Funktionsstudie.
1) D (y) - Domän: uppsättningen av alla dessa värden för variabeln x. för vilka de algebraiska uttrycken f (x) och g (x) är meningsfulla.
Om en funktion ges av en formel, så består domänen av alla värden av den oberoende variabeln för vilken formeln är vettig.
2) Funktionens egenskaper: jämn/udda, periodicitet:
Udda och även funktioner kallas, vars grafer har symmetri med avseende på att ändra argumentets tecken.
Udda funktion- en funktion som ändrar sitt värde till det motsatta när tecknet för den oberoende variabeln ändras (symmetrisk om koordinatcentrum).
Jämn funktion- en funktion som inte ändrar sitt värde när tecknet för den oberoende variabeln ändras (symmetrisk om ordinatan).
Varken jämn eller udda funktion (fungera allmän syn) - en funktion som inte har symmetri. Denna kategori innehåller funktioner som inte passar in i de två föregående kategorierna.
Funktioner som inte tillhör någon av kategorierna ovan kallas varken jämnt eller udda(eller allmänna funktioner).
Udda funktioner
Udda potens där är ett godtyckligt heltal.
Även funktioner
Jämn grad där är ett godtyckligt heltal.
Periodisk funktion- en funktion som upprepar sina värden med ett visst regelbundet intervall av argumentet, det vill säga ändrar inte dess värde när något fast tal som inte är noll läggs till argumentet ( period funktioner) över hela definitionsdomänen.
3) Nollorna (rötterna) för en funktion är punkterna där den försvinner.
Hitta skärningspunkten för en graf med en axel Oj... För att göra detta måste du beräkna värdet f(0). Hitta också skärningspunkterna för grafen med axeln Oxe, varför hitta rötterna till ekvationen f(x) = 0 (eller se till att det inte finns några rötter).
Punkterna där grafen korsar axeln kallas funktion nollor... För att hitta nollorna för en funktion måste du lösa ekvationen, det vill säga hitta dessa värden "x" då funktionen försvinner.
4) Intervaller för teckens konstanthet, tecken i dem.
Luckor där f (x) är teckenbevarande.
Konstansintervallet är intervallet vid varje punkt funktionen är positiv eller negativ.
Ovanför abskissan.
UNDER axeln.
5) Kontinuitet (brytpunkter, brytkaraktär, asymptoter).
Kontinuerlig funktion- en funktion utan "hopp", det vill säga en där små förändringar i argumentet leder till små förändringar i funktionens värde.
Avtagbara brytpunkter
Om gränsen för funktionen existerar, men funktionen är inte definierad vid denna tidpunkt, eller gränsen sammanfaller inte med värdet på funktionen vid denna tidpunkt:
,
då kallas punkten punkt med löstagbar diskontinuitet funktioner (i komplex analys, en borttagbar singular punkt).
Om vi "korrigerar" funktionen vid punkten av en löstagbar diskontinuitet och sätter 
, då får du en funktion som är kontinuerlig vid denna punkt. En sådan operation på en funktion kallas genom att utvidga definitionen av en funktion till en kontinuerlig eller genom att utvidga definitionen av en funktion med kontinuitet, vilket motiverar namnet på punkten, som en punkt disponibel ha sönder.
Brytpunkter av första och andra slaget
Om en funktion har en diskontinuitet vid en given punkt (det vill säga gränsen för en funktion vid en given punkt saknas eller inte sammanfaller med värdet av en funktion vid en given punkt), så finns det två möjliga alternativ för numeriska funktioner associerade med förekomsten av numeriska funktioner ensidiga gränser:
om båda ensidiga gränserna existerar och är ändliga, så kallas en sådan punkt brytpunkt av det första slaget... Borttagbara brytpunkter är brytpunkter av det första slaget;
om åtminstone en av de ensidiga gränserna inte existerar eller inte är ett ändligt värde, så kallas en sådan punkt brytpunkt av det andra slaget.
Asymptot - hetero med egenskapen att avståndet från kurvans punkt till denna hetero tenderar till noll när punkten rör sig bort längs grenen till oändlighet.
Vertikal
Vertikal asymptot - gränslinje 
.
Som regel, när de bestämmer de vertikala asymptoterna, letar de inte efter en gräns, utan två ensidiga (vänster och höger). Detta görs för att bestämma hur funktionen beter sig när den närmar sig den vertikala asymptoten från olika sidor. Till exempel:
Horisontell
Horisontell asymptot - hetero arter som är föremål för existensen begränsa
.
Sned
Sned asymptot - hetero arter som är föremål för existensen gränser
Notera: en funktion kan ha högst två sneda (horisontella) asymptoter.
Notera: om minst en av ovanstående två gränser inte existerar (eller är lika med), så existerar inte den sneda asymptoten vid (eller).
om i punkt 2.), då, och gränsen hittas av den horisontella asymptotformeln, 
.
6) Att hitta intervaller av monotoni. Hitta intervallen för monotoni för en funktion f(x) (det vill säga intervallen för ökning och minskning). Detta görs genom att undersöka derivatans tecken f(x). För att göra detta, hitta derivatan f(x) och lösa ojämlikheten f(x) 0. På de intervall där denna ojämlikhet är uppfylld, funktionen f(x) ökar. Där den omvända ojämlikheten gäller f(x) 0, funktion f(x) minskar.
Att hitta ett lokalt extremum. Efter att ha hittat intervallen för monotoni kan vi omedelbart bestämma punkterna för lokalt extremum där ökningen ersätts med en minskning, lokala maxima är belägna och där minskningen ersätts med en ökning - lokala minima. Beräkna värdet på funktionen vid dessa punkter. Om funktionen har kritiska punkter som inte är lokala extrema punkter, är det användbart att även beräkna värdet på funktionen vid dessa punkter.
Hitta de största och minsta värdena för funktionen y = f (x) på ett segment(fortsättning)
|
1. Hitta derivatan av en funktion: f(x). 2. Hitta punkterna där derivatan är noll: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Bestäm vilka punkter som hör till NS 1 ,NS 2 , … segmentet [ a; b]: låt vara x 1a;b, a x 2a;b . |
även om för alla \ (x \) från dess definitionsdomän är det sant: \ (f (-x) = f (x) \).
Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring \ (y \)-axeln:
Exempel: funktionen \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) är jämn, eftersom \ (f (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).
\ (\ blacktriangleright \) Funktionen \ (f (x) \) anropas udda om för alla \ (x \) från dess domän är det sant: \ (f (-x) = - f (x) \).
Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget:
Exempel: funktionen \ (f (x) = x ^ 3 + x \) är udda eftersom \ (f (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).
\ (\ blacktriangleright \) Funktioner som varken är jämna eller udda kallas generiska funktioner. En sådan funktion kan alltid representeras unikt som summan av en jämn och en udda funktion.
Till exempel är funktionen \ (f (x) = x ^ 2-x \) summan av en jämn funktion \ (f_1 = x ^ 2 \) och en udda \ (f_2 = -x \).
\ (\ blacktriangleright \) Några egenskaper:
1) Produkten och kvoten av två funktioner med samma paritet - jämn funktion.
2) Produkten och kvoten av två funktioner med olika paritet är en udda funktion.
3) Summan och skillnaden av jämna funktioner är en jämn funktion.
4) Summan och skillnaden mellan udda funktioner är en udda funktion.
5) Om \ (f (x) \) är en jämn funktion, så har ekvationen \ (f (x) = c \ (c \ i \ mathbb (R) \)) en unik rot om och endast om, när \ (x = 0 \).
6) Om \ (f (x) \) är en jämn eller udda funktion, och ekvationen \ (f (x) = 0 \) har en rot \ (x = b \), så kommer denna ekvation nödvändigtvis att ha en andra rot \ (x = -b \).
\ (\ blacktriangleright \) En funktion \ (f (x) \) kallas periodisk på \ (X \) om \ (f (x) = f (x + T) \), där \ (x, x + T) \ i X \). Den minsta \ (T \) för vilken denna likhet gäller kallas funktionens huvudperiod (huvudperiod).
En periodisk funktion har valfritt tal av formen \ (nT \), där \ (n \ i \ mathbb (Z) \) också kommer att vara en punkt.
Exempel: vilken som helst trigonometrisk funktionär periodisk;
funktionerna \ (f (x) = \ sin x \) och \ (f (x) = \ cos x \) huvudperiodär \ (2 \ pi \), funktionerna \ (f (x) = \ mathrm (tg) \, x \) och \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) har huvudperioden \ (\ pi \).
För att rita en graf av en periodisk funktion kan du plotta dess graf på valfritt längdsegment \ (T \) (huvudperiod); sedan fullbordas grafen för hela funktionen genom att skifta den konstruerade delen med ett heltal av punkter till höger och vänster:
\ (\ blacktriangleright \) Domänen \ (D (f) \) för en funktion \ (f (x) \) är en uppsättning som består av alla värden av argumentet \ (x \) för vilka funktionen är meningsfull (definierade).
Exempel: funktionen \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) har omfattning: \ (x \ in
Uppgift 1 # 6364
Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen
För vilka värden av parametern \ (a \) ekvationen
Det har enda beslut?
Observera att eftersom \ (x ^ 2 \) och \ (\ cos x \) är jämna funktioner, så om ekvationen har en rot \ (x_0 \), kommer den också att ha en rot \ (- x_0 \).
Låt verkligen \ (x_0 \) vara en rot, det vill säga likheten \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \) höger. Ersätt \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).
Således, om \ (x_0 \ ne 0 \), så kommer ekvationen redan att ha minst två rötter. Därför \ (x_0 = 0 \). Sedan:
Vi fick två värden för parametern \ (a \). Observera att vi har använt det faktum att \ (x = 0 \) är exakt roten till den ursprungliga ekvationen. Men vi har aldrig använt det faktum att han är den enda. Därför är det nödvändigt att ersätta de resulterande värdena för parametern \ (a \) i den ursprungliga ekvationen och kontrollera för vilken \ (a \) roten \ (x = 0 \) verkligen kommer att vara unik.
1) Om \ (a = 0 \), så har ekvationen formen \ (2x ^ 2 = 0 \). Uppenbarligen har denna ekvation bara en rot \ (x = 0 \). Därför passar värdet \ (a = 0 \) oss.
2) Om \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), så har ekvationen formen \ Vi skriver om ekvationen som \ Eftersom \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), då \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \)... Följaktligen tillhör värdena på den högra sidan av ekvationen (*) segmentet \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).
Eftersom \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), är vänster sida av ekvationen (*) större än eller lika med \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).
Således kan likhet (*) endast gälla när båda sidor av ekvationen är \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). Detta innebär att \ [\ börjar (fall) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (cases) \ quad \ Vänster högerpil \ quad \ begin (cases) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (fall) \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad x = 0 \] Därför passar värdet \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) oss.
Svar:
\ (a \ i \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)
Uppdrag 2 # 3923
Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen
Hitta alla värden för parametern \ (a \), för var och en grafen för funktionen \
symmetrisk om ursprunget.
Om grafen för en funktion är symmetrisk om ursprunget, är en sådan funktion udda, det vill säga \ (f (-x) = - f (x) \) gäller för alla \ (x \) från domänen för fungera. Det är därför nödvändigt att hitta de värden för parametern för vilka \ (f (-x) = - f (x). \)
\ [\ start (justerad) & 3 \ mathrm (tg) \, \ vänster (- \ dfrac (ax) 5 \ höger) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ vänster (3 \ mathrm (tg) \, \ vänster (\ dfrac (ax) 5 \ höger) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ höger) \ quad \ Högerpil \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ vänster (3 \ mathrm (tg) \, \ vänster (\ dfrac (ax) 5 \ höger) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ höger) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a - 3x) 4 = 0 \ quad \ högerpil \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ vänster (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ höger) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ vänster (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4- \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ höger) = 0 \ quad \ Högerpil \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ end (justerad) \]
Den sista ekvationen måste vara uppfylld för alla \ (x \) från domänen \ (f (x) \), därför, \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ Högerpil a = \ dfrac n2, n \ i \ mathbb (Z) \).
Svar:
\ (\ dfrac n2, n \ i \ mathbb (Z) \)
Uppdrag 3 # 3069
Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen
Hitta alla värden för parametern \ (a \), för var och en av vilka ekvationen \ har 4 lösningar, där \ (f \) är en jämn periodisk funktion med period \ (T = \ dfrac (16) 3 \) definieras på hela tallinjen , och \ (f (x) = ax ^ 2 \) för \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)
(Utmaning från prenumeranter)
Eftersom \ (f (x) \) är en jämn funktion, är dess graf symmetrisk kring ordinataaxeln, därför för \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant 0 \)\ (f (x) = ax ^ 2 \). Alltså för \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83 \), och detta är ett segment med längden \ (\ dfrac (16) 3 \), funktion \ (f (x) = ax ^ 2 \).
1) Låt \ (a> 0 \). Då kommer grafen för funktionen \ (f (x) \) att se ut så här: 
Sedan, för att ekvationen ska ha 4 lösningar, är det nödvändigt att grafen \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) går genom punkten \ (A \): 
Därav, \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad \ vänster [\ börja (samlad) \ begin (justerad) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ end (justerad) \ end (samlad) \ höger. \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad \ vänster [\ start (samlad) \ begin (justerad) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (justerad) \ slut (samlad) \ höger. \] Eftersom \ (a> 0 \), är \ (a = \ dfrac (18) (23) \) lämplig.
2) Låt \ (a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Det är nödvändigt att grafen \ (g (x) \) går genom punkten \ (B \): \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt (-8) \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad \ vänster [\ start (samlad) \ begin (justerad) & a = \ dfrac (18) ( 23 ) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (justerad) \ end (samlad) \ höger. \] Sedan \ (a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Fallet när \ (a = 0 \) inte passar, eftersom \ (f (x) = 0 \) för alla \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) och ekvationen kommer bara att ha 1 rot.
Svar:
\ (a \ i \ vänster \ (- \ dfrac (18) (41); \ dfrac (18) (23) \ höger \) \)
Uppdrag 4 # 3072
Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen
Hitta alla värden \ (a \), för var och en av vilka ekvationen \
har minst en rot.
(Utmaning från prenumeranter)
Vi skriver om ekvationen som \
och överväg två funktioner: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) och \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
Funktionen \ (g (x) \) är jämn, har en minimipunkt \ (x = 0 \) (desutom \ (g (0) = 49 \)).
Funktionen \ (f (x) \) för \ (x> 0 \) minskar, och för \ (x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Faktum är att för \ (x> 0 \) expanderar den andra modulen positivt (\ (| x | = x \)), därför, oavsett hur den första modulen expanderar, kommer \ (f (x) \) att vara lika med \ ( kx + A \), där \ (A \) är ett uttryck från \ (a \), och \ (k \) är antingen \ (- 9 \) eller \ (- 3 \). För \ (x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Hitta värdet \ (f \) vid maxpunkten: \ 
För att ekvationen ska ha minst en lösning måste graferna för funktionerna \ (f \) och \ (g \) ha minst en skärningspunkt. Därför behöver du: \ \\]
Svar:
\ (en \ i \ (- 7 \) \ kopp \)
Uppgift 5 # 3912
Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen
Hitta alla värden för parametern \ (a \), för var och en av vilka ekvationen \
har sex olika lösningar.
Låt oss byta ut \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). Sedan tar ekvationen formen \
Vi kommer gradvis att skriva ner de förhållanden under vilka den ursprungliga ekvationen kommer att ha sex lösningar.
Observera att andragradsekvationen \ ((*) \) kan ha högst två lösningar. Varje kubikekvation \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) kan ha högst tre lösningar. Därför, om ekvationen \ ((*) \) har två olika lösningar (positiv !, eftersom \ (t \) måste vara större än noll) \ (t_1 \) och \ (t_2 \), då, efter att ha gjort det omvända ändra, vi får: \ [\ vänster [\ börja (samlad) \ börja (justerad) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ end (justerad) \ end (samlad) \ höger. \] Eftersom vilket positivt tal som helst kan representeras som \ (\ sqrt2 \) i viss utsträckning, t.ex. \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), då kommer den första ekvationen i uppsättningen att skrivas om som \
Som vi redan har sagt har varje kubikekvation högst tre lösningar, därför kommer varje ekvation från mängden att ha högst tre lösningar. Det betyder att hela uppsättningen inte kommer att ha fler än sex lösningar.
Detta betyder att för att den ursprungliga ekvationen ska ha sex lösningar måste andragradsekvationen \ ((*) \) ha två olika lösningar, och varje erhållen kubikekvation (från mängden) måste ha tre olika lösningar (desutom ingen lösning av en ekvationen måste sammanfalla med vilken - eller av den andras beslut!)
Uppenbarligen, om andragradsekvationen \ ((*) \) har en lösning, kommer vi inte att få sex lösningar av den ursprungliga ekvationen.
Därmed blir lösningsplanen tydlig. Låt oss punkt för punkt skriva ner de villkor som måste uppfyllas.
1) För att ekvationen \ ((*) \) ska ha två olika lösningar måste dess diskriminant vara positiv: \
2) Du behöver också båda rötterna för att vara positiva (eftersom \ (t> 0 \)). Om produkten av två rötter är positiv och deras summa är positiv, kommer själva rötterna att vara positiva. Därför behöver du: \ [\ början (fall) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ slut (fall) \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad a<10\]
Vi har alltså redan försett oss med två olika positiva rötter \ (t_1 \) och \ (t_2 \).
3)
Låt oss ta en titt på en sådan ekvation \
För vilken \ (t \) kommer det att ha tre olika lösningar? Vi har alltså bestämt att båda rötterna i ekvationen \ ((*) \) måste ligga i intervallet \ ((1; 4) \). Hur skriver man detta villkor? hade fyra olika icke-nollrötter som tillsammans med \ (x = 0 \), representerar en aritmetisk progression. Observera att funktionen \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) är jämn, så om \ (x_0 \) är roten till ekvationen \ ((* ) \ ), då kommer \ (- x_0 \) också att vara dess rot. Då är det nödvändigt att rötterna till denna ekvation är tal ordnade i stigande ordning: \ (- 2d, -d, d, 2d \) (sedan \ (d> 0 \)). Det är då dessa fem siffror kommer att bilda en aritmetisk progression (med skillnaden \ (d \)). För att dessa rötter ska vara talen \ (- 2d, -d, d, 2d \), är det nödvändigt att talen \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) är rötterna till ekvationen \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \). Sedan genom Vietas teorem: Vi skriver om ekvationen som \
och överväg två funktioner: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) och \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) ... För att ekvationen ska ha minst en lösning måste graferna för funktionerna \ (f \) och \ (g \) ha minst en skärningspunkt. Därför behöver du: \
När vi löser denna uppsättning system får vi svaret: \\]
Svar: \ (en \ i \ (- 2 \) \ kopp \) Beroendet av variabeln y av variabeln x, där varje värde på x motsvarar ett enda värde på y kallas en funktion. Notationen är y = f (x). Varje funktion har ett antal grundläggande egenskaper, såsom monotoni, paritet, periodicitet och andra. Betrakta paritetsegenskapen mer i detalj. En funktion y = f (x) anropas även om den uppfyller följande två villkor: 2. Värdet på funktionen i punkten x som hör till funktionens domän måste vara lika med värdet på funktionen i punkten -x. Det vill säga, för varje punkt x, från funktionens domän, måste följande likhet vara uppfylld f (x) = f (-x). Om du bygger en graf av en jämn funktion kommer den att vara symmetrisk kring Oy-axeln. Till exempel är funktionen y = x ^ 2 jämn. Låt oss kolla upp det. Definitionsarean är hela talaxeln, vilket betyder att den är symmetrisk kring punkten O. Ta godtyckligt x = 3. f (x) = 3 ^ 2 = 9. f (-x) = (- 3) ^ 2 = 9. Följaktligen f (x) = f (-x). Därmed har vi båda villkoren uppfyllda, vilket gör att funktionen är jämn. Nedan visas en graf över funktionen y = x ^ 2. Figuren visar att grafen är symmetrisk kring Oy-axeln. En funktion y = f (x) kallas udda om den uppfyller följande två villkor: 1. Domänen för denna funktion måste vara symmetrisk med avseende på punkten O. Det vill säga, om någon punkt a hör till funktionens domän, så måste motsvarande punkt -a också tillhöra den givna funktionens domän. 2. För varje punkt x, från funktionens domän, måste följande likhet vara uppfylld f (x) = -f (x). Grafen för den udda funktionen är symmetrisk kring punkten O - origo. Till exempel är funktionen y = x ^ 3 udda. Låt oss kolla upp det. Definitionsarean är hela talaxeln, vilket betyder att den är symmetrisk kring punkten O. Ta godtyckligt x = 2. f (x) = 2 ^ 3 = 8. f (-x) = (- 2) ^ 3 = -8. Följaktligen f (x) = -f (x). Vi har alltså båda villkoren uppfyllda, vilket gör att funktionen är udda. Nedan visas en graf över funktionen y = x ^ 3. Figuren visar tydligt att den udda funktionen y = x ^ 3 är symmetrisk kring origo. Som i en eller annan grad var bekanta för dig. Där märktes också att beståndet av funktioners egenskaper gradvis kommer att fyllas på. De två nya fastigheterna kommer att diskuteras i detta avsnitt. Definition 1. Funktionen y = f (x), x є X, anropas även om för något värde på x från mängden X gäller likheten f (-x) = f (x). Definition 2. Funktionen y = f (x), x є X, kallas udda om för något värde på x från mängden X gäller likheten f (-x) = -f (x). Bevisa att y = x 4 är en jämn funktion. Lösning. Vi har: f (x) = x 4, f (-x) = (-x) 4. Men (s) 4 = x 4. För varje x gäller alltså likheten f (-x) = f (x), dvs. funktionen är jämn. På liknande sätt kan man bevisa att funktionerna y - x 2, y = x 6, y - x 8 är jämna. Bevisa att y = x 3 är en udda funktion. Lösning. Vi har: f (x) = x 3, f (-x) = (-x) 3. Men (-x) 3 = -x 3. För varje x gäller alltså likheten f (-x) = -f (x), dvs. funktionen är udda. På samma sätt kan man bevisa att funktionerna y = x, y = x 5, y = x 7 är udda. Vi har redan mer än en gång sett att nya termer inom matematiken oftast har ett "jordiskt" ursprung, dvs. de kan förklaras på något sätt. Detta är fallet med både jämna och udda funktioner. Titta: y - x 3, y = x 5, y = x 7 är udda funktioner, medan y = x 2, y = x 4, y = x 6 är jämna funktioner. Och i allmänhet, för alla funktioner av formen y = x "(nedan kommer vi specifikt att studera dessa funktioner), där n är ett naturligt tal, kan vi dra slutsatsen: om n är ett udda tal, då är funktionen y = x" udda; om n är ett jämnt tal, då är funktionen y = xn jämn. Det finns också funktioner som varken är jämna eller udda. Sådan är till exempel funktionen y = 2x + 3. Faktum är att f (1) = 5, och f (-1) = 1. Som du kan se, här Så, varken identiteten f (-x) = f (x), inte heller identiteten f (-x) = -f (x). Så en funktion kan vara jämn, udda eller ingetdera. Att undersöka frågan om en given funktion är jämn eller udda kallas vanligtvis för att undersöka en funktion för paritet. Definitionerna 1 och 2 handlar om funktionens värden i punkterna x och -x. Det antas alltså att funktionen är definierad både i punkten x och i punkten -x. Det betyder att punkten -x tillhör funktionens domän samtidigt som punkten x. Om en numerisk mängd X, tillsammans med vart och ett av dess element x, också innehåller det motsatta elementet -x, så kallas X för en symmetrisk mängd. Låt oss säga att (-2, 2), [-5, 5], (-oo, + oo) är symmetriska mängder, medan)
Betrakta funktionen \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Kan faktoriseras: \
Därför är dess nollor \ (x = -1; 2 \).
Om vi hittar derivatan \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \), får vi två extrema punkter \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Därför ser grafen ut så här: 
Vi ser att vilken horisontell linje som helst \ (y = k \), där \ (0
Därför behöver du: \ [\ börjar (fall) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Låt oss också omedelbart lägga märke till att om talen \ (t_1 \) och \ (t_2 \) är olika, då siffrorna \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) och \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) kommer att vara annorlunda, därav ekvationerna \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \) och \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \) kommer att ha felaktiga rötter.
\ ((**) \)-systemet kan skrivas om enligt följande: \ [\ börja (fall) 1
Vi kommer inte att skriva ut rötterna explicit.
Betrakta funktionen \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Dess graf är en parabel med uppåtgående grenar, som har två skärningspunkter med abskissaxeln (vi skrev detta villkor i punkt 1)). Hur ska dess graf se ut så att skärningspunkterna med abskissaxeln ligger i intervallet \ ((1; 4) \)? Så: 
För det första måste värdena \ (g (1) \) och \ (g (4) \) för funktionen vid punkterna \ (1 \) och \ (4 \) vara positiva, och för det andra, vertex av parabeln \ (t_0 \ ) måste också vara i intervallet \ ((1; 4) \). Därför kan vi skriva systemet: \ [\ börjar (fall) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funktionen \ (g (x) \) har en maxpunkt \ (x = 0 \) (desutom, \ (g _ (\ text (vert)) = g (0) = - a ^ 2 + 20a-4 \)):
\ (g "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \)... Derivat noll: \ (x = 0 \). För \ (x<0\)
имеем: \(g">0 \), för \ (x> 0 \): \ (g "<0\)
.
Funktionen \ (f (x) \) för \ (x> 0 \) ökar, och för \ (x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
För \ (x> 0 \) kommer faktiskt den första modulen att öppnas positivt (\ (| x | = x \)), därför, oavsett hur den andra modulen öppnas, kommer \ (f (x) \) att vara lika till \ ( kx + A \), där \ (A \) är ett uttryck från \ (a \), och \ (k \) är lika med antingen \ (13-10 = 3 \) eller \ (13 + 10 = 23 \). För \ (x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Hitta värdet \ (f \) vid minimipunkten: \
Jämn funktionsgraf
Udda funktionsgraf
