1) Доменът на функцията и домейнът на функцията.
Обхватът на функцията е наборът от всички валидни стойности на валидни аргументи х(променлива х), за което функцията y = f (x)дефиниран. Диапазонът от стойности на функция е набор от всички реални стойности гче функцията приема.
В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа.
2) Функционални нули.
Функция нула е стойност на аргумент, при която стойността на функцията е равна на нула.
3) Интервали на постоянство на функцията.
Интервалите на постоянен знак на функция са такива набори от стойности на аргументи, на които стойностите на функцията са само положителни или само отрицателни.
4) Монотонност на функцията.
Нарастваща функция (в определен интервал) е функция, за която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.
Намаляваща функция (в определен интервал) - функция, при която по-голямата стойност на аргумента от този интервал съответства на по-малката стойност на функцията.
5) Паритетна (нечетна) функция.
Четната функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична спрямо началото и за всяко NSот домейна, равенството f (-x) = f (x)... Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста на ординатата.
Нечетна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична спрямо началото и за всяко NSобластта на дефиниция удовлетворява равенството f (-x) = - f (x). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.
6) Ограничени и неограничени функции.
Функцията се нарича ограничена, ако съществува положително число M такова, че | f (x) | ≤ M за всички стойности на x. Ако няма такъв номер, функцията е неограничена.
7) Периодичност на функцията.
Функция f (x) е периодична, ако има ненулево число T такова, че за всяко x от областта на функцията важи следното: f (x + T) = f (x). Това най-малко число се нарича период на функцията. Всички тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули).
19. Основни елементарни функции, техните свойства и графики. Приложение на функциите в икономиката.
Основни елементарни функции. Техните свойства и графики
1. Линейна функция.
Линейна функция наречена функция от формата, където x е променлива, a и b са реални числа.
номер анаречен наклон на права линия, той е равен на тангенса на ъгъла на наклон на тази права линия към положителната посока на оста на абсцисата. Графиката на линейна функция е права линия. Определя се от две точки.
Свойства на линейни функции
1. Област на дефиниция - множеството от всички реални числа: D (y) = R
2. Множеството от стойности е множеството от всички реални числа: E (y) = R
3. Функцията приема нулева стойност за или.
4. Функцията се увеличава (намалява) в цялата област на дефиниция.
5. Линейната функция е непрекъсната в цялата област на дефиниция, диференцируема и.
2. Квадратична функция.
Функция от вида, където x е променлива, коефициентите a, b, c са реални числа, се нарича квадратична.
Изучаването на свойствата на функциите и техните графики заема значително място както в училищната математика, така и в следващите курсове. При това не само в курсовете по математически и функционален анализ и дори не само в други раздели на висшата математика, но и в повечето тясно професионални предмети. Например в икономиката - функции на полезността, разходите, функциите на търсене, предлагане и потребление ..., в радиотехниката - функции за управление и функции на реакция, в статистиката - функции на разпределение ... функции. За да направите това, след като проучите следната таблица, препоръчвам да следвате връзката „Трансформации на функционалната графика“.
| Име на функцията | Функционална формула | Графика на функциите | Име на диаграмата | Коментар |
|---|---|---|---|---|
| Линеен | y = kx | Направо | Най-простият частен случай на линейна зависимост е пряката пропорционалност y = kx, където к≠ 0 - коефициент на пропорционалност. Фигурата показва пример за к= 1, т.е. всъщност дадената графика илюстрира функционалната зависимост, която задава равенството на стойността на функцията на стойността на аргумента. | |
| Линеен | г = kx + б |  |
Направо | Общ случай на линейна зависимост: коефициенти ки б- всякакви реални числа. Тук к = 0.5, б = -1. |
| Квадратичен | y = x 2 |  |
парабола | Най-простият случай на квадратична зависимост е симетрична парабола с връх в началото. |
| Квадратичен | y = ax 2 + bx + ° С |  |
парабола | Общ случай на квадратична зависимост: коефициент а- произволно реално число, което не е равно на нула ( апринадлежи на R, а ≠ 0), б, ° С- всякакви реални числа. |
| Мощност | y = x 3 |  |
Кубична парабола | Най-простият случай е за нечетно цяло число. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики". |
| Мощност | y = x 1/2 |  |
Графика на функциите г = √х |
Най-простият случай за дробна степен ( х 1/2 = √х). Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики". |
| Мощност | y = k / x |  |
Хипербола | Най-простият случай за отрицателна степен на цяло число ( 1 / х = х-1) - обратно пропорционална връзка. Тук к = 1. |
| Показателен | г = д х |  |
Изложител | Експоненциалната зависимост се нарича експоненциална функция за основата д- ирационално число приблизително равно на 2,7182818284590 ... |
| Показателен | y = a x |  |
Графика на експоненциална функция | а> 0 и а а... Ето един пример за y = 2 x (а = 2 > 1). |
| Показателен | y = a x |  |
Графика на експоненциална функция | Експоненциалната функция е дефинирана за а> 0 и а≠ 1. Графиките на функцията по същество зависят от стойността на параметъра а... Ето един пример за y = 0,5 x (а = 1/2 < 1). |
| Логаритмичен | г= ln х |  |
Графика на логаритмичната функция за основата д(естествен логаритъм) понякога се нарича логаритъм. | |
| Логаритмичен | г= дневник а х |  |
Графика на логаритмична функция | Логаритмите са дефинирани за а> 0 и а≠ 1. Графиките на функцията по същество зависят от стойността на параметъра а... Ето един пример за г= дневник 2 х (а = 2 > 1). |
| Логаритмичен | y = дневник а х |  |
Графика на логаритмична функция | Логаритмите са дефинирани за а> 0 и а≠ 1. Графиките на функцията по същество зависят от стойността на параметъра а... Ето един пример за г= log 0,5 х (а = 1/2 < 1). |
| Синус | г= грях х |  |
Синусоида | Синус тригонометрична функция. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики". |
| косинус | г= cos х |  |
косинус | Тригонометрична косинус функция. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики". |
| Тангента | г= tg х |  |
Тангенсоид | Тригонометрична допирателна функция. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики". |
| Котангенс | г= ctg х |  |
Котангенсоид | Тригонометрична котангентна функция. Случаи с коефициенти се изучават в раздел "Движение на функционалните графики". |
| Име на функцията | Функционална формула | Графика на функциите | Име на диаграмата |
|---|
1. Дробна линейна функция и нейната графика
Функция от вида y = P (x) / Q (x), където P (x) и Q (x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.
Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационалните числа. По същия начин рационални функцииТова са функции, които могат да бъдат представени като частно от два полинома.
Ако дробна рационална функция е частно от две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция на формата
y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.
Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax / d + b / d) и че a / c ≠ b / d (в противен случай функцията функцията е константа). Линейната дробна функция е дефинирана за всички реални числа с изключение на x = -d / c. Графиките на линейно-дробни функции не се различават по форма от графиката, която знаете за y = 1 / x. Извиква се кривата, която е графиката на функцията y = 1 / x хипербола... С неограничено увеличение на x в абсолютна стойност, функцията y = 1 / x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се приближават към оста на абсцисата: десният се приближава отгоре, а лявата - отдолу. Правите линии, към които се приближават клоните на хиперболата, се наричат нейни асимптоти.
Пример 1.
y = (2x + 1) / (x - 3).
Решение.
Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1 / x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy 7 пъти и изместване с 2 единични сегмента нагоре.
Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по подобен начин, подчертавайки "цялата част". Следователно, графиките на всички линейно-фракционни функции са хиперболи, изместени по различни начини по координатните оси и разтегнати по оста Oy.
За да се начертае графика на произволна линейна дробна функция, изобщо не е необходимо да се трансформира дробът, който дефинира тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим правите линии, към които се приближават клоните й - асимптотите на хиперболата x = -d / c и y = a / c.
Пример 2.
Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5) / (2x + 2).
Решение.
Функцията е недефинирана, когато x = -1. Следователно, правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви стойности на функцията y (x) се приближават, когато аргументът x се увеличава по абсолютна стойност.
За да направите това, разделете числителя и знаменателя на дроба на x:
y = (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).
Когато x → ∞, дробът ще се стреми към 3/2. Следователно, хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.
Пример 3.
Начертайте графика на функцията y = (2x + 1) / (x + 1).
Решение.
Нека изберем "цялата част" на дроба:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =
2 - 1 / (x + 1).
Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1 / x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетричен дисплей по отношение на Ox и изместване с 2 единични сегмента нагоре по оста Oy.
Домейн D (y) = (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).
Диапазонът от стойности е E (y) = (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).
Точки на пресичане с осите: c Oy: (0; 1); c Ох: (-1/2; 0). Функцията нараства на всеки от интервалите на областта на дефиниция.
Отговор: Фигура 1.
2. Дробна рационална функция
Да разгледаме дробна рационална функция от вида y = P (x) / Q (x), където P (x) и Q (x) са полиноми от степен, по-висока от първата.
Примери за такива рационални функции:
y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) или y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ако функцията y = P (x) / Q (x) е частно от два полинома със степен, по-висока от първата, тогава нейната графика като правило ще бъде по-трудна и понякога е трудно да се начертае точно, с всички подробности понякога е трудно. Често обаче е достатъчно да приложим техники, подобни на тези, с които вече се запознахме по-горе.
Нека дробът е правилен (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P (x) / Q (x) = A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 +… + A m1 / (x - K 1) +… +
L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 +… + L ms / (x - K s) +… +
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 +… + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) +… +
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 +… + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Очевидно графиката на дробно-рационална функция може да се получи като сума от графиките на елементарните дроби.
Построяване на дробни рационални функции
Нека разгледаме няколко начина за изграждане на графики на дробна рационална функция.
Пример 4.
Начертайте графика на функцията y = 1 / x 2.
Решение.
Използваме графиката на функцията y = x 2, за да начертаем графиката y = 1 / x 2 и използваме техниката на "разделяне" на графиките.
Домейн D (y) = (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).
Диапазон от стойности E (y) = (0; + ∞).
Няма пресечни точки с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до + ∞.
Отговор: Фигура 2.
Пример 5.
Начертайте графика на функцията y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Решение.
Област D (y) = (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).
y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = - (x - 1) / 3 = -x / 3 + 1/3.
Тук използвахме трика за факторизиране, отмяна и линеаризиране.
Отговор: Фигура 3.
Пример 6.
Начертайте графиката на функцията y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Решение.
Област на дефиниция D (y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо оста на ординатата. Преди да изградим графиката, нека трансформираме израза отново, подчертавайки цялата част:
y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).
Имайте предвид, че изборът на цялата част във формулата на дробно-рационална функция е един от основните при изграждането на графики.
Ако x → ± ∞, то y → 1, т.е. правата y = 1 е хоризонталната асимптота.
Отговор: Фигура 4.
Пример 7.
Разгледайте функцията y = x / (x 2 + 1) и се опитайте да намерите най-голямата й стойност точно, т.е. най-високата точка на дясната половина на графиката. За да се начертае точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно нашата крива не може да се "издигне" много високо, т.к знаменателят започва да "изпреварва" числителя доста бързо. Нека видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направите това, трябва да решите уравнението x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0. Това уравнение няма реални корени. Това означава, че нашето предположение не е вярно. За да намерите най-голямата стойност на функция, трябва да разберете при кое най-голямо A уравнението A = x / (x 2 + 1) ще има решение. Заменете оригиналното уравнение с квадратно: Ax 2 - x + A = 0. Това уравнение има решение, когато 1 - 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A = 1/2. 
Отговор: Фигура 5, max y (x) = ½.
Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да начертаете функционални графики?
За да получите помощ от преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.
Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато оставите заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.
Разкриване на информация на трети страни
Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.
Изключения:
- Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходящата трета страна – правоприемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на ниво компания
За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.
Определение: Числова функция е съответствие, което свързва едно число y с всяко число x от даден набор.
Обозначаване:
където x е независимата променлива (аргумент), y е зависимата променлива (функция). Множеството от стойности x се нарича област на функцията (означена с D (f)). Наборът от стойности на y се нарича диапазон от стойности на функцията (означен с E (f)). Графиката на функция е набор от точки на равнината с координати (x, f (x))
Методи за настройка на функцията.
- аналитичен метод (с помощта на математическа формула);
- табличен метод (с помощта на таблица);
- описателен начин (с помощта на словесно описание);
- графичен начин (с помощта на графика).
Основните свойства на функцията.
1. Четен и нечетен паритет
Функцията се извиква дори ако
- областта на функцията е симетрична спрямо нула
f (-x) = f (x)
Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста 0г
Функцията се нарича нечетно ако
- областта на функцията е симетрична спрямо нула
- за всяко x от домейна f (-x) = –f (x)
Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.
2. Периодичност
Функция f (x) се нарича периодична с период, ако за всяко x от областта f (x) = f (x + T) = f (x-T) .
Графиката на периодична функция се състои от неограничено повтарящи се идентични фрагменти.
3. Монотонност (увеличаване, намаляване)
Функцията f (x) нараства на множество Р, ако за произволно x 1 и x 2 от това множество, така че x 1
Функцията f (x) намалява върху множеството Р, ако за произволни x 1 и x 2 от това множество, такива че x 1 f (x 2).
4. Крайности
Точката X max се нарича максимална точка на функцията f (x), ако за всички x от някаква окръжност X max е изпълнено неравенството f (x) f (X max).
Стойността Y max = f (X max) се нарича максимум на тази функция.
X max - максимална точка
Макс има максимума
Точката X min се нарича минимална точка на функцията f (x), ако за всички x от някаква окръжност X min е изпълнено неравенството f (x) f (X min).
Стойността Y min = f (X min) се нарича минимум на тази функция.
X min - минимална точка
Y min - минимум
X min, X max - точки на екстремум
Y min, Y max - екстремуми.
5. Нули на функция
Нулата на функцията y = f (x) е стойността на аргумента x, при която функцията изчезва: f (x) = 0.
X 1, X 2, X 3 - нули на функцията y = f (x).
Задачи и тестове по темата "Основни свойства на функция"
- Свойства на функцията - Числови функции 9 клас
Уроци: 2 Задачи: 11 Тестове: 1
- Свойства на логаритмите
Уроци: 2 Задачи: 14 Тестове: 1
- Функция квадратен корен, свойства и графика - Функция квадратен корен. Свойства квадратен корен от степен 8
Уроци: 1 Задачи: 9 Тестове: 1
- Степенни функции, техните свойства и графики - Степени и корени. Силови функции от степен 11
Уроци: 4 Задачи: 14 Тестове: 1
- Експоненциална функция, нейните свойства и графика - Експоненциални и логаритмични функции 11 клас
Уроци: 1 Задачи: 15 Тестове: 1
След като изучавате тази тема, трябва да можете да намерите областта на дефиниране на различни функции, да определяте с помощта на графики интервалите на монотонност на функцията, да изследвате функциите за четна и нечетна четност. Нека разгледаме решението на подобни проблеми в следващите примери.
Примери.
1. Намерете домейна на функцията.
Решение:домейнът на функцията се намира от условието
следователно функцията f (x) е четна.
Отговор:дори.
D (f) = [-1; 1] - симетрично около нула.
| 2) |
следователно функцията не е нито четна, нито нечетна.
Отговор: нито дори, нито дори.
