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Definición 7. Un triángulo isósceles es cualquier triángulo cuyos dos lados son iguales.Dos lados iguales se llaman laterales, el tercero, la base.
Definición 8. Si los tres lados de un triángulo son iguales, entonces el triángulo se llama triángulo equilátero.
el es un privado triángulo isósceles.
Teorema 18. La altura de un triángulo isósceles, bajada hasta la base, es al mismo tiempo la bisectriz del ángulo entre lados iguales, la mediana y el eje de simetría de la base.
Prueba. Bajemos la altura a la base de un triángulo isósceles. Lo dividirá en dos triángulos rectángulos iguales (a lo largo del cateto y la hipotenusa). Los ángulos A y C son iguales, y la altura también divide la base por la mitad y será el eje de simetría de toda la figura considerada.
Este teorema también se puede formular de la siguiente manera:
Teorema 18.1. La mediana de un triángulo isósceles, rebajada hasta la base, es al mismo tiempo la bisectriz del ángulo entre lados iguales, la altura y el eje de simetría de la base.
Teorema 18.2. La bisectriz de un triángulo isósceles, bajada hasta la base, es al mismo tiempo la altura, la mediana y el eje de simetría de la base.
Teorema 18.3. El eje de simetría de un triángulo isósceles es también la bisectriz del ángulo entre lados iguales, la mediana y la altura.
La prueba de estas consecuencias también se desprende de la igualdad de los triángulos en que se divide el triángulo isósceles.
Teorema 19.
Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.
Prueba. Bajemos la altura a la base de un triángulo isósceles. Lo dividirá en dos triángulos rectángulos iguales (a lo largo del cateto y la hipotenusa), lo que significa ángulos correspondientes son iguales, es decir ∠A=∠C
Los signos de un triángulo isósceles provienen del Teorema 1 y sus corolarios y del Teorema 2.
Teorema 20.
Si dos de las cuatro rectas indicadas (altura, mediana, bisectriz, eje de simetría) coinciden, entonces el triángulo será isósceles (lo que significa que las cuatro rectas coincidirán).
Teorema 21.
Si dos ángulos cualesquiera de un triángulo son iguales, entonces es isósceles.
Prueba: Similar a la prueba del teorema directo, pero utilizando el segundo criterio de igualdad de triángulos. El centro de gravedad, los centros de los círculos circunscritos e inscritos y el punto de intersección de las alturas de un triángulo isósceles se encuentran todos sobre su eje de simetría, es decir, en las alturas.
Un triángulo equilátero es isósceles para cada par de sus lados. Dada la igualdad de todos sus lados, los tres ángulos de dicho triángulo son iguales. Considerando que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos, vemos que cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero es igual a 60°. Por el contrario, para asegurarse de que todos los lados de un triángulo sean iguales, basta con comprobar que dos de sus tres ángulos miden 60°.
Teorema 22
. En un triángulo equilátero coinciden todos los puntos notables: el centro de gravedad, los centros de los círculos inscritos y circunscritos, el punto de intersección de las alturas (llamado ortocentro del triángulo).
Teorema 23
. Si dos de los cuatro puntos indicados coinciden, entonces el triángulo será equilátero y, como resultado, los cuatro puntos nombrados coincidirán.
De hecho, tal triángulo será, según el anterior, isósceles con respecto a cualquier par de lados, es decir equilátero. Un triángulo equilátero también se llama triángulo rectángulo. El área de un triángulo isósceles es igual a la mitad del producto del cuadrado del lado por el seno del ángulo entre los lados 
Considere esta fórmula para un triángulo equilátero, entonces el ángulo alfa será de 60 grados. La fórmula entonces cambiará a la siguiente:
Teorema d1
. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas hacia los lados son iguales.
Prueba: Sean ABC un triángulo isósceles (AC = BC), AK y BL sus medianas. Entonces los triángulos AKB y ALB son congruentes según el segundo criterio de igualdad de triángulos. Tienen un lado común AB, los lados AL y BK son iguales a la mitad de los lados de un triángulo isósceles y los ángulos LAB y KBA son iguales a los ángulos en la base de un triángulo isósceles. Como los triángulos son congruentes, sus lados AK y LB son iguales. Pero AK y LB son las medianas de un triángulo isósceles trazado hacia sus lados.
Teorema d2
. En un triángulo isósceles, las bisectrices trazadas a los lados son iguales.
Prueba: Sean ABC un triángulo isósceles (AC = BC), AK y BL sus bisectrices. Los triángulos AKB y ALB son congruentes según el segundo criterio de igualdad de triángulos. Tienen un lado común AB, los ángulos LAB y KBA son iguales a los ángulos en la base de un triángulo isósceles, y los ángulos LBA y KAB son iguales a la mitad de los ángulos en la base de un triángulo isósceles. Como los triángulos son congruentes, sus lados AK y LB (las bisectrices del triángulo ABC) son iguales. El teorema ha sido demostrado.
Teorema d3
. En un triángulo isósceles, las alturas rebajadas hacia los lados son iguales.
Prueba: Sean ABC un triángulo isósceles (AC = BC), AK y BL sus alturas. Entonces los ángulos ABL y KAB son iguales, ya que los ángulos ALB y AKB son ángulos rectos, y los ángulos LAB y ABK son iguales a los ángulos en la base de un triángulo isósceles. Por tanto, los triángulos ALB y AKB son congruentes según el segundo criterio de igualdad de los triángulos: tienen un lado común AB, los ángulos KAB y LBA son iguales según lo anterior, y los ángulos LAB y KBA son iguales como ángulos en la base de un triángulo isósceles. Si los triángulos son iguales, sus lados AK y BL también son iguales. Q.E.D.
EN curso escolar geometría gran cantidad Se dedica tiempo al estudio de los triángulos. Los estudiantes calculan ángulos, construyen bisectrices y alturas, descubren en qué se diferencian las formas entre sí y la forma más fácil de encontrar su área y perímetro. Parece que esto no sirve de nada en la vida, pero a veces sigue siendo útil aprender, por ejemplo, a determinar que un triángulo es equilátero u obtuso. ¿Cómo hacerlo?
Tipos de triángulos
Tres puntos que no se encuentran en la misma recta y los segmentos que los conectan. Parece que esta cifra es la más sencilla. ¿Cómo pueden verse los triángulos si solo tienen tres lados? En realidad, hay bastantes opciones. un gran número de, y algunos de ellos se dan Atención especial como parte de un curso de geometría escolar. Un triángulo equilátero es equilátero, es decir, todos sus ángulos y lados son iguales. Tiene una serie de propiedades notables, que se analizarán más adelante.
El isósceles tiene sólo dos lados iguales y también es bastante interesante. En uno rectangular, y como podrás adivinar, una de las esquinas es recta u obtusa, respectivamente. Sin embargo, también pueden ser isósceles.
También hay uno especial llamado egipcio. Sus lados son de 3, 4 y 5 unidades. Sin embargo, es rectangular. Se cree que los topógrafos y arquitectos egipcios lo utilizaron activamente para construir ángulos rectos. Se cree que con su ayuda se construyeron las famosas pirámides.
Y, sin embargo, todos los vértices de un triángulo pueden estar en una línea recta. En este caso se le llamará degenerado, mientras que a todos los demás se les llamará no degenerados. Son uno de los temas de estudio de la geometría.
El triangulo es equilatero
Por supuesto, las cifras correctas son siempre de gran interés. Parecen más perfectos, más elegantes. Las fórmulas para calcular sus características suelen ser más sencillas y breves que las de las cifras ordinarias. Esto también se aplica a los triángulos. No es de extrañar que se les preste mucha atención a la hora de estudiar geometría: a los escolares se les enseña a distinguir las figuras regulares del resto y también se les informa sobre algunas de sus características interesantes.
Características y propiedades
Como sugiere el nombre, cada lado de un triángulo equilátero es igual a los otros dos. Además, tiene una serie de funciones gracias a las cuales es posible determinar si la cifra es correcta o no.
Si se observa al menos uno de los signos anteriores, entonces el triángulo es equilátero. Para figura correcta todas las afirmaciones anteriores son ciertas.
Todos los triángulos tienen una serie de propiedades notables. En primer lugar, la línea media, es decir, el segmento que divide los dos lados por la mitad y es paralelo al tercero, es igual a la mitad de la base. En segundo lugar, la suma de todos los ángulos de esta figura siempre es igual a 180 grados. Además, existe otra relación interesante en los triángulos. Entonces, frente al lado mayor se encuentra un ángulo mayor y viceversa. Pero esto, por supuesto, no tiene nada que ver con un triángulo equilátero, porque todos sus ángulos son iguales.
Círculos inscritos y circunscritos.
A menudo, en un curso de geometría, los estudiantes también aprenden cómo las formas pueden interactuar entre sí. En particular, se estudian círculos inscritos en polígonos o descritos alrededor de ellos. ¿De qué se trata?
Un círculo inscrito es un círculo en el que todos los lados del polígono son tangentes. Descrito: el que tiene puntos de contacto con todos los rincones. Para cada triángulo, siempre es posible construir tanto el primer como el segundo círculo, pero sólo uno de cada tipo. La evidencia de estos dos
Los teoremas se dan en el curso escolar de geometría.
Además de calcular los parámetros de los propios triángulos, algunas tareas también implican calcular los radios de estos círculos. Y las fórmulas para
El triángulo equilátero se ve así:
donde r es el radio del círculo inscrito, R es el radio del círculo circunscrito, a es la longitud del lado del triángulo.
Cálculo de altura, perímetro y área.
Los principales parámetros en los que los escolares participan en el cálculo mientras estudian geometría se mantienen sin cambios para casi cualquier figura. Estos son el perímetro, el área y la altura. Para facilitar el cálculo, existen varias fórmulas.
Entonces, el perímetro, es decir, la longitud de todos los lados, se calcula de la siguiente manera:
P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, donde a es el lado de un triángulo regular, R es el radio del círculo circunscrito, r es el inscrito.
h = (√ ̅3/2)*a, donde a es la longitud del lado.
Finalmente, la fórmula se deriva del estándar, es decir, el producto de la mitad de la base por su altura.
S = (√ ̅3/4)*a 2 , donde a es la longitud del lado.
Asimismo, este valor se puede calcular a través de los parámetros del círculo circunscrito o inscrito. También existen fórmulas especiales para esto:
S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2 , donde r y R son los radios de los círculos inscritos y circunscritos, respectivamente.
Edificio
Otro tipo interesante de problema, incluidos los triángulos, está relacionado con la necesidad de dibujar una forma particular utilizando un conjunto mínimo.
herramientas: un compás y una regla sin divisiones.
Para construir un triángulo regular sólo con estas herramientas, debes seguir algunos pasos.
- Es necesario dibujar un círculo con cualquier radio y con centro en un punto arbitrario A. Hay que tener en cuenta.
- A continuación, debe trazar una línea recta a través de este punto.
- Las intersecciones del círculo y la línea recta deben designarse como B y C. Todas las construcciones deben realizarse con la mayor precisión posible.
- A continuación, debe construir otro círculo con el mismo radio y centro en el punto C o un arco con los parámetros apropiados. Las intersecciones estarán marcadas como D y F.
- Los puntos B, F, D deben estar conectados por segmentos. Se construye un triángulo equilátero.
Resolver este tipo de problemas suele ser un problema para los escolares, pero esta habilidad puede resultar útil en la vida cotidiana.
