Olimpiadas matemáticas y problemas de olimpíadas.

Tarea 1:

Encuentre todos los triples de números distintos de cero a, byc que forman una progresión aritmética y tales que los números , , también se pueden componer progresión aritmética.

Solución: Por la propiedad de la progresión aritmética tenemos a + c = 2b y una de las siguientes ecuaciones

El primer caso conduce a la ecuación b² = 2ac, que no tiene soluciones para a + c = 2b; los otros dos conducen a la misma respuesta: todos los triples de la forma - 2t, - 0,5t, t, donde t ≠ 0.

Respuesta: - 2t, - 0,5t y t para t ≠ 0.

Tarea 2:

Encuentra tripletas de los números a, b y c, que son potencias de cinco con exponentes enteros no negativos, de modo que asignando la notación decimal de uno de ellos a la notación decimal del otro obtenemos el tercer número.

Solución: Sean a = 5 n , b = 5 m , c = 5 k y el número b contiene exactamente t decimales. Tenemos la ecuación: 5 n 10 t + 5 m = 5 k. obviamente m< k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2 t + 5 m - n - t = 5 k - t , либо 5 n - m + t • 2 t + 1 = 5 k - m . Первое уравнение имеет única decisión en números enteros t = 2, m - n - t = 0, k - t = 1, de donde b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 y los números requeridos son 1, 25, 125. La segunda ecuación se satisface sólo para n - m + t = 0, lo que lleva al caso anterior.

Respuesta: 1, 25 y 125.

Tarea 3:

Los ceros se escriben en los vértices y puntos de intersección de las diagonales de un pentágono regular. En un movimiento, puedes sumar + 1 o - 1 simultáneamente a todos los números ubicados en cualquiera de las diagonales del pentágono. ¿Cuál de los pentágonos que se muestran en las imágenes se puede obtener en unos pocos movimientos?

0,5 mm em:ancho de línea 0,4 pt 0,4 pt

((Propuesto por S.E. Nokhrin.))

Solución: Numeremos las diagonales del pentágono con números del 1 al 5, y sea x i el número de unidades sumadas a la i-ésima diagonal. El número en cualquier vértice (el punto de intersección de las diagonales) es igual a la suma de los números x i sobre todo i tal que la i-ésima diagonal pasa por este vértice (el punto de intersección de las diagonales). Tenemos un sistema de diez ecuaciones con cinco incógnitas, que resulta inconsistente en todos los casos representados en las figuras.

Respuesta: no se puede obtener ningún pentágono.

Tarea 4:

En un triángulo agudo ABC se dibujan las altitudes: AH, BK y CL. Encuentra el perímetro del triángulo HKL si se conocen la altura AH = h y el ángulo ∠ BAC = α.

((Propuesto por V.N. Ushakov.))

Solución: Las líneas KL, KH y HL (ver figura) cortan triángulos similares a ∆ ABC de ∆ ABC. De hecho, ∆ CHA ∽ ∆ CKB según el criterio I de similitud de triángulos (2 ángulos iguales). De aquí. Pero entonces ∆ KHC ∽ ∆ BAC según el criterio II de similitud de triángulos (proporcionalidad de los lados e igualdad de ángulos entre estos lados). De manera similar, se demuestra que ∆ AKL ∽ ∆ ABC y ∆ BHL ∽ ∆ ABC. Entonces, tenemos ∠ HLB = ∠ ALK = ∠ C, ∠ AKL = ∠ CKH = ∠ B. Entonces los puntos H′ y H″, simétricos al punto H con respecto a las rectas AB y AC, respectivamente, se encuentran en la recta KL. De hecho, ∠ HLB = ∠ H′LB (ya que ∆ HLO′ = ∆ H′LO′), pero ∠ HLB = ∠ ALK, por lo tanto ∠ ALK = ∠ H′LB, lo que significa que los puntos K, L, H′ se encuentran en el misma línea recta. De manera similar se demuestra que H”, K, L se encuentran en la misma recta. El segmento H″H′ es igual al perímetro ∆ KLH (KH = KH″ y LH = LH′). Consideremos ahora ∆ H″AH′. es isósceles porque AH′ = AH = AH", y ∠ H″AH′ = 2 (∠ CAH + ∠ BAH) = \ = 2 α . Por lo tanto H″H′ = 2AH′ sin \, α . Entonces, el perímetro ∆ KLH es igual a 2h sen \, α .

1. Resuelve un acertijo numérico.

2. Ignat tiene ahora cuatro veces su edad más años que su hermana en ese momento cuando tenía la mitad de su edad. ¿Cuántos años tiene Ignat ahora, si dentro de 15 años él y su hermana cumplirán 100 años juntos?

3. Los niños en parejas salen del bosque donde estaban recogiendo nueces. Cada pareja está formada por un niño y una niña, y el niño tiene el doble o la mitad de nueces que la niña. ¿Podría ser que todos tengan nueces de 2011 juntas?

4. Corta un rectángulo con lados 4 y 9 en la menor cantidad de pedazos para formar un cuadrado con ellos.

5. En la isla de O viven caballeros que siempre dicen la verdad, y mentirosos que siempre mienten. El viajero se encontró con dos nativos: A y B. El nativo A pronunció la frase:

Por al menos Uno de nosotros (A o B) es un mentiroso.

¿Es posible decir quién es A y quién es B (caballero o bribón)?

Tareas olímpicas etapa municipal matemáticas

1. Encuentre todos los números de tres dígitos de modo que la suma de los dígitos del número sea 11 veces menor que el número en sí https://pandia.ru/text/78/035/images/image003_105.gif" width="27 " height="17"> los puntos cuadrados se toman de modo que la línea recta cruza el lado en el punto, la línea recta cruza el lado en el punto y https://pandia.ru/text/78/035/images/image013_32 .gif" ancho="104" alto="21">.

https://pandia.ru/text/78/035/images/image015_30.gif" ancho="96" alto="24">

5. Al pasar revista a las tropas de la Isla de los Mentirosos y los Caballeros (los mentirosos siempre mienten, los caballeros siempre dicen la verdad), el líder puso en fila a todos los guerreros. Cada uno de los guerreros que estaban en la fila dijo: “Mis vecinos en la fila son mentirosos”. (Los guerreros que estaban al final de la fila dijeron: “Mi vecino en la fila es un mentiroso”). mayor numero¿Podrían los Knights estar en línea si los Warriors de 2011 salieran a revisión?

Tareas olímpicas etapa municipal Olimpiada de toda Rusia Niños de escuela matemáticas

1. Vasya escribió varios números enteros en la pizarra. Petya firmó su cuadrado debajo de cada uno de los números de Vasya. Después de lo cual Masha sumó todos los números escritos en la pizarra y obtuvo 2011. Demuestre que uno de los chicos estaba equivocado.

2. La cooperativa recibe zumo de manzana y uva en latas idénticas y produce una bebida de manzana y uva en latas idénticas. Uno puede jugo de manzana suficiente para exactamente 6 latas de la bebida y una lata de jugo de uva, exactamente 10. Cuando se cambió la receta de la bebida, una lata de jugo de manzana fue suficiente para exactamente 5 latas de la bebida. ¿Cuántas latas de bebida son suficientes para una lata ahora? jugo de uva? (La bebida no se diluye con agua).

3..gif" ancho="43" alto="21 src=">.gif" ancho="64" alto="21 src=">.gif" ancho="37" alto="19 src="> isósceles.

4. ¿Demuestra que para todos los https://pandia.ru/text/78/035/images/image023_20.gif" width="13" height="15"> positivos la diferencia en las raíces de la ecuación es igual a 3?

3. Dado PAG puntos, de los cuales no hay cuatro que pertenezcan al mismo plano. ¿Cuántos planos se pueden dibujar a través de diferentes tripletas de estos puntos?

4..gif" width="12" height="15 src=">, formando una progresión aritmética y de manera que también se puede hacer una progresión aritmética a partir de números.

5. Las diagonales de un paralelogramo se cruzan en el punto. Sean y los puntos de intersección de círculos, uno de los cuales pasa por los puntos https://pandia.ru/text/78/035/images/image031_14.gif" width="16" height="17 src=">, y el otro a través de y https://pandia.ru/text/78/035/images/image002_138.gif" width="19" height="19">, si el punto se encuentra en el segmento y no coincide con su termina.

Tareas olímpicasetapa municipal matemáticas

Séptimo grado

Al menos uno de nosotros (A o B) es mentiroso.

¿Es posible decir quién es A y quién es B (caballero o bribón)?

Tareas olímpicasetapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

Octavo grado

Tareas olímpicasetapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

Noveno grado

1. ¿Qué números de cinco dígitos son más grandes: aquellos cuyos números están en orden estrictamente ascendente o aquellos cuyos números están en orden estrictamente descendente? (Por ejemplo, el primer grupo incluye el número 12.459, pero no incluye los números 12.495 y 12.259).

Tareas olímpicasetapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

Grado 10

1. Se escriben en fila los números del 21 al 30. ¿Es posible colocar los signos “+” y “-” entre ellos para que el valor de la expresión resultante sea igual a cero?
2. ¿A qué valoresdiferencia de raíces de ecuación igual a 3?
3. dado norte puntos, de los cuales no hay cuatro que pertenezcan al mismo plano. ¿Cuántos planos se pueden dibujar a través de diferentes tripletas de estos puntos?
4. Encuentra todos los triples de números distintos de cero Y , formando una progresión aritmética y tal que de los números Y También puedes hacer una progresión aritmética.
5. Diagonales de un paralelogramose cruzan en un punto. Déjalo ser - puntos de intersección de círculos, uno de los cuales pasa por los puntos y , y el otro a través de y . Encuentra el lugar geométrico de los puntos., si punto se encuentra en el segmentoy no coincide con sus extremos.

Tareas olímpicasetapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

Grado 11

1. ¿Cuál es el natural más pequeño?¿Qué es divisible por 770?
2. demostrar que si, entonces la ecuación
3. Encuentre si; ; ...
4. En la base pirámide regular se encuentra un polígono con un número impar de lados. ¿Es posible colocar flechas en las aristas de esta pirámide (una en cada arista) para que la suma de los vectores resultantes sea igual a?

1. Hay 20 estudiantes en la clase. Todos son amigos de al menos 10 personas más. Demuestre que en esta clase es posible seleccionar dos troikas de estudiantes de modo que cualquier estudiante de una troika sea amigo de cualquier estudiante de la otra troika.

Avance:

Grado 7 (soluciones y respuestas)

Respuestas y soluciones a problemas.etapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

1. Respuesta: 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. Respuesta: 40 años.

Solución: Para resolver el problema usaremos la tabla.

La ecuacion: . Ahora Ignat tiene 40 años.

1. Respuesta: no podría.

Solución: Tenga en cuenta que el número de nueces de cada par de niños es divisible por 3. Esto significa que el número total de nueces debe ser divisible por 3. Sin embargo, 2011 no es divisible por 3.

1. Solución:

1. Respuesta: A es un caballero, B es un mentiroso.

Solución: Si A es un mentiroso, entonces su afirmación es falsa, es decir ambos deben ser caballeros. Contradicción. Entonces A es un caballero. Entonces su afirmación es verdadera y B es un mentiroso.

Grado 8 (soluciones y respuestas)

Respuestas y soluciones a problemas.etapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

1. Respuesta: 198.

Solución: Número de tres dígitosse puede escribir en la forma. De la condición sigue eso . A la derecha hay un número de dos dígitos (un solo dígito si c = 0) que es divisible por 89, lo que significa. Pero entonces

1. Respuesta: parte de un círculo con diámetro OP

Solución: Sea O - el centro de un círculo dado, METRO - el punto medio de una cuerda cortada de un círculo por una línea recta que pasa por un punto PAG. Entonces PMO = 90 o . Por lo tanto, el conjunto requerido es parte de un círculo con un diámetro OP , que se encuentra dentro de un círculo dado.

Solución: La condición implica la igualdad de los triángulos.), dónde . Además, . Por lo tanto triangulosson iguales y por lo tanto.

1. Respuesta: 31 11 14

Solución:

1. Respuesta: 1006 caballeros

Solución: Tenga en cuenta que los dos guerreros que están uno al lado del otro no pueden ser caballeros. De hecho, si ambos fueran caballeros, ambos dirían mentiras. Elijamos al guerrero que está a la izquierda y dividamos la fila de los 2010 guerreros restantes en 1005 grupos de dos guerreros uno al lado del otro. En cada uno de estos grupos no hay más de un caballero, es decir. entre los 2010 guerreros considerados no hay más de 1005 caballeros, es decir en total no hay más de 1005 + 1 = 1006 caballeros en la línea.

Considere la línea RLRLR...RLRLR. En esa línea hay exactamente 1006 caballeros.

9 clase (soluciones y respuestas)

Respuestas y soluciones a problemas.etapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

1. Respuesta: más que aquellos cuyos números están en orden descendente.

Solución: 1) Escribamos el número del primer grupo en orden inverso. Obtenemos el número del segundo grupo y de diferentes números del primer grupo obtenemos diferentes numeros segundo grupo. Al mismo tiempo, los números del segundo grupo que terminan en 0, por ejemplo 98.760, no se pueden obtener "invirtiendo" los números del primer grupo (el número 06789 = 6789 no tiene cinco dígitos). Esto significa que hay más números en el segundo grupo.

2) Los números del primer grupo se obtienen del número 123.456.789 tachando cuatro dígitos, es decir su, y los números del segundo grupo, del número 9.876.543.210 tachando cinco dígitos, es decir su.

Grado 10 (soluciones y respuestas)

Respuestas y soluciones a problemas.etapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

Expresando y de las ecuaciones (1) y (3) y sustituyendo en la ecuación (2), obtenemos, después de simplificar, la ecuación. Resolviendolo encontraremos.

1. Respuesta: , , donde . Solución: por condición y se cumple una de las igualdades:, o . En el primer caso, resolviendo el sistema., , obtenemos . En el segundo caso obtenemos o , . El tercer caso es similar al segundo.
2. Respuesta: segmento sin sus extremos, ¿dónde está el punto? se encuentra sobre la viga y .

Solución: dejar - un círculo que pasa por puntos y y se cruza en el punto . Entonces, según la propiedad de los ángulos inscritos, entonces puntos , , , acuéstese en el mismo círculo; Sise encuentra en el segmento, Entonces sí se encuentra fuera de este segmento (puntoen la imagen). De este modo,, desde y , es decir. círculo que pasa por puntos Y . Entonces, hemos demostrado que el puntodebe estar en el segmento. Demostremos ahora que cualquier punto de este segmento, excepto Y , ingresa el lugar geométrico deseado de los puntos. De hecho, deja. Luego, eligiendo un punto para que obtengamos eso y .

Grado 11 (soluciones y respuestas)

Respuestas y soluciones a problemas.etapa municipalOlimpiada de toda Rusia para escolares matemáticas

Consideremos el primer caso. Porque, entonces las ramas de la parábola dadas por la fórmula, dirigido hacia arriba. Y desde, entonces hay puntos de la parábola que se encuentran debajo del eje. Esto significa que la parábola corta al eje.en 2 puntos. Por lo tanto la ecuacióntiene dos raíces reales.

En el segundo caso, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo y, entonces la parábola corta al ejeen 2 puntos. Entonces la ecuaciónnuevamente tiene dos raíces reales.

Método 2. Considere la desigualdad. Abrir los paréntesis en el lado izquierdo, multiplicar la desigualdad por -4 y luego sumar a ambos lados de la desigualdad., obtenemos: . transformemos esta desigualdad a la forma:. Desde entonces . Por lo tanto la ecuacióntiene 2 raíces reales.

Solución: Soluciones obvias, , . Está claro que otras ternas de números con componentes cero no son soluciones a este sistema. Queda por considerar el caso en el que. Entonces obviamente- ángulos de un triángulo rectángulo con catetos (- natural). Por lo tanto, tres- otra solución.

4. Respuesta: No.

Solución: Deja que las flechas se arreglen de alguna manera. Proyectemos todos los vectores resultantes en una línea recta que contenga la altura. ENTONCES pirámides. Las proyecciones de los vectores que se encuentran en el plano de la base son iguales., y las proyecciones de los vectores que se encuentran en los bordes laterales son iguales o - . Dado que el número de vectores que se encuentran en los bordes laterales es impar, se deduce que la suma de sus proyecciones no puede ser igual., por lo tanto no puede ser igualy la suma de todos los vectores resultantes.

5 . Enumeremos a todos los estudiantes de la clase usando números naturales del 1 al 20 y denota pornúmero de amigos en común Y ésimos estudiantes, y la suma de todos esos números a través de . Entonces, para probar el planteamiento del problema, basta demostrar que para algunos Y la desigualdad se mantiene.

Los números totales serán . Dado que cada estudiante tiene al menos 10 amigos en la clase, al contar el númeroTenemos en cuenta al menos a todos los estudiantes. veces, por lo tanto.

Así, la suma de 1140 números enteros es al menos 2400, por lo que uno de los númerosnada menos que 3, que era lo que había que demostrar.