За да използвате визуализацията на презентации, създайте си акаунт в Google (акаунт) и влезте в него: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
Сфери, описани около полиедри.
Определение. Полиедърът се нарича вписан в сфера (а сферата е описана около полиедър), ако всички върхове на полиедъра принадлежат на тази сфера. Последствие. Центърът на описаната сфера е точка, еднакво отдалечена от всички върхове на полиедъра. О О О. ... ...
Теорема 1. Множеството от точки, еднакво отдалечени от две дадени точки, е равнина, перпендикулярна на отсечка с краища в тези точки, минаваща през средата му (равнината на перпендикулярите на този отсечка). AB ┴ α AO = OB α A B O
Теорема 2. Множеството от точки, еднакво отдалечени от n дадени точки, лежащи на една окръжност, е права, перпендикулярна на равнината на тези точки и минаваща през центъра на описаната около тях окръжност. C E A B D O a. ... ... ... ... ... C E A B D. ... ... ... ...
Призма, вписана в сфера. OA = OB =… = OX = R sp. O 1. О. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1. X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1. О. O 1
Последствия. 1) Сфера може да бъде описана близо до права триъгълна призма, тъй като винаги можете да опишете кръг около триъгълник. 2) Сфера може да бъде описана близо до всяка правилна призма, тъй като правилната призма е права и окръжност винаги може да бъде описана близо до правилен полиедър. О. О. ...
Проблем номер 1. Топката е описана близо до призма, в основата на която лежи правоъгълен триъгълник с катети 6 и 8. Страничният ръб на призмата е 24. Намерете радиуса на топката. Дадена е: ∆ ABC - правоъгълна; AC = 6, BC = 8, AA 1 = 24. Намерете: R w =? Решение: 1) OO 1 ┴AB 1; OO 1 = AA 1 = 24. 2) ABC: AB = 10. 3) O w OB: R w = O w B = √OO w 2 + OB 2 = = √144 + 25 = 13 Отговор: 13. O 1 O.. ... R w O w S 1 B 1 A 1 A C B
Проблем номер 3. Размерите на правоъгълния паралелепипед са 2,3 и 5. Намерете радиуса на описаната сфера. Дадено е: AB = a = 2; BC = b = 3; CC 1 = c = 5. Намерете: R w =? Решение: 1) AC 2 = a 2 + b 2 + c 2. 2) A 1 C 2 = 25 + 9 + 4 = 38 (Свойство на диагоналите на правоъгълен паралелепипед) 3) A 1 C = √38; R w = O w C = √38 / 2 Отговор: √38 / 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3. ... ... О w
Проблем номер 3. Основната страна на правилната триъгълна призма е a, а страничният ръб е 2a. Намерете радиуса на описаната сфера. Дадено е: AB = BC = AC = a, AA 1 ┴ABC; AA 1 = 2a. Намерете: R w =? Решение: 1) AB = AO √3; AO = a / √3. 2) R w = √ a 2 + a 2/3 = 2a / √ 3 Отговор: 2a / √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1
Последствия. 1) Сфера винаги може да бъде описана близо до триъгълна пирамида, тъй като кръгът винаги може да бъде описан близо до триъгълник. 2) Сфера винаги може да бъде описана близо до правилна пирамида. 3) Ако страничните ръбове на пирамидата са равни (равно наклонени към основата), тогава в близост до такава пирамида винаги може да се опише сфера. * В последните два случая центърът на сферата лежи върху правата линия, съдържаща височината на пирамидата. О. О.
Задачи (сферата, описана около пирамидата). Близо до пирамидата PABC е описана топка, чиято основа е равностранен триъгълник ABC със страна 4√3. Страничният ръб PA е перпендикулярен на равнината на основата на пирамидата и е равен на 6. Намерете радиуса на топката. Дадено е: AB = BC = AC = 4 √3; PA ┴ (ABC); PA = 6. Намерете: R w =? Решение: 1) OO SF ┴ (ABC); O е центърът на окръжност, описана около ∆ABC; K O SF ┴ PA; KP = AK (KO SF Един от средните перпендикуляри на страничния ръб PA); O SF е центърът на описаната сфера. 2) OO SF ┴ (ABC); OO SF принадлежи към (AKO); PA ┴ (ABC); AK принадлежи към (AKO); означава KA || OO SF; ... O SF. O K. P. A. B. C
Задачи (сферата, описана около пирамидата). 3) KO c f ┴AP; KO c f принадлежи към (AOK); AO ┴AP; AO принадлежи към (AOK); означава KO c ф || АО; 4) От (2) и (3): AOO c ф K-правоъгълник, AK = PA / 2 = 3; 5) AO = AB / √3 = 4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w = 5 Отговор: 5
Задачи (сферата, описана около пирамидата). В правилна четириъгълна пирамида страничното ребро е наклонено към основата под ъгъл от 45 ˚. Височината на пирамидата е h. Намерете радиуса на описаната сфера. Дадено: PABCD - правилна пирамида; (AP ^ (ABC)) = 45 ˚; PO = h. Намерете: R w =? Решение: 1) AO = OP = h; AP = h √ 2; 2) ∆PAP 1 - правоъгълен; PP 1 е диаметърът на топката; PP 1 = 2 R w; AP 2 = PP 1 * OP; (h √ 2) 2 = 2 R w * h; R w = 2h 2 / 2h = h. Отговор: з. ° С. B A. .D .P .P 1. О
Задачи (сферата, описана около пирамидата). На собствена. Радиусът на сфера, описана около правилен тетраедър, е R. Намерете общата повърхност на тетраедъра.
Задачи (сферата, описана около пирамидата). На собствена. Дадено: DABC - правилен тетраедър; R е радиусът на сферата. Намерете: S пълен тетр. =? Решение: 1) Тъй като тетраедърът е правилен, центърът на описаната сфера принадлежи на правата линия, съдържаща височината на пирамидата; 2) S пълен тетр. = a 2 √ 3/4 * 4 = a 2 √ 3; 3) Точки D, A, D 1 принадлежат на една и съща окръжност - сечението на сферата от равнината DAD 1, така че ъгълът DAD 1 е вписаният ъгъл на базата на диаметъра, DD 1; ъгъл DAD 1 = 90 ˚; 4) AO - височина ∆ ADD 1, изтеглена от върха на десния ъгъл. AD 2 = DO * DD 1; 5) AO = a / √ 3; DO = √ a 2 -a 2/3 = a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3 * 2R; a = √ 2 / √ 3 * 2R; а 2 = 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a
Задачи (сферата, описана около пирамидата). На собствена. 6) S пълен тетр. = 8R 2 √ 3/3 Отговор: 8R 2 √ 3/3
Темата "Различни задачи за многогранници, цилиндър, конус и топка" е една от най-трудните в курса по геометрия за 11. клас. Преди да решат геометрични задачи, те обикновено изучават съответните раздели от теорията, които се позовават при решаването на задачи. В учебника на С. Атанасян и др. По тази тема (стр. 138) могат да се намерят само дефиниции на полиедър, описан около сфера, полиедър, вписан в сфера, сфера, вписана в полиедър, и описана сфера близо до полиедър. В методическите препоръки към този учебник (виж книгата „Изучаване на геометрия в 10-11 клас” от С.М. Саакян и В.Ф.Бутузов, стр. 159) се казва кои комбинации от тела се вземат предвид при решаване на задачи № 629-646 и се привлича вниманието на факта, че „при решаване на конкретен проблем преди всичко е необходимо да се гарантира, че учениците имат добра представа за взаимното разположение на телата, посочени в условието“. Следва решението на задачи № 638 (а) и № 640.
Като се има предвид всичко по-горе и факта, че най-трудните задачи за учениците са проблемите за комбиниране на топка с други тела, е необходимо да се систематизират съответните теоретични положения и да се съобщят на учениците.
Определения.
1. Топка се нарича вписана в многогранник, а полиедърът се нарича описан около топка, ако повърхността на топката докосва всички страни на полиедъра.
2. Топка се нарича описана около полиедър, а полиедър се нарича вписан в топка, ако повърхността на топката минава през всички върхове на полиедъра.
3. Топка се нарича вписана в цилиндър, пресечен конус (конус), а цилиндър, пресечен конус (конус), се описва близо до топката, ако повърхността на топката докосва основите (основата) и всички образуващи на цилиндърът, пресечен конус (конус).
(От това определение следва, че големият кръг на топката може да бъде вписан във всяко аксиално сечение на тези тела).
4. Топка се нарича описана около цилиндър, пресечен конус (конус), ако основните кръгове (основен кръг и връх) принадлежат на повърхността на топката.
(От това определение следва, че около всяко аксиално сечение на тези тела може да се опише обиколката на по-голям кръг на топката).
Общи забележки относно позицията на центъра на топката.
1. Центърът на топка, вписана в многогранник, лежи в пресечната точка на ъглови равнините на всички двугранни ъгли на полиедъра. Намира се само вътре в полиедъра.
2. Центърът на топката, описана около полиедъра, лежи в пресечната точка на равнините, перпендикулярни на всички ръбове на полиедъра и минаващи през техните средни точки. Той може да бъде разположен вътре, на повърхността и извън полиедъра.
Комбинация от топка с призма.
1. Топка, вписана в права призма.
Теорема 1. Топка може да бъде вписана в права призма, ако и само ако в основата на призмата може да бъде вписана окръжност и височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност.
Следствие 1.Центърът на топката, вписана в права призма, лежи в средата на височината на призмата, минаваща през центъра на окръжността, вписана в основата.
Следствие 2.По-специално топката може да бъде вписана в прави линии: триъгълна, правилна, четириъгълна (при която сумите на противоположните страни на основата са равни една на друга), при условие че H = 2r, където H е височината на призмата , r е радиусът на окръжността, вписана в основата.
2. Топка, описана около призма.
Теорема 2. Топка може да бъде описана близо до призма, ако и само ако призмата е права и кръг може да бъде описан близо до нейната основа.
Следствие 1... Центърът на топката, описана около права призма, лежи в средата на височината на призмата, изтеглена през центъра на окръжността, описана около основата.
Следствие 2.Сферата, по-специално, може да бъде описана: близо до права триъгълна призма, близо до правилна призма, близо до правоъгълен паралелепипед, близо до права четириъгълна призма, в която сумата от противоположните ъгли на основата е 180 градуса.
От учебника на Л. С. Атанасян за съчетаването на топка с призма може да се предложат задачи No 632, 633, 634, 637 (а), 639 (а, б).
Комбинация от топка с пирамида.
1. Топка, описана около пирамида.
Теорема 3. Топка може да бъде описана близо до пирамида, ако и само ако може да се опише кръг близо до нейната основа.
Следствие 1.Центърът на топката, описана около пирамидата, лежи в точката на пресичане на права, перпендикулярна на основата на пирамидата, минаваща през центъра на окръжността, описана около тази основа, и равнина, перпендикулярна на всеки страничен ръб, проведен през средата на тази ръб, край.
Следствие 2.Ако страничните ръбове на пирамидата са равни помежду си (или еднакво наклонени към равнината на основата), тогава около такава пирамида може да се опише топка. Центърът на тази топка в този случай лежи в пресечната точка на височината на пирамидата (или нейното продължение) с оста на симетрия на страничния ръб, лежаща в равнината странично ребро и височина.
Следствие 3.По-специално топката може да бъде описана: близо до триъгълна пирамида, близо до правилна пирамида, близо до четириъгълна пирамида, в която сумата от противоположните ъгли е 180 градуса.
2. Топка, вписана в пирамида.
Теорема 4. Ако страничните лица на пирамидата са еднакво наклонени към основата, тогава в такава пирамида може да бъде вписана топка.
Следствие 1.Центърът на топка, вписана в пирамида, чиито странични лица са еднакво наклонени спрямо основата, лежи в пресечната точка на височината на пирамидата с ъглополовящата на линейния ъгъл на всеки двустранен ъгъл в основата на пирамидата, чиято страна е височината на страничната повърхност, изтеглена от върха на пирамидата.
Следствие 2.Топка може да бъде вписана в правилна пирамида.
От учебника на Л. С. Атанасян за съчетаването на топка с пирамида може да се предложат задачи No 635, 637 (б), 638, 639 (в), 640, 641.
Комбинация от топка със пресечена пирамида.
1. Топка, описана около правилна пресечена пирамида.
Теорема 5. Сфера може да бъде описана около всяка правилна пресечена пирамида. (Това условие е достатъчно, но не е необходимо)
2. Топка, вписана в правилна пресечена пирамида.
Теорема 6. Топка може да бъде вписана в правилна пресечена пирамида, ако и само ако апотемът на пирамидата е равен на сбора от апотемите на основите.
За съчетаването на топка със пресечена пирамида има само един проблем в учебника на Л. С. Атанасян (№ 636).
Комбинация от топка с кръгли тела.
Теорема 7. Топка може да бъде описана около цилиндър, пресечен конус (прав кръгъл) или конус.
Теорема 8. Топка може да бъде вписана в цилиндър (прав кръгъл), ако и само ако цилиндърът е равностранен.
Теорема 9. Топка може да бъде вписана във всеки конус (прав кръгъл).
Теорема 10. Топка може да бъде вписана в пресечен конус (прав кръгъл), ако и само ако нейният генератор е равен на сумата от радиусите на основите.
От учебника на Л. С. Атанасян могат да се предложат задачи № 642, 643, 644, 645, 646 за комбинацията на топка с кръгли тела.
За по-успешно изучаване на материала по тази тема е необходимо да се включат устни задачи в хода на уроците:
1. Ръбът на куба е равен на a. Намерете радиусите на топките: вписани в куба и описани около него. (r = a / 2, R = a3).
2. Възможно ли е да се опише сфера (топка) около: а) куб; б) правоъгълен паралелепипед; в) наклонен паралелепипед, в основата на който лежи правоъгълник; г) прав паралелепипед; д) наклонен паралелепипед? (а) да; б) да; в) не; г) не; д) не)
3. Вярно ли е, че една сфера може да бъде описана около всяка триъгълна пирамида? (да)
4. Възможно ли е да се опише сфера около която и да е четириъгълна пирамида? (Не, не около каквато и да е четириъгълна пирамида)
5. Какви свойства трябва да притежава пирамидата, за да опише сфера около нея? (В основата му трябва да има многоъгълник, около който може да се опише кръг)
6. В сферата е вписана пирамида, чийто страничен ръб е перпендикулярен на основата. Как да намеря центъра на сфера? (Центърът на сферата е пресечната точка на две геометрични места на точки в пространството. Първата е перпендикулярът, начертан към равнината на основата на пирамидата, през центъра на описаната около нея окръжност. Втората е равнина, перпендикулярна на този страничен ръб и изтеглена през средата му)
7. При какви условия можете да опишете сфера около призма, в основата на която е трапец? (Първо, призмата трябва да е права, и второ, трапецът трябва да е равнобедрен, за да може да се опише кръг около него)
8. На какви условия трябва да отговаря призмата, за да опише сфера около нея? (Призмата трябва да е права, а основата й трябва да е многоъгълник, около който може да се опише кръг)
9. Близо до триъгълна призма е описана сфера, чийто център се намира извън призмата. Кой триъгълник е основата на призмата? (тъп триъгълник)
10. Можете ли да опишете сфера около наклонена призма? (Не)
11. При какво условие центърът на сфера, описана около права триъгълна призма, ще бъде разположен върху една от страничните страни на призмата? (В основата е правоъгълен триъгълник)
12. Основата на пирамидата е равнобедрен трапец.Ортогоналната проекция на върха на пирамидата върху равнината на основата е точка, разположена извън трапеца. Възможно ли е да се опише сфера около такъв трапец? (Да, можете. Фактът, че ортогоналната проекция на върха на пирамидата се намира извън основата й, няма значение. Важно е, че в основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец - многоъгълник, около който може да бъде описано)
13. Близо до дясната пирамида е описана сфера. Как е разположен нейният център спрямо елементите на пирамидата? (Центърът на сферата е върху перпендикуляра, начертан на равнината на основата през центъра му)
14. При какво условие центърът на сфера, описана около права триъгълна призма, лежи: а) вътре в призмата; б) извън призмата? (В основата на призмата: а) триъгълник с остър ъгъл; б) тъп триъгълник)
15. Около правоъгълен паралелепипед е описана сфера, чиито ръбове са равни на 1 dm, 2 dm и 2 dm. Изчислете радиуса на сферата. (1,5 дм)
16. В кой пресечен конус може да бъде вписана сферата? (В пресечен конус, в чието аксиално сечение може да бъде вписана окръжност. Аксиалното сечение на конуса е равнобедрен трапец, сумата от основите му трябва да е равна на сумата от страничните му страни. С други думи, сумата от радиусите на основите на конуса трябва да е равна на образуващата)
17. В пресечен конус е вписана сфера. Под какъв ъгъл се вижда образуващата на конуса от центъра на сферата? (90 градуса)
18. Какво свойство трябва да притежава правата призма, за да може в нея да се впише сфера? (Първо, в основата на права призма трябва да има многоъгълник, в който може да бъде вписан кръг, и второ, височината на призмата трябва да е равна на диаметъра на окръжността, вписана в основата)
19. Дайте пример за пирамида, в която не може да бъде вписана сфера? (Например, четириъгълна пирамида с правоъгълник или паралелограм в основата)
20. В основата на правата призма лежи ромб. Може ли в тази призма да бъде вписана сфера? (Не, не можете, тъй като в общия случай не можете да опишете кръг около ромб)
21. При какво условие може да се впише сфера в права триъгълна призма? (Ако височината на призмата е два пъти радиуса на окръжността, вписана в основата)
22. При какво условие може да се впише сфера в правилна четириъгълна пресечена пирамида? (Ако сечението на дадена пирамида от равнина, минаваща през средата на страната на основата, перпендикулярна на нея, е равнобедрен трапец, в който може да бъде вписан кръг)
23. В триъгълна пресечена пирамида е вписана сфера. Коя точка на пирамидата е центърът на сферата? (Центърът на сферата, вписана в тази пирамида, е в пресечната точка на три бисектрални равнини на ъглите, образувани от страничните лица на пирамидата с основата)
24. Възможно ли е да се опише сфера около цилиндър (дясно кръгло)? (Да, можеш)
25. Възможно ли е да се опише сфера около конус, пресечен конус (прав кръгъл)? (Да, можете и в двата случая)
26. Може ли сфера да бъде вписана във всеки цилиндър? Какви свойства трябва да притежава цилиндърът, за да впише сфера в него? (Не, не всеки: аксиалното сечение на цилиндъра трябва да е квадратно)
27. Може ли във всеки конус да бъде вписана сфера? Как да определим позицията на центъра на сфера, вписана в конус? (Да, за всяко. Центърът на вписаната сфера е в пресечната точка на височината на конуса и ъглополовящата на ъгъла на наклона на образуващата спрямо равнината на основата)
Авторът смята, че от трите урока по планиране на тема „Различни задачи за полиедри, цилиндър, конус и топка“ два урока трябва да бъдат посветени на решаване на задачи, включващи комбинация от топка с други тела. Не се препоръчва да се доказват посочените по-горе теореми поради недостатъчно време в уроците. Можете да поканите студенти, които притежават достатъчно умения, за да ги докажат, като посочите (по преценка на учителя) курса или плана на доказването.
Топка може да бъде описана около пирамида, само ако около основата й може да се опише кръг.
За да изградите центъра O на тази топка, трябва:
1. Намерете центъра O, окръжност, описана около основата.
2. През точка O начертайте права линия, перпендикулярна на равнината на основата.
3. През средата на който и да е страничен ръб на пирамидата нарисувайте равнина, перпендикулярна на този ръб.
4. Намерете точката O на пресечната точка на построената права и равнина.
Специален случай: страничните ръбове на пирамидата са равни. Тогава:
топката може да бъде описана;
центърът O на топката лежи на височината на пирамидата;
Къде е радиусът на описаната сфера; - странично ребро; H е височината на пирамидата.
5.2. Топка и призма
Топка може да бъде описана близо до призмата, ако и само ако призмата е права и кръг може да бъде описан близо до нейната основа.
Центърът на топката е средата на сегмента, свързващ центровете на окръжностите, описани близо до основите.
където е радиусът на описаната сфера; - радиусът на описаното около основата на окръжността; H е височината на призмата.
5.3. Топка и цилиндър
Топка винаги може да се опише около цилиндър. Центърът на топката е центърът на симетрия на аксиалното сечение на цилиндъра.
5.4. Топка и конус
Топка винаги може да се опише близо до конус. Центърът на топката; служи като център на окръжност, описана около аксиалното сечение на конуса.
Около сфера е описана правилна четириъгълна призма, чийто обем е 65 dm 3. Изчислете съотношението на общата повърхност на призмата към обема на топката
Призмата се нарича правилна, ако нейните основи са правилни многоъгълници, а страничните ръбове са перпендикулярни на основата. Правилният четириъгълник е квадрат. Пресечната точка на диагоналите на квадрата е неговият център, както и центърът на вписаната окръжност. Нека докажем този факт. въпреки че това доказателство е малко вероятно да бъде поискано и може да бъде пропуснато
Като особена форма на успоредник, правоъгълник и ромб, квадратът има своите свойства: диагоналите са равни и са разделени от пресечната точка наполовина и са симетралите на ъглите на квадрата. През точка E начертайте права линия TK, успоредна на AB. AB е перпендикулярна на BC, което означава, че TC също е перпендикулярна на BC (ако една от двете успоредни прави линии е перпендикулярна на всяка трета права линия, тогава втората успоредна права линия е перпендикулярна на тази (трета) права линия). По същия начин ще начертаем права линия MR. Правоъгълните триъгълници BET и AEK са равни по хипотенуза и остър ъгъл (BE = AE - половината от диагоналите, ∠ EBT = ∠ EAK - половината от правия ъгъл), така че ET = EK. Нека докажем по същия начин, че EM = EP. И от равенството на триъгълниците CEP и CET (същият знак), виждаме, че ET = EP, т.е. ET = EP = EK = EM или просто да кажем, че точка M е еднакво отдалечена от страните на квадрата и това е необходимото условие, за да се разпознае като център на окръжността, вписана в този квадрат.
Помислете за правоъгълник AVTK (този четириъгълник е правоъгълник, тъй като всички ъгли в него са прави линии по конструкция). В правоъгълник противоположните страни са равни - AB = CT (трябва да се отбележи, че CT е основният диаметър) - това означава, че основната страна е равна на диаметъра на вписаната окръжност.
Нека прокараме равнините през успоредни (две прави, перпендикулярни на една и съща равнина, успоредни) AA 1, CC 1 и BB 1 и DD 1, съответно (успоредните прави определят само една равнина). Равнините AA 1 C 1 C и BB 1 D 1 D са перпендикулярни на основата ABCD, тъй като преминават през прави (странични ребра), перпендикулярни на него.
От точка H (пресечна точка на диагоналите) в равнината AA 1 C 1 C перпендикулярна на основата ABCD. Тогава ще направим същото в равнината BB 1 D 1 D. От теоремата: ако от точка, принадлежаща на една от двете перпендикулярни равнини, начертаем перпендикуляр на другата равнина, тогава този перпендикуляр лежи изцяло в първата равнина, получаваме, че този перпендикуляр трябва да лежи и в равнината AA 1 C 1 C и в равнината BB 1 D 1 D. Това е възможно само ако този перпендикуляр съвпада с пресечната линия на тези равнини - НЕ. Тези. отсечката НЕ е права линия, върху която лежи центъра на вписаната окръжност (тъй като НЕ е еднакво отдалечена от равнините на страничните лица, а това от своя страна следва от равноотстоянието на точки E и H от върховете на съответните бази (както е доказано: пресечната точка на диагоналите е еднакво отдалечена от страните на квадрата), но от факта, че НЕ е перпендикулярна на основите, можем да заключим, че НЕ е диаметърът на топката. Теорема. A топка може да бъде вписана в правилна призма, ако и само ако нейната височина е равна на диаметъра на окръжност, вписана в основата.топка, то нейната височина е равна на диаметъра на окръжността, вписана в основата. а, а височината на призмата е извън h, тогава използвайки тази теорема, заключаваме а= h и тогава обемът на призмата може да се намери по следния начин: 
Освен това, използвайки факта, че височината е равна на диаметъра на вписаната топка и страната на основата на призмата, намираме радиуса на топката и след това нейния обем: 
Трябва да се каже, че страничните ръбове са равни на височината (сегментите от успоредни прави линии, затворени между успоредни равнини, са равни) и тъй като височината е равна на страната на основата, тогава като цяло всички ръбове на призмата са равни една на друга и всички лица по същество са квадрати с площ а 2. Всъщност такава фигура се нарича куб - частен случай на паралелепипед. Остава да се намери пълната повърхност на куба и да се свърже с обема на топката: 
2. Основна страна 
Задачи
1. Намерете повърхността на права призма, в основата на която е ромб с диагонали, равни на 3 и 4, и страничен ръб равен на 5.
Отговор: 62.
2. В основата на права призма лежи ромб с диагонали, равни на 6 и 8. Повърхността му е 248. Намерете страничния ръб на тази призма.
Отговор: 10.
3. Намерете страничния ръб на правилна четириъгълна призма, ако страните на основата й са 3, а повърхността е 66.
Отговор: 4.
4. Правилна четириъгълна призма е описана около цилиндър, чийто основен радиус и височина са равни на 2. Намерете площта на страничната повърхност на призмата.
Отговор: 32.
5. Правилна четириъгълна призма е описана около цилиндър, чийто основен радиус е 2. Площта на страничната повърхност на призмата е 48. Намерете височината на цилиндъра.
Права призма (правилна шестоъгълна)
Призма, в която страничните ръбове са перпендикулярни на основите, а основите са равни квадрати.
1. Странични лица - равни правоъгълници
2. Основна страна 
Задачи
1. Намерете обема на правилна шестоъгълна призма, чиито основни страни са 1 и страничните ръбове са равни.
Отговор: 4.5.
2. Намерете страничната повърхност на правилна шестоъгълна призма, чиито основни страни са 3 и височината е 6.
Отговор: 108.
3. Намерете обема на правилна шестоъгълна призма с всички ръбове равни на √3.
Отговор: 13.5
4. Намерете обема на полиедър, чиито върхове са точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 на правилна шестоъгълна призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, чиято основна площ е 6, а страничният ръб е 2 .
Права призма (произволна н- въглища)
Призма, в която страничните ръбове са перпендикулярни на основите, а основите са равни n-ъгълници.
1. Ако основата е правилен многоъгълник, тогава страничните лица са равни правоъгълници.
2. Основна страна 
.
пирамида
Пирамидата е полиедър, съставен от n-ъгълник A1A2 ... AnA1 и n триъгълника (A1A2P, A1A3P и др.).
1. Сечението, успоредно на основата на пирамидата, е многоъгълник, подобен на основа. Площите на напречното сечение и основата се означават като квадрати на техните разстояния до върха на пирамидата.
2. Пирамида се нарича правилна, ако основата й е правилен многоъгълник, а върхът е проектиран в центъра на основата.
3. Всички странични ръбове на правилната пирамида са равни, а страничните ръбове са равни равнобедрени триъгълници.
4. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида се нарича апотема.
5. Площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата, умножено на апотема.
Задачи
1. Колко пъти ще се увеличи обемът на правилния тетраедър, ако всичките му ръбове се удвоят?
Отговор: 8.
2. Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са 10, страничните ръбове са 13. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Отговор: 360.
5. Намерете обема на пирамидата, показана на фигурата. Основата му е многоъгълник, чиито съседни страни са перпендикулярни, а един от страничните ръбове е перпендикулярен на основната равнина и е равен на 3.
Отговор: 27.
6. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида със страни на основата, равни на 1 и височина, равна на.
Отговор: 0,25.
7. Страничните ръбове на триъгълната пирамида са взаимно перпендикулярни, всеки от тях е равен на 3. Намерете обема на пирамидата.
Отговор: 4.5.
8. Диагоналът на основата на правилна четириъгълна пирамида е 8. Страничният ръб е 5. Намерете обема на пирамидата.
Отговор: 32.
9. В правилна четириъгълна пирамида височината е 12, обемът е 200. Намерете страничния ръб на пирамидата.
Отговор: 13.
10. Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са 6, страничните ръбове са 5. Намерете повърхността на пирамидата.
Отговор: 84.
11. Обем на правилна шестоъгълна пирамида 6. Страната на основата е 1. Намерете страничния ръб.
12. Колко пъти ще се увеличи повърхността на правилния тетраедър, ако всичките му ръбове се удвоят?
Отговор: 4.
13. Обемът на правилната четириъгълна пирамида е 12. Намерете обема на пирамидата, отсечен от нея от равнината, минаваща през диагонала на основата и средата на противоположния страничен ръб.
Отговор: 3.
14. Колко пъти ще намалее обемът на октаедъра, ако всичките му ръбове се намалят наполовина?
Отговор: 8.
15. Обемът на триъгълна пирамида е 15. Равнината минава през страната на основата на тази пирамида и пресича противоположния страничен ръб в точка, разделяща го в съотношение 1: 2, като се брои от върха на пирамидата. Намерете най-големия от обемите на пирамидите, на които равнината разделя оригиналната пирамида.
Отговор: 10.
16. Намерете височината на правилна триъгълна пирамида, страните на основата на която са 2, а обемът е.
Отговор: 3.
17. В правилна четириъгълна пирамида височината е 6, страничният ръб е 10. Намерете нейния обем.
Отговор: 256.
18. От триъгълна пирамида, чийто обем е 12, триъгълна пирамида се отрязва от равнина, минаваща през върха на пирамидата и средната линия на основата. Намерете обема на изрязаната триъгълна пирамида.
Отговор: 3.
Цилиндър
Цилиндър - тяло, ограничено от цилиндрична повърхност и две окръжности с граници.
| Х |
| Р |
| Обем на тялото | Площ на страничната повърхност | Основна площ | Обща площ |
 |  |  |  |
 |  |  |
1. Генератори на цилиндър - образуващи сегменти, затворени между основите.
2. Височината на цилиндъра е дължината на генератора.
3. Аксиално сечение - правоъгълник, две страни на който са образуващи, а другите две са диаметрите на основите на цилиндъра.
4. Кръгло сечение - сечение, чиято равнина на сечение е перпендикулярна на оста на цилиндъра.
5. Развитие на страничната повърхност на цилиндъра - правоъгълник, представляващ два отсечени ръба на страничната повърхност на цилиндъра по протежение на образуващата.
6. Площта на страничната повърхност на цилиндъра е площта на неговия размах.
7. Общата повърхност на цилиндъра се нарича сбор от площите на страничната повърхност и двете основи.
8. Топка винаги може да се опише около цилиндър. Центърът му се намира в средата на височината. 
, където R е радиусът на сферата, r е радиусът на основата на цилиндъра, H е височината на цилиндъра.
9. Топка може да бъде вписана в цилиндър, ако диаметърът на основата на цилиндъра е равен на неговата височина, 
.
Задачи
1. Част се спуска в цилиндричен съд, съдържащ 6 литра вода. В същото време нивото на течността в съда се е увеличило 1,5 пъти. Какъв е обемът на частта?
Отговор: 3.
2. Намерете обема на цилиндър, чиято основна площ е 1, а образуващата е 6 и е наклонена към основната равнина под ъгъл 30o.
Отговор: 3.
3. Цилиндърът и конусът имат обща основа и височина. Намерете обема на цилиндъра, ако обемът на конуса е 50.
Отговор: 150.
4. В цилиндричен съд с два пъти по-голям диаметър се излива вода, която е била в цилиндричен съд на ниво 12 см. На каква височина ще бъде нивото на водата във втория съд?
5. Площта на аксиалното сечение на цилиндъра е равна. Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра.
Отговор: 2.
6. Правилна четириъгълна призма е описана около цилиндър, чийто основен радиус и височина са равни на 2. Намерете площта на страничната повърхност на призмата.
Отговор: 32.
7. Обиколката на основата на цилиндъра е 3. Площта на страничната повърхност е 6. Намерете височината на цилиндъра.
8. Един цилиндричен кръг е два пъти по-висок от втория, но вторият е един и половина пъти по-широк. Намерете съотношението на обема на втория кръг към обема на първия.
Отговор: 1,125.
9. В цилиндричен съд нивото на течността достига 18 см. На каква височина ще бъде нивото на течността, ако се излее във втори съд, чийто диаметър е 3 пъти по-голям от първия?
Отговор: 2.
конус
Конусът е тяло, ограничено от конична повърхност и окръжност.
  |
| ос на конус |
| Р |
| връх |
| генератори |
| странична повърхност |
| r |
| Обем на тялото | Площ на страничната повърхност | Основна площ | Обща площ |
 |  | |  |
 |  |
1. Площта на страничната повърхност на конуса е площта на неговия размах.
2. Връзката между ъгъла на размах и ъгъла при върха на аксиалното сечение 
.
1. Цилиндърът и конусът имат обща основа и височина. Намерете обема на цилиндъра, ако обемът на конуса е 50.
Отговор: 150.
2. Намерете обема на конус, чиято основна площ е 2, а образуващата е 6 и е наклонена към основната равнина под ъгъл 30o.
Отговор: 2.
3. Обемът на конуса е 12. Начертава се сечение, успоредно на основата на конуса, което разделя височината наполовина. Намерете обема на отсечения конус.
Отговор: 1.5.
4. Колко пъти обемът на конус, описан около правилна четириъгълна пирамида, е по-голям от обема на конус, вписан в тази пирамида?
Отговор: 2.
5. Височината на конуса е 6, образуващата е 10. Намерете неговия обем, разделен на.
Отговор: 128.
6. Цилиндърът и конусът имат обща основа и височина. Намерете обема на конуса, ако обемът на цилиндъра е 48.
Отговор: 16.
7. Диаметърът на основата на конуса е 6, а ъгълът на върха на аксиалното сечение е 90 °. Изчислете обема на конуса, разделен на.
8. Конусът е описан за правилна четириъгълна пирамида с основна страна 4 и височина 6. Намерете обема й, разделен на.
9. Конусът се получава чрез завъртане на равнобедрен правоъгълен триъгълник около катета, равен на 6. Намерете неговия обем, разделен на.
Сфера и топка
Сфера е повърхност, състояща се от всички точки в пространството, разположени на определено разстояние от дадена точка. Топката е тяло, ограничено от сфера.
1. Разрез на сфера от равнина е окръжност, ако разстоянието от центъра на сферата до равнината е по-малко от радиуса на сферата.
2. Сечението на сфера от равнина е окръжност.
3. Допирателната равнина към сферата е равнина, която има само една обща точка със сферата.
4. Радиусът на сферата, изтеглен до точката на допиране на сферата и равнината, е перпендикулярен на допирателната равнина.
5. Ако радиусът на сферата е перпендикулярен на равнината, минаваща през нейния край, лежащ върху сферата, то тази равнина е допирателна към сферата.
6. Полиедърът се нарича описан около сфера, ако сферата докосва всичките й лица.
7. Отсечките на допирателните към сферата, изтеглени от една точка, са равни и образуват равни ъгли с права линия, минаваща през тази точка и центъра на сферата.
8. Сфера е вписана в цилиндрична повърхност, ако докосне всичките си генератори.
9. Сфера е вписана в конична повърхност, ако докосва всичките си генератори.
Задачи
1. Радиусите на двете топки са 6 и 8. Намерете радиуса на топката, чиято повърхност е равна на сбора от площите на техните повърхности.
Отговор: 10.
2. Площта на големия кръг на топката е 1. Намерете повърхността на топката.
3. Колко пъти ще се увеличи повърхността на сферата, ако радиусът й се удвои?
4. Радиусите на трите топки са равни на 3, 4 и 5. Намерете радиуса на топката, чийто обем е равен на сбора от обемите им.
Отговор: 6.
5. Правоъгълен паралелепипед е описан около сфера с радиус 2. Намерете неговата повърхност.
Отговор: 96.
6. Кубът е вписан в топка с радиус. Намерете повърхността на куб.
Отговор: 24.
7. Правоъгълен паралелепипед е описан около сфера с радиус 2. Намерете неговия обем.
8. Обемът на правоъгълния паралелепипед, описан около сферата, е 216. Намерете радиуса на сферата.
Отговор: 3.
9. Площта на повърхността на правоъгълен паралелепипед, описан около сфера, е равна на 96. Намерете радиуса на сферата.
Отговор: 2.
10. Близо до топката е описан цилиндър, чиято странична повърхност е 9. Намерете повърхността на топката.
Отговор: 9.
11. Колко пъти повърхността на топка, описана около куб, е по-голяма от повърхността на топка, вписана в същия куб?
Отговор: 3.
12. Кубът е вписан в топка с радиус. Намерете обема на куба.
Отговор: 8.
Съставни полиедри
Задачи
1. На фигурата е показан полиедър, всички двугранни ъгли на полиедър са прави. Намерете разстоянието между върховете A и C2.
Отговор: 3.
2. Намерете ъгъла CAD2 на полиедъра, показан на фигурата. Всички двугранни ъгли на полиедър са прави. Дайте отговора си в градуси.
Отговор: 60.
3. Намерете повърхността на полиедъра, показан на фигурата (всички двугранни ъгли са прави).
Отговор: 18.
4. Намерете повърхността на полиедъра, показан на фигурата (всички двугранни ъгли са прави).
Отговор: 132
5. Намерете повърхността на пространствения кръст, показан на фигурата и съставен от единични кубчета.
Отговор: 30
6. Намерете обема на полиедъра, показан на фигурата (всички двугранни ъгли са прави).
Отговор: 8
7. Намерете обема на полиедъра, показан на фигурата (всички двугранни ъгли са прави).
Отговор: 78
8. На фигурата е показан полиедър, всички двугранни ъгли на полиедър са прави. Намерете тангенса на ъгъл ABB3.
Отговор: 2
10. На фигурата е показан полиедър, всички двугранни ъгли на полиедър са прави. Намерете тангенса на ъгъла C3D3B3.
Отговор: 3
11. През средната линия на основата на триъгълната призма се прокарва равнина, успоредна на страничното ребро. Намерете страничната повърхност на призмата, ако страничната повърхност на пресечената триъгълна призма е 37.
Отговор: 74.
12. На фигурата е показан полиедър, всички двугранни ъгли на полиедър са прави. Намерете квадрата на разстоянието между B2 и D3.
Отговор: 11.
