt. En annan definition av en pyramid förekom i en lärobok från 1800-talet: "en pyramid är en solid vinkel som skärs av ett plan."
Pyramiden som en geometrisk kropp.
Den där. En pyramid är en polyeder, vars ena ytor (basen) är en polygon, de andra ytorna (sidan) är trianglar som har en gemensam vertex (pyramidens spets).
Den vinkelräta som dras från toppen av pyramiden till basens plan kallas höjdh pyramider.
Förutom en godtycklig pyramid finns det rätt pyramid, vid basen av vilken är en vanlig polygon och stympad pyramid.
Figuren visar pyramiden PABCD, ABCD är dess bas, PO är höjden.
Full yta en pyramid kallas summan av ytorna av alla dess ytor.
S full = S sida + S huvud, var S sida- summan av ytorna på sidoytorna.
Pyramidens volym hittas av formeln:
V = 1/3Sb. h, där Sosn. - basyta, h- höjd.
 |
|
Apotem ST - höjden på sidoytan på den vanliga pyramiden.
Arean av sidoytan på en vanlig pyramid uttrycks som följer: S-sidan. = 1 / 2P h, där P är omkretsen av basen, h- höjden på sidoytan (apotem för den vanliga pyramiden). Om pyramiden skärs av plan A'B'C'D 'parallellt med basen, då:
1) laterala ribbor och höjd delas av detta plan i proportionella delar;
2) i sektionen erhålls en polygon A'B'C'D ', liknande basen;
DIV_ADBLOCK914 ">
En vanlig triangulär pyramid kallas tetraeder .
Stympad pyramid erhålls genom att skära av dess övre del från pyramiden med ett plan parallellt med basen (figur ABCDD'C'B'A ').
Stympade pyramidbaser- liknande polygoner ABCD och A`B`C`D`, sidoytor - trapets.
Höjd stympad pyramid - avståndet mellan baserna.
Trunkerad volym pyramid hittas av formeln:
V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png "align =" left "width =" 91 "height =" 96 "> Den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid uttrycks enligt följande: S-sidan. = ½ (P + P ') h, där P och P 'är omkretsen av baserna, h- höjden på sidoytan (apotem för de korrekta trunkerade pyramiderna
Delar av pyramiden.
Sektionerna av pyramiden av plan som passerar genom dess spets är trianglar.
Sektionen som går genom två icke-angränsande laterala kanter av pyramiden kallas diagonal sektion.
Om sektionen passerar genom en punkt på sidokanten och sidan av basen, kommer denna sida att vara dess spår på planet för pyramidens bas.
En sektion som går genom en punkt som ligger på pyramidens yta och ett givet spår av sektionen på basplanet, då ska konstruktionen utföras enligt följande:
· Hitta skärningspunkten för det givna ansiktets plan och spåret av sektionen av pyramiden och beteckna den;
Bygg en rak linje igenom börvärde och den resulterande skärningspunkten;
· Upprepa dessa steg för nästa ansikten.
, vilket motsvarar förhållandet mellan benen i en rätvinklig triangel 4:3. Detta förhållande mellan ben motsvarar den välkända rätvinkliga triangeln med sidorna 3: 4: 5, som kallas den "perfekta", "heliga" eller "egyptiska" triangeln. Enligt historiker fick den "egyptiska" triangeln en magisk betydelse. Plutarch skrev att egyptierna jämförde universums natur med en "helig" triangel; de liknade symboliskt det vertikala benet med mannen, basen med hustrun och hypotenusan med det som är född av båda.
För en triangel 3: 4: 5 är likheten sann: 32 + 42 = 52, vilket uttrycker Pythagoras sats. Var det inte denna sats som de egyptiska prästerna ville vidmakthålla genom att resa en pyramid på basis av triangeln 3: 4: 5? Det är svårt att hitta fler bra exempel för att illustrera Pythagoras sats, som var känd för egyptierna långt före upptäckten av Pythagoras.
Således försökte de geniala skaparna av de egyptiska pyramiderna att förvåna avlägsna ättlingar med djupet av deras kunskap, och de uppnådde detta genom att välja den "gyllene" räta triangeln för Keops-pyramiden och "helig" eller "egyptisk" för Khephren-pyramiden triangel.
Mycket ofta i sin forskning använder forskare egenskaperna hos pyramiderna med proportionerna av det gyllene snittet.
I den matematiska encyklopediska ordboken ges följande definition av det gyllene snittet - detta är harmonisk division, division i extrem- och medelkvoten - uppdelning av segmentet AB i två delar på ett sådant sätt att det mesta av dess AC är medelvärdet proportionellt mellan hela segmentet AB och dess mindre del CB.
Algebraisk upptäckt av ett segments gyllene snitt AB = a reduceras till att lösa ekvationen a: x = x: (a - x), varav x är ungefär lika med 0,62a. Förhållandet x kan uttryckas i bråk 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... = 0,618, där 2, 3, 5, 8, 13, 21 är Fibonacci-tal.
Den geometriska konstruktionen av det gyllene snittet av segmentet AB utförs enligt följande: vid punkt B återställs vinkelrät till AB, segmentet BE = 1/2 AB läggs på det, A och E skjuts av, DE = BE och slutligen AC = HELVETE, då är jämställdheten AB uppfyllt: SV = 2:3.
Det gyllene snittet används ofta i konstverk, arkitektur och förekommer i naturen. Slående exempelär skulpturen av Apollo Belvedere, Parthenon. Under byggandet av Parthenon användes förhållandet mellan byggnadens höjd och dess längd och detta förhållande är 0,618. Föremålen runt omkring oss ger också exempel på det gyllene snittet, till exempel har bindningarna i många böcker ett förhållande mellan bredd och längd nära 0,618. Med tanke på arrangemanget av löv på den vanliga växtstammen kan du se att mellan vartannat bladpar är det tredje placerat på platsen för det gyllene snittet (rutschbanor). Var och en av oss "bär" det gyllene förhållandet med oss "i våra händer" - detta är förhållandet mellan fingrarnas falanger.
Genom upptäckten av flera matematiska papyrus har egyptologer lärt sig ett och annat om forntida egyptiska system av tal och mått. Uppgifterna i dem löstes av skriftlärare. En av de mest kända är Rindi Mathematical Papyrus. Genom att studera dessa problem har egyptologer lärt sig hur de gamla egyptierna klarade sig varierande mängder uppstår vid beräkning av måtten på vikt, längd och volym, i vilka fraktioner ofta användes, samt hur de manipulerades med vinklar.
De gamla egyptierna använde en metod för att beräkna vinklar baserat på förhållandet mellan höjden och basen av en rätvinklig triangel. De uttryckte vilken vinkel som helst i gradientens språk. Lutningens gradient uttrycktes av ett heltalsförhållande som kallas "seced". I sin bok Mathematics in the Time of the Pharaohs förklarar Richard Pillins: "Seked av en vanlig pyramid är lutningen av någon av de fyra triangulära ytorna mot basens plan, mätt med ett n:te antal horisontella enheter per en vertikal hissenhet. Således motsvarar denna enhet vår moderna tilt-cotangens. Därför är det egyptiska ordet "seked" relaterat till vår modernt ord"lutning"".
Den numeriska nyckeln till pyramiderna ligger i förhållandet mellan deras höjd och basen. Rent praktiskt är detta det enklaste sättet att göra mallar som behövs för att ständigt kontrollera den korrekta lutningsvinkeln under hela konstruktionen av pyramiden.
Egyptologer skulle gärna övertyga oss om att varje farao var ivrig att uttrycka sin individualitet, vilket är anledningen till de olika lutningsvinklarna för varje pyramid. Men det kan finnas en annan anledning. Kanske ville de alla förkroppsliga olika symboliska associationer, gömda i olika proportioner. Men vinkeln på Khafres pyramid (baserad på en triangel (3: 4: 5) visas i de tre problem som representeras av pyramiderna i Rindi Mathematical Papyrus). Så denna inställning var välkänd för de gamla egyptierna.
För att vara rättvis mot egyptologer som hävdar att de forntida egyptierna inte kände till triangeln 3:4:5, låt oss säga att längden på hypotenusan 5 aldrig nämndes. Men matteproblem angående pyramider löses alltid på basis av vinkeln seked - förhållandet mellan höjden och basen. Eftersom längden på hypotenusan aldrig nämndes drogs slutsatsen att egyptierna aldrig beräknade längden på den tredje sidan.
Förhållandena mellan höjd och bas som användes i pyramiderna i Giza var utan tvekan kända för de gamla egyptierna. Det är möjligt att dessa relationer valdes godtyckligt för varje pyramid. Detta motsäger dock vikten av numerisk symbolik i alla former av egyptiska visuella konsterna... Det är mycket troligt att sådana relationer var betydelsefulla eftersom de uttryckte specifika religiösa idéer. Med andra ord, hela Giza-komplexet var underordnat en sammanhängande plan utformad för att spegla ett visst gudomligt tema. Detta skulle förklara varför formgivarna valde olika vinklar för de tre pyramiderna.
I The Mystery of Orion presenterade Bauval och Gilbert övertygande bevis för sambandet mellan pyramiderna i Giza och stjärnbilden Orion, i synnerhet med stjärnorna i Orions bälte. Samma stjärnbild finns i myten om Isis och Osiris, och det finns anledning att betrakta varje pyramid som en bild av en av de tre huvudgudarna - Osiris, Isis och Horus.
MIRAKEL "GEOMETRISKA".
Bland de storslagna pyramiderna i Egypten hålls en speciell plats av Farao Cheops stora pyramid (Khufu)... Innan man går vidare till analysen av Cheops-pyramidens form och storlek bör man komma ihåg vilket måttsystem egyptierna använde. Egyptierna hade tre längdenheter: "cubit" (466 mm), lika med sju "palmer" (66,5 mm), vilket i sin tur är lika med fyra "fingrar" (16,6 mm).
Låt oss analysera dimensionerna av Cheops-pyramiden (Fig. 2), enligt resonemanget i den ukrainska forskaren Nikolai Vasyutinskys underbara bok " Gyllene proportion"(1990).
De flesta forskare är överens om att längden på sidan av pyramidens bas, till exempel, Gfär lika med L= 233,16 m. Detta värde motsvarar nästan exakt 500 "alnar". Full överensstämmelse med 500 "alnar" kommer att vara om längden på "alnar" anses vara lika med 0,4663 m.
Pyramid höjd ( H) uppskattas av forskare annorlunda från 146,6 till 148,2 m. Och beroende på pyramidens accepterade höjd ändras alla förhållanden mellan dess geometriska element. Vad är anledningen till skillnaderna i uppskattningen av höjden på pyramiden? Faktum är att Cheops-pyramiden strängt taget är trunkerad. Dess övre plattform har nuförtiden en storlek på cirka 10 ´ 10 m, och för ett sekel sedan var den 6 ´ 6 m. Uppenbarligen togs toppen av pyramiden isär, och den motsvarar inte den ursprungliga.
När man utvärderar höjden på pyramiden är det nödvändigt att ta hänsyn till följande fysisk faktor som ett "utkast" till strukturen. Per länge sedan under påverkan av kolossalt tryck (når 500 ton per 1 m2 bottenyta) höjden på pyramiden har minskat jämfört med den ursprungliga höjden.
Vad var den ursprungliga höjden på pyramiden? Denna höjd kan återskapas genom att hitta den grundläggande "geometriska idén" av pyramiden.
Figur 2.
År 1837 mätte den engelske översten G. Weisz lutningsvinkeln på pyramidens ytor: den visade sig vara lika a= 51 ° 51 ". Detta värde är fortfarande känt av de flesta forskare idag. Det angivna värdet på vinkeln motsvarar tangenten (tg a) lika med 1,27306. Detta värde motsvarar förhållandet mellan höjden på pyramiden SOM till hälften av sin bas CB(Fig. 2), dvs AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
Och här fick forskarna en stor överraskning! .Png "width =" 25 "height =" 24 "> = 1.272. Jämför detta värde med värdet på tg a= 1,27306 ser vi att dessa värden ligger mycket nära varandra. Om vi tar vinkeln a= 51 ° 50 ", det vill säga minska det med endast en bågminut, sedan värdet a kommer att bli lika med 1,272, det vill säga sammanfalla med värdet. Det bör noteras att G. Weis 1840 upprepade sina mätningar och specificerade att vinkelns värde a= 51 ° 50 ".
Dessa mätningar ledde forskarna till följande mycket intressanta hypotes: AC / CB = = 1,272!
Betrakta nu en rätvinklig triangel ABC, där förhållandet mellan benen AC / CB= (Fig. 2). Om nu längderna på rektangelns sidor ABC beteckna genom x, y, z, och även ta hänsyn till att förhållandet y/x=, då i enlighet med Pythagoras sats, längden z kan beräknas med formeln:
Om du accepterar x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png "width =" 143 "height =" 27 ">
Figur 3."Gyllene" rätvinklig triangel.
Rättvinklad triangel där sidorna är relaterade som t: gyllene "rätvinklig triangel."
Sedan, om vi tar hypotesen som grund att den huvudsakliga "geometriska idén" för Cheopspyramiden är den "gyllene" rätvinkliga triangeln, så är det härifrån lätt att beräkna Cheopspyramidens "designade" höjd. Det är lika med:
H = (L/2) ´ = 148,28 m.
Låt oss nu härleda några andra relationer för Keopspyramiden som härrör från den "gyllene" hypotesen. I synnerhet hittar vi förhållandet mellan pyramidens yttre yta och ytan av dess bas. För att göra detta, ta längden på benet CB per enhet, det vill säga: CB= 1. Men då längden på sidan av pyramidens bas Gf= 2, och basarean EFGH kommer att vara lika SEFGH = 4.
Vi beräknar nu arean av Cheopspyramidens sidoyta SD... Sedan höjden AB triangel AEFär lika med t, då kommer arean på sidoytan att vara lika med SD = t... Då blir den totala arean av alla fyra sidoytorna på pyramiden lika med 4 t, och förhållandet mellan pyramidens totala yttre yta och basens yta kommer att vara lika med det gyllene snittet! Det är vad det är - Cheopspyramidens huvudsakliga geometriska mysterium!
Gruppen av "geometriska mirakel" i Cheops-pyramiden inkluderar de verkliga och konstruerade egenskaperna hos relationer mellan olika dimensioner i pyramiden.
Som regel erhålls de på jakt efter vissa "konstanter", i synnerhet talet "pi" (Ludolphs nummer), lika med 3,14159 ...; bas av naturliga logaritmer "e" (Napiers tal), lika med 2,71828 ...; siffran "F", numret på det "gyllene snittet", lika med till exempel 0,618 ... etc.
Du kan till exempel namnge: 1) Herodotos egendom: (Höjd) 2 = 0,5 msk. huvud x Apotem; 2) Fastighet av V. Pris: Höjd: 0,5 st. osn = kvadratroten av "Ф"; 3) M. Eysts egendom: basens omkrets: 2 Höjd = "Pi"; i en annan tolkning - 2 msk. huvud : Höjd = "Pi"; 4) Egenskapen hos G. Revben: Inskriven cirkelradie: 0,5 msk. huvud = "F"; 5) K. Kleppischs egendom: (Art. Main.) 2: 2 (art. Main. X Apothem) = (art. Main. U. Apothem) = 2 (art. Main. X Apothem): ((2 art. bas X Apotem) + (st. bas) 2). Etc. Du kan tänka på många sådana egenskaper, speciellt om du kopplar ihop två angränsande pyramider. Till exempel, som "A. Arefievs egenskaper", kan man nämna att skillnaden mellan volymerna för Cheops-pyramiden och Chephren-pyramiden är lika med den fördubblade volymen av Mikerin-pyramiden ...
Många intressanta bestämmelser, i synnerhet om konstruktionen av pyramider enligt "det gyllene snittet" beskrivs i böckerna av D. Hambidge "Dynamic symmetry in architecture" och M. Geek "Aesthetics of proportion in nature and art". Kom ihåg att det "gyllene snittet" är uppdelningen av ett segment i ett sådant förhållande när del A är lika många gånger större än del B, hur många gånger A är mindre än hela segmentet A + B. Förhållandet A/B är lika. till siffran "Ф" == 1,618. .. Användningen av det "gyllene snittet" anges inte bara i enskilda pyramider, utan också i hela komplexet av pyramid i Giza.
Det mest märkliga är dock att en och samma pyramid av Cheops helt enkelt "inte kan" innehålla så många underbara egenskaper. Om du tar en viss egenskap en efter en kan den "justeras", men på en gång passar de inte - de sammanfaller inte, de motsäger varandra. Därför, om vi till exempel, när vi kontrollerar alla egenskaper, initialt tar samma sida av pyramidbasen (233 m), kommer höjderna på pyramider med olika egenskaper också att vara olika. Det finns med andra ord en viss "familj" av pyramider, till det yttre liknar Cheops, men som motsvarar olika egenskaper. Observera att det inte finns något särskilt mirakulöst i de "geometriska" egenskaperna - mycket uppstår rent automatiskt, från egenskaperna hos själva figuren. Endast något som är klart omöjligt för de gamla egyptierna bör betraktas som ett "mirakel". Detta inkluderar i synnerhet "kosmiska" mirakel, där mätningarna av Keops-pyramiden eller pyramidkomplexet i Giza jämförs med vissa astronomiska mätningar och "jämna" tal anges: en miljon gånger, en miljard gånger mindre, och så på. Låt oss överväga några "kosmiska" relationer.
Ett av påståendena är detta: "Om vi delar sidan av pyramidens bas med den exakta längden på året, så får vi exakt 10 miljondelar av jordens axel." Räkna ut: Dividera 233 med 365, vi får 0,638. Jordens radie är 6378 km.
Ett annat påstående är faktiskt motsatsen till det föregående. F. Noetling påpekade att om vi använder den "egyptiska armbågen" som han uppfann, så kommer sidan av pyramiden att motsvara "den mest exakta varaktigheten solår, uttryckt med en noggrannhet på en miljarddel av en dag "- 365.540.903.777.
P. Smiths uttalande: "Pyramidens höjd är exakt en miljarddel av avståndet från jorden till solen." Även om man vanligtvis tar en höjd av 146,6 m, tog Smith den 148,2 m. Enligt moderna radarmätningar är jordens halvstora axel 149.597.870 + 1,6 km. Detta är det genomsnittliga avståndet från jorden till solen, men vid perihel är det 5 000 000 kilometer mindre än vid aphelium.
Ett sista konstigt uttalande:
"Hur ska man förklara att massorna av pyramiderna i Cheops, Khafre och Mykerinus relaterar till varandra, som massorna av planeterna Jorden, Venus, Mars?" Låt oss räkna. Massorna för de tre pyramiderna är som följer: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Förhållandet mellan massorna av de tre planeterna: Venus - 0,815; Land - 1 000; Mars - 0,108.
Så, trots skepsisen, låt oss notera den välkända harmonin i konstruktionen av uttalanden: 1) höjden på pyramiden, som en linje "som sträcker sig ut i rymden" - motsvarar avståndet från jorden till solen; 2) den sida av pyramidens bas som ligger närmast "substratet", det vill säga jorden, är ansvarig för jordens radie och jordiska cirkulation; 3) pyramidens volymer (läs - massor) motsvarar förhållandet mellan massorna av planeterna närmast jorden. Ett liknande "chiffer" kan spåras till exempel i det bispråk som analyserats av Karl von Frisch. Vi kommer dock att avstå från att kommentera detta tills vidare.
PYRAMIDFORM
Den berömda fyrsidiga formen av pyramiderna dök inte upp omedelbart. Skyterna gjorde begravningar i form av jordkullar - högar. Egyptierna satte upp "kullar" av sten - pyramider. Detta hände för första gången efter enandet av övre och nedre Egypten, på XXVIII-talet f.Kr., innan grundaren Dynasti III Farao Djoser (Zoser) hade till uppgift att stärka landets enhet.
Och här, enligt historiker, viktig roll i att stärka centralregeringen spelade ett "nytt koncept av gudomliggörande" av kungen. Även om de kungliga begravningarna kännetecknades av större prakt, skilde de sig i princip inte från hovadelsgravarna, de var samma strukturer - mastabas. Ovanför kammaren med sarkofagen som innehåller mumien, en rektangulär hög av små stenar, där då en liten byggnad av stora stenblock restes - "mastaba" (på arabiska - "bänk"). I stället för sin föregångares, Sanakhts mastab, byggde farao Djoser den första pyramiden. Det var stegvis och var ett synligt övergångsskede från en arkitektonisk form till en annan, från en mastaba till en pyramid.
På så sätt "höjde" vismannen och arkitekten Imhotep, som senare ansågs vara en trollkarl och identifierades av grekerna med guden Asclepius, farao. Så att säga restes sex mastabas i rad. Dessutom ockuperade den första pyramiden ett område på 1125 x 115 meter, med en uppskattad höjd på 66 meter (enligt egyptiska mått - 1000 "palmer"). Först planerade arkitekten att bygga en mastaba, men inte avlång, utan kvadratisk i plan. Senare byggdes den ut men eftersom tillbyggnaden gjordes lägre blev det så att säga två trappsteg.
Denna situation tillfredsställde inte arkitekten, och på den övre plattformen av den enorma platta mastaba satte Imhotep tre till, gradvis minskande till toppen. Graven låg under pyramiden.
Flera mer avtrappade pyramider är kända, men senare gick byggarna över till att bygga de mer välbekanta tetraedriska pyramiderna för oss. Men varför inte tresidig eller, säg, oktaedrisk? Ett indirekt svar ges av det faktum att nästan alla pyramider är perfekt orienterade längs de fyra kardinalriktningarna och därför har fyra sidor. Dessutom var pyramiden ett "hus", ett skal av en fyrkantig gravkammare.
Men vad orsakade kanternas lutningsvinkel? I boken "Proportionernas princip" ägnas ett helt kapitel åt detta: "Vad skulle kunna bestämma pyramidernas lutningsvinklar." I synnerhet anges att "bilden till vilken de stora pyramiderna i Gamla kungariket dras är en triangel med en rät vinkel i toppen.
I rymden är det en halvoktaeder: en pyramid där basens kanter och sidor är lika, ytorna är liksidiga trianglar. "Vissa överväganden ges om denna fråga i böckerna Hambage, Geek och andra.
Vad är fördelen med halvoktaederns vinkel? Enligt beskrivningar av arkeologer och historiker kollapsade några av pyramiderna under sin egen tyngd. Det som behövdes var en "livslängdsvinkel", den vinkel som är mest energiskt tillförlitlig. Rent empiriskt kan denna vinkel tas från spetsvinkeln i en hög av smulande torr sand. Men för att få korrekta data måste du använda en modell. Genom att ta fyra ordentligt fixerade bollar måste du sätta den femte på dem och mäta lutningsvinklarna. Däremot kan du göra ett misstag här, så en teoretisk beräkning hjälper till: du bör koppla ihop bollarnas mitt med linjer (mentalt). Vid basen får du en kvadrat med en sida lika med två gånger radien. Fyrkanten kommer bara att vara basen av pyramiden, vars längd också kommer att vara lika med två gånger radien.
Således kommer en tät packning av bollar av typen 1:4 att ge oss den korrekta halvoktaedern.
Men varför behåller många pyramider, som dras mot en liknande form, inte desto mindre den? Pyramiderna håller förmodligen på att åldras. Tvärtemot det berömda talesättet:
"Allt i världen är rädd för tid, och tiden är rädd för pyramider", pyramidernas byggnader ska åldras, inte bara yttre vittringsprocesser kan och bör ske i dem, utan även processer av inre "krympning", från vilket pyramiderna kan bli lägre. Krympning är också möjlig eftersom, som upptäcktes av D. Davidovits verk, använde de forntida egyptierna tekniken att tillverka block av kalksmula, med andra ord från "betong". Det är dessa processer som kan förklara orsaken till förstörelsen av Medum-pyramiden, som ligger 50 km söder om Kairo. Den är 4600 år gammal, basens mått är 146 x 146 m, höjden är 118 m. "Varför är det så vanställt?" Frågar V. Zamarovsky. "Vanliga referenser till tidens destruktiva inflytande och" användningen av sten för andra byggnader "är inte lämpliga här.
När allt kommer omkring har de flesta av dess block och motstående plattor legat kvar till denna dag, i ruinerna vid dess fot. " ...
Formen på pyramiderna kan också genereras genom imitation: vissa naturliga mönster, "mirakulös perfektion", säg några kristaller i form av en oktaeder.
Sådana kristaller kan vara kristaller av diamant och guld. Karakteristiskt Ett stort antal"korsande" tecken för begrepp som farao, sol, guld, diamant. Överallt - ädel, lysande (lysande), stor, felfri och så vidare. Likheterna är inte tillfälliga.
Solkulten är känd för att vara en viktig del av religionen. Forntida Egypten... "Oavsett hur vi översätter namnet på den största av pyramiderna", säger en av de moderna läroböckerna - "Khufu's Heaven" eller "Khufu Heavenly", betydde det att kungen är solen. Om Khufu, i sin makts prakt, föreställer sig att han är den andra solen, så blev hans son Jedef-Ra den förste av de egyptiska kungarna som började kalla sig "Ras son", det vill säga sonen till Sol. Solen symboliserades av nästan alla folk med "solmetallen", guld. "Stor skiva av ljust guld" - så kallade egyptierna vårt dagsljus. Egyptierna kände guld perfekt, de kände till dess inhemska former, där guldkristaller kan uppträda i form av oktaedrar.
Som ett "prov på former" är "solstenen" - diamant är också intressant här. Diamantens namn kom bara från arabvärlden, "almas" - den hårdaste, hårdaste, oförstörbara. De gamla egyptierna kände till diamant och dess egenskaper ganska väl. Enligt vissa författare använde de till och med bronsrör med diamantskärare för att borra.
För närvarande är den huvudsakliga leverantören av diamanter Sydafrika, men Västafrika är också rikt på diamanter. Republiken Malis territorium kallas till och med "Diamantlandet" där. Under tiden är det på Malis territorium som Dogon bor, med vilka anhängarna av den paleovisitiska hypotesen ställer många förhoppningar (se nedan). Diamanter kunde inte tjäna som orsaken till de gamla egyptiernas kontakter med detta land. Men på ett eller annat sätt är det möjligt att det var just genom att kopiera oktaedrarna av diamant- och guldkristaller som de forntida egyptierna gudomligade därigenom "oförstörbara" som en diamant och "glänsande" som guldfaraoner, solens söner, jämförbara bara med naturens mest underbara skapelser.
Produktion:
Efter att ha studerat pyramiden som en geometrisk kropp, efter att ha blivit bekant med dess element och egenskaper, var vi övertygade om giltigheten av åsikten om skönheten i pyramidens form.
Som ett resultat av vår forskning kom vi till slutsatsen att egyptierna, efter att ha samlat den mest värdefulla matematiska kunskapen, förkroppsligade den i pyramiden. Därför är pyramiden verkligen den mest perfekta skapelsen av naturen och människan.
BIBLIOGRAFI
"Geometri: Lärobok. för 7 - 9 cl. Allmän utbildning. institutioner \, etc. - 9:e uppl. - M .: Education, 1999
Matematikens historia i skolan, M: "Utbildning", 1982
Geometri 10-11 årskurs, M: "Utbildning", 2000
Peter Tompkins "Hemligheter stor pyramid Cheops ", M:" Tsentropoligraf ", 2005
Internetresurser
http:// veka-i-mig. ***** /
http:// tambov. ***** / vjpusk / vjp025 / rabot / 33 / index2.htm
http://www. ***** / enc / 54373.html
Instruktioner
I händelse av att vid basen pyramider ligger en kvadrat, längden på dess diagonal är känd, liksom längden på kanten av denna pyramider, då höjden detta pyramider kan uttryckas från Pythagoras sats, eftersom triangeln, som bildas av kanten pyramider, och halva diagonalen vid basen är en rätvinklig triangel.
Pythagoras sats säger att kvadraten på hypotenusan i en rektangulär är lika stor som summan av kvadraterna på dess ben (a² = b² + c²). Kant pyramider- hypotenusan, ett av benen är hälften av kvadratens diagonal. Sedan hittas längden på det okända benet (höjden) av formlerna:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
För att göra båda situationerna så tydliga och begripliga som möjligt kan du överväga ett par.
Exempel 1: Basarea pyramider 46 cm², dess volym är 120 cm³. Baserat på dessa data, höjden pyramider hittas så här:
h = 3 * 120/46 = 7,83 cm
Svar: höjden på detta pyramider blir cirka 7,83 cm
Exempel 2: Y pyramider, vid vars bas ligger en polygon - en kvadrat, dess diagonal är 14 cm, längden på kanten är 15 cm. Enligt dessa data, för att hitta höjden pyramider, måste du använda följande formel(vilket som en konsekvens av Pythagoras sats):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Svar: höjden på detta pyramiderär √29 cm eller ungefär 5,4 cm
notera
Om det finns en kvadrat eller annan regelbunden polygon vid basen av pyramiden, så kan denna pyramid kallas regelbunden. En sådan pyramid har ett antal egenskaper:
dess laterala revben är lika;
aspekter av det - likbenta trianglar som är lika med varandra;
nära en sådan pyramid kan du beskriva en sfär och skriva in den.
Källor:
- Rätt pyramid
En pyramid är en figur vid basen av en polygon, medan dess ytor är trianglar med en gemensam vertex för alla. I typiska uppgifter krävs det ofta att man konstruerar och bestämma längden på vinkelrät draget från vertexet pyramider till dess basplan. Längden på detta segment kallas höjden pyramider.
Du kommer behöva
- - linjal
- - penna
- - kompass
Instruktioner
För att slutföra det, bygg en pyramid i enlighet med problemets tillstånd. Till exempel, för att bygga en vanlig tetraeder, måste du rita en figur så att alla 6 kanter är lika med varandra. Om du vill bygga höjden fyrkantig, då bör endast 4 kanter av basen vara lika. Då kan kanterna på sidoytorna konstrueras olika med polygonens kanter. Namnge pyramiden, markera alla hörn med latinska bokstäver. Till exempel för pyramider med en triangel vid basen kan du välja A, B, C (för basen), S (för toppen). Om villkoret anger de specifika dimensionerna på kanterna, utgå från dessa värden när du konstruerar figuren.
Till att börja med, välj villkorligt med hjälp av en kompass, röra från insidan av alla kanter på polygonen. Om en pyramid, då en punkt (kalla det till exempel H) på basen pyramider, i vilken höjden faller, måste motsvara mitten av cirkeln inskriven i rätt bas pyramider... Mitten kommer att motsvara en punkt på samma avstånd från någon annan punkt på cirkeln. Om vi kopplar ihop vertexet pyramider S med mitten av cirkeln H, då blir segmentet SH höjden pyramider... Tänk samtidigt på att en cirkel kan skrivas in i en fyrhörning, vars summa av de motsatta sidorna är desamma. Det gäller kvadraten och romben. I detta fall kommer punkt H att ligga i fyrhörningen. För vilken triangel som helst är det möjligt att inskriva och beskriva en cirkel.
Att bygga höjden pyramider, använd en kompass för att rita en cirkel och använd sedan en linjal för att koppla dess centrum H till spetsen S. SH är den önskade höjden. Om i botten pyramider SABC är en oregelbunden figur, då kommer höjden att ansluta toppen pyramider med mitten av cirkeln där baspolygonen är inskriven. Alla hörn av polygonen ligger på en sådan cirkel. I detta fall kommer detta segment att vara vinkelrätt mot basens plan pyramider... Du kan beskriva en cirkel runt en fyrhörning om summan av motsatta vinklar är 180°. Då kommer mitten av en sådan cirkel att ligga i skärningspunkten mellan diagonalerna för motsvarande
Hur kan man bygga en pyramid? På ytan R låt oss bygga någon form av polygon, till exempel pentagon ABCDE. Ut ur planet R ta punkt S. Förbinder punkt S med segment med alla punkter i polygonen får vi en pyramid SABCDE (fig.).
Punkt S kallas apex och polygonen ABCDE är grund denna pyramid. En pyramid med vertex S och bas ABCDE är alltså föreningen av alla segment, där M ∈ ABCDE.
Trianglar SAB, SBC, SCD, SDE, SEA kallas sidoytor pyramider, gemensamma sidor sidoytor SA, SB, SC, SD, SE - laterala revben.
Pyramiderna kallas triangulär, fyrkantig, n-kantig beroende på antalet sidor av basen. I fig. givna bilder av triangulära, fyrkantiga och hexagonala pyramider.
Planet som passerar genom toppen av pyramiden och diagonalen på basen kallas diagonal, och det resulterande avsnittet är diagonal. I fig. 186 är en av de diagonala sektionerna av den sexkantiga pyramiden skuggad.
Segmentet av vinkelrät ritat genom toppen av pyramiden till planet för dess bas kallas höjden på pyramiden (ändarna av detta segment är toppen av pyramiden och basen av vinkelrät).
Pyramiden kallas korrekt om pyramidens bas är en vanlig polygon och toppen av pyramiden projiceras till dess mitt.
Alla sidoytor på en vanlig pyramid är kongruenta likbenta trianglar. I en vanlig pyramid är alla laterala kanter kongruenta.
Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid dras från dess topp kallas apotem pyramider. Alla apotemer i en vanlig pyramid är kongruenta.
Om vi betecknar sidan av basen genom a, och apotem igenom h, då är arean av en sidoyta av pyramiden 1/2 ah.
Summan av areorna på alla sidoytor i pyramiden kallas lateral yta pyramider och betecknas med S-sida.
Eftersom sidoyta den korrekta pyramiden består av n kongruenta ansikten alltså
S sida. = 1/2 ahn= P h / 2 ,
där P är omkretsen av pyramidens bas. Därav,
S sida. = P h / 2
dvs. den laterala ytan av en vanlig pyramid är hälften av produkten av basens omkrets gånger apotem.
Pyramidens totala yta beräknas med formeln
S = S huvud + S-sidan. ...
Pyramidens volym är lika med en tredjedel av produkten av arean av dess bas S ocн. till höjden H:
V = 1/3 S huvud N.
Härledningen av denna och några andra formler kommer att ges i ett efterföljande kapitel.
Låt oss bygga pyramiden på ett annat sätt. Låt en polyedrisk vinkel, till exempel en pentaedral, med spets S (fig.) ges.
Låt oss rita ett plan R så att den skär alla kanter av en given polyedrisk vinkel vid olika punkter A, B, C, D, E (Fig.). Då kan SABCDE-pyramiden betraktas som skärningspunkten mellan en polyedrisk vinkel och ett halvrum med gränsen R där spetsen S.
Uppenbarligen kan antalet av pyramidens alla ytor vara godtyckligt, men inte mindre än fyra. När ett plan skär en triangulär vinkel erhålls en triangulär pyramid som har fyra ytor. Vilken triangulär pyramid som helst kallas ibland tetraeder, vilket betyder tetraeder.
Stympad pyramid kan erhållas om pyramiden korsas av ett plan parallellt med basens plan.
I fig. en bild av en fyrkantig stympad pyramid ges.
Trunkerade pyramider kallas också triangulär, fyrkantig, n-kantig beroende på antalet sidor av basen. Av konstruktionen av den trunkerade pyramiden följer att den har två baser: övre och nedre. Baserna i den stympade pyramiden är två polygoner, vars sidor är parallella i par. Sidoytorna på den stympade pyramiden är trapetser.
Höjd en stympad pyramid kallas ett vinkelrät segment som dras från vilken punkt som helst av den övre basen till planet för den nedre.
Vanlig stympad pyramid kallas delen av en vanlig pyramid, innesluten mellan basen och sektionsplanet parallellt med basen. Höjden på sidoytan på en vanlig stympad pyramid (trapesoid) kallas apotem.
Det kan bevisas att en vanlig stympad pyramid har kongruenta laterala kanter, alla laterala kanter är kongruenta och alla apotemer är kongruenta.
Om i rätt trunkerad n-vinklad pyramid igenom a och b n beteckna längderna på sidorna av de övre och nedre baserna, och genom här längden på apotem, då är arean på varje sidoyta av pyramiden
1 / 2 (a + b n) h
Summan av ytorna på alla sidoytor på pyramiden kallas arean av dess sidoyta och betecknas S-sidan. ... Uppenbarligen, för en korrekt trunkerad n- vinkelpyramid
S sida. = n 1 / 2 (a + b n) h.
Eftersom na= P och nb n= Р 1 - omkretsen av baserna av den trunkerade pyramiden, då
S sida. = 1/2 (P + P 1) h,
det vill säga den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid är lika med hälften av produkten av summan av omkretsen av dess baser av apotem.
Sektion parallellt med pyramidens bas
Sats. Om pyramiden korsas av ett plan parallellt med basen, då:1) sidoribbor och höjd är uppdelade i proportionella delar;
2) i avsnittet får du en polygon som liknar basen;
3) tvärsnitts- och basareorna är relaterade till kvadraterna på deras avstånd från toppen.
Det räcker för att bevisa satsen för en triangulär pyramid.
Eftersom de parallella planen skärs av det tredje planet längs parallella linjer, då (AB) || (A 1 B 1), (BC) || (B 1 C 1), (AC) || (AiC1) (fig.).
Parallella raka linjer skär sidorna av hörnet i proportionella delar, och därför
$$ \ frac (\ vänster | (SA) \ höger |) (\ vänster | (SA_1) \ höger |) = \ frac (\ vänster | (SB) \ höger |) (\ vänster | (SB_1) \ höger | ) = \ frac (\ vänster | (SC) \ höger |) (\ vänster | (SC_1) \ höger |) $$
Därför ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 och
$$ \ frac (\ vänster | (AB) \ höger |) (\ vänster | (A_ (1) B_1) \ höger |) = \ frac (\ vänster | (SB) \ höger |) (\ vänster | (SB_1) ) \ höger |) $$
ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 och
$$ \ frac (\ vänster | (BC) \ höger |) (\ vänster | (B_ (1) C_1) \ höger |) = \ frac (\ vänster | (SB) \ höger |) (\ vänster | (SB_1) ) \ höger |) = \ frac (\ vänster | (SC) \ höger |) (\ vänster | (SC_1) \ höger |) $$
Således,
$$ \ frac (\ vänster | (AB) \ höger |) (\ vänster | (A_ (1) B_1) \ höger |) = \ frac (\ vänster | (BC) \ höger |) (\ vänster | (B_) (1) C_1) \ höger |) = \ frac (\ vänster | (AC) \ höger |) (\ vänster | (A_ (1) C_1) \ höger |) $$
Motsvarande vinklar för trianglarna ABC och A 1 B 1 C 1 är kongruenta, som vinklar med parallella och lika riktade sidor. Det är därför
ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1
Arean av sådana trianglar kallas kvadraterna på motsvarande sidor:
$$ \ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1 B_1 C_1)) = \ frac (\ vänster | (AB) \ höger | ^ 2) (\ vänster | (A_ (1) B_1) \ höger | ^ 2 ) $$
$$ \ frac (\ vänster | (AB) \ höger |) (\ vänster | (A_ (1) B_1) \ höger |) = \ frac (\ vänster | (SH) \ höger |) (\ vänster | (SH_1) ) \ höger |) $$
Därav,
$$ \ frac (S_ (ABC)) (S_ (A_1 B_1 C_1)) = \ frac (\ vänster | (SH) \ höger | ^ 2) (\ vänster | (SH_1) \ höger | ^ 2) $$
Sats. Om två pyramider med samma höjd dissekeras på samma avstånd från toppen av plan parallella med baserna, så är tvärsnittsareorna proportionella mot basernas area.
Låt (Fig. 84) B och B 1 - arean av baserna på två pyramider, H - höjden på var och en av dem, b och b 1 - tvärsnittsareor med plan parallella med baserna och avlägsnade från hörnen med samma avstånd h.
Enligt föregående sats kommer vi att ha:
$$ \ frac (b) (B) = \ frac (h ^ 2) (H ^ 2) \: och \: \ frac (b_1) (B_1) = \ frac (h ^ 2) (H ^ 2) $ $
var
$$ \ frac (b) (B) = \ frac (b_1) (B_1) \: eller \: \ frac (b) (b_1) = \ frac (B) (B_1) $$
Följd. Om B = B 1, då b = b 1, dvs. om två pyramider med lika bashöjder är lika stora, då lika stora och sektioner på samma avstånd från toppen.
Andra materialVerkets text är placerad utan bilder och formler.
Den fullständiga versionen av verket finns på fliken "Arbetsfiler" i PDF-format
Introduktion
När vi möter ordet "pyramid" tar det associativa minnet oss till Egypten. Om vi pratar om arkitekturens tidiga monument, kan det hävdas att deras antal inte är mindre än flera hundra. En arabisk författare från 1200-talet sa: "Allt i världen är rädd för tiden, och tiden är rädd för pyramiderna." Pyramiderna är det enda miraklet av världens sju underverk som har överlevt till vår tid, till eran datateknik... Men forskare har fortfarande inte lyckats hitta ledtrådar till alla deras mysterier. Ju mer vi lär oss om pyramiderna, desto fler frågor har vi. Pyramiderna är av intresse för historiker, fysiker, biologer, läkare, filosofer, etc. De är av stort intresse och uppmuntrar till ett djupare studium av deras egenskaper från både matematiska och andra synpunkter (historiska, geografiska, etc.).
Det är därför syfte vår forskning var studiet av pyramidens egenskaper ur olika synvinklar. Som mellanliggande mål har vi identifierat: övervägande av pyramidens egenskaper ur matematikens synvinkel, studiet av hypoteser om förekomsten av pyramidens hemligheter och mysterier, såväl som möjligheterna för dess tillämpning.
Objekt forskningen i denna artikel är en pyramid.
Artikel forskning: särdrag och egenskaper hos pyramiden.
Uppgifter forskning:
Studera populärvetenskaplig litteratur om forskningsämnet.
Betrakta pyramiden som en geometrisk kropp.
Bestäm pyramidens egenskaper och egenskaper.
Hitta material som bekräftar användningen av pyramidens egenskaper i olika områden vetenskap och teknologi.
Metoder forskning: analys, syntes, analogi, mental modellering.
Det förväntade resultatet av arbetet det ska finnas strukturerad information om pyramiden, dess egenskaper och användningsmöjligheter.
Stadier av projektförberedelser:
Fastställande av projektets tema, mål och mål.
Studerar och samlar in material.
Göra upp en projektplan.
Formulering av det förväntade resultatet av aktiviteter på projektet, inklusive assimilering av nytt material, bildandet av kunskaper, färdigheter och förmågor i materiell verksamhet.
Registrering av forskningsresultat.
Reflexion
Pyramid som en geometrisk kropp
Tänk på ursprunget till ordet och termen " pyramid". Det bör genast noteras att "pyramiden" eller " pyramid"(Engelsk), " piramid"(franska, spanska och slaviska språk), "Pyramid"(tyska) är en västerländsk term med sitt ursprung i antikens Grekland. På antik grekiska πύραμίς ("NS iramis"Och många andra. h. Πύραμίδες « pyramider") Har flera betydelser. De gamla grekerna kallade " pyramis»En vetekaka som liknade formen av egyptiska strukturer. Senare kom detta ord att betyda "en monumental struktur med en kvadratisk yta vid basen och sluttande sidor som möts upptill. Etymologisk ordbok indikerar att det grekiska "pyramis" kommer från det egyptiska " pimar". Den första skrivtolkningen av ordet "pyramid" hittades i Europa 1555 och betyder: "en av typerna av antika byggnader av kungar." Efter upptäckten av pyramiderna i Mexiko och med utvecklingen av vetenskaper på 1700-talet blev pyramiden inte bara ett forntida arkitektoniskt monument, utan också en vanlig geometrisk figur med fyra symmetriska sidor (1716). Början av pyramidens geometri lades dock i det antika Egypten och Babylon aktiv utveckling tagit emot in Antikens Grekland... Den förste att fastställa vilken volym pyramiden är, var Demokrit, och Eudoxus från Cnidus bevisade det.
Den första definitionen tillhör den antika grekiske matematikern, författaren till teoretiska avhandlingar om matematik som har kommit ner till oss, Euklid. I volymen XII av hans "Principer" definierar han en pyramid som en kroppsfigur som begränsas av plan som konvergerar från ett plan (bas) vid en punkt (apex). Men denna definition kritiserades redan under antiken. Så Heron föreslog följande definition av en pyramid: "Det är en figur som begränsas av trianglar som konvergerar vid en punkt och vars bas är en polygon."
Det finns en definition fransk matematiker Adrien Marie Legendre, som 1794 i sitt verk "Elements of Geometry" definierar pyramiden på följande sätt: "Pyramiden är en solid figur formad av trianglar som konvergerar vid en punkt och slutar på olika sidor av en platt bas."
Moderna ordböcker tolkar termen "pyramid" enligt följande:
|
En polyeder vars bas är en polygon och de andra ytorna är trianglar med en gemensam vertex |
Förklarande ordbok för det ryska språket, red. D. N. Ushakova |
|
|
En kropp avgränsad av lika trianglar som består av hörn i en punkt och som bildar deras baser med sin gon |
Dahls förklarande ordbok |
|
|
En polyeder vars bas är en polygon och de andra ytorna är trianglar med en gemensam vertex |
Förklarande ordbok, red. S. I. Ozhegova och N. Yu. Shvedova |
|
|
En polyeder vars bas är en polygon och vars sidoytor är trianglar som har en gemensam vertex |
T.F. Efremov. Ny förklarande och härledd ordbok för det ryska språket. |
|
|
En polyeder, vars ena sida är en polygon och de andra ytorna är trianglar med en gemensam vertex |
Ordbok främmande ord |
|
|
En geometrisk kropp, vars bas är en polygon, och sidorna är lika många trianglar som basen har sidor, konvergerande med hörn till en punkt. |
Ordbok med främmande ord i ryska språket |
|
|
En polyeder, vars ena sida är någon form av platt polygon, och alla andra ytor är trianglar, vars baser är sidorna av basen av P., och hörnen konvergerar vid en punkt |
F. Brockhaus, I.A. Efron. encyklopedisk ordbok |
|
|
En polyeder vars bas är en polygon och de andra ytorna är trianglar med en gemensam vertex |
Modern förklarande ordbok |
|
|
En polyeder, vars ena yta är en polygon och de andra sidorna är trianglar med en gemensam vertex |
Matematisk encyklopedisk ordbok |
Genom att analysera definitionerna av pyramiden kan vi dra slutsatsen att alla källor har liknande ordalydelse:
En pyramid är en polyeder, vars bas är en polygon, och de andra ytorna är trianglar med en gemensam vertex. Beroende på antalet vinklar på basen särskiljs pyramiderna triangulära, fyrkantiga, etc.
Polygon А 1 А 2 А 3 ... Аn - pyramidens bas och trianglar RA 1 А 2, RA 2 А 3, ..., PANА 1 - pyramidens sidoytor, Р - pyramidens topp, segment RA 1, RA 2, ..., PAN - laterala revben.
Den vinkelräta som dras från toppen av pyramiden till basens plan kallas höjd h pyramider.
Förutom en godtycklig pyramid finns det en vanlig pyramid, vid basen av denna finns en vanlig polygon och en stympad pyramid.
Fyrkant den totala ytan av en pyramid kallas summan av ytorna av alla dess ytor. S totalt = S-sidan + S-huvudet, där S-sidan är summan av sidoytornas ytor.
Volym pyramid hittas av formeln: V = 1 / 3S huvudh, där S huvud. - basarea, h - höjd.
TILL pyramidens egenskaper relatera:
När alla sidokanter har samma storlek, är det lätt att beskriva en cirkel nära pyramidens bas, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel; laterala ribbor bildar lika vinklar med basplanet; dessutom är det omvända också sant, d.v.s. när sidoribborna bildas med basplanet lika vinklar, eller när en cirkel kan beskrivas nära basen av pyramiden och toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel, betyder det att alla sidokanter av pyramiden har samma storlek.
När sidoytorna har en lutningsvinkel mot basplanet av samma storlek, är det lätt att beskriva en cirkel nära pyramidens bas, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel ; höjderna på sidoytorna är lika långa; sidoytan är lika med halva produkten av basomkretsen och sidokanthöjden.
Pyramiden kallas korrekt, om dess bas är en vanlig polygon, och vertexet projiceras mot basens mitt. Sidoytorna på en vanlig pyramid är lika, likbenta trianglar (Fig. 2a). Axel en vanlig pyramid kallas en rak linje som innehåller dess höjd. Apotem - höjden på sidoytan på en vanlig pyramid dragen från dess topp.
Fyrkant sidoytan på en vanlig pyramid uttrycks på följande sätt: S-sidan. = 1 / 2P h, där P är omkretsen av basen, h är höjden på sidoytan (apotem för den vanliga pyramiden). Om pyramiden skärs av planet A'B'C'D ', parallellt med basen, så delas sidokanterna och höjden av detta plan i proportionella delar; i sektionen erhålls en polygon A'B'C'D ', liknande basen; tvärsnitts- och basareorna hänvisas till som kvadraterna på deras avstånd från spetsen.
Stympad pyramid erhålls genom att skära av den övre delen av pyramiden med ett plan parallellt med basen (fig. 2b). Baserna på den stympade pyramiden är liknande polygoner ABCD och A`B`C`D`, sidoytorna är trapetser. Höjden på den stympade pyramiden är avståndet mellan baserna. Volymen av den trunkerade pyramiden hittas av formeln: V = 1/3 h (S + + S '), där S och S' är arean av baserna ABCD och A'B'C'D', h är höjden.
Baserna i en vanlig trunkerad n-gon-pyramid är vanliga n-goner. Den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid uttrycks enligt följande: S-sidan. = ½ (P + P ’) h, där P och P’ är omkretsen av baserna, h är höjden på sidoytan (apotem för den regelbundna stympade pyramiden)
Sektionerna av pyramiden av plan som passerar genom dess spets är trianglar. Sektionen som går genom två icke intilliggande sidokanter av pyramiden kallas en diagonal sektion. Om sektionen passerar genom en punkt på sidokanten och sidan av basen, kommer denna sida att vara dess spår på planet för pyramidens bas. En sektion som går genom en punkt som ligger på kanten av pyramiden och ett givet spår av sektionen på basplanet, då ska konstruktionen utföras enligt följande: hitta skärningspunkten för planet för denna yta och spåret av avsnitt av pyramiden och beteckna den; bygga en rät linje som går genom en given punkt och den resulterande skärningspunkten; upprepa dessa steg för följande ansikten.
Rektangulär pyramid - det är en pyramid där en av sidokanterna är vinkelrät mot basen. I det här fallet kommer denna kant att vara höjden på pyramiden (Figur 2c).
Vanlig triangulär pyramidär en pyramid, vars bas är vanlig triangel och toppen projiceras till mitten av basen. Ett specialfall av en vanlig triangulär pyramid är tetraeder... (Figur 2a)
Överväg satser som förbinder pyramiden med andra geometriska kroppar.
Sfär
En sfär kan beskrivas nära en pyramid när en polygon ligger vid basen av pyramiden, runt vilken en cirkel kan beskrivas (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Sfärens centrum kommer att vara skärningspunkten för planen som passerar genom mittpunkterna på pyramidens kanter vinkelrätt mot dem. Det följer av denna sats att en sfär kan beskrivas både runt vilken triangulär som helst och runt vilken vanlig pyramid som helst; En sfär kan inskrivas i en pyramid när halvledarplanen för pyramidens inre dihedrala vinklar skär varandra vid en punkt (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Denna punkt kommer att vara mitten av sfären.
Kon
En kon kallas inskriven i en pyramid om deras toppar sammanfaller, och dess bas är inskriven i pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att inskriva en kon i en pyramid endast när pyramidens apotemer är lika med varandra (ett nödvändigt och tillräckligt villkor); En kon sägs beskrivas nära pyramiden när deras toppar sammanfaller, och dess bas beskrivs nära pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att beskriva konen nära pyramiden endast när alla sidokanter av pyramiden är lika med varandra (ett nödvändigt och tillräckligt villkor); Höjden på sådana koner och pyramider är lika med varandra.
Cylinder
En cylinder kallas inskriven i en pyramid om en av dess bas sammanfaller med en cirkel inskriven i sektionen av pyramiden av ett plan parallellt med basen, och den andra basen tillhör pyramidens bas. En cylinder sägs beskrivas nära pyramiden om toppen av pyramiden tillhör dess ena bas, och dess andra bas beskrivs nära pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att beskriva en cylinder nära en pyramid endast när det finns en inskriven polygon vid basen av pyramiden (ett nödvändigt och tillräckligt villkor).
Mycket ofta i sin forskning använder forskare pyramidens egenskaper. med proportioner av det gyllene snittet... Vi kommer att överväga hur det gyllene snittet användes för att konstruera pyramiderna i nästa stycke, och här kommer vi att fokusera på definitionen av det gyllene snittet.
Den matematiska encyklopediska ordboken ger följande definition gyllene snittet- detta är uppdelningen av segmentet AB i två delar på ett sådant sätt att det mesta av dess AC är den genomsnittliga proportionella mellan hela segmentet AB och dess mindre del CB.
Att algebraiskt hitta det gyllene snittet av segmentet AB = a reduceras till att lösa ekvationen a: x = x: (a-x), där x är ungefär lika med 0,62a. Förhållandet x kan uttryckas i bråk n / n + 1 = 0,618, där n är Fibonacci-talet n.
Det gyllene snittet används ofta i konstverk, arkitektur och förekommer i naturen. Framträdande exempel är skulpturen av Apollo Belvedere, Parthenon. Under byggandet av Parthenon användes förhållandet mellan byggnadens höjd och dess längd och detta förhållande är 0,618. Föremålen runt omkring oss ger också exempel på det gyllene snittet, till exempel har bindningarna i många böcker också ett förhållande mellan bredd och längd nära 0,618.
Sålunda, efter att ha studerat den populärvetenskapliga litteraturen om forskningsproblemet, kom vi till slutsatsen att en pyramid är en polyeder, vars bas är en polygon, och de andra ytorna är trianglar med en gemensam vertex. Vi undersökte pyramidens element och egenskaper, dess typer och förhållande till det gyllene snittets proportioner.
2. Funktioner i pyramiden
Så i Big Encyclopedic Dictionary står det skrivet att en pyramid är en monumental struktur med en geometrisk pyramidform (ibland stegvis eller tornliknande). Gravarna för de forntida egyptiska faraonerna under det 3:e - 2:a årtusendet f.Kr. kallades pyramider. e., såväl som piedestaler av tempel i Central- och Sydamerika förknippade med kosmologiska kulter. Bland de storslagna pyramiderna i Egypten intar Farao Keops stora pyramiden en speciell plats. Innan man går vidare till analysen av Cheops-pyramidens form och storlek bör man komma ihåg vilket måttsystem egyptierna använde. Egyptierna hade tre längdenheter: "cubit" (466 mm), lika med sju "palmer" (66,5 mm), vilket i sin tur är lika med fyra "fingrar" (16,6 mm).
De flesta forskare är överens om att längden på sidan av pyramidens bas, till exempel, GF är lika med L = 233,16 m. Detta värde motsvarar nästan exakt 500 "alnar". Full överensstämmelse med 500 "alnar" kommer att vara om längden på "alnar" anses vara lika med 0,4663 m.
Pyramidens höjd (H) uppskattas av forskare annorlunda från 146,6 till 148,2 m. Och beroende på pyramidens accepterade höjd ändras alla förhållanden mellan dess geometriska element. Vad är anledningen till skillnaderna i uppskattningen av höjden på pyramiden? Faktum är att Cheops-pyramiden är stympad. Dess toppplattform idag är cirka 10x10 m, och för ett sekel sedan var den 6x6 m. Uppenbarligen togs toppen av pyramiden isär, och den motsvarar inte den ursprungliga. När man utvärderar höjden på pyramiden är det nödvändigt att ta hänsyn till en sådan fysisk faktor som den strukturella bosättningen. Under en lång tid, under påverkan av kolossalt tryck (nådde 500 ton per 1 m 2 av den nedre ytan), har höjden på pyramiden minskat jämfört med dess ursprungliga höjd. Pyramidens ursprungliga höjd kan återskapas om den grundläggande geometriska idén hittas.
År 1837 mätte den engelske översten G. Weisz lutningsvinkeln på pyramidens ytor: den visade sig vara lika med a = 51 ° 51 ". Detta värde är fortfarande känt av de flesta forskare idag. Det angivna värdet på vinkeln motsvarar tangenten (tg a) lika med 1,27306. Detta värde motsvarar förhållandet mellan AC-pyramidens höjd och hälften av dess bas CB, det vill säga AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
Och här fick forskarna en stor överraskning! Faktum är att om vi tar kvadratroten av det gyllene snittet så får vi följande resultat = 1,272. Genom att jämföra detta värde med värdet tan a = 1,27306 ser vi att dessa värden ligger mycket nära varandra. Om vi tar vinkeln a = 51 ° 50 ", det vill säga minska den med bara en bågminut, så blir värdet på a lika med 1,272, det vill säga det kommer att sammanfalla med värdet. Det bör noteras att i 1840 G. Weis upprepade sina mätningar och specificerade att värdet på vinkeln a = 51 ° 50 ".
Dessa mätningar ledde forskarna till följande intressanta hypotes: AC / CB = 1,272-förhållandet lades i grunden för ACB-triangeln i Cheops-pyramiden.
Betrakta nu en rätvinklig triangel ABC, där förhållandet mellan benen AC / CB =. Om nu längderna på sidorna av rektangeln ABC betecknas med x, y, z, och även ta hänsyn till att förhållandet y / x =, så kan längden z beräknas i enlighet med Pythagoras sats med formeln :
Om vi tar x = 1, y =, då:
En rätvinklig triangel där sidorna är relaterade till t :: 1 kallas en "gyllene" rätvinklig triangel.
Sedan, om vi tar hypotesen som grund att den huvudsakliga "geometriska idén" för Cheopspyramiden är den "gyllene" rätvinkliga triangeln, så är det härifrån lätt att beräkna Cheopspyramidens "designade" höjd. Det är lika med:
H = (L/2) / = 148,28 m.
Låt oss nu härleda några andra relationer för Keopspyramiden som härrör från den "gyllene" hypotesen. I synnerhet hittar vi förhållandet mellan pyramidens yttre yta och ytan av dess bas. För att göra detta, låt oss ta längden på CB-benet som ett, det vill säga: CB = 1. Men då är längden på sidan av pyramidens bas GF = 2, och arean av basen EFGH kommer att vara lika med S EFGH = 4.
Låt oss nu beräkna arean av sidoytan på Cheopspyramiden S D. Eftersom höjden AB av triangeln AEF är lika med t, kommer arean på sidoytan att vara S D = t. Då kommer den totala ytan av alla fyra sidoytorna av pyramiden att vara lika med 4t, och förhållandet mellan den totala ytterytan av pyramiden och arean av basen kommer att vara lika med det gyllene snittet... Detta är den huvudsakliga geometriska hemligheten för Cheops-pyramiden.
Och också, under byggandet av de egyptiska pyramiderna, fann man att torget, byggt i höjd med pyramiden, exakt lika med arean var och en av sidotrianglarna. Detta bekräftas av de senaste mätningarna.
Vi vet att förhållandet mellan omkretsen och dess diameter är en konstant välkänd för moderna matematiker, skolbarn - detta är talet "Pi" = 3,1416 ... Men om vi lägger ihop de fyra sidorna av basen av Cheopspyramiden, vi får 931,22 m. detta är talet för dubbelt så hög pyramiden (2x148.208), vi får 3.1416 ..., det vill säga talet "Pi". Följaktligen är Cheops-pyramiden ett unikt monument som är den materiella förkroppsligandet av talet Pi, som spelar en viktig roll i matematik.
Således närvaron i storleken på pyramiden i det gyllene snittet - förhållandet mellan den dubbla sidan av pyramiden och dess höjd - det finns ett tal som i värde är mycket nära talet π. Detta är utan tvekan också en funktion. Även om många författare tror att detta sammanträffande är en tillfällighet, eftersom bråkdelen 14/11 är "en bra uppskattning för roten ur från förhållandet mellan det gyllene snittet och för förhållandet mellan kvadratens ytor och cirkeln inskriven i den."
Det är dock fel att här bara tala om de egyptiska pyramiderna. Det finns inte bara egyptiska pyramider, det finns ett helt nätverk av pyramider på jorden. De viktigaste monumenten (de egyptiska och mexikanska pyramiderna, Påskön och Stonehenge-komplexet i England) är vid första anblicken på måfå utspridda över vår planet. Men om det tibetanska pyramidkomplexet ingår i studien, visas ett strikt matematiskt system för deras placering på jordens yta. Mot bakgrund av Himalaya-ryggen urskiljs en pyramidformad formation tydligt - Mount Kailash. Platsen för staden Kailash, de egyptiska och mexikanska pyramiderna är mycket intressant, nämligen om du förbinder staden Kailash med de mexikanska pyramiderna, går linjen som förbinder dem till Påskön. Om du förbinder staden Kailash med de egyptiska pyramiderna, går linjen för deras anslutning igen till Påskön. Skisserat exakt en fjärdedel Globen... Om vi kopplar ihop de mexikanska pyramiderna och de egyptiska, så kommer vi att se två lika triangel... Om du hittar deras yta är deras summa lika med en fjärdedel av jordens yta.
Avslöjade ett obestridligt samband mellan komplexet av tibetanska pyramider med andra strukturer antiken - de egyptiska och mexikanska pyramiderna, kolosserna på Påskön och Stonehenge-komplexet i England. Höjden på huvudpyramiden i Tibet - Mount Kailash - är 6714 meter. Avstånd från Kailash till Nordpolen lika 6714 kilometer är avståndet från Kailash till Stonehenge 6714 kilometer. Om du lägger av på jordklotet från Nordpolen dessa 6714 kilometer, sedan kommer vi till det så kallade Djävulstornet, som ser ut som en stympad pyramid. Och slutligen, exakt 6714 kilometer från Stonehenge till Bermudatriangeln.
Som ett resultat av dessa studier kan man dra slutsatsen att det finns ett pyramidal-geografiskt system på jorden.
Således inkluderar funktionerna förhållandet mellan pyramidens totala yttre yta och basens yta kommer att vara lika med det gyllene snittet; närvaron av det gyllene snittet i pyramidens storlek - förhållandet mellan den dubblerade sidan av pyramiden och dess höjd - är ett tal som i värde ligger mycket nära talet π, dvs. Cheops-pyramiden är ett unikt monument som representerar den materiella förkroppsligandet av numret "Pi"; förekomsten av ett pyramidalt-geografiskt system.
3. Andra egenskaper och tillämpningar av pyramiden.
Låt oss överväga en praktisk tillämpning av denna geometriska form. Till exempel, hologram. Låt oss först titta på vad holografi är. Holografi - en uppsättning teknologier för exakt inspelning, reproduktion och omformning av optiska vågfält elektromagnetisk strålning, en speciell fotografisk metod där man, med hjälp av en laser, tar bilder av tredimensionella föremål som i hög grad liknar verkliga, och sedan återställs. Ett hologram är en produkt av holografi, en tredimensionell bild skapad med hjälp av en laser som återger en bild av ett tredimensionellt föremål. Med hjälp av en vanlig trunkerad tetraedrisk pyramid kan du återskapa en bild - ett hologram. En fotofil och en vanlig trunkerad tetraedrisk pyramid av ett genomskinligt material skapas. Ett litet indrag görs från den nedersta pixeln och den mittersta i förhållande till ordinataaxeln. Denna punkt kommer att vara mittpunkten på sidan av kvadraten som bildas av sektionen. Fotot multipliceras, och dess kopior är placerade på samma sätt i förhållande till de andra tre sidorna. En pyramid med en sektion nedåt placeras på kvadraten så att den sammanfaller med kvadraten. Övervaka genererar ljusvåg, vart och ett av de fyra identiska fotografierna, som är i det plan som är projektionen av pyramidansiktet, faller på själva ansiktet. Som ett resultat har vi samma bilder på var och en av de fyra ytorna, och eftersom materialet som pyramiden är gjord av har egenskapen att vara genomskinlig, bryts vågorna så att säga möts i centrum. Som ett resultat får vi samma interferensmönster. stående våg, den centrala axeln, eller vars rotationsaxel är höjden på den regelbundna trunkerade pyramiden. Denna metod fungerar också med video, eftersom funktionsprincipen förblir oförändrad.
Med tanke på särskilda fall kan du se att pyramiden används flitigt i vardagen, även i hushåll... Pyramidformen finns ofta, främst i naturen: växter, kristaller, metanmolekylen har formen av en vanlig triangulär pyramid - en tetraeder, enhetscellen i en diamantkristall är också en tetraeder, i mitten och fyra hörn av vilka kolatomer finns. Pyramider finns hemma, barnleksaker. Knappar, datortangentbord liknar ofta en rektangulär stympad pyramid. De kan ses i form av byggnadselement eller själva arkitektoniska strukturer, som genomskinliga takkonstruktioner.
Låt oss överväga några fler exempel på att använda termen "pyramid"
Ekologiska pyramider- dessa är grafiska modeller (vanligtvis i form av trianglar), som återspeglar antalet individer (siffrorspyramid), mängden av deras biomassa (biomassapyramid) eller energin som finns i dem (energipyramid) på varje trofisk nivå och indikerar en minskning av alla indikatorer med en ökning av den trofiska nivån
Informationspyramid. Det återspeglar en hierarki av olika typer av information. Tillhandahållandet av information är byggt enligt följande pyramidschema: överst - huvudindikatorerna, med vilka det är möjligt att entydigt spåra företagets rörelsetakt mot det valda målet. Om något är fel kan du gå till pyramidens genomsnittliga nivå - generaliserade data. De förtydligar bilden för varje indikator individuellt eller i förhållande till varandra. Från dessa data kan du bestämma den möjliga platsen för felet eller problemet. För mer fullständig information du måste hänvisa till basen av pyramiden - detaljerad beskrivning tillstånden för alla processer i numerisk form. Dessa data hjälper till att identifiera orsaken till problemet så att det kan åtgärdas och undvikas i framtiden.
Blooms taxonomi. Blooms taxonomi föreslår en pyramidklassificering av uppgifter som lärare ställer in för eleverna och följaktligen lärandemål. Hon delar utbildningsmål indelas i tre sfärer: kognitiva, affektiva och psykomotoriska. Inom varje separat sfär, för att gå till en högre nivå, krävs erfarenhet av tidigare nivåer, utmärkande inom detta område.
Finansiell pyramid- ett specifikt fenomen ekonomisk utveckling... Namnet "pyramiden" illustrerar tydligt situationen när människor "längst ner" i pyramiden ger pengar till en liten topp. Samtidigt betalar varje ny deltagare för att öka möjligheten till sin befordran till toppen av pyramiden.
Behovspyramid Maslow återspeglar en av de mest populära och kända teorier motivation - hierarki teori behov. Maslows behov fördelas när den ökar, vilket förklarar en sådan konstruktion med att en person inte kan uppleva behov hög nivå, medan det behöver mer primitiva saker. I takt med att de lägre behoven tillgodoses, blir behoven på en högre nivå mer och mer akuta, men det betyder inte alls att platsen för det tidigare behovet tas av ett nytt först när det förra är helt tillfredsställt.
Ett annat exempel på användningen av termen "pyramid" är mat pyramid - schematiskt diagram över principer äta nyttigt utvecklad av nutritionister. Maten som utgör basen i pyramiden bör ätas så ofta som möjligt, medan maten i toppen av pyramiden bör undvikas eller konsumeras i begränsade mängder.
Allt ovanstående visar alltså pyramidens olika användningsområden i vårt liv. Kanske har pyramiden mycket mer högt syfte, och är avsedd för något mer än de praktiska sätten att använda den som nu är öppna.
Slutsats
Vi möter ständigt pyramider i vårt liv - det här är forntida egyptiska pyramider och leksaker som barn leker med; föremål för arkitektur och design, naturliga kristaller; virus som bara kan ses under ett elektronmikroskop. Under de många årtusenden av deras existens har pyramiderna förvandlats till en sorts symbol som personifierar människans önskan att nå kunskapens höjdpunkt.
Under vår forskning fastställde vi att pyramider är ganska vanliga över hela världen.
Vi studerade den populärvetenskapliga litteraturen om forskningsämnet, ansåg olika tolkningar av termen "pyramid", fastställde att i geometrisk mening är en pyramid en polyeder, vars bas är en polygon, och de andra ytorna är trianglar med en gemensam vertex. Vi studerade typerna av pyramider (regelbundna, stympade, rektangulära), element (apotem, sidoytor, sidokanter, topp, höjd, bas, diagonalsnitt) och egenskaperna hos geometriska pyramider när sidokanterna är lika och när sidoytorna är lika lutar mot basplanet i en vinkel. Ansedda satser som förbinder pyramiden med andra geometriska kroppar (sfär, kon, cylinder).
Vi tillskrev funktionerna i pyramiden:
förhållandet mellan pyramidens totala yttre yta och basens yta kommer att vara lika med det gyllene snittet;
närvaron av det gyllene snittet i pyramidens storlek - förhållandet mellan den dubblerade sidan av pyramiden och dess höjd - är ett tal som i värde ligger mycket nära talet π, dvs. Cheops-pyramiden är ett unikt monument som representerar den materiella förkroppsligandet av numret "Pi";
förekomsten av ett pyramidalt-geografiskt system.
Vi har utforskat den moderna användningen av denna geometriska form. Vi undersökte hur pyramiden och hologrammet hänger ihop, uppmärksammade det faktum att pyramidformen oftast finns i naturen (växter, kristaller, metanmolekyler, strukturen på diamantgittret, etc.). Under hela forskningen mötte vi material som bekräftar användningen av pyramidens egenskaper inom olika vetenskaps- och teknikområden, i människors vardag, i analys av information, inom ekonomi och på många andra områden. Och de kom fram till att pyramiderna kanske har ett mycket högre syfte, och är avsedda för något mer än de praktiska sätten att använda dem som nu är öppna.
Bibliografi.
Van der Waerden, Bartel Leendert. Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. [Text] / B. L. Van der Waerden - ComBook, 2007
Voloshinov A.V. Matematik och konst. [Text] / A. V. Voloshinov - Moskva: "Utbildning" 2000.
Världshistorien(uppslagsverk för barn). [Text] / - M .: "Avanta +", 1993.
Hologram . [Elektronisk resurs] - https://hi-news.ru/tag/gologramma - artikel på Internet
Geometri [Text]: Lärobok. 10 - 11 cl. för utbildningsinstitutioner Atanasyan L.S., V.F.Butuzov och andra - 22:a upplagan. - M .: Utbildning, 2013
Coppens F. Ny era pyramider. [Text] / F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010
Matematisk encyklopedisk ordbok. [Text] / A. M. Prokhorov et al. - M .: Sovjetiskt uppslagsverk, 1988.
E.R. Muldashev Världssystem antikens pyramider och monument räddade oss från världens ände, men ... [Text] / E. R. Muldashev - M .: "AiF-Print"; M .: "OLMA-PRESS"; SPb .: Publishing House "Neva"; 2003.
Perelman Ya. I. Underhållande aritmetik. [Text] / Ya. I. Perelman- M .: Tsentrpoligraf, 2017
Reichard G. Pyramids. [Text] / Hans Reichard - M .: Slovo, 1978
Terra Lexicon. Illustrerad encyklopedisk ordbok. [Text] / - M .: TERRA, 1998.
Tompkins P. Secrets of the Great Pyramid of Cheops. [Text] / Peter Tompkins. - M .: "Tsentropoligraf", 2008
Uvarov V. Pyramidernas magiska egenskaper. [Text] / V. Uvarov -Lenizdat, 2006.
Sharygin I.F .. Geometri årskurs 10-11. [Text] / I.F. Sharygin:. - M: "Utbildning", 2000
Yakovenko M. Nyckeln till att förstå pyramiden [Elektronisk resurs] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html- artikel på Internet
