1) Alcance de funciones y rango de funciones.
El alcance de una función es el conjunto de todos los valores válidos válidos del argumento X(variable X) para el cual la función y = f(x) definido. El rango de una función es el conjunto de todos los valores reales y que la función acepta.
En matemáticas elementales, las funciones se estudian solo en el conjunto de números reales.
2) Ceros de función.
El cero de la función es el valor del argumento en el que el valor de la función es igual a cero.
3) Intervalos de constancia de signo de una función.
Los intervalos de signo constante de una función son conjuntos de valores de argumento en los que los valores de la función son solo positivos o solo negativos.
4) Monotonicidad de la función.
Una función creciente (en un intervalo determinado) es una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.
Función decreciente (en algún intervalo): una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor menor de la función.
5) Funciones pares (impares).
Una función par es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X del dominio de definición la igualdad f(-x) = f(x). La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.
Una función impar es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X del dominio de definición la igualdad f(-x) = - f(x). La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.
6) Funciones limitadas e ilimitadas.
Una función se llama acotada si existe un número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos los valores de x. Si no existe tal número, entonces la función es ilimitada.
7) Periodicidad de la función.
Una función f(x) es periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x del dominio de la función, f(x+T) = f(x). Este número más pequeño se llama el período de la función. Todas las funciones trigonométricas son periódicas. (Fórmulas trigonométricas).
19. Funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas. Aplicación de funciones en la economía.
Funciones elementales básicas. Sus propiedades y gráficas.
1. Función lineal.
Función lineal se llama función de la forma , donde x es una variable y y b son números reales.
Número pero Llamada pendiente de una línea recta, es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta línea recta a la dirección positiva del eje x. La gráfica de una función lineal es una línea recta. Está definido por dos puntos.
Propiedades de funciones lineales
1. Dominio de definición: el conjunto de todos los números reales: D (y) \u003d R
2. El conjunto de valores es el conjunto de todos los números reales: E(y)=R
3. La función toma un valor cero para o.
4. La función crece (decrece) en todo el dominio de definición.
5. La función lineal es continua en todo el dominio de definición, derivable y .
2. Función cuadrática.
Una función de la forma, donde x es una variable, los coeficientes a, b, c son números reales, se llama cuadrático.
1. Función fraccionaria lineal y su gráfica
Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se denomina función racional fraccionaria.
Probablemente ya esté familiarizado con el concepto de números racionales. similar funciones racionales son funciones que se pueden representar como cociente de dos polinomios.
Si una función racional fraccionaria es un cociente de dos funciones lineales - polinomios de primer grado, es decir ver función
y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama fraccionario lineal.
Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario, la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario, el función es una constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales, excepto para x = -d/c. Las gráficas de funciones fraccionarias lineales no difieren en forma de la gráfica que conoces y = 1/x. La curva que es la gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado de x en valor absoluto, la función y = 1/x decrece indefinidamente en valor absoluto y ambas ramas de la gráfica se acercan al eje de abscisas: la derecha se acerca por arriba y la izquierda por abajo. Las rectas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.
Ejemplo 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Solución.
Seleccionemos la parte entera: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazar 3 segmentos unitarios a la derecha, estirar a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazar 2 segmentos de unidad hacia arriba.
Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de la misma forma, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones fraccionarias lineales son hipérbolas desplazadas a lo largo de los ejes de coordenadas de varias maneras y alargadas a lo largo del eje Oy.
Para trazar un gráfico de alguna función lineal-fraccional arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará encontrar las rectas a las que se aproximan sus ramas - las asíntotas de la hipérbola x = -d/c y y = a/c.
Ejemplo 2
Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).
Solución.
La función no está definida, para x = -1. Por lo tanto, la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüe a qué se acercan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.
Para ello, dividimos el numerador y el denominador de la fracción por x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Como x → ∞ la fracción tiende a 3/2. Por tanto, la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.
Ejemplo 3
Traza la función y = (2x + 1)/(x + 1).
Solución.
Seleccionamos la “parte entera” de la fracción:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una representación simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de intervalos de 2 unidades hacia arriba a lo largo del eje Oy.
Dominio de definición D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función crece en cada uno de los intervalos del dominio de definición.
Respuesta: figura 1.
2. Función fraccional-racional
Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado mayor que el primero.
Ejemplos de tales funciones racionales:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Si la función y = P(x) / Q(x) es un cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfico será, por regla general, más complicado y, a veces, puede ser difícil construirlo exactamente. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces es suficiente aplicar técnicas similares a las que ya hemos conocido anteriormente.
Sea la fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.
Trazar funciones racionales fraccionarias
Considere varias formas de representar gráficamente una función fraccionaria-racional.
Ejemplo 4
Trace la función y = 1/x 2 .
Solución.
Usamos el gráfico de la función y \u003d x 2 para trazar el gráfico y \u003d 1 / x 2 y usamos el método de "dividir" los gráficos.
Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rango de valores E(y) = (0; +∞).
No hay puntos de intersección con los ejes. La función es pareja. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x desde 0 hasta +∞.
Respuesta: figura 2.
Ejemplo 5
Trace la función y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Solución.
Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x/3 + 1/3.
Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.
Respuesta: figura 3.
Ejemplo 6
Trace la función y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Solución.
El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica respecto al eje y. Antes de construir un gráfico, transformamos nuevamente la expresión resaltando la parte entera:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Tenga en cuenta que la selección de la parte entera en la fórmula de una función racional fraccionaria es una de las principales al trazar gráficos.
Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir, la recta y = 1 es una asíntota horizontal.
Respuesta: figura 4.
Ejemplo 7
Considere la función y = x/(x 2 + 1) e intente encontrar exactamente su valor más grande, es decir, el punto más alto en la mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Es obvio que nuestra curva no puede "trepar" muy alto, ya que el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, debes resolver la ecuación x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Entonces nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, debe averiguar para qué A más grande la ecuación A \u003d x / (x 2 + 1) tendrá una solución. Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Ax 2 - x + A \u003d 0. Esta ecuación tiene una solución cuando 1 - 4A 2 ≥ 0. A partir de aquí encontramos el valor más grande A \u003d 1/2. 
Respuesta: Figura 5, max y(x) = ½.
¿Tiene usted alguna pregunta? ¿No sabes cómo construir gráficas de funciones?
Para obtener la ayuda de un tutor, regístrese.
¡La primera lección es gratis!
sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.
Su privacidad es importante para nosotros. Por esta razón, hemos desarrollado una Política de privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Lea nuestra política de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.
Recopilación y uso de información personal
La información personal se refiere a los datos que se pueden utilizar para identificar o contactar a una persona específica.
Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.
Los siguientes son algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.
Qué información personal recopilamos:
- Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar información diversa, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.
Cómo usamos tu información personal:
- La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted e informarle sobre ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
- De vez en cuando, podemos usar su información personal para enviarle avisos y mensajes importantes.
- También podemos utilizar la información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos y diversas investigaciones para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
- Si participa en un sorteo, concurso o incentivo similar, podemos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.
Divulgación a terceros
No divulgamos la información que recibimos de usted a terceros.
Excepciones:
- En caso de que sea necesario, de conformidad con la ley, orden judicial, en procedimientos judiciales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de organismos estatales en el territorio de la Federación Rusa, divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada por razones de seguridad, cumplimiento de la ley u otras razones de interés público.
- En el caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.
Protección de datos personales
Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal de pérdida, robo y uso indebido, así como del acceso, divulgación, alteración y destrucción no autorizados.
Mantener su privacidad a nivel de empresa
Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos las prácticas de privacidad y seguridad a nuestros empleados y hacemos cumplir estrictamente las prácticas de privacidad.
Definición: Una función numérica es una correspondencia que asigna un solo número y a cada número x de un conjunto dado.
Designacion:
donde x es una variable independiente (argumento), y es una variable dependiente (función). El conjunto de valores x se denomina dominio de la función (denotado D(f)). El conjunto de valores y se denomina rango de la función (indicado por E(f)). La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de coordenadas (x, f(x))
Formas de configurar una función.
- método analítico (utilizando una fórmula matemática);
- método tabular (usando una tabla);
- método descriptivo (usando una descripción verbal);
- método gráfico (utilizando un gráfico).
Propiedades básicas de la función.
1. Pares e impares
Una función se llama incluso si
– el dominio de definición de la función es simétrico con respecto a cero
f(-x) = f(x)
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje 0 años
Una función se llama impar si
– el dominio de definición de la función es simétrico con respecto a cero
– para cualquier x del dominio de definición f(-x) = -f(x)
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.
2. Periodicidad
La función f(x) se llama periódica con periodo si para cualquier x del dominio de definición f(x) = f(x+T) = f(x-T) .
La gráfica de una función periódica consiste en repetir infinitamente fragmentos idénticos.
3. Monotonía (aumento, disminución)
La función f(x) crece en el conjunto P si para cualquier x 1 y x 2 de este conjunto, tal que x 1
La función f(x) decrece en el conjunto P si para cualquier x 1 y x 2 de este conjunto, tal que x 1 f(x 2) .
4. Extremos
El punto X max se llama punto máximo de la función f (x) si para todo x de alguna vecindad X max se cumple la desigualdad f (x) f (X max).
El valor Y max =f(X max) se llama el máximo de esta función.
X max - punto máximo
Max tiene un máximo
El punto X min se llama punto mínimo de la función f(x) si para todo x de alguna vecindad X min se cumple la desigualdad f(x) f(X min).
El valor de Y min =f(X min) se llama el mínimo de esta función.
X min - punto mínimo
Y min - mínimo
X min , X max - puntos extremos
Y min , Y max - extremos.
5. Función ceros
El cero de la función y = f(x) es el valor del argumento x en el que la función desaparece: f(x) = 0.
X 1, X 2, X 3 son ceros de la función y = f(x).
Tareas y pruebas sobre el tema "Propiedades básicas de una función"
- Propiedades de la función - Funciones numéricas Grado 9
Lecciones: 2 Tareas: 11 Pruebas: 1
- Propiedades de los logaritmos
Lecciones: 2 Tareas: 14 Pruebas: 1
- Función raíz cuadrada, sus propiedades y gráfica - Función raíz cuadrada. Propiedades de la raíz cuadrada Grado 8
Lecciones: 1 Tareas: 9 Pruebas: 1
- Funciones de potencia, sus propiedades y gráficas - Grados y raíces. Funciones de poder Grado 11
Lecciones: 4 Tareas: 14 Pruebas: 1
- La función exponencial, sus propiedades y gráfica - Funciones exponenciales y logarítmicas Grado 11
Lecciones: 1 Tareas: 15 Pruebas: 1
Habiendo estudiado este tema, debería poder encontrar el dominio de definición de varias funciones, determinar los intervalos de monotonicidad de una función usando gráficos y examinar funciones para pares e impares. Considere la solución de tales problemas en los siguientes ejemplos.
Ejemplos.
1. Encuentra el dominio de la función.
Solución: el alcance de la función se encuentra a partir de la condición
por tanto, la función f(x) es par.
Responder: incluso.
D(f) = [-1; 1] es simétrica con respecto a cero.
| 2) |
por tanto, la función no es ni par ni impar.
Responder: ni par ni par.
