Los ejecutados correctamente se escribieron en la pizarra. resolución de problemas

Fuente de la misión: Decisión 3754. Examen Estatal Unificado 2016. Matemáticas, I. V. Yashchenko. 30 variantes de tareas de prueba típicas.

Tarea 19. Se escribieron 20 números naturales (no necesariamente diferentes) en la pizarra, cada uno de los cuales no excedía de 40. En lugar de algunos de los números (posiblemente uno), se escribieron números en la pizarra que eran uno menos que los originales. Los números que después de eso resultaron ser iguales a 0 fueron borrados del tablero.

a) ¿Será que ha aumentado la media aritmética de los números del tablero?

b) La media aritmética de los números escritos originalmente era 27. ¿Podría ser 34 la media aritmética de los números que quedaron en la pizarra?

c) La media aritmética de los números originalmente escritos era 27. Halla la mayor media posible de la media aritmética de los números que quedaron en la pizarra.

Decisión.

un) Sí, tal vez, por ejemplo, si toma 19 números iguales a 10, y el 20 es igual a 1, luego de reducir el número 20 en 1, se convierte en 0 y el valor promedio ya no es 20 números, sino 19, entonces tenemos:

Valor medio inicial: ;

Valor promedio después del cambio: .

Como puede ver, el segundo valor promedio se ha vuelto más grande que el original.

b) Suponga que para cumplir con esta condición, necesita tomar unos, luego tomar números y un número, para un total de 20 números. Su media aritmética será

,

y después de borrar las unidades deberían obtener

,

es decir, tenemos un sistema de ecuaciones:

Restando la segunda ecuación de la primera ecuación, obtenemos:

Por lo tanto, para cumplir con la condición de este párrafo, debe tomar un número fraccionario de números, lo cual es imposible en el marco de esta tarea.

Responder: no.

en) Para obtener el promedio máximo de los números que quedan en el tablero, primero debe anotar el conjunto de números que consta del mayor número de unos (que luego se borrará del tablero), y los números restantes deben ser máximos. Escribimos esta condición en la forma

,

donde está el número de unidades; - Número 20 (se elige de manera que proporcione un promedio de 27). Por lo tanto tenemos:

Se puede ver en la expresión resultante que el valor mínimo, en el que obtenemos el valor máximo. Así, tenemos una sucesión de números cuya suma es igual a

No hay relación.

La tarea es una broma. Ira le pidió prestados 100 rublos a su madre, pero los perdió. Luego le pedí prestados 50 rublos a un amigo. Por 20 r. Compré pasteles y los 30 rublos restantes. volvió a mi madre. Resulta que le debe a su madre 70 rublos. más 50 r. novia, solo 120 rublos, más 20 rublos, que gasté en pasteles. Total 140 rublos, pero en total debe devolver 150 rublos. Pregunta: ¿dónde están otros 10 rublos?

Decisión. Ira perdió y gastó 100 + 20 = 120 rublos. Y debe devolver este dinero: a su madre 100 - 30 = 70 rublos. y novia 50 r. Y todos los demás cálculos son del maligno.

1.7. Multiplicación. Leyes de la multiplicación

1.8. Ley distributiva

EN el párrafo 1.7 introduce el concepto de un producto de dos números utilizando como ejemplo el producto de los números 3 y 4. Tenga en cuenta que este producto es la suma de tres términos, cada uno de los cuales es igual a 4, es decir, 3 ∙ 4 = 4 + 4 + 4. Esto es necesario para que más abajo 3 ∙ a para entender la suma +a +a . Para cualquier número a, la igualdad 1 ∙ a = a se considera verdadera.

Este enfoque de la definición del producto parece inconveniente, ya que en la escuela primaria dicen que 3 ∙ 4 es 3 + 3 + 3 + 3 (toma 3 4 veces). Pero este aparente inconveniente se elimina en la primera lección, tan pronto como se demuestra que la ley conmutativa de la multiplicación es válida.

Las leyes conmutativas y asociativas de la multiplicación se explican al contar el número de cuadrados y el número de cubos.

Para cualquier número a, se consideran verdaderas las igualdades 0 ∙ a = 0, a ∙ 0 = 0. Además, la igualdad 0 ∙ 0 = 0 es verdadera.

EN En el párrafo 1.8, se explica la ley distributiva al contar el número de cuadrados, se muestra la aplicación de la ley distributiva para abrir paréntesis y sacar el factor común entre paréntesis.

Al estudiar las tres leyes, se debe enseñar a los escolares a escribir leyes usando letras que denotan números arbitrarios, ya memorizar las formulaciones de las leyes. Esto ayuda al desarrollo de un discurso matemático claro, da

los estudiantes "espacios en blanco" para las respuestas orales.

Aquí y más adelante, se debe llamar la atención de los estudiantes sobre las ventajas en la velocidad de cálculo que tiene quien posee las leyes estudiadas. Así, el docente crea una motivación intra-sujeto, proveniente del sujeto (y no del exterior) para el aprendizaje.

RT. El uso de las tareas 66-70 en la primera lección le permitirá repetir la tabla de multiplicar, llamar la atención de los estudiantes sobre los pares de factores que dan 10, 100, 1000, etc. cuando se multiplican. Las tareas 71-76 tienen como objetivo practicar la aplicación de las leyes estudiadas.

Decisiones y comentarios

90. a) El número 12 se incrementó primero 2 veces, el resultado obtenido se incrementó 3 veces más. ¿Cuál fue el resultado?

b) Concibieron un número, lo aumentaron 3 veces, el resultado obtenido se incrementó otras 4 veces. ¿Cuántas veces aumentó el número al final?

Decisión. a) 12 ∙ 2 = 24, 24 ∙ 3 = 72, el resultado es 72.

Aquí es recomendable preguntar a los estudiantes: ¿cuántas veces ha aumentado el número 12 en 2 veces? La respuesta se puede obtener usando la ley de combinación de la multiplicación: (12 ∙ 2) ∙ 3 = 12 ∙ (2 ∙ 3) = 12 ∙ 6 - el número 12 aumentó 6 veces en 2 veces. Esta respuesta preparará a los estudiantes para resolver de forma independiente la tarea 90 b.

b) Primero, el problema se puede resolver para un número concebido específico, por ejemplo, 2 o 3. Resulta que en ambos casos el número concebido ha aumentado 12 veces. Para mostrar que la respuesta en esta tarea no depende realmente de la elección del número previsto, denotemos el número previsto con la letra a. Entonces (a ∙ 3) ∙ 4 =a ∙ (3 ∙ 4) =a ∙ 12 - el número a aumentó 12 veces en 2 veces.

91. ¿Qué leyes se utilizan en los siguientes cálculos?

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600?

a) Calcula: 20 ∙ 50.

Decisión. Se utilizaron ambas leyes de la multiplicación: conmutativa y asociativa. Tenga en cuenta que la aplicación anterior de estas leyes no se muestra en detalle, por ejemplo, de la siguiente manera:

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = ((2 ∙ 10) ∙ 3) ∙ 10 = (2 ∙ (10 ∙3)) ∙ 10 = = 2 ∙ (3 ∙ 10) ∙ 10 = ((2 ∙ 3) ∙ 10) ∙ 10 = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600,

ya que los estudiantes aún no tienen la motivación por la precisión en la transformación de expresiones numéricas. Sin embargo, al realizar las siguientes tareas, es posible que no necesite un registro de soluciones tan incompleto como el que se proporciona anteriormente. La solución se puede escribir brevemente: a) 20 ∙ 50 = 1000.

(27 + 73) = 356 100 + 644 100 = (356 + 644) 100 = 1000 100 =100 000.

de control intermedio. MD. C-2.

1.9. Sumar y restar números en una columna

1.10. Multiplicación de números por una columna

El propósito de estos puntos es demostrar a los estudiantes cómo se usan las leyes de la suma y la multiplicación, la ley distributiva al sumar, restar y multiplicar números de varios dígitos en una columna. Esto no implica que los propios estudiantes deban hacer justificaciones similares, pero sería útil que prestaran atención al hecho de que la corrección de los cálculos en una columna se deriva de la validez de las leyes de la suma y la multiplicación.

Se debe prestar especial atención a la corrección de los factores de firma uno debajo del otro, cuyo registro termina en ceros.

A partir de este momento, la práctica computacional de los alumnos de quinto grado incluye cálculos en una columna, pero se les debe llamar la atención de que a veces los cálculos con números de varios dígitos pueden ser más fáciles de realizar sin una columna si observan pares de números que dan " sumas redondas" (tarea 135); o si notas que puedes sacar el factor común fuera de paréntesis (tarea 144). Es necesario desarrollar y apoyar de todas las formas posibles el deseo de los escolares de calcular económicamente, y para esto, como ya hemos señalado, se requiere que sean observadores.

y dominio de la teoría que se estudia.

EN En el futuro, el deseo de ahorrar tiempo en los cálculos debe convertirse en un incentivo para el desarrollo de la observación, así como para

formación de la idea de que el conocimiento de mucha información teórica puede simplificar la solución del problema.

RT. El uso de las tareas 77, 78 en la primera lección, dedicadas a la suma y resta por una columna, intensificará el proceso de aprendizaje, ya que los estudiantes solo necesitan ingresar las respuestas en las columnas ya escritas. La tarea 79 los prepara para la tarea 80 y las tareas 133 y 134 del libro de texto. La tarea 81 se realiza al comienzo del estudio de la multiplicación por una columna, mientras que los estudiantes deben prestar atención al registro de multiplicadores. La tarea 82 está dedicada a resolver acertijos.

Decisiones y comentarios

133. Se escribieron en la pizarra ejemplos ejecutados correctamente para sumar y restar, luego se borraron algunos números y se reemplazaron con letras. Vuelva a escribir los ejemplos, reemplazando letras con números para que se obtengan nuevamente las entradas correctas:

Aquí y a continuación, los estudiantes pueden recibir respuestas seleccionando un número adecuado y verificando la exactitud de la respuesta recibida, pero sería mejor si las muestras de razonamiento se dieran en la pizarra: para obtener 8, 5 debe sumarse a 3 (ejemplo " a"), etc

Responder. a) 725+173=898 b) 952 - 664=288 c) 502+879=1381

d) 1456–568 = 888.

134. Restaure los ejemplos, suponiendo que las mismas letras representan los mismos números y diferentes letras, diferentes números:

algoritmo lineal para encontrar la respuesta. En cada paso, da un valor único para la letra.

1) La suma de dos números de cuatro dígitos es un número de cinco dígitos. Por lo tanto, d

1, es decir

1 cáncer 2) Suma p + p - un número que termina en un número par, es decir, a - par

número, pero luego (ver el lugar de las centenas de la suma) a \u003d 2, es decir

1r2k2 3) La suma p + p es un número que termina en 2, esto es posible solo en dos

casos: p \u003d 1 o p \u003d 6. Pero el número 1 ya existe (diferentes letras corresponden a diferentes números), por lo tanto, p \u003d 6, es decir

162k2 4) Entoncesk = 5, y = 8, es decir

Se restaura el ejemplo "c" y todos los dígitos se encuentran sin ambigüedades.

d) Esta tarea es más compleja, cuando se realiza se implementa un algoritmo de bifurcación para encontrar la respuesta. En algún paso, da más de un solo valor para la letra. La dificultad radica en recordar completar el razonamiento para cada rama del algoritmo.

1) La suma de dos números de seis cifras es un número de siete cifras, por tanto, y =

2) La suma b + b termina con un número par, es decir e - un número par En la categoría de decenas + l - un número que termina en un número par. Para obtener el número 1 en el lugar de las decenas de la suma, es necesario que sea ≥ 5 o \u003d 0 o \u003d 5.

3) Si l \u003d 0, es decir

toa = 5, es decir mi.

1zde01e Pero entonces, en lugar de mil, la suma + m + 1 termina en un número impar, es decir

Un número impar, y arriba se estableció que e es un número par. La contradicción resultante significa que chtl ≠ 0. Por lo tanto, l = 5.

4) Desde kl \u003d 5, es decir mi.

1zde51e luego en las centenas coloca la suma a + a + 1 termina en 5. Esto es posible en dos casos:

a = 2 oa = 7. Pero cuando a = 7 en el lugar de los millares, el número es impar, lo cual es imposible, ya que se estableció arriba que el número es par. Por tanto, a ≠ 7. Por tanto, a = 2.

5) Dado que kaka = 2, es decir

1zde51e y como es un número par, entonces no puede ser cero (si = 0, entonces = 0 o = 5,

lo cual es imposible, pues ya se ha establecido que ≥ 5, y el número 5 ya está ahí). El número 2 ya está allí, por lo tanto ≠ 2. Por lo tanto, queda considerar tres casos posibles: e = 4, e = 6,

e = 8.

6) Si e \u003d 4, entonces \u003d 7, entonces (ver el lugar de los miles) m \u003d 2 o \u003d 7, lo cual es imposible, ya que los números 2 y 7 ya existen.

7) Si e \u003d 6, entonces en la descarga de decenas de miles de sumas d \u003d 3 (dado que el número 2 ya es

es), pero entonces la suma no será un número de siete dígitos, lo cual es imposible. Entonces e = 8.

8) Como kake = 8, tob = 9, t = 4, q = 6, s = 3, t. mi.

Se restaura el ejemplo "d" y todos los dígitos se encuentran sin ambigüedades. Mostrar soluciones a los ejemplos "c" y "d" en la pizarra es más fácil que publicarlos en

libro, ya que en el caso de un algoritmo lineal, con la ayuda de un trapo y una tiza, puede reemplazar gradualmente las letras con números y del ejemplo dado con letras obtener el ejemplo deseado con números. Y en el caso de un algoritmo de bifurcación, es necesario dejar en el tablero todas las opciones que no se han considerado completamente. El esquema del algoritmo implementado en la resolución de la tarea d) se puede representar de la siguiente manera:

Por supuesto, los estudiantes pueden simplemente elegir los números que necesitan, pero entonces no habrá certeza de que la solución encontrada sea la única.

135. a) Haz los pasos: (5486 + 3578) + 1422.

Decisión. Aquí me gustaría que, además de la capacidad de aplicar cálculos en una columna 2 veces, uno de los estudiantes notó que la suma del segundo y tercer número es "redonda", por lo que el cálculo es fácil de realizar en una línea:

(5486 + 3578) + 1422 = 5486 + (3578 + 1422) = 5486 + 5000 = 10 486.

146. El producto de cuatro números naturales consecutivos es

3024. Encuentra estos números.

Decisión. Tenga en cuenta que entre los cuatro números requeridos no hay números 10 y 5, ya que si hubiera al menos uno de estos factores, entonces el producto terminaría en cero. Queda por comprobar: 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 4 = 24, 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024.

Responder. 6, 7, 8, 9.

1.11. Grado con indicador natural

Este párrafo introduce el concepto de grado con exponente natural para los casos n > 1 y n = 1. Los estudiantes deben dominar la terminología: grado, base del grado (el número que elevamos a una potencia), exponente (muestra a qué potencia elevamos la base del grado), números cuadrados, números cúbicos, y aprende a calcular potencias.

RT. Es recomendable utilizar las tareas 83–86 en la etapa inicial de estudio del material. Al estudiar este elemento, puede usar las tareas 87–90.

Decisiones y comentarios

171. Entre los cinco primeros números naturales hay dos números desiguales metro

y n tales que n m =m n . Encuentra estos números.

Decisión. Estos números son 2 y 4. De hecho, 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16, 42 = 4 ∙ 4 = = 16,

es decir, 24 = 42.

Responder. 2 y 4.

1.12. División por entero

Este párrafo introduce el concepto de división de enteros y la terminología correspondiente, explica por qué es imposible dividir por cero cualquier número natural o cero. Se dan ejemplos de simplificación de división en algunos casos. Se debe prestar atención a la propiedad del cociente, que a veces ayuda a simplificar los cálculos (tareas 186–187). Por ejemplo, al dividir un número por 5, el dividendo y

multiplica el divisor por 2 y divide el nuevo dividendo por 10:

320: 5 = 640: 10 = 64.

La prueba de esta propiedad del cociente no se da en el libro de texto. En la lección, basta con darlo usando el siguiente ejemplo: “Probemos que si 320: 5 = c, entonces (320 ∙ 2) : (5 ∙ 2) = c, donde c es un número natural”.

Para hacer esto, multiplique c por 5 ∙ 2 y verifique si el resultado es 320 ∙ 2. Al mismo tiempo, tenga en cuenta que desde 320: 5 \u003d c, entonces la igualdad c ∙ 5 \u003d 320 es verdadera.

c ∙ (5 ∙ 2) = (c ∙ 5) ∙ 2 = 320 ∙ 2.

Así, la propiedad del cociente queda demostrada para el cociente 320: 5 y un número natural c.

Tenga en cuenta que si en lugar de los números 320 y 5 tomamos cualquier número natural a y b tal que la igualdad a : b = c sea verdadera, y en lugar del número 2 tomamos cualquier número natural d , entonces, argumentando de manera similar, obtener una prueba del mismo enunciado en forma general:

a :b = (a ∙c ) : (b ∙c ).

En este párrafo, las tareas se seleccionan de modo que su solución no requiera la división en una columna, lo que se estudiará más a fondo en el párrafo 1.15.

RT. Las tareas 91-93 son deseables para usar en la etapa inicial del estudio de la división. Ponen a prueba la comprensión de la regla de división (definición). Tareas 94–97 para cálculos sin columna. Task98 para encontrar componentes desconocidos en multiplicación y división. Tareas 99–107 para verificar la comprensión de la relación de los componentes durante la multiplicación y la división.

Decisiones y comentarios

188. Demostrar que si cada uno de los números naturales a y b es divisible por un número natural c , entonces la igualdad (a + b ) :c =a :c + b :c es verdadera.

Decisión. Presentamos la prueba en forma general. Como cada uno de los números naturales ayb es divisible por un número natural c, existen números naturales a:cyb:c. Multiplicamos su suma por c y transformamos el producto resultante usando la ley de distribución y la definición del cociente (a : c es un número que al multiplicarse por c da a , por lo tanto (a : c ) ∙ c = a ):

(a :c + segundo :c ) ∙c = (a :c ) ∙c + (b :c ) ∙c =a + segundo ,

por tanto, la igualdad (a + b ) :c =a :c + b :c es verdadera.

Si el profesor cree que en su clase la prueba general dada (en letras) aún no está lista para que los estudiantes la perciban, entonces es mejor darla para un caso específico, por ejemplo, esto: (15+ 35) : 5 = 15: 5 + 35: 5. Sin embargo, uno no debe realizar una prueba usando cálculos; asegúrese de que la misma respuesta resulte a la izquierda y a la derecha (en letras, tal "prueba" no funcionará). Es necesario, aunque sobre números específicos, realizar el mismo razonamiento que en la demostración en el caso general, esto acostumbrará gradualmente a los estudiantes a probar enunciados.

de control intermedio. MD. C–3.

1.13. Resolver problemas verbales con multiplicación y división

Este párrafo continúa el trabajo iniciado anteriormente sobre acostumbrar a los escolares a resolver problemas usando métodos aritméticos. En el texto educativo las tareas se resuelven con explicaciones, pero de vez en cuando es necesario dar una instrucción a los alumnos: “Y esta tarea hay que resolverla con preguntas”. Se debe prestar especial atención al hecho de que algunos estudiantes de la escuela primaria tienen conceptos erróneos arraigados sobre la elección de la acción para resolver el problema. Si responden a la pregunta "¿por cuánto?" en el texto del problema, entonces dicen que es necesario restar, etc. Por lo tanto, la tarea 193 debe realizarse en clase y asegurarse de que las acciones para obtener la respuesta se elijan correctamente.

RT. Los problemas 108-117 se pueden usar en las primeras lecciones sobre el tema resolviendo los problemas 108-112 con preguntas y los problemas 113-117 con explicaciones. Resolver los problemas 118–137 implica el uso de todas las acciones estudiadas.

Decisiones y comentarios

193. a) En cada carro se cargaron 8 sacos de papas. ¿Cuántos carros se cargaron con 72 bolsas?

b) Se vertió azúcar en algunas de las 40 bolsas. Quedan 10 bolsas vacías. ¿Cuántas bolsas se llenaron con azúcar granulada?

c) Quedan 2 piezas de tela en el taller de costura de 60 metros cada una ¿cuantos metros de tela quedan?

SOLUCIONES DE PROBLEMAS

Observaciones generales sobre la verificación.

Los criterios se redactan sobre la base de la solución “reducida” al problema.

En el caso de una solución “diferente”, se deben desarrollar otros criterios de acuerdo con los requisitos generales para los criterios.

1. Tanya fue a comprar bolígrafos y lápices. Habiendo gastado todo el dinero, podría comprar 6 bolígrafos o 12 lápices. Decidió con todo el dinero comprar los dos por igual. ¿Cuánto cuesta?

Respuesta: 4.

Decisión.

Un bolígrafo cuesta como dos lápices, y un bolígrafo y un lápiz cuestan como tres lápices. Por lo tanto, Tanya puede comprar 12:3=4 juegos de bolígrafo y lápiz.

Criterios de verificación.

Respuesta justificada por un ejemplo numérico específico: 1 punto

2. Las gemelas Anya, Manya y Tanya hornearon pasteles para su cumpleaños. Si Anya y Manya hornearan el doble de pasteles, la cantidad total de pasteles aumentaría en un 60 %. ¿Qué porcentaje de pasteles horneó Tanya?

Decisión. Si Tanya también horneara el doble de pasteles, entonces todos los pasteles aumentarían en un 100 %. La participación de Anya y Mani es del 60 %, lo que significa que la participación de Tanya: 100 % -60 % = 40 %.

Criterios de verificación.

No hay progreso razonable, pero hay una respuesta: 0 puntos

Se considera un caso especial: 1 punto.

Hay una acción del 100 % al 60 %, pero no se hace ninguna suposición sobre Tanya: 2 puntos

3. Se escribieron cuatro números naturales en la pizarra. Sumándolos de dos en dos de varias maneras diferentes, Petya obtuvo las siguientes seis sumas: 17, 18, 20, 21, 23, 26. Demuestra que Petya se equivocó al calcular las sumas.

Decisión. La suma de las seis sumas por pares es 125. Cada uno de los números escritos en la pizarra se incluye en esta suma tres veces, lo que significa que esta suma debe ser un múltiplo de 3, pero 125 no es divisible por 3.

Criterios de verificación:

Encontró la suma de todas las sumas por pares igual a 125: 1 punto.

Se indica que cada número se utiliza como término tres veces: 2 puntos.

Se hacen las dos afirmaciones anteriores: 3 puntos

Se observa que dado que cada número es un sumando tres veces, entonces la suma debe ser divisible por 3, pero no se llegó a la conclusión de que llegaron a una contradicción: 6 puntos.

La presencia de todos los detalles en la solución: 7 puntos.

2 vías. Ordenemos los números escritos en orden no decreciente: a£b£c£d. Entonces

a+b=17, a+c=18, b+d=23, c+d=26. 18+23=a+b+c+d=17+26. (o 26–23=c–b=18–17) Obtuvimos una contradicción, por lo tanto, hubo un error en los cálculos.

Esta solución se da para demostrar el hecho de que la condición "números naturales" es superflua. Es para enseñar a los niños un enfoque diferente del problema (el método del extremo).

4. Petya tiene un rectángulo de 5×7 y un cuadrado de 1×1. ¿Puede Petya cortar este rectángulo en 2 partes que no son rectángulos y luego usar estas dos partes y el cuadrado de 1×1 dado para formar un cuadrado de 6×6? (Si es posible, debe mostrar cómo se corta el rectángulo y cómo se hace el cuadrado. O explique por qué esto no es posible).

Responder. Quizás.

Se indican varios cortes de un rectángulo y montaje de un cuadrado.

(También hay otras soluciones).

Foto 1

Figura 2.

figura 3

Figura 4

Criterios de verificación:

Si hay un corte, pero solo hay un dibujo, es decir, se muestra cómo ensamblar o cómo cortar: 4 puntos.

5. Seis amigos: Andrey, Vitya, Borya, Sasha, Tolya y Gena, alineados en una fila en orden descendente de su altura (no hay personas de la misma altura entre ellos). Luego Gena y Andrey cambiaron de lugar, Borya y Vitya también cambiaron de lugar y, finalmente, Sasha y Tolya también cambiaron de lugar. Resultó que ahora los chicos están en orden ascendente de su altura. Encuentra al más alto entre los chicos si se sabe que Borya es más alta que Andrey y Gena, pero más baja que Sasha.

Decisión. Dado que después de todas las permutaciones, los muchachos se alinearon en el orden opuesto, el más alto y el más pequeño intercambiaron lugares (1). Este par no puede incluir a Andrey y Gena: ambos son más bajos que Boris (2). Este par no puede incluir a Borya. Es más bajo que Sasha, pero más alto que Andrey, lo que significa que no es ni el más alto ni el más bajo (3). Solo quedaba una pareja: Sasha y Tolya. Sasha es más alta que Bori y no puede ser la más baja (4). Entonces, el más alto es Sasha y el más bajo es Tolya.

Criterios de verificación:

Sólo se indica la respuesta correcta: 1 punto.

Hay una primera afirmación (1): 2 puntos.

Hay afirmaciones (1) y (2): 3 puntos.

Hay afirmaciones (1) y (2) y (3): 6 puntos.

Hay todas las afirmaciones: 7 puntos.

6. Hay 10 fichas en la tira de 1x20 en 10 campos de la izquierda. Una ficha puede moverse a una casilla libre adyacente a la derecha o saltar sobre una ficha adyacente a la derecha a la siguiente casilla si esta casilla está libre. No se permite el movimiento a la izquierda. ¿Es posible reorganizar todas las fichas en una fila sin espacios en orden inverso?

Decisión. Numeramos las fichas con los números 1,2,3,…,9,10.

Ejemplo permutaciones Los movimientos constan de dos partes: movimiento de impares (desmontaje) y movimiento de pares (montaje).

Criterios de verificación:

Todas las permutaciones se indican: 7 puntos.

Se indica el principio y el final, pero hay puntos suspensivos. 6 puntos

Si también está allí, pero hay un pase de movimientos: 5 puntos.

Comentario. El movimiento de cada ficha se muestra en las posiciones inicial y final, los movimientos intermedios son fáciles de restaurar. No tienes que preocuparte por estos pases.

1. En el número escrito en la pizarra, Petya borró tres dígitos y obtuvo un número que es múltiplo de 9. ¿Qué número está escrito ahora en la pizarra? (Indique todas las posibilidades y demuestre que no hay otras).

Un número es divisible por 9 solo si la suma de sus dígitos es divisible por 9. La suma de los dígitos del número escrito es 30. La suma de los tres dígitos del 1 al 3 puede variar del 3 al 9. Por lo tanto, después tachando tres dígitos, la suma de los dígitos del nuevo número puede ser de 23 a 27. De estos, solo 27 son múltiplos de 9. Entonces se tachan tres dígitos, cuya suma es 3, es decir, tres unidades . Habrá un número en la pizarra: .

Criterios de verificación.

Respondido: 1 punto.

Se indica que se necesita la divisibilidad de la suma de dígitos por 9, por lo que se deben tachar tres dígitos cuya suma es 3, lo que quiere decir que son tres unidades: 4 puntos.

Para una solución completa, se debe demostrar que no se puede obtener ninguna otra suma de dígitos que sea múltiplo de 9. Si se hace esto, 7 puntos. Si el razonamiento muestra que se tachan tres unidades y no se presenta el número: menos 1 punto.

2. Natasha e Inna compraron la misma caja de bolsitas de té. Se sabe que con la ayuda de una bolsa prepararon dos o tres tazas de té. Esta caja fue suficiente para Natasha para 53 tazas de té y para Inna para 76. ¿Cuántas bolsas había en la caja? La respuesta debe estar justificada.

Decisión

Tenga en cuenta que no puede haber menos de 26 bolsas en la caja: si hay al menos 25, entonces Inna no podrá beber más = 75 tazas, y bebió 76. Por otro lado, en la caja
no podía haber más de 26 bolsas: si había al menos 27, entonces Natasha no podía beber menos = 54 tazas, y bebió 53. Por lo tanto, había 26 bolsas en la caja: Inna preparó 24 bolsas tres veces y 2 bolsas dos veces, y Natasha preparó 1 sobre tres veces y 25 sobres dos veces.

Criterios de verificación.

Solo contestar 26 sobres presentados: 0 puntos.

Asegúrese de mostrar una forma de beber 53 y 76 tazas de té, de lo contrario, la solución no estará completa. Falta de cada ejemplo: menos 1 punto.

3. Siete gnomos de diferentes edades están sentados en mesa redonda. Se sabe que todo enano puede decir la verdad o la mentira. Cada uno de ellos dijo que era mayor que sus vecinos. ¿Cuál es el mayor número posible de enunciados verdaderos?

Grado. Considere el gnomo anciano. No podía decir la verdad. Los 6 restantes se dividirán en tres pares de vecinos. En cada pareja, solo un enano podía decir la verdad. Así que no más de tres enanos dijeron la verdad. Ejemplo: 7, 5, 6, 3, 4, 1, 2. (Los gnomos están numerados por antigüedad).

Criterios de verificación.

Tarea de evaluación más ejemplo.

Ejemplo: 2 puntos.

Calificación: 4 puntos.

Al evaluar, es importante que los gnomos vecinos no puedan decir la verdad, y si al menos cuatro dicen la verdad, entonces hay vecinos entre ellos.

En total 7 puntos.

Comentario. Si los gnomos se sentaran en fila, entonces 4 gnomos podrían decir la verdad.

6, 7, 4, 5, 2, 3, 1.

4. Se sabe que . Encontrar .

Decisión

Sumemos las fracciones del lado izquierdo:

donde significa . Sumando nuevamente las fracciones en el lado izquierdo de la última igualdad, obtenemos .

Finalmente tenemos

5. Los niños pequeños comieron dulces. Todos comieron 11 dulces menos que todos los demás juntos, pero aun así más de un dulce. ¿Cuántos dulces se comieron en total?

Decisión

Elijamos a uno de los niños, por ejemplo, Petya. Si quitas 11 de todos los demás dulces, quedará el mismo número que el de Petya. Entonces, el doble del número de dulces de Petit es igual al número total de dulces menos once. Lo mismo puede decirse de cualquiera de los niños, lo que significa que todos los niños tienen dulces divididos por igual, digamos, una pila cada uno.
Está claro que todos comieron un número entero de montones menos que el resto juntos. Entonces 11 es divisible por el tamaño de la pila. Esto significa (dado que, por la condición, todos comieron más de 1 dulce), hay montones de 11 dulces, es decir, cada uno comió un montón menos que el resto juntos. Petya comió una pila, por lo tanto, el resto, dos. Así que hay tres montones en total y 33 dulces.
La misma solución también se puede escribir algebraicamente.
Denotamos por S el número total de dulces que comieron los niños. Si uno de los niños comió un dulces, luego por condición todos los demás comieron un+ 11 dulces, y así comieron todos juntos S=a+(un+ 11)= 2un+ 11 caramelos. Este razonamiento es cierto para todos los niños, por lo que todos los niños comieron la misma cantidad de dulces: un =(S- 11)/ 2 piezas.
Denotemos ahora por norte numero de niños. Entonces la condición se escribe como un = un(NORTE- 1)– 11, de donde 11 = un(NORTE- 2). El número 11 es primo, por lo que uno de los factores es 1 y el otro 11. Pero por la condición un> 1, entonces un = 11 , NORTE- 2= uno . De este modo n= 3 y fue comido S=aN=33 dulces.

Responder: 33 caramelos.

Solo respuesta: 0 puntos.

6. En los lados AB y AC del triángulo ABC, tome los puntos K y D, respectivamente. El punto E se eligió para que K sea el punto medio del segmento DE. Resultó que ÐEAK=ÐACB y AE=DC. Demostrar que BD es la bisectriz del ángulo ABC.

Del punto D bajamos las perpendiculares DL y DM a las rectas AB y BC, respectivamente. Del punto E bajamos la perpendicular EN a la línea AB. Los triángulos rectángulos AEN y CDM son iguales en hipotenusa y ángulo agudo. Entonces DM=EN. Además, EN=DL (por igualdad de triángulos rectángulos, si N y L son diferentes, o como coincidente con los segmentos EK y DK, si coinciden los puntos N, L y K).

Por lo tanto, DL=DM, y el punto D es equidistante de los lados del ángulo ABC y, por lo tanto, se encuentra en la bisectriz de este ángulo.

Criterios de verificación. Se omiten las perpendiculares necesarias: 1 punto.

Al probar la igualdad EN=DL, no se consideró el caso de la coincidencia de las bases de las perpendiculares: menos 1 punto.

1. Cubo de número natural norte es divisible por 2010. ¿Se deduce que el número en sí norte divisible por 2010? Respuesta: debería.

Decisión. 2010=2*3*5*67. Los números 2, 3, 5 y 67 son primos.

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif" ancho="19 altura=15" altura="15">.gif" ancho="21" altura="21 src="> es divisible por 3 es divisible por 3,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif" width="19" height="15"> es divisible por 5,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif" width="19" height="15"> es divisible por 67.

Solo respuesta: 0 puntos.

2. Hay botes de diferentes tamaños: A, B, C y D. Se sabe que 11 botes A y 7 botes B contienen la misma cantidad que 12 botes C. 6 botes A y 5 botes B contienen la misma cantidad que 6 botes C y 1 lata D. 6 latas D están completamente llenas de agua. ¿Serán suficientes 3 latas A y 8 latas B para llenar toda el agua de 6 latas D?

Decisión. Sean https://pandia.ru/text/77/496/images/image021_51.gif" height="15 src="> los volúmenes de las latas A, B, C y D, respectivamente. Según el enunciado del problema

Por un sistema de ecuaciones correctamente compuesto: 2 puntos.

3. Dado un paralelogramo KLMN con un vértice afilado k. en las vigas KL y ML se marcan los puntos UN y B respectivamente, y SOY = LM y BK = KL.

a) Demostrar que UN = BN.

b) Demostrar que los triángulos ABN y BKL son similares.

Decisión.

De la igualdad de triángulos AMN y BKN(en dos lados y el ángulo entre ellos) la igualdad de los segmentos sigue UN y BN.

De la igualdad de ángulos AKB y AMB(los ángulos en los vértices de triángulos isósceles similares BKL y LMA) se sigue que los puntos UN, B, k, METRO yacen en el mismo círculo, y dado que

entonces el punto está en este círculo norte. Por lo tanto, los ángulos BNA y BKL en las cimas norte y k triángulos isósceles BNA y BKL son iguales. Entonces los triángulos son semejantes.

Se prueba el inciso a): 3 puntos.

Se prueba el inciso b): 4 puntos.

4. Demuestra que si las ecuaciones y https://pandia.ru/text/77/496/images/image028_31.gif" width="263" height="24"> no tienen raíces.

Decisión.

Tomemos uno arbitrario.

Entonces no tiene raíces, así que para cualquier .

La ecuación no tiene raíces, así que para cualquier . Por lo tanto, para cualquier .

https://pandia.ru/text/77/496/images/image034_29.gif" ancho="255" altura="22 src=">

para cualquiera . esa es la ecuacion

Se demuestra que para cualquier +4 puntos.

Si no hay una explicación correspondiente, entonces no hay una suma correspondiente de puntos.

5. Vasya olvidó el código de cuatro dígitos en la sala de almacenamiento (el código puede ser cualquier cosa del 0000 al 9999). Solo recuerda que el número que especifica el código es divisible por 3 y 7 y no es divisible por 5 y 9. ¿Cuántas opciones tendrá que pasar para adivinar el código con certeza?

Respuesta: 254.

Decisión. 1 manera

El código 0000 no es válido.

Entre los números del 1 al 9999, exactamente =476 son divisibles por 21..gif" width="65" height="39">. Pero entre los 158 números divisibles por 9, y entre los 95 números divisibles por 5, hay son iguales Estos números divisibles por 45. Entre 476 números divisibles por 21, hay exactamente esos números.Entonces hay exactamente +31=254 números que satisfacen la condición del problema.

9*5*7=315, por tanto, entre los números del 1 al 315, del 316 al 630, del 630 al 945, etc., hay el mismo número de números que satisfacen la condición del problema. Del 1 al 315 hay exactamente 8 de esos números (son los números 21, 42, 84, 147, 168, 231, 273, 294). Entonces, de 1 a 315*31=9765 estos números son 31*8=248. Queda por considerar los números del 9766 al 9999 y asegurarse de que entre ellos exactamente 6 números satisfagan la condición del problema (9786, 9807, 9849, 9912, 9933, 9996). Total 248+6=254 números.

Respuesta sin solución: 0 puntos.

Se indica una fórmula como +31=254: + 3 puntos.

Cada error de cálculo: - 1 punto.

Respuesta sin solución: 0 puntos.

Se indica que entre cada uno de los siguientes 315 números, la misma cantidad de números que satisfacen la condición del problema: +3 puntos.

Se calcula que de 1 a 315 exactamente 8 cumple la condición: +1 punto.

Se calcula que de 9766 a 9999 exactamente 6 cumple la condición del problema: +1 punto.

Se indica una fórmula como 248+6=254: +2 puntos.

Si alguien tiene la paciencia de escribir los 254 números y no cometer un error: 7 puntos.

6. Los puntos A y B se toman en la gráfica de la función . De éstas, las perpendiculares al eje de abscisas están rebajadas, las bases de las perpendiculares son HA y HB; C es el origen de coordenadas. Demostrar que el área de la figura delimitada por las rectas CA, CB y el arco AB es igual al área de la figura delimitada por las rectas AHA, BHB, el eje x y el arco AB. 5. Los puntos A y B se toman en el gráfico de la función. De éstas, las perpendiculares al eje de abscisas están rebajadas, las bases de las perpendiculares son HA y HB; C es el origen de coordenadas. Demostrar que el área de la figura delimitada por las rectas CA, CB y el arco AB es igual al área de la figura delimitada por las rectas AHA, BHB, el eje x y el arco AB.

Decisión. Podemos suponer que la abscisa del punto A es menor que la abscisa del punto B (ver la figura) Considere el punto K de la intersección de los segmentos AHA y CB. Entonces la diferencia entre las áreas consideradas es igual a la diferencia entre las áreas del triángulo CAK y el cuadrilátero HAKBHB, que a su vez es igual a la diferencia entre las áreas de los triángulos CAHA y CBHB. Y dado que СHA*AHA=СHB*BHB=2010 (A y B se encuentran en el gráfico), estas áreas son iguales entre sí.

Se muestra que la diferencia entre las áreas consideradas es https://pandia.ru/text/77/496/images/image044_20.gif" width="101" height="23 src=">: 4 puntos.

Se ha probado que o bien : +3 puntos.

1. . Demostrar que para todos los números naturales la desigualdad

Decisión: Divida ambos lados de la desigualdad por un valor positivo, obtenemos la desigualdad Si entonces el grado es negativo y la desigualdad es verdadera..gif" width="61" height="19">: 0 puntos.

tengo la vista o : 1 punto

2. ¿Puede la suma de dígitos de algún k natural ser la misma para los siguientes dos números?

Respuesta: no se puede.

Decisión. Indique https://pandia.ru/text/77/496/images/image061_11.gif" width="171" height="24 src=">. Uno de los tres números consecutivos es divisible por tres, por lo tanto, uno de los números https ://pandia.ru/text/77/496/images/image064_9.gif" width="53" height="21 src="> es divisible por tres, y el otro no lo es. Por tanto, la suma de las cifras de uno solo de ellos es divisible por tres. Por lo tanto, son diferentes.

3. Trinomios cuadrados y raíces reales positivas X 1, X 2 y X 3, X 4, respectivamente, y X1 < X3 < X2 < X4 . Demuestra que el trinomio cuadrado https://pandia.ru/text/77/496/images/image068_9.gif" width="85" height="51 src=">.gif" width="111" height="21 ">.

Otra justificación para las desigualdades es posible: un<-C, b<d, utilizando las propiedades de una función cuadrática.

La solución está dada, pero al pasar de las desigualdades: un<-C y b<d a las desigualdades un 2<C 2, 4b2 <4d2 no se prueba que un, b,-C, d positivo: 5 puntos.

4. 2010 se insertan ceros entre cada dos dígitos de 1331. Demuestra que el número resultante es divisible por 1331.

Decisión. Imagina un número https://pandia.ru/text/77/496/images/image072_8.gif" width="386" height="24">

https://pandia.ru/text/77/496/images/image074_8.gif" width="55" height="35 src="> es divisible por 11 (basado en la divisibilidad por 11), lo que significa 100.. 0013 divisible por 113=1331.

El número se presenta como https://pandia.ru/text/77/496/images/image076_8.gif" width="31" height="24">.

Decisión.Permitir O es el centro del círculo, ya que D AB C es isósceles, entonces BO=jefe. Considere D FBO y D ECO: Ð FBO=Ð ECO= un, novio× CE=6, BO× jefe=antes de Cristo 2/4=6, es decir novio× CE=BO× jefeÛ https://pandia.ru/text/77/496/images/image079_8.gif" width="103 height=38" height="38">. Desde Ð BOF=b, Ð COE=g, entonces РFOE=a. De las igualdades BO= jefe y sigue eso. Considere D ENEMIGO y D ECO: Ð ENEMIGO=Ð ECO=a, y https://pandia.ru/text/77/496/images/image047_16.gif" width="13 height=15" height="15"> la desigualdad es verdadera

Decisión: Divida ambos lados de la desigualdad por un valor positivo, obtenemos la desigualdad Si entonces el grado es negativo y la desigualdad es verdadera..gif" width="61" height="19">: 0 puntos.

tengo la vista o : 1 punto

Probado sólo para uno de los casos o : 3 puntos.

2. Resuelve la ecuación: https://pandia.ru/text/77/496/images/image082_8.gif" height="20 src=">

Respuesta: No hay soluciones.

Primera solución: Secuencia https://pandia.ru/text/77/496/images/image084_7.gif" width="31" height="21">..gif" width="13" height="15"> no es igual a 0. La ecuación no tiene raíces.

Si se nota que es la suma de una progresión geométrica: 1 punto

Se encontró la suma, pero no se llegó a ninguna conclusión: +1 punto.

Sustitución realizada: 1 punto.

Segunda Solución: No es una solución a la ecuación. Divide ambos lados de la ecuación por y obtén la ecuación.

Reescribimos los términos en el siguiente orden

https://pandia.ru/text/77/496/images/image092_6.gif" width="75" height="21">..gif" width="84" height="24"> que tiene raíces , Tenga en cuenta que de acuerdo con la desigualdad de Cauchy y por lo tanto ambas raíces fallan.