Jämn eller udda funktion. Jämn och udda funktioner

En funktion kallas jämn (udda) om för någon och likheten

.

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring axeln
.

Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget.

Exempel 6.2. Undersök om en funktion är jämn eller udda

1)
; 2)
; 3)
.

Lösning.

1) Funktionen definieras på
... Hitta
.

De där.
... Innebär att, denna funktionär jämnt.

2) Funktionen definieras på

De där.
... Den här funktionen är således udda.

3) funktionen är definierad för, dvs. för

,
... Därför är funktionen varken jämn eller udda. Låt oss kalla det en allmän funktion.

3. Studie av funktionen för monotoni.

Fungera
kallas ökande (minskande) på något intervall om i detta intervall vardera mer mening argumentet motsvarar det större (mindre) värdet på funktionen.

Funktioner som ökar (minskar) på ett visst intervall kallas monotona.

Om funktionen
differentierbar på intervallet
och har en positiv (negativ) derivata
, sedan funktionen
ökar (minskar) i detta intervall.

Exempel 6.3... Hitta intervallen för monotoni av funktioner

1)
; 3)
.

Lösning.

1) Denna funktion är definierad på hela talaxeln. Låt oss hitta derivatan.

Derivatan är noll if
och
... Definitionsområde - numerisk axel, delad med punkter
,
i intervaller. Låt oss bestämma tecknet för derivatan i varje intervall.

I intervallet
derivatan är negativ, funktionen minskar på detta intervall.

I intervallet
derivatan är positiv, därför ökar funktionen på detta intervall.

2) Denna funktion är definierad om
eller

.

Bestäm tecknet för det kvadratiska trinomialet i varje intervall.

Alltså domänen för funktionen

Hitta derivatan
,
, om
, dvs.
, men
... Låt oss bestämma derivatans tecken i intervallen
.

I intervallet
derivatan är negativ, därför minskar funktionen på intervallet
... I intervallet
derivatan är positiv, funktionen ökar med intervallet
.

4. Utredning av funktionen för ett extremum.

Punkt
kallas funktionens maximala (minimum) punkt
om det finns en sådan grannskap av punkten det för alla
från detta kvarter ojämlikheten

.

Maximi- och minimumpunkterna för en funktion kallas extrempunkter.

Om funktionen
vid punkten har ett extremum, då är derivatan av funktionen vid denna punkt noll eller existerar inte (ett nödvändigt villkor för existensen av ett extremum).

Punkterna där derivatan är noll eller inte existerar kallas kritiska.

5. Tillräckliga förutsättningar för existensen av ett extremum.

Regel 1... Om, när du passerar (från vänster till höger) genom den kritiska punkten derivat
ändrar tecknet från "+" till "-", sedan vid punkten fungera
har ett maximum; om från "-" till "+", då minimum; om
byter inte tecken, då finns det inget extremum.

Regel 2... Låt vid punkten
första derivatan av en funktion
är noll
, och den andra derivatan existerar och är icke-noll. Om
, då Är maxpoängen om
, då Är minimipunkten för funktionen.

Exempel 6.4 ... Utforska max- och minimumfunktionerna:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Lösning.

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på intervallet
.

Hitta derivatan
och lös ekvationen
, dvs.
.Härifrån
- kritiska punkter.

Låt oss bestämma tecknet för derivatan i intervallen,
.

Vid övergångsställen
och
derivatan ändrar tecken från "-" till "+", därför enligt regel 1
- minimumpoäng.

När du korsar en punkt
derivatan ändrar tecken från "+" till "-", därför
Är maxpoängen.

,
.

2) Funktionen är definierad och kontinuerlig i intervallet
... Hitta derivatan
.

Lösa ekvationen
, hitta
och
- kritiska punkter. Om nämnaren
, dvs.
, då existerar inte derivatan. Så,
- den tredje kritiska punkten. Låt oss bestämma derivatans tecken i intervallen.

Följaktligen har funktionen ett minimum vid punkten
, maximalt i poäng
och
.

3) Funktionen är definierad och kontinuerlig if
, dvs. på
.

Hitta derivatan

.

Låt oss hitta de kritiska punkterna:

Punkt grannskap
tillhör inte definitionsdomänen, så de är inte så extrema. Så låt oss utforska de kritiska punkterna
och
.

4) Funktionen är definierad och kontinuerlig på intervallet
... Vi använder regel 2. Hitta derivatan
.

Låt oss hitta de kritiska punkterna:

Hitta andraderivatan
och definiera dess tecken vid punkterna

På punkter
funktion har ett minimum.

På punkter
funktionen har ett maximum.

Jämna och udda funktionsdiagram har följande funktioner:

Om funktionen är jämn är dess graf symmetrisk kring ordinataaxeln. Om funktionen är udda, är dess graf symmetrisk om ursprunget.

Exempel. Rita funktionen \ (y = \ vänster | x \ höger | \).

Lösning. Betrakta funktionen: \ (f \ vänster (x \ höger) = \ vänster | x \ höger | \) och ersätt motsatsen \ (- x \) istället för \ (x \). Som ett resultat av enkla transformationer får vi: $$ f \ vänster (-x \ höger) = \ vänster | -x \ höger | = \ vänster | x \ höger | = f \ vänster (x \ höger) $$ I andra ord, om argumentet ersätts med motsatt tecken kommer funktionen inte att ändras.

Detta betyder att denna funktion är jämn och dess graf kommer att vara symmetrisk kring ordinataaxeln (vertikal axel). Grafen för denna funktion visas i figuren till vänster. Detta innebär att när du ritar en graf kan du bara rita hälften, och den andra delen (till vänster om den vertikala axeln, rita redan symmetriskt till höger sida). Genom att bestämma symmetrin för en funktion innan du börjar rita dess graf kan du avsevärt förenkla processen att plotta eller undersöka en funktion. Om det är svårt att utföra kontrollen i allmänna termer, kan du göra det enklare: ersätta in i ekvationen samma värden olika tecken. Till exempel -5 och 5. Om värdena för funktionen är desamma kan du hoppas att funktionen blir jämn. Ur en matematisk synvinkel är detta tillvägagångssätt inte helt korrekt, men från en praktisk synvinkel är det bekvämt. För att öka tillförlitligheten av resultatet kan du ersätta flera par av sådana motsatta värden.

Exempel. Rita funktionen \ (y = x \ vänster | x \ höger | \).

Lösning. Låt oss kontrollera samma sak som i föregående exempel: $$ f \ vänster (-x \ höger) = x \ vänster | -x \ höger | = -x \ vänster | x \ höger | = -f \ vänster (x \ höger ) $$ Detta betyder att den ursprungliga funktionen är udda (funktionstecknet har ändrats till det motsatta).

Slutsats: funktionen är symmetrisk om ursprunget. Du kan bara bygga en halva och rita den andra symmetriskt. Denna symmetri är svårare att rita. Det betyder att du tittar på diagrammet från andra sidan av arket och till och med vänder det upp och ner. Eller så kan du också göra detta: ta den ritade delen och rotera den runt origo 180 grader moturs.

Exempel. Rita funktionen \ (y = x ^ 3 + x ^ 2 \).

Lösning. Låt oss utföra samma teckenändringskontroll som i de två föregående exemplen. $$ f \ vänster (-x \ höger) = \ vänster (-x \ höger) ^ 3 + \ vänster (-x \ höger) ^ 2 = -x ^ 2 + x ^ 2 $$ Som ett resultat får vi att: $$ f \ vänster (-x \ höger) \ not = f \ vänster (x \ höger), f \ vänster (-x \ höger) \ inte = -f \ vänster (x \ höger) $$ Detta betyder att funktionen varken är jämn eller udda.

Slutsats: funktionen är symmetrisk varken om koordinatsystemets ursprung eller centrum. Detta hände eftersom det är summan av två funktioner: jämn och udda. Samma situation blir om du subtraherar två olika funktioner... Men multiplikation eller division kommer att leda till ett annat resultat. Till exempel ger produkten av en jämn och en udda funktion en udda. Eller så leder kvoten av två udda till en jämn funktion.

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisning bilderna används endast i informationssyfte och ger kanske inte en uppfattning om alla möjligheter med presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Mål:

• att bilda begreppet jämnhet och uddahet för en funktion, att lära ut förmågan att definiera och använda dessa egenskaper när utforskning av funktioner, kartläggning;
• utveckla elevernas kreativa aktivitet, logiskt tänkande, förmågan att jämföra, generalisera;
• att utbilda hårt arbete, matematisk kultur; utveckla kommunikationsförmåga .

Utrustning: multimediainstallation, interaktiv whiteboard, åhörarkopior.

Arbetsformer: frontal och grupp med inslag av sök- och forskningsverksamhet.

Informationskällor:

1.Algebra9klass A.G. Mordkovich. Lärobok.
2.Algebra årskurs 9 A.G. Mordkovich. Problembok.
3.Algebra årskurs 9. Uppdrag för elevers lärande och utveckling. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

UNDER Lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick

Att sätta upp mål och mål för lektionen.

2. Läxkontroll

Nr 10.17 (Problembok 9kl. A. G. Mordkovich).

a) på = f(NS), f(NS) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1.D ( f) = [– 2; + ∞)
2. E ( f) = [– 3; + ∞)
3. f(NS) = 0 för NS ~ 0,4
4. f(NS)> 0 för NS > 0,4 ; f(NS) < 0 при – 2 < NS < 0,4.
5. Funktionen ökar med NS € [– 2; + ∞)
6. Funktionen är begränsad underifrån.
7. på naim = - 3, på naib finns inte
8. Funktionen är kontinuerlig.

(Använde du funktionsforskningsalgoritmen?) Glida.

2. Låt oss kontrollera tabellen som du blev tillfrågad på bilden.

Fyll bordet
	Domän	Funktion nollor	Konstansintervall		Koordinater för skärningspunkter för grafen med Oy
		x = –5, x = 2	х € (–5; 3) U U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		х € (–5; 3) U U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Kunskapsuppdatering

- Givna funktioner.
- Ange omfattningen för varje funktion.
- Jämför värdet för varje funktion för varje par av argumentvärden: 1 och - 1; 2 och - 2.
- För vilka av dessa funktioner inom definitionsdomänen uppfylls jämlikheterna f(– NS) = f(NS), f(– NS) = – f(NS)? (ange de erhållna uppgifterna i tabellen) Glida

		f(1) och f(– 1)	f(2) och f(– 2)	diagram	f(– NS) = –f(NS)	f(– NS) = f(NS)
1. f(NS) =
2. f(NS) = NS 3
3. f(NS) = | NS |
4.f(NS) = 2NS – 3
5. f(NS) =	NS ≠ 0
6. f(NS)=	NS > –1		och inte definierad.

4. Nytt material

- Utför detta jobb, killar, vi har identifierat en annan egenskap hos en funktion som är obekant för dig, men inte mindre viktig än de andra - det här är den jämna och udda funktionen. Skriv ner ämnet för lektionen: "Jämna och udda funktioner", vår uppgift är att lära sig hur man bestämmer jämnheten och uddaheten för en funktion, för att ta reda på betydelsen av denna egenskap i studiet av funktioner och plottning.
Så, låt oss hitta definitionerna i läroboken och läsa (s. 110) ... Glida

Def. 1 Fungera på = f (NS) som ges på uppsättningen X kallas även om för något värde NSЄ X exekveras likhet f (–x) = f (x). Ge exempel.

Def. 2 Fungera y = f (x) given på mängden X kallas udda om för något värde NSЄ X likheten f (–x) = –f (x) gäller. Ge exempel.

Var har vi stött på termerna "jämn" och "udda"?
Vilka av dessa funktioner tror du kommer att vara jämna? Varför? Vad är udda? Varför?
För alla funktioner i formuläret på= x n, var n- ett heltal kan man hävda att funktionen är udda för n- udda och funktionen är jämn för n- även.
- Visa funktioner på= och på = 2NS- 3 är varken jämna eller udda, eftersom jämställdhet är inte tillfredsställt f(– NS) = – f(NS), f(– NS) = f(NS)

Studiet av frågan om en funktion är jämn eller udda kallas studien av en funktion för paritet. Glida

Definitionerna 1 och 2 handlade om värdena för funktionen för x och - x, därför antas det att funktionen även är definierad för värdet NS, och vid - NS.

Def 3. Om en numerisk mängd, tillsammans med vart och ett av dess element x, också innehåller det motsatta elementet -x, då NS kallas en symmetrisk mängd.

Exempel:

(–2; 2), [–5; 5]; (∞; ∞) är symmetriska mängder och [–5; 4] är asymmetriska.

- Är definitionsdomänen för jämna funktioner en symmetrisk mängd? De udda?
- Om D ( f) Är en asymmetrisk uppsättning, vilken funktion då?
- Alltså, om funktionen på = f(NS) Är jämn eller udda, då är dess definitionsdomän D ( f) Är en symmetrisk uppsättning. Är det omvända sant, om domänen för en funktion är en symmetrisk mängd, då är den jämn eller udda?
– Så närvaron av en symmetrisk uppsättning definitionsdomäner är ett nödvändigt villkor, men inte tillräckligt.
– Så hur undersöker man en funktion för paritet? Låt oss försöka komponera en algoritm.

Glida

Algoritm för att analysera en funktion för paritet

1. Bestäm om funktionsdomänen är symmetrisk. Om inte, är funktionen varken jämn eller udda. Om ja, gå till steg 2 i algoritmen.

2. Skriv ett uttryck för f(–NS).

3. Jämför f(–NS).och f(NS):

• om f(–NS).= f(NS), då är funktionen jämn;
• om f(–NS).= – f(NS), då är funktionen udda;
• om f(–NS) ≠ f(NS) och f(–NS) ≠ –f(NS), då är funktionen varken jämn eller udda.

Exempel:

Undersök funktionen för paritet a) på= x 5 +; b) på=; v) på= .

Lösning.

a) h (x) = x 5 +,

1) D (h) = (–∞; 0) U (0; + ∞), symmetrisk mängd.

2) h (- x) = (–x) 5 + - x5 - = - (x 5 +),

3) h (- x) = - h (x) => funktion h (x)= x 5 + udda.

b) y =,

på = f(NS), D (f) = (–∞; –9)? (–9; + ∞), en asymmetrisk mängd, så funktionen är varken jämn eller udda.

v) f(NS) =, y = f (x),

1) D ( f) = (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Alternativ 2

1. Är den givna mängden symmetrisk: a) [–2; 2]; b) (∞; 0], (0; 7)?

a); b) y = x · (5 - x 2). 2. Undersök funktionen för paritet:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. I fig. plottas på = f(NS), för alla NS uppfyller villkoret NS? 0.
Rita en funktionsgraf på = f(NS), om på = f(NS) Är en jämn funktion.

3. I fig. plottas på = f(NS), för alla x som uppfyller villkoret x? 0.
Rita en funktionsgraf på = f(NS), om på = f(NS) Är en udda funktion.

Ömsesidig verifiering av glida.

6. Uppdrag hemma: №11.11, 11.21,11.22;

Bevis på den geometriska betydelsen av paritetsegenskapen.

*** (Ställa in alternativet USE).

1. Den udda funktionen y = f (x) definieras på hela tallinjen. För alla icke-negativa värden på variabeln x, sammanfaller värdet av denna funktion med värdet på funktionen g ( NS) = NS(NS + 1)(NS + 3)(NS- 7). Hitta värdet på funktionen h ( NS) = för NS = 3.

7. Sammanfattning

även om för alla \ (x \) från dess definitionsdomän är det sant: \ (f (-x) = f (x) \).

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring \ (y \)-axeln:

Exempel: funktionen \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) är jämn, eftersom \ (f (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Funktionen \ (f (x) \) anropas udda om för alla \ (x \) från dess domän är det sant: \ (f (-x) = - f (x) \).

Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget:

Exempel: funktionen \ (f (x) = x ^ 3 + x \) är udda eftersom \ (f (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Funktioner som varken är jämna eller udda kallas funktioner allmän syn... En sådan funktion kan alltid representeras unikt som summan av en jämn och en udda funktion.

Till exempel är funktionen \ (f (x) = x ^ 2-x \) summan av en jämn funktion \ (f_1 = x ^ 2 \) och en udda \ (f_2 = -x \).

\ (\ blacktriangleright \) Några egenskaper:

1) Produkten och kvoten av två funktioner med samma paritet - jämn funktion.

2) Produkten och kvoten av två funktioner med olika paritet - udda funktion.

3) Summan och skillnaden av jämna funktioner är en jämn funktion.

4) Summan och skillnaden mellan udda funktioner är en udda funktion.

5) Om \ (f (x) \) är en jämn funktion, så har ekvationen \ (f (x) = c \ (c \ i \ mathbb (R) \)) en unik rot om och endast om, när \ (x = 0 \).

6) Om \ (f (x) \) är en jämn eller udda funktion, och ekvationen \ (f (x) = 0 \) har en rot \ (x = b \), så kommer denna ekvation nödvändigtvis att ha en andra rot \ (x = -b \).

\ (\ blacktriangleright \) En funktion \ (f (x) \) kallas periodisk på \ (X \) om \ (f (x) = f (x + T) \), där \ (x, x + T) \ i X \). Den minsta \ (T \) för vilken denna likhet gäller kallas funktionens huvudperiod (huvudperiod).

En periodisk funktion har valfritt tal av formen \ (nT \), där \ (n \ i \ mathbb (Z) \) också kommer att vara en punkt.

Exempel: vilken som helst trigonometrisk funktionär periodisk;
funktionerna \ (f (x) = \ sin x \) och \ (f (x) = \ cos x \) huvudperiodär \ (2 \ pi \), funktionerna \ (f (x) = \ mathrm (tg) \, x \) och \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) har huvudperioden \ (\ pi \).

För att rita en graf av en periodisk funktion kan du plotta dess graf på valfritt längdsegment \ (T \) (huvudperiod); sedan fullbordas grafen för hela funktionen genom att skifta den konstruerade delen med ett heltal av punkter till höger och vänster:

\ (\ blacktriangleright \) Domänen \ (D (f) \) för en funktion \ (f (x) \) är en uppsättning som består av alla värden av argumentet \ (x \) för vilka funktionen är meningsfull (definierade).

Exempel: funktionen \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) har omfattning: \ (x \ in

Uppgift 1 # 6364

Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen

För vilka värden av parametern \ (a \) ekvationen

Det har enda beslut?

Observera att eftersom \ (x ^ 2 \) och \ (\ cos x \) är jämna funktioner, så om ekvationen har en rot \ (x_0 \), kommer den också att ha en rot \ (- x_0 \).
Låt verkligen \ (x_0 \) vara en rot, det vill säga likheten \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \) höger. Ersätt \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).

Således, om \ (x_0 \ ne 0 \), så kommer ekvationen redan att ha minst två rötter. Därför \ (x_0 = 0 \). Sedan:

Vi fick två värden för parametern \ (a \). Observera att vi har använt det faktum att \ (x = 0 \) är exakt roten till den ursprungliga ekvationen. Men vi har aldrig använt det faktum att han är den enda. Därför är det nödvändigt att ersätta de resulterande värdena för parametern \ (a \) i den ursprungliga ekvationen och kontrollera för vilken \ (a \) roten \ (x = 0 \) verkligen kommer att vara unik.

1) Om \ (a = 0 \), så har ekvationen formen \ (2x ^ 2 = 0 \). Uppenbarligen har denna ekvation bara en rot \ (x = 0 \). Därför passar värdet \ (a = 0 \) oss.

2) Om \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), så har ekvationen formen \ Vi skriver om ekvationen som \ Eftersom \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), då \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \)... Följaktligen tillhör värdena på den högra sidan av ekvationen (*) segmentet \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).

Eftersom \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), är vänster sida av ekvationen (*) större än eller lika med \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).

Således kan likhet (*) bara gälla när båda sidor av ekvationen är \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). Detta innebär att \ [\ börjar (fall) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (cases) \ quad \ Vänster högerpil \ quad \ begin (cases) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (fall) \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad x = 0 \] Därför passar värdet \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) oss.

Svar:

\ (a \ i \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)

Uppdrag 2 # 3923

Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen

Hitta alla värden för parametern \ (a \), för var och en grafen för funktionen \

symmetrisk om ursprunget.

Om grafen för en funktion är symmetrisk om ursprunget, är en sådan funktion udda, det vill säga \ (f (-x) = - f (x) \) gäller för alla \ (x \) från domänen för fungera. Det är därför nödvändigt att hitta de värden för parametern för vilka \ (f (-x) = - f (x). \)

\ [\ börjar (justerad) & 3 \ mathrm (tg) \, \ vänster (- \ dfrac (ax) 5 \ höger) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ vänster (3 \ mathrm (tg) \, \ vänster (\ dfrac (ax) 5 \ höger) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ höger) \ quad \ Högerpil \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ vänster (3 \ mathrm (tg) \, \ vänster (\ dfrac (ax) 5 \ höger) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ höger) \ quad \ Högerpil \\ \ Högerpil \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a - 3x) ​​4 = 0 \ quad \ högerpil \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ vänster (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ höger) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ vänster (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4- \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ höger) = 0 \ quad \ Högerpil \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ end (justerad) \]

Den sista ekvationen måste vara uppfylld för alla \ (x \) från domänen \ (f (x) \), därför, \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ Högerpil a = \ dfrac n2, n \ i \ mathbb (Z) \).

Svar:

\ (\ dfrac n2, n \ i \ mathbb (Z) \)

Uppdrag 3 # 3069

Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen

Hitta alla värden för parametern \ (a \), för var och en av vilka ekvationen \ har 4 lösningar, där \ (f \) är en jämn periodisk funktion med period \ (T = \ dfrac (16) 3 \) definieras på hela tallinjen , och \ (f (x) = ax ^ 2 \) för \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)

(Utmaning från prenumeranter)

Eftersom \ (f (x) \) är en jämn funktion, är dess graf symmetrisk kring ordinataaxeln, därför för \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant 0 \)\ (f (x) = ax ^ 2 \). Alltså för \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83 \), och detta är ett segment med längden \ (\ dfrac (16) 3 \), funktion \ (f (x) = ax ^ 2 \).

1) Låt \ (a> 0 \). Då kommer grafen för funktionen \ (f (x) \) att se ut så här:


Sedan, för att ekvationen ska ha 4 lösningar, är det nödvändigt att grafen \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) går genom punkten \ (A \):


Därav, \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad \ vänster [\ börja (samlad) \ begin (justerad) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ end (justerad) \ end (samlad) \ höger. \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad \ vänster [\ start (samlad) \ begin (justerad) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (justerad) \ slut (samlad) \ höger. \] Eftersom \ (a> 0 \), är \ (a = \ dfrac (18) (23) \) lämplig.

2) Låt \ (a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Det är nödvändigt att grafen \ (g (x) \) går genom punkten \ (B \): \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt (-8) \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad \ vänster [\ start (samlad) \ begin (justerad) & a = \ dfrac (18) ( 23 ) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (justerad) \ end (samlad) \ höger. \] Sedan \ (a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Fallet när \ (a = 0 \) inte passar, eftersom då \ (f (x) = 0 \) för alla \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) och ekvationen kommer bara att ha 1 rot.

Svar:

\ (a \ i \ vänster \ (- \ dfrac (18) (41); \ dfrac (18) (23) \ höger \) \)

Uppdrag 4 # 3072

Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen

Hitta alla värden \ (a \), för var och en av vilka ekvationen \

har minst en rot.

(Utmaning från prenumeranter)

Vi skriver om ekvationen som \ och överväg två funktioner: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) och \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
Funktionen \ (g (x) \) är jämn, har en minimipunkt \ (x = 0 \) (desutom \ (g (0) = 49 \)).
Funktionen \ (f (x) \) för \ (x> 0 \) minskar, och för \ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Faktum är att för \ (x> 0 \) expanderar den andra modulen positivt (\ (| x | = x \)), därför, oavsett hur den första modulen expanderar, kommer \ (f (x) \) att vara lika med \ ( kx + A \), där \ (A \) är ett uttryck från \ (a \), och \ (k \) är antingen \ (- 9 \) eller \ (- 3 \). För \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Hitta värdet \ (f \) vid maxpunkten: \

För att ekvationen ska ha minst en lösning måste graferna för funktionerna \ (f \) och \ (g \) ha minst en skärningspunkt. Därför behöver du: \ \\]

Svar:

\ (en \ i \ (- 7 \) \ kopp \)

Uppgift 5 # 3912

Uppgiftsnivå: Likvärdig med tentamen

Hitta alla värden för parametern \ (a \), för var och en av vilka ekvationen \

har sex olika lösningar.

Låt oss byta ut \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). Sedan tar ekvationen formen \ Vi kommer gradvis att skriva ner de förhållanden under vilka den ursprungliga ekvationen kommer att ha sex lösningar.
Observera att andragradsekvationen \ ((*) \) kan ha högst två lösningar. Varje kubikekvation \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) kan ha högst tre lösningar. Därför, om ekvationen \ ((*) \) har två olika lösningar (positiv !, eftersom \ (t \) måste vara större än noll) \ (t_1 \) och \ (t_2 \), då, efter att ha gjort det omvända ändra, vi får: \ [\ vänster [\ börja (samlad) \ börja (justerad) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ end (justerad) \ end (samlad) \ höger. \] Eftersom vilket positivt tal som helst kan representeras som \ (\ sqrt2 \) i viss utsträckning, t.ex. \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), då kommer den första ekvationen i uppsättningen att skrivas om som \ Som vi redan har sagt har varje kubikekvation högst tre lösningar, därför kommer varje ekvation från mängden att ha högst tre lösningar. Det betyder att hela uppsättningen inte kommer att ha fler än sex lösningar.
Detta betyder att för att den ursprungliga ekvationen ska ha sex lösningar måste andragradsekvationen \ ((*) \) ha två olika lösningar, och varje erhållen kubikekvation (från mängden) måste ha tre olika lösningar (desutom ingen lösning av en ekvationen måste sammanfalla med vilken - eller av den andras beslut!)
Uppenbarligen, om andragradsekvationen \ ((*) \) har en lösning, kommer vi inte att få sex lösningar av den ursprungliga ekvationen.

Därmed blir lösningsplanen tydlig. Låt oss punkt för punkt skriva ner de villkor som måste uppfyllas.

1) För att ekvationen \ ((*) \) ska ha två olika lösningar måste dess diskriminant vara positiv: \

2) Du behöver också båda rötterna för att vara positiva (eftersom \ (t> 0 \)). Om produkten av två rötter är positiv och deras summa är positiv, kommer själva rötterna att vara positiva. Därför behöver du: \ [\ början (fall) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ slut (fall) \ quad \ Vänsterhögerpil \ quad a<10\]

Vi har alltså redan försett oss med två olika positiva rötter \ (t_1 \) och \ (t_2 \).

3) Låt oss ta en titt på en sådan ekvation \ För vilken \ (t \) kommer det att ha tre olika lösningar?
Betrakta funktionen \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Kan faktoriseras: \ Därför är dess nollor \ (x = -1; 2 \).
Om vi ​​hittar derivatan \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \), får vi två extrema punkter \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Därför ser grafen ut så här:


Vi ser att vilken horisontell linje som helst \ (y = k \), där \ (0 \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t \) hade tre olika lösningar, är det nödvändigt att \ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Därför behöver du: \ [\ börjar (fall) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Låt oss också omedelbart lägga märke till att om talen \ (t_1 \) och \ (t_2 \) är olika, då siffrorna \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) och \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) kommer att vara annorlunda, därav ekvationerna \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \) och \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \) kommer att ha felaktiga rötter.
\ ((**) \)-systemet kan skrivas om enligt följande: \ [\ börja (fall) 1

Således har vi bestämt att båda rötterna i ekvationen \ ((*) \) måste ligga i intervallet \ ((1; 4) \). Hur skriver man detta villkor?
Vi kommer inte att skriva ut rötterna explicit.
Betrakta funktionen \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Dess graf är en parabel med uppåtgående grenar, som har två skärningspunkter med abskissaxeln (vi skrev detta villkor i punkt 1)). Hur ska dess graf se ut så att skärningspunkterna med abskissaxeln ligger i intervallet \ ((1; 4) \)? Så:


För det första måste värdena \ (g (1) \) och \ (g (4) \) för funktionen vid punkterna \ (1 \) och \ (4 \) vara positiva, och för det andra, vertexet på parabeln \ (t_0 \ ) måste också vara i intervallet \ ((1; 4) \). Därför kan vi skriva systemet: \ [\ börjar (fall) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\ (a \) har alltid minst en rot \ (x = 0 \). För att uppfylla problemets villkor är det därför nödvändigt att ekvationen \

hade fyra olika icke-nollrötter som tillsammans med \ (x = 0 \), representerar en aritmetisk progression.

Observera att funktionen \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) är jämn, så om \ (x_0 \) är roten till ekvationen \ ((* ) \ ), då kommer \ (- x_0 \) också att vara dess rot. Då är det nödvändigt att rötterna till denna ekvation är tal ordnade i stigande ordning: \ (- 2d, -d, d, 2d \) (sedan \ (d> 0 \)). Det är då dessa fem siffror kommer att bilda en aritmetisk progression (med skillnaden \ (d \)).

För att dessa rötter ska vara talen \ (- 2d, -d, d, 2d \), är det nödvändigt att talen \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) är rötterna till ekvationen \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \). Sedan genom Vietas teorem:

Vi skriver om ekvationen som \ och överväg två funktioner: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) och \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) ...
Funktionen \ (g (x) \) har en maxpunkt \ (x = 0 \) (desutom, \ (g _ (\ text (vert)) = g (0) = - a ^ 2 + 20a-4 \)):
\ (g "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \)... Derivat noll: \ (x = 0 \). För \ (x<0\) имеем: \(g">0 \), för \ (x> 0 \): \ (g "<0\) .
Funktionen \ (f (x) \) för \ (x> 0 \) ökar, och för \ (x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Faktum är att för \ (x> 0 \) kommer den första modulen att öppnas positivt (\ (| x | = x \)), därför, oavsett hur den andra modulen öppnas, kommer \ (f (x) \) att vara lika till \ ( kx + A \), där \ (A \) är ett uttryck från \ (a \), och \ (k \) är lika med antingen \ (13-10 = 3 \) eller \ (13 + 10 = 23 \). För \ (x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Hitta värdet \ (f \) vid minimipunkten: \

För att ekvationen ska ha minst en lösning måste graferna för funktionerna \ (f \) och \ (g \) ha minst en skärningspunkt. Därför behöver du: \ När vi löser denna uppsättning system får vi svaret: \\]

Svar:

\ (en \ i \ (- 2 \) \ kopp \)

Jämn funktion.

Även kallas en funktion vars tecken inte ändras när tecknet ändras x.

x jämställdhet gäller f(–x) = f(x). Skylt x påverkar inte skylten y.

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring koordinataxeln (fig. 1).

Exempel på en jämn funktion:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Förklaring:
Låt oss ta en funktion y = x 2 eller y = –x 2 .
För vilket värde som helst x funktionen är positiv. Skylt x påverkar inte skylten y... Grafen är symmetrisk kring koordinataxeln. Detta är en jämn funktion.

Udda funktion.

Udda kallas en funktion vars tecken ändras när tecknet ändras x.

Med andra ord, för vilken mening som helst x jämställdhet gäller f(–x) = –f(x).

Grafen för den udda funktionen är symmetrisk kring origo (fig. 2).

Exempel på en udda funktion:

y= synd x

y = x 3

y = –x 3

Förklaring:

Ta funktionen y = - x 3 .
Alla värden på det kommer att ha ett minustecken. Det är tecknet x påverkar tecknet y... Om den oberoende variabeln är ett positivt tal, är funktionen också positiv, om den oberoende variabeln är ett negativt tal, är funktionen också negativ: f(–x) = –f(x).
Funktionsgrafen är symmetrisk om ursprunget. Detta är en udda funktion.

Egenskaper för jämna och udda funktioner:

NOTERA:

Alla funktioner är inte udda eller jämna. Det finns funktioner som inte följer denna gradering. Till exempel rotfunktionen på = √NS gäller inte vare sig jämna eller udda funktioner (Fig. 3). När du listar egenskaperna för sådana funktioner bör en lämplig beskrivning ges: varken jämn eller udda.

Periodiska funktioner.

Som ni vet är periodicitet upprepningen av vissa processer med ett visst intervall. Funktionerna som beskriver dessa processer kallas periodiska funktioner... Det vill säga att det här är funktioner vars grafer innehåller element som upprepas med vissa numeriska intervall.