ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСНИ МЕТОДИ ЗА АНАЛИЗ НА НАДЕЖДНОСТТА
Всеки метод за анализ на надеждността изисква описание на работните условия на системата. Такива условия могат да бъдат формулирани въз основа на:
Структурна схема на функционирането на системата (схема за изчисляване на надеждността);
Словесно описание на функционирането на системата;
Граф-схеми;
Функции на алгебрата на логиката.
Логико-вероятностният метод за анализ на надеждността позволява да се формализира дефиницията и значението на благоприятните хипотези. Същността на този метод е следната.
Състоянието на всеки елемент е кодирано от нула и едно:
Във функциите на логическата алгебра състоянията на елементите са представени в следната форма:
NS и- добро състояние на елемента, отговарящ на код 1;
Състояние на повреда на елемента, съответстващ на код 0.
Условието за работоспособност на системата чрез работоспособността (състоянието) на нейните елементи се записва с помощта на функциите на алгебрата на логиката. Получената функция за работоспособност на системата е двоична функция на двоични аргументи.
Полученият FAL се трансформира по такъв начин, че да съдържа термини, съответстващи на благоприятни хипотези за правилната работа на системата.
Във FAL вместо двоични променливи x iи вероятностите за безотказна работа се заменят съответно п ии вероятността от провал q i.Знаците за конюнкция и дизюнкция се заменят с алгебрично умножение и събиране.
Полученият израз е вероятността за безотказна работа на системата P c (t).
Нека разгледаме логико-вероятностния метод с помощта на примери.
ПРИМЕР 5.10.Структурната схема на системата е основното (последователно) свързване на елементи (фиг. 5.14).
На блоковата схема x i, i = 1, 2,..., NS- състояние и-ти системен елемент, кодиран с 0, ако елементът е в неизправно състояние и 1, ако работи. В този случай системата е в добро работно състояние, ако всички нейни елементи са в добро работно състояние. Тогава FAL е конюнкция от логически променливи, т.е. y = x 1, x 2, ... .., x n,което е перфектна дизюнктивна нормална форма на системата.
Замествайки вместо логически променливи вероятностите за здрави състояния на елементите и заменяйки връзката с алгебрично умножение, получаваме:
ПРИМЕР 5.11.Структурната схема на системата е дублирана система с неравномерно надеждни, постоянно включени подсистеми (фиг. 5.15).
На фиг. 5.15 х 1и х 2- състоянието на елементите на системата. Нека съставим таблица на истинността от две двоични променливи (Таблица 5.2).
В таблица 0 - състоянието на повреда на елемента, 1 - доброто състояние на елемента. В този случай системата е работоспособна, ако и двата елемента (1,1) или един от тях ((0,1) или (1,0)) са работещи. Тогава работното състояние на системата се описва със следната функция на алгебрата на логиката:
Тази функция е перфектна дизюнктивна нормална форма. Заменяйки операциите на дизюнкция и конюнкция с алгебричните операции на умножение и събиране и логическите променливи със съответните вероятности за състоянието на елементите, получаваме вероятността за безотказна работа на системата:
ПРИМЕР 5.12.Блоковата схема на системата е показана на фиг. 5.16.
Нека съставим таблица на истинността (Таблица 53).
В този пример системата е работоспособна, ако всички нейни елементи работят или елементът работи. x iи един от елементите на дублираната двойка (х 2, х 3). Въз основа на таблицата на истината, SDNF ще изглежда така:
Замествайки съответните вероятности вместо двоични променливи и алгебрично умножение и събиране вместо конюнкции и дизюнкции, получаваме вероятността за безотказно функциониране на системата:
Функцията на алгебрата на логиката може да бъде представена в минимална форма, като се използват следните трансформации:
Операциите по абсорбиране и залепване не са приложими в алгебрата. В тази връзка е невъзможно да се минимизира получения FAL и след това да се заменят стойностите на вероятностите вместо логически променливи. Вероятностите на състоянията на елементите трябва да се заменят в SDNF и да се опростят според правилата на алгебрата.
Недостатъкът на описания метод е необходимостта от съставяне на таблица на истинността, която изисква изброяване на всички работни състояния на системата.
5.3.2. Методът на най-кратките пътища и минималните участъци
Този метод беше обсъден по-рано. в секта. 5.2.3.Нека го представим от гледна точка на алгебрата на логиката.
Функцията за работоспособност може да бъде описана с помощта на най-кратките пътища на пешеходното функциониране на системата и минималните участъци от нейния отказ.
Най-краткият път се нарича минимална връзка на работещите: позиции на елементите, които образуват работеща система.
Минималното напречно сечение е минималната връзка на неработещите състояния на елементите, които образуват неработещото състояние на системата.
ПРИМЕР 5.13.Необходимо е да се формира функция за работоспособност на системата, чиято структурна диаграма е показана на фиг. 5.17, използвайки метода на най-кратките пътища и минималните участъци.
Решение.В този случай най-кратките пътища, които образуват работеща система, ще бъдат: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, х 3 х 5 х 2.Тогава функцията за изпълнение ще бъде записана като следната функция на логическа алгебра:
В съответствие с този FAL, блоковата схема на системата на фиг. 5.17 може да бъде представена с блоковата схема на фиг. 5.18.
Минималните секции, които образуват неработеща система, ще бъдат: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, х 3 х 5 х 2.Тогава функцията на неработоспособност ще бъде записана като следната функция на алгебрата на логиката:
В съответствие с този FAL, структурната диаграма на системата ще бъде представена във формата, показана на фиг. 5.19.
Трябва да се има предвид, че структурните диаграми на фиг. 5.18 и фиг. 5.19 не са схеми за изчисляване на надеждността, а изразите за FAL на работещи и неработещи състояния не са изрази за определяне на вероятността за работа без отказ и вероятността за отказ:
Основните предимства на FAL са, че те позволяват формално, без съставяне на таблица на истинността, да се получат SDNF и SKNF (перфектна конюнктивна нормална форма), които позволяват да се получи вероятността за безотказна работа (вероятност за отказ) на системата чрез заместване на съответните стойности на вероятностите за безотказна работа, замяна на операциите на конюнкция и дизюнкция с алгебрични операции на умножение и събиране.
За да се получи SDNF, е необходимо да се умножи всеки дизюнктивен член на FAL по, където x i- липсващия аргумент и разгънете скобите. Отговорът е SDNF. Нека разгледаме този метод с пример.
ПРИМЕР 5.14.Необходимо е да се определи вероятността за безотказна работа на системата, чиято структурна диаграма е показана на фиг. 5.17. Вероятностите за безотказна работа на елементите са равни стр 1, стр 2, стр 3, стр. 4, стр. 5.
Решение.Нека използваме метода на най-краткия път. Функцията на алгебрата на логиката, получена по метода на най-кратките пътища, има формата:
Получаваме SDNF на системата. За да направите това, умножаваме разделителните термини по липсващите:
Разширявайки скобите и извършвайки трансформации според правилата на алгебрата на логиката, получаваме SDNF:
Замяна в SDNF вместо х 1, х 2, x 3, х 4, х 5вероятност за ъптайм стр 1, стр 2, стр 3, стр. 4, стр. 5и използване на отношенията q i = 1–п и, получаваме следния израз за вероятността за безотказна работа на системата.
От горния пример може да се види, че методът на най-краткия път ни освободи от идентифицирането на благоприятни хипотези. Същият резултат може да се получи с помощта на метода на минималното сечение.
5.3.3. Алгоритъм за рязане
Алгоритъмът за рязане ви позволява да получите FAL, като замените в който вместо логически променливи, вероятността за безотказна работа (вероятност за повреда) на елементите, можете да намерите вероятността за безотказна работа на системата. Получаване на SDNF за тази цел не се изисква.
Алгоритъмът за рязане се основава на следната булева теорема: Булева функция y (xb x 2, ..., xn)може да се представи в следната форма:
Нека покажем приложимостта на тази теорема с помощта на три примера:
Прилагайки втория закон за разпределението на алгебрата на логиката, получаваме:
ПРИМЕР 5.15.Определете вероятността за безотказна работа на системата, чиято структурна диаграма е показана на фиг. 5.16 с помощта на алгоритъма за рязане.
Решение.Използвайки метода на най-краткия път, получаваме следния FAL:
Нека приложим алгоритъма за рязане:
Замествайки сега вероятностите вместо логически променливи и заменяйки операциите за конюнкция и дизюнкция с алгебрично умножение и събиране, получаваме:
ПРИМЕР 5.16.Определете вероятността за безотказна работа на системата, чиято структурна диаграма е показана на фиг. 5.17. Използвайте алгоритъма за рязане.
Решение.Функцията на алгебрата на логиката, получена по метода на минималните секции, има формата:
Реализираме алгоритъма за рязане по отношение на NS 5:
Нека опростим получения израз, използвайки правилата на алгебрата на логиката. Нека опростим израза в първите скоби, използвайки правилото за скоби:
Тогава FAL ще има формата:
Този израз съответства на структурната диаграма на фиг. 5.20.
Получената схема също е схема за изчисляване на надеждността, ако логическите променливи се заменят с вероятностите за безотказна работа стр. 1, стр. 2, стр. 3, стр. 4, стр. 5,а променливата е вероятността за неуспех q 5.От фиг. 5.20 се вижда, че блоковата схема на системата е сведена до последователно-паралелна верига. Вероятността за безотказна работа се изчислява по следната формула:
Формулата не се нуждае от обяснение, тя е написана директно според структурната диаграма.
5.3.4. Алгоритъм за ортогонализиране
Алгоритъмът за ортогонализиране, подобно на алгоритъма за рязане, позволява на формалните процедури да формират функция на алгебрата на логиката, като се заменят кои вероятности вместо логически променливи и алгебрично събиране и умножение вместо дизюнкции и конюнкции, за да се получи вероятността за безотказно работа на системата. Алгоритъмът се основава на трансформацията на функциите на булева алгебра в ортогонална дизюнктивна нормална форма (ODNF), която е значително по-къса от SDNF. Преди да изложим методологията, ще формулираме редица дефиниции и ще дадем примери.
две съюзиса наречени ортогонален,ако техният продукт е идентичен на нула. Дизюнктивна нормална формаНаречен ортогонален,ако всички негови членове са по двойки ортогонални. SDNF е ортогонална, но най-дългата от всички ортогонални функции.
Ортогоналният DNF може да се получи с помощта на следните формули:
Тези формули са лесни за доказване, ако използваме втория закон за разпределението на алгебрата на логиката и теоремата на дьо Морган. Алгоритъмът за получаване на ортогонална дизюнктивна нормална форма е следната процедура за трансформация на функцията y (x 1, x 2, ..., x n)в ODNF:
Функция y (x 1, x 2, ..., x n)преобразува се в DNF, използвайки метода на най-краткия път или минимален участък;
Ортогонална дизюнктивна нормална форма се намира с помощта на формули (5.10) и (5.11);
Функцията се минимизира чрез приравняване към нула на ортогоналните членове на ODNF;
Булевите променливи се заменят с вероятностите за безотказна работа (вероятности за отказ) на елементите на системата;
Крайното решение се получава след опростяване на израза, получен в предишния етап.
Нека разгледаме техниката с помощта на пример.
ПРИМЕР 5.17.Определете вероятността за безотказна работа на системата, чиято структурна диаграма е показана на фиг. 5.17. Приложете метода на ортогонализиране.
Решение.В този случай функционирането на системата се описва със следната функция на алгебрата на логиката (метод на минималните секции):
Ние обозначаваме К 1= x 1 x 2, K 2= х 3 х 4, К 3= х 1 х 5 х 4, K 4 = x 3 x 5 x 2... Тогава ODNF ще бъде написан в следната форма:
Стойностите , i= 1,2,3, въз основа на формула (5.10) ще има формата:
Замествайки тези изрази в (5.12), получаваме:
Заменяйки логически променливи в този израз със съответните вероятности и изпълнявайки алгебрични операции на събиране и умножение, получаваме вероятността за безотказна работа на системата:
Отговорът е същият като в пример 5.14.
Примерът показва, че алгоритъмът за ортогонализиране е по-ефективен от методите, обсъдени по-рано. По-подробно са представени логико-вероятностни методи за анализ на надеждността. Логико-вероятностният метод, както всеки друг, има своите предимства и недостатъци. Неговите достойнства бяха споменати по-рано. Нека посочим неговите недостатъци.
Изходните данни в логико-вероятностния метод са вероятностите за безотказна работа на елементите от структурната схема на системата. В много случаи обаче тези данни не могат да бъдат получени. И не защото надеждността на елементите е неизвестна, а защото времето на работа на елемента е случайна величина. Това се случва в случай на дублиране чрез подмяна, наличие на последствия от повреди, неедновременна работа на елементи, наличие на възстановяване с различни дисциплини на обслужване и в много други случаи.
Ето няколко примера, които да илюстрират тези недостатъци. Блоковата схема на системата е показана на фиг. 5.21, където са приети следните обозначения: x i- логически променливи със стойности 0 и 1, съответстващи на неизправността и правилната работа на елемента, x i = 1, 2, 3.
В този случай логическата променлива qc 3 е 0 до момента τ на повреда на основния елемент и 1 през времето (t-τ),където T- времето, през което се определя вероятността за безотказна работа на системата. Време τ е произволна величина, следователно стойността p (τ)неизвестен. В този случай е невъзможно да се състави FAL и още повече SDNF. Нито един от логико-вероятностните методи, които разгледахме, не ни позволява да намерим вероятността за безотказна работа на системата.
Ето още един типичен пример. Енергийната система се състои от регулатор на напрежението Р n и два паралелни генератора G 1 и G 2. Блоковата схема на системата е показана на фиг. 5.22.
В случай на повреда на един от генераторите работи останалият изправен общ товар. Степента на отпадане се увеличава. Ако преди момента τ на отказ на един от генераторите, интензивността на неговия отказ е била равна на λ , след това след отказ λ 1 > λ 2... От времето τ тогава е произволна величина P (τ)неизвестен. Тук, както и в случая на резервиране чрез заместване, логико-вероятностните методи са безсилни. По този начин посочените недостатъци на логико-вероятностните методи намаляват практическото им приложение при изчисляване на надеждността на сложни системи.
5.4. Топологични методи за анализ на надеждността
Топологичните методи ще се наричат методи, които позволяват да се определят показателите за надеждност или чрез графиката на състоянието, или чрез структурната диаграма на системата, без да се правят или решават уравнения. Редица трудове са посветени на топологични методи, които описват различни начини за тяхното практическо прилагане. В този раздел са представени методи, които позволяват определяне на показателите за надеждност от графиката на състоянието.
Топологичните методи позволяват да се изчислят следните показатели за надеждност:
- P (t)- вероятността за безотказна работа за, време T;
- Т 1, - средно време на безотказна работа;
- K g (t)- функция на готовност (вероятността системата да работи по всяко произволно време T);
- Килограма= - коефициент на наличност;
T- MTBF на възстановената система.
Топологичните методи имат следните характеристики:
Простота на изчислителните алгоритми;
Висока видимост на процедурите за определяне на количествени характеристики на надеждност;
Възможност за приблизителни оценки;
Няма ограничения за вида на структурната диаграма (системи, възстановими и невъзстановими, неизлишни и излишни с всякакъв вид резервиране и всякаква честота).
Тази глава ще разгледа ограниченията на топологичните методи:
Степента на откази и възстановяване на елементи от сложна система са постоянни стойности”;
Времевите индикатори за надеждност като вероятността за липса на отказ и функцията за наличност се дефинират в преобразуването на Лаплас;
Трудности, в някои случаи непреодолими, при анализа на надеждността на сложни системи, описани чрез многосвързана графика на състоянието.
Идеята зад топологичните методи е следната.
Графиката на състоянието е един от начините за описание на функционирането на системата. Той определя вида на диференциалните уравнения и техния брой. Скоростите на преход, които характеризират надеждността на елементите и тяхната възстановимост, определят коефициентите на диференциалните уравнения. Началните условия се избират чрез кодиране на възлите на графиката.
Графиката на състоянието съдържа цялата информация за надеждността на системата. И това е основата да вярваме, че показателите за надеждност могат да бъдат изчислени директно от графиката на състоянието.
5.4.1. Определяне на вероятностите за състояния на системата
Вероятността за намиране на възстановена система в състояние ив определен момент от време Tв трансформацията на Лаплас може да се запише по следния начин:
където Δ (s)- основната детерминанта на системата от диференциални уравнения, записана в преобразуванията на Лаплас; Δ i (s)- частен детерминант на системата.
От израз (5.13) се вижда, че P i (s)ще се определи, ако градусите се намерят от графиката на състоянието типполиноми на числителя и знаменателя, както и коефициентите B ij (j = 0,1,2,..., м) и А и(и = 0,1, 2,..., н-1).
Първоначално ще разгледаме метода на определяне P i (s)графиката на състоянието само на онези системи, в графика на състоянията на които няма преходи през състоянията. Те включват всички нерезервни системи, резервни системи с общо резервиране с целочислена и дробна множественост, резервни системи от всякаква структура с обслужване на повредени устройства в обратен ред на пристигането им за ремонт. Този клас системи включва и някои резервни системи с еднакво надеждни устройства с различни дисциплини на тяхната поддръжка.
Функционирането на системата се описва с диференциални уравнения, чийто брой е равен на броя на възлите в графиката. Това означава, че основният детерминант на системата Δ (s)в общия случай ще бъде полином н-та степен, където н- броят на възлите в състоянието на графиката. Лесно е да се покаже, че полиномът на знаменателя не съдържа отсечка. Наистина, тъй като след това знаменателят на функцията P i (s)трябва да съдържа скато фактор, в противен случай крайната вероятност P i (∞)ще бъде нула. Изключение е, когато броят на ремонтите е ограничен.
Числител полиномна степенΔ i се намира от израза:
m i = n - 1 - l i,
където н- броят на възлите в графика на състоянието; л ие броят на преходите от първоначалното състояние на системата, обусловено от началните условия на нейното функциониране, към състоянието ипо най-краткия път.
Ако първоначалното състояние на системата е, когато всички устройства са в добро работно състояние, тогава л и- номер на държавно ниво и, т.е. л ие равен на минималния брой неизправни системни устройства в състоянието и... По този начин степента на полинома на вероятностния числител Р i (s)престой на системата в и-m състояние зависи от номера на състоянието ии от началните условия. Тъй като броят на преходите л иможе би 0,1,2, ..., н-1, след това степента на полиномаΔ i (s) въз основа на (5.14) също може да приеме стойностите м и = 0,1,2,..., н-1.
LWM възниква в резултат на изследване на проблемите със сигурността на сложните системи. Може да се използва за оценка на вероятността от повреда на сложна система.
LPM се отнася до аксиоматичните методи за вземане на решения при условия на стохастична несигурност. Той позволява да се намали тази несигурност чрез своя основан на доказателства подход и експериментални резултати - вероятностните характеристики на алтернативите.
В ръководството LPM се разглежда чрез примера за решаване на проблема с избора на най-надеждната информационна система.
Нека наборът от алтернативи е съвкупността от индикатори за риск на информационните системи (ИС). Необходимо е да се намери такъв IP, чийто риск е минимален.
Под системен рисксумата от рисковете на ресурсите, от които се състои, се счита:
където R и- риск ити ресурс, н- количеството на ресурсите. Всеки ресурс е свързан с множество опасни състояния (ОС), чието изпълнение води до повреда на този ресурс.
Информационни ресурси, услуги, физически или хардуерни ресурси, софтуер могат да служат като примери за ИС ресурси. Един от примерите за информационен ресурс може да бъде IP база данни.
Под риска на i-тия ресурссумата от рисковете, свързани с изпълнението на опасни състояния на даден ресурс, се разбира:
където r i j- риск при изпълнение j-то опасно състояние и-ти ресурс,; М и- броят на опасните състояния ити ресурс.
Примери за ОС за ресурса "DB" са нарушаване на поверителността на информацията, пълна или частична загуба на информация поради повреда на носителя за съхранение, нарушение на достъпа.
Под рискът от реализиране на j-то опасно състояние на i-тия ресурсозначава произведение на вероятността P ijи цената на загубите C ijот изпълнението на това опасно състояние на ресурса:
.
По този начин задачата за оценка на риска на дадена система може да бъде разделена на следните етапи:
1. описание на структурата на ресурсите на системата;
2. описание на набора от опасни състояния на системните ресурси;
3.оценка на вероятностите P ijизпълнение на опасни условия, включително идентифициране на мерки за влияние на заплахите върху изпълнението на опасни условия;
4.Оценяване на цената на загубите C ijот реализирането на опасни условия.
Основните положения на логико-вероятностния метод
През 70-те години на 20 век е предложен логико-вероятностен метод за анализ на безопасността на сложни технически системи.
И. А. Рябинин. Основната идея на този метод е комбинация от логически и вероятностни подходи при оценка на показателите за надеждност на сложни технически, икономически, социални системи и други системи.
В LVM понятията се използват като основни понятия опасно състояние на системата и опасности - способността на системата да премине в опасно състояние. Описанието на опасното състояние на системата започва със съставянето сценарий на опасно състояние (OS), която е изградена с помощта на операциите дизюнкция и конюнкция над начални условия и събития .
Отказите на един или няколко елемента на системата действат като иницииращи условия и събития. Всеки елемент от системата е назначен булева променлива x k() с две възможни състояния (например работоспособност/отказ, готовност/недостъпност и т.н.) с дадени вероятностни параметри на тези състояния п ки q k = 1-p k.
Сценарият е основата за компилиране на логическа функция или функция на логическа алгебра (FAL), описваща опасно състояние на системата.
Следващата стъпка е трансформирането на функцията на алгебрата на логиката във функцията на вероятността, която допълнително се използва за получаване на количествена оценка на вероятността за реализация на опасното състояние.
По този начин, от една страна, методът предоставя механизъм за формализиране на набора от опасни състояния на системата, а от друга страна предоставя теоретично обоснован подход за количествено определяне на риска на системата.
За система, състояща се от различни ресурси, LCM се използва за получаване на количествени оценки на вероятностите за опасни състояния за всеки тип ресурси. От своя страна всеки ресурс в LVM също се разглежда като отделна система.
Постановка на проблема за оценка на вероятностите за реализация на опасни състояния на ресурс
дадено:
1. Ресурс с номер иза които са подчертани опасни състояния S ij, , където м- броят на възможните състояния.
2. Структура на ОС и вероятности за иницииране на събития (заплахи) x k, .
Необходимо е да се намерят:
Вероятности P ijреализиране на опасни състояния S ij, .
Алгоритъм за решаване
Стъпка 1. Изготвяне на сценарий на опасно състояние S ij.
Стъпка 2. Конструиране на функцията Булева алгебра (FAL) 
използване на операции за конюнкция и дизюнкция, базирани на сценарий на опасно състояние S ij.
Стъпка 3. Конструиране на вероятностна функция (WF) 
въз основа на функцията на булева алгебра.
Стъпка 4. Изчислете вероятността P ijреализация на опасно състояние с помощта на вероятностна функция.
Теоретични основи на LVM
В момента математическата логика и теорията на вероятностите се комбинират на базата на логико-вероятностното смятане. Предполага се, че теорията на вероятностите позволява количествено да се оцени надеждността или безопасността на системите, чиято структура е описана с помощта на математическа логика.
Основният проблем в практическото приложение на LCM е трансформирането на произволни FAL във форми на преход към пълно заместване (FPCS). За да се направи тази трансформация стандартна и математически строга, е необходимо да се обърнем към специален теоретичен апарат, чиито основни понятия и теореми ще бъдат дадени по-долу.
Ще приемем, че всеки елемент от системата е свързан с булева променлива x k,() с две възможни състояния (работоспособност/отказ, готовност/неготовност и т.н.) с дадени вероятностни параметри на тези състояния п ки q k = 1-p k :
Освен това се предполага, че всички събития x kса независими в съвкупност и че на разглеждания интервал от време на работа на системата не се променят изходните параметри на законите за разпределение на елементите.
Изразяване на формата 
Наречен елементарна връзка
Кранг r... Израз на формата, където са елементарни съюзи от различен ранг, се нарича дизюнктивна нормална форма
(DNF). Ако функцията е написано в DNF, а рангът на всяка елементарна връзка е н, тогава такъв DNF се нарича перфектна дизюнктивна нормална форма
(SDNF).
Изразяване на формата 
Наречен елементарна дизюнкция
ранг r.
Два елементарни съюза се наричат ортогонална , ако произведението им е нула (пример: и).
DNF се нарича ортогонална дизюнктивна нормална форма (ODNF), ако всички негови членове са ортогонални по двойки.
Неповторяем DNF(BDNF) е DNF, в който всяка логическа променлива се среща точно веднъж.
Правилата на Де Морганпозволяват логическото умножение да се изрази чрез отрицание на логическата сума от инверсии на твърдения, а логическата сума - чрез отрицание на логическото произведение на обратните твърдения. В бъдеще те ще се използват за привеждане на FAL в специална форма:
и 
Вероятностна функция(WF) ще наречем вероятността за FAL истина:
П(е(x 1, x 2, ..., x h)=1 )
Функциите на логическата алгебра, които позволяват директен преход към вероятностна функция чрез замяна на логически променливи с вероятности и логически операции със съответните аритметични операции, ще бъдат наречени форми на преход към заместване (FPZ).
Форми на преход към пълна подмяна(FPPZ) се наричат FPZ, в който всички логически променливи се заменят едновременно.
Булева разликафункции 
по аргумент x kНаречен
където символът "" обозначава логическата операция "сума по модул две".
Функция 
Наречен монотонен
ако за някакви комплекти ( а 1,..., а з) и ( b 1, ..., b h) такъв, че ( k = 1,2, ..., h) връзката е валидна е(а 1,..., а з) е(b 1, ..., b h). След това ще разгледаме редица основни теореми.
Теорема 1.Частична производна на вероятността за истинност на монотонен FAL по отношение на вероятността за истинност на аргумента x kе числено равно на вероятността за истинността на булевата разлика на тази функция по отношение на аргумента x k:
Теорема 2.Вероятността за истинността на произволен FAL, представен в ODNF, е равна на сумата от вероятностите за истинността на всички ортогонални членове на този FAL:
,
където O u- не само елементарни конюнкции на ODNF, но и всякакви FAL, ортогонални по двойки.
Теорема 3.Дизюнкцията на ортогонални неповтарящи се форми в основата конюнкция-отрицание е форма на преход към пълна замяна.
В момента има няколко FPPZ - това са перфектна дизюнктивна нормална форма (SDNF), ортогонална дизюнктивна нормална форма (ODNF) и неповторяема FAL (BFAL) в основата на конюнкцията-отрицание.
Ако FAL е представен в FPPZ, тогава преходът към вероятностната функция се извършва съгласно следните правила:
1. Всяка логическа променлива в PPHF се заменя с вероятността за нейното равенство на единица:
, ;
2. Отрицанието на функция се заменя с разликата между единица и вероятността тази функция да е равна на единица;
3. Операциите на логическото умножение и събиране се заменят с операции на аритметично умножение и събиране.
Създаване на сценарий на опасно състояние
Съставянето на сценарий на опасно състояние на IS може да бъде представено като следната последователност от стъпки:
1.разпределение на крайното събитие - опасно състояние (отказ),
2. разпределение на междинни събития, водещи до осъществяване на опасно състояние и получени като комбинация от две или повече изходни събития,
3. разпределение на иницииращи заплашителни събития.
За представяне на опасното състояние се използва дърво от събития или неуспехи.
На фиг. 5.2 показва пример за сценарий на опасно състояние под формата на дърво на събития.
Ориз. 5.2. Пример за дърво на събития за описване на опасно състояние на системата
Построяване на функция на булева алгебра
С помощта на дървото на събитията се компилира функция на алгебрата на логиката, която описва условията за преминаване на системата в опасно състояние.
За да се опишат условията за преминаване на системата в опасно състояние, концепцията " най-краткият път за опасна операция "(KPOF), което се разбира като съвкупност от минималния набор от системни елементи, които заедно осигуряват прехода на системата в опасно състояние:
,
където K wl- набор от брой променливи, съответстващи на дадения път.
Условие за преминаване на системата в опасно състояниеможе да бъде представен като дизюнкция на всички налични KPOF:
.
Пример.Нека дървото на събитията има формата, показана на фиг. 5.2.
Тогава KPOF са:,,,.
Условието за преминаване на системата в опасно състояние е както следва:
Построяване на вероятностна функция
На предишния етап беше получен FAL 
описвайки опасното състояние на системата като дизюнкция на всички KPOF. Следващата стъпка е трансформирането на FAL в FPPZ - SDNF, ODNF или неповторяващ се FAL в основата на конюнкцията-отрицание (BFAL).
Изграждането на вероятностна функция на базата на PPHF се извършва съгласно правилата, описани по-горе. Резултатът от този етап е функцията на вероятността
Изчисляване на оценката на вероятността от реализация на опасно състояние
Заместване на стойностите 
в WF, получен на предишния етап, получаваме оценка на вероятността за реализация на опасното състояние P ij.
Пример
Нека разгледаме пример за използване на LPM за оценка на риска от реализиране на опасното състояние „Нарушение на поверителността на базата данни на IS (IS DB)“.
Етап 1.Изготвяне на сценарий на опасно състояние на ресурс (фиг. 5.3).
Ориз. 5.3. Сценарий на ОС "Нарушение на поверителността на IS DB"
Стъпка 2.Построяване на функция от алгебрата на логиката Според описания сценарий логическата функция приема формата:
F = X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 12 X 13 X 14 X 15
Същността на логико-вероятностните методи се състои в използването на функции на алгебрата на логиката (FAL) за аналитично записване на условията на работоспособност на системата и прехода от FAL към вероятностни функции (VF), обективно изразяващи надеждността на система. Тези. с помощта на логико-вероятностния метод е възможно да се опишат схеми на IC за изчисляване на надеждността с помощта на апарата на математическата логика, последвано от използването на теория на вероятностите при определяне на показателите за надеждност.
Системата може да бъде само в две състояния: в състояние на пълна работоспособност ( в= 1) и в състояние на пълен отказ ( в= 0). В този случай се приема, че действието на системата е детерминирано, зависи от действието на нейните елементи, т.е. ве функция NS 1 , NS 2 ,…, X i,…, x n... Елементите също могат да бъдат само в две непоследователни състояния: пълна работоспособност ( x i= 1) и пълен отказ ( x i = 0).
Функция на логическата алгебра, която свързва състоянието на елементите със състоянието на системата в (NS 1 , NS 2 ,…, X n) са наречени функционалност функциясистеми Ф(г)= 1.
За оценка на работните състояния на системата се използват две концепции:
1) най-краткият път на успешно функциониране (KPUF), който е такава комбинация от нейните елементи, нито един от компонентите на който не може да бъде премахнат, без да се наруши функционирането на системата. Този съюз се записва като следния FAL:
където и- принадлежи към множеството от числа, съответстващи на даденото
л-м начин.
С други думи, KPUF на системата описва едно от възможните й работни състояния, което се определя от минималния набор от работещи елементи, които са абсолютно необходими за изпълнение на функциите, определени за системата.
2) минималното напречно сечение на системните откази (MSO), което е такава комбинация от отрицания на нейните елементи, нито един от компонентите на който не може да бъде премахнат, без да се нарушават условията за неработоспособност на системата. Този съюз може да се запише като следния FAL:
където означава набор от числа, съответстващи на даден раздел.
С други думи, MCO на системата описва един от възможните начини за нарушаване на производителността на системата, използвайки минимален набор от неизправни елементи.
Всяка резервирана система има краен брой най-къси пътища ( л= 1, 2,…, м) и минимални секции ( j = 1, 2,…, М).
Използвайки тези понятия, можете да запишете условията за работата на системата.
1) под формата на разделение на всички налични най-кратки пътища за успешно функциониране.
;
2) под формата на съвкупност от отрицания на всички MCO
;
По този начин условията за работоспособност на реална система могат да бъдат представени под формата на условията за работоспособност на някаква еквивалентна (в смисъл на надеждност) система, чиято структура е паралелна връзка на най-кратките пътища на успешно функциониране , или друга еквивалентна система, чиято структура е комбинация от отрицания на минимални сечения.
Например, за мостовата структура на IC, функцията за работоспособност на системата, използваща KPUF, ще бъде написана, както следва:
;
функцията за работоспособност на същата система чрез MCO може да се запише в следната форма:
При малък брой елементи (не повече от 20) може да се използва табличен метод за изчисляване на надеждността, който се основава на използването на теоремата за добавяне на вероятностите за съвместни събития.
Вероятността за безотказна работа на системата може да се изчисли по формулата (чрез функция на вероятността от формата):
Логико-вероятностни методи (методи: изрязване, таблично, ортогонализиране) се използват широко в диагностични процедурипри конструиране на дървета на неизправности и определяне на основните (първоначални) събития, които причиняват отказ на системата.
За надеждността на компютърна система със сложна структура на излишък може да се използва методът на статистическото моделиране.
Идеята зад метода е да генерира булеви променливи x iс дадена вероятност pi за поява на единица, които се заместват във функцията на логическата структура на моделираната система под произволна форма и след това се изчислява резултатът.
Агрегатът NS 1 , NS 2 , ..., x nнезависими случайни събития, образуващи пълна група, се характеризира с вероятностите за настъпване на всяко от събитията стр(x i), и.
За симулиране на този набор от случайни събития се използва генератор на случайни числа, равномерно разпределен в интервала
смисъл п исе избира равен на вероятността за безотказна работа и-та подсистема. В този случай процесът на изчисление се повтаря н 0 пъти с нови, независими стойности на произволни аргументи x i(в този случай броят на н(T) единични стойности на функцията за логическа структура). Поведение н(T)/ Н 0 е статистическа оценка на вероятността за ъптайм
където н(T) - броят на безпроблемната работа до момента Tобекти с техния оригинален номер.
Генериране на произволни булеви променливи x iс дадена вероятност за поява на един п исе извършва на базата на случайни стойности, равномерно разпределени в интервала, получени с помощта на стандартни програми, включени в математическата поддръжка на всички съвременни компютри.
1. Назовете метода за оценка на надеждността на ИС, където вероятността за безотказно функциониране на системата се определя като P n ≤P s ≤P ин.
2. За изчисляване на надеждността на кои системи се използва методът на пътеките и участъците?
3. Какъв метод може да се използва за оценка на надеждността на мостовите устройства?
4. Какви методи за определяне на показателите за надеждност на възстановените системи са известни?
5. Представете структурно мостовата верига като набор от минимални пътища и участъци.
6. Дайте дефиницията на минималния път и минималния участък.
7. Запишете здравната функция за разклоненото устройство?
8. Какво се нарича здравна функция?
9. Кой е най-краткият път за успешно функциониране (KPUF). Запишете условията на работа под формата на KPUF.
10. Къде се използва логико-вероятностният метод за оценка на надеждността?
Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Тема: Изчисляване на надеждността на възстановими системи (метод на диференциалните уравнения)
1. Общи методи за изчисляване на надеждността на възстановими системи.
2. Изграждане на графика на възможните състояния на системата за оценка на надеждността на възстановимите системи.
3. Методът на системите от диференциални уравнения (SDE), правилото на Колмогоров за съставяне на SDE
4. Нормализация и начални условия за решаване на SDE.
Ключови думи
Възстановима система, количествени характеристики на надеждността, графика на състоянията, работно състояние, система от диференциални уравнения, правило на Колмогоров, вероятност за безотказна работа, скорост на възстановяване, скорост на отказ, условия на нормализиране, начални условия, параметри на надеждност, без излишни система.
Основната задача за изчисляване на надеждността на проектираната ИС е изграждането на математически модели, адекватни на вероятностните процеси на тяхното функциониране. Тези модели ви позволяват да оцените степента на задоволяване на изискванията за надеждност на проектираните или експлоатирани системи.
Видът на математическия модел определя възможността за получаване на изчислителни формули. За изчисляване на надеждността на възстановените резервни и нерезервирани системи се използват: методът на интегралните уравнения, методът на диференциалните уравнения, методът на преходните интензитети, методът за оценка на надеждността според графиката на възможните състояния, и т.н.
Метод на интегрални уравнения... Методът на интегралните уравнения е най-общият; той може да се използва за изчисляване на надеждността на всякакви (възстановими и невъзстановими) системи за всякакви разпределения на FBG и време за възстановяване.
В този случай, за да се определят показателите за надеждност на системата, се съставят и решават интегрални и интегро-диференциални уравнения, свързващи характеристиките на разпределението на FBG, а за възстановените системи - времето за възстановяване на елементите.
В хода на съставянето на интегрални уравнения обикновено се разграничават един или повече безкрайно малки интервали от време, за които се разглеждат сложни събития, които се проявяват при съвместното действие на няколко фактора.
По принцип решенията се намират чрез числени методи с помощта на компютър. Методът на интегралните уравнения не се използва широко поради трудността на решаването.
Метод на диференциални уравнения... Методът се използва за оценка на надеждността на възстановими обекти и се основава на допускането за експоненциални разпределения на времето между отказите (време на работа) и времето за възстановяване. В този случай параметърът на потока от повреди w =λ = 1/ т кп.и степента на възстановяване μ = 1 / т в, където t cp.- средно време на работа, т вТова е средното време за възстановяване.
За прилагане на метода е необходимо да има математически модел за множеството възможни състояния на системата. S ={С 1 , С 2 ,…, S n), в който може да се намира по време на системни повреди и възстановяване. От време на време системата Спрескача от едно състояние в друго под влияние на откази и възстановявания на отделните му елементи.
Когато се анализира поведението на системата във времето по време на износване, е удобно да се използва графиката на състоянието. Графа на състоянието е насочена графика, където кръгове или правоъгълници представляват възможните състояния на системата. Той съдържа толкова върхове, колкото са възможни различни състояния за обект или система. Ръбовете на графиката отразяват възможните преходи от определено състояние към всички останали с параметри на степента на откази и възстановявания (интензитетите на преходите са показани близо до стрелките).
Всяка комбинация от неизправност и работни състояния на подсистемите съответства на едно състояние на системата. Брой състояния на системата n = 2к, където к- броят на подсистемите (елементите).
Връзката между вероятностите за намиране на система във всичките й възможни състояния се изразява чрез система от диференциални уравнения на Колмогоров (уравнения от първи ред).
Структурата на уравненията на Колмогоров е изградена по следните правила: от лявата страна на всяко уравнение е записана производната на вероятността за намиране на обект в разглежданото състояние (горната част на графиката), а дясната страна съдържа толкова членове, колкото има ръбове на графа на състоянието, свързани с този връх. Ако ръбът е насочен от даден връх, съответният член има знак минус, ако към даден връх - знак плюс. Всеки член е равен на произведението на параметъра за интензитет на повреда (възстановяване), свързан с даден ръб от вероятността да бъде във върха на графиката, от която произлиза ръбът.
Системата от уравнения на Колмогоров включва толкова уравнения, колкото има върхове в графика на състоянието на обекта.
Системата от диференциални уравнения се допълва от условието за нормализиране:
където P j(T j-m състояние;
н- броят на възможните състояния на системата.
Решението на системата от уравнения при определени условия дава стойността на търсените вероятности P j(T).
Целият набор от възможни състояния на системата е разделен на две части: подмножество от състояния н 1, в която системата работи, и подмножество от състояния н 2, в която системата не работи.
Функция за готовност на системата:
ДА СЕГ 
,
където P j(T) Вероятността да се намери системата в jработно състояние;
н 1 - броят на състоянията, в които системата работи.
Когато е необходимо да се изчисли коефициентът на наличност на системата или факторът на престой (прекъсвания в работата на системата са допустими), помислете за стационарната работа при t → ∞... В този случай всички производни и системата от диференциални уравнения преминават в система от алгебрични уравнения, които лесно се решават.
Пример за графика на състоянието на нерезервна възстановима система с н- елементите са показани на фиг. 1.
Ориз. 1. Графиката на състоянията на възстановената система (неработещите състояния са маркирани със засенчване)
Нека разгледаме възможните състояния, в които може да бъде системата. Тук са възможни следните състояния:
С 0 - всички елементи са функционални;
С 1 - първият елемент не работи, останалите са работещи;
С 2 - вторият елемент не работи, останалите са работещи;
S n – н-тият елемент не работи, останалите са работещи.
Вероятността от едновременното появяване на два неработещи елемента е незначителна. Символи λ 1 , λ 2 ,…, λ нобозначава степента на отказ, μ 1 , µ 2 ,…, µ нинтензивността на възстановяване на съответните елементи;
Според графиката на състоянието (фиг. 1), система от диференциални уравнения (уравнението за състоянието С 0 е пропуснато поради неговата тромавост):
С условието за нормализиране:.
Първоначални условия:
При работа в стационарно състояние (при T→ ∞) имаме:
След като решихме получената система от алгебрични уравнения, като вземем предвид условието за нормализиране, намираме показателите за надеждност.
Когато решавате система от уравнения, можете да използвате преобразуването на Лаплас за вероятности на състояния или числени методи.
Тестови въпроси и задачи
1. Какви методи за определяне на показателите за надеждност на възстановените системи са известни?
2. Как се определят състоянията на елементите и устройствата на ИС?
3. Как да дефинираме областите на работни състояния на системата?
4. Защо методът на диференциалните уравнения е широко разпространен при оценката на надеждността на възстановими системи?
5. Какво е необходимо условие за решаване на системи от диференциални уравнения?
6. Как са диференциалните уравнения за определяне на параметрите на надеждността на ИС?
7. Какво условие трябва да се добави към системата от диференциални уравнения (SDE) за по-ефективно решение.
8. Запишете работните условия на системата, състояща се от три елемента.
9. Какъв е броят на състоянията за устройство с четири елемента?
10. Какво правило се използва при изготвянето на CDS?
Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Тема: Марковски модели за оценка на надеждността на резервни възстановими информационни системи
1. Концепцията за свойството на Марков, дефиницията на състоянието на системата.
2. Техника и алгоритъм за конструиране на модела на Марков.
3. Изчислителни формули за изчисляване на показателите за надеждност на превозното средство
4. Матрица на скоростите на преход за оценка на показателите за надеждност на излишни възстановими ИС.
Ключови думи
Модел на Марков, състояние на системата, работоспособност, матрица на скоростите на преход, графика на състоянието, възстановена система, излишък, последователна схема, постоянен резерв, система от диференциални уравнения, правило на Колмогоров, схема за изчисляване на надеждността, приблизителен метод, алгоритми за конструиране на SDE, условия за нормализиране, начални условия, вероятност за безотказна работа, процент на отказ.
Функционирането на ИС и техните съставни части може да се представи като съвкупност от процеси на преход от едно състояние в друго под влияние на всякакви причини.
От гледна точка на надеждността на възстановените ИС, тяхното състояние във всеки момент от време се характеризира с това кои от елементите са работещи и кои са възстановени.
Ако всеки възможен набор от работещи (неработещи) елементи е свързан с набор от състояния на обекта, тогава отказите и възстановяването на елементите ще бъдат показани чрез прехода на обекта от едно състояние в друго:
Например, да кажем, че един обект се състои от два елемента. Тогава той може да бъде в едно от четирите състояния: н = 2к = 2 2 = 4.
С 1 - и двата елемента работят;
С 2 - само първият елемент е неработещ;
С 3 - само вторият елемент не работи;
С 4 - и двата елемента са неработещи.
Много възможни състояния на обект: S ={С 1 , С 2 , С 3 , С 4 }.
Пълният набор от състояния на изследваната система може да бъде дискретен или непрекъснат (непрекъснато запълващ един или повече интервали от числовата ос).
По-нататък ще разгледаме системи с дискретно пространство на състоянията. Последователността от състояния на такава система и самият процес на преходи от едно състояние в друго се нарича верига.
В зависимост от времето на пребиваване на системата във всяко състояние се разграничават процеси с непрекъснато време и процеси с дискретно време. При процеси с непрекъснато време преходът на системата от едно състояние в друго се извършва по всяко време. Във втория случай времето на пребиваване на системата във всяко състояние е фиксирано, така че моментите на преходите да са разположени на оста на времето на равни интервали.
В момента най-проучени вериги са тези с марковско свойство. Вероятностите за преход са обозначени със символите P ij(T), и процеса P ijпреходите се наричат Маркова верига или Маркова верига.
Свойството на Марков се свързва с липсата на последействие. Това означава, че поведението на системата в бъдеще зависи само от нейното състояние в даден момент от време и не зависи от това как е стигнала до това състояние.
Процесите на Марков позволяват да се опишат последователности от откази-възстановявания в системи, описани с помощта на графика на състоянието.
Най-често за изчисляване на надеждността се използва методът на марковските вериги с непрекъснато време, базиран на система от диференциални уравнения, които в матрична форма могат да бъдат записани като:
,
където П(T)= П 0 - начални условия;
,
и Λ е матрицата на интензитета на прехода (матрицата на коефициента при вероятностите на състоянията):
където λ ij- интензивността на прехода на системата от i-то състояние в j-то състояние;
P jЕ вероятността системата да е в j-то състояние.
При оценката на надеждността на сложни резервни и възстановими системи методът на веригата на Марков води до сложни решения поради големия брой състояния. В случай на подсистеми от същия тип, работещи при едни и същи условия, методът на разширяване се използва за намаляване на броя на състоянията. Държавите със същия брой подсистеми се обединяват. Тогава размерността на уравненията намалява.
Последователността на методологията за оценка на надеждността на резервни възстановими системи по метода на марковските вериги е както следва:
1. Анализира се съставът на устройството и се изготвя структурна схема за надеждност. Според схемата се изгражда графика, в която се вземат предвид всички възможни състояния;
2. Всички върхове на графа в резултат на анализа на структурната диаграма се разделят на две подмножества: върховете, съответстващи на работното състояние на системата и върховете, съответстващи на неработещото състояние на системата.
3. С помощта на графиката на състоянието се съставя система от диференциални уравнения (използва се правилото на Колмогоров);
4. Избират се началните условия за решаване на задачата;
5. Определят се вероятностите за намиране на системата в работно състояние в произволен момент от време;
6. Определя се вероятността за безотказна работа на системата;
7. При необходимост се определят и други показатели.
Тестови въпроси и задачи
1. Какво се разбира под марковска верига?
2. Дайте алгоритъм за оценка на надеждността на ИС чрез марковски модели.
3. Как са диференциалните уравнения за определяне на параметрите на надеждността на ИС?
4. Стойността на какви показатели за надеждност може да се получи по метода на Марков?
5. Избройте основните етапи на изграждане на модел на Марков за надеждността на сложна система.
6. Какво е задължително условие за решаване на системи от диференциални уравнения?
7. Как се определят състоянията на елементите и устройствата на COP?
8. Дайте определение на понятието възстановими системи.
9. Какво е верига на Марков?
10. За да се оцени кои системи се използват Марковски модели за надеждност?
Литература: 1, 2, 3, 10, 11.
Тема: Приблизителни методи за изчисляване на надеждността на техническите средства на ИС
1. Основни допускания и ограничения при оценка на надеждността на серийно-паралелни структури.
2. Приблизителни методи за изчисляване на надеждността на възстановими ИС, с последователно и паралелно свързване на ИС подсистеми.
3. Структурни схеми за изчисляване на надеждността на ИС.
Ключови думи
Надеждност, последователно-паралелна структура, приблизителни методи за изчисляване на надеждността, структурна диаграма на изчисляване на надеждността, процент на отказ, процент на възстановяване, коефициент на наличност, време за възстановяване, компютърна система.
захранване с помощта на дърво на грешки
Логико-вероятностният метод, използващ дърво на грешки, е дедуктивен (от общо към конкретно) и се използва в случаите, когато броят на различните системни откази е относително малък. Използването на дървото на неизправностите за описване на причините за повреда на системата улеснява прехода от обща дефиниция на повреда към конкретни дефиниции за откази и режими на работа на нейните елементи, които са разбираеми за специалистите-разработчици както на самата система, така и на елементите. Преходът от дърво на неизправности към функция за логическа повреда отваря възможности за анализ на причините за отказ на системата на формална основа. Функцията за логическа повреда ви позволява да получите формули за аналитично изчисление на честотата и вероятността от системни откази въз основа на известната честота и вероятности от повреди на елементи. Използването на аналитични изрази при изчисляване на показателите за надеждност води до използването на формули на теорията на точността за оценка на средната квадратна грешка на резултатите.
Неуспехът на обект да функционира като сложно събитие е сумата от събитието за отказ и събитието 
, състояща се в поява на критични външни влияния. Условието за неизправност на функционирането на системата се формулира от специалисти в областта на конкретни системи въз основа на техническия проект на системата и анализа на нейното функциониране при различни събития с помощта на изявления.
Изявленията могат да бъдат крайни, междинни, първични, прости, сложни. Простото твърдение се отнася до събитие или състояние, което само по себе си не се разглежда като логическа сума от „ИЛИ“, нито като логически продукт на „И“ на други събития или състояния. Сложно изявление, което е дизюнкция на няколко израза (прости или сложни), се обозначава с оператор "ИЛИ", свързващ изрази от най-ниското ниво с изрази от най-високото ниво (Фигура 3.15, а). Сложно изявление, което е съвкупност от няколко израза (прости или сложни), се обозначава с оператор "I", свързващ изрази от най-ниското ниво с изрази от най-високо ниво (Фигура 3.15, б).
Фигура 3.15.Логически елементи на представяне
Удобно е да се кодират изрази, така че по кода да може да се прецени дали е прост или сложен, на какво ниво от крайното се намира и какво е (събитие, състояние, неизправност, тип елемент).
В теорията на графите дървото е свързан граф, който не съдържа затворени контури. Дървото на неизправностите е логическо дърво (Фигура 3.16), в което дъгите представляват събития на отказ на ниво система, подсистеми или елементи, а върховете представляват логически операции, свързващи първоначалните и произтичащите откази.
Ориз. 3.16.Пример за изграждане на дърво на грешки
Изграждането на дървото на грешките започва с формулирането на окончателното изявление за повредата на системата. За да се характеризира надеждността на системата, крайното твърдение се отнася до събитие, което води до неизправност в разглеждания интервал от време, при дадени условия. Същото се отнася и за характеристиката на готовността.
Пример 8... Нека изградим дърво на грешки за мрежовата диаграма, показана на Фигура 3.17.
Фигура 3.17.Мрежова диаграма
Подстанции Vи Сзахранван от подстанцията А... Крайното събитие на дървото на грешките е повредата на системата като цяло. Този провал се определя като събитие, което
1) или подстанция V, или подстанция Снапълно губи храна;
2) мощност за захранване на общото натоварване на подстанциите Vи Стрябва да предавате по една линия.
Въз основа на дефиницията на крайното събитие и схематичната диаграма на системата изграждаме дърво на неизправностите (надолу от крайното събитие) (фиг. 3.18). Целта на анализа на дървото на грешките е да се определи вероятността за крайно събитие. Тъй като крайното събитие е системна повреда, анализът дава вероятността Р(Ф).
Методът за анализ се основава на намиране и изчисляване на множества минимални напречни сечения. Напречно сечениенарича се такъв набор от елементи, чийто тотален отказ води до отказ на системата. Минималният раздел е такъв набор от елементи, от който е невъзможно да се премахне един елемент, в противен случай той престава да бъде раздел.
Премествайки се едно ниво по-ниско от върховото (крайно) събитие, преминаваме през възела "ИЛИ", което показва наличието на три секции: ( П}, {В}, {Р} (R,В, Р- неуспешни събития). Всяка от тези секции може допълнително да бъде разделена на по-голям брой секции, но може да се окаже, че повредата на секциите е причинена от няколко събития, в зависимост от това какъв тип логически възел се среща по маршрута.
Фигура 3.18.Дървото на системните грешки според диаграмата на фиг. 3.17:
– повреди на подсистеми, които могат да бъдат анализирани допълнително;
Например (Q) първо се превръща в секция (3, T), тогава Tе разделен на секции ( X, Y), в резултат на това вместо един раздел (3, T) се появяват две: (3, х}, {3,Имайте}.
На всяка от следващите стъпки се идентифицират набори от напречни сечения:
Минималните секции са избраните секции (3,4,5), (2,3), (1,3), (1,2). Раздел (1,2,3) не е минимален, тъй като (1,2) също е секция. В последната стъпка наборите от напречни сечения са съставени изключително от елементи.
Методът се основава на математическия апарат на алгебрата на логиката. Изчисляването на надеждността на системата за управление включва определяне на връзката между сложно събитие (отказ на системата) и събития, от които зависи (повреди на елементи на системата). Следователно изчисленията за надеждност се основават на операции със събития и изявления, които се приемат като изявления за работоспособността или неизправността на елемент (система). Всеки елемент от системата е представен от булева променлива, която има стойност 1 или 0.
Събития и твърдения, използващи операциите на дизюнкция, конюнкция и отрицание, се комбинират в логически уравнения, които отговарят на условието за работоспособност на системата. Компилира се логическата функция на оперативността. Изчислението, базирано на директното използване на логически уравнения, се нарича логико-вероятностно и се извършва на седем етапа:
1. Словесно формулиране на условията за изпълнение на обекта. Описана е зависимостта на работата на информационната система от състоянието на отделните й елементи.
2. Изготвяне на логическа функция на изпълнение. Това е логическо уравнение, съответстващо на условието за работоспособност на системата за управление
което се изразява в разделителна форма, например:
където x i е условието за работоспособност i - ти елемент Fl; X i = 1 - работещо състояние, X i = 0 - неработещо състояние.
3. Привеждане на логическата функция на работоспособността F L към ортогоналната неповторяема форма F LO. Сложната логическа функция на изпълнението трябва да бъде сведена до ортогонална неповторяема форма.
Функция от вида (2.2) се нарича ортогонална, ако всички нейни членове D i са ортогонални по двойки (т.е. тяхното произведение е равно на нула) и неповторяема, ако всеки от нейните членове D i се състои от букви xi, с различни числа ( тоест няма повтарящи се аргументи ), например: произведението на елементарни съюзи x 1, x 2, x 4 и x 3, x 2 е равно на нула, тъй като един от тях съдържа х 2а другото е х 2следователно те са ортогонални; D 1 = x 1 × x 2 × x 2, където х 2и x 2 имат едно и също число, така че D 1 не е неповторимо.
- ортогонална неповторяема форма;
- ортогонална, но не и неповторима.
Функцията F l може да бъде трансформирана в ортогонална неповтаряща се форма F lo, като се използват законите и правилата за трансформиране на сложни изрази. При изчисляване най-често срещаните правила са:
1) x 1 × x 2 = x 2 × x 1;
4. Аритметизация на F lo. Аритметичната функция F a (2.3) се определя от намерената ортогонална неповторяема логическа функция на работоспособност F LO.
където A i е аритметичната форма на членовете D i на функцията F lo.
Аритметизирането на членовете D i, в общ вид, съдържащ операциите на дизюнкция, конюнкция и отрицание, се извършва чрез замяна на логически операции с аритметика по правилата:
5. Определяне на вероятността за безотказна работа на системата.
Вероятността за безотказно функциониране на системата се установява като вероятност за истинността на логическата функция на изпълнение, представена в ортогонална неповторяем вид, и се изчислява като сума от вероятностите за истинност на всички ортогонални термини на тази функция на алгебрата на логиката. Всички събития (изявления) се заменят с техните вероятности (вероятности за безотказна работа на съответните елементи).
