Si seguimos la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la razón de incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:
Todo parece estar claro. Pero trata de calcular con esta fórmula, digamos, la derivada de la función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si hace todo por definición, luego de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por lo tanto, hay formas más simples y efectivas.
Para empezar, notemos que las llamadas funciones elementales se pueden distinguir de toda la variedad de funciones. Estas son expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado e ingresado en la tabla durante mucho tiempo. Estas funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.
Derivadas de funciones elementales
Las funciones elementales son todo lo que se enumera a continuación. Las derivadas de estas funciones deben saberse de memoria. Además, no es difícil memorizarlos, por eso son elementales.
Entonces las derivadas funciones elementales:
| Nombre | Función | Derivado |
| Constante | F(X) = C, C ∈ R | 0 (sí, sí, cero!) |
| Grado con exponente racional | F(X) = X norte | norte · X norte − 1 |
| Seno | F(X) = pecado X | porque X |
| Coseno | F(X) = porque X | − pecado X(menos seno) |
| Tangente | F(X) = tg X | 1/cos 2 X |
| Cotangente | F(X) = control X | − 1/sen2 X |
| logaritmo natural | F(X) = registro X | 1/X |
| logaritmo arbitrario | F(X) = registro a X | 1/(X en a) |
| Funcion exponencial | F(X) = mi X | mi X(nada ha cambiado) |
Si una función elemental se multiplica por una constante arbitraria, la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:
(C · F)’ = C · F ’.
En general, las constantes se pueden sacar del signo de la derivada. Por ejemplo:
(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar, multiplicar, dividir y mucho más. De esta manera, aparecerán nuevas funciones, ya no muy elementales, pero también diferenciables en términos de ciertas reglas. Estas reglas se discuten a continuación.
Derivada de suma y diferencia
Deja que las funciones F(X) Y gramo(X), cuyos derivados nos son conocidos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales discutidas anteriormente. Luego puedes encontrar la derivada de la suma y la diferencia de estas funciones:
- (F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
- (F − gramo)’ = F ’ − gramo ’
Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.
Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Hay un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto, la diferencia F − gramo se puede reescribir como una suma F+ (−1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.
F(X) = X 2 + senx; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Función F(X) es la suma de dos funciones elementales, entonces:
F ’(X) = (X 2+ pecado X)’ = (X 2)' + (pecado X)’ = 2X+ cosx;
Argumentamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):
gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Responder:
F ’(X) = 2X+ cosx;
gramo ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Derivado de un producto
Las matemáticas son una ciencia lógica, por lo que mucha gente cree que si la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto Huelga"\u003e igual al producto de derivados. ¡Pero higos para ti! La derivada del producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:
(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’
La fórmula es simple, pero a menudo olvidada. Y no solo escolares, sino también estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.
Una tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 cosx; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .
Función F(X) es un producto de dos funciones elementales, por lo que todo es simple:
F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3) porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X pecado X)
Función gramo(X) el primer multiplicador es un poco más complicado, pero esquema general esto no cambia Obviamente, el primer multiplicador de la función gramo(X) es un polinomio, y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:
gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .
Responder:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi
X
.
Tenga en cuenta que en el último paso, la derivada se factoriza. Formalmente, esto no es necesario, pero la mayoría de las derivadas no se calculan por sí solas, sino para explorar la función. Esto significa que, además, la derivada se igualará a cero, se descubrirán sus signos, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión descompuesta en factores.
Si hay dos funciones F(X) Y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir nueva caracteristica h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función, también puedes encontrar la derivada:
No es débil, ¿verdad? ¿De dónde vino el menos? Por qué gramo 2? ¡Así es como! Esta es una de las fórmulas más complejas: no puedes descifrarla sin una botella. Por lo tanto, es mejor estudiarlo en ejemplos concretos.
Una tarea. Encuentra derivadas de funciones:
Hay funciones elementales en el numerador y denominador de cada fracción, por lo que solo necesitamos la fórmula de la derivada del cociente:
Por tradición, factorizamos el numerador en factores; esto simplificará enormemente la respuesta:
Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de largo. Por ejemplo, basta con tomar la función F(X) = pecado X y reemplaza la variable X, digamos, en X 2+ln X. Resulta F(X) = pecado ( X 2+ln X) es una función compleja. Ella también tiene un derivado, pero no funcionará para encontrarlo de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente.
¿Cómo ser? En tales casos, la sustitución de una variable y la fórmula para la derivada de una función compleja ayudan:
F ’(X) = F ’(t) · t', si X es reemplazado por t(X).
Como regla general, la situación con la comprensión de esta fórmula es aún más triste que con la derivada del cociente. Por tanto, también es mejor explicarlo con ejemplos concretos, con Descripción detallada cada paso.
Una tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2+ln X)
Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X, entonces obtenemos una función elemental F(X) = mi X. Por lo tanto, hacemos una sustitución: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Estamos buscando la derivada de una función compleja por la fórmula:
F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’
Y ahora, ¡atención! Realizando una sustitución inversa: t = 2X+ 3. Obtenemos:
F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3
Ahora veamos la función gramo(X). Obviamente necesita ser reemplazado. X 2+ln X = t. Tenemos:
gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’
Reemplazo inverso: t = X 2+ln X. Luego:
gramo ’(X) = porque( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = porque ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).
¡Eso es todo! como se ve desde última expresión, todo el problema se reducía a calcular la derivada de la suma.
Responder:
F ’(X) = 2 mi
2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque ( X 2+ln X).
Muy a menudo en mis lecciones, en lugar del término "derivado", uso la palabra "carrera". Por ejemplo, el trazo de la suma es igual a la suma de los trazos. ¿Está más claro? Bueno, eso es bueno.
Por lo tanto, el cálculo de la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Como último ejemplo Volvamos a la potencia derivada con exponente racional:
(X norte)’ = norte · X norte − 1
Pocos saben que en el papel norte bien puede ser un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0.5 . Pero, ¿y si hay algo complicado debajo de la raíz? Nuevamente, resultará una función compleja: les gusta dar tales construcciones en trabajo de control y exámenes.
Una tarea. Encuentra la derivada de una función:
Primero, reescribamos la raíz como una potencia con un exponente racional:
F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Ahora hacemos una sustitución: sea X 2 + 8X − 7 = t. Encontramos la derivada por la fórmula:
F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0,5 t ’.
Realizamos una sustitución inversa: t = X 2 + 8X− 7. Tenemos:
F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Finalmente, de vuelta a las raíces:
Encontrar la derivada de una función matemática se llama diferenciación. Encontrar la derivada de una función matemática es un problema común en las matemáticas superiores. Puedes hablar de diferentes maneras: encuentra una derivada, calcula una derivada, deriva una función, saca una derivada, pero todos estos son los mismos conceptos. Hay, por supuesto, tareas dificiles, en el que encontrar la derivada es solo uno de los componentes del problema. En nuestro servicio de sitio web, tiene la oportunidad de calcular la derivada en línea de funciones elementales y complejas que no tienen una solución analítica. La derivada en línea de nuestro servicio se puede encontrar a partir de casi cualquier función matemática, incluso la más compleja que otros servicios no pudieron resolver por usted. Y la respuesta recibida es siempre 100% correcta y excluye errores. Puedes ver cómo se lleva a cabo el proceso de búsqueda de un derivado en nuestra web mediante ejemplos concretos. Los ejemplos están a la derecha del botón "Solución". Seleccione cualquier función de la lista de ejemplos, se sustituirá automáticamente en el campo de función y luego haga clic en el botón "Solución". Verá una solución paso a paso, su derivada se encontrará de la misma manera. Beneficios de resolver la derivada en línea. Incluso si sabe cómo encontrar derivados, este proceso puede llevar mucho tiempo y esfuerzo. El sitio de servicio está diseñado para evitarle cálculos tediosos y largos, en los que, además, puede cometer un error. La derivada en línea se calcula con un clic del botón "Solución" después de ingresar la función dada. Además, el sitio es perfecto para aquellos que quieren probar su habilidad para encontrar la derivada de una función matemática y asegurarse de que decisión independiente o encontrar el error cometido en él. Para hacer esto, solo necesita comparar su respuesta con el resultado de los cálculos del servicio en línea. Si no desea utilizar tablas de derivadas con las que encontrar función deseada toma suficiente tiempo, luego use nuestro servicio en lugar de tablas de derivadas para encontrar la derivada. Las principales ventajas de nuestro sitio en comparación con otros servicios similares son que el cálculo es muy rápido (en promedio, 5 segundos) y no tiene que pagar nada por él: el servicio es absolutamente gratuito. No será necesario que se registre, ingrese el correo electrónico o sus datos personales. Todo lo que se necesita es ingresar a la función dada y presionar el botón "Solución". Que es un derivado. La derivada de una función es un concepto básico en matemáticas y cálculo. El reverso de este proceso es la integración, es decir, encontrar una función por una derivada conocida. En pocas palabras, la diferenciación es una acción sobre una función, y la derivada ya es el resultado de tal acción. Para calcular la derivada de una función en un punto particular, el argumento x se reemplaza por un valor numérico y se evalúa la expresión. La derivada se indica con un guión en la esquina superior derecha sobre la función. Además, un trazo puede ser una designación de una función específica. Para encontrar la derivada de una función elemental necesitarás conocer la tabla de derivadas o tenerla siempre a la mano, lo cual puede no ser muy conveniente, y también conocer las reglas de derivación, por lo que te recomendamos utilizar nuestro servicio donde se calcula la derivada en línea, solo necesita ingresar la función en el campo provisto para esto. El argumento debe ser la variable x, ya que la diferenciación se hace con respecto a ella. Si necesita calcular la segunda derivada, entonces puede diferenciar la respuesta. Cómo se calcula la derivada en línea. Ya se han creado tablas de derivadas para funciones elementales y puede encontrar fácilmente tablas de derivadas para funciones elementales, por lo que calcular la derivada de una función matemática elemental (simple) es un asunto bastante simple. Sin embargo, cuando se requiere encontrar la derivada de una función matemática compleja, ya no es una tarea trivial y requerirá mucho esfuerzo y tiempo. Puede deshacerse de cálculos largos y sin sentido si utiliza nuestro Servicio en línea. Gracias a él, la derivada se calculará en cuestión de segundos.
Es absolutamente imposible resolver problemas físicos o ejemplos matemáticos sin conocimientos sobre la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es un derivado, cuál es su forma física y significado geométrico¿Cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?
Significado geométrico y físico de la derivada
Sea una función f(x) , dado en algún intervalo (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia de sus valores x-x0 . Esta diferencia se escribe como delta x y se llama incremento de argumento. El cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de la función en dos puntos. Definición de derivada:
La derivada de una función en un punto es el límite de la razón del incremento de la función en un punto dado al incremento del argumento cuando este último tiende a cero.
De lo contrario, se puede escribir así:
¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Pero cual:
la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.
El significado físico de la derivada: la derivada temporal de la trayectoria es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.
De hecho, desde la época escolar, todo el mundo sabe que la velocidad es un camino privado. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un cierto período de tiempo:
Para saber la velocidad de movimiento a la vez t0 necesitas calcular el límite:
Regla uno: sacar la constante
La constante se puede sacar del signo de la derivada. Además, hay que hacerlo. Al resolver ejemplos en matemáticas, tome como regla: si puedes simplificar la expresión, asegúrate de simplificar .
Ejemplo. Calculemos la derivada:
Regla dos: derivada de la suma de funciones
La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.
No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.
Encuentra la derivada de una función:
Regla tres: la derivada del producto de funciones
La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:
Ejemplo: encontrar la derivada de una función:
Solución: 
Aquí es importante decir sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.
En el ejemplo anterior, encontramos la expresión:
EN este caso el argumento intermedio es 8x a la quinta potencia. Para calcular la derivada de tal expresión, primero consideramos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.
Regla Cuatro: La derivada del cociente de dos funciones
Fórmula para determinar la derivada de un cociente de dos funciones:
Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular derivadas.
Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes ponerte en contacto con el servicio de atención al estudiante. Detrás término corto lo ayudaremos a resolver la prueba más difícil y lidiar con las tareas, incluso si nunca antes se ha ocupado del cálculo de derivadas.
Se presenta la prueba y derivación de la fórmula para la derivada del coseno - cos(x). Ejemplos de cálculo de derivadas de cos 2x, cos 3x, cos nx, coseno al cuadrado, al cubo y elevado a n. La fórmula para la derivada del coseno de orden n.
La derivada con respecto a la variable x del coseno de x es igual a menos el seno de x:
(cos x)′ = - sen x.
Prueba
Para derivar la fórmula de la derivada del coseno, usamos la definición de la derivada:
.
Transformemos esta expresión para reducirla a leyes y reglas matemáticas conocidas. Para hacer esto, necesitamos conocer cuatro propiedades.
1)
Fórmulas trigonométricas. Necesitamos la siguiente fórmula:
(1)
;
2)
Propiedad de continuidad de la función seno:
(2)
;
3)
El significado del primer límite notable:
(3)
;
4)
La propiedad límite del producto de dos funciones:
si y entonces
(4)
.
Aplicamos estas leyes hasta nuestro límite. Primero transformamos la expresión algebraica
.
Para ello aplicamos la fórmula
(1)
;
En nuestro caso
; . Luego
;
;
;
.
Hagamos una sustitución. En , . Usamos la propiedad de continuidad (2):
.
Hacemos la misma sustitución y aplicamos el primer límite notable (3):
.
Como existen los límites calculados anteriormente, aplicamos la propiedad (4):
.
Así, hemos obtenido la fórmula de la derivada del coseno.
Ejemplos
Considerar ejemplos simples encontrar derivadas de funciones que contienen coseno. Encontremos las derivadas de las siguientes funciones:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cos nx; y= porque 2x; y= porque 3x y y= porque n x.
Ejemplo 1
encontrar derivadas de porque 2x, porque 3x Y porque nx.
Solución
Las funciones originales tienen una forma similar. Por lo tanto, encontraremos la derivada de la función y = cos nx. Entonces, como un derivado de porque nx, sustituya n = 2 y n = 3 . Y, así, obtenemos fórmulas para derivados de porque 2x Y porque 3x .
Entonces, encontramos la derivada de la función
y = cos nx
.
Representemos esta función de la variable x como una función compleja que consta de dos funciones:
1)
2)
Entonces la función original es una función compleja (compuesta) compuesta por las funciones y :
.
Encontremos la derivada de la función con respecto a la variable x:
.
Encontremos la derivada de la función con respecto a la variable:
.
Aplicamos.
.
Sustituto:
(P1) .
Ahora, en la fórmula (P1) sustituimos y :
;
.
Responder
;
;
.
Ejemplo 2
Encuentre derivadas de coseno al cuadrado, coseno al cubo y coseno elevado a la potencia de n:
y= porque 2x; y= porque 3x; y= porque n x.
Solución
En este ejemplo, las funciones también tienen un aspecto similar. Por lo tanto, encontraremos la derivada de la función más general, el coseno elevado a n:
y= porque n x.
Luego sustituimos n = 2 y n = 3 . Y, así, obtenemos fórmulas para las derivadas de coseno al cuadrado y coseno al cubo.
Entonces, necesitamos encontrar la derivada de la función
.
Reescribámoslo de una forma más comprensible:
.
Representemos esta función como una función compleja que consta de dos funciones:
1)
Funciones dependientes de variables : ;
2)
Funciones dependientes de variables : .
Entonces la función original es una función compleja compuesta por dos funciones y:
.
Encontramos la derivada de la función con respecto a la variable x:
.
Encontramos la derivada de la función con respecto a la variable:
.
Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja.
.
Sustituto:
(P2) .
Ahora sustituyamos y:
;
.
Responder
;
;
.
Derivados de órdenes superiores
Tenga en cuenta que la derivada de porque x de primer orden se puede expresar en términos de coseno de la siguiente manera:
.
Encontremos la derivada de segundo orden usando la fórmula para la derivada de una función compleja:
.
Aquí .
Nótese que la diferenciación porque x hace que su argumento se incremente en . Entonces la derivada de orden n tiene la forma:
(5)
.
Esta fórmula se puede probar más estrictamente usando el método de inducción matemática. La demostración de la n-ésima derivada del seno se encuentra en la página “Derivada del seno”. Para la n-ésima derivada del coseno, la prueba es exactamente la misma. Solo es necesario reemplazar sen por cos en todas las fórmulas.
Demostración y derivación de fórmulas para la derivada de la exponencial (e elevada a x) y la función exponencial (a elevada a x). Ejemplos de cálculo de derivadas de e^2x, e^3x y e^nx. Fórmulas para derivadas de órdenes superiores.
La derivada del exponente es igual al propio exponente (la derivada de e elevado a x es igual a e elevado a x):
(1)
(e x )′ = e x.
La derivada de una función exponencial con base de grado a es igual a la propia función, multiplicada por el logaritmo natural de a:
(2)
.
Derivación de la fórmula para la derivada del exponente, e a la potencia de x
El exponente es una función exponencial cuya base exponencial es igual al número e, que es el siguiente límite:
.
Aquí puede ser un número natural o real. A continuación, derivamos la fórmula (1) para la derivada del exponente.
Derivación de la fórmula para la derivada del exponente
Considere el exponente, e a la potencia de x :
y = e x .
Esta función está definida para todos. Encontremos su derivada con respecto a x. Por definición, la derivada es el siguiente límite:
(3)
.
Transformemos esta expresión para reducirla a propiedades y reglas matemáticas conocidas. Para ello necesitamos los siguientes datos:
PERO) Propiedad del exponente:
(4)
;
B) Propiedad del logaritmo:
(5)
;
EN) Continuidad del logaritmo y propiedad de los límites para una función continua:
(6)
.
Aquí, hay una función que tiene un límite y este límite es positivo.
GRAMO) El significado del segundo límite maravilloso:
(7)
.
Aplicamos estos hechos a nuestro límite (3). Usamos la propiedad (4):
;
.
Hagamos una sustitución. Luego ; .
Debido a la continuidad del exponente,
.
Por lo tanto, en , . Como resultado, obtenemos:
.
Hagamos una sustitución. Luego . En , . Y tenemos:
.
Aplicamos la propiedad del logaritmo (5):
. Luego
.
Apliquemos la propiedad (6). Como hay un límite positivo y el logaritmo es continuo, entonces:
.
Aquí también usamos el segundo límite notable (7). Luego
.
Así, hemos obtenido la fórmula (1) para la derivada del exponente.
Derivación de la fórmula para la derivada de la función exponencial
Ahora derivamos la fórmula (2) para la derivada de la función exponencial con una base de grado a. Creemos eso y . Entonces la función exponencial
(8)
Definido para todos.
Transformemos la fórmula (8). Para esto usamos propiedades de la función exponencial y logaritmo.
;
.
Entonces, hemos transformado la fórmula (8) a la siguiente forma:
.
Derivadas de orden superior de e a la potencia de x
Ahora encontremos derivadas de órdenes superiores. Veamos primero el exponente:
(14)
.
(1)
.
Vemos que la derivada de la función (14) es igual a la función (14) misma. Derivando (1), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.
Esto muestra que la derivada de n-ésimo orden también es igual a la función original:
.
Derivadas de orden superior de la función exponencial
Ahora considere una función exponencial con una base de grado a:
.
Encontramos su derivada de primer orden:
(15)
.
Derivando (15), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.
Vemos que cada diferenciación conduce a la multiplicación de la función original por . Por lo tanto, la n-ésima derivada tiene la siguiente forma:
.
